巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题

巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题

【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。

关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例

一、方程思想是什么呢？

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

二、勾股定理与方程思想的地位与作用

勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。

三、初中数学中的折叠问题

折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。

4、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．数学中的折叠问题是近年来中考的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力，空间想象能力以及所学有关知识的灵活应用能力，图形中往往出现直角三角形，这就需要利用勾股定理来解决，本文借助两道例题，从折叠问题中求有关线段的长度出发，由浅入深地讲解在直角三角形中，如何将方程的思想应用于勾股定理，将问题化繁为简，并且让“数”和“形”自然的结合起来。

四、巧用方程的思想与勾股定理解决折叠问题

（一）直角三角形中的折叠

例1如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE,则CD的长为________.

【分析】：折叠意味着轴对称，折叠前后的图形全等，会得到对应的线段和对应的角相等，在明确已知条件，求解问题之间的联系，将条件集中于直角三角形中，便可利用勾股定理求解。

解：设CD=xcm,则DB=(10-x)cm,如图

由题意，根据折叠的性质，

△ADE≌△BDE,

则AD=BD=10-x, 且 AC=5.

在Rt△ACD中，由勾股定理得，

AD2=AC2+CD2，

（10-x）2=52+x2,

x=15/4.

（二）长方形（矩形）中的折叠

例2 如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知

AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。

【分析】：因为折叠得到的△AEF 与原△AED 全等，所以AF =AD =10cm，在Rt△ABF中，由

勾股定理,求得BF的长度。进而得出CF=BC—BF=10-6=4，在Rt△ECF中,设CE= x，则EF=8﹣x，利用勾股定理列出方程, CE的长度

解：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD=CB=10cm，AB=DC=8cm，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，

由折叠可得：△AFE≌△ADE 全等，其中AF=AD=10cm，EF=DE，∠AFE=90°，并且EF＋

EC=DC=8cm。

∵在Rt△ABF 中，由勾股定理得：

=100-64=36

∴BF=6cm

则CF=BC—BF=10-6=4cm，

在Rt△FEC中，可以设EC=xcm，则EF=(8－x)cm，

根据勾股定理可以得EC2＋FC2=EF2，

即x2＋42=（8－x）2,x=3，

∴EC的长为3cm.

【归纳总结】在折叠问题中勾股定理与方程思想有着非常广泛的应用。在这类问题中常通过折叠的条件得出相等的线段,再通过勾股定理直接求出未知线段或通过勾股定理列出方程求出未知线段。利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：

（1）根据折痕找到折叠前后的全等三角形，找对应的边相等；

（2）标出题目中的已知线段，求出所能算出的边，标出题目中所有可以表示出的线段；（3）标明问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数。

（4）利用勾股定理，列出方程，解方程，最后得出解。

五、结束语

勾股定理是数学中的一个重要定理，方程思想是数学中的一种重要思想。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,体现了数学形结合的思想，方程的思想与勾股定理在折叠问题中有着非常广泛的应用。在这类问题中常通过折叠的条件得出相等的线段,再通过勾股定理直接求出未知线段或通过勾股定理列出方程求出未知线段。当它们“强强联手”后，我们能感受到双剑合璧，出手不凡的效果，所以我们在平时的教学和技巧过程中，要注重积累、掌握这方面的思想和技巧。

思想方法是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识，灵活运用数学思想方法是提高学生数学素养和数学能力的根本。若干年后，我们做过的题目可能会忘记，但留在我们脑海里的是数学思想方法。