2022数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师文档教案文
直线的倾斜角和斜率教案
直线的倾斜角和斜率教案教案标题：直线的倾斜角和斜率教案教案目标：1. 了解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 学习如何计算直线的倾斜角和斜率。
3. 掌握直线倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾直线的定义，并提问：你们知道直线的倾斜角和斜率是什么吗？知识讲解：2. 解释直线的倾斜角是指直线与水平线之间的夹角，介绍如何通过直线上两点的坐标计算倾斜角。
3. 解释直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值，介绍如何通过直线上两点的坐标计算斜率。
示例演练：4. 给出几个直线的示例，引导学生计算每条直线的倾斜角和斜率。
5. 引导学生思考不同斜率和倾斜角对应的直线形态和特点。
应用实践：6. 提供一些实际问题，要求学生根据给定的直线斜率或倾斜角，解决问题。
- 例如：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，这辆汽车的倾斜角是多少？- 例如：某校田径场的跑道是直线形状，每个标准跑道的长度是400米，倾斜角是多少？拓展练习：7. 提供一些更复杂的直线问题，要求学生应用倾斜角和斜率的概念解决问题。
总结回顾：8. 总结直线的倾斜角和斜率的概念和计算方法。
9. 强调直线倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
评估：10. 给学生提供一些练习题，检验他们对直线倾斜角和斜率的理解和应用能力。
教学资源：- 直尺、量角器等测量工具- 白板或投影仪- 实际问题的案例和练习题教学延伸：- 引导学生进一步探究直线的方程与倾斜角、斜率的关系。
- 引导学生研究曲线的倾斜角和斜率。
教学提示：- 在讲解倾斜角和斜率的计算方法时，使用具体的示例来帮助学生理解。
- 鼓励学生积极参与示例演练和应用实践，提高他们的实际运用能力。
- 鼓励学生思考和讨论直线倾斜角和斜率在现实生活中的应用场景。
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)直线的倾斜角和斜率直线的斜率和倾斜角是数学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述直线的特性。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
1. 斜率的定义和计算方法斜率是直线上的两个点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
用数学符号表示，斜率可以表示为：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
例如，有一条直线上的两个点分别为A(1, 2)和B(4, 5)，我们可以计算这条直线的斜率：m = (5 - 2)/(4 - 1)= 3/3= 1所以，这条直线的斜率为1。
2. 斜率的特性斜率可以帮助我们判断直线的特性，如下所示：- 当斜率为正数时，直线是向上倾斜的。
斜率越大，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为负数时，直线是向下倾斜的。
斜率越小，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为0时，直线是水平的。
- 当斜率不存在（除数为0）时，直线是垂直的。
通过计算直线的斜率，我们可以快速了解直线的倾斜情况，并对其特性进行分析。
3. 倾斜角的定义和计算方法倾斜角是直线与水平线之间的夹角，用数学符号表示为θ。
对于任意一条直线，可以通过其斜率来计算倾斜角。
倾斜角的计算方法如下：- 当直线向上倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m)。
- 当直线向下倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m) + π。
- 当直线是水平的时，倾斜角为θ = 0。
- 当直线是垂直的时，倾斜角不存在。
4. 实例分析让我们通过几个实例来进一步理解直线的倾斜角和斜率。
实例一：有一条直线通过点A(-2, 1)和B(4, 9)。
计算直线的斜率和倾斜角。
通过斜率的计算公式，我们可以得到直线的斜率：m = (9 - 1)/(4 - (-2))= 8/6= 4/3接下来，我们可以计算直线的倾斜角：θ = arctan(4/3)实例二：有一条直线通过点C(3, 2)和D(3, 8)。
直线的倾斜角与斜率教案
直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率计算公式，能够计算直线的斜率。
3. 让学生了解直线的倾斜角与斜率之间的关系，能够运用关系解决问题。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率计算公式，直线的倾斜角与斜率之间的关系。
2. 教学难点：直线的倾斜角与斜率之间的关系的运用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究直线的倾斜角与斜率之间的关系。
2. 利用数形结合法，让学生在几何图形中观察和理解直线的倾斜角与斜率。
3. 运用实例分析法，让学生通过实际问题运用直线的倾斜角与斜率之间的关系。
四、教学准备：1. 教学课件：直线的倾斜角与斜率的定义及计算公式。
2. 教学素材：几何图形、实际问题。
3. 教学工具：黑板、粉笔、直尺、圆规。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习平面几何中直线的基本概念，引导学生进入直线的倾斜角与斜率的学习。
2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解如何求直线的倾斜角。
3. 讲解直线的斜率：介绍直线的斜率计算公式，讲解如何计算直线的斜率。
4. 探究直线的倾斜角与斜率之间的关系：引导学生通过几何图形和实际问题，探究直线的倾斜角与斜率之间的关系。
5. 巩固知识：通过实例分析，让学生运用直线的倾斜角与斜率之间的关系解决问题。
6. 课堂小结：总结直线的倾斜角与斜率的概念、计算方法和关系。
7. 布置作业：布置有关直线的倾斜角与斜率的练习题，巩固所学知识。
六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了直线的倾斜角与斜率的概念和计算方法，以及是否能够运用关系解决问题。
如有问题，要及时调整教学方法，提高教学质量。
七、课时安排：本节课安排2课时，第一课时讲解直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法，第二课时讲解直线的倾斜角与斜率之间的关系和巩固知识。
八、教学评价：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对直线的倾斜角与斜率的掌握程度。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。
5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。
3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。
6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。
说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。
2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。
3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。
七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。
因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。
2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。
我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。
同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。
二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。
我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。
2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。
同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。
三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。
2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。
4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。
二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。
直线的倾斜角和斜率教案
直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.掌握求直线的倾斜角和斜率的方法；3.能够应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学重点1.直线的倾斜角和斜率的概念；2.求直线的倾斜角和斜率的方法。
三、教学难点1.直线的倾斜角和斜率的关系；2.应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
四、教学内容1. 直线的倾斜角和斜率的概念直线的倾斜角是指直线与水平线之间的夹角，用α表示。
直线的斜率是指直线的倾斜程度，用k表示。
2. 求直线的倾斜角和斜率的方法（1）已知直线的解析式设直线的解析式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
直线的倾斜角可以用斜率k求得，即tanα=k。
直线的斜率可以用解析式求得，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。
（2）已知直线上两点坐标设直线上两点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)。
直线的倾斜角可以用斜率k求得，即tanα=k=(y2-y1)/(x2-x1)。
直线的斜率可以用解析式求得，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。
3. 应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题（1）求两条直线的夹角设两条直线的斜率分别为k1和k2，则两条直线的夹角为α=|tan(k2-k1)/(1+k1k2)|。
（2）求直线的方程已知直线上一点坐标为(x1,y1)和直线的斜率为k，则直线的解析式为y-y1=k(x-x1)。
（3）求直线与坐标轴的交点设直线与x轴的交点坐标为(x,0)，则x=-b/k。
设直线与y轴的交点坐标为(0,b)，则b=y1-kx1。
五、教学方法1.讲解法：通过讲解直线的倾斜角和斜率的概念、求解直线的倾斜角和斜率的方法以及应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题的步骤，让学生掌握相关知识点。
2.案例分析法：通过实际案例，让学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的实际应用能力。
3.互动探究法：通过让学生自己探究直线的倾斜角和斜率的关系，提高学生的自主学习能力。
六、教学评价1.课堂练习：通过课堂练习，检查学生对直线的倾斜角和斜率的掌握程度。
直线的倾斜角和斜率教学教案
直线的倾斜角和斜率一教学教案教学目标(1)了解直线方程的概念.(2)正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率.(3)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.(4)通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探究能力，运用数学言语表达能力，数学交流与评价能力.(5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，援助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学建议1.教材分析(1)知识结构本节内容首先依据一次函数与其图像一一直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而完成了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式.这些充分表达了解析几何的思想方法.(2)重点、难点分析①本节的重点是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及商量直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键.②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不简单接受.2.教法建议(1)本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相应的教学过程也有三个阶段①在教学中首先是创设问题情境，然后通过商量明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在商量中逐渐明确倾斜角的概念.②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗.再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪要解决这些问题，就要求教师援助学生认识到在直线的方程中表达的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程(一次函数的形式，下同)中X的系数恰好就是直线倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：(1)α变化一直线变化一中的系数变化(同时注意的变化(2)中的系数变化一直线变化一Q变化(同时注意的变化〕.运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对援助学生理解斜率概念是极有好处的.③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作肯定的复习打算.④在学习直线方程的概念时要通过举例清楚地指出两个条件，最好能用充要条件表达直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好打算.(2)本节内容在教学中宜采纳启发引导法和商量法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式.学生在积极思维的根底上，进行充分的商量、争辩、交流、和评价.倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在商量、交流、评价中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的开展.教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价.教学设计例如直线的倾斜角和斜率教学目标：(1)了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，(2)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.(3)培养学生观察、探究能力，运用数学言语表达能力，数学交流与评价能力.(4)援助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学用具：计算机教学方法：启发引导法，商量法教学过程：(一)直线方程的概念如图1,对于一次函数，和它的图像一一直线有下面关系：(1)有序数对(0,1)满足函数，则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1).(2)反过来，直线上点B(1,3),则有序实数对(1,3)就满足.一般地，满足函数式的每一对，的值，都是直线上的点的坐标(，)；反之，直线上每一点的坐标都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对X,y的值为坐标的点构成的.从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数的每一对，的值“变成了〃二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系.定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的全部点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线.以上定义改用集合表述：，的二元一次方程的解为坐标的集合，记作.假设(1) (2),则.问：你能用充要条件表达吗？答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….（问题1）请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同.99过定点，方向不同.如何确定一条直线？两点确定一条直线.还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、答复：这条直线的方向，或者说倾斜程度.（导入）今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.（问题2）在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？商量之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的.学生：展开商量.学生商量过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导.通过商量认为：应选择α角来刻画直线的方向.依据三角函数的知识，说明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.（板书）定义：一条直线1向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角.（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角.）特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0。
直线的倾斜角与斜率教案
教学课题 3.1.1直线的倾斜角与斜率教学目标与过程1、知识与技能（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）体验用代数方法刻画直线斜率的过程；（3）掌握过两点的直线的斜率公式及应用；(4)通过小结把具体知识（斜率公式）的掌握深化成一种数学思想（数形结合）。
2、过程与方法通过讲述小故事，培养学生对所学新知识的亲切感，激发学习热情，拉近知识与生活的距离。
3、情感态度与价值观在教学中首先让学生从源头上了解知识的脉络，然后充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。
教学重点1、初步培养学生的数形结合的思想；2、直线的倾斜角和斜率的概念；3、过两点的直线的斜率公式；教学难点过两点的直线的斜率公式的导出课时安排 1课时教学用具 板书 教学方法情景教学法、讲授法、直观教学法3.1.1直线的倾斜角与斜率昆明市第一中学赵燕艳教学设计思路讲述笛卡尔开创解析几何的传奇故事，把知识植根于生活，使学生对即将学习的解析几何知识有亲切感，同时也用笛卡尔在艰难波折生活中，坚持不懈、积极探索的精神鼓舞学生。
用在黑板上固定一根棍子的简单生活实例，引出坐标系内确定直线位置的几何要素。
在探究确定直线位置的过程中，给出倾斜角的定义，并由定义归纳出倾斜角的范围。
由生活中坡度的实例，引出斜率的数学概念。
再由斜率的定义推导出用直线上的两点表示出斜率的公式。
最后，通过对斜率公式的深入观察和分析，深化数形结合的思想。
具体教学过程1、 新课导入同学们好，今天我们开始学习数学的一个重要分支——解析几何。
同学们知道，在几何问题的研究中，我们主要依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。
现在，我们要采用另外一种方法——坐标法，就是以坐标为桥梁，把几何问题转化为代数问题。
通过代数运算研究几何图形。
我举个通俗的例子，同学们如果我问你，你们家住哪儿，你可以带领我去，嗯，这是最原始的办法；你可以画张图告诉我,那类似几何方法，当然，一般你们是告诉我住址，其实住址就是一个位置坐标。
《直线倾斜角与斜率》课程教案及说明
,.直线的倾斜角与斜率的授课方案一、授课目的1、研究确定直线地址的几何要素，感觉倾斜角这个反响倾斜程度的几何量的形成过程。
2、经过授课，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感觉数学看法本源于生活实质，数学看法的形成是自然的，从而浸透辩证唯物主义思想。
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线有关于x 轴倾斜程度的两个量这一事实，浸透数形结合思想。
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过两点的直线的斜率计算公式，浸透几何问题代数化的解析几何研究思想。
二、授课重点与难点重点： 1、感悟并形成倾斜角与斜率两个看法；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、领悟数形结合及分类谈论思想在看法形成及公式推导中的作用。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、授课方法计算机辅助授课与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极研究，亲身经历看法的发现与形成过程，体验,.公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、授课过程〔一〕创立情境，揭穿课题问题 1 、〔出示幻灯片〕给出的两点P、Q 相同吗？从形的角度看，它们有地址之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，怎样区分两个点？〔用坐标区分〕问题 2 、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点〔如点 P〕可作多少条直线？假设只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？〔估计很多学生能意识到需要有一个角〕由此引导学生概括，确定直线地址可有两种方式（1〕直线上两点（2〕直线上一点和直线的倾斜程度问题 3 、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必定还有一条形成角的参照的直线。
在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？〔学生可能答复x 轴或 y 轴〕以 x 轴或 y 轴为基准都可以，习惯上我们用x 轴。
问题 4 、过点 P 与 x 轴形成 45 角的直线有几条？〔学生可能答一条或两条，投影yL1 L2演示结果〕怎样区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方p·。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念：直线与x轴正方向所成的角称为直线的倾斜角。
2. 直线的斜率与倾斜角的关系：直线的斜率k等于tan(倾斜角)。
3. 直线的斜率的计算：给定直线的倾斜角，可以计算出直线的斜率。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。
2. 采用例题解析法，通过例题讲解如何计算直线的斜率。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾初中阶段学习的直线倾斜角的概念。
2. 讲解直线的倾斜角的概念，解释斜率与倾斜角的关系。
3. 讲解直线的斜率的计算方法，并通过例题进行讲解。
4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对直线倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用直线的倾斜角和斜率解决问题的能力。
说明：本教案分为五个部分，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学步骤和教学评价。
在教学过程中，要注意引导学生理解直线的倾斜角的概念，掌握斜率与倾斜角的关系，并通过练习题让学生巩固所学知识。
教案中的教学内容可以根据实际情况进行调整。
六、教学拓展1. 讨论斜率的正负性：解释当倾斜角大于45度时，斜率为正；小于45度时，斜率为负。
2. 探究斜率与倾斜角的关系：引导学生通过绘制不同倾斜角的直线，观察斜率的变化。
七、实际应用1. 生活实例：举例说明直线的倾斜角和斜率在生活中的应用，如建筑物的屋顶斜率、道路的坡度等。
2. 数学应用：引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决数学问题，如计算直线与坐标轴的交点、直线的方程等。
八、课堂小结1. 回顾本节课所学的内容，强调直线的倾斜角的概念和斜率与倾斜角的关系。
《直线的倾斜角和斜率》教学设计和教案
《直线的倾斜角和斜率》教学设计直线的倾斜角和斜率教学设计说明一、教学内容分析本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）教学第二册（上）》（人教版）第七章第1节课《7.1直线的倾斜角和斜率》。
根据实际情况，这是第一课时。
本节教学是高中解析几何内容的开始。
直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素和代数表示，是平面直角坐标系内以解析法的方式来研究直线及其几何性质的基础。
通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用意识。
本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用二、教学目标分析了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
经厉几何问题代数化的过程，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良好品质三、教学问题诊断分析1、两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中，通过逐个给出的三个问题，让学生在讨论后形成倾斜角的概念。
2、斜率概念的学习是本节的难点，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的而倾斜角是唯一的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生也有一定的困难，教学中从计算具体的直线的倾斜角入手，通过师生对话探究，从学习斜率的必要性、合理性、完备性三个角度进行突破。
3、过两点的斜率概念的建立是本节又一难点，受思维定势影响，在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应重视这一方法，除此之外，要积极引导学生应用向量法，把几何要素用点的坐标来刻画描述，使几何问题代数化。
四、教法特点及预期效果分析1、教学上应用新课标理念，以启发式为主。
亚里士多德讲：“思维从问题，惊讶从开始”。
通过问题驱动法，采用师生对话的方式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣和欲望，也可加深对得到概念的理解。
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)
《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标(一)知识教学点知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．(二)能力训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力．(三)学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．二、教材分析1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？三、活动设计启发、思考、问答、讨论、练习．四、教学过程(一)复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的：∵A(1，2)的坐标满足函数式，∴点A在函数图象上．∵B(2，1)的坐标不满足函数式，∴点B不在函数图象上．现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．)讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．(二)直线的方程引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．(三)进一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．(四)直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．(五)直线的斜率倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．(六)过两点的直线的斜率公式在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．(七)例题例1 如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．例2 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．∴t gα=-1．∵0°≤α＜180°，∴α=135°．因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．(八)课后小结(1)直线的方程的倾斜角的概念．(2)直线的倾斜角和斜率的概念．(3)直线的斜率公式．五、布置作业1．(1.3练习第1题)在坐标平面上，画出下列方程的直线：(1)y=x(2)2x+3y=6(3)2x+3y+6=0(4)2x-3y+6=0作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．2．(1.4练习第2题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：(1)C(10，8)，D(4，-4)；解：(1)k=2 α=arctg2．(3)k=1，α=45°．3．(1.4练习第3题)已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．∵A、B、C三点在一条直线上，∴kAB=kAC．六、板书设计。
说明直线的倾斜角与斜率教案
说明直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率与倾斜角的关系。
三、教学难点：1. 直线的倾斜角的求法。
2. 直线的斜率的计算。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括直线的倾斜角与斜率的定义、计算方法及应用实例。
2. 学生准备笔记本，用于记录教学内容。
五、教学过程：1. 导入：教师通过PPT展示直线倾斜角与斜率的定义，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 新课：教师讲解直线的倾斜角的概念，解释直线的斜率与倾斜角的关系，并通过例题演示求直线的倾斜角和斜率的方法。
3. 练习：学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 拓展：教师提出实际问题，引导学生运用直线的倾斜角和斜率的知识解决问题。
6. 作业：学生完成PPT上的课后作业，巩固所学知识。
六、教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了直线的倾斜角和斜率的知识，以及是否有效地解决了实际问题。
七、教学评价：教师通过学生的课后作业、课堂表现和实际问题解决能力来评价学生对直线的倾斜角和斜率的理解和应用能力。
八、教学拓展：教师可以引导学生进一步研究直线的倾斜角和斜率在实际应用中的作用，如物理学、工程学等领域。
九、教学参考资料：1. 数学教材。
2. 相关教案和教学文章。
3. 互联网上的教育资源。
十、教学时间：1课时（40分钟）六、教学活动设计：1. 导入活动：通过PPT展示实际生活中的直线图像，如斜坡、建筑物等，让学生观察并思考这些直线的倾斜角和斜率。
2. 课堂活动：教师引导学生通过合作探究的方式，探讨直线的倾斜角与斜率的关系，并分享各自的学习心得。
3. 实践活动：学生分组进行实践活动，利用直尺、三角板等工具，测量实际物体或图片上的直线倾斜角，并计算其斜率。
直线的倾斜角与斜率 优秀教案
直线的倾斜角与斜率教学设计一、教材的地位与作用直线的倾斜角和斜率，是解析几何的重要概念之一，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的起点。
有着开启全章的作用。
学生在原有的对直线有关性质和平面向量相关知识理解的基础上，重新以坐标化的方式来研究直线的相关性质；突出用代数方面解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活的应用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。
从倾斜角到斜率实现了解析几何代数化的过程，初步渗透“坐标法”与数形结合思想方法。
用坐标法研究平面上最简单的图形—直线，对数学2中平面解析几何初步内容起到了关键的作用二、学情分析对象是重点中学的普通班的高一同学，比较比较活泼，求知欲强，而且已具备了直角坐标系、平面向量的知识，都具备了情感保证和认知基础。
三、教学目标知识与技能目标：理解解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握两点斜率公式及应用利用斜率和倾斜角从数和形两方面来刻画直线相对于x轴的倾斜程度，过程与方法目标：理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解坐标法的基本步骤，感受解析几何的思想方法初步感悟数形结合的数学思想，提高抽象概括能力;情感与价值观目标：通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育让学生参与到直线斜率公式的推导过程中，使学生享受获取知识成功后的喜悦；通过计算机辅助教学，展现动态数学，使学生体会数形结合的美感；三、教学重难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，以及过两点的直线的斜率公式；教学难点：斜率公式的推导；四、教学问题诊断平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。
事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。
(完整版)直线的倾斜角和斜率教案
《直线的倾斜角和斜率》教案教学目的：1.了解“坐标法”2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；3.已知直线的倾斜角，求直线的斜率4.已知直线的斜率，求直线的倾斜角5.培养学生“数形结合”的数学思想.教学重点：斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程.教学难点：1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.2运用两点坐标计算直线的斜率授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体教学过程：一.知识背景与课题的引入1.从本章起,我们研究什么?怎样研究?解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一.在解析几何学中,我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质。
坐标法是以坐标系为基础,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,它是解析几何中最基本的研究方法.本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程.然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等.2．课题的引入下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角和斜率.二.新课1问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于轴或于轴重合的直线的倾斜角为0°问题2直线倾斜角的范围是多少?这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角 ,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等, 倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等.问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量: 例如:坡度(比)= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果 是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slop) 记作:tank问题4(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在. ( 是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负)反映了直线向右或向左倾斜的程度,特别是倾斜角 是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样. 探究：由两点确定的直线的斜率111222(,),(,),l P x y P x y 设直线经过两点求此直线的斜率. 由相似三角形，我们有2121y y k x x(1)当倾斜角为0°时,此公式适用吗？(2)当倾斜角为90°时,此公式使用吗？不适用综上讨论,我们得到经过两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x 的直线的斜率为2121y y k x x 三.练习l l 1(2)已知直线经过点A(0,1)，B(,2)，求的倾斜角的取值范围sin2:l O 例已知直线过原点，且与线段MN 相交,又M(-2,4),N(3,2)(1),OM ON MN 求直线，的斜率.(2),,(4,),.M N P a a 设三点共线求的值(3).l 求直线的斜率的取值范围 11,.l l l l l 11212例：(1)直线的倾斜角＝30直线与垂直，求与的斜率(4).MN l P y 若与交与点（x,y ），求的取值范围x(5)(,)3.l MN P x y l k P 若与交与点，且的斜率 求点坐标,,,.a c a a b c R a b b c b思考：+已知且，求证四.小结1、填表：2、强调斜率公式的应用，能解决哪些类型的问题？五.课后作业:P 练习题1、2、3、4六．教学后记。
2022年教学教材《《倾斜角与斜率、直线的方程》学生版》优秀教案
直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围为[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2 x1－x2.3．直线方程4.两直线的平行、垂直与其斜率的关系5.两条直线的交点6．三种距离考点一__直线的倾斜角与斜率___典例1．假设直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，那么直线l的倾斜角的取值范围是______________．考点二__求直线的方程(高频考点)___典例2．过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__________________．[名师点评](1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时截距是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)此题对截距是否为0进行分类讨论，易忽略截距为0的情况．考点三__两条直线平行与垂直_______典例3．直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．注意:两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.考点四__两条直线的交点___典例4．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，〔1〕求与直线l3：3x－4y＋5＝0平行的直线l的方程．〔2〕求与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．[规律方法] (1)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点． (2)常见的三大直线系方程：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R)．③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)，但不包括l 2.考点五__对称问题____典例5．直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．[规律方法] (1)关于中心对称问题的处理方法： ① 假设点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称， 那么由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线关于点的对称，其主要方法是：在直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程．(2)关于轴对称问题的处理方法： ①点关于直线的对称假设两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，那么线段P 1P 2的中点在l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 〔x 1＋x 22〕＋B 〔y 1＋y 22〕＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·〔－AB 〕＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是直线与对称轴相交；二是直线与对称轴平行．考点六、__综合问题____典例6．直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)假设直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)假设直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．。
数学教案-直线的倾斜角和斜率 教案
一、教学目标：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；在变式中，拓展提高；通过积极参与数学学习活动，培养学生自主探究能力，勇于创新的精神和合作学习的习惯；重点是正确理解完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，并初步运用；难点是完全平方公式的运用。
二、教学过程：1.检查学生的“预习知识树”，导入课题：师：前面学习了平方差公式，同学们对平方差公式的结构特点、运用以及学习公式的意义有了初步的认识。
今天，我们继续学习、研究另一种“乘法公式”——完全平方公式。
请拿出你的“预习知识树”，小组内互查并交流，在预习中有疑问的同学请询问。
(活动：老师巡视、检查学生的预习情况，并解答学生在预习中存在的问题)生：(互查、讨论“预习知识树”，有问题的询问问题。
)师：(老师点评学生预习情况，并出示老师做的“知识树”，引出课题：完全平方公式。
)说明：把预习提到课前，利用“知识树”引导学生自学，学生可以独立思考、自主学习，也可合作交流、讨论研究，这样预习会更充分，听讲时就能有准备、有选择；一上课，老师就检查“预习知识树”，了解学生新课学习情况，适当点拨，在课堂上留出更多的时间大量拓展、提高，发展学生的能力。
2.自学检测，制造通用工具：师：下面进行自学检测.计算：⑴(x+3)2；⑵(2x-5)2；⑶(mn+t)2；⑷(-4x+y2)2。
(活动：投影显示练习题。
)生：(四人到黑板上板演，答错了，由学生纠正，老师再点评。
)师：观察练习，公式中的a、b可代表什么？生：可以表示一个数，也可以表示一个单项式、多项式。
说明：点评时，老师反复引导学生分清题目中哪部分相当于公式中的a，哪部分相当于公式中的b，就是让学生明确“公式中的a、b可表示数，也可表示一个单项式、多项式或其他的式子”的变化规律，即制造通用工具。
在前面学习平方差公式时，学生应该认识到这个道理，在这里再次强化。
师：说得非常好，明确“公式中的a、b可以表示一个数，也可以表示一个单项式、多项式”的变化规律，就能正确运用公式解题了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程授课提示：对应学生用书第150页[基础梳理］1．直线的倾斜角(1）定义:(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π）．2条件公式直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ直线过点A(x1，y1），B（x2，y2) 且x1≠x2k＝y1－y2 x1－x23.条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在4。
直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）y－y1＝k(x－x1）不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1,y1），(x2，y2)错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)不含直线x＝x1（x1＝x2)和直线y＝y1（y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!＋错误!＝1(a≠0，b≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1),(x2，y2）,线段P1,P2的中点M的坐标为（x，y)，则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1）倾斜角α的范围是［0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为：(2）当倾斜角为90˚时,直线垂直于x轴，斜率不存在．2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0。
[四基自测]1．（基础点：根据两点求斜率）过点M（－2，m)，N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）A．1B．4C．1或3 D.1或4答案:A2．（基础点:直线的倾斜角与斜率的关系）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是()A.错误!B．错误!C。
错误!D。
错误!答案：D3．(基础点：直线的点斜式方程）已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－错误!,则直线l的方程为________．答案：3x＋4y－14＝04．（易错点：直线的截距概念)过点(5，0），且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0授课提示：对应学生用书第151页考点一直线的倾斜角与斜率挖掘1依据两点求斜率、倾斜角/ 自主练透[例1](1)(2020·常州模拟）若ab〈0,则过点P错误!与Q错误!的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．［解析]k PQ＝错误!＝错误!<0,又倾斜角的取值范围为［0，π),故直线PQ的倾斜角的取值范围为错误!.[答案]错误!（2)(2020·太原模拟)已知点A（2,－3),B（－3,－2),直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．[解析］如图所示，k PA＝错误!＝－4，k PB＝错误!＝错误!.要使直线l 与线段AB有交点，则有k≥错误!或k≤－4。
［答案］（－∞,－4]∪错误!挖掘2依据直线方程求斜率、倾斜角/ 互动探究[例2］（1）直线2x cos α－y－3＝0错误!的倾斜角的取值范围是(）A。
错误!B．错误!C.错误!D。
错误![解析］直线2x cos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因为α∈错误!，所以错误!≤cos α≤错误!，因此k＝2·cos α∈［1， 3 ］．设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈［1,错误!]．又θ∈[0,π），所以θ∈错误!，即倾斜角的取值范围是错误!。
[答案]B（2)直线l：ax＋（a＋1）y＋2＝0的倾斜角大于45°，求a的取值范围．[解析］当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°,符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－错误!.则有－错误!>1或－错误!〈0，解得－1<a<－错误!或a<－1或a〉0。
综上可知,实数a的取值范围是错误!∪（0，＋∞）．[破题技法］直线倾斜角与斜率的关系（1)当α∈错误!且由0增大到错误!错误!时，k由0增大到＋∞.（2）当α∈错误!时,k也是关于α的单调函数,当α在此区间内由错误!错误!增大到π(α≠π）时,k由－∞趋近于0（k≠0)．（3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率．考点二求直线方程挖掘求直线方程的方法/ 自主练透[例]求适合下列条件的直线方程：(1)求过点（2，1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程；（2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．[解析］(1)法一：由题意可设直线方程为错误!＋错误!＝1。
则错误!解得a＝b＝3,或a＝4，b＝2。
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0。
法二:设直线方程为y＝kx＋b,则在x轴上的截距为－错误!，所以b ＋错误!＝6，①又直线过点(2,1),则2k＋b＝1.②由①②得错误!或错误!故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0。
（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为错误!＋错误!＝1，将（－5，2）代入所设方程，解得a＝－错误!,此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时,斜率k＝－错误!,直线方程为y＝－错误!x，即2x＋5y＝0，综上可知，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0。
[破题技法]1。
求直线方程的方法方法解读题型直接法直接求出直线方程所需要的标量适合于直线标量易求的题目待定系数法设出直线方程形式，待定其中的标量适合于条件较多而隐含的题目注意:考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．2．设直线方程的常用技巧(1）已知直线纵截距b，常设其方程为y＝kx＋b（需保证斜率存在）；(2)已知直线横截距x0，常设其方程为x＝my＋x0（它不适用于斜率为0的直线）；(3）已知直线过点（x0，y0），当斜率k存在时,常设其方程为y －y0＝k(x－x0)，当斜率k不存在时,则其方程为x＝x0；（4)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可表示为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C）;（5）与直线l:Ax＋By＋C＝0垂直的直线可表示为Bx－Ay＋C1＝0；（6）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)。
在本例（2)中,改为“过点A(－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为错误!”，求直线方程．解析：设所求直线在x轴的截距为a，在y轴上的截距为b,则错误!,∴错误!，或错误!.∴方程为x＋y＋3＝0或4x＋25y－30＝0.考点三两条直线的位置关系挖掘1利用平行、垂直求参数/ 自主练透[例1]已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0,试确定m，n的值，使(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为－1.[解析］(1）∵l1∥l2,∴错误!解得错误!或错误!即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(2）当且仅当2m＋8m＝0，即m＝0时，l1⊥l2。
又－错误!＝－1，∴n＝8。
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.1．“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝0时，l1:x－3＝0,l2：2x－1＝0,故l1∥l2.当l1∥l2时，若l1与l2斜率不存在，则a＝0;若l1与l2斜率都存在，则a≠0，有－错误!＝－错误!且错误!≠错误!，解得a∈∅,故当l1∥l2时，有a＝0。
故选C。
答案：C2．已知直线l1：（a＋2）x＋（1－a）y－3＝0与直线l2：(a－1）x＋（2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1"是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:l1⊥l2的充要条件是（a＋2）（a－1）＋(1－a)·（2a＋3）＝0，即a2－1＝0，故有(a－1）（a＋1)＝0，解得a＝±1。
显然“a ＝1”是“a＝±1"的充分不必要条件，故选A.答案：A挖掘2利用平行或垂直关系求直线方程/ 互动探究［例2]（1）已知点P1(2,3），P2(－4,5）和A(－1,2）,则过点A 且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．［解析]当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时,由直线P1P2的斜率k＝3－52＋4＝－错误!,得所求直线的方程为y－2＝－错误!（x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为（－1，4)，所以直线方程为x＝－1.综上所述，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.[答案]x＋3y－5＝0或x＝－1。
(2)已知正方形的中心为点M(－1，0)，一条边所在直线方程是x ＋3y－5＝0。
求正方形其他三边所在直线的方程．[解析]如图，过M作边AD所在直线x＋3y－5＝0的垂线，垂足为E.|ME｜＝错误!＝35错误!.设直线BC的方程为x＋3y－m＝0，则M到BC的距离是错误!.令错误!＝错误!错误!。
解得m＝－7，或m＝5。
所以，直线BC的方程为x＋3y＋7＝0.因为直线AB与AD垂直,所以设它的方程为3x－y－n＝0。
则M到AB的距离是错误!.令错误!＝错误!错误!。
解得n＝3，或n＝－9.所以，直线AB，CD的方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是3x－y＋9＝0，x ＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.［破题技法]两直线位置关系的判断方法课时规范练单独成册：对应学生用书第297页。