多面体与旋转体例题精选

多面体与旋转体一、棱柱1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。

2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。

棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。

棱柱的基本性质：（1） 棱柱的侧面都是平行四边形。

（2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。

3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。

侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

性质：（1） 直棱柱侧面都是矩形。

（2） 直棱柱侧棱与高相等。

（3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。

4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。

底面是矩形的直棱柱是长方体。

长方体的对角线平方等于三边长的平方和。

5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

6、 h V S =⋅棱柱底. 二、棱锥1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。

相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

棱锥的基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形；（3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。

2、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

（2） 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。

正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

3、各个面都是全等的等边三角形的三棱锥称为正四面体。

4、1h 3V S =⋅棱柱底三、圆柱、圆锥与球将矩形ABCD （及其内部）绕其一条边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，AB 所在直线叫做圆柱的轴，线段AD 和BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，线段CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，CD 叫做圆柱侧面的一条母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB 得长度）叫做圆柱的高。

2S rh π=侧，222S rh r ππ=+全，2V r h π=将直角三角形ABC （及其内部）绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥，AB 所在直线叫做圆锥的轴，点A 叫做圆锥的顶点，直角边BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边AC 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边AC 叫做圆锥侧面的一条母线，圆锥的顶点到底面间的距离（即AB 的长度）叫做圆锥的高。

S rl π=侧，2S rl r ππ=+全，213V r h π=将圆心为O 的半圆（及其内部）绕起直径AB 所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，易知，点O 到球面上任意点的距离都相等，把点O 称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。

平面上的两点之间线段最短，该线段的长度就是两点之间的距离，类似地，要定义球面上两点之间的距离，也应该在球面上找到联结两点的最短路径，该路径的长度就是球面上亮点之间的距离。

可以证明，在联结球面上亮点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离。

24S r π=表，343V r π=一、选择题1、正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．18解：如图，3sin 602332PO PC =︒==； 21cos 60233,226,16.3AC P ABCD AC OC PC S BD OC OC V S PO -=︒=====∴=⋅= 故选B2、已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求四面体11AB D C 的体积.解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵ 1111//,B D B D A B A D=， ∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，2221111111cos 210AB B D AD AB B D θ+-==⨯ ∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为arccos10。

⑵ 连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=。

3，则该正四棱柱的体积等于（ ）（A ）3（B ）2 （C ）4 （D ）6答案选（B ）：由题意，2226cos a a h θ⎧++=⎪⎨==⎪⎩，12a h =⎧⇒⎨=⎩，22V a h ⇒==4、设M 、N 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（A ）3:5:6（B ）3:6:8（C ）ABCDPO60OPMNDBD 11B5:7:9 （D ）5:8:9解：由题知，M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：2228()39R R R -=，22225()39R R R -=，故三个圆的半径的平方之比为：22285::99R R R ，故本题选D ．5、长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中1::AB AD AA =,则两,A B 点的球面距离为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．23π解：设12,,AB a AD a AA ==,则有 ()222222128R AC AB AD AA a ==++=，R ∴=，即有,AO BO ==2,,2AB a AOB π=∴∠=而=1.2R AB π又因为，故的球面距离为 6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ABCD．12解：设底面边长为a，231,32AO a a ==∴= 13=2S a a ∴=底，133P ABC V S PO -∴==底C 。

7、两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有A 1A BCOD1B 1C 1D OPACB（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个解：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D.8、设地球半径为R，北纬030圈上有,A B两地，它们的经度相差0120，则这两地间的纬度线的长为（）（A）23Rπ（B）6Rπ（C）3R（D）3Rπ解：cos302r R R=︒=，233RAB rππ∴=两地的纬线长为。

提示：这里要求掌握经度和纬度这两个概念。

二、填空题9、下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）解：正确的命题为①④，②的反例：△ABC为正三角形，侧面中AB=AP=AC，PB=PC≠AP，满足侧面都是等腰三角形，但不是正三棱锥。

A③的反例：△ABC 为正三角形，三个侧面的高相等，所以满足侧面积都相等，但顶点P 在底面的射影O 落在△ABC 外，是△ABC 的旁心，而不是中心，所以P-ABC 是斜三棱锥。

10、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等； 充要条件② 对角线交于一点；底面是平行四边形； （写出你认为正确的两个充要条件）11、（09上海高考题）已知三个球的半径321,,R R R 满足32132R R R =+，则它们的表面积321,,S S S 满足的等量关系是 ．解：因为32132R R R =++=== 12、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______ 解：不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故cos α==. 13、圆柱的侧面展开图是边长为2π和3π的矩形，则圆柱的体积为 。

解：（1）若底面周长为2π，则圆柱高为3π，圆柱的体积为23π； （2）若底面周长为3π，则圆柱高为2π，圆柱的体积为292π； 14、若圆锥的全面积是底面积的三倍，则它的侧面展开图的圆心角是 。

解：如图，设底面半径为r ，侧面母线为a ，则底面积为2r π，侧面积为ra π，所以表面积2()S r ra r r a πππ=+=+，又2()3r r a r ππ+=，则2a r =，所以侧面展开图的圆心角为222r ra rπππ==。

15、已知半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是A1A BCD1B 1C 1D P________．解：显然正六棱锥P ABCDEF -的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥P ABCDEF -的高依题意可得为2，依此可求得16、（2010春考题）在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S=______cm 2。

解：2600π；17、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为解：如图，依题意可知，1A ABC -为棱长为2的正四面体，过点1A 作AB 的高，与AB 交于D，11A D A A ∴==1123AO A D AO ∴==∴==11111222ABCV SA O AB A D A O ∴===⨯=18、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。