2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题五函数与方程

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(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数与方程课件

＋1x＝1－x2x2＜0，故当 1＜x＜2 时 h(x)单调递减，在同一坐标系中画出 y＝|h(x)|和 y＝1 的图象如图所示.
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4. 答案 (1)③ (2)4
规律方法 (1)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. (2)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (3)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质； ③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点零点个数
__(x_1_，__0_)_，__(x_2_，__0_)_ 两个
__(_x_1，__0_)___ 一个
Δ<0
无交点零个
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( ) (4)当x>0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点.( ) 解析 (1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)＝x2在区间(－1，1)内有零点，且函数图象连续，但f(－1)·f(1)>0. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)∵f(x)＝ln x－12x－2在(0，＋∞)为增函数，又 f(1)＝ln 1－12－1＝ln 1－2<0，f(2) ＝ln 2－120<0，f(3)＝ln 3－121>0，∴x0∈(2，3).

2020江苏高考数学一轮复习学案：第16课__函数与方程含解析.docx

____第16课__函数与方程____1. 理解函数零点的概念，函数零点与方程根的关系．2. 利用函数与方程、分类讨论、数形结合、化归等数学思想与方法解决函数、方程、不等式等有关问题.1. 阅读：必修1第91～96页．2. 解悟：①函数零点的定义是什么？②函数的零点与方程的根有何联系？③根据例1的解答可以引导学生通过导数研究f()的单调性进而画出函数f()图象的草图，寻找f()与轴的交点个数;解决问题；④间接法：根据例2的解答可以引导学生将3＋－1＝0 整理成 3＝1－或者2＋1＝1x的形式进而化归到两个函数⎩⎨⎧f （x ）＝x 3，g （x ）＝1－x 或⎩⎨⎧f （x ）＝x 2＋1，g （x ）＝1x图象的交点个数问题．3. 践习：在教材空白处，完成第96页习题第1题，第97页习题第1题.基础诊断1. 判断下列命题是否正确：(1) 函数f()＝2－1的零点是(－1，0)和(1，0)．()解析：函数的零点是指使函数值为零的自变量的取值，所以函数f()＝2－1的零点是－1和1，故是错误的．(2) 函数y ＝f()在区间(a ，b)上有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.( )解析：函数f()＝2在区间(－1，1)上有零点0，但f(－1)·f(1)>0，故是错误的．(3) 二次函数y ＝a 2＋b ＋c(a ≠0)在b 2－4ac<0时没有零点．( √ )解析：当b 2－4ac<0时，二次函数图象与轴没有交点，所以没有零点，故是正确的．(4) 若函数f()在区间(a ，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f()在[a ，b]上有且只有一个零点．()解析：函数f()在(a ，b)上单调且连续不断，若f(a)·f(b)<0，则函数f()在[a ，b]上有且仅有一个零点．2. 函数f()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－lg 的零点有__1__个．解析：令f()＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝lg ，函数f()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －lg 零点的个数，就是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝lg 的图象的交点个数．作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝lg 的图象，如图所示，由图象可得，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝lg 的图象有且只有1个交点，所以函数f()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－lg 的零点个数为1.3. 已知方程2－6＋4＝0的较大根在区间(m ，m ＋1)(m ∈)上，则实数m ＝__5__．解析：由题意得2－6＋4＝0，即(－3)2＝5，较大的根为3＋5，在5～6之间，所以m ＝5. 4. 函数f()＝2x ＋ln 1x －1的零点大致所在的区间为__②__．(填序号)①(1，2)； ②(2，3)； ③(3，4)； ④(1，2)与(2，3)．解析：f()＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln (－1)，当>1时，函数f()为单调减函数．当1<<2时，ln (－1)<0，2x >0，f()>0，则函数f()在区间(1，2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.因为8＝22，22>e ，所以8>e 2，即ln 8>2，则f(3)<0.又f(4)＝12－ln 3<0，所以函数f()在区间(2，3)上存在一个零点，在区间(3，4)上没有零点，故填②.范例导航考向❶ 一元二次方程根的分布问题例1 已知关于的方程22－2－3－2＝0的两实数根一个小于1，另一个大于1，求实数的取值范围．解析：令f()＝22－2－3－2，由题意得，·f(1)<0，即(2－2－3－2)<0，解得>0或<－4，故实数的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．已知函数f()＝2a 2＋2－3在区间(0，1)上有零点，求实数a 的取值范围．解析：①若a ＝0，则f()＝2－3，令f()＝0，解得＝32∉(0，1)，故a ≠0；②当a ≠0时，若f()在区间(0，1)上有一个零点，则 f(0)·f(1)<0，即－3(2a ＋2－3)<0，解得a>12；若f()在区间(0，1)上有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ>0，0<－12a <1，f （0）>0，f （1）>0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ>0，0<－12a <1，f （0）<0，f （1）<0，无解．综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考向❷ 零点存在性定理例2 已知函数f()＝ln ＋2－6. (1) 证明：函数f()有且只有一个零点；(2) 求该零点所在的一个区间，使得这个区间的长度不超过14.解析：(1) f()的定义域为(0，＋∞)，且f()是增函数．因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(2)·f(3)<0.所以f()在区间(2，3)上至少有一个零点．又因为f()在(0，＋∞)上是增函数，所以f()在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2) 由(1)知f(2)<0，f(3)>0. 所以f()的零点0∈(2，3)．取1＝52，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52－1＝ln 52－lne <0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f(3)<0，所以0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3.取2＝114，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e 12>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，所以0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间.已知函数f()＝log 2＋2－m 有唯一零点，如果它的零点在区间(1，2)上，那么m 的取值范围为__(2，5)__．解析：因为f()在(0，＋∞)上单调递增，所以f(1)f(2)<0，即(2－m)(1＋4－m)<0，解得2<m<5，故m 的取值范围为(2，5). 考向❸ 函数与方程例3 已知f()＝|x|e x ，若方程[f()]2－23f()＋a ＝0有四个不等的实数根，则a 的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 3e __．解析：由题意f()＝|x|ex ，得f()＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x， x ≥0，－xex， x<0.当≥0时，f ′()＝e x －x e x e 2x ＝1－xex ，若∈[0，1)，则f ′()>0，f()单调递增；若∈(1，＋∞)，f ′()<0，f()单调递减．当<0时，f ′()＝－e x －x e x e 2x ＝－1－xex <0，故f()单调递减．若方程[f()]2－23f()＋a ＝0有四个不等的实数根，则当∈(0，1)，即f()∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时有一个根，另一个根大于1e ，所以⎩⎨⎧a>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－23× 1e ＋a<0，解得0<a<2e －33e 2，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，2e －33e 2.自测反馈1. 若函数f()＝a ＋b(a ≠0)有一个零点是2，则函数g()＝a 2＋b 的零点是__0，2__，函数h()＝b 2－a 的零点是__0，－12__．解析：由题意得，2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，令g()＝0，则a 2＋b ＝0，解得＝0或＝－ba＝2，所以函数g()的零点是0和2；令h()＝0，则b 2－a ＝0，解得＝0或＝a b ＝－12，所以函数h()的零点是0和－12.2. 已知函数f()＝⎩⎨⎧2x－1， x>0，－x 2－2x ， x ≤0，若函数g()＝f()－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是__(0，1)__．解析：由题意得函数f()＝⎩⎨⎧2x－1， x>0，－（x ＋1）2＋1， x ≤0，画出函数f()的图象如图所示，因为函数g()＝f()－m 有3个零点，所以方程f()＝m 有3个不等的实数解，由图象可知，实数m 的取值范围是(0，1)．3. 若关于的方程2－2a ＋4＝0的两个实数根均大于1，则实数a 的取值范围是__⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52__．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－16≥0，f （1）＝1－2a －4>0，－－2a 2>1，解得2≤<52，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52.4. 若定义在R 上的偶函数f ()满足f (＋2)＝f ()，且当∈[0，1]时，f ()＝，则函数y ＝f ()－log 3||的零点个数是__4__．解析：由题意可得函数f()是以2为周期的偶函数，因为∈[0，1]时，f()＝，所以∈[－1，0]时，f()＝－.函数y＝f()－log3||的零点的个数等价于函数y＝f()的图象与函数y＝log3|| 的图象的交点个数，在同一个直角坐标系中画出函数y＝f()与函数y＝log3||的图象，如图所示，显然函数y＝f()的图象与函数y＝log|| 的图象有4个交点，故零点个数为4.31. 函数y＝f()的零点⇔函数y＝f()的图象与轴交点的横坐标⇔方程f()＝0的实数根⇔不等式f()>0或f()<0的解的端点．2. 对于方程在指定范围内有解问题一般可采用分离参数法将其转化为研究函数的值域问题．特别地，对于含有参数的一元二次方程在指定范围内有解问题也可用方程根的分布解决，但优先考虑分离参数法.3. 你还有哪些体悟，写下;：。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《函数与方程》含答案

第八节函数与方程知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ )2．(必修1P92A 组第5题改编)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( B )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)解析：易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0，得f (2)·f (3)<0.故选B.3．(必修1P88例1改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由f ′(x )＝e x＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．知识点二二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且_f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证_f(a)f(b)<0，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)；①若_f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若_f(a)f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若_f(x1)f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(A)5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为1.56.解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件．3．“对勾”函数模型f (x )＝x ＋ax (a >0)在区间(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在区间(－a ，0)和(0，a )上单调递减．考向一函数零点的判断与求解方向1 判断函数零点所在区间【例1】 (1)设x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝x 的解，则x 0所在的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 (2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)D (2)B 方向2 判断函数零点的个数【例2】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)(2019·天津河东一模)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)解法1：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．解法2：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 【答案】 (1)B (2)C(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点. (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断.(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.1．(方向1)(2019·河南十校联考)命题p ：－72<a <1，命题q ：函数f (x )＝2x －1x ＋a 在(1,2)上有零点，则p 是q 的( C )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得函数f (x )＝2x －1x ＋a 在(1,2)上单调递增，又函数f (x )在(1,2)上有零点，∴f (1)f (2)＝(1＋a )72＋a <0，解得－72<a <－1.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，1， ∴p 是q 的必要不充分条件．故选C.2．(方向2)(2019·南宁摸底联考)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：解法1：令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x ，h (x )＝2x －6(x >0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.解法2：函数f (x )＝ln x －2x ＋6的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当0<x <12时，f ′(x )>0，当x >12时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减．因为f (1e 10)＝－4－2e 10<0，f (12)＝5－ln2>0，f (e 2)＝8－2e 2<0，所以函数f (x )在(1e 10，12)，(12，e 2)上各有一个零点，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B. 考向二函数零点的应用方向1 二次函数的零点问题【例3】函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103【解析】当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (3)<0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有且仅有一个零点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－a 2·(10－3a )<0，解得52<a <103；当⎩⎪⎨⎪⎧12<a2<3，Δ＝a 2－4≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f (3)>0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有一个或两个零点，解得2≤a <52；当a ＝52时，函数的零点为12和2，符合题意；当a ＝103时，函数的零点为13或3，不符合题意．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103. 【答案】 D方向2 求参数的取值范围【例4】 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C. 【答案】 C方向3 由函数零点探求函数的特征【例5】 (2019·石家庄质量检测)已知M 是函数f (x )＝e x 2－3x ＋134－8cos[π(12－x )]在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和，则M 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】函数f (x )＝e x 2－3x ＋134 －8cos[π(12－x )]在(0，＋∞)上的所有零点之和，即e x 2－3x ＋134＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和，即e(x －32)2＋1＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和．令g (x )＝e (x －32)2＋1，h (x )＝8sinπx ，易知函数g (x )＝e (x －32)2＋1的图象关于直线x ＝32对称，函数h (x )＝8sinπx 的图象也关于直线x ＝32对称，作出两个函数的大致图象，如图所示．由图象知，两个函数的图象有4个交点，且4个交点的横坐标之和为6，故选B.【答案】 B已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.1．(方向1)已知函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则m 的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38，18B.⎝⎛⎭⎪⎫－38，18 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－38，18 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－18，38 解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－x －1有一个零点x ＝－1，满足条件．当m ≠0时，函数f (x )＝2mx 2－x －1在区间(－2,2)内恰有一个零点，需满足①f (－2)·f (2)<0或②⎩⎨⎧f (－2)＝0，－2<14m <0或③⎩⎨⎧f (2)＝0，0<14m <2.解①得－18<m <0或0<m <38； ②无解，解③得m ＝38. 综上可知－18<m ≤38.故选D.2．(方向2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．故选D.3．(方向3)(2019·惠州市调研考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x ≥0，－ln (－x )，x <0，若函数f (x )的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是( D )A ．(－∞，0)B ．(0，12) C ．(0，＋∞)D ．(0,1)解析：依题意，函数f (x )的图象上存在关于原点对称的点，如图，可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)的图象关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使得它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可，当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则⎩⎨⎧km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，k ＝1，可得切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时，函数y ＝ln x 的图象与直线y ＝kx －1有2个交点，即函数f (x )的图象上关于原点对称的点有2对，故选D.用换元法解决复合函数的零点问题关于复合函数方程f (g (x ))＝a 的零点个数问题，可先换元解套t ＝g (x )，则f (t )＝a ，g (x )＝t ，从而先由f (t )＝a 确定t 的解(或取值范围)，再由g (x )＝t 并数形结合确定x 的解的个数．典例已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围为( )A ．(2,8)B ．[2，174) C ．(2，174]D ．(2,8]【分析】本题应先求方程t 2－bt ＋1＝0的根，设为t 1，t 2，再根据t 1＝f (x )，t 2＝f (x )的解的个数确定函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1的零点个数．已知函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t 的范围，再转化为一元二次方程t 2－bt ＋1＝0根的分布问题来解决．【解析】因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 3－6x ＋4＝(x －2)(x 2＋2x －2)，x ≥0，作出f (x )的简图，如图所示．由图象可得，f (x )在(0,4]上任意取一个值，都有四个不同的x 值与之对应．再结合题中函数y ＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，可得关于t 的方程t 2－bt ＋1＝0有两个不同的实数根t 1，t 2，且0<t 1≤4,0<t 2≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4>0，0<b2<4，0－b ×0＋1>0，42－4b ＋1≥0，解得2<b ≤174.【答案】 C归纳总结本题结合图象可知，一元二次方程t 2－bt ＋1＝0的两个根0<t 1≤4,0<t 2≤4，结合二次函数图象的特点可知，对称轴0<b2<4，且Δ>0，另外t ＝0时的函数值为正，t ＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x 的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是(A)A．3 B．4C．5 D．6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由极值点定义可得，x1，x2为3x2＋2ax＋b ＝0①的两根，观察到方程①与3f2(x)＋2af(x)＋b＝0结构完全相同，可得3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的两根为f1(x)＝x1，f2(x)＝x2，其中f(x1)＝x1.若x1<x2，可判断出x1是极大值点，x2是极小值点，且f2(x)＝x2>x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(1)所示)；若x1>x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点，且f2(x)＝x2<x1＝f(x1)，所以y＝f1(x)的图象与y＝f(x)的图象有两个交点，而y＝f2(x)的图象与y＝f(x)的图象有一个交点，共计3个交点(如图(2)所示)．综上所述，共有3个交点．故选A.。

2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：2.5二次函数与幂函数、函数与方程含解析

2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：函数(含解析)

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练函数一、填空题1、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中考试）函数()27log 43y x x =-+的定义域为_____________ 2、（南京市2019届高三9月学情调研）若函数f (x )＝a ＋12x －1 是奇函数，则实数a 的值为 ▲3、（苏州市2019届高三上学期期中调研）函数()lg(2)2f x x x =-++的定义域是 ▲ ．4、（无锡市2019届高三上学期期中考试）已知8a ＝2，log a x ＝3a ，则实数x ＝5、（徐州市2019届高三上学期期中质量抽测）已知奇函数()y f x =是R 上的单调函数，若函数2()()()g x f x f a x =+-只有一个零点，则实数a 的值为 ▲ ．6、（盐城市2019届高三第一学期期中考试）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为．7、（扬州市2019届高三上学期期中调研）已知函数()f x 为偶函数，且x ＞0时，32()f x x x =+，则(1)f -＝．8、（常州市武进区2019届高三上学期期中考试）已知函数()(1)()f x x px q =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 ▲9、（常州市2019届高三上学期期末）函数1ln y x =-的定义域为________.10、（海安市2019届高三上学期期末）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －4，x ＜0，log 2x ，x ＞0，若关于x 的不等式f (x )＞a 的解集为(a 2，＋∞)，则实数a 的所有可能值之和为．11、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为 ▲ ．12、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）函数有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为＿＿＿＿13、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知,a b ∈R ，函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则关于x 的不等式(2)0f x ->的解集为．14、（苏州市2019届高三上学期期末）设函数220()20x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，，，若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是．15、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－ax ＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．16、（苏州市2018高三上期初调研）已知函数()()0af x x a x=+>，当[]1,3x ∈时，函数()f x 的值域为A ，若[]8,16A ⊆，则a 的值是．17、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知k 为常数，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0ln 0,12)(x x x x x x f ，若关于x 的方程2)(+=kx x f 有且只有4个不同的解，则实数k 的取值集合为 18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知函数2log (3)0()210xx x f x x -≤⎧=⎨->⎩，，，若1(1)2f a -=，则实数a ＝． 19、（盐城市2019届高三第三次模拟）若函数)1lg()1lg()(ax x x f +++=是偶函数，则实数a 的值_____.20、（江苏省2019年百校大联考）已知函数2,1(),1x x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩ ，则不等式2()f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是．21、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））已知函数()()()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．22、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ．23、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得 12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题1、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知k R ∈,函数2()(1)2f x x k x k =+-=-(1)解关于x 的不等式()2f x ＜(2)对任意(1,2),()1x f x ∈-≥恒成立，求实数k 的取值范围2、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知函数4()log log (0a f x x x a =+>且a ≠1）为增函数。

江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.9函数与方程教案含解析

§2.9函数与方程考情考向分析利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ )题组二教材改编2．[P93练习T3]函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是．答案 1解析由f ′(x )＝e x＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．3．[P97习题T8]已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是．答案 (－2,0)解析结合二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 的图象(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0，f (1)>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋1＋a >0，所以－2<a <0.题组三易错自纠4．若函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间是(k ，k ＋1)，则k ＝. 答案 0解析易知函数f (x )在R 上单调递增，∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，即f (0)·f (1)<0， ∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内，即k ＝0.5．函数f (x )是[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内有个实数根．答案 1解析 ∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， ∴f (x )＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一实根， ∴f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实根．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为．(用“<”连接)答案x2<x3<x1解析作出y＝x与y＝x(x>0)，y＝－e x，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知x2<x3<x1.题型一函数零点所在区间的判定例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解(1)方法一因为f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0，所以f(1)f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．方法二令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．(2)因为f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(－1)f(2)<0，故f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．(3)因为f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3<log28－3＝0，所以f(1)f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点．思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．跟踪训练1已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝.答案 2解析对于函数y＝log a x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.题型二函数零点个数的判断例2(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是．答案 2解析当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为．答案 2解析由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. (3)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内零点个数为．答案 1解析当x ∈(]0，1时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos1>0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当x >1时，f (x )＝x －cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点．思维升华函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点．(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．(3)利用函数图象的交点个数判断．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为．答案 3解析 g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个．(2)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为．答案 2解析 f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．题型三函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3(1)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是．答案 (0,1)解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1)．命题点2 根据函数零点的范围求参数例4若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12解析依题意，结合函数f (x )的图象(图略)分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3(1)方程12log (2)2xa x －＝＋有解，则a 的最小值为．答案 1解析若方程12log (2)2x a x －＝＋有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，因为14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x≥1，所以a ≥1，故a 的最小值为1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0解析作出函数f (x )的图象如图所示．当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决．例(1)若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为．答案 {2}解析 f (x )是偶函数，若f (x )有唯一零点，故f (0)＝0，由f (0)＝0，得m 2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝－4.当m ＝2时，f (x )＝x 2－2cos x ＋2＝x 2＋4sin 2x2有唯一零点x ＝0；当m ＝－4时，f (x )＝x 2＋4cos x －4.因为f (2)＝4cos2<0，f (π)＝π2－8>0，所以在(2，π)内也有零点，不合题意．(2)已知函数21211()log 1x x f x x x ìï<ïï=íïïïî－，，，，≥若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是．答案 (－1,0)解析关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)．(3)若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为．答案 (－∞，2－22]解析由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.(4)(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是．答案 [－1，＋∞) 解析令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．1．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是．答案 (0,3)解析因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3.2．函数121()2xf x x 骣÷ç=-÷ç÷ç桫的零点个数为．答案 1解析函数121()2xf x x 骣÷ç=-÷ç÷ç桫的零点个数是方程12102xx 骣÷ç-=÷ç÷ç桫的解的个数，即方程1212xx 骣÷ç=÷ç÷ç桫的解的个数，也就是函数12y x =与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2＋(－2)a ＋b ＝0，32＋3a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1. 4．下列说法错误的是．(填序号)①对于不等式ax 2＋bx ＋c <0，当Δ＝b 2－4ac <0时，不等式的解集为空集； ②所谓零点，就是函数的图象与x 轴交点的坐标；③设函数y ＝f (x )在(a ，b )上是连续的，若f (a )·f (b )>0，则函数y ＝f (x )在(a ，b )内一定不存在零点．答案 ①②③解析在①中，若a <0，则不等式恒成立，即不等式的解集为R ；在②中，零点是指函数图象与x 轴交点的横坐标，而非坐标；对于③，可能有零点在(a ，b )内，故①②③均错．5．(2019·盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0解析当0≤x ≤1时，2x 2＋2mx －1＝0，易知x ＝0不是方程2x 2＋2mx －1＝0的解，故m ＝12x －x 在(0,1]上是减函数，故m ≥12－1＝－12；即m ≥－12时，方程f (x )＝0在[0,1]上有且只有一个解，当x >1时，令mx ＋2＝0，得m ＝－2x，故－2<m <0，即当－2<m <0时，方程f (x )＝0在(1，＋∞)上有且只有一个解，综上所述，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是－12≤m <0.6．已知关于x 的方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是．答案 (1，＋∞) 解析方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象，如图所示，由图易知，a >0.当－2<x <0时，设函数y ＝a |x |＝－ax 的图象与函数y ＝f (x )＝1x ＋2的图象相切于点(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝－1(x ＋2)2，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－ax 0，y 0＝1x 0＋2，1(x 0＋2)2＝a ，解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为．答案 2解析函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x有2个零点．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a的取值范围是．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．9．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2019x＋log 2019x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为．答案 3解析因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2019x＋log 2019x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12019内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数f (x )在R 上的零点个数为3.10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )＋a ，x <0，f (x ＋1)，x ≥0，a ∈R ，当0≤x <1时，f (x )＝1－x ，则f (x )的零点个数为．答案 1解析当x <0时，必存在x 0＝－e －a<0，使得f (x 0)＝0，因此对任意实数a ，f (x )在(－∞，0)内必有一个零点；当x ≥0时，f (x )是周期为1的周期函数，且0≤x <1时，f (x )＝1－x .因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f (x )的零点个数为1.11．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)(a >1)在区间[－2，6]内恰有三个零点，则实数a 的取值范围是．答案 (34，2) 解析根据题意得f [(x ＋2)－2]＝f [(x ＋2)＋2]，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )的周期为4.若方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间[－2,6]内恰有三个不同的实根，则函数y ＝f (x )和y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－2,6]内恰有三个不同的交点，根据图象可知，log a (6＋2)>3且log a (2＋2)<3，解得34<a <2.所以实数a 的取值范围是(34，2)．12．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，当0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1]．13．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为．答案11－2π解析由题意知，当x <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π.14．已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是．答案－78解析依题意，方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有1个解，故f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)有1个解， ∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.15．已知函数f (x )是偶函数，f (0)＝0，且x >0时，f (x )是增函数，f (3)＝0，则函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点个数为．答案 3解析画出函数y ＝f (x )和y ＝－lg|x ＋1|的大致图象，如图所示．∴由图象知，函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为3.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|log 2x |，0<x ≤2，(x －3)(x －4)，x >2，若f (x )＝m 有四个零点a ，b ，c ，d ，则abcd的取值范围是．答案 (10,12)解析作出函数f (x )的图象，不妨设a <b <c <d ，则－log 2a ＝log 2b ，∴ab ＝1.又根据二次函数的对称性，可知c ＋d ＝7， ∴cd ＝c (7－c )＝7c －c 2(2<c <3)，∴10<cd <12， ∴abcd 的取值范围是(10,12)．。

(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题2函数第5练函数的概念及表示理

第5练函数的概念及表示[基础保分练]1．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝＋是函数；③函x －32－x 数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④f (x )＝与g (x )＝x 是同一个函数．其中正确的有x 2x ________．2．已知f (x )＝Error!则f (－1＋log 35)＝________.3．(2018·南通模拟)y ＝－log 2(4－x 2)的定义域是________．x －12x 4．已知函数f (x )＝Error!则f (2)的值为________．5．(2018·常州质检)设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝________.6．(2019·镇江模拟)若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为________．7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝Error!满足对任意x 1≠x 2，都有<0成立，则实数a 的f x 1 －f x 2x 1－x 2取值范围是____________．9．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有________个．10．设函数f (x )＝Error!若f (a )＝10，那么a ＝________.[能力提升练]1．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．2．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则实数m 的取值范围是1lg[ 25 x －4·5x ＋m ]________．3．已知函数f (x )满足f ＋f (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝________.(1x )1x 4．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R )，如：[－1.3]＝－2，[0.8]＝0，[3.4]＝3，定义{x }＝x －[x ]，则＋＋…＋＝________.{12018}{22018}{20182018}5．(2018·无锡调研)设函数f ：R →R ，满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2018)＝________.6．设函数f (x )满足2f (x )－f ＝，则函数f (x )在区间上的最小值为________．(1x )3x 2[12，1]答案精析基础保分练1．①　2.5　3.(－2,0)∪[1,2)　4.　5.2x －1　6.[－1,1]　7.[－1,2]728.(0，16]解析　因为函数对任意x 1≠x 2，都有<0成立，所以函数在定义域内单调f x 1 －f x 2x 1－x 2递减，∴Error!∴0<a ≤.169．310．3解析　①当a <0时，有2a <0，不合题意．②当a ≥0时，由题意得a 2＋1＝10，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)．综上可得a ＝3.能力提升练1.　2.(5，＋∞)(－1，－12)3.72解析　根据题意，函数f (x )满足f ＋f (－x )＝2x (x ≠0)，(1x )1x 令x ＝2，可得f ＋f (－2)＝4，①(12)12令x ＝－，12可得f (－2)－2f ＝－1，②(12)联立①②，解得f (－2)＝.724.　5.2019201726．3解析　因为2f (x )－f ＝，(1x )3x 2所以用代替x ，1x 得2f －f (x )＝3x 2，(1x )两式消去f ，得3f (x )＝3x 2＋，(1x )6x 2所以f (x )＝x 2＋.2x 2因为f (x )在区间上单调递减，[12，1]所以f (x )min ＝f (1)＝3.。

(江苏专用)2020高考数学专题五函数、不等式与导数第一讲小题考法——函数课件

周期利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把性不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
对称利用其轴对称或中心对称可将研究的问题，转化到另性一对称区间上研究
考点(二) 基本初等函数
主要考查基本初等函数的图象和性质以及由基本初等函数复合而成的函数的性质问题.
[题组练透]
1 ． (2018·南通检测 ) 已知幂函数 f(x) ＝ x α ，其中 α ∈
答案：(－2，2－2 3)
2．(2019·江苏高考)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，
f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0， k（x＋2），0<x≤1，
2]时，f(x)＝ 1－（x－1）2 ，g(x)＝－12，1<x≤2，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不
设切点为(x0，ln
x0)，则切线斜率为k＝
1 x0
，又k＝
ln
x0－2，则 1 ＝ln
x0
x0
xx00－2，解得x0＝e3，此时k＝e13；
当k<0时，当y＝kx＋2与曲线y＝
x＋2 x＋1
相切于点(0，2)
时，k＝－1，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图象只有3个公共
点，不符合题意，
当－1<k<0时，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图象只有3个公
k
共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，则 (xi＋yi)
i＝1
＝________．解析：如图，函数 y＝22x＋x＋11与函数 y＝x＋x 1的
图象都关于点(0，1)成中心对称，所以它们的

专题05 函数的基本性质 -巅峰冲刺江苏省2020年高考数学一轮考点扫描(文理通用)

专题05 函数的基本性质【名师预测】函数的奇偶性、单调性、周期性及最值问题是江苏高考考试中的重点考点，经常是以综合性考题出现，近几年出现在填空题9-11题，难度中等，对于考生来说，属易错题型，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，需细心谨慎。

【知识精讲】一．函数的单调性 1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是单调增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．（3）“函数的单调区间是A ”与“函数在区间B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B A ⊆. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y x=分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数；（2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反；（3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反；（4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与y =（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）对勾函数的单调性：by ax x =+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．二．函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 三．函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =．（4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数()xxf x a a -=+为偶函数，函数()xxf x a a -=-为奇函数．②函数()2211x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数．③函数()1log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()(log a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数．四．函数的周期性 1．周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．注意：若不特别说明，T 一般都是指最小正周期，且并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论设函数()y f x =，0x a ∈>R ，.（1）若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ；（3）若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ；（4）若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ；（5）函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；（6）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -；（7）若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -；（8）若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ；（9）若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a . 五．函数的图象（1）描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：①确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)； ②列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)； ③描点，连线．（2）图象变换平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a ＞0，右移a 个单位a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象．对称变换①y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象―――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象．翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． 2．函数图象的应用函数图象应用的常见题型及求解策略（1）利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系．（2）利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合求解参数的取值范围．（3）利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．（4）利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标.【典例精练】考点一函数单调性的判断例1．讨论函数f (x )＝xx 2－1在x ∈(－1,1)上的单调性．【解析】设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝12211222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x x x x x -+-=----. ∵－1＜x 1＜x 2＜1∴ x 2－x 1＞0，x 1x 2＋1＞0，(x 21－1)(x 22－1)＞0∴ f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故函数f (x )在(－1,1)上为减函数．例2．已知函数f (x )＝a ＋22x －1(a ∈R)，判断函数f (x )的单调性，并用单调性的定义证明．【解析】f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，证明如下：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1221121122222121(21)(21)x x x x x x a a ++-+--=----. ∵0＜x 1＜x 2∴ 121122x x ++<，121x >，221x >∴1211220x x ++-<，1210x ->，2210x ->∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1) ∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数同理可证f (x )在(－∞，0)上为减函数． ∴f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数【方法点睛】1．定义法判断函数单调性的步骤取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论2．导数法判断函数单调性的步骤求导函数确定符号得出结论考点二求函数的单调区间例3．函数f (x )＝log 2(x 2－4)的单调递增区间为________．【解析】令t ＝x 2－4＞0，解得x ＜－2或x ＞2，故函数f (x )的定义域为{x |x ＜－2或x ＞2}，且f (x )＝log 2t .利用二次函数的性质可得，t ＝x 2－4在定义域{x |x ＜－2或x ＞2}内的单调递增区间为(2，＋∞) ∴函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．故答案为：(2，＋∞).例4．函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间为________．解：由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即22(1)2,0(1)2,0x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．【方法点睛】确定函数的单调区间的3种方法注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．考点三函数单调性的应用例5．函数21()log (2)3xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[－1,1]上的最大值为________．【解析】∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和2log (2)y x =-+都是[－1,1]上的减函数∴21()log (2)3xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是在区间[－1,1]上的减函数∴ 最大值为f (－1)＝3. 故答案为：3.例6．设函数f (x )定义在实数集R 上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则 f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫23的大小关系为________________(用“＜”号表示)．【解析】由题设知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ＜1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增.∴ f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12 又∵13＜12＜23＜1∴ f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫12＞f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫32＞f ⎝⎛⎭⎫23. 故答案为：f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13. 例7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1) ≥ f (2a －1)，则实数a 的取值范围是________．【解析】易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数. ∵f (a ＋1) ≥ f (2a －1) ∴a ＋1 ≥ 2a －1 ∴ a ≤2.∴实数a 的取值范围是(－∞，2]．故答案为：(－∞，2]例8．已知函数(2) 11()1x a x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩，，满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，那么实数a 的取值范围是________．【解析】∵函数f (x )满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立 ∴函数f (x )在定义域上是增函数 ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，a ＞1，a ≥32，∴32≤a ＜2. 故答案为：⎣⎡⎭⎫32，2.【方法点睛】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值(五种常用方法)(2)比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解．(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．注意：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．考点四函数奇偶性的判断例9．判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝1－x 2＋x 2－1；（2）f (x )＝3－2x ＋2x －3；（3）f (x )＝3x －3－x ；（4）f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；（5）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.【解析】（1）由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，则f (x )的定义域为{－1,1}．又∵ f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )． ∴ f (x )既是奇函数又是偶函数．（2）因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．（3）依题意得：f (x )的定义域为R ∴ f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x ) ∴ f (x )为奇函数（4）由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0，则f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2].∴()f x === ∴ f (－x )＝－f (x ) ∴ f (x )是奇函数．（5）易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x＜0时，f (x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f (－x)＝x2＋x＝f (x).∴f (x)是偶函数．【方法点睛】判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．注意：（1）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的；（2）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点五函数的周期性例10．已知f (x)是定义在R上周期为4的函数，且f (－x)＋f (x)＝0，当0＜x＜2时，f (x)＝2x－1，则f (－21)＋f (16)＝________.【解析】由f (－x)＋f (x)＝0，知f (x)是定义在R上的奇函数.∴f (0)＝0又∵f (x＋4)＝f (x)，且当0＜x＜2时，f (x)＝2x－1∴f (－21)＋f (16)＝f (－1)＋f (0)＝－f (1)＝－(21－1)＝－1故答案为：－1.例11．已知f (x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f (x)＝x3－x，则函数y＝f (x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．【解析】∵当0≤x＜2时，f (x)＝x3－x∴f (0)＝0∵f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数 ∴f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0 又∵f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0∴函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 故答案为：7.【方法点睛】1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若()()f x a f x +=-，则T ＝2a ； (2)若1()()f x a f x +=，则T ＝2a ； (3)若1()()f x a f x +=-，则T ＝2a (a ＞0)．考点六函数性质的综合应用例12．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 【解析】∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 故答案为：－－x －1.例13．已知函数 f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是________．【解析】∵函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数 ∴2－a ＋3＝0，即a ＝5.∴()22225af m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，即()()22122f m f m m -->-+-．由题意知偶函数f (x )在[－3,0]上单调递增，而－m 2－1＜0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1＜0.∴ 由()()22122f m f m m -->-+-，得22223103220122m m m m m m ⎧-≤--≤⎪-≤-+-≤⎨⎪-->-+-⎩∴ 1－ 2 ≤ m ＜12.故答案为：⎣⎡⎭⎫1－2，12. 例14．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，,20()1,02ax b x f x ax x +-≤<⎧=⎨-<≤⎩，则f (2 018)＝________.【解析】设0＜x ≤ 2，则－2 ≤－x ＜0，f (－x )＝－ax ＋b . ∵f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数 ∴ f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ∴ b ＝1∵ f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2) ∴ －2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12∴ f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0故答案为：0.【方法点睛】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略（1）函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；（2）周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【名校新题】一、填空题1．（2019·徐州考前模拟）已知函数()xx axf x xe e=-（其中e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数a 的值为____．【解析】∵()f x 为偶函数 ∴()()f x f x =-恒成立，即()x xx xa x ax xe xe e e----=--，整理得到()x x x x e e a e e --+=+恒成立. ∴1a = 故答案为1.2．（2019·南通3月联考）已知函数()f x 是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m (m 为常数)，则2(log 3)f -的值为____．【解析】∵ ()f x 为R 上的奇函数∴ ()00f =，即()00210f m m =+=+=1m ∴=-又()()f x f x -=- ∴()()22log 3log 3f f -=- ∵2log 30> ∴()2log 32log 321312f =-=-=∴()()22log 3log 32f f -=-=- 故答案为：2-.3．（2019·江苏如皋期中）已知函数()tan sin 1f x a x b x =-+，且74f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 【解析】设()tan sin g x a x b x =-，则()g x 为奇函数，且()()1f x g x =+．∵1744f g ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴64g π⎛⎫=⎪⎝⎭∴11615444f g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：5-．4．（2019·苏北四市2月模拟）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x +2)=f(x)．当0<x ≤1时，f(x)=x 3−ax +1，则实数a 的值为_____．【解析】函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以，f(−1)=−f(1)，又因为f (x +2)=f (x )，所以，f(−1)=f(1)，即−f(1)=f(1)，即f(1)=0，所以，f(1)=13−a +1=0，解得：a =2.故答案为：2.5．（2019·海安月考）若函数f (x )={x 2−2x ，x ≥0−x 2+ax ，x <0是奇函数，则实数a 的值为______．【解析】设x <0，则−x >0，由函数的解析式可得：f (−x )=(−x )2−2×(−x )=x 2+2x ，由奇函数的定义可知：f (−x )=−f (x )，则：−f (x )=x 2+2x ，故f (x )=−x 2−2x ，结合题意可得：a =−2. 故答案为：−2.6．（2019·南通期末）已知函数()f x 的周期为4，且当(0,4]x ∈时，2cos ,022()3log ,242x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为______.【解析】∵函数()f x 的周期为4，且当(]0,4x ∈时，()2,02,23log ,2 4.2x cos x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩∴22117734log log 2122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==-== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()11cos 022f f f π⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：0.7．（2019·仪征模拟考试）定义在R 上的函数f(x)满足:f (x +2)⋅f (x )=1,当x ∈[−2,0)时，f (x )=log 2(−x +3),则f (2017)=________．【解析】∵f (x +2)⋅f (x )=1,f (x +2)=1f (x )，将x 代换为x +2，则有f (x +4)=1f (x+2)=f (x ) ∴f (x )为周期函数，周期为4，f (2017)=f (504×4+1)=f (1) ∵f (x +2)=1f (x )∴ f (1)=1f (−1)∵当x ∈[−2,0)时，f (x )=log 2(−x +3)∴f (−1)=log 2(1+3)=log 24=2 ∴f (1)=1f (−1)=12, ∴f (1)=12，故答案为：12.8．（2019·苏北一模）已知,a b ∈R ，函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则关于x 的不等式(2)0f x ->的解集为_________．【解析】∵()()()2f x x ax b =-+＝()222ax b a x b +--为偶函数∴2b a =，()()()2422f x ax a a x x =-=+-，又∵ ()f x 在()0,+∞上是减函数 ∴ 0a <由二次函数图象可知：()0f x >的解集为()2,2-，()()220f x f x -=->的图象看成是()f x 的图象向右平移2个单位得到. ∴ ()20f x ->的解集为()0,4 故答案为：()0,4.9．（2019·苏北三模）已知函数f(x)={x 2−2x ，x ≥0，−x 2−2x ，x <0，则不等式f(x)>f(−x)的解集为____．【解析】由题可得：函数f (x )为奇函数.不等式f (x )>f (−x )等价于f (x )>−f (x )，即：f (x )>0. 当x ≥0时，由f (x )=x 2−2x >0，解得：x >2；当x <0时，由f (x )=−x 2−2x >0，解得：−2<x <0. 综上所述：−2<x <0或x >2∴不等式f (x )>f (−x )的解集为(−2 ， 0)∪(2 ， +∞) 故答案为：(−2 ， 0)∪(2 ， +∞).10．（2019·苏锡常第二次学情调查）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且在[0，+∞)上为增函数，则不等式2(3)(2)f x f x >+的解集为_______．【解析】∵()f x 是偶函数 ∴ ()()33f x f x =，∴ ()()232f x f x >+等价于()()232f x f x >+又∵ ()f x 在[)0+∞，上为增函数，且220x +>，30x ≥. ∴ 232x x >+，即：2320x x -+<，解得：12x <<，即21x -<<-或12x <<。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)05 函数与方程(原卷版)

考点05 函数与方程一、考纲要求1、了解二次函数的零点与相对应的一元二次方程的根的联系·2、了解二分法求方程近似解的过程·3、会用函数的图像理解和研究函数的性质·4、掌握数形结合的思想，以及能运用数形结合解决一些函数问题。

二、近五年高考分析函数与方程的思想是数学的四大思想之一，也体现了数形结合的思想，是近几年江苏高考的热点也是江苏高考的重点，经常体现在填空题的后几天或者大题的压轴题。

通过近几年江苏高考不难发现高考对函数的方程即函数的零点以及函数的性质等是函数重点考查的内容，在复习中要重点关注。

三、考点总结在高考复习中要注意以下几点：①要熟悉一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数等基本函数的图像，会处理含义绝对值函数的图像，等根据函数的图像的变换处理一些较为复杂的函数的图像问题。

②解决函数零点问题要用到以下方法（1）直接法，即求方程的根·（2）定理法，利用函数零点存在性定理估计零点的范围。

（3）数形结合，即与函数的图像结合找出函数的零点。

③正确掌握函数与方程的思想，能正确的对函数与图像进行转化。

能借助于图像解决函数与方程的问题。

四、五年真题1、（2019年江苏卷）.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.2、（2018年江苏试卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．3、（2017年江苏试卷）设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，()2,,x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩,其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．4、（2015年江苏试卷）已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤1，|x 2－4|－2， x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．五、三年模拟题型一：判断函数零点个数问题1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为2、(2017南通期末）已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥2，则函数y＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．题型二：函数的图像问题1、(2019扬州期末）已知函数f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（－x ＋1）－1，x ∈[－1，k]，－2|x －1|，x ∈（k ，a]，若存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a 的取值范围是________．3.(2018苏锡常镇调研）已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是．4、2017南京学情调研）已知函数()312,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．题型三：根据函数零点确定参数问题1、(2019宿迁期末）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，1≤x<2，2f ⎝⎛⎭⎫12x ，x≥2，如果函数g(x)＝f(x)－k(x －3)恰有2个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________.2、(2019通州、海门、启东期末）函数f(x)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ，x<－1，e x－|x －a|，x≥－1有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．3、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （3－x ），0≤x≤3，－3x ＋1，x>3，若函数y ＝f(x)－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．4、(2018镇江期末）已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x≤0，|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．5.(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ，x≥0，t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．6.(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x≤0(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．7、(2017苏州暑假测试）已知函数()31,1,11x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤≤⎩若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．。

2020学年度高三数学第一轮复习函数试题苏教版

2020学年度高三数学第一轮复习函数试题(考试时间:120分钟,满分:150分)一、选择题（每小题5分，共60分）1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么它在区间[-7，-3]上是（）（A ）增函数且最小值为-5 （B ）增函数且最大值为-5 （C ）减函数且最小值为-5 （D ）减函数且最大值为-5 2.若-1<x<0，那么下列各不等式成立的是（）（A ）2-x <2x <0.2x （B ）2x <0.2x <2-x（C ）0.2x <2-x <2x （D ）2x <2-x <0.2x3．函数y=log a 2(x 2-2x-3)当x<-1时为增函数，则a 的取值范围是（）（A ）a>1 （B ）-1<a<1 （C ）-1<a<1且a ≠0 （D ）a>1或a<-1 4．函数f(x)的图像与函数g(x)=(21)x 的图像关于直线y=x 对称，则f(2x-x 2)的单调减区间为（）（A ）（0，1）（B ）[1，+∞）（C ）（-∞，1］（D ）[1，2）5．设函数f(x)对x ∈R 都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（）（A ）0 （B ）9 （C ）12 （D ）186．已知f(x)=log 21x,则不等式[f(x)]2>f(x 2)的解集为（）（A ）（0，41）（B ）（1，+∞）（C ）（41，1）（D ）（0，41）⋃（1，+∞）7．函数f(x)=log a 1+x ,在（-1，0）上有f(x)>0，那么（）（A ）f(x)(- ∞,0)上是增函数（B ）f(x)在（-∞，0）上是减函数（C ）f(x)在（-∞，-1）上是增函数（D ）f(x)在（-∞，-1）上是减函数 8．若函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则（）（A ）f(3)+f(4)>0 （B ）f(-3)-f(-2)<0 （C ）f(-2)+f(-5)<0 （D ）f(4)-f(-1)>09．.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≤≤-)02(6)30(222x x x x x x 的值域是（）（A ）R （B ）[-9，+∞）（C ）[-8，1] （D ）[-9，1]10．若U=R ，A=,1)21()3)(2(⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+x x x B={}2)(log 3<-a x x ，要使式子A ⋂B=φ成立，则a 的取值范围是（）(A)-62-≤≤a (B)-11<3<a(C)a 113≤≥a 或 (D)-113≤≤a11．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低31，现在价格8100元的计算机15年后的价格为（）（A ）300元（B ）900元（C ）2400元（D ）3600元12．某种细菌在培养过程中，每15分种分裂一次（由1个分裂为2个），经过两小时，1个这种细菌可以分裂成（）（A ）255个（B ）256个（C ）511个（D ）512个二、填空题（每小题4分，共16分） 13．若f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是。

江苏高考数学复习函数与方程专题强化练习(附答案)

江苏高考数学复习函数与方程专题强化练习（附答案）函数的思想是用运动和变化的观念、集合与对应的思想,去剖析和研讨数学效果中的数量关系，以下是函数与方程专题强化练习，希望对考生温习数学有协助。

一、选择题1.(文)曲线y=xex+2x-1在点(0，-1)处的切线方程为()A.y=3x-1B.y=-3x-1C.y=3x+1D.y=-2x-1[答案] A[解析] k=y|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3，切线方程为y=3x-1，应选A.(理)(2021吉林市质检)假定函数f(x)=2sinx(x[0，])在点P 处的切线平行于函数g(x)=2(+1)在点Q处的切线，那么直线PQ的斜率()A.1B.C. D. 2[答案] C[解析] f(x)=2cosx，x[0，]，f(x)[-2,2]，g(x)=+2，当且仅当x=1时，等号成立，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么由题意知，2cosx1=+，2cosx1=2且+=2，x1[0，]，x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.[方法点拨] 1.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f (x0)就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k=f (x0).2.求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法(1)切点P(x0，y0)，求y=f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程;(2)切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，经过方程k=f (x0)解得x0，再由点斜式写出方程;(3)切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，应用导数求得切线斜率f (x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.3.假定曲线的切线与直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f (x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程.4.(1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以此题的易错点是把点Q作为切点.因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P能否在曲线上.2.f(x)为定义在(-，+)上的可导函数，且f(x)ef(0)，f(2021)e2021f(0)B.f(1)e2021f(0)C.f(1)ef(0)，f(2021)0，即F(x)在xR上为增函数，F(1)F(0)，F(2021)F(0)，即，f(1)ef(0)，f(2021)e2021f(0).[方法点拨] 1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内，假设f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增.假设f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减.2.应用导数研讨函数的单调性的步骤.(1)找出函数f(x)的定义域;(2)求f(3)在定义域内解不等式f (x)0，f (x)0.3.求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f (x)0或f (x)0.4.假定函数的单调性求参数的值或取值范围，只需转化为不等式f (x)0或f (x)0在单调区间内恒成立的效果求解，解题进程中要留意分类讨论;函数单调性效果以及一些相关的逆向效果，都离不开分类讨论思想.3.(2021新课标理，12)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x0时，xf(x)-f(x)0，那么使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-，-1)(0,1)B.(-1,0)(1，+)C.(-，-1)(-1,0)D.(0,1)(1，+)[答案] A[解析] 考察导数的运用.记函数g(x)=，那么g(x)=，由于当x0时，xf(x)-f(x)0，故当x0时，g(x)0，所以g(x)在(0，+)上单调递减;又由于函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-，0)上单调递减，且g(-1)=g(1)=0.当00，那么f(x)当x-1时，g(x)0，那么f(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(-，-1)(0,1)，应选A.[方法点拨] 1.在研讨函数的性质与图象，方程与不等式的解，不等式的证明等效果中，依据解题的需求可以结构新的函数g(x)，经过研讨g(x)的性质(如单调性、极值等)来处置原效果是常用的方法.如在讨论f (x)的符号时，假定f (x)的一局部为h(x)，f (x)的符号由h(x)所决议，那么可转化为研讨h(x)的极(最)值来处置，证明f(x)g(x)时，可结构函数h(x)=f(x)-g(x)，转化为h(x)的最小值效果等等. 2.运用函数与方程思想处置函数、方程、不等式效果，是多元效果中的罕见题型，罕见的解题思绪有以下两种：(1)分别变量，结构函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解.(2)换元，将效果转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而结构函数加以处置.3.有关二次方程根的散布效果普统统过两类方法处置：一是根与系数的关系与判别式，二是结合函数值的符号(或大小)、对称轴、判别式用数形结合法处置.4.和函数与方程思想亲密关联的知识点函数y=f(x)，当y0时转化为不等式f(x)0.数列是自变量为正整数的函数.直线与二次曲线位置关系效果常转化为二次方程根的散布效果.平面几何中有关计算效果，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解.5.留意方程(或不等式)有解与恒成立的区别.6.含两个未知数的不等式(函数)效果的罕见题型及详细转化战略：(1)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值g(x)在[c，d]上的最大值.(2)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值g(x)在[c，d]上的最小值.(3)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最小值g(x)在[c，d]上的最小值.(4)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)g(x2)f(x)在[a，b]上的最大值g(x)在[c，d]上的最大值.(5)x1[a，b]，当x2[c，d]时，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域与g(x)在[c，d]上的值域交集非空.(6)x1[a，b]，x2[c，d]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.(7)x2[c，d]，x1[a，b]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.4.(文)函数y=f(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数y=f (x)的图象如以下图所示，那么该函数的图象是() [答案] B[解析] 此题考察原函数图象与导函数图象之间的关系.由导数的几何意义可得，y=f(x)在[-1,0]上每一点处的切线斜率逐突变大，而在[0,1]上那么逐突变小，应选B. (理)(2021石家庄市质检)定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如以下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，那么函数S(x)的导函数S(x)的大致图象为()[答案] D[解析] A、B为定点，|AB|为定值，ABC的面积S(x)随点C 到直线AB的距离d而变化，而d随x的变化状况为增大减小0增大减小，ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形;然后ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.[方法点拨] 1.由导函数的图象研讨函数的图象与性质，应留意导函数图象位于x轴上方的局部对应f(x)的增区间，下方局部对应f(x)的减区间，与x轴的交点对应函数能够的极值点，导函数的单调性决议函数f(x)增长的速度;2.由函数的图象确定导函数的图象时，应留意观察函数的单调区间、极值点，它们依次对应f(x)的正负值区间和零点，图象上开或下降的快慢决议导函数的单调性.5.常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f(x)，f(x)0的解集为{x|-23}，假定f(x)的极小值等于-115，那么a的值是()A.-B.C.2D.5[答案] C[解析] 依题意得f(x)=3ax2+2bx+c0的解集是[-2，3]，于是有3a0，-2+3=-，-23=，b=-，c=-18a，函数f(x)在x=3处取得极小值，于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115，-a=-81，a=2，应选C.二、解答题6.(文)函数f(x)=x3-3x2+ax+2，曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明：当k1时，曲线y=f(x)与直线y=kx-2只要一个交点.[剖析] (1)由导数的几何意义可把斜率用a来表示，再由斜率公式可求出a的值;(2)把曲线与直线只要一个交点转化为函数只要一个零点作为本问的切入点，应用分类讨论的思想和应用导数判别函数的单调性来判别所设函数的单调性，从而得出此函数在每个区间的单调状况，进而求出零点个数，处置本问.[解析] (1)f(x)=3x3-6x+a，f(0)=a，由题设得-=-2，所以a=1.(2)由(1)知，f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题设知1-k0.当x0时，g(x)=3x2-6x+1-k0，g(x)单调递增，g(-1)=k-10，g(0)=4，所以g(x)=0在(-，0]上有独一实根.当x0时，令h(x)=x3-3x2+4，那么g(x)=h(x)+(1-k)xh(x). h(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，所以g(x)h(2)=0，所以g(x)=0在(0，+)上没有实根.综上，g(x)在R上有独一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只要一个交点.(理)函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明：当x0时，x21，转化为证明x2lnx+lnk成立.结构函数h(x)=x-2lnx-lnk求解.[解析] (1)由f(x)=ex-ax，得f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1，得a=2.所以f(x)=ex-2x，f(x)=ex-2.令f(x)=0，得x=ln2.当xln2时，f(x)0，f(x)单调递增;所以当x=ln2时，f(x)有极小值.且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4，f(x)无极大值.(2)令g(x)=ex-x2，那么g(x)=ex-2x.由(1)得，g(x)=f(x)f(ln2)=2-ln40，即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)=10，所以当x0时，g(x)0，即x20时x20时，x21，要使不等式x2kx2成立，而要使exkx2成立，那么只需xln(kx2)，只需x2lnx+lnk成立，令h(x)=x-2lnx-lnk，那么h(x)=1-=，所以当x2时，h(x)0，h(x)在(2，+)内单调递增取x0=16k16，所以h(x)在(x0，+)内单调递增又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k易知klnk，kln2,5k0，所以h(x0)0.即存在x0=，当x(x0，+)时，恒有x20.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性;(2)证明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在区间(1，+)内有独一解.[解析] 此题主要考察导数的运算、导数在研讨函数中的运用、函数的零点等基础知识，考察推实际证才干、运算求解才干、创新看法，考察函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.(1)由，函数f(x)的定义域为(0，+)，g(x)=f(x)=2(x-1-lnx-a)，所以g(x)=2-=.当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递减，当x(1，+)时，g(x)0，g(x)单调递增.(2)由f(x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得a=x-1-lnx，令(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx ，那么(1)=10，(e)=2(2-e)0，于是，存在x0(1，e)，使得(x0)=0.令a0=x0-1-lnx0=u(x0)，其中u(x)=x-1-lnx(x1)，由u(x)=1-0知，函数u(x)在区间(1，+)上单调递增，故0=u(1)即a0(0,1).当a=a0时，有f(x0)=0，f(x0)=(x0)=0再由(1)知，f(x)在区间(1，+)上单调递增.当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)当x(x0，+)时，f(x)0，从而f(x)又当x(0,1]时，f(x)=(x-a0)2-2xlnx0，故x(0，+)时，f(x)0.综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在区间(1，+)内有独一解.(理)(2021江苏，19)函数f(x)=x3+ax2+b(a，bR).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)假定b=c-a(实数c是与a有关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰恰是(-，-3)，求c的值. [解析] 考察应用导数求函数单调性、极值、函数零点. (1)先求函数导数，经过讨论导函数零点求解;(2)经过结构函数，应用导数与函数关系求解.(1)f(x)=3x2+2ax，令f(x)=0，解得x1=0，x2=-.当a=0时，由于f(x)=3x20，所以函数f(x)在(-，+)上单调递增;当a0时，x(0，+)时，f(x)0，x(-，0)时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，+)上单调递增，在上单调递减;当a0时，x(-，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(-，0)，上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)=b，f=a3+b，那么函数f(x)有三个零点等价于f(0)f=ba3+b0，从而或.又b=c-a，所以当a0时，a3-a+c0，或当a0时，a3-a+c0.设g(a)=a3-a+c，由于函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰恰是(-，-3)，那么在(-，-3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立，从而g(-3)=c-10，且g=c-10，因此c=1.此时，f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a]，因函数有三个零点，那么x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根，所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30，且(-1)2-(a-1)+1-a0，解得a(-，-3)1，，+.综上c=1.[方法点拨] 用导数研讨函数综合题的普通步骤：第一步，将所给效果转化为研讨函数性质的效果.假定已给出函数，直接进入下一步.第二步，确定函数的定义域.第三步，求导数f (x)，解方程f (x)=0，确定f(x)的极值点x=x0.第四步，判别f(x)在给定区间上的单调性和极值，假定在x=x0左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)为极大值，反之f(x0)为极小值，假定在x=x0两侧f (x)不变号，那么x=x0不是f(x)的极值点.第五步，求f(x)的最值，比拟各极值点与区间端点f(a)，f(b)的大小，最大的一个为最大值、最小的一个为最小值. 第六步，得出效果的结论.8.济南市两会召开前，某政协委员针对自己提出的环保提案对某处的环境状况停止了实地调研，据测定，该处的污染指数与左近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成正比，比例常数为k(k0).现相距36km的A、B两家化工厂(污染源)的污染强度区分为正数a、b，它们连线上恣意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).(1)试将y表示为x的函数;(2)假定a=1时，y在x=6处取得最小值，试求b的值.[解析] (1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处污染指数y=+(00，即f(x)0，故f(x)为增函数;当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数;由f(x)在[3，+)上为减函数，知x2=3，解得a-，故a的取值范围为.[方法点拨] 1.应用导数研讨函数最值的普通步骤(1)求定义域;(2)求导数f (3)求极值，先解方程f (x)=0，验证f (x)在根左右两侧值的符号确定单调性，假定在x=x0左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)为极大值，反之f(x0)为极小值，假定在x=x0两侧f(x)的值不变号，那么x=x0不是f(x)的极值点;(4)求最值，比拟各极值点与区间[a，b]的端点值f(a)、f(b)的大小，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.f(x)在某区间上的极值或极值的存在状况，那么转化为方程f (x)=0的根的大小或存在状况.函数与方程专题强化练习及答案的全部内容就是这些，更多精彩内容请考生关注查字典数学网。

2020高考江苏数学(理)大一轮复习：册答案PDF

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专题5 函数图象与方程--2020届高三数学江苏版一轮复习考点总结与专题训练含解析答案

专题4 函数图像与方程考点函数的图像识图常用方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．【考点针对训练】1..函数的大致图象为【答案】①【解析】令，则，即函数的图像关于原点对称，排除选项③,④;当2π=x 时，，排除选项②；所以选①.2．在下列A 、B 、C 、D 四个图象中，大致为函数的图象的是．【答案】A【解析】首先注意到函数是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，因此排除B 和D ，再当x=5时，y=25-52=7>0,故排除C ，从而选A ．【考点】判断方程根的个数有关问题【备考知识梳理】方程()0f x =的根的个数等价于函数()y f x =的图象与x 轴的交点个数，若函数()y f x =的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题．【规律方法技巧】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【考点针对训练】1.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且，设若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是【答案】33[,]22- 【解析】2．设函数，函数，则方程实数根的个数是_____________个.【答案】2【考点】与方程根有关问题【备考知识梳理】（１）方程()0f x =有实根Û函数()y f x =的图象与x 轴有交点Û函数()y f x =有零点．（２）如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c (a b)∈，，使得f (c) = 0，这个c 也就是方程f (x) = 0的根【规律方法技巧】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【考点针对训练】1.已知函数，关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b的范围为 .【答案】19]42.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于___________________.【答案】6【解析】函数的图像关于直线x=1对称，函数的图像也关于直线x=1对称，画出图像，两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6．专题训练1．【江苏省南通市2019届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】已知函数满足，当时，，若函数恰有个零点，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：函数恰有个零点，等价于与有个交点，画出图象，结合图象列不等式求解即可.详解：，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．2．【江苏省苏州市2019届高三调研测试（三）数学试题】如果函数在其定义域内总存在三个不同实数，满足，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】分析：将题意转化为在R上有三个不同的实数根.，设，由导数与函数单调性的关系，大致判断的单调性，由大致图象即可求出.点睛：（1）零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．（2）求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.3．【江苏省盐城中学2019届高三考前热身2数学试卷】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为____．【答案】.【解析】试题分析：求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．详解：函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，就是h（x）=|f（x）|﹣3x与y=﹣b有3个交点，点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 4．【江苏省南京师大附中2019届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：，点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．5．【江苏省海门中学2019届高三5月考试（最后一卷）数学试题】已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是______.【答案】.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．【江苏省扬州树人学校2019届高三模拟考试（四）数学试题】已知等边的边长为2，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是__________．【答案】.设，则函数在区间上有两个不同的零点，∴，解得．∴实数的取值范围是．点睛：（1）用定义进行向量的数量积运算时，有时要注意选择合适的基底，将所有向量用同一基底表示，然后再根据数量积的运算律求解．（2）对于一元二次方程根的分布问题，可根据“三个二次”间的关系，结合二次函数的图象转化为不等式（组），通过解不等式（组）可得所求．7．【江苏省扬州树人学校2019届高三模拟考试（四）数学试题】已知函数（，为正实数）只有一个零点，则的最小值为__________．【答案】.点睛：应用基本不等式求最值时，一定要满足不等式成立的条件，即“一正、二定、三相等”，若题目中不满足使用基本不等式的条件，则需要通过“拆”、“拼”、“凑”等手段进行变形，以得到能使用不等式的条件，然后再利用不等式．8．【江苏省南京市2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知为自然对数的底数．若存在，使得函数在上存在零点，则的取值范围为_________．【答案】【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.详解:由题得存在，使得函数在上存在零点，所以存在,使得,所以,令直线y=ax+b,则两个函数的图像存在一个交点，当直线y=ax+b过点（1，e）,(0,-3e)时，此时a最大，此时b=-3e,a=4e，所以a≤4e.点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.9．【江苏省2019年高考冲刺预测卷一数学】已知，若函数且有且只有五个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可知，是的一个零点，当式，由可得：令，则当时，，当时，在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，同一坐标系中作出和的图象由图可知，有且只有五个零点需满足则的取值范围是点睛：本题考查了函数的零点问题，先求出一个零点，然后分离含参量，转化为两个函数的交点问题，利用导数求出函数的单调性，画出函数图像，数形结合，求出有四个交点的情况，即最值问题。

精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第八节函数与方程学案理含解析

第八节函数与方程．函数的零点()函数零点的定义()()对于函数＝，我们把使＝()的零点．的实数叫做函数＝()几个等价关系函数＝()⇔()的图象与方程＝有实数根()轴零点．函数＝有有交点⇔()函数零点的判定(零点存在性定理)在区间如果函数＝，()[，那么，函]＜()·()上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)∈内有零点，即存在()数＝(在区间(，也就是方程()＝的根．，，这个)＝，使得()．二次函数＝＋＋(＞)的图象与零点的关系[小题体验]．(·苏州调研)函数＝－的零点是．答案：．函数()＝＋－的零点个数是．答案：．(·海门中学月考)若方程－＝的解所在的区间是(，＋)，则整数＝.解析：令()＝－－，根据方程－＝的解所在的区间是(，＋)，()在(，＋)上单调递减，可得()＝－－在区间是(，＋)上有唯一零点，故有()(＋)＜，再根据(－)＝＞，(－)＝－＜，可得＝－.答案：－．函数()的零点是一个实数，是方程()＝的根，也是函数＝()的图象与轴交点的横坐标．．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]．函数()＝(－)(－＋)的零点为．答案：－，，．给出下列命题：①函数()＝－的零点是(－)和()；②函数＝()在区间(，)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有()·()＜；③二次函数＝＋＋(≠)在－＜时没有零点；④若函数()在(，)上单调且()·()＜，则函数()在[，]上有且只有一个零点．其中正确的是(填序号)．答案：③④函数零点所在区间的判定)[题组练透]．已知定义在上的函数()图象的对称轴为＝－，且当≥－时，()＝－.若函数()在区间(－，)(∈)上有零点，则的值为．解析：当≥－时，由()＝－＝，解得＝.因为＜＜，即函数的零点所在的区间为()，所以＝.又函数()的图象关于＝－对称，所以另外一个零点在区间(－，－)上，此时＝－.答案：－或．设()＝＋－，则函数()的零点所在的区间为．解析：函数()的零点所在的区间转化为函数()＝，()＝－＋图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图所示，可知()的零点所在的区间为()．答案：()．函数()＝－－在区间[]上(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：因为()＝－×－＝－＜，()＝－×－＝＞，所以()·()＜，又()＝－－在区间[]的图象是连续的，故()＝－－在区间[]上存在零点．法二：令()＝，得－－＝，所以(－)(＋)＝.因为＝∈[]，＝－∉[]，所以()＝－－在区间[]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数()的零点所在区间的种常用方法()定义法：使用零点存在性定理，函数＝()必须在区间[，]上是连续的，当()·()＜时，函数在区间(，)内至少有一个零点．()图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()＝()－()，作出＝()和＝()的图象，其交点的横坐标即为函数()的零点．判断函数零点个数)[典例引领]．(·全国卷Ⅲ)函数()＝在[，π]的零点个数为．解析：由题意可知，当＋＝π＋(∈)时，()＝.∵∈[，π]，∴＋∈，∴当＋取值为，，时，()＝，即函数()＝在[，π]的零点个数为.答案：．函数()＝(\\( －＋，＞，＋，≤))的零点个数是．解析：当＞时，由－＋＝，得＝－.作出函数＝，＝－的图象(图略)，由图象可知有两个交点．当≤时，由＋＝，解得＝－.所以函数的零点个数是.答案：[由题悟法]判断函数零点个数的种方法()方程法：令()＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．()零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[，]上是连续不断的曲线，且()·()＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．()数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]．(·上海徐汇区检测)定义在上的偶函数＝()，当≥时，()＝(－＋)，则()在上的零点个数为．解析：当≥时，()＝(－＋)，由(－＋)＝，得－＋＝，解得＝或＝.因为函数＝()是定义在上的偶函数，所以函数的零点个数为.答案：．函数()＝＋－的零点个数为．解析：因为′()＝＋＞，所以()在上单调递增，又()＝－＜，()＝－＞，所以函数在区间()上有且只有一个零点．答案：函数零点的应用)[典例引领](·南通中学高三学情调研)已知函数()＝(\\(－＋，＜，－，≥，))若函数＝(())－有个不同的零点，则实数的取值范围是．解析：当＜时，()＝－＋＞，此时(())＝(－＋)－＝－，当≤＜时，()＝－＜，此时(())＝－(－)＋＝－＋，当≥时，()＝－≥，此时(())＝(－)－＝－，所以函数＝(())＝(\\(－，＜，,－＋，≤＜，－，≥，))画出函数＝(())的图象如图所示．结合图象可知，若函数＝(())－有个不同的零点，则＜≤，即＜≤，所以实数的取值范围是.答案：[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用方法．(·南京、盐城高三一模)设函数()是偶函数，当≥时，()＝(\\(－，≤≤，,－()＋，＞，))若函数＝()－有四个不同的零点，则实数的取值范围是．解析：作出当≥时()的图象，根据偶函数的图象关于轴对称可得＜时的图象，由图象可得∈.答案：．(·启东中学检测)已知()＝－－，若函数＝(－)＋·－＋(＞)有三个不同的零点，则实数的取值范围是．解析：设＝－，≥，则函数＝(－)＋·－＋＝＋(－)＋－.设()＝＋(－)＋－，若函数()有三个不同的零点，则方程()＝有两个不等的实数解，，且解的情况有如下三种：①∈(，＋∞)，∈()，此时有()＞，且()＜，解得＜＜.②＝，∈()，此时由()＝，得＝，所以()＝－，即＝，不符合∈();③＝，∈()，此时由()＝，得＝，所以()＝－＋，即＝，符合∈()．综上，实数的取值范围是.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快．已知函数()＝＋的零点为，则实数的值为．解析：由已知得()＝，即＋＝，解得＝－.答案：－．已知关于的方程＋－＝的一个根比大，另一个根比小，则实数的取值范围是．解析：设函数()＝＋－，则根据条件有()＜，即＋－＜，解得＜.答案：(－∞，)．已知函数()＝(\\(－，＞，,－＋＋，≤，))若()＝－，(－)＝，则函数()＝()＋的零点个数为．解析：依题意得(\\(＝－，,－－＋＝，))由此解得＝－，＝－.由()＝得()＋＝，该方程等价于(\\(＞，,－＋＝，))①或(\\(≤，,－－－＋＝.))②解①得＝，解②得＝－或＝－.因此，函数()＝()＋的零点个数为.答案：．(·连云港调研)已知函数()＝－＋有一个零点，则实数的取值范围为．解析：由已知，函数()＝－＋有一个零点，即函数＝－和＝的图象有个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为＝＋，过点(，)的直线方程为＝＋，所以满足条件的的取值范围是＝－或－＜≤ .答案：{－}∪(－，]．(·苏州质检)已知函数()＝－，则()在[π]上的零点个数为．解析：作出()＝与()＝的图象如图所示，可以看到其在[π]上的交点个数为，所以函数()在[π]上的零点个数为.答案：．(·泰州中学上学期期中)已知函数＝()的周期为，当∈[－]时，()＝，那么函数＝()的图象与函数＝的图象的交点共有个．解析：在同一直角坐标系中分别作出＝()和＝的图象，如图，结合图象知，共有个交点．答案：二保高考，全练题型做到高考达标．设为函数()＝＋－的零点，且∈(，)，其中，为相邻的整数，则＋＝.解析：函数()＝＋－为上的单调增函数，又()＝＋－＝－＜，()＝＋－＝＞，所以()·()＜，故函数()＝＋－的零点在区间()内，故＝，＝，＋＝.答案：．(·镇江中学检测)已知函数()＝＋－的零点为，不等式－＞的最小的整数解为，则＝.解析：函数()＝＋－为上的单调增函数，又()＝－＜，()＝＞，所以函数()＝＋－的零点满足＜＜，故满足＜的最小的整数＝，即－＝，所以满足不等式－＞的最小的整数解＝.答案：．已知方程＋＝的解在[)内，则的取值范围为．解析：令函数()＝＋－，则()在上是增函数．当方程＋＝的解在()内时，()·()＜，即(－)(－)＜，解得＜＜.当()＝时，＝.综上，的取值范围为[)．答案：[)．(·太原模拟)若函数()＝(－)＋＋(＋)的两个零点分别在区间(－)和区间()内，则实数的取值范围是．解析：依题意并结合函数()的图象可知，(\\(≠，－＜，＜，))即(\\(≠，,[－－＋＋＋＜，,[－＋＋＋－＋＋＋＜，))解得＜＜.答案：．(·无锡期末)设函数()＝(\\(，≥，＋，＜，))若方程()－＝恰好有个零点，则实数的取值范围为．解析：当≥时，方程()－＝变为－＝，解得＝；当－＜＜时，方程()－＝变为[(＋)－]＝，解得＝或＝－.因为()－＝恰好有个零点，所以≥，且－＜－＜，解得＜＜，故实数的取值范围为()．答案：()．(·镇江调研)已知为常数，函数()＝(\\((＋－)，≤，，＞，))若关于的方程()＝＋有且只有个不同的解，则实数的取值范围为．解析：作出函数＝()的大致图象如图所示，若关于的方程()＝＋有且只有个不同解，当直线＝＋与＝的图象相切时，设切点为(，)，可得＝，＝的导数为′＝(＞)，可得＝，则＝＋，解得＝，＝－，则实数的取值范围为(，－)．答案：(，－)．(·苏州调研)已知函数()＝(\\( ，＞，＋，≤，))若直线＝与＝()交于三个不同的点(，())，(，())，(，())(其中＜＜)，则＋＋的取值范围是．解析：由已知条件可得(\\(＋＝，＝，))所以(\\(＋()＝，,( )＝，))所以＋＋＝＋)，令()＝＋)，当()＝，＞与＝相切时，由′()＝，得＝，又＝，解得＝，所以要满足题意，则＜＜.由′()＝＋)＞，所以()＝＋)在(，)上单调递增，所以()＝＋＋∈.答案：．(·南京、盐城一模)设()是定义在上的奇函数，且()＝＋，设()＝(\\(，＞，－，≤，))若函数＝()－有且只有一个零点，则实数的取值范围是．解析：因为()为奇函数，所以(－)＝－()，即－＋·＝－(＋·－)，解得＝－，故()＝(\\(－－，＞，－－，≤，))作出函数()的图象(如图所示)．当＞时，()单调递增，此时()＞；当≤时，()单调递减，此时()≥－，所以当∈时，＝()－有且只有一个零点．答案：．已知二次函数()＝＋(－)＋－，()判断命题：“对于任意的∈，方程()＝必有实数根”的真假，并写出判断过程；()若＝()在区间(－)及内各有一个零点，求实数的取值范围．解：()“对于任意的∈，方程()＝必有实数根”是真命题．依题意，()＝有实根，即＋(－)－＝有实根，因为Δ＝(－)＋＝(＋)≥对于任意的∈恒成立，即＋(－)－＝必有实根，从而()＝必有实根．()依题意，要使＝()在区间(－)及内各有一个零点，只需即(\\(－＞，－＜，,()－＞，))解得＜＜.故实数的取值范围为.．(·通州中学检测)已知二次函数()＝＋＋，()＝＋＋.若函数()有两个不同零点，，函数()有两个不同零点，.()若＜＜，试比较，，的大小关系；()若＝＜，，，∈(－∞，)，＝＝，求证：＝＝.解：()因为函数()的图象开口向上，且零点为，，故()＜⇔∈(，)．因为，是()的两个不同零点，故()＝()＝.因为＜＜，故()＜＝()，于是(－)＜.注意到≠，故－＜.所以()－()＝(－)＜，故()＜()＝，从而∈(，)，于是＜＜.()证明：记＝＝，故()＝＋＋＝，()＝＋＋＝，于是(－)＝.因为≠，且≠，故＝.所以()＝()且图象开口向上．所以对∀∈(－∞，)，′()递增且′()＜，()递减且()＞.若＞，则′()＜′()＜，＞＞，从而()＞()＞，故＞.同上，当＞时，可推得＞.所以＞＞＞，矛盾．所以＞不成立．同理，＞亦不成立．所以＝.同理，＝.所以＝＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·镇江期中)函数()＝(\\( ＋，＞，,－－－，≤，))若关于的方程()＋()＋＋＝有个不同的实数根，则实数的取值范围是．解析：令＝()，则原方程等价于＋＋＋＝.作出函数()的图象如图所示．由图象可知，当＞，－≤＜－时，函数＝和＝()各有两个交点，要使方程()＋()＋＋＝有个不同的实数根，则方程＋＋＋＝有两个根，，且＞，－≤＜－.令()＝＋＋＋，则由根的分布可得(\\(－＝＋≥，－＝＋＜，＝＋＜，))解得－≤＜－.答案：．(·南京调研)设函数()＝＋(－)·－(∈，∈)．()若()是偶函数，求不等式()＞的解集；()设不等式()＋()≤的解集为，若∩[]≠∅，求实数的取值范围；()设函数()＝λ()－()－，若()在∈[，＋∞)上有零点，求实数λ的取值范围．解：()因为()是偶函数，所以(－)＝()恒成立，即－＋(－)·＝＋(－)·－，所以＝.由＋－＞，得·－·＋＞，解得＜或＞，即＜－或＞，所以不等式()＞的解集为{＜－或＞}．()不等式()＋()≤，即为－－＋·≤，所以≤，即≤＋·－.令＝，∈[]，则∈，设()＝＋－，∈，则()＝＝.由∩[]≠∅，即不等式()＋()≤在[]上有解，则需≤()，即≤.所以实数的取值范围为.()函数()＝λ(－－)－(＋－)－在∈[，＋∞)上有零点，即λ(－－)－(＋－)－＝在∈[，＋∞)上有解，因为∈[，＋∞)，所以－－＞，所以问题等价于λ＝在∈[，＋∞)上有解．令＝，则≥，令＝－，则在∈[，＋∞)上单调递增，因此≥，λ＝.设()＝＝＋，则′()＝－，当≤≤时，′()≤，即函数()在上单调递减，当≥时，′()≥，即函数()在[，＋∞)上单调递增，所以函数()在＝时取得最小值，且最小值()＝，所以()∈[，＋∞)，从而满足条件的实数λ的取值范围是[，＋∞)．。

江苏省2020届高三数学高考一轮复习函数与方程专题

函数y=f(x)的零点函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标方程f(x)=0的实数根函数与方程一.知识梳理1.一元二次方程与相应二次函数的图象关系 △ =b 2－4ac △＞0 △= 0 △＜ 0ax 2+bx+c=0 (a>0)的根两个不相等实数根x 1, x 2 两个相等实数根 x 1= x 2 没有实数根y= ax 2 +bx+c (a>0)的图象函数的图象与x 轴的交点(x 1,0) , (x 2,0)(x 1,0)没有交点2.函数的零点：对于函数y=f (x )，我们把使f (x )=0的实数x 叫做函数y=f (x )的零点轴交点的横坐标，是具体的数，而不是点4.主要思想：数形结合，转化思想，方程函数思想5.函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

定理推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。

二.课堂练习1. 已知函数f(x)满足f(x +1)=−f(x)，且当0≤x ≤1时，f(x)=x −x 2，则当x ∈[−12,52]时，方程8f(x)+1=0的实数解的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知函数f(x)=e x −ex +a 与的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A. (−∞,−e] B. (−∞,−1]C. [−1,+∞)D. [−e,+∞)yxx 1 x20 xyxxy3. 对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )=0}，β∈{x |g (x )=0}，若存在α,β，使得|α−β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”.若函数f (x )=e x−1+x −2与g (x )=x 2−ax −a +3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A. [2,4]B. [2,73]C. [73,3]D. [2,3]4. 已知函数f(x)={|log 3x|,x >0x 2+4x +1,x ⩽0，函数F (x )=f (x )−b 有四个不同的零点x 1、x 2、x 3、x 4，且满足：x 1<x 2<x 3<x 4，则x4x 3−x 1x 32+x 2x 322的取值范围是( )A. [2√2,+∞)B. (3,839]C. [3,+∞)D. [2√2,839]5. 函数f(x)=2x |log 0.5x|−1的零点个数为．6. 若方程3−b2−2bcosx −2sin 2x =0(x ∈[−π2,π2])有两个不同的实数解，则b 的取值范围是_____．7. 设函数f(x)={−x 2+2x,x ≥0−2x,x <0，若方程f(x)−kx =3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是______．8. 已知函数f(x)={x 3, x >0ax +|x +2|, x <0，若函数y =f(x −1)+f(1−x)恰有4个零点，则实数a 的取值范围是．9. 已知函数f(x)=e x (e x −λcosx) −1，且曲线y =f(x)在x =0处的切线经过点(1,6)． (1)求实数λ的值； (2)若函数g(x)=f(x)e x，试判断函数g(x)的零点个数并证明．10. 已知函数f(x)=x(1−sinx)． (1)求函数f (πx )在(−20,20)上的零点之和； (2)证明：f(x)在(0,π2)上只有1个极值点．三.例题选讲【例1】已知函数f(x)=e x sinx.(e是自然对数的底数)(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)=f(x)−2x，证明g(x)在(0,π)上只有两个零点．(参考数据：eπ2≈4.8)【参考】解：(1)f(x)=e x sinx，定义域为R．f′(x)=e x(sinx+cosx)=√2e x sin(x+π4).由f′(x)<0得sin(x+π4)<0，解得Z).∴f(x)的单调递减区间为[3π4+2kπ,7π4+2kπ](k∈Z).(2)证明：∵g′(x)=e x(sinx+cosx)−2，令g′(x)=e x(sinx+cosx)−2=m(x)∴m′(x)=2e x cosx.∵x∈(0,π)，∴当x∈(0,π2)时，m′(x)>0;当x∈(π2,π)时，m′(x)<0．∴g′(x)在(0,π2)上单调递增，在(π2,π)上单调递减，又∵g′(0)=1−2<0，，，∴∃x1∈(0,π2)，x2∈(π2,π)，使得g′(x1)=0，g′(x2)=0，且当x∈(0,x1)或x∈(x2,π)时，g′(x)<0:当x∈(x1,x2)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0,x1)和(x2,π)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增．∵g(0)=0，∴g(x1)<0．∵g(π2)=eπ2−π>0，∴g(x2)>0，又∵g(π)=−2π<0，由零点存在性定理得，g(x)在(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点，∴函数g(x)在(0,π)上有两个零点．【解析】本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性及函数的零点问题【例2】已知函数f(x)=(x −1)ln x +ax 2+(1−a)x −1．(1)当a =−1时，判断函数的单调性； (2)讨论f(x)零点的个数．【参考】解：(1)因为a =−1，所以f(x)=(x −1)lnx −x 2+2x −1=(x −1)(lnx −x +1)，又f′(x)=lnx −2x −1x +3，设ℎ(x)=lnx −2x −1x +3，又ℎ′(x)=1x −2+1x 2=(2x+1)(1−x)x 2，所以ℎ(x)在(0,1)为单调递增，在(1,+∞)为单调递减，所以ℎ(x)的最大值为ℎ(1)=0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减；(2)因为f(x)=(x −1)(lnx +ax +1)，所以x =1是f(x)一个零点，设g(x)=lnx +ax +1，所以f(x)的零点个数等价于g(x)中不等于1的零点个数再加上1，(ⅰ)当a =−1时，由(1)可知，f(x)单调递减，又x =1是f(x)零点，所以此时f(x)有且只有一个零点； (ⅱ)当a ≥0时，g(x)单调递增，又g(1) > 0， g(x)=lnx +ax +1<2(x−1)x+1+ax +1=ax 2+(a+3)x−1x+1(0<x <1)，又ax 2+(a +3)x −1<(a +4)x 2+(a +3)x −1=[(a +4)x −1](x +1)，所以g(1a+4)<0，综上可知，g(x)在(0,+∞)有一个零点且g(1)≠0，所以此时f(x)有两个零点； (ⅲ)又g′(x)=ax+1x，所以当−1<a <0，g(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a ,+∞)单调递减， g(x)的最大值为g(−1a )=ln(−1a )>0，又g(x)<2(x−1)x+1+ax +1<2(x−1)x+1+1=0，g(13)<0，又g(1e )=ae <0，所以g(x)在(0,−1a )有一个零点，在(−1a ,+∞)也有一个零点且g(1)≠0，所以此时，f(x)共有3个零点； (ⅳ)又g′(x)=ax+1x ，所以当a <−1时，g(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a ,+∞)单调递减，g(x)的最大值为g(−1a )=ln(−1a )<0，所以g(x)没有零点，此时，f(x)共有1个零点．综上所述，当a ≤−1时，f(x)共有1个零点；当−1<a <0时，f(x)共有3个零点；当a ≥0时，f(x)有两个零点．【解析】本题考查学生利用导数研究函数的单调性，函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，化归与转化思想，考查运算化简的能力和逻辑推理能力【例3】已知f(x)=|x −1|+1，F(x)={f(x),x ≤3,12−3x,x >3.(1)解不等式f(x)≤2x +3；(2)若方程F(x)=a 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f(x)=|x −1|+1={x(x ≥1)−x +2(x <1)，①当x ≥1时，解不等式x ≤2x +3得：x ≥1，②当x <1时，解不等式−x +2≤2x +3得：−13≤x <1，综合①②得：不等式f(x)≤2x +3的解集为：[−13,+∞)． (2)F(x)={|x −1|+1,x ≤312−3x,x >3，即F(x)={2−x,x <1x,1≤x ≤312−3x,x >3．作出函数F(x)的图象如图所示：当直线y =a 与函数y =F(x)的图象有三个公共点时，方程F(x)=a 有三个解，所以1<a <3．所以实数a 的取值范围是(1,3)．【解析】本题考查了分段函数及数形结合的思想方法五.课后练习1. 用二分法求方程lgx =3−x 的近似解，可以取的一个区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)2.设函数f(x)=(x−2018)(x−2019)+12020，有()A. 在定义域内无零点；B. 存在两个零点，都在(2018,2019)内；C. 存在两个零点，且分别在(−∞,2017)、(2017,+∞)内；D. 存在两个零点，且分别在(−∞,2018),(2019,+∞)内.3.（多选）设有下面四个命题，其中真命题是()A. a>1，b>1是ab>1的必要不充分条件B. ∃x∈(0,1)，log1e x>log1πxC. 函数f(x)=2x−x2有两个零点D. ∀x∈(0,1π)，(12)x<log1πx4.（多选）已知函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3，则下列说法正确的是()A. 函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点B. 函数y=f(x)的最小值为—4C. 函数y=f(x)的的最大值为4D. 函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称5.（多选）函数，函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，则实数m可以是()A. −1B. 0C. 1D. 26.已知函数f(x)=2x+a2x(x∈R)为偶函数．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)证明f(x)在[0,+∞)上为增函数；(Ⅲ)若关于x的方程λf(2x)+f(x)−3=0有两个不等的实根，求实数λ的取值范围．7.已知函数(1)当x∈[0,π2]时，求ƒ(x)的值域；(2)解不等式：ƒ(x)+1≥0；(3)若x∈[0,π3]时，方程ƒ(32x−π3)=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围。

2020江苏高考数学(理)(提高版)大一轮复习课件：第2章第13课函数与方程

已知关于x的方程x2－2ax＋a＋2 ＝ 0 的两个实数根是 α，β，且有1<α<2<β<3，则实数 a的取值范围是____2_，__15_1_____．
【解答】令 f (x)＝x2－2ax＋a＋2，由实根分布知 f (1)>0，f (2)<0，f (3)>0，所以 a＜3，a＞2，a＜151，所以 2＜a＜151.故实数 a 的取值范围是2，151.
(第3题)
4. 若函数 f (x) ＝ ax－x－a(a>0 且 a≠1) 有两个零点，则实数
第二章函数与基本初等函数Ⅰ 第13课函数与方程
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激活思维 1. (必修 1P75 例 1 改编)对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若 ac<0，则该函数的零点个数是____2____．【解析】可由一元二次方程的判别式得 Δ＝b2－4ac.又因为 ac<0，所以 Δ>0，此方程有两个不相等的实数根，即有两个零点．
其中 k 为整数，则 k 的值为____2____．
3
【解析】因为f
(2)＝1－log42＝
1 2
>0，f
(3)＝
2 3
－log43＝log4
16 3
<0，且函数
f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以k＝2.
零点个数的判断函数f (x)＝x－2＋2＋2xl－n x3，，xx>≤0 0，的零点个数为___2_____．【思维引导】令 f (x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.所以函数f (x)有两个零点．