2022数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师文档教案文

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

授课提示：对应学生用书第150页

[基础梳理］

1．直线的倾斜角

(1）定义:

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π）．2

条件公式

直线的倾斜角θ，且θ≠90°

k＝tan__θ

直线过点A(x1，y1），B（x2，

y2) 且x1≠x2

k＝y1－y2 x1－x2

3.

条件两直线

位置关

系

斜率的关系

两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，

k2平行

k1＝k2

k1与k2都不存在垂直

k1k2＝－1

k1与k2一个为零、

另一个不存在

4。直线方程的五种形式

名称已知条件方程适用范围

点斜式斜率k与点（x1，

y1）

y－y1＝

k(x－x1）

不含直线x

＝x1

斜截式斜率k与直线

在y轴上的截

距b

y＝kx＋b

不含垂直于

x轴的直线

两点式两点(x1,y1），

(x2，y2)

错误!＝错误!

（x1≠x2,y1

≠y2)

不含直线x

＝x1（x1＝x2)

和直线y＝

y1（y1＝y2)

截距式直线在x轴、y

轴上的截距分

别为a，b

错误!＋错误!

＝1(a≠0，

b≠0)

不含垂直于

坐标轴和过

原点的直线

一般式Ax＋By＋

C＝0(A2

＋B2≠0）

平面直角坐

标系内的直

线都适用

5.线段的中点坐标公式

若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1),(x2，y2）,线段P1,P2的中点M的坐标为（x，y)，则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点

(1）倾斜角α的范围是［0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为：

(2）当倾斜角为90˚时,直线垂直于x轴，斜率不存在．

2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0。

[四基自测]

1．（基础点：根据两点求斜率）过点M（－2，m)，N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）

A．1B．4

C．1或3 D.1或4

答案:A

2．（基础点:直线的倾斜角与斜率的关系）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是()

A.错误!B．错误!

C。错误!D。错误!

答案：D

3．(基础点：直线的点斜式方程）已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－错误!,则直线l的方程为________．

答案：3x＋4y－14＝0

4．（易错点：直线的截距概念)过点(5，0），且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．

答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0

授课提示：对应学生用书第151页

考点一直线的倾斜角与斜率

挖掘1依据两点求斜率、倾斜角/ 自主练透

[例1](1)(2020·常州模拟）若ab〈0,则过点P错误!与Q错误!的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．

［解析]k PQ＝错误!＝错误!<0,又倾斜角的取值范围为［0，π),故直线PQ的倾斜角的取值范围为错误!.

[答案]错误!

（2)(2020·太原模拟)已知点A（2,－3),B（－3,－2),直线l过点P(1，

1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．

[解析］如图所示，k PA＝错误!＝－4，k PB＝错误!＝错误!.要使直线l 与线段AB有交点，则有k≥错误!或k≤－4。

［答案］（－∞,－4]∪错误!

挖掘2依据直线方程求斜率、倾斜角/ 互动探究

[例2］（1）直线2x cos α－y－3＝0错误!的倾斜角的取值范围是(）

A。错误!B．错误!

C.错误!D。错误!

[解析］直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，

因为α∈错误!，所以错误!≤cos α≤错误!，

因此k＝2·cos α∈［1， 3 ］．

设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈［1,错误!]．

又θ∈[0,π），所以θ∈错误!，

即倾斜角的取值范围是错误!。

[答案]B

（2)直线l：ax＋（a＋1）y＋2＝0的倾斜角大于45°，求a的取值范围．

[解析］当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°,符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－错误!.

则有－错误!>1或－错误!〈0，

解得－1

围是错误!∪（0，＋∞）．

[破题技法］直线倾斜角与斜率的关系

（1)当α∈错误!且由0增大到错误!错误!时，k由0增大到＋∞.（2）当α∈错误!时,k也是关于α的单调函数,当α在此区间内由错误!

错误!增大到π(α≠π）时,k由－∞趋近于0（k≠0)．

（3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率．

考点二求直线方程

挖掘求直线方程的方法/ 自主练透

[例]求适合下列条件的直线方程：

(1)求过点（2，1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程；

（2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

[解析］(1)法一：由题意可设直线方程为错误!＋错误!＝1。

则错误!解得a＝b＝3,或a＝4，b＝2。

故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0。

法二:设直线方程为y＝kx＋b,则在x轴上的截距为－错误!，所以b ＋错误!＝6，①

又直线过点(2,1),则2k＋b＝1.②

由①②得错误!

或错误!

故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0。

（2）当直线不过原点时，

设所求直线方程为错误!＋错误!＝1，

将（－5，2）代入所设方程，

解得a＝－错误!,

此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.

当直线过原点时,斜率k＝－错误!,