数学史世纪数学概观Ⅲ详解
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第二不完备性定理
任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明 它本身的无矛盾性。
哥德尔不完全性定理的影响
但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数 学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化， 引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语 言学和计算机科学，甚至宇宙学。
2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行 的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》 的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论 是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性 定理。
哥德尔不完全性定理的影响
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年 来的信念。
他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一 定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的 阴影将永远伴随着我们。
无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝 是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的， 因为我们不能证明这种相容性。”
Prize（1982年，2004年，2011年）、沃尔夫奖（1989年）。他
还著有许多出色的书籍。这些书通俗，简洁而又严谨。
•
2011年，他因其“在拓扑，几何和代数的开拓性发现” 获
得了阿贝尔奖。作为回应，他告诉《新科学家》，“这感觉非
常好”(“It feels very good”)，并说“早上6点的电话总是让人感
到意外。”
微分拓扑学在20世纪50年代由于米尔诺等的工 作而进入了黄金时期。
此前，数学家们都以为在流形上只存在一种微 分结构。但1956年，美国数学家米尔诺却在七维球面 上找到了28种不同的微分结构。这一令人震惊的结论 为这种七维流形赢来了“米尔诺怪球”的著称。
米尔诺怪球触发的微分拓扑学的发展可以说是 奇峰迭起。其中尤以4维欧几里得空间微分流形的有 关结论最为引人注目。
哥德尔第一不完全定理
设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论，如果S 是一致的，则下文的T与非T在S中均不可证。
哥德尔第二不完全定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无 矛盾性不可能在S内证明。
第一不完备性定理
任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存 在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被 否定。
13.2 高斯-博内公式的推广
高斯－博内公式有许多重要应用，其中之一就是关 于曲面上向量场奇点的庞加莱定理:
设S是紧致无边界的可定向曲面。对于S上任何 只有孤立奇点的向量场,它在所有奇点处的指标之和等 于S的欧拉示性数。因为球面（以及与球面同胚的闭 曲面）的欧拉示性数为2,所以球面上的向量场必有奇 点。
美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读修读理论物理、 基础数学，后来又转研数理逻辑、集合论。但1940年 代中就将注意力投放在哲学上，并参加哲学小组活动。
•
1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词
演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。
1938年到美国普林斯顿高等研究院任职，1948年加入
美国籍。1953年成为该所教授。
生平
•
米尔诺出生于美国新泽西州奥兰治。在普林斯顿大学就读
本科期间，证明了Fary–Milnor定理。之后，他在进入普林斯顿
大学的研究生院，并完成了论文《Isotopy of Links》。获得博士
学位后，他继续在普林斯顿工作。
•
1962年，米尔诺因他在微分拓扑领域的工作获得菲尔兹奖。
之后，他又获得了美国国家科学奖章（1967年）、Leroy P Steele
认为那些食物有毒。
国籍
虽然他的传记列出很多国家，他通常被视为奥 地利人。
他出生在奥匈帝国的布尔诺，在十二岁时成为捷 克斯洛伐克公民，在二十三岁时成为奥地利公民。当 希特勒吞并奥地利时，哥德尔自动成为德国人。
1948年4月，哥德尔夫妇宣誓成为美国公民。在 获得美国公民前接受面试时，若不是爱因斯坦等老朋 友的拼命阻止，哥德尔对美国宪法较真的探究将使例 行的审核程序难以进行下去。
这一点可比喻如下：若把地球上各地的风速看 成一个向量场，则任何时候地球上总有一个地方没有 风。
陈省身生于1911年Βιβλιοθήκη Baidu15岁考上南开大学，是第 一位获得国际数学界最高荣誉“沃尔夫数学奖”的华 人。
1943年，32岁的陈省身完成了关于高斯-博内公 式的简单内蕴证明， 这篇论文被誉为数学史上划时代 的论文，他因此被国际数学界尊称为“微分几何之 父”。
性格
•
哥德尔是个要求严格的人。因此，他很多的想
法在生前都没有正式发表甚至记录，要逝世后从其手
稿找出。
•
他不喜欢谈论自己或受到注目。哥德尔曾要求王
浩在死后才可以发表一篇有关他的传记。他在学术研
究之外的东西，都不公开发表意见。
•
他亦讨厌旅行。
•
他自幼多病，而且从小便患了疑病症。他还患过
抑郁症。后来他在普林斯顿的医院绝食而死，因为他
哥德尔发展了冯·诺伊曼和伯奈斯等人的工作， 其主要贡献在逻辑学和数学基础方面。
在20世纪初，他证明了哥德尔不完全性定理,这 一著名结果发表在1931年的论文中。
他还致力于连续统假设的研究，在1930年采用一 种不同的方法得到了选择公理的相容性证明。3年以 后又证明了（广义）连续统假设的相容性定理，并于 1940年发表。他的工作对公理集合论有重要影响，而 且直接导致了集合和序数上的递归论的产生。
1985年，陈省身创办南开大学陈省身数学研究所， 培养了大批优秀的青年数学家，为我国的数学事业做 出了重大贡献。2000年，89岁的陈省身叶落归根，定 居母校南开大学，九旬高龄时仍亲自为本科生讲课、 指导研究生。
13.3 米尔诺怪球
米尔诺
• 约翰·米尔诺（1931－），美国数学家。他的主要贡 献在于微分拓扑、K-理论和动力系统及其著作。他曾 获得1962年度菲尔兹奖、1989年度沃尔夫奖及2011年 度阿贝尔奖。
第13章
20世纪数学概观(Ⅲ)
现代数学成果十例
13.1 哥德尔不完全性定理
哥德尔是奥地利著名数学家,不完备性定理是他 在1931年于《论<数学原理>及有关系统中的形式不可 判定命题》中提出来的。
这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化, 更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑
哥德尔
• 哥德尔（1906—1978）生于捷克的布尔诺，卒于
任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明 它本身的无矛盾性。
哥德尔不完全性定理的影响
但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数 学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化， 引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语 言学和计算机科学，甚至宇宙学。
2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行 的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》 的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论 是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性 定理。
哥德尔不完全性定理的影响
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年 来的信念。
他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一 定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的 阴影将永远伴随着我们。
无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝 是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的， 因为我们不能证明这种相容性。”
Prize（1982年，2004年，2011年）、沃尔夫奖（1989年）。他
还著有许多出色的书籍。这些书通俗，简洁而又严谨。
•
2011年，他因其“在拓扑，几何和代数的开拓性发现” 获
得了阿贝尔奖。作为回应，他告诉《新科学家》，“这感觉非
常好”(“It feels very good”)，并说“早上6点的电话总是让人感
到意外。”
微分拓扑学在20世纪50年代由于米尔诺等的工 作而进入了黄金时期。
此前，数学家们都以为在流形上只存在一种微 分结构。但1956年，美国数学家米尔诺却在七维球面 上找到了28种不同的微分结构。这一令人震惊的结论 为这种七维流形赢来了“米尔诺怪球”的著称。
米尔诺怪球触发的微分拓扑学的发展可以说是 奇峰迭起。其中尤以4维欧几里得空间微分流形的有 关结论最为引人注目。
哥德尔第一不完全定理
设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论，如果S 是一致的，则下文的T与非T在S中均不可证。
哥德尔第二不完全定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无 矛盾性不可能在S内证明。
第一不完备性定理
任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存 在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被 否定。
13.2 高斯-博内公式的推广
高斯－博内公式有许多重要应用，其中之一就是关 于曲面上向量场奇点的庞加莱定理:
设S是紧致无边界的可定向曲面。对于S上任何 只有孤立奇点的向量场,它在所有奇点处的指标之和等 于S的欧拉示性数。因为球面（以及与球面同胚的闭 曲面）的欧拉示性数为2,所以球面上的向量场必有奇 点。
美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读修读理论物理、 基础数学，后来又转研数理逻辑、集合论。但1940年 代中就将注意力投放在哲学上，并参加哲学小组活动。
•
1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词
演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。
1938年到美国普林斯顿高等研究院任职，1948年加入
美国籍。1953年成为该所教授。
生平
•
米尔诺出生于美国新泽西州奥兰治。在普林斯顿大学就读
本科期间，证明了Fary–Milnor定理。之后，他在进入普林斯顿
大学的研究生院，并完成了论文《Isotopy of Links》。获得博士
学位后，他继续在普林斯顿工作。
•
1962年，米尔诺因他在微分拓扑领域的工作获得菲尔兹奖。
之后，他又获得了美国国家科学奖章（1967年）、Leroy P Steele
认为那些食物有毒。
国籍
虽然他的传记列出很多国家，他通常被视为奥 地利人。
他出生在奥匈帝国的布尔诺，在十二岁时成为捷 克斯洛伐克公民，在二十三岁时成为奥地利公民。当 希特勒吞并奥地利时，哥德尔自动成为德国人。
1948年4月，哥德尔夫妇宣誓成为美国公民。在 获得美国公民前接受面试时，若不是爱因斯坦等老朋 友的拼命阻止，哥德尔对美国宪法较真的探究将使例 行的审核程序难以进行下去。
这一点可比喻如下：若把地球上各地的风速看 成一个向量场，则任何时候地球上总有一个地方没有 风。
陈省身生于1911年Βιβλιοθήκη Baidu15岁考上南开大学，是第 一位获得国际数学界最高荣誉“沃尔夫数学奖”的华 人。
1943年，32岁的陈省身完成了关于高斯-博内公 式的简单内蕴证明， 这篇论文被誉为数学史上划时代 的论文，他因此被国际数学界尊称为“微分几何之 父”。
性格
•
哥德尔是个要求严格的人。因此，他很多的想
法在生前都没有正式发表甚至记录，要逝世后从其手
稿找出。
•
他不喜欢谈论自己或受到注目。哥德尔曾要求王
浩在死后才可以发表一篇有关他的传记。他在学术研
究之外的东西，都不公开发表意见。
•
他亦讨厌旅行。
•
他自幼多病，而且从小便患了疑病症。他还患过
抑郁症。后来他在普林斯顿的医院绝食而死，因为他
哥德尔发展了冯·诺伊曼和伯奈斯等人的工作， 其主要贡献在逻辑学和数学基础方面。
在20世纪初，他证明了哥德尔不完全性定理,这 一著名结果发表在1931年的论文中。
他还致力于连续统假设的研究，在1930年采用一 种不同的方法得到了选择公理的相容性证明。3年以 后又证明了（广义）连续统假设的相容性定理，并于 1940年发表。他的工作对公理集合论有重要影响，而 且直接导致了集合和序数上的递归论的产生。
1985年，陈省身创办南开大学陈省身数学研究所， 培养了大批优秀的青年数学家，为我国的数学事业做 出了重大贡献。2000年，89岁的陈省身叶落归根，定 居母校南开大学，九旬高龄时仍亲自为本科生讲课、 指导研究生。
13.3 米尔诺怪球
米尔诺
• 约翰·米尔诺（1931－），美国数学家。他的主要贡 献在于微分拓扑、K-理论和动力系统及其著作。他曾 获得1962年度菲尔兹奖、1989年度沃尔夫奖及2011年 度阿贝尔奖。
第13章
20世纪数学概观(Ⅲ)
现代数学成果十例
13.1 哥德尔不完全性定理
哥德尔是奥地利著名数学家,不完备性定理是他 在1931年于《论<数学原理>及有关系统中的形式不可 判定命题》中提出来的。
这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化, 更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑
哥德尔
• 哥德尔（1906—1978）生于捷克的布尔诺，卒于