巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
解决特殊平行四边形中折叠问题的4种方法
解决特别平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特别平行四边形中的折叠问题1、如图1－ZT－１,将矩形AＢCD沿EＦ折叠,使顶点C恰好落在ＡB边的中点Ｃ′上、若ＡＢ=6,BC＝９,则ＢＦ的长为()图1－ZT-1Ａ、4 B、3 2C、4、５D、５2、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为ＥF、若AＢ＝3 cm,BＣ＝５cm,则重叠部分△ＤEＦ的面积是______＿＿cm2、:学*科＊网Ｚ＊X＊X*K]图1－ZＴ—２３。
如图１－ZT—3,将长方形纸片ABＣD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线D′处、若AB＝3,ＡＤ＝4,则ED的长为()图1—ＺT-３A、＼f(3,2)B、3C。
１D。
＼f(４,3)［来源:1]4。
如图1-ZT-４,折叠矩形ABCD的一边AＤ,使点D落在BC边上的点F处,已知折痕AE=5 5 ｃm,且EC∶ＦC=BF∶AB=3∶４、那么矩形ABCD的周长为______＿＿cｍ、图１—ZＴ-4５、如图1-ZT—５,在矩形ＡBCD中,点E在边ＣD上,将该矩形沿ＡE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作ＦG∥CD,交AE于点G,连接DG、(1)求证:四边形DEFＧ为菱形;(２)若ＣD=8,CF＝4,求CEDＥ的值。
图1-ZT-５►方法二用数形结合思想解决特别平行四边形中的折叠问题6。
如图1—ＺT—6,在矩形ABCＤ中,AB＝4,BＣ=6,Ｅ为BC的中点,将△ABＥ沿AＥ折叠,使点Ｂ落在矩形内点F处,连接CF,则ＣＦ的长为()图1－ZT-6A、95B。
＼f(1２,5)C、＼f(1６,５)D、＼f(18,5)7。
如图１—ZT－7,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AＥ折叠(点E在边ＤC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处、若点Ｄ的坐标为(10,８),则点E的坐标为＿＿______、图1-ZT－78、如图１－ZT－8,在矩形ABＣD中,AＢ=6 cｍ,E,F分别是边BC,AＤ上一点,将矩形AＢCD沿ＥF折叠,使点C,Ｄ分别落在点C′,D′处、若Ｃ′E⊥ＡD,则ＥＦ的长为＿＿______ｃm。
人教版八年级数学下册《勾股定理的应用——折叠问题》教学设计
义务教育课程标准试验教科书数学八年级下册第十七章《勾股定理》习题课勾股定理的应用——折叠问题教学设计一．教学目标：知识与技能1、学习利用方程思想，转化思想，勾股定理解决折叠问题中边长问题。
2、识别三角形，四边形折叠中经典问题。
3、学会运用折叠解决折叠中综合题。
过程与方法1 经历探究勾股定理在折叠问题中的应用过程，进一步体会勾股定理在折叠问题中发挥的作用。
2 通过解决问题的过程，树立类比转化的思想，方程的思想。
情感态度与价值观1 在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2 体会勾股定理的应用价值，增加学生应用数学知识解决问题的经验。
3 学习过程中体会获得成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣和信心。
二重点难点1 重点：运用勾股定理解决折叠问题。
2 难点：利用轴对称找到数量关系，列出方程。
三 教学准备：导学案 课件四 教学设计：（一）复习回顾：填空：1 在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，那么三边a,b,c 之间的关系为( ）。
2 轴对称的定义：平面内如果把一个图形沿着某一条直线折叠后能够与另一个图形（ ），那么这两个图形关于这条直线（ ），这条直线叫（ ），折叠后重合的点叫 （ ）。
设计意图：学生回顾勾股定理的内容和轴对称定义，为本节课利用这些知识点做好铺垫。
二 具体探究过程：（一）折叠三角形探究一（一次折叠）如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长 设计意图: 由学生小组合作完成，引导学生主动探究，养成良好的思维习惯，培养与他人合作交流的意识，激发学生强烈的求知欲。
让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。
A CB解:设CD=x,在R t ∆ABC 中，AC=6，BC=8，易求AB=10由折叠可知，DE=CD=x,AE=AC=6, BE=4,DB=8－x,在 R t ∆DEB 中 x ²+4²=(8－x)²,解得x=3, CD=3 探究二：（二次折叠）如图，∆ABC 中，AB=AC=13，BC=10，将AB 向AC折叠到CA 边上，折痕为CE，求∆ACE 的面积分析：这道题是两次折叠，已知条件也较上题复杂，仍让学生小组合作探究，找学生到前面给大家讲解，提高学生分析问题解决问题的能力。
勾股定理应用折叠专题教学设计
成都市七中育才学校学道分校教学设计课题勾股定理应用——折叠专题授课人张舟教学环节教师活动学生活动活动目标多媒体、教具应用及分析新课导入播放”折纸艺术欣赏“视频折纸与一数学定理密切相关。
该定理不仅引导了无理数的发现，引起了第一次数学危机，它更是被誉为“几何学的基石”，建立了数与形之间的桥梁，在求线段的长度时发挥着重要的作用。
聪明的你们知道它是什么定理吗？学生观看视频并猜想激发学生学习兴趣，拓展学生对勾股定理的认识并提高学生审美能力。
利用计算机播放视频，体验视觉冲击，导入新课。
应用勾股定理探究折叠问题请同学们，将手中的矩形折叠，若已知边长为6、8，你知道重叠部分的面积吗？折叠纸片，并在学案上计算重叠部分的面积。
分享求解方法。
通过折叠纸片，学生切身体会折叠的基本性质，为求解线段长度奠定基础。
调动学生一起动手展开探究，并分享求解方法，培养学生的表达能力。
利用纸片折叠，形象地让学生体会折叠过程，并用几何画板展示，进一步体会折叠过程。
展开矩形纸片，再折叠，使AB落在对角线AC上G点处，得折痕AF，你知道折痕的长度吗？折叠纸片，并在学案上计算折痕长度。
分享求解方法。
请同学们总结：折叠问题中求线段长度的方法总结：利用折叠性质转化相等线段、设元表示相关线段、应用勾股定理建立等式、求解线段长度。
加强同学对求线段长度方法的掌握，在总结方法过程中培养学生数学思想，如转化思想、方程思想。
板书的同时，利用多媒体展示，引起学生的注意，强化学生对方法总结的认识将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使D落在BC 边上的中点E 处，点A落在A'处，折痕为MN。
1〉求线段CN的长。
2〉求MN 的长。
3〉求MA 的长。
先独立完成练习、再小组讨论并展示学生利用手中的纸片，通过实验完成探究。
矩形ABCD中，AB=3，BC=4点E 是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使B落在B'处，当三角形CEB'为直角三角形时，求BE的长。
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
折叠问题中的“变”与“不变”
折叠问题中的“变”与“不变”折叠问题是初中数学中的一个典型知识，它能极好地锻炼学生的观察能力、分析能力、综合能力和思考能力，尤其在直角三角形、矩形中出现最为常见。
此问题中所包含的方程思想、转化思想更是我们在日常学习中接触到的。
在《勾股定理》的讲授过程中，我全面地总结了各种常见的折叠情况，总结如下，希望能对相互交流，对学生的学习有一些裨益。
1、如图1，把一张长方形纸条，如图1那样折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？（冀教版八年级（上）P67）解：∵纸条是矩形，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵折叠∴∠3＝∠2 ∴∠1＝∠3，∴是等腰三角形。
2、如图2，在长方形ABCD 中，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm 。
将AD 沿直线AF 折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求BE 、CF 的长。
解： AE=AD=10cm ，AB=8cm ，则在RT △ABE 中，根据勾股定理，BE 2=102-82=36，BE=6cm ,CE=10-6=4cm而在折叠过程中，DF=EF ，CF=8-DF ， 设CF=x ，则EF=8-x ， 在RT △CEF 中，根据勾股定理， (8-x)2=42+x 2 ,解之，得x=3 。
这样，在折叠过程中我们会观察到图形是有变形了，但一些“不变”的量，包括线段、角，在新的图形中出现了新的数量关系，分析出它们，我们会发现问题会迎刃而解。
如上题中的AE=AD ，EF=DF ，∠D ＝∠AEF ，∠DAE ＝∠EAF 等等，3、如图3，矩形ABCD 纸片长AD=9cm ，宽AD=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，则折叠后DE 的长是多少？ 解：折叠后出现的特点是BE=DE ，CD=BD ′=3，∠D ′=∠D ，同时， 设DE=x ，则AE=9-x ， 在RT △ABE 中，根据勾股定理，x 2=(9-x)2+32，解之，x=5 4、如图4，有一块RT △纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将纸片沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且点C 与点E 重合，求CD 的长。
《勾股定理》典型例题折叠问题
《勾股定理》典型例题折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=4 BC=8将△ABCW叠，使点B与点A重合, 折痕为DE则CD等于（）A. 25B. 22C. 7D. 54 3 4 32、如图所示，已知△ ABC中，/C=90° , AB的垂直平分线交BC?于M交AB于N,若AC=4MB=2MC求AB的长.3、折叠矩形ABCD勺一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM CF和EC4、如图，在长方形ABCLfr, DC=5在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABCff叠，使点D 恰好在BC边上，设此点为F,若4ABF的面积为30,求折叠的^ AED勺面积5、如图，矩形纸片ABCD勺长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE 的长是多少？6、如图，在长方形ABCDK 将ABCS AC对折至AEC位置, CE与AD交于点F。
(1)试说明：AF=FC (2)如果AB=3, BC=4求AF的长7、如图2所示，将长方形ABCDS直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm AB=8cm则图中阴影部分面积为8、如图2-3,把矩形ABCDS直线BD向上折叠，使点C落在C'的位置上，已知AB=?3, BC=7重合部分△ EBD勺面积为.9、如图5,将正方形ABCDT 叠，使顶点A 与CD4上白t 点M 重合，折痕交AD 于E,交BC 于 F,边AB 折叠后与BC 边交于点 G 如果M 为CD 边的中点，求证：DE DM EM=3 4: 5。
2-5,长方形ABCDfr, AB=3, BC=4若将该矩形折叠，使C 点与A 点重合，？则折2-51-3-11 ,有一块塑料矩形模板ABCD 长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合）,在AD 上适当移动三角板顶点P:①能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点C?若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B,另一 直角边PF 与DC 的延长线交于点Q,与BC 交于点E,能否使CE=2cm 若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.10、如图 叠后痕迹 EF 的长为（）11、如图 C12、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB AC边上的点，且DEL DF,若BE=12 CF=5.求线段EF的长13、如图，公路MNF口公路PQ&点P处交汇，且/QPN= 30°，点A处有一所中学，AP= 160ml 假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN±?吉PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h, 那么学校受影响的时间为多少秒?《勾股定理》典型复习题一、知识要点：1、勾股定理2、勾股定理的逆定理3、勾股数满足a2+ b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题(解析版)
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，将△ABC 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，AD 是折痕，则△BDE 的周长为( )A ．6B ．8C ．12D ．14【答案】C【分析】 利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．【解析】在Rt△ABC 中，△AC =6，BC =8，△C =90°，△AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ，△BE =4，△△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12．故选：C ．【小结】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cm 2D ．5cm 2【答案】C【分析】 先根据勾股定理求出BC 的长度，再由折叠的性质可得CE=DE ，设CE x =，然后在Rt BDE 中利用勾股定理即可求出x 的值.【解析】△90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =△4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中△222DE BD BE +=△2222(4)x x +=- 解得32x =故选C【小结】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键.3．如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为A．5B．4C．4. 25D．154【答案】D【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解析】由折叠的性质可得AE=A1E，△△ABC为等腰直角三角形，BC=6，△AB=6，△A1为BC的中点，△A1B=3，设AE=A1E=x，则BE=6-x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=154，故选：D．【小结】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．4．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（）A．2B．52C．32D．3【答案】C【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG=AB=3，从而求出DG=2，最后再用勾股定理求解即可．【解析】在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，△BD=5由折叠得，△BGE=△A=90°，BG=AB=3，EG=AE，△DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE，在Rt△DEG中，EG2+DG2=DE2，△AE2+4=（4-AE）2，△AE=32．故选：C．【小结】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使边AD与对角线BD重合，点A落在点A′处，折痕为DG，则AG的长为( )A．2B．1C．43D．32【答案】D【解析】【分析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出△ADG△△A′DG，继而得A′G=AG，A′D=AD，A′B=BD-A′G，再Rt△A′BG根据勾股定理构建等式求解即可.【解析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出：△ADG△△A′DG ，△A′G=AG ，A′D=AD=3，A′B=BD -A′G=5-3=2，BG=4-A′G在Rt△A′BG 中，BG 2=A′G 2+A′B 2可得：（4−A′G)2=A′G 2+22，解得A′G=32，则AG=32，故选：D ．【小结】本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG△△A′DG 是解决的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，△A ＝△B ＝90°，△C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】A【分析】作DG△BC ，连接AE ，先根据Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出AB=BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，再根据勾股定理在Rt△ABE 列出方程进行求解.【解析】作DG△BC ，连接AE ，在Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，设BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，在Rt△ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2，即(8-x)22+x 2故选A.【小结】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.7．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【解析】在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，△AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，△FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，△CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，故选C．【小结】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．8．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点AB C'=，则AM的长是（）的对应点为A'，且3A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】C【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【解析】连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，△MB=MB′，△AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，【小结】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．9．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A B C ．2 D 【答案】D【分析】 首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【解析】设AG ＝x ，△四边形ABCD 是矩形，△△A ＝90°，△AB ＝4，AD ＝3，△BD 5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，△DA′G ＝△A ＝90°，△△BA′G ＝90°，BG ＝AB -AG ＝4-x ，A′B ＝BD -A′D ＝5-3＝2，△在Rt△A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，△x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， △AG ＝32，△在Rt△ADG 中，DG =【小结】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．如图，正方形ABCD 的边长为8，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ＝EC ，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据折叠可得DH ＝EH ，在直角△CEH 中，设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，根据BE ＝EC ，可得CE ＝4，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH 的长．【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，△BC ＝8，△BE ＝EC ＝4，在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2+CH 2，△（8﹣x ）2＝42+x 2，解得：x ＝3，即CH ＝3．故选：A ．【小结】本题考查以正方形为背景的折叠问题，掌握正方形的性质，和折叠的轴对称性质，会利用中点求线段的长，会找问题所在的直角三角形，会利用勾股定理解决问题是关键．11．如图，把直角△ABC 沿AD 折叠后，使点B 落在AC 边上点E 处，若AB=6，AC=10，则CDE S =（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】D【分析】 由勾股定理求出BC 的长，再由折叠性质求出EC 的长、证明△DEC 是直角三角形、CD+DE=BC=8，由勾股定理列出关于DE 的方程，求出DE 后，由面积公式求出CDE S ∆【解析】△△ABC 是直角三角形，AB=6，AC=10由勾股定理得：BC= 8，由折叠可知：AE=AB=6，DE=BD ，△AED=△B=90°，△EC=AC -AE=10-6=4，设BD=x ，则DE=x ，，CD=8-x ，在Rt△CDE 中，222EC DE CD +=，即2224(8)x x +=-，解得x=3，即DE=3，所以△CDE 的面积为：3422DE EC ⋅⨯==6． 故选：D△【小结】本题考查用勾股定理计算直角三角形边长．本题中Rt△CDE△△△△△△△△△△△△EC=4，和其它两边△△△△△△△△△DE+CD=8，此时列方程就很关键了．12．如图，将直角△ABC 沿AD 对折，使点C 落在AB 上的E 处，若AC=6，AB=10，则DB 的长度是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．5【答案】D【分析】根据折叠对应边相等，找出对应边，再根据小直角三角形的三边关系即可求出．【解析】△直角△ABC 沿AD 对折，AC=6，AB=10△AE=AC=6，BE=4，DE=DC ，，△BED=△C=900在直角△DEB 中DE 2+BE 2=BD 2△42+（8-BD ）2=BD 2 解得BD=5故选D ．【小结】本题主要考察了勾股定理等知识点，准确找出对应边和找出新的直角三角形是解题关键．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点是点B '，当点B '落在边AD 上时，8AE =，6BB '=，则边AB 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【分析】 由翻折可知，AE BB BF B F ''⊥=，，再根据平行四边形对边平行的性质，解得AB B B BE ''∠=∠，进而证明()BFE B FA ASA '≅，根据全等三角形对应边相等的性质，可解得AF EF =，结合已知条件及勾股定理，可解题．【解析】根据翻折的性质，可知AE BB BF B F ''⊥=，在平行四边形ABCD 中，//AB BE 'AB B B BE ''∴∠=∠AFB BFE '∠=∠()BFE B FA ASA '∴≅AF EF ∴=8AE =，6BB '=，43AF BF ∴==，，由勾股定理得5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查翻折、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．如图，平行四边形纸片ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，将平行四边形纸片沿对角线BD 拆叠，使点C 落在平面上的点C '处，若45AOB ∠=︒，1AC =，则点A ，C '之间的距离是（ ）A ．1B C ．D 【答案】D【分析】 连接A C '，由折叠的性质，解得O C '的长，45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒，根据三角形内角和180°，解得90AOC ∠'=︒，最后根据勾股定理解题即可．【解析】连接A C '，根据折叠的性质可知1122OC OC AO AC '==== 45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒ 18090AOC AOB C OD ∴∠'=︒-∠-∠'=︒在t AO R C '中AC '= 故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．如图，长方形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为（ ）A ．254B ．6C ．74D ．234【答案】A【分析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，利用矩形纸片ABCD 中，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，由勾股定理求AF 即可．【解析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，△矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，△DF=D′F ，在Rt△AD′F 中，△AF 2=AD′2+D′F 2，△x 2=62+（8-x ）2，解得：x=254， 故选：A ．【小结】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．16．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】 根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中利用勾股定理解决．【解析】在RT△ABC 中，△AC ＝6，BC ＝8，△AB =10，△ADE 是由△ACD 翻折，△AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中，△DE 2＋EB 2＝DB 2，△x 2＋42＝（8−x ）2△x ＝3，△CD＝3．故选：B．【小结】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．17．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm2【答案】C【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解析】将此长方形折叠，使点B与点D重合，△BE=ED．△AD=9cm=AE+DE=AE+BE．△BE=9-AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．△△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【小结】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE 的长是（）A ．3B ．3.5C ．3.75D ．4【答案】C【分析】 由勾股定理求解AB ，由对折可得,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==- 利用勾股定理求解x ，再利用勾股定理可得答案．【解析】90,6,8,C BC AC ∠=︒==10,AB ∴===由折叠可得：,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==-()22286,x x ∴-+= 25,4x ∴=15 3.75,4DE ∴==== 故选C ．【小结】本题考查的是求一个数的算术平方根，轴对称的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD 中，8BC =，6CD =，将ABE △沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则折痕BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D【分析】 由折叠性质，可知BEF BAE ≅，根据勾股定理，计算BD 的长，进而计算FD 的长，设EF AE x ==，再用勾股定理解得AE 的长，最终求BE 的长．【解析】在矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，由折叠可得BEF BAE ≅，EF BD AE EF AB BF ∴⊥==，，，在t R ABD 中，AB=CD=6,BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF AE x ==，则8ED x =-，根据勾股定理得：2224(8)x x +=-，解得：3x ，=BE ∴=故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．如图，点F 是长方形ABCD 中BC 边上一点将△ABF 沿AF 折叠为△AEF ，点E 落在边CD 上，若AB ＝5，BC ＝4，则BF 的长为（ ）A ．73B ．52C ．136D ．56【答案】B【分析】根据矩形的性质可得CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°，由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF，利用勾股定理即可求出DE，从而求出CE，设BF=EF=x，利用勾股定理列出方程即可求出结论．【解析】△四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝4，△CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF在Rt ADE中，3=△CE=CD－DE=2设BF=EF=x，则CF=4－x在Rt CEF中，CF2＋CE2=EF2即（4－x）2＋22=x2解得x=5 2即BF=5 2故选B．【小结】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键．21．如图，ABC 中，△C=90°，AC=3，AB = 5，点D 是边BC 上一点，若沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（）A．2B．52C．3D．103【答案】B 【分析】根据勾股定理，求出BC 的长度，设 BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE= 4-x ，BE=2，在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，根据勾股定理即可求出x 的值，即BD 的长度．【解析】△△C= 90°，AC=3，AB=5∴BC= ，设BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE=DC=4-x ，AE=AC=3，△AED= △C=90°，△ BE= AB -AE = 2．在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，即：222x =2(4-x)+，解得：x=52， 即BD=52， 故选：B ．【小结】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键在于写出直角三角形BDE 三边的关系式，即可求出答案．22．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若△1＝40°，则△AEF 的度数为（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】C【分析】 如图，设B 的对应点为K ．由AD△BC ，推出△AEF+△BFE=180°，求出△BFE 即可解决问题．【解析】如图设B 的对应点为K ．△△BFE ＝△EFK ，△1＝40°，△△BFK ＝180°﹣40°＝140°，△△BFE ＝70°，△AD △BC ，△△AEF +△BFE ＝180°，△△AEF ＝110°，故选：C ．【小结】本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质是解题的关键．23．在矩形纸片ABCD 中，6,10AB AD ==．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 根据翻折的性质，△当P 与B 重合时，可得BA′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A′C ，△当Q 与D 重合时，根据勾股定理，可得A′C ，根据线段的和差，可得答案．【解析】△当P 与B 重合时，BA′＝BA ＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，△当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA′8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC 边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B ．【小结】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．24．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为（ ）A ．45B ．35C ．23D ．34【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD ，△A=△CDE ，CE△AB ，Rt△ABC 中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F 的长．【解析】△Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，△AB ＝5，根据折叠的性质可知AC ＝CD ，△A ＝△CDE ，CE △AB ，△B ′D ＝BC ﹣CD ＝4﹣3＝1，△DCE +△B ′CF ＝△ACE +△BCF ，△△ACB ＝90°，△△ECF ＝45°，△△ECF 是等腰直角三角形，△EF ＝CE ，△EFC ＝45°，△△BFC ＝△B ′FC ＝135°，△△B ′FD ＝90°，△S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ， △AC •BC ＝AB •CE ，△CE ＝125，△EF ＝125，ED ＝AE 95=， △DF ＝EF ﹣ED ＝35△B ′F 45=． 选：A ．【小结】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．25．如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上．将AEF 沿EF 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点G 处．若45A ∠=︒，AB =5BE AE =，则AF 长度为（ ）A．152 B ．7 C ．6 D ．【答案】A【分析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，分别求出BN 、EN 、AM 、BM ，继而在Rt△GEN 中求出GN 的值，设FM=BH =x ，在Rt△GFH 中，由勾股定理列方程解出x ，即可得出结果．【解析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，如图1所示：则BM△BC ，BM=FH ，FM=BH ，由折叠的性质得：AE=GE= GF=AF ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，△△EBN=△A=45°，△△ABM 和△BEN 是等腰直角三角形，△BN=EN=，AM=BM= ， △FH=6，在Rt△GEN 中，由勾股定理得：12+GN 2= 2，解得：GN=±7（负值舍去），△GN=7，设FM=BH =x ，则GH=7-1-x=6-x ，GF=AF=x+6，在Rt△GFH 中，由勾股定理得：62+（6-x ）2=（x+6）2， 解得：x=32， △AF=32+6=152； 故选：A ．【小结】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（ ）A ．5B ．4C ．133D ．143【答案】C【分析】 由折叠可得△AEF△△DEF ，可知AE=DE ，由点 D 为边 BC 的中点，可求CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．【解析】 △将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ， △△AEF△△DEF ，△AE=DE ，△点 D 为边 BC 的中点， △CD=118422CB =⨯=， 设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理，222CD CE DE +=即()22246x x +-=， 解得133x =． 故选择：C ．【小结】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．27．如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，5AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点E 在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．【解析】如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，即52=（5-EB）2+32，解得EB=1，如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，△3-1=2，△点E在BC边上可移动的最大距离为2．故选：B．【小结】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．28．如图，已知ABCD 是长方形纸片，3CD =，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且6AFB S =△，则AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256 C ．43 D ．23 【答案】B 【分析】根据面积求出BF 、AF 、CF ，设DE 为x ，列方程求出即可．【解析】ABCD 是长方形纸片，△AB=CD=3，12AFB S AB BF =⋅△， △1632BF =⨯⋅， △BF=4，△AF=5=，△AF=AD=BC=5，CF=1，设DE 为x ，EF=DE=x ，EC=3-x ，x 2=(3-x)2+1，解得，x=53， △1152552236AED S AD ED ∆=⋅=⨯⨯=， 故选：B ．【小结】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．29．如图，点A是y正半轴上一点，点B是x负半轴上一点，3BC=，AB=，点C（在B的右边）在x轴上，且5点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（）A．（0，2）B．（0，2.4）C．（0，2.5）D．（0，1.8）【答案】B【分析】由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．【解析】△将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，△AB＝AE=3，△EC≥AC-AE，△当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，如图，△CE的最小值为1，△AC＝4，△AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，△OC=3.2,OA＝2.4，△点A坐标为（0，2.4），故选：B．【小结】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI ＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2B．52C．4D．6【答案】D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝【解析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，△AB=，AC=，BC=，△△BAC＝90°，△AB2+AC2＝BC2，△2a2+2b2＝2c2，△a2+b2＝c2，△将等腰Rt△ADB 和等腰Rt△AFC 按如图方式叠放到等腰Rt△BEC ，△BG ＝GH ＝a ，△S 四边形GHCE ＝S 四边形GKJE +S 四边形KHCJ ＝9， △12（a +c ）（c ﹣a ）＝9， △c 2﹣a 2＝18，△b 2＝18，△b ＝△AC =＝6，故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．31．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点，连接EF ，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使得点A 落到边CD 上的点A '处，且2DA A C '='，则折痕EF 的长度为（ ）A ．B ．C D【答案】A【分析】 由2DA A C '='，6DC =，可求出DA '，A C '的长，再根据折叠和勾股定理可求出DF 和FA '，依据三角形相似可求出NC 、NA '，进而求出MF ，最后根据勾股定理求出EF ．【解析】如图，过点E 作EM AD ⊥，垂足为M ，2DA A C ''=，6DC =， 243DA DC '==，123A C DC '==，由折叠得，AF FA ='，6AB A B =''=， 设DF x =，则8FA FA x ='=-， 在Rt DFA ∆'中，由勾股定理得， 2224(8)x x +=-，解得3x =，即3DF =，835FA FA ∴='=-=，1809090NA C DA F ∠'+∠'=︒-︒=︒，90NA C A NC ∠'+∠'=︒， DA F A NC ∴∠'=∠'，90C D ∴∠=∠=︒，∴△A NC '∽△FA D '， ∴A C NC A N FD A D FA ''==''，即2345NC A N '==， 解得83NC =，103A N '=， 108633B N A B A N NC ∴'=''-'=-==， ∴△()A CN ENB AAS '≅∆'，103EN A N ∴='=， 108633EC EN NC MD ∴=+=+==， 633MF ∴=-=，在Rt EFM ∆中，EF == 故选：A ．【小结】 本题考查矩形的性质、折叠轴对称、相似三角形、全等三角形以及勾股定理等知识，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是得出答案的前提，建立图形中线段之间的关系是解决问题的关键．32．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把△ACD 沿AD 翻折，得到△AD C '，D C '与AB 交于点E ，连结B C '，若BD ＝B C '＝2，AD ＝3，则点D 到A C '的距离( )AB C D 【答案】B【分析】连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，证BDC '∆为等边三角形，利用解直角三角形求出1DM =，C M '=2AM =，在Rt 'AC M ∆中，利用勾股定理求出AC '的长，在ADC '∆中利用面积法求出DH 的长．【解析】如图，连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，2BD BC ='=，D 是AC 边上的中点，2BD DC ==，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，2DC DC '∴==，AC AC '=，CM C M '=，2BD BC DC '∴='==，BDC '∴∆为等边三角形，60BDC BC D C BC '''∴∠=∠=∠=︒，DC DC '=，160302DCC DC C ''∴∠=∠=⨯︒=︒，在Rt △C DM '中，30DC C '∠=︒，2DC '=，1DM ∴=，C M '=312AM AD DM ∴=-=-=，在Rt 'AC M ∆中，AC ==' 1122ADC S AC DH AD CM ∆''==， ∴3=DH =， 故选：B ．【小结】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．二、填空题33．如图，AD 是ABC 的中线，45ADC ∠=︒，10BC =，把ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在点C '处，那么BC '的长为________．【答案】【分析】由题意可得BD=CD=5，根据折叠的性质可得CD=C'D=5，△ADC=△ADC'=45°，根据勾股定理可求BC'的长．【解析】△AD 是ABC 的中线，10BC =，△BD=CD=5，△把ABC 沿直线AD 折叠，△CD=C'D ，△ADC=△ADC'=45°，△BD=C'D=5，△BDC'=90°，=故答案为：【小结】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．34．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==,折叠纸片，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕BE 与AC 交于点E ，则折痕BE 的长为_____________；【答案】4【分析】根据勾股定理求得BC =AB =△CBE=△ABE=12△ABC=30°，继而证得BE=AE ，在Rt△BCE 中，利用勾股定理列方程即可求得答案．【解析】在Rt△ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==，设BC x =，则2AB x =，△222BC AC AB +=，即()22262x x +=，解得：x =△BC =AB =△折叠△ABC 纸片使点C 落在AB 边上的D 点处，△△CBE=△ABE ，在Rt△ABC 中，△A=30°，△△ABC=60°， △△CBE=△ABE=12△ABC=30°，△△ABE=△A=30°，△BE=AE ，在Rt△BCE 中，△C=90°，BC =6CE AC AE BE =-=-，△222BC CE BE +=，即(()2226BE BE +-=， 解得：4BE =．【小结】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度的直角三角形的性质以及折叠的性质，利用勾股定理构建方程求线段的长是解题的关键．领会数形结合的思想的应用．35．如图，在长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ΔABE 的面积为________cm 2.【答案】6【解析】【分析】由折叠的性质可知AE 与BE 间的关系，根据勾股定理求出AE 长可得面积.【解析】由题意可知BE =ED .因为AD =AE +DE =AE +BE =9cm ，所以BE =(9−AE )cm.在RtΔABE 中，根据勾股定理可知，AB 2+AE 2=BE 2，所以32+AE 2=(9−AE )2，所以AE =4cm ，所以RtΔABE 的面积为12×AB ×AE =12×3×4=6（cm 2）. 故答案为：6【小结】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.36．如图，在Rt ABC ∆中，B 90∠=︒，AB 30=，BC 40=，将ABC ∆折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B'重合，AE 为折痕，则EB'=_________.【答案】15【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC 中求解x即可.【解析】根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30，设BE=EB′=x，则EC=40﹣x，△△B=90°，AB=30，BC=40，△在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50，△B′C=50﹣30=20，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2，解得x=15．故答案是15．【小结】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键.37．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将其沿AC折叠，点D落在E处，CE与AB交于点F，且EF=FB，则重叠部分△ACF的面积是____________【答案】10【分析】因为BF=EF，所以可设EF=x，则在Rt△AFE中，根据勾股定理求x，进而求出即可．【解析】△EF=BF，△设EF =x ，则AF =8-x ，在Rt △AFE 中，（8-x ）2=x 2+42，解之得：x =3，△AF =AB -FB =8-3=5，1102AFC S AF BC ∴==△． 故答案为：10．【小结】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用，利用已知设EF =x ，根据直角三角形AFE 中运用勾股定理求x 是解题的关键．38．如图，在三角形纸片ABC 中，△C ＝90°，AC ＝18，将△A 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，BC ＝12，则EC 的长为__________．【答案】5【分析】由翻折的性质可知BE =EA =18-EC ，最后在Rt △BCE 中由勾股定理求得EC 的长即可．【解析】△AC =18，△BE =AE =18-EC ，△可得()2221218EC EC +=-，解得：EC =5，故答案为：5．【小结】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质求得BE =EA =18-EC 是解题的关键． 39．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．【答案】2.8【分析】过点E 作EH AD ⊥于H ， 根据菱形的性质，得到//AB CD ，4AD BC CD AB ====，继而可证60A HDE ∠=∠=︒，再利用含30°角的直角三角形性质，解得12DH DE =，结合勾股定理解得HE 的长，根据折叠的性质，得到,AG GE AF EF ==，最后在Rt HGE 中利用勾股定理得222GE GH HE =+，据此整理解题即可．【解析】过点E 作EH AD ⊥于H ，ABCD 是菱形//AB CD ∴，4AD BC CD AB ====60A HDE ∴∠=∠=︒ E 是CD 中点2DE ∴=在Rt DHE △中，2DE =HE DH ⊥60HDE ∠=︒30HED ∴∠=︒1,DH HE ∴===折叠,AG GE AF EF ∴==在Rt HGE 中222GE GH HE =+22(41)3GE GE ∴=-++2.8GE ∴=故答案为：2.8．【小结】本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．40．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．【答案】258【分析】 过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．【解析】过点M 作MN BC ⊥于N ，△90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，△//MN AC ，△M 是AB 的中点，△MN 是Rt ABC △的中位线， △MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4， 设CF=x ，则NF=4-x ，△将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，△MF=CF=x ，在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，△()22234x x +-=，解得258x =， △CF=258． 故答案为：258． 【小结】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．41．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AC 边上一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，那么DE 的长度是________．【答案】3【分析】先根据勾股定理得到AB=10，再根据折叠的性质得到DC=DE ，BC=BE=6，则AE=4，设DE=x ，在Rt△ADE 中利用勾股定理得（8-x ）2=x 2+42，解得方程即可．【解析】△△C=90°，BC=6，AC=8，△10AB ==△将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，△△BCD△△BED ，△△C=△BED=△AED=90°，DC=DE ，BC=BE=6，△AE=AB -BE=4，设DC=x ，则AD=8-x ，在Rt△ADE 中，AD 2=AE 2+ED 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，△DE=3【小结】本题考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，利用折叠性质折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分是解题关键．42．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，按图中所示方法将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，则点D 到AB 的距离=________．【答案】3【分析】首先根据勾股定理求出AB 的长，然后利用折叠的性质求出AC ′的长，在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】△△C =90°，AC =8，BC =6，△AB =10．根据折叠的性质，BC =BC ′，CD =DC ′，△C =△AC ′D =90°．△AC ′=10-6=4．在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理得（8-x ）2=x 2+42．解得x =3．△DC ′=CD =3，故答案为3．【小结】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．43．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF 为直角三角形，则DP 的长__________．【答案】52或1 【分析】 先根据矩形的性质、折叠的性质可得90DAB ∠=︒,8AD =,10BD =,5OA OD OE ===，,EP AP E ADB =∠∠=∠，设DP x =，从而可得8EP x =-，再根据直角三角形的定义分90DFP ︒∠=和90DPF ︒∠=两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．【解析】四边形ABCD 是矩形，6AB =，8BC =，90DAB ︒∴∠=，8AD BC ==，10BD =，152OA OD BD ===，。
勾股定理之“图形折叠”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
重难点：勾股定理之“图形折叠”模型【知识梳理】图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解.翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【考点剖析】一．选择题（共9小题）1．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据折叠前后角相等可知△ABE≌△C′ED，利用勾股定理可求出．【解答】解：设DE＝x，则AE＝8﹣x，AB＝4，在直角三角形ABE中，x2＝（8﹣x）2+16，解之得，x＝5．故选：C．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．矩形纸片ABCD的边长AB＝4，AD＝2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）A．8B．C．4D．【分析】着色部分的面积等于原来矩形的面积减去△ECF的面积，应先利用勾股定理求得FC的长，进而求得相关线段，代入求值即可．【解答】解：在Rt△GFC中，有FC2﹣CG2＝FG2，∴FC2﹣22＝（4﹣FC）2，解得，FC＝2.5，∴阴影部分面积为：AB•AD﹣FC•AD＝，故选：B．【点评】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，本题中没有着色的部分为△ECF，利用了矩形和三角形的面积公式，勾股定理求解．3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（）A．B．C．D．【分析】先通过勾股数得到AB＝10，再根据折叠的性质得到AD＝DB＝5，AE＝BE，∠ADE＝90°，设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出x，然后在Rt△BDE中利用勾股定理即可计算得到DE的长．【解答】解：∵直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，∴AB＝10，又∵折叠，∴AD＝DB＝5，AE＝BE，∠ADE＝90°，设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△CBE中，BE2＝BC2+CE2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，在Rt△BDE中，DE＝＝故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了勾股定理．4．如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝32cm，把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC 于点F，AF＝25cm，则AD的长为（）A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC＝∠DCA，根据等角对等边证明FC＝AF，则DF即可求得，然后在直角△ADF中利用勾股定理求解．【解答】解：∵长方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠DCA，∴FC＝AF＝25cm，又∵长方形ABCD中，DC＝AB＝32cm，∴DF＝DC﹣FC＝32﹣25＝7cm，在直角△ADF中，AD＝＝＝24（cm）．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中注意到相等的角以及相等的线段是关键．5．如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C处，BC交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则BE的长为（）A．3B．4C．5D．2【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出∠C′BD＝∠DBC＝∠BDA，可得DE＝BE，设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x．根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA，由折叠的性质得：∠C′BD＝∠DBC，∴∠C′BD＝∠BDA，∴DE＝BE，设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x．在△ABE中，由勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2．解得：x＝5，∴BE＝5．故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（）A．B．C．D．【分析】先设CE＝x，再根据图形翻折变换的性质得出AE＝BE＝8﹣x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出的值．【解答】解：设CE＝x，则AE＝8﹣x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即（8﹣x）2＝62+x2，解得x＝，∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠7．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．如果DM：MC＝3：2，则DE：DM：EM＝（）A．7：24：25B．3：4：5C．5：12：13D．8：15：17【分析】先根据折叠的性质得EM＝EA，再根据勾股定理得ME的长，从而求比值．【解答】解：由折叠知，EM＝EA，设CD＝AD＝5a，∴DE＝5a﹣EM，DM＝3a，MC＝2a，在Rt△EDM中，EM2＝DE2+DM2，即ME2＝（5a﹣ME）2+（3a）2，解得ME＝a∴ED＝a∴DE：DM：EM＝a：3a：a＝8：15：17．故选：D．【点评】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、通过设适当的参数，利用正方形的性质，勾股定理求解．8．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝18cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝13，则AD的长为（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm＝FC，在直角三角形ADF中，运用勾股定理求解．【解答】解：根据折叠前后角相等可知△ADF≌△CEF，设DA＝x，又AF＝13，DF＝18﹣13＝5，在直角三角形ADF中，x2+52＝132，解之得，x＝12cm．故选：D．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．9．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等和勾股定理求解．【解答】解：根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形CEFD全等，有EC＝AF＝AE，由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2即42+（8﹣AE）2＝AE2，解得，AE＝AF＝5，BE＝3，作EG⊥AF于点G，则四边形AGEB是矩形，有AG＝3，GF＝2，GE＝AB＝4，由勾股定理得EF＝．故选：D．【点评】本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质．二．填空题（共1小题）10．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为A．6cm2B．8cm2C．10cm212cm2．【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．三．解答题（共1小题）11．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF与FC的长．【分析】由图形翻折变换的性质可知，AD＝AF，设BF＝x，则FC＝10﹣x，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC＝12厘米可得出FC的长度．【解答】解：∵△AEF是△AED沿直线AE折叠而成，AB＝8cm，BC＝10cm，∴AD＝AF＝10cm，设BF＝x，则FC＝10﹣x，在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即102＝82+x2，解得x＝6，即BF＝6厘米．∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．综上可得BF的长为6厘米、FC的长为4厘米．BF，AF的长度，在△ABF中利用勾股定理，难度一般．【过关检测】一．选择题（共11小题）1．（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD 于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，设DE＝x，则AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的长为5．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．2．（2021秋•镇海区校级期中）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝5厘米，EF＝12厘米，则边HF的长是（）A．12厘米B．13厘米C．14厘米D．15厘米【分析】利用折叠的性质得出∠HEF＝90°，再利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵△AEH折叠得到△MEH，△BEF折叠得到△MEF，∴∠AEH＝∠MEH，∠BEF＝∠MEF，∴∠HEF＝∠MEH+∠MEF＝（∠AEM+∠BEM）＝90°，∴△HEF为直角三角形，在Rt△HEF中，EH2+EF2＝HF2，∵EH＝5厘米，EF＝12厘米，∴HF＝＝13厘米，故选：B．【点评】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得到∠HEF＝90°．3．（2022春•杭锦后旗期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．无法确定【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD 中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD＝BD＝8﹣x，在△ACD中，∠C＝90°，∴AD2＝AC2+CD2，∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x＝，即CD的长为cm．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．4．（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E 处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．【解答】解：由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，又∵CE＝DC＝4cm，∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3cm．故选：D．【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．5．（2021秋•裕华区校级期末）如图是一张直角三角形的纸片．两直角边AC＝6cm，BC＝8cm将△ABC折叠，使点B与点A DE，则AD的长为（）A．cm B．10cm C．cm D．5cm【分析】首先设AD＝xcm，由折叠的性质得：BD＝AD＝xcm，又由BC＝8cm，可得CD＝8﹣x（cm），然后在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：设AD＝xcm，由折叠的性质得：BD＝AD＝xcm，∵在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣x（cm），在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AD＝cm．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质与勾股定理的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．6．（2021春•漳平市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2【分析】首先根据翻折的性质得到ED＝BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt △ABE中利用勾股定理求出AE AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．【解答】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED＝BE，设AE＝xcm，则ED＝BE＝（9﹣x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴32+x2＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴△ABE的面积为：3×4×＝6（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．7．（2020•饶平县校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．【解答】解：由折叠可得DF＝EF，设AF＝x，则EF＝8﹣x，∵AF2+AE2＝EF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故选：A．【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．8．（2021春•环翠区校级期中）如图：长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为DE长为（）A．4.8cm B．5cm C．5.8cm D．6cm【分析】在折叠的过程中，BE＝DE，从而设BE＝DE＝x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．解得：x＝5.8．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．9．（2021秋•开福区校级期末）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（）A．4B．3C．4.5D．5【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【解答】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．【点评】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．10．（2021春•宁明县期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】由折叠的性质可证AF＝FC．在Rt△ADF中，由勾股定理求AD的长．【解答】解：由折叠的性质知，AE＝AB＝CD，CE＝BC＝AD，∴△ADC≌△CEA，∠EAC＝∠DCA∴AF＝CF＝cm，DF＝CD﹣CF＝在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD＝6cm．故选：C．【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②全等三角形的判定和性质，勾股定理求解．11．（2021秋•东平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【分析】设沿直线AM将△ABM B正好落在x轴上的B'点，则有AB＝AB'，而AB的长度根据已知可以求出，所以B'点的坐标由此求出；又由于折叠得到B'M＝BM，在直角△B'MO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标．【解答】解：∵将△ABM沿AM折叠，∴AB＝AB'，又A（﹣3，0），B（0，4），∴AB＝5＝AB'，∴点B'的坐标为：（2，0），设M点坐标为（0，b），则B'M＝BM＝4﹣b，∵B'M2＝B'O2+OM2，∴（4﹣b）2＝22+b2，∴b＝，∴M（0，），故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，也考查了翻折变换，题中利用折叠知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．二．填空题（共6小题）12．（2022秋•江北区期末）如图，有一张直角三角形的纸片，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．现将三角形折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE，则CE长为．【分析】解法一：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质得到CE＝DE，AC＝AD，∠C＝∠EDA＝90°，则BD＝AB﹣AD，∠EDB＝90°，设CE＝DE＝x，在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程，求解即可．解法二：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质可推出∠EDB＝90°，以此可得△BDE∽△BCA，设CE＝DE＝x，根据相似三角形的性质即可解答．【解答】解：解法一：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝4，根据折叠的性质可知CE＝DE，AC＝AD＝3，∠C＝∠EDA＝90°，∴∠EDB＝90°，BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：，∴CE＝．故答案为：．解法二：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝4，根据折叠的性质可知CE＝DE，∠C＝∠EDA＝90°，∴∠EDB＝∠C＝90°，∵∠B为公共角，∴△BDE∽△BCA，∴，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，∴，∴x＝，∴CE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案13．（2022中，AB＝5，BC＝12，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，当△A'DE是直角三角形时，DE的长为．【分析】当△A'DE是直角三角形时，可分两种情况进行讨论：①当∠EA′D＝90°时，此时A′在BD上，由勾股定理可得BD＝13，根据折叠的性质可得AE＝A′E，AB＝A′B＝5，A′D＝8，设AE＝A′E＝x，则DE＝12﹣x，最后根据勾股定理即可解答；②当∠A′ED＝90°时，根据折叠的性质可得∠AEB＝∠AEB，以此可推出△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE＝5，再根据DE＝AD﹣AE即可求解．【解答】解：①当∠EA′D＝90°时，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD＝12，AB＝5，∴BD＝，根据折叠的性质可得，AE＝A′E，AB＝A′B＝5，∴A′D＝BD﹣A′B＝8，设AE＝A′E＝x，则DE＝12﹣x，在Rt△A'DE中，根据勾股定理得AE2+A′D2＝DE2，∴x2+82＝（12﹣x）2，解得：，∴AE＝，；②当∠A′ED＝90°时，如图，∴∠AEA＝90°，根据折叠的性质可得，∠AEB＝∠AEB，∵∠AEB+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠AEB＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE＝5，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣5＝7；综上，DE＝或7．故答案为：或7．【点评】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、折叠的性质，据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题关键．14．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是．【分析】连接BE，根据线段垂直平分线的性质得出BE＝AE，BD＝AD＝5，根据勾股定理求出BC，设CE＝x，再根据勾股定理得出方程62+（8﹣x）2＝x2，求出x，即可得到CE的长．【解答】解：如图所示，连接BE，∵AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，BD＝5，∴BE＝AE，AD＝BD＝5，∴AB＝5+5＝10，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝6，设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：BC2+CE2＝BE2，∴62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴CE＝，故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质和勾股定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．15．（2022秋•南关区校级期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为．【分析】将容器的侧面展开，建立点A关于CE的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：将圆柱的侧面展开，EC为上底面圆周长的一半，作点A关于CE的对称点A′，连接A′B交EC于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF，即AF+BF＝A′F+BF＝A′B＝25m，延长BC，过A′作A′D⊥BC于点D，∵AE＝A′E＝DC＝4cm，∴BD＝20cm，Rt△A′BD中，由勾股定理可得A′D＝＝＝15cm，则该圆柱底面周长为30cm．故答案为：30cm．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题关键．16．（2022秋•鼓楼区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD 上的点F处，其中E在AD上，连接AF，则AE＝．【分析】首先利用勾股定理求出FC的长，设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，在Rt△BCF中，BF＝AB＝5，BC＝AD＝3，∴CF＝＝4，∴DF＝CD﹣CF＝1，设AE＝EF＝x，在Rt△DEF中，∵EF2＝DE2+DF2，∴x2＝（3﹣x）2+12，∴x＝，∴AE＝．故答案为：．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题．17．（2022秋•下城区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E，交斜边于点F，则DE的长为．【分析】根据题意设DE＝x求出CE的长，然后在Rt△ECD中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝4，由折叠的性质得：DE＝AE，设DE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2，即x2＝（6﹣x）2+16，解得x＝，即DE＝．②如图1所示：∵D是BC的中点，∴CD＝AC＝3，由折叠的性质得：DE＝BE，设DE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECD中，DE2＝EC2+CD2，即x2＝（8﹣x）2+9，解得x＝，即DE＝；故答案为：或．【点评】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．三．解答题（共4小题）18．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿DE 所在直线对折，点A落在BC边上的点A′处，且DA′⊥BC．（1）求∠AED的度数．（2）若AD＝，求线段AB和CE的值．【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠的性质得∠A＝∠DA′E＝60°，∠AED＝∠A′ED，进而求得∠EA′C＝30°，由三角形的外角性质得∠AEA′＝∠EA′C+∠C＝2∠AED，以此即可求解；（2）根据折叠的性质可得AD＝A′D，根据含30度角的直角三角形性质可A′B＝x，则BD＝2x，根据勾股定理列出方程解得x＝1，则AB＝BC＝2，由（1）可知∠EA′C＝30°，最后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠可知，∠A＝∠DA′E＝60°，∠AED＝∠A′ED，∵∠DA′⊥BC，∴∠DA′C＝90°，∴∠EA′C＝∠DA′C﹣∠DA′E＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEA′＝∠EA′C+∠C＝2∠AED＝30°+60°＝90°，∴∠AED＝90°÷2＝45°；（2）根据折叠可知，AD＝A′D，∵AD＝，∴A′D＝AD＝，由（1）可知，∠B＝60°，∠DA′B＝90°，∴∠A′DB＝30°，∴BD＝2A′B，设A′B＝x，则BD＝2x，在Rt△A′BD中，由勾股定理得A′B2+A′D2＝BD2，即，解得：x＝1或﹣1（舍去），∴A′B＝1，BD＝2，∴AB＝AD+BD＝2，∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝2，∴A′C＝BC﹣A′B＝，由（1）知，∠EA′C＝30°，∴∠A′EC＝180°﹣∠EA′C﹣∠C＝90°，在Rt△A′EC中，∠EA′C＝30°，∴CE＝＝．综上，线段AB＝2，CE＝．【点评】本题主要考查折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理，熟记30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．19．（2022秋•和平区期末）在△ABC中，AB＝25，，AP垂直直线BC于点P．（1）当BC＝25时，求AP的长；（2）当AP＝20时，①求BC的长；②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ，连接BQ，请直接写出△BCQ的周长为．【分析】（1）设PC＝x，则BP＝25﹣x，根据勾股定理列出方程求解即可；（2）①分两种情况：Ⅰ．当△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求出CP、BP，则BC＝CP+BP；Ⅱ．当△ABC为钝角三角形，根据勾股定理求出PC、PB，则BC＝PB﹣PC；②分两种情况：Ⅰ．当△ABC为锐角三角形，连接PQ，交AC于点E，过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D，根据折叠的性质可得CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，根据等面积法求出PE＝，则PQ ＝2PE＝，设CD＝a，则DP＝10+a，根据勾股定理可得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣a2，QD2＝PQ2﹣DP2＝320﹣（10+a）2，以此列出方程，求解得CD＝6，QD＝8，则BD＝CD+BC＝31，根据勾股定理求出BQ，以此即可求解；Ⅱ．当△ABC为锐角三角形，连接PQ，交AC于点E，过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D，根据折叠的性质可得CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，根据等面积法求出PE＝，则PQ＝2PE＝，设BD＝m，则CD＝5+m，PD＝15+m，根据勾股定理可得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣（5+m）2，QD2＝PQ2﹣PD2＝320﹣（15+m）2，以此列出方程，求解得BD＝1，QD＝8，根据勾股定理求出BQ，以此即可求解．【解答】解：（1）如图，设PC＝x，则BP＝25﹣x，∵AP⊥BC，∴∠APC＝∠APB＝90°，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP2AC2﹣PC2＝500﹣x2在Rt△ABP中，由勾股定理得AP2＝AB2﹣BP2＝625﹣（25﹣x）2，∴500﹣x2＝625﹣（25﹣x）2，解得：x＝10，∴AP＝＝20；（2）①Ⅰ．当△ABC为锐角三角形，如图，∵AP⊥BC，∴∠APC＝∠APB＝90°，在Rt△ACP中，AC＝，由勾股定理得＝10，在Rt△ABP中，AB＝25，由勾股定理得BP＝＝15，∴BC＝CP+BP＝25；Ⅱ．当△ABC为钝角三角形，如图，∵AP⊥BC，∴∠APB＝90°，在Rt△APC中，由勾股定理得PC＝＝10，在Rt△APB中，由勾股定理得PB＝＝15，∴BC＝PB﹣PC＝5；综上，BC的长为25或5；②Ⅰ．当△ABC为锐角三角形，连接PQ，交AC于点E，过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D，如图，由（2）①Ⅰ知，CP＝10，PB＝15，BC＝25，由折叠的性质可知，CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，∵，即，∴PE＝，∴PQ＝2PE＝，设CD＝a，则DP＝10+a，在Rt△QDC中，由勾股定理得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣a2，在Rt△QDP中，由勾股定理得QD2＝PQ2﹣DP2＝320﹣（10+a）2，∴100﹣a2＝320﹣（10+a）2，解得：a＝6，∴CD＝6，QD＝＝8，∴BD＝CD+BC＝31，在Rt△QDB中，由勾股定理得＝，∴△BCQ的周长为CQ+PC+PB+BQ＝10+10+15+＝35+；Ⅱ．当△ABC为锐角三角形，连接PQ，交AC于点E，过Q作QD⊥BC交BC反向延长线于点D，如图，由（2）①Ⅱ知，CP＝10，PB＝15＝5，由折叠的性质可知，CP＝CQ＝10，PE＝QE＝，且PQ⊥AC，∵，即，∴PE＝，∴PQ＝2PE＝，设BD＝m，则CD＝5+m，PD＝15+m，在Rt△QDC中，由勾股定理可得QD2＝CQ2﹣CD2＝100﹣（5+m）2，在Rt△QDP中，由勾股定理得QD2＝PQ2﹣PD2＝320﹣（15+m）2，∴100﹣（5+m）2＝320﹣（15+m）2，解得：m＝1，在Rt△QDB中，由勾股定理得BQ＝，∴△BCQ的周长为BC+BQ+CQ＝5++10＝15+．综上，△BCQ的周长为35+或15+．故答案为：35+或15+．【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质、等面积法求三角形的高，解题关键在于根据题意正确画出图形，利用数形结合思想解决问题．20．（2022秋•武侯区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD ＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．（1）若P为BC上一点．①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长；②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；（2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可；②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP＝CP，BP＝PE，从而BP＝PC；（2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB＝AB＝10；当∠ECP＝90°时，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去．【解答】解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，∵AE＝AB＝10，AD＝6，∠D＝90°，∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2；②BC＝2BP，理由如下：∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，∵CE∥AP，∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB，∴∠PEC＝∠ECP，∴EP＝CP，∴BP＝BC，∴BC＝2BP；（2）∵△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且＝BP，∴四边形ABPE是正方形，∴PB＝AB＝10；当∠ECP＝90°时，则∠ECP＝∠B＝90°，∴EC∥AB，∵DC∥AB，∴点E、D、C三点共线，由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8，∴EC＝18，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2，解得x＝30，∴PB＝30；当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，综上：BP＝10或30．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．21．（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知，AD＝AF＝10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC ＝12厘米可得出FC的长度；（2）将CE的长设为x，得出DE＝10﹣x＝EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF AB2+BF2＝AF2∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化简，得16x＝48，∴x＝3，故EC的长为3cm．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．。
勾股定理解析折叠问题含详细的答案
A
D
BF AF2 AB2 102 82 6
FC=BC-BF=10-6=4 设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
E
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF² 即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
B
F
C
图2
∴EC的长为3cm。
探究二 如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
利用勾股定理 解决折叠问题
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知 数x；
2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一 直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶 点A、B重合。若∠B=30°，AC= ，求DC的长。
3
B
E D
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边 的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 ，DC=DE＋EC =EF＋EC=8， ∴在Rt△ABF中
么∠AEG=
还原。
140°
AEBຫໍສະໝຸດ 图aDAFC
B
E 20° 20° G
图b
D' A
F C' B
C
D
E
G
图c
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数
是
勾股定理典型例题
第一章勾股定理一、勾股定理与数学思想方法1.勾股定理中方程思想的运用例1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）2.勾股定理中分类讨论思想的运用例2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。
3.勾股定理中类比思想的运用例3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明4.勾股定理中整体思想的运用例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．5.勾股定理中数型结合思想的运用例题5．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？二、勾股定理典型例题题型一：勾股定理的综合应用例1、如图1，︒=∠90ACB，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？（面积法应用）2、在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求CD的长BDCA图1例2、 有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）3、如图，求该四边形的面积题型二：折叠问题（图形与方程的综合）例1、 如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
勾股定理折叠问题,方程思想
第一讲 勾股定理本章知识要点导航 ：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有：;;222222b a c a c b b c a +=-=-=及（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．（4）勾股数：满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2=c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．（5）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．课堂笔记：_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________➢ 知识考点1☆☆☆：在Rt △中，已知两边求第三边；(1)在ABC Rt ∆中，已知ο90=∠C ，8,6==b a ，则c=______________；(2)在ABC Rt ∆中，12,5==b a ，则c=______________；变式1：直角三角形的两直角边分别为5,12，则斜边上的高为______________；变式2：若一个直角三角形两直角边之比为4:3，斜边的长为20，则这个三角形的周长是___________； 变式3：已知在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，4,12==+b c a ，则ABC ∆的面积为___________；➢ 知识考点2☆☆☆：利用勾股定理求面积；思考：“问号正方形”的面积是多少？这个类型的问题还有哪些拓展呢？【经典例题1】有一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形D C B A 、、、的边长分别是3,2,5,3，则最大正方形E 的面积是（ ）A.13B.26C.47D.94【变式1】如图，直线l 上依次放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形面积分别是3,2,1，正放置的四个正方形的面积是4321,,,S S S S ，则=+++4321S S S S _________________【变式2】如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积是_____________.（例1） （变1） （变2）➢ 知识考点3☆☆☆：应用勾股定理，求等腰三角形底边上的高；1、一个等腰三角形的腰长为cm 13,底边长为cm 10,这个三角形的面积为_________；2、一个等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，以底边为边长的正方形的面积为_________；3、等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．➢ 知识考点4☆☆☆：利用方程思想求线段长（含双勾股）1、在ABC ∆中，AD 是高线，若4=AB ，2=AD ，3=AC ，则BC 的长为_____________;2、在ABC ∆中，17=AB ，10=AC ，9=BC ，则BC 边上的高为_____________;3、如图，小溪边有两棵树隔岸相望，一棵树高m 9，另一棵树高m 6，两棵树之间的距离是m 15，在两棵树顶上各停着一只水鸟，两只鸟同时看到水面上有一条小鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标，求小鱼离较高那棵树有多远？4、如图，点P 是长方形ABCD 内一点，7,5,1===PC PB PA ，求PD 的长。
中考常见折叠问题的解题策略
中考常见折叠问题的解题策略作者：蔡丽娟
来源：《新高考·新世纪智能·升学考试》2019年第03期
折叠是几何变换的一种，近年来在中考中出现的频率越来越高，主要考査折叠的基础规律和运用数学思想方法解决问题的能力.这类问题由于一因多果、思维多变，导致学生对折叠的实质理解不够透彻而失分.本文通过对在初中数学中经常涉及到的几种折疊的典型问题的剖析，以期帮助大家从中抽绎出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法.
【点评】圆的折叠往往得到弧相等，进而可以转化为对应的圆周角或圆心角相等，以及弦相等，从而可以构造出等腰三角形、直角三角形等一些特殊图形，再运用它们的性质即可解
决问题.
翻折问题题型多种多样，所以无法一一例举，但只要抓住翻折前后图形是全等的，对应边、对应角相等，结合勾股定理、等腰三角形性质、相似三角形性质，运用方程思想、函数思想、分类讨论思想等基本数学思想，就可以解决同类型的题目，达到举一反三、事半功倍的效果.。
利用勾股定理构建方程解题
利用勾股定理构建方程解题我们都知道，在直角三角形的计算中，已知两条边，要求第三边时，用勾股定理直接代入计算即可．但如果只知道其中的一条边要求另两条边呢？此时，未知的两条边之间一定存在某种数量关系，我们只要抓住这个数量关系，设出一个未知数，便可以表示出两条未知的边；这时候再利用勾股定理列方程即能解决问题．这里通过下面的例子来说明勾股定理联手方程，在很多情况下是非常给力的．一、解决实际问题例1 如图1，两只猴子都从竖直的木杆上距地面5米的D 处出发，一只向下爬到B 处再走向池塘C ，另一只向上爬到杆顶A 处直接跳向池塘C ，已知它们所经过的路程相同，且BC ＝15m ，求木杆AB 的高度．分析 本题既然是求直角三角形的边长，就可以考虑用勾股定理，但因为AC 和AB 两边未知，所以用勾股定理直接计算行不通．好在“它们所经过的路程相同”，就可以设AD ＝x ，再用含x 的代数式表示出AC ，最后利用勾股定理就可列出方程．解 设AD ＝x ，则AC ＝20－x ，由勾股定理，得()()22220515x x -=++ 解得x ＝2．所以木杆高度AB 为7米，例2 一口井直径为1米，一根竹竿垂直伸入井底，竹竿高出井口13米，如图2所示若把竹竿斜伸入井底，竹竿刚好与井口持平，那么井深多少米？竹竿长为多少米？分析 本题要抓住“竹竽无论是垂直插入还是斜插长度不变”这一关系，就能设出井深x 米，竹竿长为(x ＋13)米． 解 设井深x 米，则竹竿长为(x ＋13)米．列出方程，有 22113x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 解得x ＝43答：井深43米，竹竿长为53米． 二、解决折叠问题例3 如图3，折叠长方形的一边AD ，使D 点落在边BC 上的点F 处，折痕为AE ，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求CE 的长．评注 本题有两个难点，一是折叠三角形之间对应边的转化；二是在Rt △CEF 中用勾股定理时必须用方程思想．例4 如图4，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，将边AD 沿折痕AE 翻折，使D 点落在对角线AC 上的点F 处，求CE 的长．解∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，DC＝6，AD＝8．根据题意，AF＝8，CF＝2．在△CEF中，设CE＝x，则EF＝DE＝6－x．故(6－x)2＋22＝x2．解之得x＝103．评注本题有两个关键，一是将BC转化为AD再转化为AF，从而求得CF；二是找到“边EF与CE的和为6”这个关系，三、解决圆的计算问题例5 如图5，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，且CD＝4，DB＝8，求⊙O的半径．分析本题要求半径，但在Rt△CDO中，CD、CO、DO三边里只知道CD的长．若设CO＝R，则BO也等于R，那DO就可以用含R的代数式表示，列方程也就不难了．解连结CO，设CO＝R，则DO＝8－R．在Rt△CDO中，(8－R)2＋42＝R2，解之得R＝5．勾股定理是数学中的一个重要定理，方程思想是数学中的一种重要思想，当它们联手后，我们能感受到双剑合璧，出手不凡的效果，所以我们在平时的教学和技巧过程中，要注重掌握这方面的思想和技巧．。
勾股定理的实际应用
勾股定理的实际应用
勾股定理的应用如下：
1、勾股定理理解三角形。
2、勾股定理与网格问题。
3、利用勾股定理解决折叠问题。
4、利用勾股定理证明线段的平方关系。
5、利用勾股定理解决实际问题——求梯子滑落高度。
6、利用勾股定理解决实际问题——求旗杆高度。
7、利用勾股定理解决实际问题——求蚂蚁爬行距离。
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中
较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
实际应用如下：
1、面积法：一个图形或者是面积相等的图形的面积有2种表示方法，从而得出关于边之间的等式。
应用比较普遍，主要用于求边长，找边之间的关系。
2、讲解的是方程思想：通过设未知数，结合某些定理，建立方程来完成解答，数学思想中常见的思想方法。
3、正方形中，利用边长相等，结合全等，找到相等的边，借助勾股定理，找到多个正方形之间的关系。
4、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，是由4个全等的直角三角形与1个正方形
构成的图案。
方法归纳 利用勾股定理解决折叠问题
方法归纳利用勾股定理解决折叠问题一、利用勾股定理解决平面图形的折叠问题【例1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5 cm，BC=10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )A.252cm B.152cm C.254cm D.154cm【分析】图中CD在Rt△ACD中，由于AC已知，要求CD，只需求AD，由折叠的对称性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之.【方法归纳】折叠问题是近几年来中考中的常见题型.解折叠问题关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解.1.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( )A.1 cmB.1.5 cmC.2 cmD.3 cm2.(2014·青岛)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF 的长为( )A.4 C.4.5 D.53.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.64.如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC 等于( )A.1B.2C.3D.45.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长为( )A.1.5B.2C.2.25D.2.56.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为__________.7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 cm，AC=8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是__________.8.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为__________.二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题【例2】如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__________cm.【分析】将圆柱形平面展开，将A、C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.【方法归纳】在曲面上求两点之间的最短距离，根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想，利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长是9 cm而不是18 cm.9.如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A.6 cmB.12 cmC.13 cmD.16 cm10.如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是__________m（精确到0.01 m）.11.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？12.如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.参考答案例1要使A，B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线.设CD=x，则AD=BD=10-x.在Rt△ACD中，由勾股定理，得x2+52=(10-x)2.解得x=15 4.故应选D. 变式练习1.A2.A3.D4.B5.B6.77.6 cm28.13 3例2如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后，侧面是一个长18 cm，宽12 cm的长方形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP.由已知和长方形的性质，得DC=9,BD=12.在Rt△BCD中，由勾股定理得∴AP+PC=BP+PC=BC=15.即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.变式练习9.C 10.2.6011.把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图.构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD=OC.即O为DC的中点，由勾股定理得AC′2=AD′2+D′C′2=82+62=100,∴AC′=10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.12.(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1′D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC1′和AC1两种.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1′，爬过的路径的长l1.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2∵l1>l2，鱼儿，在水中串上串下，吐着顽皮的泡泡；鸟儿从荷叶上空飞过，想亲吻荷花姑娘的芳泽。
北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题01 勾股定理与折叠问题两种考法全梳理(解析版)
专题01勾股定理与折叠问题两种考法全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (8)【课后练习】 (15)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案【考法一、三角形翻折问题】例．如图，Rt ABC △纸片中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，点D 在边BC 上，以AD 为折痕ABD△折叠得到,AB D AB ''△与边BC 交于点E ．若DEB '△为直角三角形，则BD 的长是（）A ．2B ．3C ．5D ．2或5【答案】D 【分析】根据勾股定理求得AB 的长，由翻折的性质可知：10AB '=，DB DB '=，然后分90B DE '∠=︒和90B ED '∠=︒，两种情况画出图形求解即可．【详解】解：∵Rt ABC △纸片中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，∴10AB =，∵以AD 为折痕ABD △折叠得到AB D 'V ，∴BD DB '=，10AB AB '==．如图1所示：当90B DE '∠=︒时，过点B 作B F AF '⊥，垂足为F ．则四边形CDB F '是矩形，∴,CD FB CF B D ''==．设BD DB x '==，则6AF =+在Rt AFB '△中，由勾股定理得：222B A AF B F ''=+，即()6x +解得：12x =，20x =（舍去）∴2BD =．如图2所示：当90B ED '∠=︒∵10AB AB '==，6AC =，∴设BD DB y '==，则8CD =-在Rt BDE △中，22B D DE '=+解得：5y =．∴5BD =．综上所述，BD 的长为2或5．故选D ．△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（）A ．5B ．75C ．145D ．365【答案】C 【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，证明△DHE ≌△EGD ，利用勾股定理求出75EH DG ==，即可得到BE.【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8，∴22226810AB AC BC =+=+=，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC ，CE=AC=6，∴BD=DE ，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，∴∠DHE=∠EGD=90︒，∠EDH=12∠BDE=12（180︒-2∠EDC ）=90︒-∠EDC ，∴∠DEB=90︒-∠EDH=90︒-(90︒-∠EDC)=∠EDC ，∵DE=DE ，∴△DHE ≌△EGD ，∴DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∴222256(5)x x -=--，∴75x =，∴75EH DG ==，∴BE=2EH=145，故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE ≌△EGD ，由此求出BE 的长度.变式2．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =P 是边BC 上任意一点，连接AP ，将ABP 沿AP 翻折，点B 的对应点为B '，当APB ' 有一边与BC 垂直时，BP 的长为．在等腰直角三角形ABC 中，BAC ∠∴12212BC AB AQ BC ====，设BP x =，则B P x '=，1PQ =-∵将ABP 沿AP 翻折，∴2AB AB '==，45B '∠=︒，此时，112BP BC==；当B P BC'⊥时，如图，此时，点A，B，B'在同一直线上，综上，当APB'有一边与BC垂直时，故答案为：22-或1或2．变式3．如图，在ABC中，∠BC上任意一点，若将CDP△沿DP折叠得EDP△，若点E在ABC的中位线上，则CP的长度为．当E 在DM 上时，由折叠可知，CP PE =2ME DM DE =-=，在Rt PEM △中，PM 222PM ME PC ∴=+，当E 点落在DN 上时，由折叠可知，DE ∴四边形CDEP 是正方形3PC DE ∴==③如图，设BC 、∴点D 到MN 的距离为CM的三等分点B'处，求CE的长．【考法二、四边形翻折问题】例．在长方形ABCD 中，5AB =，12BC =，点E 是边AD 上的一个动点，把BAE 沿BE 折叠，点A 落在A '处，当A DE ' 为直角三角形时，DE 的长为（）A ．7B ．263C ．7或263D ．以上答案均不对设AE x =，由翻折的性质得：ED AD AE ∴=-=A D BD A B ∴=-'='综上，DE 的长为故选：C ．变式1．如图，已知矩形纸片P 点，将纸片沿直线BP 折叠，点A 落到A '处，设AP x =，当点A '恰好在矩形纸片的对称轴上时，则x 的值为．连接AA '，∴AA BA ''=，又AB BA '=，∴ABA '△是等边三角形，∴30BA M AA M ''∠=∠=︒，30ABP A BP '∴∠=∠=︒，在Rt A BF '△中，226425A F '=-=，在Rt A PE '△中，222A P PE A E ''=+ ，()222(4)625x x ∴=-+-，935x ∴=-③如图3中，当点A '在BC 的下方时，同法可得：()222(4)625x x =-++，935x ∴=+，故答案为：23或935+或935-．变式2．如图，长方形纸片ABCD ，AB 叠，点C 落在E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 长为．，得到中，利用勾股定理进将ADE V 沿AE 折叠得到D AE ' ，连接D B '，若ABD '△为直角三角形，则AE =-△的位置，当点B落在CD边(1)若P为边BC上一点，如图①将ABP沿直线AP翻折至AEP上点E处时，求PB的长；△沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上(2)如图②，点Q为射线DC上的一个动点，将ADQ的点D'处，求DQ的长．设DQ x =，则10QC =根据图形折叠的性质可知QD D Q x ='=，AD '=在Rt ABD ' 中根据图形折叠的性质可知DQA ∠∵AB CD ∥，∴DQA QAB ∠=∠．∴D QA QAB '∠=∠．∴10AB BQ ==．在Rt BCQ △中【课后练习】1．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段DF 的长为（）AB C ．85D ．65沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交直线CB 于点F ．若DEF 为直角三角形，则BD 的长是．则四边形DCGE 为长方形，∴,EG CD CG DE BD ===，∴4EF AE AC =-=，设BD x =，则：8CD x =-，由勾股定理，得：(2248x =+-解得：5x =；∴5BD =，线DE 翻折ADE V ，点A 落在BC 边上，记为点F ，如果2CF =，则BE 的长为．2∵90C AC BC ∠=︒==，∴62AB =，62BF =-∴222FG GB BF ===∴62AG AB BG =-=-设AE x =，则EF x =，在Rt EGF 中，2EG FG +即()()224222x x -+=解得522x =，∴62BE AB AE =-=-D 为边AB 上一点，连接DE ，将ADE V 沿DE 折叠得到A DE ' ，若EA '的延长线恰好经过点B ，则AD =．∵1CE =，∴3AE AC CE =-=，在Rt ABE △中，90A ∠=︒，∴222BE AB AE =+，形的长BC 为8，宽AB 为4，则阴影部分的面积为．设DE GE x ==，则8AE = 在Rt AEG △中，2AG GE +2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3DE ∴=，5AE =；ABC 沿AC 翻折，使点B 落点D 处，连接DE ，求DE 的长．【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．连接，由勾股定理求出 将ABC 沿AC 翻折，使点,,AB AD BC CD BF DF ===∴BF DF ∴=，90BFC ∠=︒，4AB = ，3BC =，22243AC AB BC ∴=+=+设CF x =，则5AF x =-，7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是AB 上的一点，连接CD ．将ACD 沿CD 折叠，使点A 落在A '处，且A C 'AB ⊥于点E ，若6CD =，5BD =．则线段CE 的长为．∴132DF FC DC===∴4BF=，∵1122BCDS BD EC DC BF =⨯=⨯∴642455 DC BFECBD⨯⨯===24△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE，则BE的长为．∵等腰△ABC，AB=AC=5，在AB 上的点D 处，再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E ，F ，则B DF ' 的面积为．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP ' ，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为．由折叠性质可知12∠=∠，PA 又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒ ，【初步感知】(1)如图1，在三角形纸片ABC 中，90C ∠=︒，18AC =，将A ∠沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，5EC =，求BC 的长；【深入探究】(2)如图2，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若4AB =，8BC =，求AE 的长(注：长方形的对边平行且相等)；【拓展延伸】(3)如图3，在长方形纸片ABCD 中，5AB =，8BC =，点E 为射线AD 上一个动点，把ABE 沿直线BE 折叠，当点A 的对应点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，求AE 的长(注：长方形的对边平行且相等)．142AN AD ∴==，BM 由折叠的性质得：BF =在Rt BFN △中，由勾股定理得：53FN MN FM ∴=-=-由折叠的性质得：BF BA =同①得：3FM =，FN ∴=设AE FE a ==，则EN a =-在Rt ENF △中，由勾股定理得：即AE 的长为10；综上所述，点【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾。
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巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例
一、方程思想是什么呢？
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用
勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题
折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。
4、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．数学中的折叠问题是近年来中考的常见题型，它主要考察学生的逻辑推理能力，空间想象能力以及所学有关知识的灵活应用能力，图形中往往出现直角三角形，这就需要利用勾股定理来解决，本文借助两道例题，从折叠问题中求有关线段的长度出发，由浅入深地讲解在直角三角形中，如何将方程的思想应用于勾股定理，将问题化繁为简，并且让“数”和“形”自然的结合起来。
四、巧用方程的思想与勾股定理解决折叠问题
（一）直角三角形中的折叠
例1如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm,BC=10cm,将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE,则CD的长为________.
【分析】：折叠意味着轴对称，折叠前后的图形全等，会得到对应的线段和对应的角相等，在明确已知条件，求解问题之间的联系，将条件集中于直角三角形中，便可利用勾股定理求解。
解：设CD=xcm,则DB=(10-x)cm,如图
由题意，根据折叠的性质，
△ADE≌△BDE,
则AD=BD=10-x, 且 AC=5.
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD2=AC2+CD2，
（10-x）2=52+x2,
x=15/4.
（二）长方形（矩形）中的折叠
例2 如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。
已知
AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
【分析】：因为折叠得到的△AEF 与原△AED 全等，所以AF =AD =10cm，在Rt△ABF中，由
勾股定理,求得BF的长度。
进而得出CF=BC—BF=10-6=4，在Rt△ECF中,设CE= x，则EF=8﹣x，利用勾股定理列出方程, CE的长度
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=CB=10cm，AB=DC=8cm，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折叠可得：△AFE≌△ADE 全等，其中AF=AD=10cm，EF=DE，∠AFE=90°，并且EF＋
EC=DC=8cm。
∵在Rt△ABF 中，由勾股定理得：
=100-64=36
∴BF=6cm
则CF=BC—BF=10-6=4cm，
在Rt△FEC中，可以设EC=xcm，则EF=(8－x)cm，
根据勾股定理可以得EC2＋FC2=EF2，
即x2＋42=（8－x）2,x=3，
∴EC的长为3cm.
【归纳总结】在折叠问题中勾股定理与方程思想有着非常广泛的应用。
在这类问题中常通过折叠的条件得出相等的线段,再通过勾股定理直接求出未知线段或通过勾股定理列出方程求出未知线段。
利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：
（1）根据折痕找到折叠前后的全等三角形，找对应的边相等；
（2）标出题目中的已知线段，求出所能算出的边，标出题目中所有可以表示出的线段；（3）标明问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数。
（4）利用勾股定理，列出方程，解方程，最后得出解。
五、结束语
勾股定理是数学中的一个重要定理，方程思想是数学中的一种重要思想。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,体现了数学形结合的思想，方程的思想与勾股定理在折叠问题中有着非常广泛的应用。
在这类问题中常通过折叠的条件得出相等的线段,再通过勾股定理直接求出未知线段或通过勾股定理列出方程求出未知线段。
当它们“强强联手”后，我们能感受到双剑合璧，出手不凡的效果，所以我们在平时的教学和技巧过程中，要注重积累、掌握这方面的思想和技巧。
思想方法是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识，灵活运用数学思想方法是提高学生数学素养和数学能力的根本。
若干年后，我们做过的题目可能会忘记，但留在我们脑海里的是数学思想方法。