初中数学竞赛专题选讲对称式(含答案)
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
初中数学竞赛专题选讲 对称式(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。
初中数学竞赛精品标准教程及练习35两种对称
初中数学竞赛精品标准教程及练习35两种对称数学竞赛是一项重要的学科竞赛活动，对于学生的数学素养和思维能力的培养非常有帮助。
而数学竞赛的核心内容之一就是对称性的研究和运用。
下面是一本初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要讲解了两种对称以及相关的题目训练。
一、点、线和面的对称1.点的对称：对称轴是指平面上的一条直线，将平面上的点分成两个互相重合的部分。
点关于对称轴的对称点与原点关于对称轴的垂直距离在对称轴两侧相等。
对称轴上的点是自身的对称点。
2.线的对称：对称轴是指平面上的一条直线，对称轴把平面分成两个互为镜像的区域。
线上的两点关于对称轴对称，线上的每一个点的对称点也在对称轴上。
3.面的对称：对称面是指一般三维空间的平面，平面将空间分为两个完全对称的部分。
平面上的每一个点的对称点都在对称面上。
二、图形的对称1.点的对称性：一个图形关于一个点对称，就是存在于这个图形的每一点关于这个点的对称点也在这个图形中。
2.线的对称性：一个图形关于一条线对称，就是存在于这个图形的每一点关于这条线的对称点也在这个图形中。
3.面的对称性：一个图形关于一个平面对称，就是存在于这个图形的每一点关于这个平面的对称点也在这个图形中。
三、对称性的运用1.利用对称性求解问题：利用对称性质可以简化问题，例如通过将一个点关于对称轴的对应点找出来，从而简化计算。
2.证明问题：对称性是证明问题的重要工具。
可以通过找到问题中的对称性质，从而推导出问题的结论。
四、题目训练以下是一些与对称性相关的常见题目，帮助学生进一步理解和运用对称性：1.镜面反射：一个角度为80度的光线在一面完全光滑的镜子上反射，求它的反射角度。
2.对称点坐标：平面上有点A(2,-3)，求点A关于直线y=2的对称点的坐标。
3.图形对称性：有一组数字：1,2,3,4,5,6,7,8,9、将这组数字按如下规则排列，使排列后的数字具有对称性：1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,14.证明对称性：证明一个多边形的内角和等于180度。
初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式
初中数学竞赛精品标准教程及练习50基本对称式初中数学竞赛是学生在学习数学的过程中，通过参与竞赛提高数学解题能力和思维能力的一种途径。
数学竞赛涉及的内容广泛，其中包括了对称式的研究和应用。
下面是一份关于初中数学竞赛精品标准教程及练习，主要包括了50个基本对称式的内容，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念在初中数学竞赛中，对称式是经常出现的问题类型之一、对称式指的是多项式在变量的置换下保持不变的表达式。
对称式在解题过程中具有简洁性和易于分析的特点，因此对称式在数学竞赛中有着重要的应用价值。
二、基本性质1.对称式具有对称性，即在变量的置换下保持不变。
2.对称式的系数可以是实数也可以是复数。
3.对称式可以通过系数相乘、相加等运算进行组合，得到新的对称式。
4.对称式的次数等于它所包含变量的最高次数。
三、基本类型1.对称多项式：这是最常见的对称式形式，指的是多项式在变量的置换下保持不变。
例如：* $xy+yz+zx$*$x^2+y^2+z^2$2.对称和与对称积：对称和指的是对称多项式相加得到的新的对称多项式，对称积指的是对称多项式相乘得到的新的对称多项式。
例如：*$a_1+a_2+a_3+...+a_n$*$a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3+...+a_{n-1}a_n$*$(x+y+z)(y+z+w)$3.对称因子与轮换对称因子：对称因子指的是对称多项式中每一项的因子都是对称的，而轮换对称因子指的是对称多项式中每一项的因子经过变量的置换后仍然是对称的。
4.对称和与对称积的运算法则：对称多项式的和与积都具有交换律和结合律。
四、基本性质与定理1.对称多项式可以通过对称元素的传递性进行分解和合并。
2.对称多项式中可以把含有部分变量的项提取出来，形成新的对称多项式。
3.如果一个对称多项式的每一项次数都是k的倍数，那么这个对称多项式可以表示为若干个对称和乘以小项。
五、基本方法与技巧1.利用对称和与对称积的运算法则简化多项式。
【精品】第06讲__对称变换(含解答)
九年级数学竞赛专题第六讲对称变换1．如图，△ABC中，AE平分∠BAC的外角，D为AE上一点，若AB=c，AC=b，DB=m，DC=n，则m+n与b+c的大小关系是（）A．m+n>b+c;B．m+n=b+cC．m+n<b+c;D．m+n>b+c或m+n<b+c2．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，C砰分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）A．AD=BC-CD;B．AD=BC-AC;C．AD=BC-AP;D．AD=BC-BD二、解答题1．在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作一点P，使PA与PB之差最大。
2．如图，已知线段AB 的同侧有两点C 、D 满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-21∠DBC 。
求证：AC=AD.3．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD.4．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求证：∠ACB的大小。
5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-21∠BDC 。
求证：AC=BD+CD.6．△ABC中，已知∠BAC=15°，AD平分∠BAC，过A作DA的垂线交直线BC于M，若BM=AC+BA。
求证：∠ABC、∠ACB的度数。
7．已知：等边凸六边形ABCDEF中，顶角∠A、∠C、∠E与∠B、∠D、∠F的和相等，即∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F。
求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
8．已知，如图，设∠MON=20°，A为OM上一点，OA=43，D为ON上一点，OD=83，C为A由任一点，B是OD上任意一点。
求：折线ABCD的长度的最小值。
答案一、1．A2．B略解：1．在AM上截取AC'=AC，连结DC'，如图，易证△ADC≌△ADC'所以DC=DC'因为BA+AC'<BD+DC'所以AB+AC<BD+DC即m+n>b+c，故选A.2．因为∠A=2∠B所以∠A>∠B所以BC>AC在BC上截取CA'=CA，连结DA'（如图），易证△ACD≌△AC'D所以AD=A'D，且∠1=∠A=2∠B又∠1=∠B+∠2所以∠B=∠2所以A'B=A'D=AD所以BC=A'C+A'B=AC+AD所以AD=BC–AC符合（B）注意到：若AD=BC-CD，则CD=BC-AD=A'C=AC此时∠CDA'=∠CDA=∠A=2∠B所以∠ADA'=4∠B又∠ADA'+∠2=4∠B+∠B=180°所以∠B=36°所以∠C=72°与已知矛盾，故A排除，易证BD>BA'=AD，所以PB<BD，PA>AD所以AD<BC–AP，排除C，AD>BC–BD，排除D二、1．作法：作点B 关于直线XY 的对称点B '，作直线AB '交XY于P 点，则点P 为所求点（如图）若B 'A ∥XY （即B '、A 到直线XY 的距离相等），则点P 不存在。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EF B ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EF D ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB AC ． （天津市竞赛试题） 解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的A BCD E图1图2一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长． （江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结PA ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BPA =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BPA ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造PA +PF ，PB +PD 相关线段；③取BD 的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，PA +PB； ⑵如图2，PA +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则PA +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图C ABDA3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD ta n 2=_________． （黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（ ）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（ ）A ．0.5c mB ．1c mC ．1.5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmt sAt sBtssO DAOCD AE CD FBABC DFEP （第6题图）APB C（第4题图）（第7题图） （第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=1 2（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1D12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________． （宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为960，BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）AD CB NOJ MK L（第12题图）O A E CD FBABCD E A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） ABC ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN=3AC （武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A C O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）ADOB E GFN AC BDO P （第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ．（江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由． （河南省中考试题）10．⑴如图1，已知PA ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知PA ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．AB CD O M （第8题图）A图1CP BDEO A 图2CPBD EOx（第9题图）11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．AC O LE BDMH（第11题图）AC M N OD B（第12题图）专题18 圆的对称性 例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论． 例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB ·cos 30°＝2×3＝3，∴OH ＝AF ＋FH －OA ＝3＋2－r ．在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，∴(32r +-)2＋12＝r 2，解得r ＝2．(2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2．例4 提示：BD 2－AD 2＝(BE 2＋ED 2)－(AE 2＋ED 2)＝(BE ＋AE )(BE －AE )＝AB (BE －AE )，只需要证明AC ＝BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ． 例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1．例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得AB ＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG ＝2．(3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥P A 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt △ASM ≌Rt △FTM ，Rt △PMS ≌Rt △PMF ．∴PS ＝12PM ．∴P A ＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ＝3PM ．∴333PA PF PB PD PM +===+为定值．A 级 1．49或7 2.85 3．1 4．35．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE 2＝AO 2－AE 2＝(4214AB -)，OF 2＝OD 2－FD 2＝414-CD 2，∴OE 2＋OF 2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB 2＋CD 2＝28．得x 1＝－3(舍去)，x 2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145.B 级1.26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2.103 3.3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R.4.D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2(2－a)2＋(12)2＝r 2 ，解得a ＝1316，r ＝517165.A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6.解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为⌒AC 的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF.又DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠AFO.∴△ODE ≌△OAF.∴AF ＝DE.∵DE ＝3∴AC ＝6.解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证⌒AC ＝2⌒AD ＝⌒AD ＋⌒AG ＝⌒DG ，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7.连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB ∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1.于是AD ＝AC 2－CD 2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH 2＋BH 2＝2＋4＝6，BC ＝AC 2－AB 2＝9－6＝ 3.∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8.提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9.⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485.∴D(－485，245).⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP 上.10.⑴在AE 上截取AF ＝BP ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CAF ≌△CBP ，CF ＝CP .又CD ⊥PA ，则PE ＝FE ，故AE ＝PB ＋PE.⑵AE ＝PE －PB ，在PE 上截取PF ＝PB ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CPF ≌△CPB ，CF ＝CB ＝CA.又CD ⊥AP ，则FE ＝AE ，故AE ＝PE －PB.11.连结BD ，∠CBA ＝∠DBA ，CB ＝BD ，由∠AOC ＝∠CBD ，∠A ＝∠BDE ，得△AOH ∽△DBM ，∴OH OA ＝BM BD＝12，即BM ＝12BC.12.延长AC 至点E ，使CE ＝BC ，连结MA ，MB ，ME ，BE.∵AD ＝DC ＋BC ＝DC ＋CE ＝DE ，又MD ⊥AE ，∴MA ＝ME ，∠MAE ＝∠MEA.∵∠MAE ＝∠MBC ，，又由CE ＝BC 得∠CEB ＝∠CBE ，∴∠MEB ＝∠MBE ，得MA ＝ME ＝MB ，即M 为优弧⌒AB 的中点，而MN⊥AB ，∴MN 是⊙O 的直径.。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数召,心“,“书入.同时满足= 空込泊=2, 沁色=3,X] 吃“兀泊空£ = 6, 土込竺=9,则X,+X,+X3+X4+X5+A-6的值是多少？若将六式左右分别相乘得(X1W4X5A6)4 =64 ,因此XMP)兀乓兀=6,将已知式分别代入上式可得X| = "\/6 , = \/^» A"j = 5/2" , X4 = , X5 =1 ------- ，兀6 = • Ml" 以2 3X, +A-2+x3+A-4+x5+x6=l + V2 + V3 + lb^视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结6构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】1.对称多项式观察"+ /? + c , ah + be + ca » 1/ + b' + c' —3ab — 3/>c —3ca » a'h + b z c + c2a + ab~ + be2 + ca z等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式(简称对称式)• 上述四个式子也可分別称为三元对称多项式，又如A-4+(X+>-)4+/是二元对称多项式.2.轮换对称多项式一个关于儿八z…、w的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y, y换成z, w换成X)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)•例如x'y + y'z + Fx , (“一b+c)( b—c+")( c—a+b)都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一上是对称多项式，如：+ + 是轮换式，但因互换儿y得到的是bx + Fz + Fy已不是原式，所以原式不是对称式.同样对(b-c)(c-a)(a-b)^是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式.但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式.3.对称式的性质(1)关于小y的对称式总可以用x+y和小来表示.(2)两个对称式的和、差、积、商也是对称式(3)齐次对称多项式的积、幕仍是齐次对称多项式.4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待立系数法.一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1已知卩一尤一)，=4,贝|J(Q —1)2_2疋〉，一2心2+十+〉,2+6卩—2x —2y的值等于____ .解析可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x、y的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x+y和卩来表示，先化简后再求值.解设x+y=“，AJ=V,由题设得vr=4,贝IJ原式=(Ay-1)2 - 2AJ(X +y) + [(牙 + y)2 - Zyy] + 6xy- 2(x + y)=(v—If—2vz/+if—2v+6v~2w=v2-2 vu+/+2 ” 一2 u +1=(v—w+l)==25 ・点评：对称换元有利于简化解题过程.例2 计算：(x+y-iz)(xy+yz+zx).解析因为x+y+z和xy+w+旷都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式.因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写岀其余各项.解:T x(xy-\-yz+vc)=+y+xyz+vC,原式+yz+yzx+xy^+厶+砂+yf=x:y+y：z+zH+亍+yz"+zx' + 3QZ ■点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的英他，这样解题就会既简明又准确.二、对称式的因式分解例3 分解因式：z)+y'(z—x)+z'(x—刃.解析这是一个关于八y. 2的四次齐次轮换对称式，当x=y时，原式的值为零，根据余式泄理知x —y是它的一个因式.由轮换对称的性质知y—z和z—x也是它的因式.因为(x—y)(y—z)(z—x)是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为Hr+y+z),从而有x(y—z)+yXz~x)+z(x—y)=k(x+y+z)(x—y)(y~x)(z—x)・取x=2t y=l, z=0,得k= — l.:.x(y—z)+y(z—x)+z z(x—y)= —(x+y+z)(x—y)(y—z)(z—x)・点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法.例4把2+U+)A+y分解因式.解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x+y> xy表示出来再进行分解.解：£+(x+y)'+h=(r+)」)+(x+)A=(F+『亍一2汐+(x+)A=[(x+y)'—2xyf一2xy+(A4-y):=2(x+y)1- 4x)<x+y)3+ 2xy=2[(x+yY-xy]2=2(卫+小+护)2・点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x+y、小表示出来，对于给泄的对称式，往往是寻求这种具体表示方法.在解决本题时；实际可以直接由(x+)y的展开形式，宜接将屮+讯用x+y、心来表示，即x4+y* = (x+)y — 4・py — 6xV — 4巧3 = (x+y)4-4xy(x+y)2 + 2(Q)2.例5 分解因式：(X->')5+(.V-X)5+(Z-A)5.解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的期两个因式，若在原多项式中令x=y,则原式= (x-zP+(z-x)5=0.根据因式泄理，则x-y是原式的一个因式，于是y 一z、z-x也是它的因式.解：因为当x=y时，(x—yp+(y—xp+(z—xp=O,所以原多项式有因式(x~y)Cv—z)(z—x).由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x—y)5+(v—z)5+(z—X)5=(x—y)(y—z)(z—x)[“("+尸+z2)+b(Ay+yx+zx)]①其中“、〃是待立系数.取x=lt y= — L z=0代入①式得2d—b=\5・②取x=2, y=l, z=0代人①式得5a+2b=15・③将②、③两式联立解得“=5, b=-5.所以(x-y)5+(y-z)5 + (z-x)5=5 (x—y)(y—z)(z—x)(x2+y2+z?—xy—yx—zx)・点评：在解本题的过程中，设了一个因式为“(界+尸+刊+风巧+严+旳，若不是这种形式，不妨设为0_y2 + z2,由轮换式，就会有另两个因式严一Q+W及艺一川+尸，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为“(工+护+刃+反巧+皿+旷).也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数<3,则也一立为对称多项式.三、综合应用例6 已知“+b>c b+c>a> u+c>b,求证：c)2—b(c—6/)2—c(t/—b)2—4</Z?c<0.解析要证明多项式的值小于0,可先将它分解因式，只要判左各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定.证明：设T= a3+Z?3+c3—1/(/?—c)2—h(c~a)2—c(a~b)2—4cibc・把该多项式看作是关于“的3次多项式，令"=b+c,则T= (b+cP+沪+R—(b+c)(b—c)2—沪一R—4(b+c)bc=2(，+")+32c+3bc2— 2(夕+c3)+Qc+be2—4b2c—4bc2=0.由因式泄理知，"一(b+c)是T的一个因式.又由于丁是一个轮换对称式，于是b —(c+“)，c-(a+b)也是7的因式，因为T是关于"、b、c的3 次式，所以可设T— k(a—b—c)(b—c—a)(c—a~b)・比较两边/的系数可得k=\.故T= (a—b—c)(b—c—a)(c—a—b)・根据题意"+b>c, d +则有c—a—b<0, a—b—c<0, b—a—c<0.所以TVO.即原不等式成立.例7设△ABC的三边长分别为心b、c,且上二L+ —+上二£=0,试判断ZBC的形状.1 + ah \+bc 1 + ca解析已知等式去分母，得(t/—Z?)( 14- bc)( 1 + ca) 4- (/?—c)( 1 +c“)(l +")+(c—")(1 +")(1 +处)=0・上式的左边是关于a、b、c的轮换对称式,把,(a—b)(l+bc)(l+ca)展开、整理，得a-b—b2c-}-ca2+ "2力一於C2•根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项.由此，上式可写为a~b~ b2c+"+a2bc2—al^c2+b—c—c2a+ah2+b2ca2—berer+c—a —a2b+be2+crab1— ca2b2=0 ・整理，得ab2+be2+ca2—a2b—b2c—c2a=0.设M=ab2 -b be2+ca2—a2b—b2c—c2a ・当"=b时，A/=0,由因式泄理知"一b是M的一个因式.而M是关于“、b、c的三次齐次轮换对称式，故M含有因式(a—b)(h—c)(c—u).又(“一b)(b—c)(c—a)也是三次齐次轮换对称式，则M还应有一个常因子，于是可设ab2+be2+ca2—erb — b2c•—(rci=k(a~b)(b—c)(c ~a).取a=2, h=\9 c=0,得k=\.M=(a — b)(b—c*)(c—a)=0 ・:・u=b或b=e或c=a,即"、b、c中至少有两个相等.故△ABC必为等腰三角形.好题妙解】佳题新题品味例分解因式l)(y-z)+Ay+ l)(z-x)+z3(z+ l)(x~y)・解析由于原式是X, y, z的轮换式但不是齐次式，所以当求得©—2)(z-x)仗一刃的因式后，剩下的因式是A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+CC¥+y+z)+£)・解：当时，原式=0..・・y-z是原式的一个因式.设原式=(y~z)(z—x)(x—y)[ A("+y2+z2)+B(yz+乙t+xy)+C(x+y+z)+D]・由于原式最低为四次项，.・.D=0.•••原式=(y—z)(z—x)(x—y)[ A(x2 -+-y24-z2)+B(yz++C(x+y+z)].令x=h y= —L z=0 得2A—B= —1；①令x=-h y=0, z=2 得5A-2B+C=-4；②令x=l； y=-L z=2 得6A-B+2C=-7・③解①，②，③组成的方程组，得A=B=C=-1.故原^=—(y—z)(z—x)(x—y)(x2+y1+z1+yz+zx+xy+x+y+z)・中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6兀一6)，—9W+18•巧一9屮一1.解析关于X, y的对称式可用含x+y, x-y,小的式子表示，考虑分组.解：6x—6y—9W+ 18小一9)卫一1 = — (9X2— 18xy+9)^)+(6x—6y) — 1=—[9(工一Zxy+〉') _ 6(x _ y) + 1 ]=一[9(A—y)2-2X 3(x-y) +1]= -[3(xp)— IF= _(3x_3y_ 1)2.竞赛样题展示例分解因式(a-\-b+c)5—a5—b5—c5・解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找岀与它同类型的另两个因式.如果在多项式中令a = -b,则原式=c5-c5=O,根据因式上理，则“+b是原式的一个因式，于是(b+c)、(c +")也是它的因式.解：因为当"=—b时，(a+b+cp—cP—“5—芒=0,所以原式有因式(a+b)(b+c)(c+a)・由于原式是5次对称多项式，根据英特点，可设(“ + b + c)5 — "5—/一小=(“+b)(b+c)(c+a)[k(cr+b?+c?)+m(ab+bc+ca)]・①其中£、加是有待确左的系数.令么=1, b=l, c=0,代人①式得30=2("+〃?)，即2k+m=15・又令“=0, b=\, c=2,代人①式得210=6(5£+加)，即5«+加= 35.由此解得k=5t m=5.所以(a+b-^c)s—a5—b5—c5=5(a+b)(h+c)(c+a)(a2-^b2+c2+ab-\-bc-^ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待立系数法确定剩下的其他因式.过关检测】A级1.在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )① 3x+2y+z ②+y 彳+z4 + 巧』z?③jty2 + y2^+④卫+y3+z3—x2—y2—z2A. 0个B・1个C・2个D・3个2.x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx24-3xy f z=y+z)(xy'-\-yz+zx),则k 的值是( )A. 1 B・ 1 C・ 3 D・一123•设Of=xi+X2+X3, 0 =X1X2+X2X3+X3AS / =A1X2X3> 用Q、卩、丫表示岀X)3+x23+x33的结果是( )A. a'— 3a卩+3?B・0‘一3矽+3卩C・ a'+3a0—3/ D・ 0'—3a0+3y4 ・分解因式：xy^x2一y2) +yz(y2—z2)+zx(z2—x2)・5.分解因式：Ty+^+Wz+^+FCv+y)—W+h+R-Zryz.6.化简:“(b+c—“)2+b(c+“一Z?)2+d"+/?—c)2+(b+c—")(©+" —b)(“+b—c)・7.已知"+b+c+〃=O, R+b3+c3+〃3=3.(1)求证：(a+b)34-(c+J)3=0:(2)求证：ab(c+J)+cd(a+Z?) = 1 ・1.若——-—— + ——-—— + ——-——=1,则儿八x的取值情况是()(X + z)(y + z) (>■ + x)(z + A) (z + y)(x + y)A.全为零B.只有两个为零C.只有一个为零D.全不为零2.已知⑴b、c均为正数，设p=“+b+c 尸竺+竺+竺,则“与g的大小关系是( )a h cA・P>q B・ p<q C・ pPq D・pWq3.已知x+y=3,戏+尸_小=4,则十+屮+兀3$+与,3的值等于 _____________ ・4.如图2-1,正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个而上二数之和都相等.如果13、9、3的对面的数分别是"、b、c9试求a1+b2+c1—ab—bc—ca的值，5・分解因式:(x+y)(y+z)(z+x)+xyz.6.分解因式:G(a+ l)(b—c)+b'(b+ l)(c—”)+c3(c+ \)(a~b).第二讲对称式和轮换对称式A级1. B2. B3. A4.-(x+/H-z)(x-y)(y-z)5.- (x-y-z)(/-z-a)(z - x - y).提示:令丁= y原式为0;同理7 =x十乙时，原式为0;z” ”时,原式为0・设原式-A(x- -y)-6.4a6c提示：当a=0时，原式=0；故设原式= kabj取a = 6=c=U.得&=4・7・ a，46’+c?+d'=(a+6)'-3a6(a・6) + (c • -3cJ(c+d).又a 十6 = 一(c + d),所以(a *b)‘ + (c+/)‘ =0•故3 =3a6(c + d) +3cd(a +6),即a6(c +d) +cd(c+6) = 1B级L・C提示:化简已知等式得xyz=0.2.D提示:运用作差比较.3・ 36 ^4.76 提示:原式=y[(a-6)2 + (6-c)2 + (c-a)2]5.(x+y+«) (xy+-yz+a)6・一(a - 6)(6*-c)(c-a)(a2+c2十 ab + be +co + a+ 6 +c)提示：原:式为非齐次轮换式，可视作以a为主元的多项式.当a M时，原式=0.所以a・6是原式的一个因式.由对称性知也是原式的因式.剰下的因式应是非齐次对称性•设原式=(a-6)(6-c)(c-a)(A:(a2 + + c2) +2( a6 + 6c 4-ca) +m(a+6 + c) +a]・取恃值求得A = - 1 fI = -l,m = =1』=0.。
上海自招数学专题11 对称式和轮换对称式(解析版)
上海自招数学专题11 对称式和轮换对称式考点点拨典例精选1．（黄冈校级）已知aba+b =115，bcb+c=117，cac+a=116，则abcab+bc+ca的值是（）A．121B．122C．123D．124【点拨】先将上面三式相加，求出1a +1b，1b+1c，1a+1c，再将abcab+bc+ca化简即可得出结果．【解析】解：∵aba+b =115，∴1a+1b=15①，∵bcb+c =117，∴1b+1c=17②；∵cac+a =116，∴1a+1c=16③，∴①+②+③得，2（1a +1b+1c）＝48，∴1a +1b+1c=24，则abcab+bc+ca =1ab+bc+acabc=11c+1a+1b=124，故选：D．【点睛】本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握．2．（大观区校级自主招生）若abc＝1，且x1+a+ab +x1+b+bc+x1+c+ac=2003．则x等于（）A．1 B．2003 C．4006 D．2008【点拨】先将原式根据条件变形为x1+a+ab +axa+ab+abc+xabc+c+ac=2003，再整理成：x1+a+ab+axa+ab+1+xc(ab+1+a)=2003，再通过等式的性质去分母后就可以求出其值．【解析】解：∵abc＝1，且x1+a+ab+x1+b+bc+x1+c+ac=2003．∴x1+a+ab +axa+ab+abc+xabc+c+ac=2003，∴x1+a+ab +axa+ab+1+xc(ab+1+a)=2003，∴cx+acx+x＝2003c（ab+a+1），∴x（c+ac+1）＝2003c（ab+a+1），∴x（c+ac+abc）＝2003c（ab+a+1），∴xc（ab+a+1）＝2003c（ab+a+1），∴x＝2003．故选：B．【点睛】本题考查了方程中的对称式和轮换对称式的运用及解此类方程的一般方法的运用．3．（梁子湖区校级自主招生）设x、y、z是三个互不相等的数，且x+1y=y+1z=z+1x，则xyz＝±1．【点拨】分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=y−zx−y，同理可得出zx=z−xy−z，xy=x−yz−x，三式相乘可得出xyz的值．【解析】解：由已知x+1y=y+1z=z+1x，得出x+1y=y+1z，∴x﹣y=1z−1y=y−zzy，∴zy=y−zx−y①同理得出：zx=z−xy−z②，xy=x−yz−x③，①×②×③得x2y2z2＝1，即可得出xyz＝±1．故答案为：±1．【点睛】此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．4．（宁海县校级自主招生）x1、x2、y1、y2满足x12+x22＝2，x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3．则y12+y22＝5．【点拨】根据题意令x1=√2sinθ，x2=√2cosθ，又知x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．【解析】解：令x1=√2sinθ，x2=√2cosθ，又知x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3，故{√2cosθy1−√2sinθy2=1√2sinθy1+√2cosθy2=3，解得：√2y1＝cosθ+3sinθ，√2y2＝3cosθ﹣sinθ，故y12+y22＝5．故答案为5．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1=√2cosθ，x2=√2sinθ，此题难度不大．5．（余姚市校级自主招生）设a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y，且x+y+z≠0，则aa+1+bb+1+cc+1=1．【点拨】∵a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y分别代入aa+1，bb+1，cc+1表示出aa+1，bb+1，cc+1的值，然后化简就可以求出结果了．【解析】解：∵a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y，∴aa+1=xx+y+zbb+1=yx+y+zcc+1=zx+y+z∴aa+1+bb+1+cc+1=xx+y+z+yx+y+z+zx+y+z=x+y+zx+y+z∵x+y+z≠0∴原式＝1．故答案为：1．【点睛】本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．6．（鹿城区校级自主招生）已知互不相等的实数a，b，c满足a+1b=b+1c=c+1a=t，则t＝±1．【点拨】首先设a+1b=t，可得b=1t−a，代入b+1c=t，整理可得ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0 ①，又由c+1a=t，可得ac+1＝at②，将②代入①，即可得（c﹣a）（t2﹣1）＝0，又由实数a，b，c互不相等，即可求得答案．【解析】解：设a +1b=t ，则b =1t−a ， 代入b +1c =t ，得：1t−a+1c=t ，整理得：ct 2﹣（ac +1）t +（a ﹣c ）＝0 ①又由c +1a =t ，可得ac +1＝at ②， 把②代入①式得ct 2﹣at 2+（a ﹣c ）＝0， 即（c ﹣a ）（t 2﹣1）＝0， 又∵c ≠a ， ∴t 2﹣1＝0， ∴t ＝±1．验证可知：b =11−a ，c =a−1a 时，t ＝1；b =−11+a ，c =−a+1a 时，t ＝﹣1． ∴t ＝±1． 故答案为：±1．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式的知识．此题难度比较大，注意设a +1b=t ，从而得到方程ct 2﹣（ac +1）t +（a ﹣c ）＝0 ①与ac +1＝at ②是解此题的关键．7．（抚州校级）已知xyx+y=2，xzx+z =3，yz y+z =4，求7x +5y ﹣2z 的值．【点拨】先根据题意得出1x+1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14，求出1x+1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14的值，进而得出x 、y 、z 的值，再代入所求代数式进行计算即可．【解析】解：∵xyx+y=2，xzx+z=3，yz y+z=4，∴1x+1y =12，1x +1z=13，1y +1z=14，解得：1x =724，1y=524，1z=124，∴x =247，y =245，z ＝24， ∴原式＝7×247+5×245−2×24 ＝24+24﹣48 ＝0．【点睛】本题考查的是对称式和轮换对称式，根据题意把原式化为1x +1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14的形式是解答此题的关键．8．（龙湾区校级）已知b ≥0，且a +b ＝c +1，b +c ＝d +2，c +d ＝a +3，求a +b +c +d 的最大值．【点拨】分别表示出a ，b ，c ，d ，然后通过分别代入，使最后成为只含b 的代数式，b 的范围知道从而得解．【解析】解：∵a +b ＝c +1，b +c ＝d +2，c +d ＝a +3， ∴2b +c ＝6，c ＝6﹣2b ， 代入a +b ＝c +1得a ＝7﹣3b ， 代入b +c ＝d +2得d ＝4﹣b ， 则a +b +c +d ＝17﹣5b ， 因为b ≥0，所以当b 取0时，a +b +c +d 的最大值为17．【点睛】本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b 的代数式，从而求出取值范围．9．（文登市校级）设a ，b ，c ，满足aba+b=13，bcb+c=14，ac a+c=15，求abcab+bc+ca 的值．【点拨】利用分式的基本性质得出a+b ab=1a+1b=3①，b+c bc=1b+1c=4②a+c ac=1a+1c=5③，进而求出答案．【解析】解：∵aba+b=13，bcb+c=14，ac a+c=15，∴a+b ab=1a+1b=3①，b+c bc =1b +1c =4②a+c ac=1a+1c=5③，①+②+③得： 2（1a +1b+1c ）＝12，故1a+1b+1c=ab+bc+caabc =6，则abc ab+bc+ca=16．【点睛】此题主要考查了对称式和轮换对称式，得出2（1a+1b+1c）＝12是解题关键．10．（黄冈校级自主招生）已知1x +1y+z =12，1y +1z+x =13，1z+1x+y =14，求2x +3y +4z的值．【点拨】由1x+1y+z=12，1y+1z+x=13，1z+1x+y=14，易得1x=y+z 2(x+y+z)，1y=z+x 3(x+y+z)，1z=x+y 4(x+y+z)，然后代入即可求得答案．【解析】解：∵1x+1y+z=12，∴x+y+z x(y+z)=12，∴x （y +z ）＝2（x +y +z ），∴x=2(x+y+z)y+z，即：1x =y+z2(x+y+z)，同理：1y =z+x3(x+y+z)，1z=x+y4(x+y+z)，∴2x +3y+4z=2(y+z)2(x+y+z)+3(z+x)3(x+y+z)+4(x+y)4(x+y+z)=y+zx+y+z+x+zx+y+z+x+yx+y+z=2(x+y+z)x+y+z=2．【点睛】此题考查了对称式与轮换对称式的知识．此题难度适中，解题的关键是得到：1x =y+z2(x+y+z)，1 y =z+x3(x+y+z)，1z=x+y4(x+y+z)．精准预测1．若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是一个完全对称式．已知三个代数式：①a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）；②a2bc+b2ac+c2ab；③a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ac．其中是完全对称式的（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．有①②③【点拨】根据完全对称式的含义，把式子中任意两个字母交换，根据乘法的交换律和加法的交换律即可求出答案．【解析】解：根据完全对称式的含义：把a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）中任意两个字母交换，如a和c 交换得到：c（b+a）+b（c+a）+a（c+b）＝a（b+c）+b（a+c）+c（a+b），交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴①正确；根据完全对称式的含义：把a2bc+b2ac+c2ab中任意两个字母交换，如b和c交换得到：a2cb+c2ab+b2ac ＝a2bc+b2ac+c2ab，交换其它的任意的两个字母也和原式相等∴②正确；根据完全对称式的含义：把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac中任意两个字母交换，如b和a交换得到：b2+a2+c2﹣ba﹣ac﹣bc＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴③正确．故选：D．【点睛】本题主要考查对对称式和轮换对称式的理解和掌握，能熟练地根据完全对称式的含义进行判断是解此题的关键．2．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750【点拨】首先将a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170分别展开，即可求得ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．【解析】解：∵a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，∴ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，∴①+②+③，并化简，得：ab+bc+ca＝242 ④，④﹣①得：bc＝90，④﹣②得：ca＝80，④﹣③得：ab＝72，∴bc•ca•ab＝90×80×72，即（abc）2＝7202，∵a，b，c均为正数，∴abc＝720．故选：C．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解．3．已知3x+y =4y+z=5z+x，则xyz(x+y)(y+z)(x+z)的值为110．【点拨】利用3x+y =4y+z=5z+x=k，得出方程组，解出x，y，z代入求值即可．【解析】解：设3x+y =4y+z=5z+x=k，得{x+y=3ky+z=4kz+x=5k，解得{x=2ky=1kz=3k，所以xyz(x+y)(y+z)(x+z)=2k⋅1k⋅3k(2k+1k)(1k+3k)(2k+3k)=6k360k3=110．故答案为：110．【点睛】本题主要考查了对称式和轮换对称式，解题的关键是用k表示x，y，z的值．4．已知aba+b =2，aca+c=4，cbc+b=3．则a＝245，b＝247c＝24．【点拨】根据aba+b =2可得1a+1b=12，同理求出1b+1c=13，1a+1c=14，三式相加后再分别减去各式即可得到1a 、1b和1c的值，于是a、b和c的值求出．【解析】解：∵aba+b=2，∴1a +1b=12⋯①，同理可知：1a +1c=14⋯②，1 b +1c=13⋯③，①+②+③＝2（1a +1b+1c）=1312，即（1a+1b+1c）=1324⋯④，④﹣①=1c =1324−12=124， 即c ＝24，④﹣②=1b =724， 即b =247， ④﹣③=1a =524， 即a =245， 故答案为245、247、24．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出1a+1b+1c的值，此题难度不大．5．已知m+9n9m+5n=P Q，P+aQ bP+cQ=m+n 5m−12n，其中a ，b ，c 为常数，使得凡满足第一式的m ，n ，P ，Q ，也满足第二式，则a +b +c ＝ 19 ．【点拨】令P ＝（m +9n ）x ，Q ＝（9m +5n ）x （x ≠0），由P+aQ bP+cQ=m+n 5m−12n可得：m+9n+a(9m+5n)b(m+9n)+c(9m+5n)═(9a+1)m+(5a+9)n (9c+b)m+(9b+5c)n=m+n 5m−12n，解出a 、b 和c 的值即可．【解析】解：令P ＝（m +9n ）x ，Q ＝（9m +5n ）x （x ≠0），又知P+aQbP+cQ=m+n 5m−12n，即m+9n+a(9m+5n)b(m+9n)+c(9m+5n)=(9a+1)m+(5a+9)n (9c+b)m+(9b+5c)n=m+n 5m−12n，解得a ＝2，c =574，b =−1334，即a+b+c＝2−1334+574=−17．故答案为﹣17．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P＝（m+9n）x，Q＝（9m+5n）x，此题难度不大．6．已知abc＝1，则关于x的方程x1+a+ab +x1+b+bc+x1+c+ac=2012的解为x＝2012．【点拨】根据abc＝1，可以得到ab=1c，bc=1ab，代入11+a+ab，11+b+bc进行化简，即可求得（11+a+ab+11+b+bc +11+c+ac）的值，从而求解．【解析】解：∵abc＝1，∴ab=1c，bc=1a，∴11+a+ab =11+a+1c=c1+c+ac，11+b+bc =11+b+1a=a1+a+ab，∴11+b+bc =ac1+c+ac，∴关于x的方程x1+a+ab+x1+b+bc+x1+c+ac=2012即（11+a+ab+11+b+bc+11+c+ac）x＝2012，即（c1+c+ac +ac1+c+ac+11+c+ac）x＝2012，1+c+ac1+c+acx＝2012，∴x＝2012．故答案是：x＝2012．【点睛】本题考查了方程的解法，正确求得11+a+ab +11+b+bc+11+c+ac的值是关键．7．已知实数a 、b 、c ，且b ≠0．若实数x 1、x 2、y 1、y 2满足x 12+ax 22＝b ，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ，x 1y 1+ax 2y 2＝c ，则y 12+ay 22的值为a 3+c 2b．【点拨】∵x 12+ax 22＝b ①，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ②，x 1y 1+ax 2y 2＝c ③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x 1、x 2表示出来，在讲将x 1、x 2的值代入①，通过化简就可以求出结论． 【解析】解：∵x 12+ax 22＝b ①，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ②，x 1y 1+ax 2y 2＝c ③． 由②，得 x 2=a+x 1y 2y 1④， 把④代入③，得x 1=cy 1−a 2y 2y 12+ay 22⑤把⑤代入③，得 x 2=ay 1+cy 2y 12+ay 22⑥ 把⑤、⑥代入①，得(cy 1−a 2y 2y 12+ay 22)2+a(ay 1+cy 2y 12+ay 22)2=b ∴(a 3+c 2)y 21+(a 3+c 2)ay 22(y 12+ay 22)=b ，∴（a 3+c 2）（y 12+ay 22）＝b （y 12+ay 22）2 ∴y 12+ay 22=a 3+c 2b． 故答案为：a 3+c 2b【点睛】本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用． 8．已知w 、x 、y 、z 四个数都不等于0，也互不相等，如果w +1x =x +1y =y +1z =z +1w ，那么w 2x 2y 2z 2＝1 ．【点拨】先根据w +1x=x +1y =y +1z =z +1w分别表示出w ﹣x ，x ﹣y ，y ﹣z ，z ﹣w 的值，再把这四个式子进行相乘，即可求出w 2x 2y 2z 2的值． 【解析】解：∵w +1x=x +1y，∴w ﹣x =1y −1x =x−y xy ， 同理可得：x ﹣y =1z −1y =y−z yz ， y ﹣z =z−wzw ， z ﹣w =w−xwx ，∴（w ﹣x ）（x ﹣y ）（y ﹣z ）（z ﹣w ）=x−y xy •y−z yz •z−w zw •w−xwx =(x−y)(y−z)(z−w)(w−x)w x y z∴w 2x 2y 2z 2＝1． 故答案为：1．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式；解题的关键是通过变形得出（w ﹣x ）（x ﹣y ）（y ﹣z ）（z ﹣w ）=(x−y)(y−z)(z−w)(w−x)w 2x 2y 2z 2．9．已知实数x ，y 满足(x +√x 2−2010)(y +√y 2−2010)−2010=0，则x ＝ ±√2010 ，y ＝ ±√2010 ．【点拨】将等式乘以x−√x 2−2010x−√x 2−2010，然后分子可利用平方差公式进行化简，化简后移项，运用完全平方公式两次化简可得出x 和y 的关系，继而代入可解出答案． 【解析】解：∵(x +√x 2−2010)(y +√y 2−2010)−2010=0，∴(x+√x 2−2010)(x−√x 2−2010)(y+√y 2−2010)x−√x 2−2010=2010，∴2010(y+√y 2−2010)x−√x 2−2010=2010，∴x ﹣y =√y 2−2010+√x 2−2010，两边平方整理得：2010﹣xy =√(y 2−2010)(x 2−2010)， 两边平方整理得：x 2﹣2xy +y 2＝0， 解得：x ＝y ，将x ＝y 代入代入可得：x ＝±√2010，y ＝±√2010． 故答案为：±√2010，±√2010．【点睛】此题涉及了对称式和轮换对称式，难度较大，解答本题的关键是利用平方差公式，完全平方公式进行化简计算．10．设2（3x ﹣2）+3＝y ，2（3y ﹣2）+3＝z ，2（3z ﹣2）+3＝u 且2（3u ﹣2）+3＝x ，则x ＝ 15．【点拨】先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y 、z 和u 关于x 的式子代入消去y 、z 和u ，即可求出x 的值．【解析】解：将各式化简得：{6x −1=y(1)6y −1=z(2)6z −1=y(3)6u −1=x(4)，（1）+（2）+（3）+（4）得：x +y +z +u =45⑤，分别将y 、z 和u 关于x 的式子代入⑤中，得：x +6x ﹣1+6（6x ﹣1）﹣1+x+16=45， 解得：x =15．故答案为：15．【点睛】本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将y 、z 和u 关于x 的式子代入消除y 、z 和u ．。
初中数学竞赛：XXX定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：XXX定理(附练习题及答案)初中数学竞赛：XXX定理韦达定理是一元二次方程的根与系数的关系，最初由16世纪法国数学家XXX发现。
它包含了丰富的数学内容，并有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：求方程中参数的值、求代数式的值、讨论根的符号特征、构造一元二次方程辅助解题等。
XXX定理具有对称性，可以通过设而不求、整体代入的方法解题。
它与代数、几何中的许多知识结合，可以生成丰富多彩的数学问题，解这些问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
例题求解】例1】已知α、β是方程x^2-x-1=0的两个实数根，则代数式α^2+α(β^2-2)的值为。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为α、β的对称式，即α^2+β^2和αβ，然后代入已知条件求解。
例2】如果a、b都是质数，且a^2-13a+m=0，b^2-13b+m=0，那么ba/(ab+2)的值为(。
)。
思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程x^2-13x+m=0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
例3】已知关于x的方程：x-(m-2)x^4=01)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2=x1+2，求m的值及相应的x1、x2.思路点拨：对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手。
例4】设x1、x2是方程2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x1^2+x2^2有最小值?并求出这个最小值。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即判别式△≥0.转化是数学中重要的思想方法，但需注意转化前后问题的等价性。
已知四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x^2-2mx+(m-2)^2的两个根。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲 讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数123456,,,,,x x x x x x ．同时满足2345611x x x x x x =，3456122x x x x x x =，4561233x x x x xx =，5612344x x x x x x =，6123456x x x x x x =，1234569x x x x xx =，则123456x x x x x x +++++的值是多少？ 若将六式左右分别相乘得44123456()6x x x x x x =，因此1234566x x x x x x =，将已知式分别代入上式可得61=x ，32=x ，23=x ，264=x ，15=x ，366=x ．所以6611321654321+++=+++++x x x x x x 视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】 1.对称多项式观察a b c ++，ab bc ca ++，333333a b c ab bc ca ++---，222222a b b c c a ab bc ca +++++等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式（简称对称式）.上述四个式子也可分别称为三元对称多项式，又如444()x x y y +++是二元对称多项式． 2.轮换对称多项式一个关于x 、y 、z…、w 的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换（如把x 换成y ，y 换成z ，w 换成x ），多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式（简称轮换式）.例如222x y y z z x ++，(a －b ＋c )( b －c ＋a )( c －a ＋b )都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式，如：222x y y z z x ++是轮换式，但因互换x 、y 得到的是222y x x z z y ++已不是原式，所以原式不是对称式．同样对(b －c )(c －a )(a －b )也是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式．但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式． 3.对称式的性质（1）关于x 、y 的对称式总可以用x ＋y 和xy 来表示． （2）两个对称式的和、差、积、商也是对称式 （3）齐次对称多项式的积、幂仍是齐次对称多项式．4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待定系数法．一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1 已知4xy x y --=，则22222(1)22622xy x y xy x y xy x y ---+++--的值等于 . 解析 可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x 、y 的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x ＋y 和xy 来表示，先化简后再求值. 解 设x ＋y ＝u ，xy ＝v ，由题设得v －u ＝4，则原式＝22(1)2()()262()xy xy x y x y xy xy x y ⎡⎤--+++-+-+⎣⎦＝(v －1)2－2vu ＋u 2－2v ＋6v －2u ＝v 2－2vu ＋u 2＋2v －2u ＋1 ＝(v －u ＋1)2＝25．点评：对称换元有利于简化解题过程．例2 计算：(x ＋y ＋z )(xy ＋yz ＋zx )．解析 因为x ＋y ＋z 和xy ＋yz ＋zx 都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式．因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写出其余各项．解：∵x (xy ＋yz ＋zx )＝x 2y ＋xyz ＋zx 2，∴原式＝x 2y ＋xyz ＋zx 2＋y 2z ＋yzx ＋xy 2＋z 2x ＋zxy ＋yz 2＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x ＋xy 2＋yz 2＋zx 2＋3xyz ．点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的其他，这样解题就会既简明又准确．二、对称式的因式分解例3 分解因式：x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y )．解析 这是一个关于x 、y 、z 的四次齐次轮换对称式，当x ＝y 时，原式的值为零，根据余式定理知x －y 是它的一个因式．由轮换对称的性质知y －z 和z －x 也是它的因式．因为(x －y )(y －z )(z －x )是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为k (x ＋y ＋z )，从而有x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝k (x ＋y ＋z )(x －y )(y －x )(z －x )． 取x ＝2，y ＝1，z ＝0，得k ＝－1． ∴x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝－(x ＋y ＋z )(x －y )(y －z )(z －x ) ．点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法．例4 把x 4＋(x ＋y )4＋y 4分解因式．解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x＋y、xy表示出来再进行分解．解：x4＋(x＋y)4＋y4＝(x4＋y4)＋(x＋y)4＝(x2＋y2)2－2x2y2＋(x＋y)4＝[(x＋y)2－2xy]2－2x2y2＋(x＋y)4＝2(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2x2y2＝2[(x＋y)2－xy]2＝2(x2＋xy＋y2)2．点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x＋y、xy表示出来，对于给定的对称式，往往是寻求这种具体表示方法．在解决本题时；实际可以直接由(x＋y)4的展开形式，直接将x4＋y4用x＋y、xy来表示，即x4＋y4＝(x＋y)4－4x3y－6x2y2－4xy3＝(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2(xy)2．例5分解因式：(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5．解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的另两个因式，若在原多项式中令x＝y，则原式＝(x－z)5＋(z－x)5＝0．根据因式定理，则x－y是原式的一个因式，于是y －z、z－x也是它的因式．解：因为当x＝y时，(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5＝0，所以原多项式有因式(x－y)(y－z)(z－x)．由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝(x－y)(y－z)(z－x)[a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)] ①其中a、b是待定系数．取x＝1，y＝－1，z＝0代入①式得2a－b＝15．②取x＝2，y＝1，z＝0代人①式得5a＋2b＝15．③将②、③两式联立解得a＝5，b＝－5．所以(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝5(x－y)(y－z)(z－x)(x2＋y2＋z2－xy－yx－zx)．点评：在解本题的过程中，设了一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)，若不是这种形式，不妨设为x²－y2＋z2，由轮换式，就会有另两个因式y²－z2＋x2及z²－x2＋y2，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yz＋zx)．也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数＜3，则也一定为对称多项式．三、综合应用例6已知a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，求证：a3＋b3＋c3－a(b－c)2－b(c－a)2－c(a－b)2－4abc＜0．解析 要证明多项式的值小于0，可先将它分解因式，只要判定各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定．证明：设T ＝a 3＋b 3＋c 3－a (b －c )2－b (c －a )2－c (a －b )2－4abc ． 把该多项式看作是关于a 的3次多项式，令a ＝b ＋c ， 则T ＝(b ＋c )3＋b 3＋c 3－(b ＋c )(b －c )2－b 3－c 3－4(b ＋c )bc ＝2(b 3＋c 3)＋3b 2c ＋3bc 2－2(b 3＋c 3)＋b 2c ＋bc 2－4b 2c －4bc 2 ＝0．由因式定理知，a －(b ＋c )是T 的一个因式．又由于T 是一个轮换对称式，于是b －(c ＋a )，c －(a ＋b )也是T 的因式，因为T 是关于a 、b 、c 的3次式，所以可设T ＝k (a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )．比较两边a 3的系数可得k ＝1． 故T ＝(a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )． 根据题意 a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b ． 则有c －a －b ＜0，a －b －c ＜0，b －a －c ＜0． 所以T ＜0．即原不等式成立．例7 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a b ab -+＋1b c bc -+＋1c aca-+＝0，试判断△ABC 的形状． 解析 已知等式去分母，得(a －b )(1＋bc )(1＋ca )＋(b －c )(1＋ca )(1＋ab )＋(c －a )(1＋ab )(1＋bc )＝0．上式的左边是关于a 、b 、c 的轮换对称式，把(a －b )(1＋bc )(1＋ca )展开、整理，得a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2．根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项．由此，上式可写为a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2＋b －c －c 2a ＋ab 2＋b 2ca 2－bc 2a 2＋c －a －a 2b ＋bc 2＋c 2ab 2－ca 2b 2＝0． 整理，得ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝0． 设M ＝ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ．当a ＝b 时，M ＝0，由因式定理知a －b 是M 的一个因式．而M 是关于a 、b 、c 的三次齐次轮换对称式，故M 含有因式(a －b )(b －c )(c －a )．又(a －b )(b －c )(c －a )也是三次齐次轮换对称式，则M 还应有一个常因子，于是可设ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝k (a －b )(b －c )(c －a )． 取a ＝2，b ＝1，c ＝0，得k ＝1． ∴M ＝(a －b )(b －c )(c －a )＝0．∴a ＝b 或b ＝c 或c ＝a ，即a 、b 、c 中至少有两个相等． 故△ABC 必为等腰三角形． 好题妙解】佳题新题品味例分解因式x3(x＋1)(y－z)＋y3(y＋1)(z－x)＋z3(z＋1)(x－y)．解析由于原式是x，y，z的轮换式但不是齐次式，所以当求得(y－z)(z－x)(x－y)的因式后，剩下的因式是A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D．解：当y＝z时，原式＝0．∴y－z是原式的一个因式．设原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D]．由于原式最低为四次项，∴D＝0．∴原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)]．令x＝l，y＝－1，z＝0得2A－B＝－1；①令x＝－1，y＝0，z＝2得5A－2B＋C＝－4；②令x＝1；y＝－1，z＝2得6A－B＋2C＝－7．③解①，②，③组成的方程组，得A＝B＝C＝－1．故原式＝－(y－z)(z－x)(x－y)(x2＋y2＋z2＋yz＋zx＋xy＋x＋y＋z)．中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1．解析关于x，y的对称式可用含x＋y，x－y，xy的式子表示，考虑分组．解：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1＝－(9x2－18xy＋9y2)＋(6x－6y)－1＝－[9(x2－2xy＋y2)－6(x－y)＋1]＝－[9(x－y)2－2×3(x－y)＋1]＝－[3(x－y)－1]2＝－(3x－3y－1)2．竞赛样题展示例分解因式(a＋b＋c)5－a5－b5－c5．解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找出与它同类型的另两个因式．如果在多项式中令a＝－b，则原式＝c5－c5＝0，根据因式定理，则a＋b是原式的一个因式，于是(b＋c)、(c ＋a)也是它的因式．解：因为当a＝－b时，(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝0，所以原式有因式(a＋b)(b＋c)(c＋a)．由于原式是5次对称多项式，根据其特点，可设(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝(a＋b)(b＋c)(c＋a)[k(a2＋b2＋c2)＋m(ab＋bc＋ca)]．①其中k、m是有待确定的系数．令a＝1，b＝1，c＝0，代人①式得30＝2(2k＋m)，即2k＋m＝15．又令a＝0，b＝1，c＝2，代人①式得210＝6(5k＋2m)，即5k＋2m＝35．由此解得k＝5，m＝5．所以(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝5(a＋b)(b＋c)(c＋a)(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待定系数法确定剩下的其他因式．过关检测】A级1．在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )①3x＋2y＋z②x2＋y3＋z4＋x4y3z2③xy2＋y2z3＋z3x④x3＋y3＋z3－x2－y2－z2A．0个B．1个C．2个D．3个2．若x2y＋xy2＋y2z＋yz2＋z2x＋zx2＋3xyz＝k(x＋y＋z)(xy＋yz＋zx)，则k的值是( )A．12B．1 C．3 D．－13．设α＝x1＋x2＋x3，β＝x1x2＋x2x3＋x3x1，γ＝x1x2x3，用α、β、γ表示出x13＋x23＋x33的结果是( ) A．3α－3αβ＋3γB．3β－3αγ＋3γC．3α＋3αβ－3γD．3β－3αβ＋3γ4．分解因式：xy(x2－y2)＋yz(y2－z2)＋zx(z2－x2)．5．分解因式：x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)－(x3＋y3＋z3)－2xyz．6．化简：a(b＋c－a)2＋b(c＋a－b)2＋c(a＋b－c)2＋(b＋c－a)(c＋a－b)(a＋b－c)．7．已知a＋b＋c＋d＝0，a3＋b3＋c3＋d3＝3．(1)求证：(a＋b)3＋(c＋d)3＝0；(2)求证：ab(c＋d)＋cd(a＋b)＝1．B 级1．若()()xyx z y z ++＋()()yz y x z x ++＋()()zx z y x y ++＝1，则x 、y 、x 的取值情况是( )A ．全为零B ．只有两个为零C ．只有一个为零D ．全不为零 2．已知a 、b 、c 均为正数，设p ＝a ＋b ＋c ，q ＝bc a ＋ca b ＋abc，则p 与q 的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q 3．已知x ＋y ＝3，x 2＋y 2－xy ＝4，则x 4＋y 4＋x 3y ＋xy 3的值等于 ．4．如图2-1，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上二数之和都相等．如果13、9、3的对面的数分别是a 、b 、c ，试求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值，3913图2-15．分解因式：(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )＋xyz ．6．分解因式：a 3(a ＋1)(b －c )＋b 3(b ＋1)(c －a )＋c 3(c ＋1)(a －b )．。
2025高考数学专项复习运用“对称变换”的思想方法解题含答案
运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。
2.轴对称:①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。
3.平面对称:①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。
4.多项式对称:①一般轮换对称；②顺序轮换对称。
几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换，也是常见的对称变换。
典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。
定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，b 成中心对称。
定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域，则f a 不存在．依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称，若x ≤1时，y =x 2+1，求x >1时y 的解析式；(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0，1 中心对称，求m 的值；(3)已知函数f x 在-∞，0 ∪0，+∞ 上的图像关于点0，1 中心对称，且当x ∈0，+∞ 时f x =x 2+x +1.根据定理二求出f x 在-∞，0 上的解析式；(4)设函数y =f x ，y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ，b 中心对称，则对于函数y =f x +g x ，y =f x -g x ，y =f x ⋅g x 及y =f xg x ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。
轮换对称式与多项式和应用(初中数学竞赛)
x x
z y
y z
c xyz 1c x y z
所以
a b c x y z 1 1 a 1b 1c x y z
本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式 子化简，就可以得出相同规律.
1
例４设 a
11 bc
1 abc
，证明
(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零；
=(b+c) (a2+bc+ca+ab) =(a+b)(b+c)(c+a)
∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至 少有一个为零，即a、b、c三数中必有两个数之和为零。
例４
111 1 a b c abc
，证明(2)对任何奇数n，有
111
1
an bn cn an bn cn
xz yz z 2 z ③
yz zx xy
由①+②+③ 得
x2 y 2 z 2 ( xy xz ) ( xy yz ) ( xz yz ) yz zx xy yz yz zx zx xy xy
x y z
所以
x2 y2 z2 x y z x y z yz zx xy
c)(c c)(c
a) a)
1
例７.
已知x、y、z满足关系式
y
x
z
y z
x
z z zx xy
证明：将已知等式分别乘以x、y、z得
x2 xy xz x ①
初中数学竞赛专题选讲基本对称式试题
初中数学竞赛专题选讲根本对称式一、内容提要 1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y 和xy 是两个变量x, y 的根本对称式.2. 含两个变量的所有对称式，都可以用一样变量的根本对称式来表示.例如x 2+y 2, x 3+y 3, (2x －5)(2y －5), －yx 3232-， y x x y +……都是含两个变量的对称式，它们都可以用一样变量x,y 的根本对称式来表示：x 2+y 2＝〔x+y 〕2－2xy ， x 3+y 3＝〔x+y 〕3－3xy(x+y)， (2x －5)(2y －5)＝4xy －10(x+y)+25, －yx 3232-=－xy y x 3)2+（, yx x y +=xy x y 22+=xy xy y x 2)(2-+. 3. 设x+y=m, xy=n.那么x 2+y 2＝〔x+y 〕2－2xy ＝m 2－2n ；x 3+y 3＝〔x+y 〕3－3xy(x+y)=m 3－3mn ；x 4+y 4＝〔x 2+y 2〕2－2x 2y 2＝m 4－4m 2n+2n 2；x 5+y 5＝〔x 2+y 2〕(x 3+y 3)－x 2y 2(x+y)=m 5－5m 3n+5mn 2；………一般地，x n +y n (n 为正整数)用根本对称式表示可建立递推公式：x k+1+y k+1=( x k +y k )(x+y)－xy(x k －1+y k －1) (k 为正整数).4. 含x, y 的对称式，x+y, xy 这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题例1. x=21(3+1), y=）－（1321 求以下代数式的值： ①x 3+x 2y+xy 2+y 3 ； ②x 2 (2y+3)+y 2(2x+3).解：∵含两个变量的对称式都可以用一样变量的根本对称式来表示.∴先求出 x+y=3, xy=21. ① x 3+x 2y+xy 2+y 3 ＝〔x+y 〕3－2xy(x+y) =(3)3－2×321 =23；② x 2 (2y+3)+y 2(2x+3)＝2x 2y+3x 2+2xy 2+3y 2=3(x 2+y 2)+2xy(x+y)=3［〔x+y 〕2－2xy ］+2xy(x+y)=3［〔21232⨯－）〕2×213 ＝3－6. 例2. 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①53533y x y x分析：可由 x 3+y 3, x+y 求出xy ，再由根本对称式，求两个变量x 和y. 解：∵x 3+y 3,＝〔x+y 〕3－3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6. 解方程组⎩⎨⎧==+65xy y x得⎩⎨⎧==32y x 或者⎩⎨⎧==23y x .例3. 化简 321420+＋321420-. 解：设321420+＝x,321420-=y. 那么 x 3+y 3=40, xy=32196400⨯－=2.∵x 3+y 3＝〔x+y 〕3－3xy(x+y)，∴ 40＝〔x+y 〕3－6〔x ＋y 〕.设x+y=u,得 u 3－6u －40=0 . (u －4)(u 2+4u+10)=0.∵u 2+4u+10=0 没有实数根，∴u －4＝0, u ＝4 .∴x+y=4.即 321420+＋321420-＝4.例4. a 取什么值时，方程x 2－ax+a －2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为x 1, x 2 . 根据韦达定理，得 ⎩⎨⎧-==+22121a x x a x x ∵22121)(x x x x -=-＝212214)x x x x -+（＝842+-a a ＝4)2(2+-a ，∴当a=2时，21x x - 有最小值是2.三、练习1. x －y=a, xy=b. 那么x 2+y 2=______ ； x 3－y 3=______.2. 假设x+y=1, x 2+y 2=2. 那么 x 3+y 3=_______； x 5+y 5=______.3. 假如 x+y=－2k, xy=4, 3=+xy y x . 那么 k=_____. 4. x+x 1=4, 那么x －x 1=____ ， 221xx +=＿＿＿. 5. 假设x x 1+.＝a, 那么x+x 1=______, 221xx +=＿＿＿. 6. ：a=321－, b=321+. 求： ①7a 2+11ab+7b 2 ； ②a 3+b 3－a 2－b 2－3ab+1. 7. x x 1+＝8，那么x x 12+＝＿＿＿＿.〔1990年全国初中数学联赛题〕 8. a 2+a －1=0 那么a 3－31a=＿＿＿＿＿.(1987年初二数学双基赛) 9. 一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，那么这个方程可写成为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 〔1990年初二数学双基赛〕10. 化简： ①335252－＋＋； ②33725725－－＋.练习题参考答案1. a 2+2b, a 3+3ab, 4.753. ±54. 23或者－23， 14， 525. a 2－2, a 4－4a 2+26. 109,367. 628. –49. x2±3x＋2＝010. ①1，②2。
初中数学竞赛——轮换式和对称式
第2讲轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）x y z++（2）222++x y z（3）xy yz zx++（4）333++x y z（5）222++x y y z z x（6）222++xy yz zx（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l x y z++（2）二次齐次轮换式：222+++++()()l x y z m xy yz zx（3）三次齐次轮换式：333222222+++++++++()()()l x y z m x y y z z x n xy yz zx kxyz 以上l m n k、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。
特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.、的多项式对于x y223322++++,,,,,x y xy x y x y x y xy、的对称式。
在字母x与y互换时，保持不变，这样的多项式称为x y、、的多项式类似的，关于x y z在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的对称式.关于x y z 、、的多项式222333222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y y z z x ++++++++++在将字母x y z 、、轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的轮换式。
显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式.但是，关于x y z 、、的轮换式不一定是x y z 、、的对称式.例如222x y y z z x ++就不是对称式.两个轮换式(对称式)的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）。
初中竞赛重点类型用轴对称性质解两道赛题(最值问题)
初中竞赛重点类型:用轴对称性质解两道赛题(最值问题)对称知识是我们初中数学里面的重要知识，对解一些题（尤其中考作图题，中考压轴题，以及竞赛题）帮助极大。
是解最值问题（最大值或最小值）的一大工具，在中考中，对称常与函数，与几何并用，往往是一道题的题眼，在竞赛中能借对称知识数形结合起来解题，往往颇具特色与灵感。
本文就举了两道典范竞赛题，供考生们学习参考，提升数学思维。
轴对称变换因其在变换过程中能将分散的条件集中于同一个图形，在各类数学竞赛中常受到青睐。
试题1（19届“希望杯”初二2试）如图1，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D。
经AB反射后，反射光线又找到竖直在y轴位置的镜面，要使最后经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标是。
分析：由光线反射时入射角=反射角，联想到用对称轴的性质求解。
作点A关于y轴的对称点A′（－1，0），作点O关于AB对称点O′，则O′（1，1），连A′O′交AB 于D，此即所求的点。
易求直线AB的方程为：y=－x+1；直线A′O′的方程为：y=x+，解得交点D的坐标为（，）。
试题2（17届“希望杯”初二2试）如图2，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EF∥GH，EF=GH。
⑴若AE=AH=a，求四边形EFGH的周长与面积；⑵求四边形EFGH的周长的最小值。
分析：⑴连HF。
由EF∥GH，EF=GH，四边形EFGH为平行四边形。
Rt△AHE≌Rt△FGC，均为等腰直角三角形，所以四边形EFGH为矩形。
EH=FG=a，EF=GH=a，所以矩形周长为2a，面积为a2。
⑵要使四边形EFGH的周长最小，由四边形EFGH为平行四边形，只需EH+EF最小。
如图2-1，作H关于AB的对称点H′，连FH′交AB于E′。
显然点E选在E′处，EH+EF值最小，最小值等于FH′。
仿⑴可知，当AE≠AH时，亦有AH=CF。
所以FH′=== a练习题：1.（2007年“创新杯”）如图3，在直角坐标系中，已知点A（－4，5）和点B（－8，3），在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使四边形ABCD周长最小。
初中数学竞赛精品标准教程及练习49对称式
初中数学竞赛精品标准教程及练习49对称式对称式是指具有对称性质的数学表达式或等式。
在初中数学竞赛中，对称式经常出现在各类题型中，如代数运算、方程求解、函数图像等。
理解并掌握对称式的特点和性质，能够帮助我们更好地解题，提高数学竞赛的成绩。
一、对称式的定义和概念对称式是指在变量交换下保持不变的表达式或等式。
具体来说，一个对称式应满足以下两个条件：1.变量交换：对称式中的变量可以互相交换位置，而表达式整体不受影响。
2.不变性：对称式中的每一项与其在原位置的对应项相等。
例如，对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它满足b^2-4ac=0，则可以称为对称式。
因为在这个等式中，交换b和c的位置，将不影响等式的成立，且交换a和c的位置也不影响等式的成立。
二、对称式的特点和性质1.对称式的交换律：对称式中的各项可以互相交换位置，而保持整体不变。
这可以帮助我们在计算过程中简化运算，找到更好的解题思路。
2. 对称式的简化法：对称式中可能存在的同类项可以进行合并简化。
例如，x^3+3x^2y+3xy^2+y^3可以合并简化为(x+y)^33.对称式的分解和因式分解：对称式可以利用分解法或因式分解法将其分解成更简单的形式。
例如，x^2+y^2可以分解为(x+y)(x-y)。
4.对称式的对称性：对称式具有对称性质，即每一项与其在原位置的对应项相等。
这一特点可以帮助我们找到方程的解，或在绘制函数图像时更好地理解其特性。
三、对称式的应用举例1. 计算运算结果：对称式的交换律可以帮助我们简化计算过程，找到更好的解题方法。
例如，计算a^3+b^3+c^3-3abc时，可以利用对称式交换法将其变形为(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)。
2.解方程：对称式的对称性质可以帮助我们在解方程时找到方程的根。
例如，当方程x^3-3x^2+3x-1=0时，可以利用对称式的对称性质，将其变形为(x-1)^3=0，从而得到解x=13.绘制函数图像：对称式的对称性质可以帮助我们更好地理解函数图像的形态。
绵阳市人教版 八年级数学 竞赛专题：相对相称—对称分析法(含答案)
人教版 八年级数学 竞赛专题：相对相称—对称分析法（含答案）【例l 】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB ，BC 的中点，则PM +PN 的最小值是 .【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值. 【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a【例4】 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞OD ， 求证：BC ＋AD ＞AB ＋CD【例5】如图，矩形ABCD 中，AB ＝20厘米，BC ＝10厘米，若在AC 、AB 上各取一点M ，N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值.BCADBCA能力训练1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 .(第1题图) （第2题图） （第3题图）2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .4. 比6)56(+大的最小整数是 .5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，则PE ＋PC 的最小值为（ ）.A ．32B ．13C ．14D ．15 6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（ ）. A ．)1854(+英里 B ．16英里 C ．17英里 D ．18英里A BO(第5题图) （第7题图） （第8题图） 8.如图，等边△ABC 的边长为2，M 为AB 中点，P 为BC 上的点，设P A ＋PM 的最大值和最小值分别为S 和L ，则22L S -等于（ ）A ．24B ．34C ．23D ．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c =060，求e d +与x 的值.10. 求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.ADPEMP11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）① 当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？12．如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1） （1）若P （x ，0）是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若C （a ，0），D （3+a ，0）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值； （3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形AB PllABPC 图1 图2lA BPC 图3KABMN 的周长最短？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．13.在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ． （1）判断四边形AEMF 的形状，并给予证明； （2）若BD ＝1，CD ＝2，试求四边形AEMF 的面14. 阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着BC 边夹角为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路线的总长是多少？小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD 折叠，得到矩形A 1B 1CD ，由轴对称的x知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P点第一次与D点重合前与边相碰次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm．(2) 进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为．参考答案 例1 5例2 13 提示：将b=2-a 代入 22=a 4b 1W +++ 得()2222=a 22-a 1W +++，构造图形如下图，可得 W 的最小值为222313AP PB AB +==+=.例3 提示：设 ，则22a b =m -，22b -即(2=0 ，可得例4 证明 以AC 为对称轴，将△ADO 翻转，D 点必落在BO 上，设为D '，则AD ' =AD ，OD '=OD ；同理，将△BCO 翻转，C 点必落在AO 上，设为C '，则,BC BC OC OC ''==,连接C D ''、BC '、AD '，交于E ，则C D CD ''=，在△ABE 和△C D E ''中，有C E D E C D BE AE AB ''''+>⎧⎨+>⎩① +②得，BC AD AB C D ''''+>+，即AD+BC>AB+CD.例5 作B 关于AC 的对称点B '，连AB '，则N 关于AC 的对称点在AB '上的N '，这时 ，B 到M 的最小值等于B M N '→→ 的最小值,等于B 到AB '的距离BH '，即BM +MN 的最小值为BH ’。
专题强化1 对称问题(解析版)..
微专题1对称问题知识梳理在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点为P ′(2a －x ，2b －y )．(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．设l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)和点P (x 0，y 0)，则l 关于P 点的对称直线方程为A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．设P (x 0，y 0)，l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，P 关于l 的对称点Q 可以通过条件①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上来求得．(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．题型探究题型一、求点关于直线的对称点1．点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是______．【答案】(1,3)--【详解】设点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是(,)a b ，则93339310022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+⨯-=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩，所以点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是(1,3)--.故答案为：(1,3)--2．点()2,0P 关于直线:10l x y ++=的对称点Q 的坐标为（）A ．()1,3--B ．()1,4--C ．()4,1D ．()2,3【答案】A【详解】设点()2,0P 关于直线10x y ++=的对称点的坐标为(),a b ，则()011221022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=-⎩.所以点Q 的坐标为()1,3--故选：A.3．圆C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为（）．A ．()()22431x y -++=B ．()()224349x y -+-=C ．()()22431x y ++-=D ．()()224349x y +++=【答案】A【详解】()()22341x y ++-=表示以()3,4-为圆心，以1为半径的圆．设()3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ，则有34022413a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：4a =，3b =-，所以C ：()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为()()22431x y -++=．故选：A ．题型二、求直线关于点的对称直线1．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（）A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2340x y +-=【答案】D【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D.2．直线2530x y +-=关于点2()1,M -对称的直线方程是______．【答案】25130x y +-=【详解】设对称直线为0:250++='l x y C ，则有02222825232525C +-+⨯-=++，解这个方程得03C =-（舍）或013=-C .所以对称直线l '的方程中25130x y +-=故答案为：25130x y +-=3．已知直线l:112y x =-.(1)求点P （3，4)关于直线l 对称的点Q ；(2)求直线l 关于点（2，3)对称的直线方程．【答案】(1)Q 298,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)x －2y ＋10＝0【详解】(1)设Q （x 0，y 0)．由于PQ ⊥l ，且PQ 的中点在直线l 上，则000042,3431 1.222y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯-⎪⎩，解得0029,58.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以Q 298,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)在直线l 上任取一点，如M （0，－1).设点M 关于点（2，3)对称的点为N （x ，y )，所以0416x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：47x y =⎧⎨=⎩，所以N （4，7)因为所求直线与l 平行，所以12k ＝,所以所求的直线方程为()1742y x －＝－，即x －2y ＋10＝0.题型三、求直线关于直线对称问题1．与直线20x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（）A ．20x y -++=B ．20x y -+-=C ．20x y ++=D ．20x y +-=【答案】C【详解】由直线20x y -+=，令0y =，可得2x =-；令0x =，可得2y =，即直线过点(2,0),(0,2)A B -，又由点(0,2)B 关于x 轴的对称点为(0,2)B '-，则直线AB '的方程为20x y ++=，即直线20x y -+=关于x 轴的对称直线的方程为20x y ++=.故选：C.2．已知直线:0l x y -=，1:220--=l x y ，则1l 关于l 对称的直线方程为_____.【答案】220x y -+=【详解】联立0220x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，∴直线l 与1l 的交点坐标为()2,2，在直线1l 上任取一点()0,2-，其关于直线l 的对称点为()2,0-，由点()2,2和点()2,0-，可得()()20222y x -=⋅+--，即220x y -+=．故答案为：220x y -+=．3．分别求直线3450x y --=关于x 轴、y 轴对称的直线的方程．【答案】关于x 轴对称的直线方程为：3450x y +-=；关于y 轴对称的直线方程为：3450x y ++=.【详解】在方程3450x y --=中，令0x =，则54y =-，令0y =，则53x =，所以直线3450x y --=过点5(0,)4-和5(,0)3，点5(0,)4-关于x 轴对称的点为5(0,)4，点5(,0)3关于纵轴对称的点为5(,0)3-，因此直线3450x y --=关于x 轴对称的直线过5(,0)3和5(0,)4，所以直线3450x y --=关于x 轴对称的直线方程为：134505534x yx y +=⇒+-=；因此直线3450x y --=关于y 轴对称的直线过5(,0)3-和5(0,)4-，所以直线3450x y --=关于y 轴对称的直线方程为：134505534x y x y +=⇒++=--.4．已知直线1l ，2l 关于y 轴对称，1l 的方程为：230x y -=，则点()2,1-到直线2l 的距离为___________.【答案】1313【详解】∵直线1l ，2l 关于y 轴对称，1l 的方程为：230x y -=，∴2l 的方程为：2()30x y --=，即230x y +=，∴点()2,1-到直线2l 的距离为22223131323⨯-=+.故答案为：13135．已知直线l ：120()kx y k k R -++=∈，P （3，-1），当k 为1时，求直线l 关于点P 的对称直线l ′，并求直线l 与l ′间的距离【答案】直线l '的方程为110x y --=；直线l 与l '间的距离为72.【详解】当1k =时,直线:30l x y -+=，在直线l 上取点(0,3)A 和(3,0)B -，点(0,3)A 关于点(3,1)P -的对称点为(6,5)A '-，点(3,0)B -关于点(3,1)P -的对称点为(9,2)B '-，则点(6,5)A '-和点(9,2)B '-在直线l '上，由两点式可得直线l '的方程：562596y x +-=-+-，即110x y --=，此时直线l 与l '间的距离为|311|7211+=+.6．已知点()0,2A ，直线1:10l x y --=，直线2:220l x y -+=.(1)求点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标；(2)求直线2l 关于直线1l 的对称直线方程.【答案】(1)(3,1)-；(2)250x y --=【详解】(1)设点(,)B x y ，则由题意可得210222110x y y x +⎧--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标为(3,1)-，(2)由10220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得43x y =⎧⎨=⎩，所以两直线交于点(4,3)C ，在直线2:220l x y -+=上取一点(0,1)D ，设其关于直线1l 的对称点为00(,)E x y ，则0000110221110x y y x +⎧--=⎪⎪⎨-⎪⋅=--⎪⎩，解得0021x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)E -，所以3(1)242CE k --==-，所以直线CE 为32(4)y x -=-，即250x y --=，所以直线2l 关于直线1l 的对称直线方程为250x y --=题型四、对称问题的应用1．已知两点()()4,8,2,4A B -，点C 在直线1y x =+上，则AC BC +的最小值为（）A ．213B ．9C ．74D ．10【答案】C【详解】依题意，若()2,4B 关于直线1y x =+的对称点(,)B m n '，∴41242122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得33m n =⎧⎨=⎩，∴(3,3)B '，连接AB '交直线1y x =+于点C '，连接BC '，如图，在直线1y x =+上任取点C ，连接,,AC BC B C '，显然，直线1y x =+垂直平分线段BB '，则有||||||||||||||||||AC BC AC B C AB AC B C AC BC '''''''+=+≥=+=+，当且仅当点C 与C '重合时取等号，∴22min ()||(43)(83)74AC BC AB '+==--+-=，故AC BC +的最小值为74.故选：C2．已知点(1,3)A ､(5,2)B ，点P 在x 轴上，则AP PB +的最小值为___________.【答案】41【详解】因为()52B ，关于x 轴的对称点()52B '，-，则224541AB '=+=,所以AP PB+的最小值为41AB '=.故答案为：413．已知点(1,4)A --，试在y 轴和直线y x =上各取一点B 、C ，使ABC 的周长最小．（提示：尝试使用对称方法，用几何性质简化运算）【答案】170,5B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1717,88C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【详解】过点A 做y 轴对称点()11,4A -，作y x =的对称点()24,1A --，连接12A A 与y 轴交于点B ，与y x =交于点C ，得1212ABCCAB BC AC A B BC A C A A =++=++=所以此时ABC 的周长最小，直线12A A 的方程为414(1)1(4)y x --+=---，即35170x y ++=，与y 轴交于点170,5B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y x =交于点1717,88C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．已知光线从点()2,4A -射出，经直线:270l x y --=反射，反射光线过点()5,8B ．求：（1）反射光线所在直线的方程；（2）光线从点A 到点B 经过的路程．【答案】（1）2180x y +-=；（2）55.【详解】（1）设点A 关于l 的对称点为()',A x y ，则24270224122x y y x -+⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，即2220260x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得()'10,2A -．∴反射光线所在直线方程为210105y x +-=-，即2180x y +-=；（2）光线从点A 到点B 经过的路程为22''51055AP PB A P PB A B +=+==+=.跟踪训练1．已知点(2,1)A -关于直线0x y +=的对称点为点B ，则点B 的坐标为（）A ．(1,2)-B ．(2,1)C ．(2,1)-D ．(1,2)-【答案】D【详解】设点(2,1)A -关于直线0x y +=对称的点为(),a b ，则11221022b a a b -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，故对称的点为(1,2)-.故选：D2．圆()()221316x y -++=关于直线10x y ++=对称的圆的方程是______．【答案】()()222216x y -++=【详解】由题知：圆()()221316x y -++=的圆心为()1,3A -，半径为4r =，设()1,3A -关于直线10x y ++=对称的点为()00,x y ，则0000311131022y x x y +⎧=⎪-⎪⎨+-⎪++=⎪⎩，解得002,2x y ==-，所以圆()()221316x y -++=关于直线10x y ++=对称的圆的圆心为()2,2-，半径为4，所以，所求圆的方程为()()222216x y -++=.故答案为：()()222216x y -++=3．直线320x y -=关于点1,03⎛⎫⎪⎝⎭对称的直线方程（）A ．230x y -=B ．3220x y --=C ．0x y -=D ．2320x y --=【答案】B【详解】设所求直线上任一点为(,)x y ，则其关于点1,03⎛⎫⎪⎝⎭对称的点为2,3x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为点2,3x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线320x y -=上，所以232()03x y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，化简得3220x y --=，所以所求直线方程为3220x y --=，故选：B4．直线230x y --=关于定点()21M -，对称的直线方程是_________．【答案】2110x y -+=【详解】在直线上取点(3,0)P ，点P 关于()21M -，的对称点为'(7,2)P -过P'与原直线平行的直线方程为2110x y -+=，即为对称后的直线．故答案为：2110x y -+=5．直线33y x =关于1x =对称直线l ，直线l 的方程是（）A ．320x y +-=B ．320x y ++=C ．320x y +-=D ．320x y ++=【答案】C【详解】如图，直线33y x =与直线1x =交于点3(1,)3A ，直线33y x =过原点(0,0)，因为直线33y x =与直线l 关于直线1x =对称，所以原点关于直线1x =的对称点为(2,0)B ，且直线l 过点A 、B ，则直线l 的斜率为3033123l k -==--，所以直线l 的方程为30(2)3y x -=--，即320x y +-=.故选：C6．两直线方程为1:3260l x y --=，22:0x y l --=，则1l 关于2l 对称的直线方程为（）A ．3240x y --=B ．2360x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y --=【答案】C【详解】设所求直线上任一点(,)M x y ，M 关于直线20x y --=的对称点1(M x '，1)y ，则111112022y y x x x x y y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩，解出112(*)2x y y x =+⎧⎨=-⎩点M '在直线3260x y --=上，∴将(*)式代入，得3(2)2(2)60y x +---=，化简得2340x y --=，即为1l 关于2l 对称的直线方程．故选：C7．已知直线:33l y x =+，求：(1)直线l 关于点(3,2)M 对称的直线的方程；(2)直线20x y --=关于直线l 对称的直线的方程．【答案】(1)3170x y --=；(2)7220x y ++=【详解】(1)设直线l 关于(3,2)M 的对称直线上任意一点为(,)A x y ，则点A 关于点(3,2)M 的对称为11(,)B x y ，则113222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得116,4x x y y =-=-，即(6,4)B x y --,将点(6,4)B x y --代入直线l ，可得43(6)3y x -=-+，整理得3170x y --=，即对称直线的方程为3170x y --=.(2)由3320y x x y =+⎧⎨--=⎩，解得59,22x y =-=-，即直线20x y --=与33y x =+的交点坐标为59(,)22E --，再在直线20x y --=上取一点(0,2)C -，设点C 关于直线33y x =+的对称点为(,)N m n ，则2310203322n m n m +⎧⨯=-⎪⎪-⎨-+⎪=⨯+⎪⎩，解得3,1m n =-=-，即(3,1)N --，又由91()2753()2ENk ---==----，所以直线EN 的方程为(1)7[(3)]y x --=---，整理得7220x y ++=，即直线20x y --=关于直线l 对称的直线的方程为7220x y ++=.8．已知直线:2310l x y -+=，点(1,2)A --．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；(2)直线:3260m x y --=关于直线l 对称的直线m '的方程；(3)直线l 关于点(1,2)A --对称的直线l '的方程．【答案】(1)334,1313A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭；(2)9461020x y -+=；(3)2390x y --=【详解】(1)因为点(1,2)A --，设点A 关于直线l 的对称点A '的坐标为0(x ，0)y ，直线:2310l x y -+=，∴0000231212231022y x x y +⎧=-⎪+⎪⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得003313413x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以334,1313A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，(2)设直线m 与直线l 的交点为N ，联立直线l 与直线m ，23103260x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，所以(4,3)N ；在直线m 上取一点，如(2,0)M ，则(2,0)M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上，设对称点(,)M a b '，则2023()102202123a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得6133013a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以630(,)1313M '，m '经过点(4,3)N ，所以303913646413m k '-==-∴所以直线m '的方程为()93446y x -=-整理得9461020x y -+=．(3)设直线l 关于点(1,2)A --对称的直线l '的点的坐标为(,)N x y ，(,)N x y ∴关于点(1,2)A --对称点为(2,4)N x y '----，(2,4)N x y ∴'----在直线:2310l x y -+=上，代入直线方程得：()()223410x y -----+=，所以直线l '的方程为：2390x y --=．9．1.已知()2,3A -，直线l ：10x y -+=(1)直线l 关于点A 的对称直线1l 的方程；(2)若光线沿直线230x y --=照射到直线l 上后反射，求反射光线所在的直线2l 的方程.【答案】(1)110x y --=；(2)260x y -+=【详解】(1)设点(),x y 是直线1l 上一点，则点(),x y 关于()2,3A -的对称点为()4,6x y ---，因为()4,6x y ---在直线10x y -+=上，代入得：110x y --=所以直线1l 的方程为：110x y --=(2)如图所示，联立230x y --=与10x y -+=，解得：45x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()4,5B ，在直线230x y --=上任找一点，比如()2,1C ，求出()2,1C 关于直线l ：10x y -+=的对称点(),D a b ，则直线BD 即为反射光线所在的直线2l ，则由题意得：2110221112a b b a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得：03a b =⎧⎨=⎩则()0,3D ，直线BD 为：260x y -+=10．已知直线12:230,:20l x y l x y ++=-=(1)求直线1l 关于x 轴对称的直线3l 的方程，并求2l 与3l 的交点P ；(2)若直线l 过点P 且与直线3l 垂直，求直线l 的方程.【答案】(1)230x y -+=，()2,1P --；(2)240x y ++=【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为230x y -+=，由23020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，∴()2,1P --．(2)由（1）得直线l 3的斜率为2，∴直线l 的斜率12k =-且过点()2,1P --，∴直线l 的方程：()1122y x +=-+，即为240x y ++=.11．已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x ﹣2y ﹣5＝0．（1）求直线BC 的方程；（2）求直线BC 关于CM 的对称直线方程．【答案】（1）6x ﹣5y ﹣9＝0；（2）38x ﹣9y ﹣125＝0．【详解】（1）由题意，直线AC 与高BH 所在直线垂直，可设直线AC 的方程为20x y c ++=代入A （5，1），可得直线AC 的方程为：2x +y ﹣11＝0．联立2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得C （4，3）．设B （a ，b ），则M 51(,)22a b ++．M 在直线2x ﹣y ﹣5＝0上，可得：522a +⨯﹣12b +﹣5＝0，化为：2a ﹣b ﹣1＝0．B 在直线x ﹣2y ﹣5＝0上，可得：a ﹣2b ﹣5＝0．联立210250a b a b --=⎧⎨--=⎩，解得a ＝﹣1，b ＝﹣3，B （﹣1，﹣3）．因此3(3)64(1)5BC k --==--，代入点C ，可得点斜式63(4)5y x -=-于是直线BC 的方程为：6x ﹣5y ﹣9＝0．（2）点B 关于直线CM 对称的点B '（x ，y ）在所求的直线上，由132********x y y x --⎧⨯--=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪+⎩，B '()155123-，．由于点C 也在对称的直线上，故23338511945B C k '+==-代入点C ，得到点斜式：383(4)9y x -=-∴直线BC 关于CM 的对称直线方程为38x ﹣9y ﹣125＝0．12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()3,4B ，若将军从点()2,0A -处出发，河岸线所在直线方程为y x =，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A ．5B ．35C ．45D ．53【答案】B【详解】因为点()2,0A -关于直线y x =的对称点为()0,2A '-，所以A B '即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为93635A B +='=．故选：B ．13．在平面直角坐标系中，从点(5,2)P 发出的光线射向x 轴，经x 轴反射到直线y x =上，再反射经过点(10,9)，则光线由P 到Q 经过的路程长为______．【答案】410【详解】如图，设光线自点P 射向x 轴上的A 点，经过反射后射向直线y x =上的B 点，再经过反射后射向Q 点，点P 关于x 轴的对称点P ',点Q 关于直线y x =的对称点Q '，则(5,2)P '-，(9,10)Q '，所以光线由P 到Q 经过的路程长为PA AB BQ ++P A AB BQ ''=++P Q ''=22(95)(102)410=-++=,故答案为：41014．已知P 为直线l ：230x y -+=上一点，点P 到()1,0A 和()2,2B 的距离之和最小时点P 的坐标为____________.【答案】(,)122-【详解】点,A B 在直线的同侧，设点(1,0)A 关于l 的对称点为00(,)A x y '00001230220211x y y x +⎧⋅-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=--⎪⎩解得0032x y =-⎧⎨=⎩，即(3,2)A '-由题意，点P 为直线A B '与l 的交点，直线A B '的方程为：2y =故点P 的坐标为(,)122-故答案为：(,)122-15．已知直线l ：120kx y k -++=，P （3，-1），Q （-3，3），当1k =-时，求直线l 上的动点M 到P ，Q 两点的距离之和的最小值.【答案】58【详解】当1k =-时，直线:10l x y ++=，设()3,3Q -关于直线10x y ++=的对称点(,)Q a b '，则313331022b a a b -⎧=⎪⎪--⎨-+⎪++=⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，即(4,2)Q -，依题意可得||||||||PM QM PM Q M '+=+||PQ '≥22(34)(12)58=++--=，当且仅当点,,P M Q '三点共线时，取等号.所以直线l 上的动点M 到P ，Q 两点的距离之和的最小值为58.16．已知点()0,4A 与点B 关于直线0:230l x y +-=对称.（Ⅰ）求B 点的坐标；（Ⅱ）一条光线沿直线:40l x y -+=入射到直线0l 后反射，求反射光线所在的直线方程.【答案】（Ⅰ）()2,0B -；（Ⅱ）714y x =+.【详解】（Ⅰ）设(),B a b ，则4230,2242,a b b a+⎧+⨯-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得2,0,a b =-⎧⎨=⎩所以()2,0B -.（Ⅱ）设反射光线所在的直线为l '，因为点A 在直线l 上，所以点B 在l '上.设l 与0l 的交点为P .联立方程40,230,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得5373x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以57,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.反射光线所在的直线即为直线BP ，其方程为()782523y x =+-+，整理得714y x =+.17．已知点()3,5M ，在直线l :220x y -+=上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，使MPQ ∆的周长最小，试求出MPQ ∆周长的最小值，并求出当MPQ ∆周长最小时点P 和点Q 的坐标.【答案】()min 45MPQ C ∆=；59,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，70,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】如图作出()3,5M 关于直线l ：220x y -+=的对称点N ，作出()3,5M 关于y 轴的对称点E ，连结NE ，交直线l 于P ，交y 轴于Q ，从而得到三角形MPQ 的周长最小时，最小值为NE.设(,)N x y ，因为MN 与直线l ：220x y -+=垂直且被平分，352202251132x y y x ++⎧-⋅+=⎪⎪∴⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得51x y =⎧⎨=⎩，故(5,1)N ，由(3,5)E -，()2253(15)45NE ∴=++-=，又直线NE 的方程为15(5)153y x -=-++，即270x y +-=，令0x =，得72y =，所以70,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立270220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5294x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以59,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上：MPQ ∆周长的最小值为45，当MPQ ∆周长最小时点59,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点70,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
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初中数学竞赛专题选讲（初三.5）
对称式
一、内容提要
一.定义
1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.
例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, y
x 11+， xyz
x z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.
2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.
例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc
c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）(
)111z y x ++， 2
22222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.
二.性质
1.
含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.
2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.
例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，
如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：
m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.
3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.
例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.
4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，
∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xy
y x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和z
y x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （z
y x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题
例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222z
y x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111z
y x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z
1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(z
xy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.
例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.
求代数式 222222222111b
a c a c
b
c b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝2
22)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴
2
22222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3
分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.
例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.
（m, n, p 是待定系数）
令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；
令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；
令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.
解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩
⎪⎨⎧===631p n m
∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.
例5. 因式分解：
① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；
② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.
解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.
∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.
∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得
一次齐次的轮换式a+b+c.
用待定系数法：
得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)
比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.
∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).
② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0
∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.
∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.
∴用待定系数法：
可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5
＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.
令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；
令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.
解方程组⎩⎨⎧=+=+480
680n m n m
得⎩
⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).
三、练习
1.
已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.
3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：
① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
4. 计算：（x+y ）
5.
5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.
6. 因式分解：
① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；
② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；
③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；
④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.
7. 已知：abc
c b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.
8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋ab
cb ca c c +--22
. 9. 已知：S ＝2
1（a+b+c ）. 求证：16
)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).
10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x
1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.
参考答案
1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x
2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)
3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz
4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.
5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.
6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=1
7. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解
8. 1
9. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)
10. 选 C。