95静电场的环路定理解析
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的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
2、点电荷系的电场
根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷 场强的叠加
E E1 E2
则点电荷系的电场力所作的功为
W q0 E dl q0 E1 dl q0 E2 dl
四、电势
1、电势
q0
AB
v E
v dl
W A
WB
比值 WA/ q0与q0无关，只决定于电场的性质及 场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质
的物理量，可以称之为电势。
静电场中带电体所具有的电势能与该带电 体的电量的比值定义为电势。
VA WA / q0
VB WB / q0
VA
W
B
q0
E dl
q0U AB
q0 VA
VB
A
五、点电荷电场的电势
V E dl Edr
r
r
q
4 0r
2
r
dr
V q
4 0r
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
六、电势叠加原理
1、点电荷系电场的电势
电场由几个点电荷q1，q2，…，qn产生
E Ei
V E dl Ei dl
＝ Ei dl＝Vi
点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电 荷单独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫
做静电场的电势叠加原理。
2、连续分布电荷电场的电势
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
线分布
dl
V
l 4 0r
面分布
dS
V S 4 0r
体分布
V
V
dV 4 0r
dq
r
P
七、电势的计算
计算电势的方法有两种：
•1、利用电势的定义式
v v
VA
E dl
A
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限 的空间时，才能选无穷远点的电势为零；
ADC
ABC
电场力作 功
与路径无 关
W＝q0 E dl＝0
E
dl＝0
定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电 场强度的环流。
静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的 环流为零。
三、电势能
电荷在电场的一定位置上，具
B
有一定的能量，叫做电势能。
静电场力对电荷所作的功等
于电势能增量的负值。
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
步骤
(1)把带电体 分为无限多dq
(2)由dq d
(3)由d = d
例题1 均匀带电圆环轴线的电势。
已知电荷q 均匀地分布在半径为R的圆环上， 求圆环的轴线上与环心相距x 的点的电势。 解：在圆环上取一电荷元
E dl
AB
VB
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和 电势为零
v v
VA
E dl
A
•电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单 位正电荷的电势能
•电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷 从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
积分路径上的电场强度的函数形式要求已知 或可求。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
l
l
l
每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与 路径无关。
3、任意带电体电场
任意连续带电体都可以看成由许多点电荷组成的 点电荷系，因而在连续带电体产生的电场中，我 们一样会得出
电场力所作的功与路径无关！
4、结论
在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场
力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终 了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。 静电场力也是保守力，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，
电场力所作的功为
W＝ q0E dl＝q0 E dl
l
l
W＝q0 E dl q0 E dl
ABC
CDA
E dl E dl
C B
AD
CDA
பைடு நூலகம்
ADC
q0 E dl q0 E dl
复习
9-3、4 电场线 静电场的高斯定理
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律 • 高斯定律应用举例
9-5 静电场的环路定理
一、静电场力所作的功
1、点电荷电场
点电荷Q固定于原点O，试验 电荷q0在Q的电场中由A点沿 任意路径ACB到达B点，取
微为元ddlW，电 场F力 dl对q0q的0 E元 d功l
v E
1
4 0
Q r2
evr
B
rB
r
dr rC
dl
er
E
Q rA A
dW
1
4 0
Qq0 r2
evr
v dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差，
称为电势差，也叫电压。
Bv v
U AB VA VB
E dl
A
静电场中任意两点A、B之间的电势差，在数值 上等于把单位正电荷从点A移到点B时，静电场 力所作的功。
A
WAB (WB WA ) WA WB
vv
q0
E dl
AB
WA WB
电势能的参考点选择是任意的，若选B点为参考 点，则WB=0，则电场中任一点A点的电势能为：
参考点 v v
WA q0 A E dl
结论：试验电荷q0在电场中点A的电势能，在取 值上等于把它从点A移到到零电势能处的电场力 所作的功。
其所经历的路径无关。
2、点电荷系的电场
根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷 场强的叠加
E E1 E2
则点电荷系的电场力所作的功为
W q0 E dl q0 E1 dl q0 E2 dl
四、电势
1、电势
q0
AB
v E
v dl
W A
WB
比值 WA/ q0与q0无关，只决定于电场的性质及 场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质
的物理量，可以称之为电势。
静电场中带电体所具有的电势能与该带电 体的电量的比值定义为电势。
VA WA / q0
VB WB / q0
VA
W
B
q0
E dl
q0U AB
q0 VA
VB
A
五、点电荷电场的电势
V E dl Edr
r
r
q
4 0r
2
r
dr
V q
4 0r
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
六、电势叠加原理
1、点电荷系电场的电势
电场由几个点电荷q1，q2，…，qn产生
E Ei
V E dl Ei dl
＝ Ei dl＝Vi
点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电 荷单独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫
做静电场的电势叠加原理。
2、连续分布电荷电场的电势
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
线分布
dl
V
l 4 0r
面分布
dS
V S 4 0r
体分布
V
V
dV 4 0r
dq
r
P
七、电势的计算
计算电势的方法有两种：
•1、利用电势的定义式
v v
VA
E dl
A
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限 的空间时，才能选无穷远点的电势为零；
ADC
ABC
电场力作 功
与路径无 关
W＝q0 E dl＝0
E
dl＝0
定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电 场强度的环流。
静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的 环流为零。
三、电势能
电荷在电场的一定位置上，具
B
有一定的能量，叫做电势能。
静电场力对电荷所作的功等
于电势能增量的负值。
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
步骤
(1)把带电体 分为无限多dq
(2)由dq d
(3)由d = d
例题1 均匀带电圆环轴线的电势。
已知电荷q 均匀地分布在半径为R的圆环上， 求圆环的轴线上与环心相距x 的点的电势。 解：在圆环上取一电荷元
E dl
AB
VB
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和 电势为零
v v
VA
E dl
A
•电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单 位正电荷的电势能
•电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷 从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
积分路径上的电场强度的函数形式要求已知 或可求。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
l
l
l
每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与 路径无关。
3、任意带电体电场
任意连续带电体都可以看成由许多点电荷组成的 点电荷系，因而在连续带电体产生的电场中，我 们一样会得出
电场力所作的功与路径无关！
4、结论
在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场
力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终 了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。 静电场力也是保守力，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，
电场力所作的功为
W＝ q0E dl＝q0 E dl
l
l
W＝q0 E dl q0 E dl
ABC
CDA
E dl E dl
C B
AD
CDA
பைடு நூலகம்
ADC
q0 E dl q0 E dl
复习
9-3、4 电场线 静电场的高斯定理
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律 • 高斯定律应用举例
9-5 静电场的环路定理
一、静电场力所作的功
1、点电荷电场
点电荷Q固定于原点O，试验 电荷q0在Q的电场中由A点沿 任意路径ACB到达B点，取
微为元ddlW，电 场F力 dl对q0q的0 E元 d功l
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1
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在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差，
称为电势差，也叫电压。
Bv v
U AB VA VB
E dl
A
静电场中任意两点A、B之间的电势差，在数值 上等于把单位正电荷从点A移到点B时，静电场 力所作的功。
A
WAB (WB WA ) WA WB
vv
q0
E dl
AB
WA WB
电势能的参考点选择是任意的，若选B点为参考 点，则WB=0，则电场中任一点A点的电势能为：
参考点 v v
WA q0 A E dl
结论：试验电荷q0在电场中点A的电势能，在取 值上等于把它从点A移到到零电势能处的电场力 所作的功。