2003年全国高中数学联赛试卷及答案

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2003年全国高中数学联赛(安徽赛区)预赛试题及解答

和 b 之间有关系式| k a t;
0. 则 a ・ b 的最小值为 . 12. 已知 x 、 y、 z 均为正整数 . 则方程 x + y + z = 15 有组解 .
三、解答题 ( 每小题 15 分 ,共 60 分)
2 13. 设 a ∈R ,函数 f ( x) = ax + x - a (| x| ≤ 1) .
9. 501. (sin θ+ i cos θ ) n = [i ( cos θ- i sin θ ) ]n
n ) + i sin ( - θ ) ]n = i [ cos ( - θ n θ- i sin n θ ) = i n - 1 ( sin n θ+ i cos n θ ). = i ( cos n
1
x
2
5
的展开式中 ,常数
项为 .
9. 设 n 为不超过 2 003 的正整数 . 如果有一个角 θ+ i cos n θ成立 ,则这 θ使得 (sin θ+ i cos θ ) n = sin n 种 n 的总个数为 . 10. 三位数中 ,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小 ,则称这个数为凹数 ,如 504 、 746 等都是凹数 . 那么 ,各个数位上无重复数字的三位数中凹数共有个. ) , b = (cos β,sin β ) ,a 11. 已知 a = (cos α,sin α
11. 1 . 2
由| k a + b| 2 = ( 3| a - k b| ) 2 得 2 2 2 2 8 ka・ b = (3 - k ) a + (3 k - 1) b . 故 a・ b=
(3 - k2 ) a 2 + ( 3 k2 - 1) b2 . 8k

2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编(精编版)12

2003-2017年全国高中数学联赛分类汇编（精编版）12数列部分1、（2003一试1）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的2003项是（）(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【解析】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C ． 2、（2004一试11）已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i的值是3、(2005一试7) 将关于x 的多项式2019321)(x x x x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .4、（2007一试10）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。

若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于。

【答案】21【解析】因为221112*********32221114)2()(q q q b q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1+q +q 2为m 14，其中m 为正整数。

令mq q 1412=++，则mm m q 4356211144121-+-=-++-=。

由于q 是小于1的正有理数，所以3141<<m ，即5≤m ≤13且m m 4356-是某个有理数的平方，由此可知21=q 。

2003-2012年全国高中数学联赛

在 △PF1 F2 中 , 三边之长分别为 2 、 4、 2 5 ,而
2 2 2 + 4 = (2 5 ) ,可见 △PF1 F2 是直角三角形 ,且两 2
1 1 1 1 n- 1 + + …+ n - 1 × 2 10 102 2 10
n- 2
+2
n- 1
1 × n 10
=2
×
1 9
1-
1 n- 1 10
(A) 12 2 (B) 11 2 ( C) 11 3 (D) 12 3 5 6 6 5 5. 已知 x 、 y 都在区间 ( - 2 ,2 ) 内 , 且 xy = - 1. 4 9 ). 2 + 2 的最小值是 ( 4- x 9- y (B) 24 11 ( C) 12 7 (D) 12 5
因为 M n 中小数的小数点后均有 n 位 , 而除最后一位上的数字必为 1 外 , 其余各位上的数字均有两种选择 (0 或 1) 方法 , 故 Tn = 2 n - 1 . 又因在这 2 n - 1 个数中 ,小数点后第 n 位上的数字全是 1 ,而其余各位上数字是 0 或 1 ,各有一半 ,所以 ,
x +1 ,c =
a +b +c + d
易得 A = (1 ,3) . 设 1- x 2 f ( x) = 2 + a , g ( x) = x - 2 ( a + 7) x + 5. 要使 A Α B ,只需 f ( x ) 、 g ( x ) 在 ( 1 ,3) 上的图像均在
0, 0 , f ( 3) ≤ x 轴下方 . 其充要条件是 : 同时有 f ( 1) ≤ 0. 由此推出 - 4 ≤a ≤- 1. 0 , g (3) ≤ g (1) ≤ 10. 93.

2003答案

n
Sn 1 1 1 1 lim 1 n1 n ． n Tn 18 10 10 18
三．解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13．
3 设 ≤ x ≤ 5 ，证明不等式 2 x 1 2 x 3 15 3x 2 19 ． 2
的面积等于_________．【解析】 4 ．设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a 、 2b 、 2c ，则由其方程知 a 3 ， b 2 ， c 5 ，故 PF1 ＋ PF2 2a 6 ，又已知 PF1 : PF2 ＝2:1 ，故可得 PFl ＝4 ， PF2 ＝2 ．在 △PFl F2 中，三边之长分别为 2 ， 4 ， 2 5 ，而 22 42 2 5 ，可见 △PF1F2 是直角三角形，且两直角边的长为 2 和 4 ，故 △PF1F2 的面积为 4 ． 9．已知 A {x | x2 4x 3<0 , x R} ， B x 21 x a ≤ 0 ， x2 2 a 7 x 5 ≤ 0 ， xR ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是_________．【解析】 4 ≤ a ≤ 1 ．易得： A (1 , 3) ，设 f ( x) 21 x a , g ( x) x2 2(a 7) x 5 ，要使 A B ，只需 f ( x) , g ( x) 在 (1 , 3) 上的图象均在 x 轴下方，其充要条件是 f (1) ≤ 0 , f (3) ≤ 0 ， g (1) ≤ 0 , g (3) ≤ 0 ，由此推出 4 ≤ a ≤ 1 ．
π 2π π π 5π 若 x , ，则 y tan x tan x cos x 的最大值是（ 3 6 6 3 12

2003年全国高中数学联赛试卷及答案

2003年全国高中数学联赛试题第一试2003年10月12日一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是【答】（）（A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 204922 ）3. 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60︒的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于【答】（）（A ）163 (B)83 (D) 4. 若5,,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则2tan tan cos 366y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值是（A (C) 127 (D) 125 【答】（） 5. 已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数224949u x y =+--的最小值是（A ）85 (B)2411 (C) 127 (D) 125【答】（） 6. 在四面体ABCD 中设1,AB CD ==AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于【答】（）（A (B) 12 (C) 13 (D) 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式322430x x x --+<的解集是______________8．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________.9. 已知 {}2430,,A xx x x R =-+<∈ (){}1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________.10. 已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,24a cb d ==若9a c -=，则b d -=____________.11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设()_____________120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ⎧⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-=⎨⎬⎩⎭十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则limnn nS T →∞=________. 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设35,2x ≤≤ 证明不等式319.14．设A,B,C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点'A 刚好与A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A 取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题第二试一、（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠ 求证：.DBQ PAC ∠=∠ 二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数,,,l m n 且.l m n >>已知444333,101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭其中{}[],x x x =-而[]x 表示不超过x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间四边形，其中21,n q q =++()2111,2,.2l q q q q N ≥++≥∈已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2q +条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D 和四条连线段AB,BC,CD,DA 组成的图形）2003年全国高中数学联赛第一试参考答案提示：1. 注意到2025452=,2116462=,故20484520032003=+=a ;2. 题设方程可化为b ax y +=和122=+by a x ,观察图形可知；3. 易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832=--x x ,从而弦AB 中点的横坐标为340=x ,纵坐标340=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=316； 4. 原函数可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 342sin 2ππx x y ,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当3π-=x 时，y 取最大值3611; 5. 消去y 之后可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=224937351x x u ,用基本不等式可求得函数u 的最小值512; 6. 可用等积法求得，过程略。

高中数学联赛冬令营 CMO真题2003年

2003年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题 (本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

)1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003项是【答】（）（A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2. 设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的图物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于【答】（）（A ）163 (B)83 (D) 4若5,,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则2tan tan cos 366y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值是【答】（）（A (C) 127 (D) 125 5. 已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数224949u x y =+--的最小值是【答】（）（A ）85 (B)2411 (C) 127 (D) 1256. 在四面体ABCD中设1,AB CD ==AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于【答】（）（A）2 (B) 12 (C) 13(D) 3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式322430x x x --+<的解集是______________8．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________.9. 已知 {}2430,,A x x x x R =-+<∈(){}1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________.10. 已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,24a cb d ==若9a c -=，则b d -=____________.11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________. 12．设()_____________120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ⎧⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-=⎨⎬⎩⎭十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则lim nn nS T →∞=________三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设35,2x ≤≤ 证明不等式 319.14．设A,B,C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点.证明：曲线4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点'A刚好与A点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题第二试一、（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠ 求证：.DBQ PAC ∠=∠ 二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数,,,l m n 且.l m n >>已知444333,101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭其中{}[],x x x =-而[]x 表示不超过x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值. 三、（本题满分50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间四边形，其中21,n q q =++()2111,2,.2l q q q q N ≥++≥∈已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2q +条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D 和四条连线段AB,BC,CD,DA 组成的图形）2003年全国高中数学联赛第一试参考答案提示：1. 注意到2025452=,2116462=,故20484520032003=+=a ;2. 题设方程可化为b ax y +=和122=+by a x ,观察图形可知； 3. 易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832=--x x ,从而弦AB 中点的横坐标为340=x ,纵坐标340=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=316； 4. 原函数可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 342sin 2ππx x y ,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当3π-=x 时，y 取最大值3611; 5. 消去y 之后可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=224937351x x u ,用基本不等式可求得函数u 的最小值512; 6. 可用等积法求得，过程略。

2003全国高中数学联赛试题和加试题

2003年全国高中数学联赛试题2003年10月12日一、选择题1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是（A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492、设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的图形是(A)(B)(C ) (D)3、过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60︒的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于（A ）163(B)83 (D) 4、若5,,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则2tan tan cos 366y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值是（A (C) 127 (D) 125 5、已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数224949u x y=+--的最小值是（A ）85(B)2411 (C) 127(D) 1256、在四面体ABCD 中设1,AB CD =，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于（A）2 (B) 12 (C) 13 (D) 3二、填空题7、不等式322430x x x --+<的解集是______________8、设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________.9、已知 {}2430,,A x x x x R =-+<∈(){}1220,2750,.xB x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________.10、已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,24a cb d ==若9a c -=，则b d -=____________. 11、将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12、设()_____________120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ⎧⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-=⎨⎬⎩⎭十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则lim nn nS T →∞=________.三、解答题13、设35,2x ≤≤证明不等式<14、设A ，B ，C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.15、一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点'A 刚好与A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A 取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.加试试题一、（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ， B. 所作割线交圆于C ， D 两点，C 在P ， D 之间. 在弦CD 上取一点Q ，使.DAQ PBC ∠=∠ 求证：.DBQ PAC ∠=∠二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数,,,l m n 且.l m n >>已知444333,101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭其中{}[],x x x =-而[]x 表示不超过x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间四边形，其中21,n q q =++()2111,2,.2l q q q q N ≥++≥∈已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2q +条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A ，B ，C ，D 和四条连线段AB ，BC ，CD ，DA 组成的图形）。

2003年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

a+
c
−
2b
̸=
0.
于是
BA
2 的中点 M
(1 ,
a
+
b
) ，BC
的中点
N
(3 ,
b
+ c)，
直线
MN
:
y
−
a
+
b
4 =
2 (c −
( a) x
−
1)
⇒
y
=
4 (c −
2 a)x
+
3a
+
2b
−
c.
2
4
4
y
=
(c
−
a)x
+
3a
+
2b
−
c ,
联立方程
4
y = (a + c − 2b)x2 − 2(a − b)x + a
⇒
(a
+
c
−
2b)
( x2
−
x
+
1)
=
(a
+
c
−
2b)
( x
−
1 )2
=
0.
综上，曲线
z
与直线
4 MN
2 只有一个公共点，且此点坐标为
(1 ,
a+
2b
+
c
) .
24
15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A，且 OA = a. 折叠纸片，使
圆周上某一点 A′ 刚好与点 A 重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.
n→∞
10 Sn = Tn

2003年全国高中数学联赛一试及解答

2003年全国高中数学联合竞赛试卷一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是A ．2046B ．2047C ．2048D ．2049 答（）2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B 答（）3．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．316 B ．38 C ．3316 D ．38答（）4．若)3,125(ππ--∈x ，则)6cos()6tan()32tan(πππ+++-+=x x x y 的最大值是 A ．5212 B ．6211 C ．6311 D ．5312答（）5.已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy ＝－1，则函数229944y x u -+-=的最小值是 A ．58B ．1124C 712．D ．512 答（）6.在四面体ABCD 中，设AB ＝1，CD ＝3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．21 C ．31 D ．33 答（）二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 | x | 3－2x 2－4| x | ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．9．已知A ＝{x ｜x 2－4x ＋3＜0，x ∈R }，B ＝{x ｜21－x ＋a ≤0，x 2－2(a ＋7)＋5≤0，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是___________________．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且45log 23log ==d b c a ，，若a －c ＝9，则b －d ＝．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n 位纯小数n a a a Λ21.0｜a i 只取0或1（i ＝1，2，…，n －1，a n ＝1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则nnn T S ∞→lim ＝_______．三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设23≤x ≤5，证明不等式1923153212<-+-++x x x ． 14．设A ，B ，C 分别是复数Z 0＝ai ，Z 1＝21＋bi ，Z 2＝1＋ci （其中a ，b ，c 都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z ＝Z 0cos 4t ＋2Z 1cos 2t sin 2t ＋Z 2sin 4t （t ∈R ）与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2003年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

历年联赛题-2003年全国高中数学联赛

V2
的
1 3
.而
S △CDE
图2
=
1 2
CE·CDsin
∠ECD ,AB 与 CD 的公垂线 MN 就是
棱柱 AB F - ECD 的高 ,故
V2
=
1 2
MN ·CE·CDsin
∠ECD =
3 2
.
因此 , V1 =
1 3
V2 =
1 2
.
二、7.
- 3,-
5- 1 2
∪
52
1
,3
.
由原不等式分解可得 (| x| - 3) ( x2 + | x| - 1) <
2003 年第 6 期
由已知得 y = -
1 x
,故
u
=
4
4 - x2
+
9 x2 9 x2 -
1
=1
+
37
-
35
9 x2
+
4 x2
.
而 x∈
- 2,-
1 2
∪
1 2
,2
,当 9 x2
=
4 x2
,即
x2 =
2 3
时
,9 x2
+
4 x2
的值最小
,此时
u
有最小值
12 5
.
6. (B) . 如图 2,过 C 作 CE AB , 以 △CDE为底面 , BC 为侧棱作棱柱 AB F - ECD , 则所求四面体的体积 V1 等于上述棱柱体积
3 2
,
logc d =
5 4
.若
a
-
c = 9 ,则 b -

2003年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2003年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2003*1、删去正整数数列 ,3,2,1中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是A.2046B. 2047C. 2048D. 2049◆答案：C★解析：2025452=，2116462=．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的1980452025=-项．还缺2319802003=-项．由2048232025=+．2003*2、设R b a ∈,，0≠ab ，那么直线0=+-b y ax 和曲线ab ay bx =+22的图形是A. B. C. D.◆答案：B★解析：曲线方程为122=+by a x ，直线方程为b ax y +=,由直线图形，可知A 、C 中的0<a ，A 图的0>b ，C 图的0<b ，与A 、C 中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B 、D 中的0,0<>b a ，则曲线为焦点在x 轴上的双曲线，故选B ．2003*3、过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为060的直线．若此直线与抛物线交于B A ,两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A. 316B. 38C. 3316D. 38◆答案：A★解析：抛物线的焦点为原点，弦AB 所在直线方程为x y 3=，弦的中点在34==k p y 上，即AB 中点为⎪⎭⎫⎝⎛34,34，中垂线方程为343433+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x y ，令0=y ，得316=px ,所以316=PF2003*4、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈3,125ππx ，则)6cos()6tan()32tan(πππ+++-+=x x x y 的最大值是A.5212 B. 6211 C. 6311 D. 5312 ◆答案：C★解析：令θπ=+6x ，则232πθπ+=+x ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈3,125ππx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈6,4ππθ，原函数即变为θθcos 2sin 2+-=y ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈6,4ππθ上，θθcos ,2sin 都单调递增，从而y 单调递增．于是6πθ-=时，y 取得最大值6311，故选C ．2003*5、已知y x ,都在区间)2,2(-内，且1-=xy ，则函数229944yx u -+-=的最小值是 A. 58 B. 1124 C. 712 D. 512◆答案：D★解析：由)2,2(,-∈y x ，1-=xy 知，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈2,2121,2 x ，将xy 1-=代入函数解析式整理得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=224937351x x u ．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈2,2121,2 x ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,412x ，知当2249x x = 即322=x 时，u 取得最小值为512，故选D ．2003*6、在四面体ABCD 中，设1=AB ，3=CD ，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于A. 23B. 21C. 31D. 33◆答案：B★解析：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积为323sin31=⨯⨯π，而四面体BCD A -的体积为21361=⨯．故选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。

2003年全国高中数学联赛天津赛区初赛

x - 1 DA3 22003 年全国高中数学联赛天津赛区初赛一、选择题(每小题5 分,共30 分)1. 已知函数f ( x) =则f ( x) 可化简为( ) .(A) cos 2 x (B) sin 2 x b cos B , A≠B ,则△ABC 的内切圆半径等于.9. 已知f ( x)=2 x + 3. 若y = g ( x) 的图像与y = f -1( x + 1) 的图像关于直线y = x 对称,则g (3) 的值等于.10. 若集合 A = { x| - 2 ≤x ≤5} , B = { x| m + 1 ≤(C) cos x - sin x (D) cos x2 - sinx2 x ≤2 m - 1} ,且 A ∩B = B ,则实数m 的取值范围是2.已知正数a1, a2, , a7构成等比数列. 若前5 项的和为7 2 + 6 ,后5 项的和为14 2 + 12 ,则a6等于( )(A) 4 (B) 4 2 (C) 8 (D) 8 23.已知正三棱柱ABC - A1B1C1中, E 是BC 的中点, D 是AA1上的一个动点,且AD = m . 若A E ∥1平面DB 1C ,则m 的值等于( ) ..11.已知点A ( m , n) 在直线x + 3 y = 41 上,其中0 < n < m . 若点A 关于直线y = x 的对称点为B ,点B 关于y 轴的对称点为C ,点C 关于x 轴的对称点为D ,点D 关于y 轴的对称点为E ,且五边形ABCDE 的面积为451 ,则点A 的坐标为.12.设{ a n}是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为零,且各项之和等于2 004. 则该数(A) 13 (B) 12(C) 23(D)1列的第2 项a2的值等于.三、解答题(每小题20 分,共60 分)4. 有20 张卡片分别写着数字1 ,2 , ,19 ,20. 将它们放入一个盒中,有4 个人从中各抽取一张卡片, 取到两个较小数字的二人在同一组,取得两个较大数字的二人在同一组. 若其中二人分别抽到 5 和14 , 则此二人在同一组的概率等于( ) .解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.13.关于x 的不等式a2+ 2 a - sin2 x - 2 a cos x > 2 的解集是全体实数. 求实数 a 的取值范围.x2 y214.已知A ( x1, y1) 、B ( x2, y2) 是椭圆a2+b2=(A) 12 (B) 251(C) 551(D) 7511 ( a > b > 0) 上的两个动点, O 为坐标原点,且OA ⊥OB . 求线段AB 长的最小值.5.设二次函数f ( x) = ax2+ bx + c (其中 a 、b 、c 为整数) ,有 4 个学生计算函数值, 甲得到: f ( 7) = - 1 ;乙得到: f (1)= 3 ; 丙得到: f (4)= - 4 ; 丁得到: f (2) = 4. 其中有且仅有1 个学生计算错误,则计算错误的学生是( ) .(A) 甲(B) 乙(C) 丙(D) 丁6.在4 到18 之间选择两个不同的质数,然后用它们的乘积减去它们的和,得到的数可以是( ) .(A) 21 (B) 60 (C) 119 (D) 231二、填空题(每小题5 分,共30 分)7.函数f ( x) = log1 ( x2- 5 x + 6) 的单调递增区间为.8.在△ABC 中, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c. 若 a 、b 、c 成等差数列,且 c = 10 , a cos A =15. 已知函数 f ( x) = x2+ x - 2.(1)试求函数g ( x) = | f( x) | - f ( x)的解析式;(2)若a > 0 时,直线y = ax + b 与曲线y = g ( x) 交于三个不同的点,试确定 a 与b 的关系式,并画图表示以 a 、b 为坐标的点( a , b) 所在的区域.参考答案一、1. A.因为sin4 x + 4cos2 x = ( sin2 x - 2) 2 ,所以,sin4 x + 4cos2 x = 2 - sin2 x .同理, cos4 x + 4sin2 x = 2 - cos2 x .故 f ( x) = cos2 x - sin2 x = cos 2 x .2.C.sin4 x + 4cos2 x - cos4 x + 4sin2 x .3 x - 222 2x - 1 22004 年第 2 期 37因为 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5= a 1 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 7 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7+ 6 ,T + 1 = 232 = 2 ×116 = 4 ×58不合题意 ,所以 ,T + 1 = 120 = (11 - 1) ×(13 - 1) , T = 119.= a 1 q 2 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 14 2+ 12 ,二、7. ( - ∞,2) .因为函数 f ( x ) = log 1 ( x 2 - 5 x + 6) 的定义域为二式相除 ,得 q = 2. 3x 2- 5 x + 6 > 0 , 即 x < 2 或 x > 3. 又 x 2 - 5 x + 6 =又 a 1 , a 2 ,, a 7 是正数 ,则 q = 2 . 代入上式 ,可得 a 1 = 2 . 所以 , a 6 = a 1 q 5 = 8.3. D.5 21 5x - 2 - 4 , 其递减区间为 - ∞, 2, 所以 ,f x = log 1 ( x 2 - 5 x + 6) 的单调递增区间为过 AA 1 、A E 作平面 A 1 A EF 与平面 BCC 1 B 1 交于EF . 设 EF 与 B 1 C 交于点 O ,连结 DO . 因为 AA 1 ∥平面 BCC 1 B 1 , A E ∥平面 DB 1 C ,所以 ,AA 1 ∥EF , A E ∥DO .故四边形 A EOD 是平行四边形 ,即 AD = EO . 又因为 E 是 BC 的中点 , 所以 , O 为 B 1 C 的中点 ,也是 EF 的中点 ,即 AD = EO = 1 EF = 1AA 1 ., AD = m = 1. DA 14. D.由于有二人分别抽到 5 和 14 两张卡片另外二人需从剩下的 18 张卡片中抽取 ,共有 18 ×17 种情况. 若抽取 5 和 14 的二人在一组 ,则有两种情况.(1) 5 和 14 为较小数 ,另二人需从 15～20 的 6张卡片当中抽取 ,有 5 ×6 种 ;(2) 5 和 14 为较大数 ,另二人需从 1～4 的 4 张卡片当中抽取 ,有 3 ×4 种 ;于是 ,抽到 5 和 14 两张卡片的二人在同一组的 5 ×6 + 3 ×4 = 7 .18 ×17 515. B.因为 f ( m ) - f ( n ) = ( m - n ) ( am + an + b ) , 则( m - n ) | ( f ( m ) - f ( n ) ) .验证 : (7 - 1) 8 ( - 1 - 3) , (7 - 4) | ( - 1 + 4) ,(7 - 2) | ( - 1 - 4) , (1 - 4) 8 (3 + 4) , (1 - 2) | (3 - 4) , (4 - 2) | ( - 4 - 4) .于是 ,乙计算错误.6. C.设选择的两个质数为 x 、y ,所得到的数为 T ,则T = xy - ( x + y ) . 于是 ,T + 1 = xy - x - y + 1 = ( x - 1) ( y - 1) .因为 x 、y 均为大于 4 的质数 , 则 x 、y 均为奇数 , ( x - 1) 、( y - 1) 均为偶数. 所以 ,4| ( T + 1) . 然而 ,4822 ,4861 ,4| 120 ,4| 232 ,又 ( - ∞,2) .8. 2.设 △ABC 的内切圆半径为 r . 因为 a cos A =b cos B ,根据正弦定理 ,得 b sin A = a sin B . 所以 ,sin 2 A = sin 2 B .因为 A ≠B ,则 A + B = 90°. 所以 , △ABC 是直角三角形 , ∠C = 90°, a 2 + b 2 = c 2 .又因为 c = 10 ,且 a 、b 、c 成等差数列 ,所以 ,a = 6 ,b = 8 , (8 - r ) + (6 - r ) = 10.解得 r = 2.9. 7 .2由已知得 y = f ( x ) 的反函数为 f - 1 ( x ) = x + 3. 所以 ,f - 1 ( x + 1) =x + 4.x - 1又 g ( x ) 为 f - 1 ( x + 1) 的反函数 ,求 g (3) 的值 , 即解方程 3 =x + 4 ,于是 , g (3) = 7. 10. m ≤3.由 A ∩B = B ,可知 B 是 A 的子集. 当 B = Ø时 , m + 1 > 2 m - 1 ,得 m < 2 ; 当 B ≠Ø时 ,有- 2 ≤m + 1 , 2 m - 1 ≤5 , m + 1 ≤2 m - 1.解得 2 ≤m ≤3. 所以 m ≤3.11. (11 ,10) .由对称性可得 B ( n , m ) 、C ( - n , m ) 、D ( - n ,- m ) 、 E ( n , - m ) .五边形 ABCDE 的面积为S 五边形ABCDE = 2 m ×2 n +1×2 m ×( m - n ) = m ( m + 3 n ) = 41 m ,故 41 m = 451. 所以 , m = 11 , n = 10.2 2 因此概率等于π221 12 2 2 2 2θ 2 2 1 θ 因此 ,点 A 的坐标为(11 ,10) .12. 668.设等差数列的首项和公差分别为 a 和 d ,项数为 n , 则 na + 1 n ( n - 1) d = 2 004 , 即a 2b 2 ( a 2 + b 2)= ( a 4 + b 4 ) sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 2 ( s in 4θ+ cos 4θ) a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )= ( a 4 + b 4) sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 2 (1 - 2sin 2θ·cos 2θ) a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )[ 2 a + ( n - 1) d ] n = 2 004 ×2 = 23×3 ×167.≠= ( a 2 - b 2 ) 2 sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 24 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )由于 n 为奇数 , d 0 ,= ( a 2- b 2 ) 2 sin 2 2θ+ 4 a 2 b 2当 n = 501 时 , a + 250 d = 4 ,不合题意 ; 当 n = 167 时 , a + 83 d = 12 ,不合题意 ; 当 n = 3 时 , a + d = 4 ×167 = 668. 4 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) 2.当且仅当θ= kππ( k ∈Z ) 时等号成立. 所以 , a 2 = 668.三、13. 设 t = cos x ,则原不等式化为 t 2 - 2 at + a 2 + 2 a - 3 > 0 , t ∈[ - 1 ,1 ] .±4因此 ,线段 AB 长的最小值为2 aba 2 +b 2a 2 +b 2.于是 ,所求问题转化为函数 f ( t ) = t 2 - 2 at + a 2 +2 a -3 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上的最小值是正数.15. (1) g ( x ) =0 ,x ≤- 2 或 x ≥1 ,- x 2 - x + 2 , - 2 < x < 1.因为函数 f ( t ) = ( t - a ) 2+ 2 a - 3 ,所以 ,只须对该函数的图像(抛物线) 的对称轴 t = a 相对于区间[ - 1 ,1 ]的 3 种位置分别讨论.(1) 当 a ≤- 1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上是增函数 ,此时最小值为 f ( - 1) . 所以 ,a ≤- 1 ,f ( - 1) = a 2 + 4 a - 2 > 0.解得 a < - 2 - 6 .(2) 当 - 1 < a < 1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上的最小值为 f ( a ) . 所以 ,- 1 < a < 1 , f ( a ) = 2 a - 3 > 0.此时 , a 的值不存在.(3) 当 a ≥1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上是减函数 ,此时最小值为 f (1) . 所以 ,a ≥1 ,f (1) = a 2 - 2 > 0.解得 a > 2 .因此 ,满足条件的 a 的取值范围为 a < - 2 - 或 a > 2 .14. 根据题意不妨设 A ( r 1 cos θ, r 1 sin θ) , π(2) 由题设条件 , a > 0 时 ,直线 y = ax + b 与曲线 y = g ( x ) 交于三个不同的点 ,只须直线与曲线在- 2 < x < 1 的范围内有两个交点. 由方程组y = ax + b ,y = - x 2 - x + 2 ( - 2 < x < 1) ,消去 y ,得x 2 + ( a + 1) x + b - 2 = 0.于是 ,只须二次函数 φ( x ) = x 2 + ( a + 1) x + b- 2 的图像在 - 2 < x < 1 的范围内与 x 轴有两个交点. 此时 , a 、b 应同时满足以下条件 :Δ = ( a + 1) 2 - 4 ( b - 2) > 0 ,- 2 < - a + 1 < 1 , 2φ( - 2) > 0 , φ(1) > 0 ,b <1( a + 1) 2 + 2 , 4即 - 3 < a < 3 , b > 2 a , b > - a .又已知 a > 0 , 所以 , 2 a < b <1 ( a + 1)2 + 2 ,且 0B r 2 cos θ+2 , r 2 sin θ+,则4B ( - r sin θ, r cos θ) , A B 2 = r 2 + r 2 , < a < 3 即为所求. 2 r 2 cos 2θ a2 + r 2 sin 2θ a 2 + 2r 2 sin 2θ b 2 r 2 cos 2θ b 2= 1 , r 2 == 1 , r 2= 1 2a 2b 2b 2 cos 2θ+ a 2 sin 2θ, a 2 b 2 b sin + a cos . 以 a 、b 为坐标的点 ( a , b ) 所在的区域为图 1 中阴影图 1部分(不含边界) .2 2a 2b 2 ( a 2 + b 2) (李果民提供)6 ≥故r1 + r2 =( b2cos2θ+ a2sin2θ) ( b2s in2θ+ a2cos2θ)。

2003高考数学全国卷及答案理

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1-，1）（B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+）（D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分）已知0>c ，设D E KBC 1A 1B 1AFCGP：函数x cy=在R上单调递减Q：不等式1|2|>-+cxx的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东东O偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 6 9 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+aa y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2 当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s 数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝（0,1,2） 22C 依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3） 23C（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9）（0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=。

2003全国高中数学联赛加试试题及解答

03年第二试一、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠ＤＡＱ＝∠ＰＢＣ．求证：∠ＤＢＱ＝∠ＰＡＣ．标准答案：如图1，连结AB，在△ＡＤＱ和△ＡＢＣ中，∠ＡＤＱ＝∠ＡＢＣ，∠ＤＡＱ＝∠ＰＢＣ＝∠ＣＡＢ，故△ＡＤＱ∽△ＡＢＣ，有ＢＣ／ＡＢ＝ＤＱ／ＡＤ，即ＢＣ·ＡＤ＝ＡＢ·ＤＱ．图1又由割线关系知，△ＰＣＡ∽△ＰＡＤ，故ＰＣ／ＰＡ＝ＡＣ／ＡＤ．同理，由△ＰＣＢ∽△ＰＢＤ，得ＰＣ／ＰＢ＝ＢＣ／ＢＤ．又ＰＡ＝ＰＢ，故ＡＣ／ＡＤ＝ＢＣ／ＢＤ，即ＡＣ·ＢＤ＝ＢＣ·ＡＤ＝ＡＢ·ＤＱ．在圆内接四边形ＡＣＢＤ中，由托勒密定理，得ＡＣ·ＢＤ＋ＢＣ·ＡＤ＝ＡＢ·ＣＤ．∴ＡＢ·ＣＤ＝２ＡＢ·ＤＱ，故ＤＱ＝1／2ＣＤ，即ＣＱ＝ＤＱ．在△ＣＢＱ和△ＡＢＤ中，ＡＤ／ＡＢ＝ＤＱ／ＢＣ＝ＣＱ／ＢＣ，∠ＢＣＱ＝∠ＢＡＤ，于是，△ＣＢＱ∽△ＡＢＤ，故∠ＣＢＱ＝∠ＡＢＤ，即∠ＤＢＱ＝∠ＡＢＣ＝∠ＰＡＣ．别证1：(陕西杨天旭李少冰(学生) 江苏沈雪明)如图1，连结ＡＢ．∵∠ＰＱＡ＝∠ＱＤＡ＋∠ＱＡＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＰＢＣ＝∠ＰＢＡ，∴Ｐ、Ａ、Ｑ、Ｂ四点共圆．从而∠ＰＱＢ＝∠ＰＡＢ．又∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ＋∠ＢＡＣ＝∠ＰＡＣ＋∠ＣＤＢ，∠ＰＱＢ＝∠ＣＤＢ＋∠ＤＢＱ，∴∠ＤＢＱ＝∠ＰＡＣ．说明：由以上证明过程不难发现，从点P向圆引的两条切线这一条件并未用上，这说明题设中的这一条件可以减弱，即A、B可以不是切点，只要在圆上即可．别证2：(山东张洪杰李琳陕西刘天恩胡忠新王勇)如图1，连结ＡＢ．∵∠ＤＡＱ＝∠ＰＢＣ＝∠ＣＡＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ，∴ △ＡＤＱ∽△ＡＢＣ．∴ ＡＤ／ＡＢ＝ＤＱ／ＢＣ，即ＡＤ·ＢＣ＝ＡＢ·ＤＱ，又∠ＰＡＣ＝∠ＰＤＡ，∴ △ＰＡＣ∽△ＰＤＡ． ∴ ＡＣ／ＡＤ＝ＰＡ／ＰＤ，同理，ＢＣ／ＢＤ＝ＰＢ／ＰＤ．∵ ＰＢ＝ＰＡ，∴ ＡＣ／ＡＤ＝ＢＣ／ＢＤ，即ＡＤ·ＢＣ＝ＡＣ·ＢＤ． ∴ ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＱ，即ＡＣ／ＡＢ＝ＤＱ／ＤＢ．又 ∠ＣＡＢ＝∠ＣＤＢ，∴ △ＱＤＢ∽△ＣＡＢ， ∴ ∠ＤＢＱ＝∠ＣＢＡ＝∠ＰＡＣ．别证3：(江苏沈雪明)如图1，连结ＡＢ，则Ｓ△ＰＡＣ／Ｓ△ＰＢＣ＝Ｓ△ＡＤＱ／Ｓ△ＢＤＱ，即(1／2ＰＡ·ＡＣｓｉｎ∠ＰＡＣ)／(1／2ＰＢ·ＢＣｓｉｎ∠ＰＢＣ)＝(1／2ＡＤ·ＤＱｓｉｎ∠ＡＤＱ)／(1／2ＢＤ·ＤＱｓｉｎ∠ＢＤＱ)， ∴ ＡＣ／ＢＣ＝ＡＤ／ＢＤ．∵ ∠ＤＡＱ＝∠ＰＢＣ＝∠ＣＡＢ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＱ， ∴ △ＡＤＱ∽△ＡＢＣ，∴ ＡＣ／ＢＣ＝ＡＱ／ＤＱ． ∴ ＡＤ／ＢＤ＝ＡＱ／ＤＱ．又 ∠ＤＡＱ＝∠ＰＡＣ＝∠ＢＤＱ， ∴ △ＤＡＱ∽△ＤＢＱ． ∴ ∠ＤＢＱ＝∠ＡＤＱ．∵ ∠ＡＤＱ＝∠ＰＡＣ，∴ ∠ＤＢＱ＝∠ＰＡＣ．二、设三角形的三边长分别是整数ｌ、ｍ、ｎ，且ｌ＞ｍ＞ｎ，已知｛３l／１04｝＝｛３ｍ／１04｝＝｛３n ／１04｝，其中｛ｘ｝＝ｘ－［ｘ］，而［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数．求这种三角形到周长的最小值．标准答案：由题设可知３l／１04－［３l／１04］＝３ｍ／１04－［３ｍ／１04］＝３n／１04－［３n／１04］，于是３l≡３ｍ≡３n（ｍｏｄ１04）３l ≡３ｍ≡３n （ｍｏｄ２4），① ３l ≡３ｍ≡３n （ｍｏｄ５4）， ②由于（３，２）＝（３，５）＝１， ∴ 由①可知３ｌ－ｎ≡３ｍ－ｎ≡１（ｍｏｄ２4）．现在设ｕ是满足３ｕ≡１（ｍｏｄ２4）的最小正整数，则对任意满足３ｖ≡１（ｍｏｄ２4）的正整数ｖ，我们有ｕ｜ｖ，即ｕ整除ｖ．事实上，若ｕｖ，则由带余除法可知，存在非负整数ａ及ｂ，使得ｖ＝ａｕ＋ｂ，其中0＜ｂ≢ｕ－１，从而可推出３ｂ≡３ｂ＋ａｕ≡３ｖ≡１（ｍｏｄ２4），而这显然与ｕ的定义矛盾，所以ｕ｜ｖ．注意到３≡３（ｍｏｄ２4），３2≡９（ｍｏｄ２4），３3≡２７≡１１（ｍｏｄ２4），３4≡１（ｍｏｄ２4）从而可设ｍ－ｎ＝４ｋ，其中ｋ为正整数．同理可由②推出３ｍ－ｎ≡１（ｍｏｄ５4）．故３４ｋ≡１（ｍｏｄ５4）．现在我们求满足３４ｋ≡１（ｍｏｄ５4）的正整数ｋ．因为３4＝１＋５×２4，所以３４ｋ－１＝（１＋５×２4）ｋ－１≡0（ｍｏｄ５4），即５ｋ×２4＋ｋ（ｋ－１）／２×５2×２8＋ｋ（ｋ－１）（ｋ－２）／６×５3×２12≡５ｋ＋５2ｋ［３＋（ｋ－１）×２7］＋ｋ（ｋ－１）（ｋ－２）／３×５3×２11≡0（ｍｏｄ５4），或ｋ＋５ｋ［３＋（ｋ－１）×２7］＋ｋ（ｋ－１）（ｋ－２）／３×５2×２11≡0（ｍｏｄ５3），即有ｋ＝５ｔ，并代入该式得ｔ＋５ｔ［３＋（５ｔ－１）×２7］≡0（ｍｏｄ５2），即有ｔ≡0（ｍｏｄ５2），即ｋ＝５ｔ＝５3ｓ，其中ｓ为正整数，故ｍ－ｎ＝５00ｓ，ｓ为正整数，同理可证ｌ－ｎ＝５00ｒ，ｒ为正整数．由于ｌ＞ｍ＞ｎ，所以有ｒ＞ｓ．这样一来，三角形的三个边为５00ｒ＋ｎ、５00ｓ＋ｎ和ｎ．由于两边之差小于第三边，故ｎ＞５00（ｒ－ｓ），因此，当ｓ＝１，ｒ＝２，ｎ＝５0１时三角形的周长最小，其值为（１000＋５0１）＋（５00＋５0１）＋５0１＝３00３．别解1：（陕西党效文）解1 由题设可知３l≡３ｍ≡３n（ｍｏｄ１04）３l ≡３m ≡３n （ｍｏｄ２4），① ３l ≡３m ≡３n （ｍｏｄ５4）． ②由于（３，２）＝（３，５）＝１，所以由①可得３ｌ－n≡３m －n≡１（ｍｏｄ２4）．由同余的性质可知：３ｕ≡１（ｍｏｄ２4），３ｖ≡１（ｍｏｄ２4），且ｕ，ｖ∈Ｎ＋，ｕ＜ｖｕ｜ｖ．易知３４ｋ1≡１（ｍｏｄ２4），（ｋ1∈Ｎ＋），３４ｋ2≡１（ｍｏｄ５4）（ｋ2∈Ｎ＋）．因为φ（５4）＝５4（１－１／５）＝５00，所以由欧拉定理知３500≡１（ｍｏｄ５4）．而即３125１（ｍｏｄ１04）同时１04＝２4×５4，（２4，３125）＝１．所以３125１（ｍｏｄ５4）．即３４ｋ2≡１（ｍｏｄ５4）中最小的正整数４ｋ2＝５00．设ｍ－ｎ＝５00ｓ，ｌ－ｎ＝５00ｒ（ｒ、ｓ∈Ｎ＋）．由ｌ＞ｍ＞ｎ，所以ｒ＞ｓ．因而三角形三边为５00ｒ＋ｎ，５00ｓ＋ｎ和ｎ，同时５00ｓ＋ｎ＋ｎ＞５00ｒ＋ｎｎ＞５00ｃｒ－ｓ．所以，当ｓ＝１，ｒ＝２，ｎ＝５0时，三角形的周长最小，其值为１000＋５0１＋５00＋５0１＋５0１＝３00３．别解2：(陕西刘天恩胡忠新王勇党效文)∵｛３l／１04｝＝｛３ｍ／１04｝＝｛３n／１04｝，（ｌ，ｍ，ｎ∈Ｎ*，且ｌ＞ｍ＞ｎ），∴３l／１04－３m／１04＝ｐ∈Ｎ*，３m／１04－３n／１04＝ｑ∈Ｎ*．即３m（３l-m－１）＝ｐ·１04，３n（３m-n－１）＝ｑ·１04．∵（３，１0）＝１，∴（３m，１04）＝１．即１04３m．故必有１04｜３l-m－１．同理，１04｜３m-n－１．∵１04｜３l-m－１３l-m≡１（ｍｏｄ１04）３l-m＝１04ｕ＋１，（ｕ∈Ｎ*），∴３l-m的末位数必是１ｌ－ｍ＝４ｒ（ｒ∈Ｎ*）．∴３４ｒ≡１（ｍｏｄ１04）（１0－１）２ｒ≡１（ｍｏｄ１04）．由二项式定理及组合数的性质，得（１0－１）2r＝１04（１02r-4－Ｃ1２ｒ·１02ｒ－5＋…＋Ｃ2ｒ－4２ｒ）－１000Ｃ32ｒ＋１00Ｃ22r －１0Ｃ12ｒ＋１．∴（１0－１）2r≡１（ｍｏｄ１04）－１000Ｃ32r＋１00Ｃ22r－１0Ｃ12r＋１≡１（ｍｏｄ１04）１00Ｃ32r－１0Ｃ22r＋Ｃ12r≡0（ｍｏｄ１03）１00ｒ3－１６５ｒ2＋５９ｒ≡0（ｍｏｄ７５0）．由整除的性质，可知５｜ｒ．令ｒ＝５ｓ，ｓ∈Ｎ*，代入上式并根据同余的性质化简，得１00ｓ3－７５ｓ2＋５９ｓ≡0（ｍｏｄ１５0）．同理，令ｓ＝５ｔ，ｔ∈Ｎ*，代入化简，得１0ｔ3－１５ｔ2－ｔ≡0（ｍｏｄ３0）．令ｔ＝５ｔ1，ｔ1∈Ｎ*，代入化简，有４ｔ13－３ｔ12－ｔ1≡0（ｍｏｄ６）．代入以6为模的简化剩余系0，１，２，３，４，５检验知，此同余式恒成立．故ｒ＝１２５ｔ1，ｔ1∈Ｎ*，得ｌ－ｍ＝４ｒ＝５00ｔ1．同理，ｍ－ｎ＝５00ｔ2，ｔ2∈Ｎ*．∴ｍ＝ｎ＋５00ｔ2，ｌ＝ｎ＋５00（ｔ1＋ｔ2）．又ｍ＋ｎ＞ｌ，∴ｎ＞５00ｔ1．即ｎ≣５00ｔ1＋１，（ｔ1∈Ｎ*）．∴ｌ＋ｍ＋ｎ＝３ｎ＋５00ｔ1＋１000ｔ2≣３（５00ｔ1＋１）＋５00ｔ1＋１000ｔ2＝２000ｔ1＋１000ｔ2＋３，（ｔ1，ｔ2∈Ｎ*）．故当ｔ1＝ｔ2＝１，即ｌ＝１５0１，ｍ＝１00１，ｎ＝５0１时，这种三角形的周长最小，且（ｌ＋ｍ＋ｎ）ｍｉｎ＝３00３．三、由ｎ个点和这些点之间的ｌ条连线段组成一个空间图形，其中ｎ＝ｑ2＋ｑ＋１，ｌ≣1／2ｑ（ｑ＋１）2＋１，ｑ≣２，ｑ∈Ｎ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有ｑ＋２条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ组成的图形)．标准答案：设这ｎ个点的集合Ｖ＝｛Ａ0，Ａ1，Ａ2，…，Ａｎ－１｝为全集，记Ａi的所有邻点（与Ａi有连线段的点）的集合为Ｂi，Ｂi中点的个数记为｜Ｂi｜＝ｂi，显然且ｂi≢（ｎ－１）（ｉ＝0，１，２，…，ｎ－１）．若存在ｂi＝ｎ－１时，只需取ｌ＝（ｎ－１）＋［(ｎ－1)／2］＋１≢1／2（ｑ＋１）（ｎ－１）＋１＝1／2ｑ（ｑ＋１）2＋１．则图中必存在四边形，因此下面只讨论ｂi＜ｎ－１（ｉ＝0，１，２，…，ｎ－１）的情况．不妨设ｑ＋２≢ｂ0＜ｎ－１．用反证法，若图中不存在四边形，则当ｉ≠ｊ时，Ｂi与Ｂｊ无公共点对，即｜Ｂi∩Ｂｊ｜≢１（0≢ｉ＜ｊ≢ｎ－１）．因此，｜Ｂi∩Ｂ0｜≣ｂi－１（ｉ＝１，２，…，ｎ－１）．故Ｖ∩Ｂ0中点对的个数＝中点对的个数＝（当ｂi＝１或2时，令Ｃ2ｂi－１＝0）故（ｎ－１）（ｎ－ｂ0）（ｎ－ｂ0－１）≣（ｎｑ－ｑ＋２－ｂ0）（ｎｑ－ｑ－ｎ＋３－ｂ0），ｑ（ｑ＋１）（ｎ－ｂ0）（ｎ－ｂ0－１）≣（ｎｑ－ｑ＋２－ｂ0）·（ｎｑ－ｑ－ｎ＋３－ｂ0）． ①但（ｎｑ－ｑ－ｎ＋３－ｂ0）－ｑ（ｎ－ｂ0－１）＝（ｑ－１）ｂ0－ｎ＋３≣（ｑ－１）（ｑ＋２）－ｎ＋３＝0， ②及（ｎｑ－ｑ＋２－ｂ0）－（ｑ＋１）（ｎ－ｂ0）＝ｑｂ0－ｑ－ｎ＋２≣ｑ（ｑ＋２）－ｑ－ｎ＋２＝１＞0． ③由②，③及（ｎ－ｂ0）（ｑ＋１），（ｎ－ｂ0－１）ｑ皆是正整数，得（ｎｑ－ｑ＋２－ｂ0）（ｎｑ－ｑ－ｎ＋３－ｂ0）＞ｑ（ｑ＋１）（ｎ－ｂ0）（ｎ－ｂ0－１）．而这与所得的①式相矛盾，故原命题成立．。

2003年全国高中数学联赛山东赛区预赛

1 - x2 1 - x 2 1 - x 25nx - 22003 年全国高中数学联赛山东赛区预赛一、选择题(每小题 6 分 ,共 60 分)1. 已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数 ,当 x> 0 时 , f ( x ) = log 2 (1 + x ) . 那么 ,当 x < 0 时 , f ( x ) = () .(A ) log 2 (1 + x ) (B ) log 2 (1 - x ) (C ) log 2 ( - 1 + x ) (D ) log 2 ( - 1 - x )2. 若 p 、q 为实数 ,则函数 f ( x ) = x 3 + px 2 + qx + r() .(A) 在( - ∞, + ∞) 上是减函数 (B) 在( - ∞, + ∞) 上是增函数(C) 当 p 2 < 3 q 时 ,在( - ∞, + ∞) 上是增函数 (D) 当 p 2 > 3 q 时 ,在( - ∞, + ∞) 上是增函数3. 已知α、β均为锐角 ,cos (α+ β) = - 4. 若设 sin β = x , cos α = y , 则 y 与 x 的函数关系式为() . 7. 如图 1 ,A 、B 、C 、D 是某油田的四口油井 ,计划建三条路将这四口油井连结起来(每条路只连结两口油井) . 那么 ,不同的建路方案有() 种.图 1(A ) 12 (B ) 14 (C ) 16(D ) 188. 已知 OA = (4 ,3) ,函数 y = x 2 + bx + c 的图像按向量 OA 平移得到的图像恰与直线 4 x + y - 8 = 0 相切于点 T (1 ,4) . 则原函数的解析式是( ) .(A ) y = x 2 + 2 x + 1 (B ) y = x 2 + 2 x (C ) y = x 2 + 2 x + 2(D ) y = x 2 + 2 x - 29. 设等差数列的前四项的和为 26 ,后四项的和为 110 ,这个数列的所有各项的和为 187. 那么 ,这个数列的项数是( ) .(A ) 11(B ) 22(C ) 8(D ) 16(A ) y = - 45 + 3x (0 < x < 1) 5 10. 已知在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 侧面 A 1 ADD 1 是正方形 , M 是棱 CD 的中点 , AM 与 CD 1 成(B ) y = - 4+ 3 x (4 < x < 1)AA5 5 5 的角为θ. 若 sin θ=78 ,则1的值为() . (C ) y = - 4- 3 x ( 4 < x < 1) 9 AB5 5 5 (A ) 2(B ) 2 2(C)2(D)3 (D ) y = - 4- 3x (0 < x < 1) 32255二、填空题(每小题 6 分 ,共 24 分)4. 已知复平面上相异的三点 Z 1 、Z 2 、Z 3 分别对应复数 z 1 、z 2 、z 3 . 若( z 2 - z 1 ) 2+ ( z 3 - z 1 ) 2= 0 ,那么 , △Z 1 Z 2 Z 3 是() .(A ) 等边三角形(B ) 等腰直角三角形(C) 直角三角形 ,但不一定是等腰三角形(D) 等腰三角形 ,但不一定是等边三角形x2y2x 2y 2.5. 若椭圆 m + p= 1 与双曲线 n - p = 112. 设 t 为正数 ,数列{ a n }是首项为 t ,公差为 2 t( m 、n 、p > 0) 有公共的焦点 F 1 、F 2 ,其交点为 Q . 那么 , △QF F 的面积是() . 的等差数列 , 其前 n 项和为 S . 若 limS n>1 2n →∞ a n(A ) m + n (B )m + n2(C ) p (D )p2,则 t 的取值范围是 .6. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 2 ,所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为( ) .(A ) 4(B ) 3(C ) 3(D ) 3 + 313. 已知集合 A = ( x , y )y - 3= a + 1 , B = { ( x , y ) | ( a 2 - 1) x + ( a - 1) y = 15} . 则使得 A ∩B =Ø的 a 的所有可能的值为.1 - x 21 - t5454 6 1 - x 2 . 故14. 设曲线 2 x 2 + y 2 = 4 x + 6 上与原点距离最大和最小的点分别为 M 和 N . 则| MN | =.三、解答题(共 66 分)15. (12 分) f ( x ) 是定义在 R 上的函数 ,且对任意的 x ∈R 满足b [ f ( x + p ) + f ( x ) ] = a [ 1 - f ( x ) f ( x + p ) ] .这里 a 、b 、p 均为非零常数. 证明 : f ( x ) 是一个周期解得4< x < 1.4. B.由已知等式得 z 2 - z 1 = ±i ( z 3 - z 1 ) . 所以 , Z 1 Z 2 = Z 1 Z 3 , 且 Z 1 Z 2 ⊥Z 1 Z 3 .5. C.根据题意 ,得 m - n = 2 p ,且 m + n = 2 ( m - p ) .函数 ,并求其周期.16. (12 分) 如图 2 , P 为 △ABC 内任意一点.由方程组 x 2 y 2m + p= 1 , x 2 y 2- = 1 n p求证 : AP ·BC + B P ·CA+ CP ·AB = 0.17. (12 分) 椭圆 C :图 2x 2 =2 mn m + n,进而求得 y = ± 2 p.m + nAx 2 + By 2 = 1 与直线 l : x + 2 y = 7 相交于 P 、Q 两又 | F 1 F 2 | = 2m - p = 2 n + p ,所以 ,点 ,点 R 的坐标为(2 ,5) . 若 △PQR 是等腰直角三角形 , ∠PRQ = 90°,求 A 、B 的值.18. (15 分) 设集合 M = { n ∈Z | 0 ≤n ≤11} ,集合 S △QF 1 F 2 6. D.=1 2×2 m - p ×2 pm + n= p .F = { ( a , b , c , d ) | a 、b 、c 、d ∈M } ,映射 f : F →Z ,使得( a , b , c , d ) 与 ab - cd 对应. 若( u , v , x , y ) 与 39 对应 , ( u , y , x , v ) 与 66 对应 ,求 u 、v 、x 、y 的值.19. (15 分) 如图 3 ,已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2 ,点 E 是棱 CD 的中点.这样的截面有两类 :(1) 截面的一侧有一点 ,另一侧有三点 ,如图 4(a ) 中的 △B 1 C 1 D 1 ,其中 B 1 、C 1 、D 1 分别是棱 AB 、 AC 、AD 的中点 ,这样的截面共有四个 ,每个截面的面积为3;求异面直线 A 1 C 1 和图 3B 1 E 的距离.一、1. B.2. C.参考答案图 4因为f ′( x ) = 3 x 2+ 2 px + q 的二次项系数大于 0 ,所以 ,当Δ = 4 p 2 - 12 q < 0 时 ,在 ( - ∞, + ∞) 上f ′( x ) > 0. 故当 p 2 < 3 q 时 , f ( x ) 在( - ∞, + ∞) 上是增函数.3. B.由已知条件得 sin (α + β) =3, cos β =y = cos α= cos[ (α+β) - β]= cos (α+β) ·cos β+ sin (α+β) ·sin β(2) 截面的两侧各有两点 ,如图 4 (b ) 中的四边形MN PQ ,其中 M 、N 、P 、Q 分别是棱 AB 、BC 、CD 、DA的中点 ,这样的截面共有三个 ,都是正方形 ,每个截面的面积为 1.综上所述 ,所有截面的面积之和为 3 + 3 .7. C.连结任意两口油井的路共有 C 2= 6 条 ,从中任取 3 条有 C 3= 20 种. 但是只连结其中三口油井的路不合题意 ,这样的建路方案有 C 1= 4 种.= - 45 + 3 x . 5 4故符合题意的建路方案有 C 3 - C 1= 16 种.x 的取值范围应满足不等式组648. D.0 < x < 1 , 0 < - 4 5+ 3x < 1.5函数 y = x 2 + bx + c 的导数 y ′= 2 x + b . 设切点T ′( x , y ) 按向量 OA = (4 ,3) 平移为 T (1 ,4) ,则 x = 1 - x 2 1 - x 2 解得4 a 2+ b 2· a 2+ b 2b24 a 2+ b 2· a 2+ b 2t2 2b即a2n2a - b1 - 4 = - 3 , y = 4 - 3 = 1 ,即 T ′( - 3 ,1) . S = nt +n ( n - 1)·2 t = n 2 t .由切线的斜率为 - 4 ,切点 T ′( - 3 ,1) 在函数 y 2= x 2+ bx + c 的图像上 ,所以 ,从而 , lim S n = lim= 1 .- 4 = 2 ×( - 3) + b ,1 = ( - 3) 2+ b ( - 3) + c .解得 b = 2 , c = - 2. 因此 , y = x 2 + 2 x - 2.n →∞ a n 由1 >2 n →∞(2 n t 2 ,解得 0 < t ≤1 且 t ≠1.9. A.设数列共有 n 项 : a 1 , a 2 ,, a n . 根据题意得a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 26 , a n - 3 + a n - 2 + a n - 1 + a n = 110.因为等差数列满足13. - 4 , - 1 ,1 ,5.2A 即 { ( x , y ) | ( a + 1) x - y - 2 a + 1 = 0 , x ≠2} .仅在以下三种情况之一发生时 , A ∩B = Ø .(1) a = - 1 时 , 因为 A = | ( x , y ) | y = 3 , x ≠2} ,B = { ( x , y ) | y = - 15 } ,直线 y = 3 和 y = - 15互相a 1 + a n = a 2 + a n - 1 = a 3 + a n - 2 = a 4 2 2+ a n - 3 ,所以 ,4 ( a + a ) = 26 + 110 = 136 , a + a= 34. 平行 ,所以 , A ∩B = Ø ;1n1na 2 - 1 a - 1 - 15 又n ( a 1 + a n )= 187 ,即n ×34= 187 ,故 n = 11.(2) a ≠- 1 , 且a + 1=- 1≠- 2 a + 1时 ,直线2210. A.如图 5 建立坐标系. 设DA = DD 1 = a , DC = b , 则D 1 ( 0 , 0 , a ) , C ( 0 , b , 0 ) , D 1 C = (0 , b , - a ) ; A ( a ,0 ,0) , M ( 0 , b , 0 ) , AM =2( - a , b ,0) .2( a + 1) x - y - 2 a + 1 = 0 与 ( a 2 - 1) x + ( a - 1) y = 15 平行 ,所以 , A ∩B = Ø ,这时 a = 1.(3) a ≠±1 ,且 (2 ,3) ∈B 时 ,直线 ( a + 1) x - y - 2 a + 1 = 0 与 ( a 2 - 1) x + ( a - 1) y = 15 相交于点 (2 ,3) ,而(2 ,3) | A ,所以 , A ∩B = Ø . 这时 ( a 2 - 1)×2 + ( a - 1) ×3 = 15 , 解得 a = - 4 或 a = 5 .14.15 .图 5 由已知 y 2 = - 2 x 2 + 4 x + 6 ≥0 ,得 - 1 ≤x ≤3.b2在曲线 2 x 2 + y 2 = 4 x + 6 上任取一点 P ( x , y ) ,cos θ=AM ·D 1 C =2| AM | ·| D 1 C |· P 到原点的距离为d = =x 2- 2 x 2 + 4 x + 6=b.= - ( x - 2) 2+ 10 .因为 - 1 ≤x ≤3 ,所以 ,1 ≤d ≤ 10 . 由已知得2278 当 x = 2 时 , d 取最大值M (2 , - 6) ;, 则 M ( 2 , 6 ) 或1 -=9.当 x = - 1 时 , d 取最小值 1 ,则 N (- 1 ,0) . 化简得a= , AA 1= 2 .AB故| MN | == 15 .二、11. 101136.三、15. 先证对任意的 x ∈R ,有 f ( x ) ≠- b .以ξ记该队最终的得分数 ,则P (ξ= 100) = 014 ×013 = 0112 , P (ξ= 101) = 016 ×012 + 014 ×017 = 014 ,事实上 ,若 f ( x ) = -b 2b ,aP (ξ= 102) = 016 ×018 = 0148.bf ( x + p ) -a= a + bf ( x + p ) ,E ξ= 100 ×0112 + 101 ×014 + 102 ×0148 = 101136. 12. 0 < t ≤1 , 且 t ≠1 .已知等差数列{ a }中 , a = t , d = 2 t ( t > 0) ,则故 a 2 + b 2 = 0 ,与 a 、b 是非零常数矛盾. 根据所给条件 ,可得a - bf ( x - p ) ( + ) = a - bf ( x ) =·b + af ( x - p ) n1f x p b + af ( x ) a - bf ( x - p )a n = t + ( n - 1) 2 t = (2 n - 1) t ,b + a ·b + af ( x - p )a + 42b 2a 2+ b 22 t t1 - t x 2+ y 2 10 (2 + 1) 2 + ( ± 6) 2 则则b 2 + a 2 =b 2+ a2· f ( x - p ) = f ( x - p ) .从而 ,10 ≤v + y ≤22 , 3 ≤u + x ≤22. 所以 , f ( x ) 是以 2 p 为周期的函数.16. 如图 6 ,设 H 为△ABC 的垂心 ,则由 ③得由 ④得u - x = 7 , 或 v + y = 15 u + x = 3 , 或y - v = 9u - x = 5 , v + y = 21. u + x = 9 , y - v = 3.AH ·BC + BH ·CA +CH ·AB = 0.但 u + x ≥u - x ,故 u + x ≠3 ,所以 ,而 AH ·BC= ( AP + PH ) ·BC 图 6= AP ·BC + PH ·BC ;u - x = 7 , v + y = 15 ,u + x = 9 , y - v = 3u - x = 5 , v + y = 21 , 或u + x = 9 , y - v = 3.同理 ,有 B H ·CA = B P ·CA + PH ·CA ;CH ·AB = CP ·AB + PH ·AB .故 AP ·BC + B P ·CA + CP ·AB + PH ·( AB + BC + CA ) = 0. 因为 AB + BC + CA = 0 ,从而 ,AP ·BC + B P ·CA + CP ·AB = 0.17. 因为 △PQR 是等腰直角三角形 , ∠PRQ =解以上两组方程得 x = 1 , y = 9 , u = 8 , v = 6 或x = 2 , y = 12 , u = 7 , v = 9.因为 y = 12 | M ,所以 , x = 2 , y = 12 , u = 7 , v = 9 不合题意.因此 , x = 1 , y = 9 , u = 8 , v = 6.19. 如图 7 建立空 90°,点 R 到 PQ 的距离为| 2 + 2 ×5 - 7|12 + 22= 5 ,所以 ,间直角坐标系 D - xyz , 则 A 1 (2 ,0 ,2) , C 1 ( 0 , 2 ,| RP | = | RQ | = 2 × 5 = 10 .从而 ,点 P 、Q 是以 R 为圆心、 10为半径的圆 2) , B 1 0) .(2 ,2 ,2) , E ( 0 , 1 , 与直线 l 的交点. 由此得A C = ( - 2 ,2 ,0) ,1 1( x - 2) 2+ ( y - 5) 2= 10 ,x + 2 y = 7.解得 x = - 1 , y = 4 , 或 x = 3 , y = 2. 又点 P 、Q 在椭圆 Ax 2 + By 2 = 1 上 ,所以 ,A + 16B = 1 ,9A + 4 B = 1.B 1 E = ( - 2 , - 1 , - 2) , A 1 B 1 = (0 ,2 ,0) .图 7设 PQ 是异面直线 A 1 C 1 和 B 1 E 的公垂线段 ,且A 1 P =λA 1 C 1 = ( - 2λ,2λ,0) ,B 1 Q = μB 1 E = ( - 2μ, - μ, - 2μ) .A =3 35 , B = 2 .35则 PQ = PA 1 + A 1 B 1 + B 1 Q= (2λ- 2μ, - 2λ- μ+ 2 , - 2μ) . 18. 根据题意得uv - xy = 39 , uy - xv = 66.②+ ①并整理得因为 PQ ⊥A 1 C 1 , PQ ⊥B 1 E ,所以 ,① PQ ·A 1 C 1 = 0 , PQ ·B 1 E = 0.② 又 PQ ·A 1 C 1 = - 8λ+ 2μ+ 4 ,PQ ·B 1 E = - 2λ+ 9μ- 2 ,( u - x ) ( v + y ) = 105 = 3 ×5 ×7 ,③②- ①并整理得 ( u + x ) ( y - v ) = 27 = 33.④又因为- 8λ+ 2μ+ 4 = 0 ,则- 2λ+ 9μ- 2 = 0.解得λ= 10 ,μ= 6.x 、y 、u 、v ∈M ,所以 ,v + y ≥0 , u + x ≥0 ,0 < u - x ≤11 , 0 < y - v ≤11 ,17, PQ = 8 17 17 , 8 17, -2, 17 105 105 68 28 212 24 17且 v + y =u - x ≥ = 9 11 , | PQ | =17+17+ - 17 = 17. 27 ≥27 5(梁本江提供)u + x = y - v11 = 2 11 . 解得所以 11。

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