95静电场的环路定理解析
合集下载
9-5-静电场的环路定理解析
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差， 称为电势差，也叫电压。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
E
1
4 0
Q r2
er
B
Q
rB
r
rA
dr C r
A
dl
er
E
dW
1
4 0
Qq0 r2
er
dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
V
p 3xy
Ey
y
4 0
x2 y2 5/2
-q
+q
电偶极子的延长线上 y 0
2p 1
E x 4 0 x 3
静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
02静电场的环路定理
A
1 1 dr ( ) 2 4 0 RA RB 4 0 r RA
RB
q
q
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc U o U c
d
0
0
q q a ( ) 4 0 3 R 4 0 R q
q
b
c
R
i
q0
b
a
b E1 dl ＋q0 E2 dl ＋
a
q i i 40
1 1 r r bi ai
静电场力做功与路径无关，静电力是保守力
二、静电场的环流定理
—静电力做功与路径无关的数学表述 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线 积分等于零。
q0 E dr
Aa b
b
a
qq0 dA 40
dr ra r 2
rb
qq 0 1 1 4 0 ra rb
推广： 任意带电体产生的电场： b Aa b q0 E dl
a
q0
b
a
( E i ) dl
例：求半径为R、带电量为Q的球面在球心O 处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 40 R 40 R 40 R
好
(2):
U
E dl 0
E dl R
R E dl R E dl 0
求：E
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
解：U p
4 r
0
1 1 dr ( ) 2 4 0 RA RB 4 0 r RA
RB
q
q
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc U o U c
d
0
0
q q a ( ) 4 0 3 R 4 0 R q
q
b
c
R
i
q0
b
a
b E1 dl ＋q0 E2 dl ＋
a
q i i 40
1 1 r r bi ai
静电场力做功与路径无关，静电力是保守力
二、静电场的环流定理
—静电力做功与路径无关的数学表述 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线 积分等于零。
q0 E dr
Aa b
b
a
qq0 dA 40
dr ra r 2
rb
qq 0 1 1 4 0 ra rb
推广： 任意带电体产生的电场： b Aa b q0 E dl
a
q0
b
a
( E i ) dl
例：求半径为R、带电量为Q的球面在球心O 处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 40 R 40 R 40 R
好
(2):
U
E dl 0
E dl R
R E dl R E dl 0
求：E
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
解：U p
4 r
0
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电场的环流定理的内容
静电场的环流定理一、静电场和环流定理的定义静电场是指空间中存在电荷而产生的电场。
电场又分为静电场和动态电场，前者指的是电荷分布不随时间变化的电场，而后者则是电荷随时间变化的电场。
环流定理是电磁学中的一个重要定理，描述了电场的环流与电荷分布的关系。
根据环流定理，静电场中的环流的散度等于该区域内的总电荷。
二、环流定理的数学表达根据环流定理，可以得到如下的数学表达式：∮ B · dl = μ0 * I其中，∮ B · dl 是环流的散度，B 是磁感应强度，dl 是环流的线元，μ0 是真空中的磁导率，I 是穿过环流的电流。
三、环流定理的推论根据环流定理，可以推导出一些重要的结论：1.根据环流定理，若给定一个闭合回路，计算回路上所有磁感应强度的环流，得到的结果应等于该回路内的总电流。
2.推论1可用于计算磁场中线圈、电流环等磁电感应问题。
3.根据环流定理，可以得到一个磁场引起的环流的流向规律：在磁场中，从磁场线进入某一导体，必然在导体上形成一环流；反过来，如果存在一个环流，那么必定有相应的磁场存在。
4.对于任意给定的闭合环路，环流定理成立，无论回路形状如何，只要该环路内没有电流，则回路上的环流必为零。
以上是环流定理的一些重要推论，它们在电磁学的研究中起到了重要的作用。
四、环流定理的应用举例环流定理作为一种基本的电磁学理论，在解决实际问题中具有广泛的应用。
下面举例说明环流定理在不同情境下的应用。
1. 电感与感应电流当一个电流在某个线圈中产生磁场时，环流定理可用于计算该线圈中的磁感应强度以及从其他线圈中感应出的电流。
2. 磁铁磁场的计算环流定理可用于计算磁铁周围空间的磁场分布。
通过将磁铁分解成若干小线圈，再计算各小线圈对周围空间的贡献，最终得到整个磁铁的磁场分布。
3. 静电场中的电场强度计算环流定理可以用于计算静电场中的电场强度分布。
通过选择一个闭合回路，计算回路上电场强度的环流，可以得到回路内的总电荷分布情况。
简述静电场的环路定理
简述静电场的环路定理静电场的环路定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了静电场中电场强度的分布以及其与电荷分布之间的关系。
本文将对静电场的环路定理进行简述，重点介绍定理的含义和应用。
静电场的环路定理，又称为库仑定律或环路定理，是由法国物理学家库仑在18世纪末提出的。
定理的核心思想是在闭合路径上，电场强度沿着路径的积分等于路径内电荷的代数和与真空介电常数的乘积。
简单来说，静电场的环路定理可以用以下公式表示：∮E·dl = q/ε₀其中，∮E·dl表示电场强度沿闭合路径的环路积分，q表示路径内的总电荷，ε₀表示真空介电常数。
根据静电场的环路定理，可以推导出一些重要的结论和应用。
首先，对于闭合路径上没有电荷的情况，环路积分必然等于零。
这意味着在没有电荷存在的区域，电场强度沿着任意闭合路径的环路积分都等于零。
这个结论可以用来验证电场的无旋性，即电场强度的旋度为零。
对于闭合路径上存在电荷的情况，环路积分不等于零。
根据路径内电荷的正负情况以及电场强度的方向，可以确定环路积分的正负。
如果路径内的总电荷为正，则环路积分为正，表示电场强度沿路径的方向与路径的方向一致；如果路径内的总电荷为负，则环路积分为负，表示电场强度沿路径的方向与路径的方向相反。
静电场的环路定理可以应用于计算电场强度、电势差等物理量。
例如，在计算电场强度时，可以通过选择合适的闭合路径，利用环路定理求解电场强度的大小和方向。
在计算电势差时，可以利用环路定理将电场强度的环路积分转化为电势差的差值，从而简化计算过程。
静电场的环路定理还可以应用于电场的分布和电势的计算。
通过选择合适的闭合路径，可以根据路径内的电荷分布和已知的电场强度，求解路径上任意点的电场强度和电势。
同时，环路定理也为电场强度的计算提供了一种简便的方法，避免了直接积分计算的繁琐过程。
静电场的环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。
高等物理静电场环路定理
a
a 20
V Edl Edr pp
p
R
z
1q
y
4 0 r
xz
2 ) 定义法:
1
Vp
4 0r
dq
q
qx
x 40(R2x2)3/2dx
q 4
0
1 (R2 x2)1/2
x
o q
4 0 R2 x2
特例:
★若x = 0，
得：Vp
q
40R
W A B q 0 A B E d l E p A E p B ( E p B E p A )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。 若选 B 点为电势能零点，则
B
E P A q 0A E d l q 0A B E d l
E内 0
p
R
q
z
x
z
4 0 R2 x2
V 0
场强分布
电势分布
q
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
。
解∶由高斯定理得：
p
E外
1 4 0
Q r2
1 V
40
dV
r
1）对球内的一点P，其电势为:
r
r dWFdlq0Edl
Q
p
VEdr drrC
q0Q
1 (1)
20 20
4 0 r ra
2、电势、电势差 ：
V dV （1）、定义：
电势的物理意义：
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
静电场环路定理
方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r＜ R
P
r＞ R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习： 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
静电场的环路定理
V
1 4πε0
dq r
4 静电场力的功计算
WAB EPA EPB q(VA VB )
例、如图所示，已知边长为a的正方形顶点 上有四个电量均为q的点电荷，求：
①正方形中心O点的电势Uo。
②将试验电荷q0从无穷远处移到正方形中
心O点时，电场力所作的功。 q
q
q
UO 4 4 0 ( 2a / 2)
解
dVP
1 4πε0
dq r
1
VP 4πε0r dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x
Px
4πε0 x2 R2
例2 真空中有一电荷为Q、半径为R的
均匀带电球面. 试求 （1）球面外任意点A的电势； （2）球面内任意点B的电势.
oB
R
rB
A r
rA
0 r R
解
E
Q
4ε0r 2
rR
（1）r R
E dl
B
A E dl
B
EpB E
VB
电势零点的选取：
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
E dl
A
物理意义： 把单位正试验电 荷从点A移到无限远 处时静电场力作的功.
q0 A EVpAA
B
EVpBB
E
3. 电势差
B
U AB VA VB
E dl
a
O
q
q
A
q0
(U
UO
)
4
4
qq0 0 ( 2a
/
2)
课堂练习 求均匀带电细杆延长线上一点P的电势。已知 q ,L, a
1.4.1静电场的环路定理
静电场力所作的功静电场的环路定理保守力
其中
则
与路径无关一、静电场力所作的功
推广
i ib ia
i n )r r (q q A A A 1140021 (与路径无关)结论
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
二、静电场的环路定理
a
b c
d 即静电场力沿任一闭合路径移动电荷所作的功为零q 0 沿闭合路径acbda 一周电场力所作的功
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
——静电场的环路定理
静电场的两个基本性质：有源且处处无旋总结
高斯定理
0i q E dS 有源场，电场线有头有尾
环路定理无旋场，保守力场。
静电场的环路定理
静电场的环路定理
➢ 本节的研究目的
研究ห้องสมุดไป่ตู้电场的旋度特性
➢ 本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场； 静电场的电力线不可能是闭合曲线；
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
分析：对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明：两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零； 静电场是保守力场，位场； 静电场中电场力作功与路径无关；
本节要点
➢ 本节的研究目的 研究静电场的旋度特性；
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理
➢ 本节的研究目的
研究ห้องสมุดไป่ตู้电场的旋度特性
➢ 本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场； 静电场的电力线不可能是闭合曲线；
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
分析：对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明：两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零； 静电场是保守力场，位场； 静电场中电场力作功与路径无关；
本节要点
➢ 本节的研究目的 研究静电场的旋度特性；
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理
静电场的环路定理 电势
E2
B
AAB q0
A i 1
n n qq 1 B 1 Ei dl qo Ei dl 0 i ( ) A rAi rBi i 1 4πε0 i 1
试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所做的功只与试探 3 电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关 .
0
13
[ 例1] 均匀带电球面场中电势分布（
q ， R）
q
由高斯定理
o R
E
P r
E
E
0 qr 3 4 0 r
(r R) (r R)
r
o
R
令 V 0 沿径向积分 1 面外 2
r
qr dr V外 E 外 dr 3 4 0 r P r 1 4 0 r r q
AAB W (WB WA ) WA WB
若取 B点 : WB 0
AAB
B
A
B F dl q0 E dl
A
A WA
"0"
q0 在 A 点处的电势能：W A
AA"0" q0
A
E dl
1）电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参 考点不同 ,电势能不同。对于有限带电体，一般选无限远为势 能零点 , 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等 为势能零点；对于无限大带电体，常取有限远为势能零点； 2）电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷) 5
21
a
E dr
6
2、电势
WA q0
WA A q0
" 0"
静电场的环路定理 电势及其与场强关系PPT课件
b
由电势差定义
Uab
b
E dl
a
b a
q
4 0r 2
dr
q
4 0
(1 a
1) b
第27页/共30页
例题 在正方形四个顶点上各放置 带电量为+q的四个 点电荷，各顶点到正方形中心O的距离为r。求： （1）O点的电势；（2）把试探电荷q0从无穷远处移到 O点时电场力所作的功；（3）电势能的改变。
➢ 电势有相对性，需要选择零点(常取地球、仪器 外壳、无穷远处等为电势零点)；
➢ 电势的单位：V. [能量单位eV的由来] 第7页/共30页
电势差（电压）:
Uba
Ub Ua
rb E(r ) dr
ra
（电势差与电势零点的选择无关。）
二、电势的计算:
1、点电荷的电势: (以无穷远处为0)
U (r )
E dl
零点
步骤： (1)先求场强分布; (2)选择合适的路径; (3)计算积分.
[当带电体为无限大时，只能用该方法计算]
2）电势叠加法: 已知源电荷分布(有限尺寸)时,各源的电势标量叠加
U (r ) 1
Qi
40 i r ri
1 (r)dV 40 V r r
第10页/共30页
例 求均匀带电圆环轴线上的电势分布。 (已知：R、q )
U q
4 0r
均限匀长带直电线无U (a)
2 0
ln
a r
典型电场的场强
(应用高斯定理)
均匀带电 E 0
球面内
球面
E
q
4 0
r r3
球面外
均匀带电无 限长直线
E
2 0
r r2
静电场的环路定理电势能等势面场强与电势的关系PPT课件
LF
dl
0
A
D
可以证明在静电场中有
E dl 0 L
C
B
E dl E dl E dl E dl E dl 0
L
ACB
BDA
ACB
ADB
在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分
等于零。称为静电场的环路定理。
二、电势能 电势
静电场是保守场，可引入仅与位置有关 Q
的电势能概念。用WP和WQ分别表示试探
三、电势的计算 (electric potential ) 1. 点电荷产生的电场中的电势分布
可用场强分布和电势的定义直接积分。
p
E r
E
q
4π 0r 2
er
Vp
E dl
p
p
q
4π 0
r
2
dr
q
Vp
q
4π 0rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为负
V内
Vq内
Vq内
q
4 0
(1 R1
1 R2
)
V外 Vq外 Vq外 0
这样二球面电势差为：
V内
V外
q
4 0
1 (
R1
1 R2
rQ
q0
电荷q0在电场中P点和Q点的电势能。电场 q 力对试探电荷q0所作的功可以表示为
rP
P
APQ q0 E dl WQ WP q0UQP
3
PQ
实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须 选择一个电势能为零的参考点。
由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电
场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)
9-5 静电场的环路定理解析
0
E dl
q0U AB
q0 VA
VB
A
五、点电荷电场的电势
V E dl Edr
r
r
q
4 0r
2
r
dr
V q
4 0r
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
六、电势叠加原理
E dl
AB
VB
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和 电势为零
v v
VA
E dl
A
•电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单 位正电荷的电势能
•电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷 从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
复习
9-3、4 电场线 静电场的高斯定理
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律 • 高斯定律应用举例
9-5 静电场的环路定理
一、静电场力所作的功
1、点电荷电场
点电荷Q固定于原点O，试验 电荷q0在Q的电场中由A点沿 任意路径ACB到达B点，取
微为元ddlW，电 场F力 dl对q0q的0 E元 d功l
ADC
ABC
电场力作 功
与路径无 关
W＝q0 E dl＝0
E
dl＝0
定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电 场强度的环流。
静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的 环流为零。
三、电势能
E dl
q0U AB
q0 VA
VB
A
五、点电荷电场的电势
V E dl Edr
r
r
q
4 0r
2
r
dr
V q
4 0r
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
六、电势叠加原理
E dl
AB
VB
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和 电势为零
v v
VA
E dl
A
•电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单 位正电荷的电势能
•电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷 从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
复习
9-3、4 电场线 静电场的高斯定理
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律 • 高斯定律应用举例
9-5 静电场的环路定理
一、静电场力所作的功
1、点电荷电场
点电荷Q固定于原点O，试验 电荷q0在Q的电场中由A点沿 任意路径ACB到达B点，取
微为元ddlW，电 场F力 dl对q0q的0 E元 d功l
ADC
ABC
电场力作 功
与路径无 关
W＝q0 E dl＝0
E
dl＝0
定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电 场强度的环流。
静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的 环流为零。
三、电势能
3.3 静电场的环路定理 大学物理
R
+
o + + +
4 0 r （3）确定电势分布；
2
E
er
(r R)
主讲：张国才
U P E dl E dr + r+ r r + + 1 q q r p + + 2 dr R R 4 + + 4 o R 0 r o + + (2)当r>R时 + + + + U P E dl E dr + + "P" r
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理
基础物理学
4
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径 L运动一周时，电场力对q0做的功W=？
L
W q0 E dl 0
E dl 0
L
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理 静电场的 Nhomakorabea路定理基础物理学
5
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 分（称为场强的环流）恒为零。
2 2
0
主讲：张国才
q 4 0 R x
2 2
基础物理学 3.3 静电场的环路定理 二、从电荷分布求场强，从场强分布求电势。 例2 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半 径为R，总带电量为q。
13
解：
q
+
+ + + +
+ +
+
（1）取无穷远处为电势零点； + （2）由高斯定律可知电场分布为； + E 0 (r R) + + 1 q
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
WAB (WB WA ) WA WB
vv
q0
E dl
AB
WA WB
电势能的参考点选择是任意的，若选B点为参考 点，则WB=0，则电场中任一点A点的电势能为：
参考点 v v
WA q0 A E dl
结论：试验电荷q0在电场中点A的电势能，在取 值上等于把它从点A移到到零电势能处的电场力 所作的功。
1、点电荷系电场的电势
电场由几个点电荷q1，q2，…，qn产生
E Ei
V E dl Ei dl
＝ Ei dl＝Vi
点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电 荷单独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫
做静电场的电势叠加原理。
2、连续分布电荷电场的电势
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
线分布
dl
V
l 4 0r
面分布
dS
V S 4 0r
体分布
V
V
dV 4 0r
dq
r
P
七、电势的计算
计算电势的方法有两种：
•1、利用电势的定义式
v v
VA
E dl
A
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限 的空间时，才能选无穷远点的电势为零；
的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与
其所经历的路径无关。
2、点电荷系的电场
根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷 场强的叠加
E E1 E2
则点电荷系的电场力所作的功为
W q0 E dl q0 E1 dl q0 E2 dl
l
l
l
每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与 路径无关。
3、任意带电体电场
任意连续带电体都可以看成由许多点电荷组成的 点电荷系，因而在连续带电体产生的电场中，我 们一样会得出
电场力所作的功与路径无关！
4、结论
在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场
力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终 了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。 静电场力也是保守力，静电场是保守场。
W
B
q0
E dl
q0U AB
q0 VA
VB
A
五、点电荷电场的电势
V E dl Edr
r
r
q
4 0r
2
r
dr
V q
4 0r
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
六、电势叠加原理
四、电势
1、电势
q0
AB
v E
v dl
W A
WB
比值 WA/ q0与q0无关，只决定于电场的性质及 场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质
的物理量，可以称之为电势。
静电场中带电体所具有的电势能与该带电 体的电量的比值定义为电势。
VA WA / q0
VB WB / q0
VA
E dl
AB
VB
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和 电势为零
v v
VA
E dl
A
•电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单 位正电荷的电势能
•电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷 从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
v E
1
4 0Biblioteka Q r2evrB
rB
r
dr rC
dl
er
E
Q rA A
dW
1
4 0
Qq0 r2
evr
v dl
1
4 0
Qq0 r2
dr
rB
W
Qq0
dr Qq0 ( 1 1 )
rA 40r 2
40 rA rB
在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作
布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，
在场中选择某点为电势的零点。
步骤
(1)把带电体 分为无限多dq
(2)由dq d
(3)由d = d
例题1 均匀带电圆环轴线的电势。
已知电荷q 均匀地分布在半径为R的圆环上， 求圆环的轴线上与环心相距x 的点的电势。 解：在圆环上取一电荷元
复习
9-3、4 电场线 静电场的高斯定理
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律 • 高斯定律应用举例
9-5 静电场的环路定理
一、静电场力所作的功
1、点电荷电场
点电荷Q固定于原点O，试验 电荷q0在Q的电场中由A点沿 任意路径ACB到达B点，取
微为元ddlW，电 场F力 dl对q0q的0 E元 d功l
二、静电场的环路定理
在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，
电场力所作的功为
W＝ q0E dl＝q0 E dl
l
l
W＝q0 E dl q0 E dl
ABC
CDA
E dl E dl
C B
AD
CDA
ADC
q0 E dl q0 E dl
ADC
ABC
电场力作 功
与路径无 关
W＝q0 E dl＝0
E
dl＝0
定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电 场强度的环流。
静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的 环流为零。
三、电势能
电荷在电场的一定位置上，具
B
有一定的能量，叫做电势能。
静电场力对电荷所作的功等
于电势能增量的负值。
•在实际工作中，通常选择地面的电势为零。 •但是对于“无限大”或“无限长”的带电体， 只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。
3、电势差
在静电场中，任意两点A和点B之间的电势之差，
称为电势差，也叫电压。
Bv v
U AB VA VB
E dl
A
静电场中任意两点A、B之间的电势差，在数值 上等于把单位正电荷从点A移到点B时，静电场 力所作的功。
积分路径上的电场强度的函数形式要求已知 或可求。
步骤：
(1)先算场强 (2)选择合适的路径L
(3) 积分(计算)
•2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理
dq dV
4 0r
dq
V 4 0r
要求电荷的分布区域是已知的；
当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷
远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分