《新课标人教版高中数学》必会基础题型9—《算法》

《数学》必会基础题型——《算法》

【知识点1】基本概念

1.算法：广义的算法——某一工作的方法和步骤。

数学中的“算法”是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序。

2.算法三要素：明确性，可行性，有限性。

例题.给出求123100++++的一个算法。 解：第一步：使1S =；

第二步：使2I =；

第三步：使S S I =+；

第四步：使1I I =+； 第五步：如果100I ≤，则返回第三步，否则输出S 。

【知识点】流程图 1.顺序结构

例题.已知两个单元分别存放变量x 和y 的值，试交换这两个变量的值。（如上图） 2.选择结构

例题.铁路客运部门规定旅客托运行李的费用为（其中ω为行李的重量）

0.5350500.53(50)0.8550c ω

ωωω⨯≤⎧=⎨

⨯+-⨯>⎩，请画出计算费用c 流程图。（如右图）

3.循环结构

例题.写出求12345⨯⨯⨯⨯值的一个算法，并画出流程图。 解：1S 1T ←；

2S 2I ←； 3S T T I ←⨯； 4S 1I I ←+；

5S 如果5I ≤，转3S ， 否则输出T 。 【必会题型】

1.设计一个求任意数的绝对值的算法，

并画出流程图。（流程图为右上图） 算法：1S 输入任意实数x ； 2S 若0≥x ，则y x ←；否则y x ←-；

3S 输出y 。 2.判断右边的流程图的作用是什么？

算法：1S 2S ←；

2S 4I ←；

3S S S I ←+； 4S 2I I ←+；

5S 如果100I ≤，转3S ，否则输出S 。

p x ←x y ← y p ← ↓

↓

↓ ↓

3.设计一个计算10个数平均数的算法，并画出流程图。 解：1S 0S ←；

2S 1I ←； 3S 输入G ； 4S S S G ←+； 5S 1I I ←+；

6S 如果10I ≤，转3S ；

7S 10

S

A ←；

8S 输出A 。

4.画出求111

123100++++的流程图。

5.画出求111

122399100+++

⨯⨯⨯的流程图。 【知识点3】基本算法语句

1赋值语句：“x y ←”表示将y 的值赋给x ，其中x 是一个变量，y 是一个与x 同类型的变量或表达式。 2输入、输出语句：

输入、输出语句分别用Read (或Input )

3条件语句：一般形式为：If —then —（图1），对应的程序框图为（图2）。

例1.写出输入两个数a 和b ，将较大的数打印出来的算法，写出算法伪代码，并画出流程图。 算法步骤： S1 输入a,b ；

S2 若

a>b ，则输出a ， 否则输出b 。

（图1）

例2.某居民区的物业管理部门每月按以下方法收取卫生费：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．试设计算法，根据输入的人数计算应收取的卫生费？

例3：儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m ，则无需购票；若身高超过1.1 m 到不超过1.4 m ，可买半票；若超过1.4 m ，应买全票。试设计一个购票的算法，写出伪代码，并画出流程图。

解：算法步骤：S1 测量儿童身高h ； S2 若 1.1h ≤，则免费乘车；否则，若1.4h ≤，则半票乘车；否则，全票乘车。 算法伪代码： Read h If 1.1h ≤ Then Print 免费乘车 Else If 1.4h ≤ Then Print 半票乘车

Else Print 全票乘车

End If 当型循环结构： 直到型循环结构： 4.循环语句

例1.写出计算

135799⨯⨯⨯⨯⨯的一个

算法。

例2.写出计算1+2+3+4+ ……+99+100的算法。

1S ← While 100I ≤ S S I ←+ 1I I =+ End While Print S

End

1S ← do

S S I ←+ 1I I =+ Until 100I > End do Print S

End

例 3.求满足1357____10000⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯>的最小整数的算法。（根据右图填空）

【知识点4】秦九韶算法 秦九韶（1202—1261） “秦九韶算法”的特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值；对于一个n 次多项式，最多只要做n 次乘法和n 次加法。

练习：当2x =时，计算323245x x x ---需要 次

加法， 次乘法。 【知识点5】辗转相除法【用较大的数除以较小的数，直到余数0=r 为止】

例题：求8251和6105的最大公约数。 “辗转相除”伪代码： Read ,While Mod(,)0 Mod(,) End While

Print a b

a b r a b a b b r b

≠←←←

练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数。（答案：53） 【知识点6】更相减损术

1.用更相减损术求98与63的最大公约数。

2.用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。

【知识点7】二分法

例题：写出用二分法求解方程310x x --=在区间[1,1.5]内的一个近似解（误差不超过0.001）的一个算法。 算法步骤：

1S 取[,]a b 的中点02

a b

x +=

，把区间一分为二； 2S 若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判断根在0x 的左侧还是右侧；

若0()()0f a f x >，则根0(,)x b 内，以0x 代替a ； 若0()()0f a f x <，则根0(,)a x 内，以0x 代替b ；

3S 若||0.001a b -<，计算终止，此时根的近似值为0x ，否则转1S 。

1S ← 1I ←

While 10000S ≤

2I I ←+ *S S I ← End While Print I

End