2022数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师文档教案文

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
授课提示：对应学生用书第150页
[基础梳理］
1．直线的倾斜角
(1）定义:
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π）．2
条件公式
直线的倾斜角θ，且θ≠90°
k＝tan__θ
直线过点A(x1，y1），B（x2，
y2) 且x1≠x2
k＝y1－y2 x1－x2
3.
条件两直线
位置关
系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，
k2平行
k1＝k2
k1与k2都不存在垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、
另一个不存在
4。

直线方程的五种形式
名称已知条件方程适用范围
点斜式斜率k与点（x1，
y1）
y－y1＝
k(x－x1）
不含直线x
＝x1
斜截式斜率k与直线
在y轴上的截
距b
y＝kx＋b
不含垂直于
x轴的直线
两点式两点(x1,y1），
(x2，y2)
错误!＝错误!
（x1≠x2,y1
≠y2)
不含直线x
＝x1（x1＝x2)
和直线y＝
y1（y1＝y2)
截距式直线在x轴、y
轴上的截距分
别为a，b
错误!＋错误!
＝1(a≠0，
b≠0)
不含垂直于
坐标轴和过
原点的直线
一般式Ax＋By＋
C＝0(A2
＋B2≠0）
平面直角坐
标系内的直
线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1),(x2，y2）,线段P1,P2的中点M的坐标为（x，y)，则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点
(1）倾斜角α的范围是［0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为：
(2）当倾斜角为90˚时,直线垂直于x轴，斜率不存在．
2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0。

[四基自测]
1．（基础点：根据两点求斜率）过点M（－2，m)，N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）
A．1B．4
C．1或3 D.1或4
答案:A
2．（基础点:直线的倾斜角与斜率的关系）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是()
A.错误!B．错误!
C。

错误!D。

错误!
答案：D
3．(基础点：直线的点斜式方程）已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－错误!,则直线l的方程为________．
答案：3x＋4y－14＝0
4．（易错点：直线的截距概念)过点(5，0），且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．
答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0
授课提示：对应学生用书第151页
考点一直线的倾斜角与斜率
挖掘1依据两点求斜率、倾斜角/ 自主练透
[例1](1)(2020·常州模拟）若ab〈0,则过点P错误!与Q错误!的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．
［解析]k PQ＝错误!＝错误!<0,又倾斜角的取值范围为［0，π),故直线PQ的倾斜角的取值范围为错误!.
[答案]错误!
（2)(2020·太原模拟)已知点A（2,－3),B（－3,－2),直线l过点P(1，
1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．
[解析］如图所示，k PA＝错误!＝－4，k PB＝错误!＝错误!.要使直线l 与线段AB有交点，则有k≥错误!或k≤－4。

［答案］（－∞,－4]∪错误!
挖掘2依据直线方程求斜率、倾斜角/ 互动探究
[例2］（1）直线2x cos α－y－3＝0错误!的倾斜角的取值范围是(）
A。

错误!B．错误!
C.错误!D。

错误!
[解析］直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈错误!，所以错误!≤cos α≤错误!，
因此k＝2·cos α∈［1， 3 ］．
设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈［1,错误!]．
又θ∈[0,π），所以θ∈错误!，
即倾斜角的取值范围是错误!。

[答案]B
（2)直线l：ax＋（a＋1）y＋2＝0的倾斜角大于45°，求a的取值范围．
[解析］当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°,符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－错误!.
则有－错误!>1或－错误!〈0，
解得－1<a<－错误!或a<－1或a〉0。

综上可知,实数a的取值范
围是错误!∪（0，＋∞）．
[破题技法］直线倾斜角与斜率的关系
（1)当α∈错误!且由0增大到错误!错误!时，k由0增大到＋∞.（2）当α∈错误!时,k也是关于α的单调函数,当α在此区间内由错误!
错误!增大到π(α≠π）时,k由－∞趋近于0（k≠0)．
（3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率．
考点二求直线方程
挖掘求直线方程的方法/ 自主练透
[例]求适合下列条件的直线方程：
(1)求过点（2，1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程；
（2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
[解析］(1)法一：由题意可设直线方程为错误!＋错误!＝1。

则错误!解得a＝b＝3,或a＝4，b＝2。

故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0。

法二:设直线方程为y＝kx＋b,则在x轴上的截距为－错误!，所以b ＋错误!＝6，①
又直线过点(2,1),则2k＋b＝1.②
由①②得错误!
或错误!
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0。

（2）当直线不过原点时，
设所求直线方程为错误!＋错误!＝1，
将（－5，2）代入所设方程，
解得a＝－错误!,
此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
当直线过原点时,斜率k＝－错误!,
直线方程为y＝－错误!x，即2x＋5y＝0，
综上可知，所求直线方程为
x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0。

[破题技法]1。

求直线方程的方法
方法解读题型
直接法直接求出直线方程所
需要的标量
适合于直线标量
易求的题目
待定系数法设出直线方程形式，
待定其中的标量
适合于条件较多
而隐含的题目
注意:考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．
2．设直线方程的常用技巧
(1）已知直线纵截距b，常设其方程为y＝kx＋b（需保证斜率存在）；
(2)已知直线横截距x0，常设其方程为x＝my＋x0（它不适用于斜率为0的直线）；
(3）已知直线过点（x0，y0），当斜率k存在时,常设其方程为y －y0＝k(x－x0)，当斜率k不存在时,则其方程为x＝x0；
（4)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可表示为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C）;
（5）与直线l:Ax＋By＋C＝0垂直的直线可表示为Bx－Ay＋C1＝0；
（6）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)。

在本例（2)中,改为“过点A(－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为错误!”，求直线方程．
解析：设所求直线在x轴的截距为a，在y轴上的截距为b,则
错误!,∴错误!，或错误!.
∴方程为x＋y＋3＝0或4x＋25y－30＝0.
考点三两条直线的位置关系
挖掘1利用平行、垂直求参数/ 自主练透
[例1]已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0,试确定m，n的值，使
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为－1.
[解析］(1）∵l1∥l2,∴错误!
解得错误!或错误!
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(2）当且仅当2m＋8m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2。

又－错误!＝－1，∴n＝8。

即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
1．“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝0时，l1:x－3＝0,l2：2x－1＝0,故l1∥l2.
当l1∥l2时，若l1与l2斜率不存在，则a＝0;
若l1与l2斜率都存在，则a≠0，有－错误!＝－错误!且错误!≠错误!，解得a∈∅,故当l1∥l2时，有a＝0。

故选C。

答案：C
2．已知直线l1：（a＋2）x＋（1－a）y－3＝0与直线l2：(a－1）x＋（2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1"是“l1⊥l2”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析:l1⊥l2的充要条件是（a＋2）（a－1）＋(1－a)·（2a＋3）＝0，即a2－1＝0，故有(a－1）（a＋1)＝0，解得a＝±1。

显然“a ＝1”是“a＝±1"的充分不必要条件，故选A.
答案：A
挖掘2利用平行或垂直关系求直线方程/ 互动探究
［例2]（1）已知点P1(2,3），P2(－4,5）和A(－1,2）,则过点A 且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．
［解析]当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时,由直线
P1P2的斜率k＝3－5
2＋4＝－错误!,得所求直线的方程为y－2＝－错误!
（x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为（－1，4)，所以直线方程为x＝－1.综上所述，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
[答案]x＋3y－5＝0或x＝－1。

(2)已知正方形的中心为点M(－1，0)，一条边所在直线方程是x ＋3y－5＝0。

求正方形其他三边所在直线的方程．
[解析]如图，过M作边AD所在直线x＋3y－5＝0的垂线，垂足为E.
|ME｜＝错误!
＝3
5错误!.
设直线BC的方程为x＋3y－m＝0，则M到BC的距离是错误!.
令错误!＝错误!错误!。

解得m＝－7，或m＝5。

所以，直线BC的方程为x＋3y＋7＝0.
因为直线AB与AD垂直,所以设它的方程为3x－y－n＝0。

则M到AB的距离是错误!.
令错误!＝错误!错误!。

解得n＝3，或n＝－9.
所以，直线AB，CD的方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是3x－y＋9＝0，x ＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
［破题技法]两直线位置关系的判断方法
课时规范练单独成册：对应学生用书第297页。