二项式展开式专题
高中数学选择性必修三 6 3 二项式定理(精讲)(含答案)
6.3 二项式定理（精讲）考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求4的展开式为 ． （2）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n的值为【答案】（1）1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】（1）方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.（2）由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【一隅三反】1．（2021·全国课时练习）化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】（1）（2020·全国高二单元测试）在(x 10的展开式中，x 6的系数是（2）（2020·广东佛山市·高二期末）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______（用数字作答）（3）（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考）30的有理项共有 项【答案】（1）9410C （2）70（3）6【解析】（1）由T k +1=10kC x 10-k (k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(4410C =9410C（2）二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70（3）30的通项公式为：53010613030rrrrr r T C C x --+==，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【一隅三反】1．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.（2021·上海青浦区）在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______. 【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．（2020·青海西宁市）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：4888331888=rr r r r r r r r r r T C x C a x C a x ----+==， 令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．（2020·梁河县）已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】（1）（2020·福建三明市·高二期末）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ） A ．-252B ．-220C ．220D ．252（2）．（2021·四川成都市）若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】（1）A （2）C 【解析】(1）由2510211(2)()x x x x+-=-， 可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.（2）5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数， 若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．（2020·全国高三专题练习）52431x xx ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】51⎛- ⎝ 的通项为15(1)r r r r T C +=-， 55224311x x x x ⎛⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎝ 554311xx ⎛⎛--+ ⎝⎝，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =41455(1)T C ⇒=- ; 令232352(1)r T C =⇒=-;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．（2020·河南商丘市）()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为（ ）A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．（2020·枣庄市第三中学高二月考）在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．（2020·全国高二专题练习）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】（1）（多选）（2020·全国高二单元测试）111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项（2）（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）.A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项（3）（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试）若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】（1）BC （2）BC （3）D【解析】(1）因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC（2）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC（3）∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【一隅三反】1．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n⎛⎝的二项展开式中的常数项为（ ）A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在（x ﹣1）n （n ∈N +）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则n=8⎛ ⎝的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•（﹣1）r •x 4﹣r ， 令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•（﹣1）4=1120，故选B ．2．（2021·湖南常德市）(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（ ）A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．（多选）（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．（2020·全国高二课时练习）已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx ⎫⎪⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x ⎫⎪⎭展开式中有13项，且中间一项（第7项）的二项式系数最大，该项为6666633712122(2)59136T C C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．（2020·重庆市第七中学校高二月考）二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为()661122rrrTr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五 二项式系数或系数和【例5】（2020·安徽省泗县）若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0127a a a a ++++.【答案】（1）27；（2）14；（3）27.【解析】（1）令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①（2）令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．（3）由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【一隅三反】1．（2020·北京朝阳区·高二期末）在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==， 令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．（2020·全国高二单元测试）若－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝ 【答案】1【解析】令1x =，得)1001101a a a +++=，令1x =-，得)100123101a a a a a -+-++=，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++))1010111==.故选：A.3．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中）已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．（2020·宁县第二中学高二期中）设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1.【解析】（1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=， 令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】（1）（2020·上海市七宝中学高二期中）7271除以100的余数是________（2）（2020·全国高二单元测试）6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】（1）41（2）1.34【解析】（1）()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．（2）()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【一隅三反】1．（2020·四川棠湖中学高二月考）已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．（2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中）83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．（2021·河北保定市）60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
求二项式的展开项典例精讲
求二项式展开后的某项一、基础知识：1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。
指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1nx +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。
如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n rr r n T C ab -+=（注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。
对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n rrab -意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有rn C 种。
所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。
而二项式系数便是这个组合问题的结果。
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。
二项式系数是展开式通项公式中的rnC ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。
而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。
专题39 二项式展开项的通项及应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用．【重点知识回眸】1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数rn C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，nn C . 3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数rn C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的． 当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值． 当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r nn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，（4）常用结论①0n C ＝1；②1nn C =；③m n m n n C C -=；④11m m m n n n C C C -+=+.4.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①()11nx nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式.【典型考题解析】热点一 二项式展开式的通项公式的应用【典例1】（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【典例2】（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【典例3】（2022·山西·高三阶段练习）二项式()4x ay +的展开式中含22x y 项的系数为24，则=a ______．【典例4】（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）． 【总结提升】1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a ＋b )n 的展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r (r ＝0,1,2，…，n )求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．3.求解形如()()nma b c d ＋＋的展开式问题的思路 (1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222()()()(2)m m a b c d a ab b c d ＋＋＝＋＋＋，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如5752252()()[()()11]()11111()()x x x x x x x ＋－＝＋－－＝－－；(3)分别得到(),()nma b c d ＋＋的通项公式，综合考虑．4.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 热点二 形如()na b c ＋＋的展开式问题【典例5】（2021·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（ ） A ．1-B ．180C ．11520-D ．11520【典例6】（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（ ） A ．120B ．-120C ．60D ．30【典例7（2022·山东济南·模拟预测）()3221x x -+的展开式中，含3x 项的系数为______（用数字作答）. 【规律方法】求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量． 热点三 二项式系数的和与各项的系数和问题【典例8】（2022·全国·高三专题练习）已知012233C 2C 2C 2C 2C 243n nn n n n n +++++=，则123C C C C nn n n n ++++=（ ）A ．31B ．32C ．15D ．16【典例9】（2023·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（ ） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-【典例10】（2022·北京四中高三开学考试）设多项式51010910910(1)(1)x x a x a x a x a ++-=++++，则9a =___________，0246810a a a a a a +++++=___________. 【规律方法】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝.热点四 二项式系数的性质【典例11】（2023·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【典例12】（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（ ）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1 B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240xC ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32【典例13】（2022·浙江·三模）在二项式4(2)+x 的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________． 【规律方法】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．2．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式(1)(1)2f f +-(1)(1)2f f --组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 热点五 二项式定理应用【典例14】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A ．222234510C C C C 165++++=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【典例15】（2023·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．【典例16】（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.【规律方法】1.二项式定理应用的常见题型及求解策略（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项. 2.特别提醒: （1）分清是第项，而不是第项.（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转rn rr n C ab -1r +r 1r n r r r n T C a b -+=1r T +rn C a b n r a b n r n r化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置； ④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A ．160 B ．120 C ．90D ．602．（2022·全国·高三专题练习）()()52x y x y +-的展开式中的33x y 项系数为（ ） A ．30B ．10C ．-30D ．-103．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（ ）A ．454B ．458-C ．358D ．74．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．0B ．120-C ．120D ．160-5．（2022·全国·高三专题练习）设()011nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，若1263n a a a ++⋅⋅⋅+=，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．315xB ．320xC ．321xD ．335x6．（2023·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）n r r n n r 1r n r r r n T C a b -+=rn C a b 1r T +n r 1r T +1r +r a b n a b ()na b -A ．5B ．-5C ．15D ．-15二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A ．展开式共6项 B ．常数项为160C ．所有项的系数之和为729D ．所有项的二项式系数之和为648．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（ ）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++9．（2022·河北张家口·三模）已知52(1)(0)b ax x b x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为30，1x 项的系数为M ，则下列结论正确的是（ ） A ．0a > B ．323ab b -=C ．M 有最大值10D ．M 有最小值10-三、填空题10．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．11．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）在3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ____．12．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()31nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则n =__________.（2）1921C C n nn n --+=__________.13．（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.14．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）二项式3nx x ⎫⎝的展开式中共有11项，则n =___________，常数项的值为___________.15．（2022·全国·高三专题练习）在()413x +的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答） 四、解答题16．（2019·江苏·高考真题）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.。
二项展开式终极拿分必读
二项展开式是高中数学人教A 版选修2-3重点内容，也是必考内容。
分值稳定在5分，题型稳定在填空题。
难度为简单到中等。
是考生必得分的题目。
下面从基础知识到重点题型为同学们做总结，喜欢的请收藏。
一、基础知识：①n )b a +（展开式共有n+1项。
②n )b a +（展开式的二项式系数和为n 2。
奇偶项二项式系数和各占一半即1-n 2。
含有一个常数及一个变量的二项式求展开式系数和只需设变量为1即可。
③n )b a +（展开式二项式系数有最大值，其排列方式就是杨辉三角，由小到大再小。
具体讲，展开式有奇数项的，中间一项即21n +项最大。
为偶数项的12n 2n +或项最大。
④求展开式系数，都要用赋值法，常用赋值为0，-1，1.⑤展开式通项公式：1r 1r n 1r n r b ac T -+--=（灵魂哦） 二、常见题型：①求某项。
②求某（些）项系数。
三、常用方法：赋值法。
四、重点题型及对策：例一：（2020全国三卷14,5分）62x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的常数项是_____________. 分析：考察二项展开式的通项公式，属于简单题，分母有变量，先化简，再求值。
解： 62x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()612x 2x -+，由1r 1r n 1r n r b a c T -+--==1r 1r -721r 6)x 2()(x c --- =r 3-151r 61-r r x c 2T -=，常数项指数为0，故令15-3r=0,得r=5,代入得=5T 464c 2=240.记住，先化简再求值永远是王道。
例二：（2019全国三卷4，改编,5分）42)x 1)(x 21++（展开式中4x 的系数是___________. 分析：考察通项公式，指数幂运算性质及乘法分配律。
无需化简。
（原式是两项相乘，由乘法分配律）出现四次幂的情况可能是：①1.4ax 或者②22bx .x 2。
只要求出第二个式子展开式中4次幂和2次幂系数即可。
二项式定理的常见题型及解法
二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。
二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
一、求二项展开式1.“（“+〃）"”型的展开式例1.求（3« + J）4的展开式：解：原式=（亨）4 = 3 y/x X-=3Gt），+ 0： 3靖 +（3x）2 + d 由）+。
：］A= -4（8 lx4 + 84x3 + 54x2 +12x +1） =81x2 +84x+—+ -4 + 54厂x 厂2."（“一匕）"”型的展开式例2.求（36一，=）4的展开式：分析：解决此题，只需要把（34一3）4改写成［36+（—一的形式然后按照二项展开式yjx y］X 的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3.二项式展开式的“逆用”例3.计算1—3C：+9C：—27C：+~・+（-1）"3"C；：解：原式=<7>d（一到+C：（-3）2+C：（—3）3+....+ C»3）” =（1-3）” =（-2）”二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素a反 Q? 9例4.已知（一一1一）’的展开式中工3的系数为一，常数4的值为______________x V 2 4解：= C；（色尸（J） = G；（-l）r-2^ •，产「x V 23 Q令三•一9 = 3,即〃=8依题意，得C；（一1）8・27.。
内=“解得。
=一12.确定二项展开式的常数项例5.（五一二，）1°展开式中的常数项是]5-5 5解：7；+1 =c;Q ^）i0-r （--y=（-\yc;0-x 令5—7r= 5 即r= 6. 所以常数项是（-l ）6c* =2103 .求单一二项式指定器的系数例6.（』一一-）9展开式中X 9的系数是 _____________ 2%解:心=仁“产（-/ =仁”2（一'7=仁（-；）“心令18 - 3x = 9,则广=3,从而可以得到的系数为：。
超详细的二项式展开式性质
Cnranrbr
Cnnbn(n N )
与首末两端“等距离”旳两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大旳，
由对称性可知它旳后半部分是逐渐减小旳， 且中间项取得最大值。
所以，当n为偶数时，中间一项旳二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项旳取二得项最式大系值数；
二项式定理
对于（a+b）n = (a b)(a b) (a b)
旳展开式有哪些项？
n 个 二项式定理
(a+b)n
=Cn0an+Cn1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C
nran-rbr+…+C
n n
bn
右边旳多项式叫做 (a+b)n 旳二项展开式, 它一共有 n+1 项.
其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中旳项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式旳通项,是第r+1 项,记作 Tr+1
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
2.已知（T6xTx5221)n旳C展95 (开3x )式95中( ，3x第)5５项42旳x 32二项式
系数与第３项旳二项式系数之比是：１４：３，
求展开式中旳第４项
二项式系数旳性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1
、
n1
n1
Cn2 Cn2 相等，且同步取得最大值。
（3）各二项式系数旳和 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
专题11 二项式的计算(解析版)-高考数学计算题型精练(新高考通用版)
二项式定理的相关计算1．已知2nax⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则n =__________.【解答】根据展开式的二项式系数之和为2n ，所以2128n =，解得7n =，故答案为：7.2．若()8ax y -的展开式中35x y 的系数为448-，则=a __________.【解答】二项式()8ax y -展开式的通项为()()818C rrr r T ax y -+=-所以()8ax y -的展开式中含35x y 的项为()()5533358C 56ax y a x y -=-，所以()8ax y -的展开式中35x y 的系数为356448a -=-，所以2a =.故答案为：23．10x⎛⎝的展开式中x 的系数为______（用数字表示）.【解答】10x⎛ ⎝的通项为()(){}131010221010C 1C 1,0,1,2,,10r r r r r r x x x r ---=-∈ -,令310162r r -=⇒=，所以展开式中x 的系数为()6610C 1210-=,故答案为：2104．()()8x y x y -+的展开式中72x y 的系数是______.【解答】二项式()8x y -中，()8181C rr r r r T x y -+=-，当x y +中取x 时，这一项为()981C rr r r x y --，所以2r =，()2281C 28-=，当x y +中取y 时，这一项为()8181C r r r r x y -+-，所以1r =，()1181C 8-=-，所以展开式中27x y 的系数为-+=82820.故答案为：20.5．若621(12)x x ⎫++⎪⎭的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中4x 的系数为__________．【解答】令1x =，得)631192=，解得1a =，进而可得61(x x+的展开式为6216C r rr T x -+=，令1r =，得14426C 6T x x ==，令2r =，得22236C 15T x x ==，故4x 的系数为1621536⨯+⨯=．故答案为：366．83x ⎛- ⎝的展开式中，2x -项的系数为__________．【解答】由二项式展开式通项为58883188C (3)((1)3C r r rrrrr r T x x---+==-，令5823r -=-，则6r =，则2622783C 252T x x --==，故2x -项的系数为252.故答案为：2527．已知323401234(1)(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，则123a a a ++=__________．【解答】依题意323401234(1)(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，令0x =，得01a =，令1x =，得012340a a a a a ++++=.因为43343C ,a x x x =-⨯可以得出343C 1a =-=-,01234123110a a a a a a a a ++++=+++-=，故1230a a a ++=.故答案为：0.8．已知二项式521a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为59-，则=a ______________.【解答】由题意可知225211()a a x x x x ⎛⎫++++ ⎝⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎭，则其通项为521(),0,1,5C ,2,rr ra x r xT +==+，而2(r a x x +的通项为312C C ,0,1,2,,kk r k k k r k k r r a T x a x k r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令30,3r k r k -=∴=，当0k =时，0r =；当1k =时，3r =；当2k ≥时，6r ≥，不合题意，由二项式521a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的常数项为59-，可得0003115053C C C C 59a a +=-，即3060a =-，解得2a =-，故答案为：2-9．在()52231x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______．【解答】()55522222313x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式中x 的项为322322355223C C 24040200x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以展开式中x 的系数为200-．故答案为：200-.10．()52x x +的展开式中9x 的系数为______【解答】()52x x +展开式的通项为()()5210155C C 0,1,2,,5rrr r rr T x x x r --+=⋅== ，令109r -=，解得1r =，所以展开式中9x 的系数为15C 5=.故答案为：5.11．已知常数0m >，6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数是60，则m 的值为_____________．【解答】由已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则其展开式的通项为66266C C rr r r r rm x m xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，又其二项展开式中2x 项的系数是60，则令622r -=，即2r =，2226C 1560m m ==，又0m >，所以2m =，故答案为：2.12．若()()512x a x -+的展开式中3x 的系数为60，则实数=a ________．【解答】∵()()512x a x -+的展开式中含3x 的项为()()()2323355C 2C 24080x x a x a x ⋅-⋅=-，由已知3x 的系数为408060a -=，∴14a =-．故答案为：14-.13．()()532x y x y +-的展开式中33x y 的系数是______.（用数字作答）【解答】()()()()55532322x y x y x x y y x y +-=-+-，而()52x y -的通项为55C (2)r rr xy --，0,1,2,3,4,5r =，故展开式中33x y 的系数是3322553C (2)C (2)200⨯⨯-+⨯-=-,故答案为：200-.14．在61(21)x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为____________．（结果填数字）【解答】设6(21)x -的展开式通项为666166C (2)(1)(1)2C rrr r r r rr T x x ---+=-=-，当6r 3-=时，3r =，3x 的系数为3336(1)2C 160-=-；当65r -=时，1r =，5x 的系数为1516(1)2C 192-=-；所以4x 的系数为1(160)(1)(192)32⨯-+-⨯-=.故答案为：3215．(72展开式中含3x 项的系数为______.【解答】(72展开式的通项公式为(()772177C 21C 2r rrr rrr r T x --+==-，令32r =，则6r =，所以含3x 项为63377C 214T x x ==，所以(72展开式中含3x 项的系数为14.故答案为：14.16．434log 2(log 3)x x+展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）【解答】434log 2(log 3)x x+展开式通项公式44214344344log 2log 3)()log 43)(log 2C ((C ,)N,r r r r r rrr T xx r x r --+-==⋅∈≤，令420r -=，解得2r =，则2223234log 3)(lo 2113(C 62)24g T ==⨯=⋅，所以434log 2(log 3)x x +展开式的常数项是32.故答案为：3217．()5(2)0ax a +≠的展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，则=a ___________.【解答】由5(2)ax +的展开式的通项为55155C 2()2C r rr r r rr r T ax a x --+=⋅⋅=⋅，令1r =，可得411252C 80T a x ax =⋅⋅=；令2r =，可得322222252C 80T a x a x =⋅⋅=，因为展开式中含x 的项与含2x 的项系数相等，可得2a a =，又因为0a ≠，所以1a =.故答案为：1.18．已知()42340123412x a a x a x a x a x +=++++，则024a a a ++的值等于______.【解答】令1x =，则401234381a a a a a ++++==；令1x =-，则012341a a a a a -+-+=，上述两式相加得()0242811a a a ++=+，故02441a a a ++=；故答案为：41.19．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，则2345a a a a +++=___________．（用数字作答）【解答】因为()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++，令0x =，得01a =-；令1x =，得50123456232a a a a a a a ++++++==；又()()()()555211211x x x x x -=-+++，二项式5(1)x +的通项公式为55155C 1C r r r rr r T x x --+=⋅⋅=⋅，则0652C 2a =⨯=，41521(1)C 3a =⨯+-⨯=-，所以2345322(3)(1)34a a a a +++=-----=．故答案为：3420．()52211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为________.【解答】因为()51x +的二项展开式为5155C 1C ,0,1,2,3,4,5rrr r rr T x x r -+=⨯⨯==，所以3x 项为335334655221C 2C 12T T x x x x⨯+⨯=+=，即展开式中3x 项的系数为12.故答案为：12.21．已知a >0，若9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，且5126a =，则a =______.【解答】因为9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++L ，又99()[(1)1]x a x a ++-=+，展开式通项为919C (1)(1)r rr r T x a -+=+-，5126a =对应5(1)x +的系数，故得到95r -=，解得4r =，其系数为449C (1)1260a a -=⇒=或2a =.又a >0，故实数a 的值为2.故答案为：2.22．若()312nx x ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为132，则展开式中3x 的系数为______.【解答】因为()312nx x ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为132,令1x =,得1121232n⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,所以n =6.因为62x ⎛ ⎝展开式的通顶公式为663621661C C (1)22r rrrr r rr x T x---+⎛⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝,令3632r -=,得2r =;令3602r-=,得4r =,所以展开式中3x 的系数为4224661175C C 2216⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：751623．5x⎛ ⎝的展开式中含1x -项的系数为_________．【解答】解：5x⎛ ⎝展开式的通项为3552155C C (2)rr r r r r T x x --+⎛==- ⎝，令3512r -=-，得4r =，所以展开式中常数项为445C (2)80-=．故答案为：8024．4(1)(2)x x --的展开式中，含3x 的项的系数是__________．【解答】由题意可知4(1)x -中3x 的系数为114C (1)4-=-,2x 的系数为224C (1)6-=,故4(1)(2)x x --的展开式中，含3x 的项的系数是16(2)(4)14⨯+-⨯-=，故答案为：1425．41(2)x x+展开式的常数项是__________．（用数字作答）【解答】41(2)x x +展开式的通项公式是44421441C (2)(2C ,N,4r r r r r rr T x x r r x ---+==∈≤，由420r -=，得2r =，所以41(2x x+展开式的常数项为22342C 4624T ==⨯=.故答案为：2426．若()6x ay +展开式中33x y 的系数为160-，则=a ______．【解答】()6x ay +的通项为：()66166C C rr r r r r rr T x ay a x y --+==，令3r =，则336C 160a =-，解得：2a =-.故答案为：2-.27．已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为243，则这个展开式中3x 项的系数是__________．【解答】在12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中令1x =得展开式中各项系数的和为3243n =，求出5n =．12nx x ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的展开式的通项55521551C (2)2C rr r r rr r T x x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令523-=r ，得41331151,2C 80r T x x +=∴=⋅⋅=．故答案为：80．28．在6(31)x -的展开式中，含2x 的项的系数为__________.【解答】在6(31)x -展开式中，第1k +项为666166C (3)(1)C 3(1)kkk k kk k k T x x ---+=-=-，06,N k k ≤≤∈，令4k =，得含有2x 的项的系数为4246C 3(1)135⋅⋅-=；故答案为：135.29．二项式5(13)(12)x x +-的展开式中的4x 项的系数为___________.【解答】5(12)x -展开式的通项为()()155C 22C kkk k kk T x x +=-=-，0,1,2,3,4,5k =，所以当4k =时，()4444552C 80T x x =-=，当3k =时，()3333452C 80T x x =-=-，所以二项式5(13)(12)x x +-的展开式中含4x 项的系数为801(80)3160⨯+-⨯=-.故答案为：160-.30．在91x ⎫⎪⎭的展开式中，6x -的系数为________．【解答】因为91x ⎫-⎪⎭的展开式的通项公式为()9191C 09,rrr r T r r x -*+⎛⎫=-≤≤∈ ⎪⎝⎭N ，即()()932191C 09,r rr r T xr r -*+=-≤≤∈N ，所以由9362r-=-，得到7r =，故6x -的系数为779(1)C 36-=-.故答案为：36-.31．712x xx ⎛⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝的展开式中常数项为______.【解答】72x⎛ ⎝的展开式中通项为()()37772177,0,1,2C 2C 21,,7kk kk kk k k k T x x---+⎛==- ⎝= ,所以要使712x xx ⎛⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝展开式中出现常数项，需3712k -=或1-，当3712k -=时，4k =；当3712k -=-时，163k =（舍去），所以常数项为()44371C 21280x x -⋅=，故答案为：280.32．在二项式622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的二项式系数为__________．【解答】因为()621231662C C 2rrr r r rr T x x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，0r =，1，2，…，6.令1233r -=，得3r =，所以3x 项的二项式系数为36C 20=.故答案为：2033．()72213x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中82x y 的系数为__________.（用数字作答）【解答】由题意得()()()777222221313x yx y x y xy x y=⎛⎫+-⎝+-- ⎪⎭，因为()72x y -的展开式的通项为()()()714212771C C rrrrr r rr T x y x y --+-==-，令2r =，()2102223710121C x y T x y ==-，令3r =，()33838347C 135T x y x y =-=-，所以()41313x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中82x y 的系数为()2135384+-⨯=-，故答案为：84-.34．6⎛⎝的展开式中x 的系数为___________.【解答】6⎛+ ⎝的展开式的通项公式为(663166C C 32rrrr r r rr T x ---+==，令31r -=，得2r =，所以展开式中x 的系数为2426C 324860⨯⨯=.故答案为:4860.35．431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为______．【解答】二项式431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()43441441C C 1rr r r rr rT x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令440r -=，解得1r =，所以()021144C 1T x =-=-，所以展开式中常数项为4-.故答案为：4-36．已知二项式9112x ax -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为18-，则该二项展开式中的常数项为___________.【解答】9112x ax -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()()91931222199C C rr rrr rr T x axa x---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令93322r -=，解得1r =，∴19C 918a a -=-=-，解得2a =，令93022r -=，解得3r =，∴该二项展开式中的常数项为()3392C 672-=-.故答案为：672-.37．102x⎛⎝的展开式中的常数项为______.【解答】二项式102x⎛ ⎝展开式的通项为()()520102211010C C 1rrr r r r T xx--+⎛=⋅=-⋅ ⎝，令52002r -=，解得8r =，∴常数项为()881081C 145T +=⨯-=.故答案为：45．38．已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为20，则实数m 的值为______．【解答】展开式的通项为66266C C rrrr r rm xm x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，令620r -=解得3r =，∴336C 20m =．∴1m =．故答案为：139．()8221x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______．【解答】82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为828188(2)C (2)C r rr r r r r r T x x x --+-=-⋅⋅-⋅=.令820,4r r -==，令822,5r r -=-=.则()8221x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中的常数项为445588212(2)C (2)9C 1⨯-⋅--=⋅.故答案为：291240．二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_______________（用数值表示）．【解答】由二项式定理可得()()()()()40123404113122131140144444222222x x x x x x x x x x x x -----⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭C C C C C ，显然其常数项为第三项即()22214224x x -=C ，故答案为：2441．在1022x ⎫+⎪⎭的展开式中，常数项为______________.（结果用数字表示）【解答】1022x ⎫⎪⎭展开式通项为：1051021101022C 2C rrrrr rr T x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，令10502r -=，解得：2r =，223102C 445180T ∴=⨯=⨯=，即常数项为180.故答案为：180.42．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数是______．【解答】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()621231662C C 2rrr r r r r T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，令1233r -=，得3r =，所以含3x 项的系数为()()336C 2208160-=⨯-=-，故答案为：160-．43．8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为__________．【解答】8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项为()884188311C C 20,1,2,,82rr r rr r r T r x x x --+==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令840r -=，得2r =，所以常数项为282C 72=．故答案为：7.44．二项式()511x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项为__________．【解答】51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式的通项公式为5521551C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()5551111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令-+=5210r ，得3r =；令520r -=，得52r =（舍）.所以()511x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为35C 10=．故答案为：1045．若在61x ⎫⎪⎭的展开式中，2x -的系数为__________．（用数字作答）【解答】61x ⎫⎪⎭的展开式通项为()()46231661C C 10,1,2,,6kkk k kk k T x k x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭，令4223k -=-，可得3k =，因此，展开式中2x -的系数为()336C 120⋅-=-.故答案为：20-.46．已知54(1)(13)ax x -+的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为_________．【解答】解：5(1)ax -展开式的通项公式为()5C 1,2, (5)r ax r -=，，4(13)x +展开式的通项公式为()4C 31,2, (4)s x s =，，所以54(1)(13)ax x -+的展开式中x 的系数为()()010111005454C C 3C C 32a a -+-=，解得2a =，故答案为：247．在4(21)x +的展开式中，2x 的系数为__________．（用数字作答）【解答】4(21)x +的展开式通项公式为()414C 2rr r T x -+=，令2r =，得()22234C 224T x x ==，故2x 的系数为24.故答案为：24.48．()226()x y x y ++的展开式中，53x y 的系数为____．【解答】因为23332155366C C 26x x y y x y x y +=，所以53x y 的系数为26．故答案为：2649．已知()()811ax x -+的展开式中5x 的系数为84-，则实数a 的值是________.【解答】()81x +的通项公式为81C r r r T x +=，所以81888C (1)(1)(1)C C r r r r r r x x a ax x ax x +-+=-⋅=-，令=5r ，则8C r r x 的展开式中5x 的系数为58C 56=；令154r r ,+==，则18C r r a x +的展开式中5x 的系数为48C 70a a =；故()()811ax x -+的展开式中5x 的系数为567084a -=-,2a ∴=.故答案为：2.50．6313⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 展开式中2x 的系数为______.【解答】361(3)x x-展开式的通项公式为()6184161C 3r r r r r T x --+=-⨯⨯⋅，令1842r -=，解得4r =，1C3135--⨯⨯=.故答案为：135.所以含2x的项的系数为()44646。
考向38 二项式定理全归纳(十五大经典题型)(原卷版)
考向38二项式定理全归纳经典题型一：求二项展开式中的参数 经典题型二：求二项展开式中的常数项 经典题型三：求二项展开式中的有理项 经典题型四：求二项展开式中的特定项系数 经典题型五：求三项展开式中的指定项经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 经典题型七：求二项式系数最值 经典题型八：求项的系数最值经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 经典题型十：求奇数项或偶数项系数和 经典题型十一：整数和余数问题 经典题型十二：近似计算问题 经典题型十三：证明组合恒等式 经典题型十四：二项式定理与数列求和 经典题型十五：杨辉三角（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．（2022·浙江·高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的r n r rnC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=，其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， （2）二项式()n a b +的展开式的特点： ①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯ 公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是；②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项和()n b a +的二项展开式的第r +1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是（只需把b -看成b 代入二项式定理）． 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nn n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即nn b a )(+011()(1)(1)n n n r r n r rn n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅*N n ∈122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++rn C r n r r n C a b -r n r r n C b a -1(1)r r n r rr n T C a b -+=-11m m m n nn C C C -+=+． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122rn n n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅=．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T ++的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．（2）系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令，可得：②令11a b ==，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得： ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++．③奇数项的系数和与偶数项的系数和()011222nn n n r n r rn nnn n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++1a b ==012n n n n n C C C =+++()012301nnn n n nn C C C C C =-+-+-02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++n 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=． （可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a --+++=；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +-+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x --=+++++，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（）.（1）第项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 2、解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --.经典题型一：求二项展开式中的参数0,1,2,,k n =m1．（2022·湖南·模拟预测）已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则实数=a （ ） A ．2 B ．-2C ．8D ．-82．（2022·全国·高三专题练习）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （ ）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．4经典题型二：求二项展开式中的常数项4．（2022·广东广州·高三阶段练习）若2nx x ⎛⎝的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160-B ．160C ．1120-D ．11205．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知53a x x ⎛⎝（a 为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ） A ．-90B ．-10C ．10D ．906．（2022·山东青岛·高三开学考试）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80B ．80-C ．160D ．160-7．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（ ） A ．120-B ．20-C ．15D ．20经典题型三：求二项展开式中的有理项8．（2022·江苏南通·高三阶段练习）21031(2x x的二项展开式中有理项有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项9．（2022·全国·高三专题练习（理））若65(32)n x x 的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n 的取值为（ ） A ．4B ．6或8C ．7或8D ．810．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知二项式()nx n N x *⎛∈ ⎝的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中有理项的系数之和为（ ） A ．119B ．168C ．365D ．52011．（2022·全国·高三专题练习）在243(2x x的展开式中，有理项共有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项12．（2022·全国·高三专题练习（理））若21nx x ⎫⎪⎭展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4经典题型四：求二项展开式中的特定项系数13．（2022·湖北·高三开学考试）已知二项式13nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．405-B ．405C ．81-D ．8114．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．454B ．458-C ．358D ．715．（2022·全国·高三专题练习）在2()n x x -的展开式中，若二项式系数的和为32，则1x的系数为（ ） A ．80-B ．80C ．40-D ．4016．（2022·全国·高三专题练习（理））()()()239111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中2x 的系数是（ ） A ．45B ．84C ．120D ．21017．（2022·全国·高三专题练习）若()1nx +的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（ ） A ．7B ．21C ．35D ．21或35经典题型五：求三项展开式中的指定项18．（2022·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）A ．5B ．-5C ．15D ．-1519．（2022·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（ ） A ．1-B ．180C ．11520-D ．1152020．（2022·全国·高三专题练习）()423x y z +-的展开式中，所有不含z 的项的系数之和为（ ） A ．16B ．32C ．27D ．8121．（2022·全国·高三专题练习）()421x y x ++的展开式中22y x的系数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1222．（2022·全国·高三专题练习）在()5223x x --的展开式中含10x 和含2x 的项的系数之和为（ ） A ．674-B ．675-C ．1080-D ．148523．（2022·全国·高三专题练习）()635x y -的展开式中，22x y 的系数为（ ）A ．135-B ．75-C ．75D ．135经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 24．（2022·浙江邵外高三阶段练习）()()6x y x y +-的展开式中34x y 的系数是________．（用数字作答）25．（2022·全国·高三专题练习）()6213x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为__________．26．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）232345012345(1)(23)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则4a =_________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知522a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的各项系数和为3-，则该展开式中的常数项为______.28．（2022·河北邢台·高三开学考试）()631x x x ⎛+ ⎝展开式中的3x 项的系数是______.29．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）25()y x x x y ⎛⎫⎪⎭+ ⎝+的展开式中24x y 的系数为___________.（用数字作答）30．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理）） 6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为______.31．（2022·全国·高三专题练习）已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.32．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m =___________.经典题型七：求二项式系数最值33．（2022·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1034．（2022·全国·高三专题练习）7(12)x +展开式中二项式系数最大的项是（ ） A ．3280xB ．4560xC ．3280x 和4560xD ．5672x 和4560x35．（2022·湖南·高三阶段练习）设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．836．（2022·全国·高三专题练习）5a x x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．2-经典题型八：求项的系数最值37．（2022·全国·高三专题练习）已知(13)n x -的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）()91-x 的展开式中系数最小项为第______项． 39．（2022·全国·高三专题练习）若4()x xn 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和40．（2022·全国·高三专题练习）若7270127(1)x a a x a x a x -=++++，则1237a a a a ++++=_________.（用数字作答）41．（2022·全国·高三专题练习）设()20202202001220201ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若12320202320202020a a a a a +++⋅⋅⋅+=则非零实数a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．-142．（2022·全国·高三专题练习）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++=（ ）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯43．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++，则（ ）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑经典题型十：求奇数项或偶数项系数和44．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式()4228012832-+=++++x x a a x a x a x ，则1357a a a a +++=_______，1a =________．45．（2022·全国·模拟预测）若()()9911x ax x +-+的展开式中，所有x 的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a 的值为______．46．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知2220122(2)1+)1+)...1+)n n n x a a x a x a x +=++++（（（，若15246222...21n n a a a a a -+++++=-，则n =_____________.47．（2022·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（ ） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-经典题型十一：整数和余数问题48．（2022·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．49．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）20222除以7的余数为_______． 50．（2022·福建漳州·三模）711除以6的余数是___________．51．（2022·全国·高三专题练习）091827899995555C C C C ++++被7除的余数是____________．52．（2022·天津市第七中学模拟预测）已知n 为满足()12320222022202220222022C C C C 3T a a =+++++≥能被9整除的正整数a 的最小值，则()()221nxx x -+-的展开式中含10x 的项的系数为______．53．（2022·全国·高三专题练习）若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.54．（2022·浙江·高三专题练习）设a ∈Z ，且0≤a ≤16，若42021+a 能被17整除，则a 的值为 _____.经典题型十二：近似计算问题55．（2022·河南南阳·高三期末（理））81.02≈__________（小数点后保留三位小数）． 56．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________．57．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.经典题型十三：证明组合恒等式58．（2022·全国·高三专题练习）（1）设m 、*n N ∈，m n ≤，求证：1111m mn n n C C m +++=+； （2）请利用二项式定理证明：()2*3213,n n n n N >+≥∈.59．（2022·江苏省天一中学高三阶段练习）已知*0()()nk k n n k f x C x n N ==∈∑.（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求()g x 中含4x 项的系数； （2）求：012112323n m m m m n C C C nC -++++++++.60．（2022·江苏·泰州中学高三阶段练习）（1）设()(12),()n f x x f x =+展开式中2x 的系数是40，求n 的值；（2）求证：11(1)0(2,)nk k n k kC n n N +*=-=≥∈∑经典题型十四：二项式定理与数列求和61．（2022·全国·高三专题练习（理））令n a 为()11n x ++的展开式中含1n x -项的系数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．()32n n + B ．()12n n + C ．1n n + D ．21nn + 62．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的第5项是61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则28a a +=（ ） A ．20B ．20-C ．40D ．40-63．（2022·河北保定·二模）若n 为等差数列4,2,0,--中的第7项，则二项式21(2)n x x-展开式的中间项系数为（ ）A ．1120B ．1120-C ．1792D ．1792-64．（2022·江西新余·二模（理））已知等差数列{}n a 的第5项是6122x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则该数列的前9项的和为（ ） A ．160B ．160-C ．1440D ．1440-经典题型十五：杨辉三角65．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n ，第2n 行中最大的数为x ，第21n 行中最大的数为y ，且137x y =，则n 的值为______．66．（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.67．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．68．（2022·全国·高三专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1,3,3,4,6,5,10, ，记此数列的前n项之和为n S，则23S 的值为__________.1．（2022·北京·高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-2．（2020·山东·高考真题）在821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）A ．56B ．56-C ．70D ．70-3．（2020·北京·高考真题）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020·全国·高考真题（理））25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2022·天津·高考真题）523x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为______.6．（2021·天津·高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．（2020·天津·高考真题）在522x x ⎛ ⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 8．（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．9．（2021·浙江·高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.10．（2020·浙江·高考真题）设52345123456(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =________；123a a a ++=________．。
高考数学精品试题：二项式定理
专题内容：二项式定理一、典型例题例1、已知()()511ax x ++的展开式中3x 的系数为15，则a 的值为（ ） A ．34 B ．13 C ．12 D ．1 例2、已知二项式()*12N n x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则展开式的常数项为（ ）A ．14B ．240C ．60D ．240- 例3、设()5234512345612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= 。
二、课堂练习1、91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ） A ．84 B ．84- C ．28D ．28- 2、在()n x y -的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5，6项D ．第4，5项 3、若312n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．44、()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.205、若多项式()()()910210019101...11x x a a x a x a x +=+++++++，则9a = （ ）A. 9B. 10C. -9D. -10【布置作业】1、的展开式中的中间项为（ ） A ． B ． C ． D ．2、的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中的系数为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．80 3、使（）的展开式中含有常数项的最小的（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 4、二项式的展开式中有理项的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8 5、已知，设，则（ ）A ．1023B ．1024C ．1025D ．1026 6、在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．287、的展开式中的常数项是__________． 8、的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为______.9、的展开式中项的系数为___________（用数字表示）.10、已知的展开式中，的系数是240，则实数的值为______． 11、的展开式中所有二项式系数的最大值是_____（用数字作答）． 12、已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________． 13、若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第_______项 14、若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________. 8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭35883358x -7-437x --3()n a x x+3x 13n x x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭n +∈N n 102x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭46n n C C =()()()()201234111n n n x a a x a x a x -=+-+-++-12n a a a +++=31()2n x x -552552-28-()51212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭4n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭25(1()2)x x +-4x ()61ax -2x a ()61x +21(0)nax a x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1()n x x +1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()*n ∈N 5615、设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为_____.。
二项式定理的常见题型及解法
第1页 高二理1030，单，18-12-18 第2页二项式定理的常见题型及解法一、求二项展开式1．“nb a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-；二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为2．确定二项展开式的常数项 例5．103)1(xx -展开式中的常数项是3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 92)21(xx -展开式中9x 的系数是 练习（1）展开式中常数项是 ． （2）的展开式中的系数为 ．（3）展开式中，的系数等于 ．三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于例8． 72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（103)1xx -的展开式的中间项；2.求有理项例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；3.求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例11．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 例12．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（2） 系数绝对值最大的项例13．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ； 五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++ 的值为 ；例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a 六、利用二项式定理求近似值例16．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；七、利用二项式定理证明整除问题 例17．求证：15151-能被7整除。
专题04 二项式定理-高中数学专项训练测试卷(解析版) (2)
专题04二项式定理知识点1二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当大值k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12Cn n+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1考点1二项式定理的正用、逆用的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．考点2二项式系数与项的系数问题数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．考点3求二项展开式中的特定项(1)求第r 项，T r ＝C r －1n an －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）6()(2)x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（）A ．－80B ．－100C ．100D ．80考点4二项式系数和问题(赋值法)【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则1234a a a a +++=_________.【答案】34【审题】令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=，即可得到答案.【解析】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故123434a a a a +++=.【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若()47270127(1)2(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则2a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【答案】D【解析】因为()4772701274(1)(2)1]2([(2)2]2)(2)[x x x x a a x a x a x +++-=+++++=++++- ，所以2225247(2)(1)3a C C =⨯-+⨯-=，故选：D ．【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．【答案】9【解析】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则6a =______.【答案】28-【解析】令1t x =-，则8290129(1)(1)t t a a t a t a t +-=++++ ，故3322688C (1)C (1)28a =-+-=-，故答案为：28-.考点5二项式系数性质的应用【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若(nx的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A ．8n =B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大【答案】BC【解析】由题意，nx⎛⎝的二项展开式共有8项，可得7n =，所以A 错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为72128=，所以B 正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C 正确；由7(x展开式的第4项为534327(35C x x =-，第5项为4347(35C x x =，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D 错误.故选：BC.【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论：(1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展得出系数最大的项．考点6二项式定理的实际应用【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【答案】D【解析】2021201967367306731672672673673673673673242484(71)4(777)C C C C =⨯=⨯=⨯+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为67367344C =，故经过20212天后是是星期六，故选：D ．【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）20232023的个位数字为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为()20232023202332020+=0202301202212202122023020232023202320232023C 32020C 32020C 32020C 32020=⨯+⨯+⨯++⨯ ，而1220232020,2020,,2020 个位数均为0，所以20232023的个位数字与02023020232023C 320203⨯=相同，而()1011202320221011333393101=⨯=⨯=⨯-()()()()1101010110101111010101011011010111011101110113C 1013C 1013C 1013C 101=⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯- 因为22101110,10,,10 个位数均为0，所以20233的个位数字与()()101010111010110110101110113C 1013C 1013101110330327⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯-=相同，故20232023的个位数字为7.故选：B考点7几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是()A．25B．30C．35D．40【答案】C【解析】法一：(1＋x)n的通项公式T r＋1＝C r n x r中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C33＋C34＋C35＋C36＝C45＋C35＋C36＝C46＋C36＝C47＝35．法二：多项式可化为1－1＋x71－1＋x＝x＋17－1x，二项式(x＋1)7的通项公式为T r＋1＝C r7x7－r,7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为C37＝35．故选C．【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．考点8几个多项式积展开式中特定项（系数）问题【例8】1．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a 的值为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-【答案】B【审题】根据()()()()555211211x x x x x +=+---，结合二项式定理求解即可.【解析】因为()()()()555211211x x x x x +=+---，()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1rrr rrr r T x x --+=-=-，当3r =时，()332352C 120x x x ⋅-=-，当2r =时，()22335C 110x x -=，故33333201010a x x x x -+==-，即310a =-.故选：B【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在()()253x y x y -+的展开式中，34x y 的系数是（）考点9三项式展开式中特定项（系数）问题则()821x y +-的展开式中含2xy 项的系数为7181C C 56-=-.故答案为：56-【变式9-3】()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【解析】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若()()()()()()55432151101101511x a x x x x x +=+-+++-+++-，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】()()()()()5432151101101511+-+++-+++-x x x x x ()()()()()()()()()()54322345012340555555C 1C 11C 11C 11C 511C 1=+++-++-++-++-+-x x x x x ()55=11=+-⎡⎤⎣⎦x x则=+x a x ，即0a =.故选：B2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【解析】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.。
2024年高考数学复习培优讲义专题40---二项式定理(含解析)
专题8-2 二项式定理16类常考问题汇总题型1 求展开式中的指定项 题型2 求指定项的系数 题型3 二项式系数最大的项 题型4 展开式所有项系数和 题型5 展开式二项式系数和 题型6 三项展开式问题题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型8 由项的系数或系数和确定参数 题型9 奇次项与偶次项的系数和 题型10 等式两边求导后求和 题型11 展开式系数最大的项题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑 题型13 赋值求系数和 题型14 整除和余数问题 题型15 二项式定理与杨辉三角 题型16 二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n ，都有：()011*()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N −−+=+++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b −+=，其中的系数(0,1,2,,)rnC r n =⋯叫做二项式系数 2、二项式()n a b +的展开式的特点：（1）项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； （3）次数：a ，b 次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即r n rn nC C −= （5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数1122,n n nnCC−+相等，且最大3、二项展开式的通项：1(0,1,2,,)r n r rr n T C a b r n −+==公式特点：（1）它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是r n C ； （2）字母b 的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项 例：对于()n x a +（1）二项式系数之和为2n ，即012342n n nn n n n n C C C C C C ++++++=；（2）所有展开式系数和为(1)n b +，展开式为：()011*()n n n r n r rn nn n n n x b C x C x b C x b C b n N −−+=+++++∈，可以表示为：()1*01()n n n x b a a x a x n N +=+++∈，令1x =即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即02413512n n n n n n n C C C C C C −+++=+++=．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第1r +项r n r r n C a b −的二项式系数是组合数r n C ，展开式的系数是单项式r n r r n C a b −的系数，二者不一定相等．（2）()n a b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法(,,0p q r ≥的整数且)p q r n ++=()[()]()n n r n r r r q n r q q r n n n r a b c a b c C a b c C C a b c −−−−++=++=+=（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．题型1 求展开式中的指定项1．式子12(1)x −二项式定理展开中的第6项为 ．2．二项式5312x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为（ ）A ．160B ．80x −C ．380x D ．740x −3．533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，有理项是第 项．4．6232x x −⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为 .题型2 求指定项的系数5．二项式5(2)x y −的展开式中，含2y 项的系数为 .6．在7(3)x −的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．21− B ．21C ．189D ．189−7．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150 B.150 C.－240 D.240重点题型·归类精练8．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．题型3 二项式系数最大的项9．已知二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n = . 10．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．511．1nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .12．在()1nx +的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 .题型4 展开式所有项系数和13．若32nx x 的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为（ ）A ．112B ．124C ．116D ．13214．在54(1)(12)x x ++−的展开式中，所有项的系数和等于 ，含3x 的项的系数是 ．15．若8231x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，其中a 为常数，则该展开式中4x −项的系数为16．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答）题型5 展开式二项式系数和17．（多选）已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的第三项的系数为45，则（ ）A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项18．在32nx x ⎛ ⎝的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中7x 的系数为 （用数字填写答案）；19．若31nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中41x 的系数为 .20．（多选）在()521x −的展开式中，则（ ） A ．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B ．所有项的系数和为0 C ．常数项为1−D ．所有项的二项式系数和为6421．若2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的第一项为532x ，最后一项为51x −，则下列结论正确的是（ ）A ．5n =B ．展开式的第四项的二项式系数等于40−C ．展开式中不含常数项D ．展开式中所有项的系数之和等于3222．若()*31N nx n x ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．8C ．28D ．5623．在322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，若1056n n a b +=，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7题型6 三项展开式问题24．若0m ≠，且()622312112312x x m a a x a x a x a x −+=++++⋅⋅⋅+，则m 的值为 .25．6(21)x y −+展开式中含2x y 项的系数为 ． 26．()()6211x xx ++−的展开式中2x 的系数为（ ） A ．9B ．10C ．24D ．2527．3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭中常数项是 ．（写出数字）28．()52x y z −+的展开式中，3x yz 的系数为 ．29．已知()22121nx x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为27，则4x 项的系数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1530．若()522100121022x x a a x a x a x −+=++++，则5a = ．2x 2x − 2题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题31．()()4212x x −+的展开式中2x 的系数为 （用数字作答）．32．81()y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为 （用数字作答）．33．712(1)x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．7−B ．7C ．77D ．77−34．6211(2)2x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．18035．6(2)(2)x y x y −+的展开式中25x y 的系数是 ．（用数字填写答案）36．()3532()x x a −+的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数为（ ）A ．130−B ．46C ．61D ．19037．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x −+，则5a =（ ）A ．16B ．14C ．6−D ．10−题型8 由项的系数或系数和确定参数 38．设()2340123412nn n x a a x a x a x a x a x −=++++++，若0417a a +=.则n = .39．()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含7x 项的系数是（ ） A ．600−B ．840−C ．1080−D ．2040−40．已知()12nx +的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则3123nx x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x 的系数为（ ） A ．294−B ．826−C ．840−D ．854−41．若()421ax x −+的展开式中5x 的系数为56−，则实数=a ．42．42x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中的常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则a 的值为（ ）A ．3−B ．2−C ．2D ．343．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答）44．5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．40B ．160C ．0D ．32045．（多选）在()()5312x x a −−的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32−C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242−46．已知()2nx y −的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52x y 项的系数为（ ） A ．―4 B ．84C ．―280D ．56047．（多选）已知()31nx n x *⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的可能取值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10题型9 奇次项与偶次项的系数和48．若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x −=++++++，则246a a a ++=（ ） A ．64B ．33C ．32D ．3149．若()()522701273321x x x a a x a x a x −−−=++++，则0246a a a a +++= ．50．()()41a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则=a （ ） A ．2− B ．2C ．3−D ．3 51．若()()()()20232202301220231111x m a a x a x a x ++=+++++++，且()()2220230220221320233a a a a a a +++−+++=，则实数m 的值为 .题型10 等式两边求导后求和52．（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x −=+−+−++−，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯53．（多选）已知多项式220121(12)(13),19m nn x x a a x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅+=−，则（ ）A ．12m n +=B ．12324n a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．24a =−D ．12323368n a a a na +++⋅⋅⋅+=−题型11 展开式系数最大的项54．在822x x ⎫⎪⎭的展开式中，①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项；55．212n x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则212nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项的系数为 .题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑56．已知()()()()21001210101111a a a x x x a x =+−+−+⋅⋅⋅+−+，则8a =________． 57．已知多项式()()()()10210012101111x a a x a x a x −=+++++++，则7a =（ ）A ．－960B ．960C ．－480D ．48058．(多选)已知923901239(25)(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x −=+−+−+−++− ，则下列结论成立的是A ．0191a a a +++=B ．876012382226256a a a a a +++++=C ．9012393a a a a a −+−+−= D ．123923918a a a a ++++=题型13 赋值求系数和59．若()42340123421x a a x a x a x a x −=++++，1234a a a a +++=________.60．若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x −=+−+−+−+−+−，则下列结论中正确的是（ ）A ．01a =B ．480a =C ．50123453a a a a a a +++++= D ．()()10024135134a a a a a a −++++=61．（多选）若202123202101232021(12)(R)x a a x a x a x a x x −=+++++∈，则（ ）A ．01220211a a a a ++++=−B ．20211352021312a a a a +++++=C ．20210242020132a a a a −++++= D ．123202123202112222a a a a ++++=− 62．已知5250125())(1)(1)(1)(x m a a x a x a x m R +=+−+−++−∈，若225024135()()3a a a a a a ++−++=则m ＝_________或_________.63．已知2323122202222312a a a a a x x x x x⎛⎫−=+++++ ⎪⎝⎭，则0121222221222a a a a ++++= A ．－1B ．0C ．1D ．2广东省二模T7改 64．已知2023220230122023(1)x a a x a x a x −=++++，（1）展开式中的二项式系数为________， （2）122023a a a =+++________，（3）2023202220210122023222a a a a =++++________，（赋值）（4）122023111a a a +++=________.（对称性）题型14 整除和余数问题 65．20233被8除的余数为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．766．二项式()20235x +展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ．67．108除以49所得的余数是 . 68．20242023被4除的余数为 .69．若2022n =，则1122155C 5C 5C n n n n n n n −−−++++除以7的余数是 .70．()2023678−除以17所得的余数为 .71．（多选）若()54325101051f x x x x x x =−+−+−，则（ ）A ．()f x 可以被()31x −整除B ．()1f x y ++可以被()4x y +整除C ．()30f 被27除的余数为6D ．()29f 的个位数为6题型15 二项式定理与杨辉三角72．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为（用最简分数表示）.73．如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前30项的和为（ ）A ．680B ．679C ．816D ．81574．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）A ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B ．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C ．记“杨辉三角”第n 行的第i 个数为i a ，则()11123n i ni i a +−==∑D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2:3题型16 二项式定理与数列75．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21N n n S a n =−∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2023nn n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.76．已知数列{}n a 的通项公式为121n n a −=+．求0121231C C C C nn n n n n a a a a +++++的值．77．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=−，514a =，426S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知011221C 3C 3C 3C 3C n n n n n n n n n n n b −−−=⋅+⋅+⋅++⋅+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .78．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()231n n S b =−，等差数列{}n c 中1123,5,27c c c c =++=. (1)求{}n b 和{}n c 的通项公式；(2)数列{}n b 与{}n c 的共同项由小到大排列组成新数列{}n a ，求数列}{n a 的前20的积20T . 79．已知数列{}n a 前n 项和232n n n S +=，{}n b 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式.(2)把数列{}n a 和{}n b 的公共项由小到大排成的数列为{}n c ，求1220c c c ++⋅⋅⋅+的值. 80．（多选）已知当0x >时，111ln 11x x x ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，则（ ） A ．188e 7>B ．1111ln8237++++> C ．111ln8238+++< D ．018888018C C C e 888+++<81．已知()20032001C 62nnnn a −⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭（1n =，2，⋯，95），则数列{}n a 中整数项的个数为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16专题8-2 二项式定理16类常考问题汇总题型1 求展开式中的指定项 题型2 求指定项的系数 题型3 二项式系数最大的项 题型4 展开式所有项系数和 题型5 展开式二项式系数和 题型6 三项展开式问题题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题 题型8 由项的系数或系数和确定参数 题型9 奇次项与偶次项的系数和 题型10 等式两边求导后求和 题型11 展开式系数最大的项题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑 题型13 赋值求系数和 题型14 整除和余数问题 题型15 二项式定理与杨辉三角 题型16 二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n ，都有：()011*()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N −−+=+++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b −+=，其中的系数(0,1,2,,)rnC r n =⋯叫做二项式系数 2、二项式()n a b +的展开式的特点：（1）项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； （3）次数：a ，b 次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即r n rn nC C −= （5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数1122,n n nnCC−+相等，且最大3、二项展开式的通项：1(0,1,2,,)r n r rr n T C a br n −+==公式特点：（1）它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是r n C ； （2）字母b 的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项 例：对于()n x a +（1）二项式系数之和为2n ，即012342n n nn n n n n C C C C C C ++++++=；（2）所有展开式系数和为(1)n b +，展开式为：()011*()n n n r n r rn nn n n n x b C x C x b C x b C b n N −−+=+++++∈，可以表示为：()1*01()n n n x b a a x a x n N +=+++∈，令1x =即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即02413512n n n n n n n C C C C C C −+++=+++=．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第1r +项r n r r n C a b −的二项式系数是组合数r n C ，展开式的系数是单项式r n r r n C a b −的系数，二者不一定相等．（2）()n a b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法(,,0p q r ≥的整数且)p q r n ++=()[()]()n n r n r r r qn r q q r n n n r a b c a b c C a b c C C a b c −−−−++=++=+=（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．题型1 求展开式中的指定项1．式子12(1)x −二项式定理展开中的第6项为 ． 【答案】7792x −【解析】由()121x −，所以二项展开式的通项公式()121211C rr rr T x −+=⋅−⋅，012r ≤≤，r ∈Z ， 令=5r ，可得展开式的第六项为()5775121792C x x ⋅−⋅=−. 2．二项式5312x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为（ ）A ．160B ．80x −C ．380x D ．740x −【解析】【答案】C 【分析】根据二项式展开式公式即可求解. 【详解】因为()51531C 2kkkk T x x −+⎛⎫=⋅− ⎪⎝⎭，所以()2323533180C 2T x x x ⎛⎫=⋅−=⎪⎝⎭，故C 项正确. 3．533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，有理项是第 项．【解析】【答案】3 【分析】求出二项式展开式的通项公式，根据有理项的含义，确定参数的值，即可得答案.【详解】533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项511051362155C 3C 3kkkk k k k T x x x−−−+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅， 其中0,1,2,3,4,5k =， 当1k T +为有理项时，1056k−为整数，结合0,1,2,3,4,5k =， 所以2k =，即有理项是展开式中的第3项4．6232x x −⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为 .重点题型·归类精练【答案】3【解析】展开式的通项为()2566633166C (2)(1)2C 0,1,2,,6rrr r r r rr T x x x r −−−−+⎛⎫=−=−= ⎪⎝⎭，要为有理项，则563r −为整数，故r 可取03,6,，共有3项有理项.题型2 求指定项的系数5．二项式5(2)x y −的展开式中，含2y 项的系数为 . 【答案】40【解析】二项展开式的通项为515C (2)r rr r T x y −+=−，令2r =，则2323235C (2)40T x y x y =−=.故答案为：40.6．在7(3)x −的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．21− B ．21 C ．189 D ．189−【解析】【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.【详解】由二项展开式的通项公式得11772277C 3()C 3(1)r r r r r r r x x −−−=−，令132r =得6r =，所以3x 的系数为667C 3(1)21−=.7．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150B.150C.－240D.240【答案】D【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6x 6－k ·(－2)k ·x －k2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240.8．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】162 5【解析】该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 【答案】162 5题型3 二项式系数最大的项9．已知二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n = . 【答案】6【解析】因为二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项， 所以n 为偶数且32n=，可得6n =. 10．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】【答案】C【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n 为偶数，故142n+=，得6n =.故选：C11．1nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .【答案】12120x【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即162n+=，所以10n =，所以317324101C 120T x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.12．在()1nx +的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 . 【答案】11、12、13【解析】在()1nx +的展开式中，每项的系数等于其二项式系数， ①当只有第7项系数最大时，即只有6C n 最大时，则n ＝12；②当第6项和第7项的系数相等且最大时，即56n n C C =最大时，则n ＝11；③当第7项和第8项的系数相等且最大时，即67C C n n =最大时则n ＝13，综合①②③可得n 的值可能等于11、12、13， 故答案为：11、12、13.题型4 展开式所有项系数和13．若32nx x 的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为（ ）A ．112B ．124C ．116D ．132【答案】D【解析】32nx x 的第4项为：())3353133223111C C 22n n n nT x x x −−−+⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因其为常数项，则5n =.令1x =，可得展开式的各项系数的和为5111232⎛⎫−=⎪⎝⎭. 14．在54(1)(12)x x ++−的展开式中，所有项的系数和等于 ，含3x 的项的系数是 ． 【分析】用赋值法，令1x =求所有项的系数和；分析含3x 的项的构成，直接求得.【详解】解：423450123455(1)(12)a a x a x a x a x a x x x =+++++++−所以令1x =代入得：401235554(11)(12)2133a a a a a a =++++−+++=+=； 而333333354(2)22a C x C x x x =+−=−故答案为：33；22−.15．若8231x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，其中a 为常数，则该展开式中4x −项的系数为【分析】由1x =结合所有项的系数和得出1a =，再由二项展开式的通项求解即可.【详解】因为 8231x a x ⎫⎪⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，所以)81256a =，解得1a =，由题意得 82311x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x −项的系数与8311x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的6x −项的系数相同.8311x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项()318C 0,1,2,,8r r r T x r −+==，令36r −=−，得2r =，所以展开式中 4x −项的系数为28C 28=. 16．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 【分析】令1x =，则()()3112a +−即为展开式中所有项的系数和，可计算出a 的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得.【详解】令1x =，则()()31120a +−=，即1a =−，则对31x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，有()()33321331C C 1kk k k kk k T x x x −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 令321k −=，即1k =，有()21123C 13T x x =−=，即有223T x x ⨯=， 令322k −=，则12k =，舍去； 故展开式中2x 的系数为3.题型5 展开式二项式系数和17．（多选）已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的第三项的系数为45，则（ ） A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项【解析】【答案】BCD 【分析】由二项式定理相关知识逐项判断即可.【详解】3241n x x 展开式的第三项为：2422232232223412431C C C n n n n nnT x xx xx −−−==⋅=，所以第三项的系数为：2C 45n =，所以10n =，故A 错误；所以103241x x ，所以令1x =得展开式中所有系数和为1021024=，故B 正确； 展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C 正确；通项公式为(102101130323412411010101C CC rr r r rr rr r T x xxxx −−−+==⋅=，令1130312r −=，解得6r =，所以含3x 的项是第7项.故D 正确； 故选：BCD.18．在32nx x ⎛ ⎝的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中7x 的系数为 （用数字填写答案）； 【答案】280【解析】依题意可得2128n =，则7n =，所以732x x ⎛ ⎝展开式的通项为()()()7217732177C 2C 21rr r r r r r r T x xx −−−+⎛==− ⎝（07r ≤≤且N r ∈）， 令72172r −=，解得4r =，所以()4437757C 21280T x x =⨯⨯−=，所以展开式中7x 的系数为280.19．若31nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中41x 的系数为 .【答案】56 【分析】通过二项式系数和求出4n =，然后求出831x x ⎫⎪⎭展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即可.【详解】由31nx x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数之和为16，得216n =，所以4n =，则831x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848331881C C rr rrrr T x x x −−+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令8443r −=−，解得=5r ，故231nx x ⎫⎪⎭的展开式中41x 的系数为58C 56=. 故答案为：5620．（多选）在()521x −的展开式中，则（ ） A ．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B ．所有项的系数和为0 C ．常数项为1−D ．所有项的二项式系数和为64 【分析】根据二项式系数015555C ,C ,,C 的性质即可判断AD ；根据项的系数之和为(1)f 即可判断B ；根据二项式展开式的通项公式即可判断C.【详解】A ：所有项的二项式系数为015555C ,C ,,C ，最大的为25C 和35C ，对应的是第3项和第4项，故A 正确；B ：设5()(21)f x x =−，所有项的系数为015,,,a a a ， 所以5015(1)(211)1a a a f +++==⨯−=，故B 错误；C ：二项式展开式的通项公式为55C (2)(1)(0,1,2,3,4,5)rr r x r −−=， 令50r −=，解得=5r ，所以常数项为5055C 2(1)1⋅⋅−=−，故C 正确； D ：所有项的系数之和为0155555C +C C 232++==，所以D 错误.故选：AC21．若2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的第一项为532x ，最后一项为51x −，则下列结论正确的是（ ）A ．5n =B ．展开式的第四项的二项式系数等于40−C ．展开式中不含常数项D ．展开式中所有项的系数之和等于32【解析】【答案】AC 【分析】通过()551C 232,C nnnnna x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭计算可判断A ；直接求第四项的二项式系数可判断B ；求出展开式的通项，观察后可判断C ；令1x =，计算可判断D. 【详解】选项A ：依题意有()0551C 232,C nnnnna x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，解得5,1n a ==−，所以A 正确；选项B ：展开式的第四项的二项式系数应为35C 10=，故B 错误；选项C ：512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的通项()()55521551C 21C 2rr r r r r rr T x x x −−−+⎛⎫=⋅−=− ⎪⎝⎭， 由于r ∈N ，所以520r −≠，因此展开式中不含常数项，故C 正确；选项D ：令1x =，可得展开式中所有项的系数之和等于512111⎛⎫⨯−= ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC.22．若()*31N nx n x ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．8C ．28D ．56【解析】【答案】C 【分析】根据31nx x ⎫⎪⎭的展开式中所有项的二项式系数之和求出n 的值，从而写出231nx x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式，再令x 的指数为0，即可求解常数项．【详解】由()*31N nx n x ⎫∈⎪⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得216n =，所以4n =，则二项式831x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为(848331881C C rr rrrr T x x x −−+⎛⎫== ⎪⎝⎭（08r ≤≤且N r ∈），令8403r−=，解得2r =， 所以238C 28T ==，故831x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为2823．在322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，若1056n n a b +=，则n =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】【答案】B 【分析】依题意可得2n n a =，令1x =得到4n n b ，从而求出n .【详解】由32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令1x =可得各项系数之和为4n n b ，又各二项式系数之和为2n n a =，因为1056n n a b +=，则421056n n +=，解得232n =或233n =−（舍去）， 所以5n =.题型6 三项展开式问题24．若0m ≠，且()622312112312x x m a a x a x a x a x −+=++++⋅⋅⋅+，则m 的值为 .【答案】6−【解析】由题意得()62x x m −+的展开式中的常数项与一次项系数相等，则()6156C 1m m =−，解得6m =−或0（舍去）.25．6(21)x y −+展开式中含2x y 项的系数为 ． 【解析】6(21)x y −+展开式中，含2x y 的项是：()221264C C 2120x y x y −=−.故答案为：120−26．()()6211x x x ++−的展开式中2x 的系数为（ ）A ．9B ．10C ．24D ．25【答案】B 解析：()()()()()66662211111x xx x x x x x ++−=−+−+−，所以2x 的系数为()()22106661110C C C −+−+=；故选B27．3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭中常数项是 ．（写出数字）【答案】11【解析】3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中当2x ，1x −，2对应的次数分别为0，0，3和1，2，0时即为常数，所以常数项为212331C 23811x x ⎛⎫−+=+= ⎪⎝⎭．28．()52x y z −+的展开式中，3x yz 的系数为 ． 【答案】40−【解析】()52x y z −+的展开式通项为()515C 2rr rr A x y z −+=−+， ()2ry z −+的展开式通项为()()1C 2C 2r kr kkk k r k k k rr B y z y z −−−+=⋅−=⋅−，其中05k r ≤≤≤，k 、N r ∈，所以，()52x y z −+的展开式通项为()51,15C C 2r kr kr r k k r k r T x y z −−−++=−，由题意可得5311r r k k −=⎧⎪−=⎨⎪=⎩，解得21r k =⎧⎨=⎩，因此，()52x y z −+的展开式中3x yz 的系数为()2152C C 240⨯−=−.29．已知()22121nx x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为27，则4x 项的系数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．15【分析】先由展开式中各项系数和为27，求出3n =，直接求出展开式，得到4x 项的系数.【详解】由题意可得：令x =1可得()12111271n ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭，解得：3n =.所以原式为()()()333222221121211x x x x x x x x x x ⎛⎫−++=⨯++−++ ⎪⎝⎭.要求4x 项，只需求出()321x x ++展开式中2x 和5x 项.()()()()()()()()()312332120212223233331C 1C 1C 1C 1x x x x x x x x x x ++=+++++++()()()3224613131x x x x x x =++++++ 65432367631x x x x x x =++++++所以()322121x x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项为45411239x x x x −⨯=.30．若()522100121022x x a a x a x a x −+=++++，则5a = ．【解析】【答案】592− 【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.【详解】()5222x x −+表示5个因数()222x x −+的乘积.而5a 为展开式中5x 的系数，设这5个因数()222x x −+中分别取2x 、2x −、2这三项分别取,,i j k 个，所以5i j k ++=，若要得到含5x 的项，则由计数原理知,,i j k的取值情况如下表：2x 2x − 2i 个j 个k 个 0 5 0 1 3 1 212由上表可知)()()()()531132143315554532222232320240592C C C C C a −−=−+⋅−⋅+⋅−⋅=−+−+−=−.故答案为：592−.题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题31．()()4212x x −+的展开式中2x 的系数为 （用数字作答）．【答案】8−【解析】由题意得：()42x +展开式的通项为：414C 2rrr r T x−+=，当42r −=时，即：2r =，得：222234C 224T x x ==， 当40r −=时；即：4r =，得：40454C 216T x ==，所以得：()()4212x x −+展开式中含2x 项为：22216248x x x −=−，所以2x 的系数为：8−.32．81()y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为 （用数字作答）．【答案】-28【分析】()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +−+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫−++−+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x −=−，()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为-28故答案为：-2833．712(1)x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．7−B ．7C ．77D ．77−【答案】B【解析】()71x −的展开式通项为()()177C 1C rrr rr r T x x +=⋅−=−⋅，故()7121x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为()()23237721C 1C 7⨯−+−= 34．6211(2)2x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【解析】【答案】A 【分析】由题意可得所求的展开式中2x 的系数为6(2)x −展开式二次项系数与四次项系数的一半的和.【详解】6(2)x −展开式的通项公式为()61612C rr r rr T x −+=−， 则原展开式中2x 的系数为()()24422466112C 12C 2702−⨯+⨯−⨯=.35．6(2)(2)x y x y −+的展开式中25x y 的系数是 ．（用数字填写答案） 【答案】108−【解析】666(2)(2)(2)22()x y x y x x y y y x −++=−+，所以展开式中含25x y 的项有556C 2x xy 和()24462C 2y x y −， 所以25x y 的系数为542662C 2C 212120108−⨯=−=−，故答案为：108−36．()3532()x x a −+的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数为（ ）A ．130−B ．46C ．61D ．190【答案】A【解析】令1x =，则5(1)243a +=，解得2a =.所以()3532(2)x x −+展开式中4x 的系数是：414553C 2(2)C 2130⨯⨯+−⨯⨯=−. 37．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x −+，则5a =（ ）A ．16B ．14C ．6−D ．10−【解析】【答案】C 【分析】将()51x +展开，观察345,x x x , 的系数，对应()22x −的展开相乘，相加得到答案.【详解】解析：由题意，()()()()255221441x x x x x −+=−++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x −⋅⋅055546C x x +⨯=−，所以56a =−，故选：C.题型8 由项的系数或系数和确定参数 38．设()2340123412nn n x a a x a x a x a x a x −=++++++，若0417a a +=.则n = .【答案】4【解析】()12nx −展开式的通项公式为：()C 2rr n x −，分别令0,4r r ==，01a ∴=，4416C n a =， 则0417a a +=，即4116C 17n +=，解得：4n =.故答案为：4.39．()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含7x 项的系数是（ ） A ．600− B ．840− C ．1080− D ．2040−【答案】D【分析】利用赋值法令1x =由各项系数之和为1可求得2a =，由通项可得展开式中含7x 项的系数是2040−. 【详解】因为()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1， 令1x =，得5(1)1a −+=，解得2a =，所以()52232x x −+的展开式中含7x 项为()()()()32332122375253C 2C 32C 2C 32040x x x x x −⨯+−=−，所以该展开式中含7x 项的系数是2040−.40．已知()12nx +的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则3123nx x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x 的系数为（ ） A ．294− B ．826− C ．840− D ．854−【答案】D【分析】第一步：根据已知求得n ，第二步：分类求展开式中1x的系数，第三步：求和即可得解. 【详解】由题知，121C C 29n n ++=，解得7n =或8n =−（舍去）．则72x x ⎫⎪⎭的展开式的通项()73721772C 2C rr r r rr r T x x x −−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，当313x +中取3时，72x x ⎫⎪⎭的展开式中取含1x 的项，令7312−=−r ，解得3r =，()37332C 840⨯−=−； 当313x +中取31x 时，72x x ⎫⎪⎭的展开式中取含2x 的项，令7322r −=，解得1r =，()172C 14−=−． 所以3123nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为84014854−−=−. 故选：D ．41．若()421ax x −+的展开式中5x 的系数为56−，则实数=a ．【答案】2【解析】()()442211ax x x ax ⎡⎤−+=+−⎣⎦,所以()421x ax ⎡⎤+−⎣⎦的展开式的通项为:()()()()2221444C C C C C rr tttrr t r t r tr r r T x ax x ax a x−−+=−=−=−， 其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==，令25r t −=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩， 当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3143C C 12a a ⋅⋅−=−， 当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()343344C C 4a a ⋅⋅−=−， 因为5x 的系数为56−，所以312456a a −−=−，即33140a a +−=，即()()22270a a a −++=，所以2a =.42．42x x ⎛⎫⎪⎝⎭−的展开式中的常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则a 的值为（ ）A ．3−B ．2−C ．2D ．3【解析】【答案】D【分析】计算出两个二项式的常数项，从而得到关于a 的方程，解出即可. 【详解】42x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中的常数项为22424C ()24x x −=，321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项032233321C C 3a x a x ⎛⎫+−=− ⎪⎝⎭, 所以3324a −=,即3a =43．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为 （用数字作答） 【答案】3− 【分析】令1x =，则()()3112a +−即为展开式中所有项的系数和，可计算出a 的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得.【详解】令1x =，则()()31120a +−=，即1a =−，则对31x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，有()()33321331C C 1kk k k kk k T x xx −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 令321k −=，即1k =，有()21123C 13T x x =−=−，即有223T x x ⨯=−，令322k −=，则12k =，舍去； 故展开式中2x 的系数为3−.44．5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．40B ．160C ．0D ．320【解析】【答案】C 【分析】取1x =代入计算得到1a =，确定512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的通项，分别取3r =和2r =计算得到答案.【详解】5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，令1x =，可知23a +=，1a =，故5551111221222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−=−+− ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的通项为()()55521551C 2C 21rr r r r rr r T x xx −−−+⎛⎫=⋅⋅−=⋅⋅− ⎪⎝⎭， 分别取3r =和2r =得到常数项为：()()32353252552C 21C 210−−⨯⋅⋅−+⋅⋅−= 45．（多选）在()()5312x x a −−的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32−C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242−【解析】【答案】BC【分析】先根据各项系数和结赋值法得2a =判断A ，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含4x 的系数及无理项系数之和判断BCD. 【详解】根据题意令1x =，得())5312x x a −的展开式中各项系数和为()511a −−=，则2a =，A 错误；则())()()553312122x x ax x −=−⋅，又)52x 的展开式的通项为()52152C k k k k T x −+=−，0,1,,5k =，所以展开式中的常数项为()55512C 32⨯−=−，B 正确；含4x 的项为()3334522C 160x x x −=⋅−，其系数为160，C 正确；展开式中无理项的系数之和为()()()()()024*********C 2C 2C 14080121⎡⎤−−+−+−=−++=−⎣⎦，D 错误. 故选：BC.46．已知()2nx y −的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52x y 项的系数为（ ）。
二项展开式
例.求展开式中系数最大项和最小项 解： 通项= 通项的系数= 设系数最大，则 解得：，因为，所以，故系数最大项为和 由于最大项在中间取得，所以最小项在两端，计算得：，故系数最小项为
求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行。 例.展开式中的常数项 解：展开式的通项=，令，解得 故常数项为：
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性质
（1）项数：n+1项 （2）第k+1项的二项式系数是 （3）在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。 （4）如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的 的二项式系数最大，并且相等。 （5）二项式通学归纳法对二项式定理进行证明 当， 假设二项展开式在时成立，设，则：
（取出的项） （设 ） （取出项） （两者相加） （套用帕斯卡法则） 等式也成立 结论：对于任意自然数n，等式均成立。
例题
系数最值项
某项的系数
指定项
求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点，每年的高考题都有一定的题出现。 例1.求的展开式中的系数 解：要取2个，故的系数是 例2.求的展开式中的系数 解：要取4个，故的系数是
二项式定理
其中，，又有等记法，称为二项式系数，此系数亦可表示为杨辉三角形。等式的右边即为的展开式，称为二 项展开式。
理解
将看成个相乘，从每个括号中取一项 (非即 )相乘的所有单项式合并同类项得到的，按取的个数分为类，不 取的是，取 1个的是，...，取个的是，...，取个的是
注意： （1）选取性，二项式的两项怎样选取 (各取几个)才能构成所求的项； （2）有序性，的展开式第项是取个 (同时取个 )，这里的和不能互换 （3）项、项的系数与二项式系数的区别 某项要把这一项全部写出来；某项的系数只写这一项的系数，不带字母 (即把每个字母当作数 1) ；某项的 二项式系数就是相应的组合数
高中试卷-专题28 二项式定理(含答案)
专题28 二项式定理一、单选题1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）A ．B ．C ．20D ．160【答案】A 【解析】展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为，故选：A.2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【解析】的二项展开式的通项为．令，解得．含的项的系数是．故选：B3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】D 【解析】612x x æö-ç÷èø160-20-612x x æö-ç÷èø()()()66621662112r r r r rr r r r T C x x C x ----+=××-×=-×××620r -=3r =612x x æö-ç÷èø368160C -×=-10212x x æö+ç÷èø11x 10212x x æö+ç÷èø2102031101011()22r rr r r r r T C x C x x --+æöæö==ç÷ç÷èøèø20311r -=3r =11x 33101152C æö=ç÷èø()522111x x æö+-ç÷èø3-4-展开式中的第项为，当，即时，此时；当，即时，此时.则.故选:D.4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】当取 时， 取8个，则，当 取时， 取7个，则，所以 .故选：A5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）A ．第项B ．第项C ．第项D ．第项【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为：，要使系数最大，则r 为偶数，且r 只可能从2，4，6中选，故，且，所以，且，所以，且，经验证：当时，符合，所以的展开式中系数最大的项为第五项，5211x æö-ç÷èø1k +()()52101552111kkkk k k k T C C x x --+æö=-=-ç÷èø2102k -=-4k =()44515C -=2100k -=5k =()55511C -=-514-=()()92100121011...x x a a x a x a x --=++++8a =45-2727-45()1x -1()91-x x 1891a C =-´()1x -x -()91-x x ()278911a C =-´´-()27189911145a C C =-´´--´=-()712x -4578()712x -()()17722+=-=-r rrr r r T C x C x ()()227722---³-rr rr C C ()()227722++-³-rr rr C C ()()()7!7!4!7!2!9!r r r r ´³×--×-()()()7!7!4!7!2!5!r r r r ³´×-+×-()()()41198³---r r r r ()()()()147621³--++r r r r 4r =()712x -6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A ．240B ．120C ．48D ．36【答案】A 【解析】由题意，解得，则，则二项式的展开式的通项公式为，令即，则.故选：A.8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5、6项D ．第6、7项【答案】A 【解析】因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等所以，所以所以展开式里系数最大的项是第6项()131x -11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-13(1)r rC -r 13(1)r rC -7r =121(2)n x x+264n=6n =1162211(2(2)n x x x x+=+1621(2)x x +6133622166122rrr r rr T C x C x x ---+æöæö=××=××ç÷ç÷èøèø3302r -=2r =6426622240r r C C -×=×=()nx y +()nx y +37n n C C =10n =二、多选题9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC 【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n ＝8或n ＝9故选：ABC .10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】CD 【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.故选：CD11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )A ．所有项的二项式系数和为32B ．所有项的系数和为0C ．常数项为D ．二项式系数最大的项为第3项【答案】BC 【解析】解：二项式展开式的通项为()na b +()na b +4n C 7n =1(nx x+27,n n C C 9n =91152-+=91162++=61x x æö-ç÷èø20-61x x æö-ç÷èø()66216611rr r r r r r T C x C x x --+æö=-=-ç÷èø令，解得，则常数项为，故C 正确；且二项式系数最大的项为第4项，故D 错误；二项式系数和；令，得所有项的系数和为0，故A 错误，B 正确；故选：BC12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】对于，因为，，所以，即正确；对于，，故正确；对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；对于，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故正确.故选：ABD620r -=3r =()3346120T C =-=-012345666666666264C C C C C C C ++++++==1x =mn mn nC C -=11m m n n mC nC --=111m mmn n n C C C +++=+()()()()22220122nn nn nn nC C C C C +++×××+=A !!()!mn n C m n m =-!!()![()]!!()!n m n n n C n m n n m m n m -==----m n mn n C C -=AB !(1)!!()!(1)!()!mn n n n mC m m m n m m m n m ×-=×=×-×-×-(1)!(1)![(1)(1)]!n n m n m -=×-×---11m n nC --=BC 1m n ==221C ==1112123C C =+=+=C D 2(1)(1)(1)n n n x x x +×+=+n x 011220nn n n n n n nn n n nC C C C C C C C --×+×+×++×L 001122n n n n n n n n n n C C C C C C C C =×+×+×++×L =0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L n x 2nn C ()()()()2222122n n nn n n n C C C C C +++×××+=D三、填空题13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.【答案】64【解析】在中，令可得，.所以故答案为：64.14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.【答案】【解析】由题得原式=.故答案为：15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是 【答案】40【解析】依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x 的项的系数是__________．【答案】128 84 【解析】由题意所有二项式系数的和为，题中二项式展开式通项公式为，令，，6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+0126a a a a +++×××+=6226016(1)x a a x a x a x +=+++×××+1x =()6012611a a a a +=+++×××+60126264a a a a +++×××+==012393n nn n n n C C C C ++++=L 4n 0011223333(13)4n n n nn n n n C C C C ++++=+=L 4n252(x x-4x ()()()52110315522rrrrr r r T C x x C x ---+=×-=-××1034,2r r -==4x ()225240C -×=722x x æö+ç÷èø72128=77317722(2r rrr r r r T C xC x x--+==731r -=2r =所以含x 的项的系数是．故答案为：128；84．四、解答题17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求（1）的值； （2）的值.【答案】（1）；（2）1093【解析】（1）令，则；（2）令，则①令，则②由①②得，即18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：（1）含的项；（2）二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）展开式的通项为，由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，，解得，则展开式通项为，227284C =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a ++¼+0246a a a a +++1-1x =()7017121a a a ++¼=--=1x =-0123672187a a a a a a -+-+¼+-=0x =01a =12372a a a a \+++¼=-+()02462218722185a a a a +++=-=2461092a a a =++0246110921093a a a a \+++=+=1nx x æö+ç÷èø454x 4120x 2521n x x æö+ç÷èø211n rr r rr n r nn T C x C x x --+æö=×=×ç÷èø45245n C =()1452n n -=2900n n --=n N *ÎQ 10n =210110rr r T C x-+=×令，解得，因此，展开式中含的项为；（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意知，又展开式的通项为：展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项所以，（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，也即在，，，中产生，而，， ，故系数最大的项为第5项20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（xn 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）,,．【解析】2104r -=7r =4x 744810120T C x x =×=5610252T C ==2nx ö-÷ø14280T x -=-525560T x-=525560T x-=34n n C C =7n \=72x ö÷ø()()773221777222rr rrr r r rr r r T C C xC x x ---+æö=-=-=-ç÷èø()793312472280T C xx--=-=-()71254422572560T C xx--=-=0r =2461T 3T 5T 7T 721T x =12384T x =525560T x -=1127448T x -=525560T x-=5n =51T x =2352T x =5516T x=二项式展开式的通项公式为，；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得，即,解得；（2）二项式展开式的通项公式为，；当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为,,．21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求系数最大的项．【答案】（1），，（2）和【解析】(nx 32112rrn r n rr r nn T C x C x--+æö=××=××ç÷èø()0,1,2r n =×××2121122nn C C æö×=×ç÷èø()111242n n n -=×5n =3521512rrr r T C x -+æö=××ç÷èø()0,1,2r n =×××0,2,4r =00551512T C x x æö=××=ç÷èø22532351522T C x x -æö=××=ç÷èø44565515216T C x x -æö=×=ç÷èøn +（1）∵由题设可知解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项据题意，必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r≤8∴ r=0，4，8，故x 的有理项为，，（2）设第r+1项的系数t r+1最大，显然t r+1>0，故有≥1且≤1∵， 由≥1得r≤3又∵，由≤1得：r≥2∴ r=2或r=3所求项为和22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或舍去．即n 的值为6．2nx æçèn 66032160x (2nx ()()01211222n n n n n C C C n -++=++=6n =7(n =-)2由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为．()36662166(2)2k k k k k k k T C x C x ---+==3602k -=4k =\1264642416260T C x --+==()3n Q .\936363223162160T C x x --+==。
二项式定理2项展开题-普通用卷
二项式定理2项展开题一、选择题（本大题共24小题，共120.0分）1.在的展开式中，第9项为A. B. C. D.2.二项式展开式中x的系数为A. 5B. 16C. 80D.3.在的展开式中，的系数是A. 160B.C. 120D.4.若，为有理数，则A. 45B. 55C. 70D. 805.在二项式的展开式中存在常数项，则n的值不可能为A. 12B. 8C. 6D. 46.在二项式的展开式中，常数项是A. B. 240 C. D. 1607.在二项式的展开式中，若前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项为A. B. 7 C. 16 D. 288.二项式的展开式中的常数项是第几项A. 10B. 11C. 12D. 139.若二项式的展开式中的系数是84，则实数A. B. C. D.10.的展开式中第3项的系数是A. B. 20 C. D.11.在二项式的展开式中，含项的系数等于320，则A. B. C. D.12.在的展开式中，项的系数是的系数与项系数的等比中项，则a的值是A. B. C. D.13.由()10032x展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有3+A. 50项B. 17项C. 16项D. 15项14.已知的展开式中常数项为，则常数A. B. C. 1 D.15. 在二项式()nxx 412+的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中 项的系数为A. 1B. 4C. 8D. 1616. 记的展开式中第m 项的系数为 ，若 ，则A. 5B. 6C. 7D. 8 17. 在 的展开式中， 的系数为 A. B. 120 C.D. 24018. 若展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于A. 8B. 16C. 80D. 7019. 二项式()6x123-2x的展开式中第4项的系数是A. 20B. 60C.D. 16020.的展开式中含x 的负整数指数幂的项数是A. 0B. 2C. 4D. 621. 二项式的展开式中第4项的二项式系数是A. 15B. 20C.D. 60 22. 的展开式中， 的系数为A. B. C. 5 D. 1023.的展开式中的一次项系数是A. 5B. 14C. 20D. 3524. 若的展开式 的系数为30，则a 等于A.B.C. 1D. 2答案和解析【答案】1. B2. C3. B4. C5. C6. C7. A8. B9. C10. D11. A12. B13. B14. C15. A16. A17. A18. D19. C20. C21. B22. B23. C24. D【解析】1. 解：的展开式的通项为，展开式项的第9项为，故选：B．利用二项展开式的通项公式求出通项，即可得出结论．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查了判断推理的能力，比较基础．2. 解：二项式展开式中x的项为，因此系数为80．故选：C．二项式展开式中x的项为，即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：在的展开式中，通项公式为，令，可得，故的系数是，故选B．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．4. 解析：由二项式定理得：，，，．故选C利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出，，求出本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．5. 解：二项式的展开式通项为，因为二项展开式中存在常数项，所以成立，所以n的值不可能为6；故选：C．求出展开式的通项，化简后，从x的指数分析解答．本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出展开式的通项，化简后从字母的指数进行分析．6. 解的展开式的通项公式为．令，解得，展开式的常数项为，故选：C先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．7. 解：二项式展开式的通项公式为，前三项的系数为，，，，解得，展开式的通项公式为，令，解得，则二项式展开式的常数项等于．故选：A利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；将n的值代入通项，令x的指数等于0，求出展开式的常数项．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．8. 解：二项式展开式的通项公式为，令，求得，展开式中的常数项是第项．故选：B．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中的常数项即可．本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题．9. 解：二项式的展开式中通项公式：．令，解得．的系数是，则实数．故选：C．利用二项式定理的通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 解：，，的展开式中第3项的系数是．故选：D．利用二项式定理的通项公式直接求解．本题考查二项展开式中第3项的系数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的通项公式的合理运用．11. 解：二项式的展开式中，含项，由通项公式，含项，．含有的项的系数为，可得：．则．故选：A．二项式的展开式中，含项，利用通项公式求出含有的项，可得系数，从而求出a，利用定积分公式求解即可．本题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及定积分公式的计算属于基础题12. 解：展开式的通项为：项的系数是，项的系数是，项的系数是项的系数是的系数与项系数的等比中项故选B．先写成展开式的通项，进而可得项的系数，利用项的系数是的系数与项系数的等比中项，可建立方程，从而求出a的值．本题以二项式为载体，考查展开式的通项公式，考查等比中项，解题的关键是正确写出二项展开式的通项．13. 解：根据题意，的二项展开式为，若x的系数为有理数，即为有理数，则为2的倍数，r为3的倍数，设，则为2的整数倍，分析可得，有17个符合条件，故选B．根据题意，可得的二项展开式，若x的系数为有理数，即为有理数，则为2的倍数，r为3的倍数，设，则为2的整数倍，分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，注意整数的整除的有关性质，仔细进行分析．14. 解：由于的展开式的通项公式为，零，求得，可得展开式的常数项为，再根据展开式中常数项为，可得，求得，故选：C．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15. 解：由题意可得、、成等差数列，，解得．故展开式的通项公式为，令，求得，故该二项式展开式中项的系数为，故选：A．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于，求得r的值，即可求得展开式中项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．16. 解：的展开式中第m项的系数为，若，可得，可得，解得．故选：A．直接利用二项式定理的通项公式表示方程，求解即可．本题考查二项式定理的应用，考查计算能力．17. 解：在的展开式中，通项公式为：，令，得展开式中的系数为．故选：A．根据二项展开式的通项公式，得出展开式中的系数即可．本题考查了二项式定理的应用问题，考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．18. 解：展开式的通项为当得第四项的系数为当得第六项的系数为据题意知所以所以通项为令得故展开式的常数项为故选D利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出第四项与第六项的系数，列出方程，求出n，令通项中的x为0，求出展开式的常数项．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．19. 解：二项式的展开式中第4项为，故第4项的系数是，故选：C．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．20. 解：的展开式的通项公式为，令为负整数，可得，，，，故共有4项满足含x的负整数指数幂，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于负整数，求得r的值，即可求得展开式中含x的负整数指数幂的项，从而得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．21. 解：二项式的展开式的第4项的二项式系数为，故选B．二项式的展开式的第4项的二项式系数为，根据二项式定理进行运算求得结果．本题主要考查二项式系数的定义和性质，组合数公式的应用，属于基础题．22. 解：的通项公式为：，令，得；令，得；的展开式中的系数为：．故选：B．利用二项式定理的通项公式，即可得出展开式中的系数．本题考查了二项式定理的通项公式应用问题，是基础题．23. 解：的展开式的通项公式为，令，解得；令，无解，舍去．的展开式中的常数项为，无一次项，所以的展开式中的一次项系数为20，故选：C．的展开式的通项公式为，令，解得；令，无解，舍去即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24. 解：展开式的通项公式为：；令，解得，所以项的系数为；令，解得，所以项的系数为；所以的展开式中的系数为：，解得．故选：D．根据题意求出展开式中含项、项的系数，得出的展开式中的系数，再列出方程求出a的值．本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题目．。
二项式展开简单计算例题
二项式展开简单计算例题
嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠二项式展开简单计算例题。
比如说，咱有个二项式 (a+b)^2，这可太常见了吧！那它展开是啥呢？嘿，不就是 a^2 + 2ab + b^2 嘛！这就好像是你有两个盒子，一个盒子里装着 a，一个盒子里装着 b，把它们俩组合起来能得到啥，不就是上面那些嘛！
再来看个稍微复杂点的，(x+2y)^3。
哇哦，这可有点挑战性了呢！但别怕呀，咱们一步一步来。
它展开就是 x^3 + 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 +
(2y)^3，算出来就是 x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 呀！就好比你在搭积木，一块一块往上堆，最后就搭出了这么个“成果”。
还有哦，(2+x)^4 呢？这就像是你有一堆 2 和几个 x 要组合起来，展开后就是 16 + 32x + 24x^2 + 8x^3 + x^4。
你看，这不就清楚明白啦！
咱再来个实际例子感受感受。
假设你有个任务，要计算 (3+4)^2，那多简单呀，不就是3^2 + 2×3×4 + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49 嘛！这就像是你要去完成一个小目标，按照步骤一步一步走，最后就能成功啦！
同学们，二项式展开其实并不难呀，只要掌握了方法，多练几道题，那还不是信手拈来呀！别害怕，大胆去尝试，就像游戏闯关一样，每过一关都超有成就感的呢！加油哦，我相信你们都能学会的，难道不是吗？。
二项式展开题
二项式展开题二项式展开是代数中的一种基本运算，它可以将一个二次多项式展开成一个具有特定项数的多项式。
本文将介绍二项式展开的定义、展开公式和应用。
一、二项式展开的定义在代数中，二项式展开是指将一个形如(a + b)^n的二次多项式展开成一个具有特定项数的多项式的过程。
其中，a和b为实数或变量，n为非负整数。
二、二项式展开公式二项式展开可以使用二项式定理来计算，该定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, k)表示组合数，可以用以下公式计算：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式展开的应用1. 勾股定理证明二项式展开可以用来证明勾股定理，即直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
我们可以通过将(a + b)^2展开为a^2 + 2ab + b^2，并与勾股定理的形式比较，得出两者相等的结论。
2. 组合数学二项式展开在组合数学中有广泛的应用。
组合数表示从n个不同元素中选择k个元素的方式数，可以用二项式展开中的组合数来计算。
例如，当n为非负整数时，组合数可以表示为：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)这个公式可以通过二项式展开中的组合数定义得到。
3. 概率论在概率论中，二项式展开可以用来计算二项分布。
二项分布描述了在多次独立重复试验中成功次数的分布。
例如，投掷一枚硬币n次，正面朝上的次数服从二项分布。
二项式展开可以通过组合数来计算二项分布的概率。
四、总结二项式展开是将一个二次多项式展开成一个具有特定项数的多项式的过程。
通过二项式展开公式，并结合组合数的计算，可以应用于勾股定理证明、组合数学和概率论等领域。
掌握二项式展开的方法和应用，有助于理解代数运算的基本原理，并在实际问题中进行应用和推导。
专题03 二项式展开式的应用-2021年高考数学(理)母题题源系列(新课标3专版)(解析版)
母题三 二项式展开式的应用【母题原题1】【2017全国卷Ⅲ，理10】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【考点】二项展开式的通项公式【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查二项式定理的通项公式及其应用，要求同学们熟练掌握并灵活应用二项式定理的通项公式，考查分类讨论的数学思想.第一步：考查()52x y -的展开式的通项公式 其通项公式为()()515C 2rrr r T x y -+=-，通项公式是后面进行讨论和计算的基础；第二步：结合代数式的整体进行考查 结合题意可知，需要考查2,3r r == 两种情形，据此分类讨论即可求得33x y 的系数. 【方法总结】1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现这样几个特点 （1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。
指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。
如果是()n a b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。
二项式系数是展开式通项公式中的rn C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。
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二项式展开式专题一、基础知识：1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r rn nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。
指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。
如果是()n a b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,nn n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。
对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。
所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。
而二项式系数便是这个组合问题的结果。
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。
二项式系数是展开式通项公式中的r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。
而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。
例如：()521x +展开式中第三项为()3223521T C x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()3223352180T C x x =⋅⋅= 化简后的结果80为该项的系数（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。
例如()51x + 展开式的第三项为 ()322351T C x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为103、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如212,5x x就是有理项，就不是有理项。
4、()na b +与()na b -的联系：首先观察他们的通项公式：()n a b +：1r n r r r n T C a b -+= ()n a b -：()()'11r rr n r r n r r r n n T C a b C a b --+=-=-两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。
其绝对值相等。
所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题5、二项式系数的最大值：在01,,,n n n n C C C 中，数值最大的位于这列数的中间位置。
若n 为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如5n =时，最大项为2355C C =，若n 为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如6n =时，最大项为36C证明：在01,,,n n n n C C C 中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为rn C ，则有()()()()()()11!!11!!1!1!1!!11!!11!1!r r n n r r n n n n r n r r n r C C r n r n n C C r n r n r r r n r -+⎧⎧≥≥⎪----⎡⎤⎪⎧≥⎪⎪⎣⎦⎪+-⇒⇒⎨⎨⎨≥⎪⎩⎪⎪≥≥⎪⎪--+⎩+-+⎡⎤⎣⎦⎩ 所以解得：1212n r n r +⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩即1122n n r -+≤≤ 所以当n 为奇数时（21n k =-），不等式变为1k r k -≤≤，即1r k =-或r k =为中间项当n 为偶数时（2n k =），不等式变为11+22k r k -≤≤，即r k =为中间项 6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要计算所得，大致分为两种情况：()__n+型：不妨设项1r T +的系数为1r P + ，则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要比相邻项大，所以有112r rr r P P P P +++≥⎧⎨≥⎩，再根据通项公式代入解不等式即可()__n-型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一种是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。
即1113r r r r P P P P +-++≥⎧⎨≥⎩，在运算上较为复杂；一种是先考虑系数绝对值的最大值，从而把问题转化为()__n+的最大值问题，然后在考虑符号确定系数最大值。
例1：二项式82x ⎛- ⎝展开式中的常数项是_________方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令x 的指数为0，求出r 的值再代入计算即可解：()88118331881122rrrr rr rrr x T C x C xx-----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭依题意可得：18063r r r --=⇒=∴ 常数项为()266781172T C ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭方法二：思路：对82x ⎛- ⎝中的8个2x ⎛ ⎝因式所出的项进行分配，若最后结果为常数项，则需要两个式子出2x，六个式子出-所以常数项为：622872x C ⎛⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝答案：7小炼有话说：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，先化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出r 的值，进而求解；二是分析展开式中每一项构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方案，将其作为一个组合问题求解。
例2：在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是____________ 思路一：考虑二项展开的通项公式：()()()626211231666rrr r r r r r r T C x x C x C x -----+===由所求可得：12333r r -=⇒= 3334620T C x x ∴==思路二：可将其视为6个因式出项的问题，若要凑成3x ，需要3个2x ，3个1x所以该项为：()333236120C x x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭答案：20小炼有话说：利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式，结合条件求出r 的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。
例3：若二项式71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第四项等于7，则x 的值是____________思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式：7171r rrr T C xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，第四项中3r =，3344717T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得：15x =- 答案：15x =-例4：已知91x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为212-，则实数a 的值为__________思路：先利用通项公式求出3x 的项，在利用系数的条件求出a 的值即可 解：99219911r rr rr rr T C xC x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9233r r ∴-=⇒= 3333493184T C x x a a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭3842122a a ∴=-⇒=- 答案：2a =-例5：已知二项式2()n x x+的展开式中各项二项式系数和是16，则展开式中的常数项是____思路：要想求得展开式的某项，首先要先确定n 的取值，先利用二项式系数和求出n ：216n =即4n =，再求42()x x+展开式的常数项为2224224C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭答案：24例6：()()5211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数为___________思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得4x ，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以()21x x ++为例） 1：()21x x ++出1，则()51x -出4x ，该项为：()4445115C x x ⋅⋅⋅-=2：()21x x ++出x ，则()51x -出3x ，该项为：()33245110x C x x ⋅⋅⋅-=-3：()21x x ++出2x ，则()51x -出2x ，该项为：()222345110x C x x ⋅⋅⋅-=综上所述：合并后的4x 项的系数为5例7：()1021x x -+ 展开式中3x 项的系数为（ ）A. 210-B. 210C. 30D. 30-思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成3x 有以下几种可能：（1）：1个2x ，1个()x -，8个1，所得项为：()1218831098190C x C x C x ⋅-⋅=- （2）：3个()x -，7个1，所得项为：()337731071120C x C x -⋅=-所以3x 项的系数为210- 答案：A例8：二项式24展开式中，有理项的项数共有（ ）项A. 3B. 4C. 5D. 7思路：有理项是指变量的指数是整数，所以考虑从通项公式入手：242411364242424rrr r r C x x C x---⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,1,2,,24r =，r 的取值只需要让364r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项 小炼有话说：在整理通项公式时可将x 的根式（或倒数）转化为分数指数幂，方便进行化简。
例9：二项式()821x +展开式中系数最大的项为___________思路：考虑()821x +展开式的通项公式为88182r r r r T C x --+=，其系数设为1r P +，即818=2rrr P C -+，若要1r P +最大，则首先要大于相邻项，即112r rr r P P P P +++≥⎧⎨≥⎩ ，代入解得r 的范围即可确定出r 的值，从而求出该项 解：()888188212rr r r r r r T C x C x ---+=⋅= 设1r T +项的系数为818=2r r r P C -+若1r P +最大，则()()81818818+18+112882222r r rr r r r r r r r r C C P P P P C C ----+--++⎧≥≥⎧⎪⇒⎨⎨≥≥⎩⎪⎩ ()()()()()()89878!8!1222!8!1!9!98!8!2122!8!1!7!81r r r r r r r r r rr r r r r r ----⎧⎧≥≥⎪⎪---⎪⎪-∴⇒⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪-+--+⎩⎩解得：23r ≤≤ 2r ∴=或3r =∴经检验：系数最大的项为5341792T T x ==。