中考数学旋转综合题及详细答案

设 BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB﹣BH=6﹣x，
∴ S△ CHK= 1 CH×CK=3x﹣ 1 x2，
2
2
∴ S△ GHK=S 四边形 CKGH﹣S△ CKH=9﹣ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3x﹣ 1 x2）= 1 x2﹣3x+9， 22
∵ △ GKH 的面积恰好等于△ ABC 面积的 5 ， 12
不存在，说明理由．
【答案】(1) BH=CK;(2) 存在，使△ GKH 的面积恰好等于△ ABC 面积的 的位置，此时 BH
的长度为
．
【解析】
（1）先由 ASA 证出△ CGK≌ △ BGH，再根据全等三角形的性质得出 BH=CK，根据全等得出
四边形 CKGH 的面积等于三角形 ACB 面积一半；
∵
，
∴ △ CGK≌ △ BGH（ASA）， ∴ CK=BH，即 BH=CK； 四边形 CHGK 的面积的变化情况：四边形 CHGK 的面积不变，始终等于四边形 CQGZ 的面 积，即等于△ ACB 面积的一半，等于 9；
（2）假设存在使△ GKH 的面积恰好等于△ ABC 面积的 5 的位置． 12
∴ BD= 2 AB=3 2 ， 由（2）知，在 Rt△ BEH 中，BH= 2 BE=2 2 ， ∴ DG=BD-BH= 2
由（2）知，△ DFG≌ △ HEG， ∴ DG=HG，
∴ HG= 1 DH= 2 ， 22
∴ BG=BH+HG=2 2 + 2 = 5 2 ． 22
【点睛】 此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性 质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．
【答案】（1） ；（2）
；（3）当∠ ACB=120°时，CD 有最大值是 a+b.
【解析】
则∠ AFG=90°. ∵ ∠ ABH=∠ G=60°，AB=a，AG=2a，
∴ AH=AB×sin60°= 3 a，AF=AG×sin60°= 3 a. 2
∴ 点 F 到 BC 的最大距离为 3 a+ 3 a= 3 3 a. 22
∴ S△ BCF= 1 ×2a× 3 3 a= 3 3 a2.
2
22
探究一: （1）在图 2 的情形下，求旋转角 α 的度数； 探究二: （2）如图 3，当 AEFG 旋转到点 E 落在 BC 上时，EF 与 AD 相交于点 M，连接 CM，DF， 请你判断四边形 CDFM 的形状，并给予证明；
探究三: （3）如图 1，连接 CF，BF，在旋转过程中△ BCF 的面积是否存在最大的情形，如果存在， 求出最大面积，如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）α=120°；（2）四边形 CDFM 是菱形，证明见解析；（3）存在△ BCF 的面积
2．如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 PA，PB，PC．将△ PAB 绕点 B 顺时针旋转 90°到△ P'CB 的位置. (1)设 AB 的长为 a，PB 的长为 b(b<a)，求△ PAB 旋转到△ P'CB 的过程中边 PA 所扫过区域(图 中阴影部分)的面积； (2)若 PA=2，PB=4，∠ APB=135°，求 PC 的长.
最大的情形，S△ BCF = 3 3 a2. 2
【解析】 试题分析：（1）由平行四边形的性质知 ∠ D=∠ B，AB=CD=a，可得∠ D=∠ DEC，由等角对等边知 CD=CE，由 AE=AB=a，AD=BC=2a， 可得 DE=CE，即可证得△ CDE 是等边三角形，∠ D=60°，由两直线平行，同位角相等可得 ∠ DAB=120°，即可求得 α； （2）由旋转的性质以及∠ B=60°，可得△ ABE 是等边三角形，由平行线的判定以及两组对 边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形 ABEM 是平行四边形，再由由一组邻边相等 的平行四边形是菱形即可得证； （3）当点 F 到 BC 的距离最大时，△ BCF 的面积最大，由于点 F 始终在以 A 为圆心 AF 为半 径的圆上运动，故当 FG 与⊙A 相切时，点 F 到 BC 的距离最大，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 AF，由题意知∠ AFG=90°.由∠ ABH=∠ G=60°，AB=a，AG=2a，可得 AH、AF 的值.可 求得点 F 到 BC 的最大距离.进而求得 S△ BCF 的值. 试题解析：（1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ D=∠ B，AB=CD=a， ∵ ∠ AEF=∠ B，∠ AEF=∠ DEC， ∴ ∠ D=∠ DEC， ∴ CD=CE， ∵ AE=AB=a，AD=BC=2a， ∴ DE=CE.， ∴ CD=CE=DE， ∴ △ CDE 是等边三角形， ∴ ∠ D=60°， ∵ CD∥ AB， ∴ ∠ D+∠ DAB=180°， ∴ ∠ DAB=120°， ∴ α=120°.； （2）四边形 CDFM 是菱形. 证明：由旋转可得 AB=AE， ∵ ∠ B=60°， ∴ △ ABE 是等边三角形， ∴ ∠ BAE=60°， ∴ ∠ BAG=∠ BAE+∠ GAE=60°+120°=180°， ∴ 点 G，A，B 在同一条直线上，
PC=
=6．
考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．
3．如图 1， ABCD 和 AEFG 是两个能完全重合的平行四边形，现从 AB 与 AE 重合时开 始，将 ABCD 固定不动， AEFG 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α（0°＜α＜360°）， AB=a,BC=2a；并发现：如图 2，当 AEFG 旋转到点 E 落在 AD 上时，FE 的延长线恰好通过 点 C．
∴
1
x2﹣3x+9=
5
1
×
×6×6，
2
12 2
解得 x1 3 6 ， x2 3 6 （经检验，均符合题意）． ∴ 存在使△ GKH 的面积恰好等于△ ABC 面积的 5 的位置，此时 x 的值为 3 6 ．
12
“点睛”本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题 有一定的难度，但是一道比较好的题目．
S 阴影=S 扇形 BAC-S 扇形 BPP′= （a2-b2）； （2）连接 PP′，根据旋转的性质可知：△ APB≌ △ CP′B，
∴ BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠ PBP′=90°， ∴ △ PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32； 又∵ ∠ BP′C=∠ BPA=135°， ∴ ∠ PP′C=∠ BP′C-∠ BP′P=135°-45°=90°，即△ PP′C 是直角三角形．
∴ ME ∥ AB，BE∥ AM， ∴ 四边形 ABEM 是平行四边形， ∴ AM=AB=ME， ∴ CD=DM=MF， ∵ CD ∥ AB∥ MF， ∴ 四边形 CDFM 是平行四边形， ∵ ∠ D= 60°，CD=DM， ∴ △ CDM 是等边三角形， ∴ CD=DM， ∴ 四边形 CDFM 是菱形； （3）存在△ BCF 的面积最大的情形. ∵ CB 的长度不变， ∴ 当点 F 到 BC 的距离最大时，△ BCF 的面积最大. ∵ 点 F 始终在以 A 为圆心 AF 为半径的圆上运动， ∴ 当 FG 与⊙A 相切时，点 F 到 BC 的距离最大， 如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 AF，
∴ ∠ BEH=∠ BCD=90°，DF∥ EH， ∴ ∠ DFG=∠ HEG， ∵ BD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴ ∠ CBD=45°， ∴ BE=EH， ∵ ∠ DGF=∠ HGE， ∴ △ DFG≌ △ HEG（AAS）， ∴ FG=EG ∵ AE=AF， ∴ AG⊥EF； （3）∵ BD 是正方形的对角线，
（2）根据面积公式得出 S△ GHK=S 四边形 CKGH-S△ CKH= 1 x2-3x+9，根据△ GKH 的面积恰好等于 2
△
ABC 面积的
5
，代入得出方程 1
x2-3x+9=
5
1
×
×6×6，求出即可．
12
2
12 2
解：（1）BH 与 CK 的数量关系：BH=CK，理由是：
连接 OC，
由直角三角形斜边上中线性质得出 OC=BG， ∵ AC=BC，O 为 AB 中点，∠ ACB=90°， ∴ ∠ B=∠ ACG=45°，CO⊥AB， ∴ ∠ CGB=90°=∠ KGH， ∴ 都减去∠ CGH 得：∠ BGH=∠ CGK， 在△ CGK 和△ BGH 中
（2）连接 DF， 由旋转知，AE=AF，∠ EAF=90°， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB∥ CD，AD=AB，∠ ABC=∠ ADC=BAD=90°， ∴ ∠ DAF=∠ BAE， ∴ △ ADF≌ △ ABE（SAS）， ∴ DF=BE，∠ ADF=∠ ABC=90°， ∴ ∠ ADF+∠ ADC=180°， ∴ 点 C，D，F 共线， ∴ CF∥ AB， 过点 E 作 EH∥ BC 交 BD 于 H，
（1）探究：在上述旋转过程中，BH 与 CK 的数量关系以及四边形 CHGK 的面积的变化情况 （直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）； （2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接 HK，在上述旋转过程中，是否存在
某一位置，使△ GKH 的面积恰好等于△ ABC 面积的 ？若存在，求出此时 BH 的长度；若
点睛：此题考查了旋转的洗澡那个会、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，三
角形的面积的求法，关键是运用旋转前后，图形的对应边相等、对应角相等的性质解题.
4．把两个直角边长均为 6 的等腰直角三角板 ABC 和 EFG 叠放在一起（如图①），使三角 板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合．现将三角板 EFG 绕 O 点顺时针旋 转（旋转角 α 满足条件：0°＜α＜90°），四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分 （如图②）．
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，将线段 AE 绕点 A 逆时 针旋转 90°，得到 AF，连接 EF，交对角线 BD 于点 G，连接 AG． （1）根据题意补全图形； （2）判定 AG 与 EF 的位置关系并证明； （3）当 AB=3，BE=2 时，求线段 BG 的长．
5．已知:在△ ABC 中，BC=a，AC=b，以 AB 为边作等边三角形 ABD．探究下列问题: （1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且∠ ACB=60°，则 CD= ； （2）如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，a=b=6，且∠ ACB=90°，则 CD= ； （3）如图 3，当∠ ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应 的∠ ACB 的度数.
【答案】(1) S 阴影= (a2-b2)；(2)PC=6. 【解析】 试题分析：（1）依题意，将△ P′CB 逆时针旋转 90°可与△ PAB 重合，此时阴影部分面积=扇 形 BAC 的面积-扇形 BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是 90°，可据
此求出阴影部分的面积． （2）连接 PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠ PBP'=90°，则△ PBP'是等腰直角三 角形，∠ BP'C=∠ BPA=135°，∠ PP'C=∠ BP'C-∠ BP'P=135°-45°=90°，可推出△ PP'C 是直角三角 形，进而可根据勾股定理求出 PC 的长． 试题解析：（1）∵ 将△ PAB 绕点 B 顺时针旋转 90°到△ P′CB 的位置， ∴ △ PAB≌ △ P'CB， ∴ S△ PAB=S△ P'CB，
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 2 5 . 2
【解析】 【分析】 （1）根据题意补全图形即可； （2）先判断出△ ADF≌ △ ABE，进而判断出点 C，D，F 共线，即可判断出△ DFG≌ △ HEG， 得出 FG=EG，即可得出结论； （3）先求出正方形的对角线 BD，再求出 BH，进而求出 DH，即可得出 HG，求和即可得出 结论． 【详解】 （1）补全图形如图所示，