数学史世纪数学概观Ⅲ详解
20世纪数学概观(Ⅲ) ——现代数学成果十例
哥德巴赫猜想的结局
1966年，我国著名数学家陈景润攻克 了“1＋2”
哥德巴赫猜想的结局
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜 想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为 了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫 长的探索过程。有许多数学家认为，要想证 明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以 往的路很可能都是走不通的。
定理的发展
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证 明基本上是按照肯泊的想法在进行；
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克 霍夫利用肯泊的想法，结合自己新的设想；证 明了某些大的构形可约；
美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以 下的地图都可以用四色着色；
1950年，有人从22国推进到35国。1960年， 有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜 色着色；随后又推进到了50国；
有限单群分类
➢有限单群分类的基本内容 ➢有限单群分类的证明历史 ➢二代分类
一.有限单群分类的基本内容
（一）. 定理
✓ 有限单群是指：除了单位元群和它本身以 外没有其他正规子群的有限群。有限单群类 似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的“ 积木块”，是有限群结构的基石。
✓ 找出所有的有限单群的问题称为有限单群 分类问题。
——俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼
《庞加莱猜想》荣誉
• 2000年克莱数学促进会公布新千年七个悬赏100
万美元的数学问题，庞加莱猜想列第三 三个独立的小组写出报告填补佩雷尔曼
证明中的关键细节：密歇根大学克莱纳和洛特， 哥伦比亚大学摩根和田刚，里海大学曹怀东和中 山大学朱熹平 • 2006年美国《科学》杂志评出年度十大科学进展 ，庞加莱猜想名列第一
二. 1962年，费特和汤普森关于奇阶群必为 可解群的定理（Feit-Thompson定理）是单群 分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群 分类的重大突破；
数学史知识点及答案讲解
千里之行，始于足下。
数学史知识点及答案讲解数学史知识点及答案讲解数学是一门古老而且重要的学科，它的发展与人类文明的进步密切相关。
下面将介绍数学史的一些知识点及答案的讲解。
1. 古代数学古代数学的发展可以追溯到古埃及、巴比伦和古希腊等文明，其中最著名的数学家是古希腊的欧几里德和阿基米德。
欧几里德的《几何原本》是一部详尽而完整的几何学著作，其中引入了许多重要的几何定理和证明方法。
阿基米德则在几何学和力学方面做出了重要贡献，特别是他的浮力定律和杠杆原理。
2. 中世纪数学中世纪数学的发展受到了基督教教义的限制，因此在这个时期数学的进展相对较慢。
然而，一些重要的数学家如斯内尔和费马还是在这个时期做出了一些突破性的工作。
斯内尔提出了无理数的概念，并证明了它的存在。
费马则发展了一种新的证明方法，称为费马大定理，在证明中使用了分析几何的技巧。
3. 近代数学近代数学的发展可以追溯到17世纪的启蒙时代，这个时期出现了许多重要的数学家和数学理论。
牛顿和莱布尼茨同时独立地发现了微积分学，这是一种用于研究曲线和函数的重要工具。
欧拉则在数学分析和图论方面做出了重要贡献，他是数学史上最多产的数学家之一，发表了大量的著作和论文。
4. 现代数学现代数学的发展可以追溯到19世纪末和20世纪初，这个时期出现了一系列重要的数学理论和概念。
高斯和黎曼对复数和复变函数的研究开创了复分析第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
学的发展。
庞加莱在拓扑学方面做出了重要贡献，提出了庞加莱猜想，并且开创了现代数学的基础。
其他重要的数学家还包括维尔斯特拉斯、魏尔斯特拉斯、哥尼尔和伯努利等。
5. 现代数学的应用现代数学的应用非常广泛，几乎涉及到所有的科学领域。
数学在物理学、工程学、计算机科学、经济学等领域有着重要的应用。
例如，在物理学中，数学被用来建立和解决物理定律和方程，如牛顿的运动定律和麦克斯韦方程。
在计算机科学中，数学被用来研究和设计算法和数据结构。
在经济学中，数学被用来研究和模拟经济系统，如供求关系和市场机制。
数学简史各章概括总结思想
数学简史各章概括总结思想数学简史是一部介绍数学发展历程的经典著作，通过以时间顺序描述不同数学领域的发展和突破，展现了数学思想的演变和数学家们的贡献。
以下是对数学简史各章的概括总结：1. 古代数学思想：这一章主要介绍古代数学的发展，包括巴比伦人、古埃及人和古希腊人的贡献。
巴比伦人在商业交易中使用了简单的算术运算，而古埃及人则应用几何来解决土地测量的问题。
古希腊人的贡献更为深远，他们从形式逻辑的角度提出了严谨的证明方法，开创了数学公理化的思想。
2. 希腊数学：希腊数学是古代数学的巅峰，欧几里得的《几何原本》被誉为数学的经典之作。
他的几何思想基于公理化推理，提出了许多重要的几何定理。
此外，阿基米德也是希腊数学的杰出代表，他运用无穷小和无穷大的概念解决了许多机械学问题。
3. 阿拉伯数学：阿拉伯数学在中世纪时期兴盛起来，阿拉伯学者翻译了希腊数学著作，并且对几何学进行了改进。
他们引入了代数学的思想，如二次方程的解法和方程组的求解方法。
同时，阿拉伯人还在三角学和球面几何方面做出了重要贡献，为航海和天文学提供了基础。
4. 文艺复兴与数学的新发展：文艺复兴时期是数学重新焕发活力的时期。
伽利略的实验思想和数学模拟为物理学和力学的发展提供了基础。
同时，克尔克里尼在代数学方面进行了重要的研究，开创了现代代数的奠基。
此外，笛卡尔的坐标系和解析几何方法为几何学提供了新的视角。
5. 微积分的诞生：微积分的发展是数学史上的重大突破。
牛顿和莱布尼兹几乎同时独立提出了微积分的基本原理和方法，为数学的应用提供了强大的工具。
微积分的诞生不仅推动了物理学的发展，还为概率论和统计学等分支学科的产生奠定了基础。
6. 数学的抽象化和公理化：19世纪是数学抽象化和公理化思想的兴起时期。
高斯在数论方面做出了重要贡献，提出了剩余类和二次互反定理。
同时，数学家们开始对几何学进行严格的公理化处理，如黎曼几何和非欧几何的发展。
这一时期还见证了群论和代数学的发展，为数学的抽象化奠定了基础。
《数学史概论》课件
80%
理解数学的本质
通过了解数学的发展历程，更好 地理解数学的本质和思想。
100%
启发创新思维
学习数学史有助于启发创新思维 ，为解决现实问题提供新的思路 和方法。
80%
培养综合素质
了解数学与其他学科的交叉融合 ，提高综合素质和跨学科应用能 力。
课程大纲概览
数学史的起源与早期发展
介绍数学的起源、古代文明中的数学成就以及中 世纪数学的发展。
数学教育的改革
随着时代的发展，数学教育的理念和方法也在不断改革和完善 ，以适应社会发展的需要，提高数学教育的质量和水平。
数学研究的国际化
随着全球化的发展，数学研究的国际化趋势也越来越明显，各国 数学家之间的交流和合作日益频繁，推动了数学的发展和进步。
05
数学的应用
数学在科学中的应用
数学在物理学中的应用
数学在环境科学中的应用
环境监测、气候变化研究、生态学等领域都离不开数学的支撑。数学模型和计算方法对 于环境科学研究至关重要。
06
结论
回顾课程重点
数学史的起源与早期发展
01
从古埃及、古希腊、古印度等文明的发展，探讨数学史的起源
和早期发展。
中世纪欧洲的数学成就
02
介绍阿拉伯数字的传入、文艺复兴时期的数学家以及几何学的
远古人类通过使用手指、石头或其他物品来计数，逐渐发 展出十进制、二进制等计数法。同时，他们还学会了使用 简单的工具进行长度、重量等度量。
图形与几何
在建筑、农业和天文等领域的需求推动下，人们开始研究 图形的性质和几何原理，如圆、三角形等的基本性质。
算术与代数
随着贸易和天文观测等活动的需要，算术和代数逐渐发展 起来，人们开始研究数的性质、运算规则以及方程的解法 。
林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III
第十三讲：20世纪数学概观III1、牛顿以来250年间的英德法数学家1642－1891年间出生于英德法的主要数学家。
2、世界数学中心的转移世界科学活动中心曾相继停留在几个不同的国家，转移的格局大体是：意大利→英国→法国→德国→美国。
从中心区停留的时间跨度看：意大利1540－1610年，英国1660－1730年，法国1770－1830年，德国1830－1930年，美国1920年起。
科学活动中心的转移，实际上就是科学人才中心的转移。
3、20世纪的一些数学团体3.1哥廷根学派高斯（1777－1855年）1807－1855年任哥廷根大学数学教授，后狄里克雷（1805－1859年）1855－1859年、黎曼（1826－1866年）1846－1866年在哥廷根工作，1886年克莱因（1849－1925年）到哥廷根，开创了40年哥廷根学派的伟大基业。
20世纪初世界数学中心：哥廷根数学研究所。
在哥廷根工作的一些数学家、在哥廷根学习或访问过的数学家。
3.2波兰数学学派1917年波兰数学会在克拉科夫成立，1918年亚尼谢夫斯基（1888－1920年）发表《波兰数学的需求》，形成了华沙学派、利沃夫学派。
华沙学派：研究点集拓扑、集论、数学基础和数理逻辑。
1920年《数学基础》创刊标志华沙学派的形成。
带头人：谢尔宾斯基（1882－1969年），马祖凯维奇（1888－1945年）。
利沃夫学派：研究泛函分析。
1929年创刊《数学研究》。
带头人：巴拿赫（1892－1945年），施坦豪斯（1887－1972年）。
第二次世界大战使波兰失去了一代人。
3.3苏联数学学派19世纪下半叶，出现了切比雪夫（1821－1894年）为首的彼比堡学派。
叶戈罗夫（1868－1931年）造就了20世纪繁荣的莫斯科数学学派。
优势学科：函数论、拓扑学、解析数论、概率与随机过程、泛函分析、微分方程、线性规划。
最杰出的代表人物：柯尔莫哥洛夫（1903－1987年），盖尔范德（1913－）。
数学史知识点及答案
数学史知识点及答案正文：数学作为一门古老而重要的学科，在人类历史的发展中起着举足轻重的作用。
它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
在数学的长时间发展过程中，不断涌现出一系列重要的数学理论和定理。
本文将介绍一些数学史的重要知识点和对应的答案。
1. 费马大定理费马大定理是数学史上的一座丰碑，由法国数学家费尔马在17世纪提出。
它阐述了当n大于2时，对于方程xⁿ + yⁿ = zⁿ没有整数解。
虽然费马在提出该定理后并未给出详细的证明，但这一问题引发了许多数学家的兴趣，并且一直成为数学界最具吸引力的问题之一。
2. 黄金分割黄金分割是一个神秘而美丽的数学概念，它常常出现在自然界和艺术中。
黄金分割比值约等于1.6180339887。
它可以通过求解 x^2 = x + 1 的正根得到。
黄金分割具有独特的美学吸引力，因此广泛应用于建筑设计、艺术创作和金融领域等。
3. 平方根的发现平方根的发现是古代数学中的一个重要成就。
最早的平方根发现可以追溯到巴比伦文化中的孟德尔逊法则。
而古希腊数学家毕达哥拉斯提出了勾股定理，揭示了直角三角形中平方根的关系。
此后，数学家们不断发展并完善了关于平方根的理论，最终形成了我们今天所熟知的平方根运算规则。
4. 导数和微积分导数和微积分是现代数学的重要分支，它们在17世纪由牛顿和莱布尼兹独立发展而成。
导数可以用于计算函数的变化率和曲线的斜率，微积分则是对连续变化的量进行研究的数学工具。
导数和微积分在物理学、工程学以及经济学等领域具有广泛的应用。
5. 贝尔特拉米数贝尔特拉米数是数学中的一个特殊数列，由意大利数学家贝尔特拉米引入。
该数列的前几个项为0、1、2、1、2、1、2……它的规律是每隔两个数重复一次1和2。
贝尔特拉米数被广泛研究，并应用于数论等领域。
6. 黎曼猜想黎曼猜想是数论中的一个重要问题，由德国数学家黎曼在19世纪提出。
该猜想关于素数的分布规律，即描述素数分布的函数具有与素数分布相关的零点。
数学史部分4-3-古希腊数学3
Diophantus
•《算术》（Arithmetica） ：
《算术》是代数数论的解析处理，特别以不 定方程的求解而著称，表明作者在这个领 域中是一个天才.这部著作的尚存部分是大
约130个各种各样的，导出一次和二次方程
的问题的解法.其中还解出了一个很特殊的
三次方程.其解法巧妙，远远超出了同时代
人的水平.
4、帕波斯与《数学汇编》(Mathematical Collection)
• Pappus，约300－350年，是古希腊后期亚历山
大里亚学派的最后一位数学家.
（1）著名的评注家：
（2）《数学汇编》(Mathematical Collection)及其主
要内容：
《数学汇编》共8篇，现存后6篇，以及第一篇与
2、三等分角 Trisecting an angel 1837年凡齐尔（1814－1848）运用代数方 法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。 在研究“三等分角”的过程中发现了如蚌 线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。 人们还发现，只要放弃“尺规作图”的戒 律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊
数学家阿基米德发现只要在直尺上固定一点，
(2) 尼科米迪斯(Nicomedes)蚌线与倍立方体问
题的解
r a b sec
(3) 阿基米德(Archimedes)的半正多面体； (4) 阿波罗尼奥斯(Apollonius)《圆锥曲线》 (Conics)中未提及的圆锥曲线的焦点、准线性 质等等.
《数学汇编》内容简介
① 几何作图问题： ② 等周曲边形问题：（第五篇） • Ⅰ、周长相等的所有弓形中，以半圆的面 积最大. • Ⅱ、球的体积比相同表面积的任何圆锥体、 圆柱体或正多面体的体积都大. ③ 研究了蜂巢问题： • 证明了六棱柱巢是最经济的巢形，即在其 他条件相同的情况下，它的容积最大.这个 问题到18世纪又得到进一步的研究.
数学史讲义概要 pdf
数学史讲义概要《数学史讲义》是一部关于数学史领域的专著，该书作者康托（Georg Cantor）从1888年起开始出版，标志着数学史成为一门独立的学科。
这部著作详细阐述了数学发展的历史，从古希腊时期到19世纪末，涵盖了众多重要的数学家和数学成果。
本文将对《数学史讲义》的内容进行概述，并探讨数学史的重要性和意义。
《数学史讲义》分为四卷，共三十六章。
康托在书中详细介绍了古希腊、罗马、阿拉伯、印度等文明中的数学成就，以及欧洲文艺复兴时期和17、18、19世纪数学的发展。
书中涉及的内容广泛，包括算术、代数、几何、三角学、概率论、数论、拓扑学等多个数学分支。
康托在书中对古希腊数学家如毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德等人的成就进行了详细阐述。
同时，书中也介绍了阿拉伯数学家花拉子密以及印度数学家阿瑜博达的贡献。
在介绍欧洲数学时，康托重点讲述了文艺复兴时期的数学家如莱布尼茨、牛顿等人的成就，以及17、18、19世纪数学家如欧拉、高斯等人的杰出贡献。
《数学史讲义》在数学史领域具有很高的学术价值。
首先，康托对数学史的研究具有开创性意义，他的著作成为数学史研究的标准参考书，对后来的数学史研究产生了深远影响。
其次，康托在书中对数学家及其成就的详细介绍，使后人能够更好地了解数学发展的脉络，理解各个时期数学成果的背景和意义。
此外，康托对数学史的系统梳理，有助于揭示数学内在的发展规律，为现代数学研究提供了宝贵的启示。
数学史作为一门学科，不仅研究数学知识的产生和发展过程，还涉及到数学思想、数学方法、数学教育、数学与社会文化等方面的内容。
数学史研究的意义主要体现在以下几个方面：1. 弘扬数学文化：数学史的研究有助于传播数学文化，促进数学知识的普及和推广，提高人们的数学素养。
2. 揭示数学规律：数学史研究可以帮助我们发现数学知识的内在规律，为现代数学研究提供理论支持和实践指导。
3. 培养数学人才：数学史研究对数学教育具有指导意义，有助于培养具有创新精神和实践能力的数学人才。
7现代数学(二)20世纪数学概观
2021/10/10
30
11.4.2 三大学派
▪ 集合论公理化运动是假定数学运用的逻辑 本身不成问题，但数学家们对于这一前提 陆续提出了不同观点，并开始从逻辑上去 寻找问题的症结，从而形成了数学基础的 三大学派，即以罗素为代表的逻辑主义， 以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯 特为代表的形式主义。
2021/10/10
25
11.4.1 集合论悖论
▪ 罗素的悖论称：以M表示是其自身成员的 集合的集合，N表示不是其自身成员的集合 的集合，那么集合N无论是否为它自身的成 员，都将导出矛盾的结论。罗素悖论除了 集合之外并不涉及任何其他概念，从而明 白无疑地揭示了集合论本身确实存在着矛 盾，在数学界引起了一片震惊。
▪ 19世纪后期，极限理论的发展成为概率 论研究的中心课题，俄国数学家切比雪 夫在1866年建立了关于独立随机变量序 列的大数定律，使伯努利定理和泊松大 数定律成为其特例。
2021/10/10
18
▪ 切比雪夫还将棣莫弗-拉普拉斯极限定理 推广为更一般的中心极限定理。切比雪夫 的成果后又被他的学生马尔可夫等发扬光 大，影响了20世纪概率论发展的进程。
▪ 关于泛函的抽象理论在19世纪末 20世纪初首先由意大利数学家伏 尔泰拉和法国数学家阿达马在变 分法的研究中开创。“泛函”这 个名称就是由阿达马首先采用的。 伏尔泰拉称之为曲线的函数。
2021/10/10
8
▪ 泛函分析的另一个来源是积分方 程理论。19世纪末，瑞典数学家 弗雷德霍姆创造了一种优美的方
2021/10/10
21
11.3 数学的统一化
▪ 20世纪下半叶，数学科学的统一化趋势空 前加强。不同分支领域的数学思想与数学 方法相互融合，导致了一系列重大发现以 及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。 以下仅以拓扑学与微分几何学若干研究方 法发展为例对此略加说明。
《数学史》20世纪数学概观(II)(上)
数学的广泛渗透与应用，是它一贯的特点，但在数学史上， 数学的应用在不同时期的发展是不平衡的． 18世纪是数学与力学紧密结合的时代；19世纪是纯粹数 学形成的时代；20世纪则可以说既是纯粹数学的时代，又是应 用数学的时代． 特别是20世纪40年代以后，数学以空前的广度与深度向 其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助， 应用数学的蓬勃发展已形成为当代数学的一股强大潮流．应用 数学的这个新时代具有以下几方面的特点．
1 R T g T , 2
g 就是黎曼度规张量，爱因斯坦指出：“由于这组方程，
数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件； 现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程，并且 有许多还是连数学家都感到棘手的非线性方程；生物学不用数学 的时代也已一去不返． 除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门 中，数学方法的应用也在崭露头角．与以往时代不同的是，数学 在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成一系列交 叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学 地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古 学，……等等，它们的数目还在增加．
(2)纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象 的一些分支也参与了渗透．
在20世纪60年代，像拓扑学这样的抽象数学离实际应用 似乎还很遥远．然而正如我们在下面要讲到的，拓扑学在今 天的物理学、生物学和经济学中正在扮演重要角色．
在凝聚态物理中分类晶体结构的“缺陷”及液晶理论中 所用到的某些齐性空间中同伦群的计算，即使对专业的代数 拓扑学家也是很难的问题；
例如以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器 设计的有效工具，类似的数值模拟方法正在被应用于许多技 术部门以替代耗资巨大的试验； 1980年代以来，以调和分析为基础的小波分析直接应 用于通信、石油勘探与图象处理等广泛的技术领域；现代大 规模生产的管理决策、产品质量控制等也密切依赖于数学中 的线性规划算法与统计方法；现代医学仪器工业也离不开数 学(如Cr扫描仪、核磁共振仪等研制的理论基础主要是现代积 分理论)，等等，这样的例子举不胜举．
数学史概论解答
数学史概论解答数学史概论不了解数学史就不可能全面了解数学科学一、数学史的意义数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
英国科学史家丹皮尔说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。
数学是历史员悠久的人类认识领域之一。
从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。
当然，仅仅具有魅力并不能成为开设一门课程的充分理由。
数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身，还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。
与其他知识学科相比，数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。
重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的。
它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。
例如，数的理论的演进就表现出明显的累积性；在几何学中，非欧几何可以看成是欧氏几何的拓广；溯源于初等代数的抽象代数并没有使前者被淘汰；同样现代分析中诸如函数、导数、积分等概念的推广均包含了古典定义作为其特例，……。
可以说，在数学的进化过程中，几乎没有发生过彻底推翻前人建筑的情况。
如果我们对比天文学的“地心说”、物理学的“以太说”、化学的“燃素说”的命运，就可以看清数学发展不同于其他学科的这种特点。
因此有的数学史家认为“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。
唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。
”这种说法虽然有些绝对，但却形象地说明了数学这幢大厦的累积特性。
当我们为这幢大厦添砖加瓦时，有必要了解它的历史。
按美国《数学评论》杂志的分类，当今数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计。
面对着如此庞大的知识系统，职业数学家越来越被限制于一、二个专门领域。
庞加莱(1854一1912)曾经被称为“最后一位数学通才”。
第三讲 数学史概论
泰勒斯是演绎几何学的鼻祖，开数学证明之先河，据说他最先证明了如下的定
Байду номын сангаас
理: 1.圆被任一直径二等分； 2.等腰三角形的两底角相等； 3.两条直线相交，对顶角相等； 4.半圆的内接三角形，一定是直角三角形； 5.如果两个三角形有一条边以及这条边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等。
泰勒斯在天文学方面也曾有不同凡响的工作，据说他曾测知公元前585年5月28 日的一次日全食。当时正值战争之际，泰勒斯向世人宣告，若不停战，到时天神震 怒！到了那天下午，两派将士仍激战不已，霎时间，太阳在天空中消失，星辰闪烁， 大地一片漆黑。双方将士见此景象，砍太阳神真的发怒了，要降罪于人类，于是立 即罢兵休战，从此铸剑为犁，和睦相处。 另据传说，泰勒斯醉心于钻研哲学与科学，且可谓清贫守道，而遭市井嘲笑。 他不以为然地说，君子爱财取之有道。他在对气候预测的基础上，估计来年油料作 物会大丰收，于是垄断了米利都和开奥斯两地的所有油坊，到季节以高价出租。有 了钱，科学研究可以做得更好。 这两则传说，如果是真实的话，那么泰勒斯确实不愧于其墓碑上所镌刻的颂辞： “他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地、万古流 芳。”不过，这也是一则传说，因为泰勒斯生活的年代离我们太久远了，没有确切 可靠的资料。
a
b c c
b
a a
b
c
a
a
a
c b
c a
b
b b
c a
b
Plutarch(约46--120)的面积证明法 有些古代学者如斯特技博(St rzbo， 公元前66—24年，希腊地理学家)说毕达哥拉斯曾在 巴比伦学习过，有的甚至说他到过印度．“他对数字的神秘观点类似早期的巴比伦，而整个 暂学的气氛十分接近印度．值得注意的是，勾股定理在毕达哥斯之前巴比伦等国都早已知道， 和毕达哥拉斯有什么关系，有待进一步研究．
数学史概论
• • • •
如果我们想要预见 数学的将来，适当的途 径是研究这门科学的历
Poincaré (法, 1854-1912年)
史和现状。
数学史的分期
一、数学的起源与早期发展(公元前6世纪) 数学的起源与早期发展(公元前6世纪) 二、初等数学时期(公元前6世纪-16世纪) 初等数学时期(公元前6世纪-16世纪) 世纪 三、近代数学时期(17世纪-18世纪) 近代数学时期(17世纪-18世纪) (17世纪 世纪 四、现代数学时期(1820年-现在) 现代数学时期(1820年 现在) (1820
主要参考书
• [美]克莱因. 古今数学思想. 牛津大学出版社, 1972（中译本: 北京大学数 克莱因. 古今数学思想. 牛津大学出版社, 1972（中译本: 学系数学史翻译组译, 上海科学技术出版社, 4卷本 卷本) 学系数学史翻译组译, 上海科学技术出版社, 1979~1981, 4卷本) 中国科学院数学与系统科学研究院. 数学译林》 1981中国科学院数学与系统科学研究院. 《数学译林》, 1981张奠宙. 20世纪数学经纬. 上海: 华东师范大学出版社, 2002 世纪数学经纬. 张奠宙. 20世纪数学经纬 上海: 华东师范大学出版社, 程民德主编. 中国现代数学家传(5卷本) 南京: 江苏教育出版社, 1994(5卷本 程民德主编. 中国现代数学家传(5卷本). 南京: 江苏教育出版社, 19942002 吴文俊主编. 世界著名数学家传记( 下册). 北京: 科学出版社, 吴文俊主编. 世界著名数学家传记(上、下册). 北京: 科学出版社, 1995 中国大百科全书编辑委员会. 中国大百科全书(数学卷). 北京: 中国大百科全书编辑委员会. 中国大百科全书(数学卷). 北京: 中国大百科 全书出版社, 全书出版社, 1988 郭金彬, 孔国平. 中国传统数学思想史. 北京: 科学出版社, 郭金彬, 孔国平. 中国传统数学思想史. 北京: 科学出版社, 2004 庄瓦金. 数学思想史教程. 厦门: 国际华文出版社, 庄瓦金. 数学思想史教程. 厦门: 国际华文出版社, 2002
《数学史》第13章20世纪数学概观(Ⅲ)
国籍
虽然他的传记列出很多国家，他通常被视为奥 地利人。 他出生在奥匈帝国的布尔诺，在十二岁时成为捷 克斯洛伐克公民，在二十三岁时成为奥地利公民。当 希特勒吞并奥地利时，哥德尔自动成为德国人。 1948年4月，哥德尔夫妇宣誓成为美国公民。在 获得美国公民前接受面试时，若不是爱因斯坦等老朋 友的拼命阻止，哥德尔对美国宪法较真的探究将使例 行的审核程序难以进行下去。
陈省身生于1911年，15岁考上南开大学，是第 一位获得国际数学界最高荣誉“沃尔夫数学奖”的华 人。 1943年，32岁的陈省身完成了关于高斯-博内公 式的简单内蕴证明， 这篇论文被誉为数学史上划时代 的论文，他因此被国际数学界尊称为“微分几何之 父”。 1985年，陈省身创办南开大学陈省身数学研究所， 培养了大批优秀的青年数学家，为我国的数学事业做 出了重大贡献。2000年，89岁的陈省身叶落归根，定 居母校南开大学，九旬高龄时仍亲自为本科生讲课、 指导研究生。
谢 谢！
第13章
20世纪数学概观(Ⅲ)
现代数学成果十例
13.1 哥德尔不完全性定理
哥德尔是奥地利著名数学家,不完备性定理是他 在1931年于《论<数学原理>及有关系统中的形式不可 判定命题》中提出来的。 这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化, 更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑
哥德尔
• 哥德尔（1906—1978）生于捷克的布尔诺，卒于 美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读修读理论物理、 基础数学，后来又转研数理逻辑、集合论。但1940年 代中就将注意力投放在哲学上，并参加哲学小组活动。 • 1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词 演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。 1938年到美国普林斯顿高等研究院任职，1948年加入 美国籍。1953年成为该所教授。
《数学史》世纪数学概观(Ⅲ)详解
哥德尔不完全性定理的影响
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年 来的信念。 他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一 定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的 阴影将永远伴随着我们。 无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝 是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的， 因为我们不能证明这种相容性。”
13.2 高斯-博内公式的推广
高斯－博内公式有许多重要应用，其中之一就是关 于曲面上向量场奇点的庞加莱定理: 设S是紧致无边界的可定向曲面。对于S上任何 只有孤立奇点的向量场,它在所有奇点处的指标之和等 于S的欧拉示性数。因为球面（以及与球面同胚的闭 曲面）的欧拉示性数为2,所以球面上的向量场必有奇 点。 这一点可比喻如下：若把地球上各地的风速看 成一个向量场，则任何时候地球上总有一个地方没有 风。
哥德尔发展了冯· 诺伊曼和伯奈斯等人的工作， 其主要贡献在逻辑学和数学基础方面。 在20世纪初，他证明了哥德尔不完全性定理,这 一著名结果发表在1931年的论文中。
他还致力于连续统假设的研究，在1930年采用一 种不同的方法得到了选择公理的相容性证明。3年以 后又证明了（广义）连续统假设的相容性定理，并于 1940年发表。他的工作对公理集合论有重要影响，而 且直接导致了集合和序数上的递归论的产生。
性格
• 哥德尔是个要求严格的人。因此，他很多的想 法在生前都没有正式发表甚至记录，要逝世后从其手 稿找出。 • 他不喜欢谈论自己或受到注目。哥德尔曾要求王 浩在死后才可以发表一篇有关他的传记。他在学术研 究之外的东西，都不公开发表意见。 • 他亦讨厌旅行。 • 他自幼多病，而且从小便患了疑病症。他还患过 抑郁症。后来他在普林斯顿的医院绝食而死，因为他 认为那些食物有毒。
谢 谢！
l.戈丁的《数学概观》
l.戈丁的《数学概观》数学概观的主题是《数学概观》是一本数学教材，提供了关于数学的广泛概念、原理和应用的综合介绍。
在本文中，我将一步一步回答关于《数学概观》的一些问题，以帮助读者更好地了解这本书。
首先，让我们来了解一下《数学概观》这本书的作者戈丁。
戈丁（E. T. Bell）是一位美国数学家，他的书籍对数学教育和研究做出了重要贡献。
《数学概观》是他的代表作品之一，于1945年首次出版。
这本书以其深度和广度而闻名，它旨在为读者提供一个全面的数学框架，从而更好地理解数学的核心概念和应用。
接下来，我们来谈谈《数学概观》的内容。
这本书由15个章节组成，每个章节都涉及不同的数学领域和概念。
其中包括数论、代数、几何、微积分、概率论等等。
每个章节都以一种互相独立的方式介绍了相应领域的基本概念和原理。
书中还包含大量的实际应用示例和问题，以帮助读者更好地理解数学与现实世界的联系。
第三，我们来讨论一下《数学概观》的教学方法。
戈丁采用了一种系统化和逻辑性的方法来介绍数学的不同方面。
他首先引入基本概念和原理，然后逐步发展更复杂的数学理论和应用。
书中还包含了大量的例题和习题，供读者练习和巩固所学知识。
此外，戈丁还通过引用历史事件和数学家的传记，使读者了解数学的发展历程和重要人物。
《数学概观》还以其深度和严谨性而著称。
戈丁在书中展示了他对数学的热爱和对细节的关注。
他通过清晰的叙述和详细的证明，向读者传达了数学的美感和思维方式。
这本书旨在激发读者的数学兴趣，并帮助他们更好地理解和应用数学。
最后，我们来谈谈《数学概观》的意义和影响。
这本书为读者提供了一个全面的数学视角，使他们对数学的各个领域有了更深入的理解。
它不仅适用于数学专业的学生和教师，还对其他领域的学习者和研究者有很大的帮助。
它帮助人们更好地理解和应用数学的核心概念，从而在各个领域中取得更好的成绩和突破。
总的来说，《数学概观》是一本重要的数学教材，它提供了关于数学的广泛概念、原理和应用的综合介绍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
到意外。”
微分拓扑学在20世纪50年代由于米尔诺等的工 作而进入了黄金时期。
此前，数学家们都以为在流形上只存在一种微 分结构。但1956年，美国数学家米尔诺却在七维球面 上找到了28种不同的微分结构。这一令人震惊的结论 为这种七维流形赢来了“米尔诺怪球”的著称。
米尔诺怪球触发的微分拓扑学的发展可以说是 奇峰迭起。其中尤以4维欧几里得空间微分流形的有 关结论最为引人注目。
美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读修读理论物理、 基础数学，后来又转研数理逻辑、集合论。但1940年 代中就将注意力投放在哲学上，并参加哲学小组活动。
•
1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词
演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。
1938年到美国普林斯顿高等研究院任职，1948年加入
美国籍。1953年成为该所教授。
哥德尔不完全性定理的影响
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年 来的信念。
他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一 定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的 阴影将永远伴随着我们。
无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝 是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的， 因为我们不能证明这种相容性。”
哥德尔第一不完全定理
设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论，如果S 是一致的，则下文的T与非T在S中均不可证。
哥德尔第二不完全定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无 矛盾性不可能在S内证明。
第一不完备性定理
任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存 在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被 否定。认为那些食物有毒。国籍
虽然他的传记列出很多国家，他通常被视为奥 地利人。
他出生在奥匈帝国的布尔诺，在十二岁时成为捷 克斯洛伐克公民，在二十三岁时成为奥地利公民。当 希特勒吞并奥地利时，哥德尔自动成为德国人。
1948年4月，哥德尔夫妇宣誓成为美国公民。在 获得美国公民前接受面试时，若不是爱因斯坦等老朋 友的拼命阻止，哥德尔对美国宪法较真的探究将使例 行的审核程序难以进行下去。
第二不完备性定理
任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明 它本身的无矛盾性。
哥德尔不完全性定理的影响
但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数 学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化， 引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语 言学和计算机科学，甚至宇宙学。
2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行 的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》 的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论 是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性 定理。
1985年，陈省身创办南开大学陈省身数学研究所， 培养了大批优秀的青年数学家，为我国的数学事业做 出了重大贡献。2000年，89岁的陈省身叶落归根，定 居母校南开大学，九旬高龄时仍亲自为本科生讲课、 指导研究生。
13.3 米尔诺怪球
米尔诺
• 约翰·米尔诺（1931－），美国数学家。他的主要贡 献在于微分拓扑、K-理论和动力系统及其著作。他曾 获得1962年度菲尔兹奖、1989年度沃尔夫奖及2011年 度阿贝尔奖。
哥德尔发展了冯·诺伊曼和伯奈斯等人的工作， 其主要贡献在逻辑学和数学基础方面。
在20世纪初，他证明了哥德尔不完全性定理,这 一著名结果发表在1931年的论文中。
他还致力于连续统假设的研究，在1930年采用一 种不同的方法得到了选择公理的相容性证明。3年以 后又证明了（广义）连续统假设的相容性定理，并于 1940年发表。他的工作对公理集合论有重要影响，而 且直接导致了集合和序数上的递归论的产生。
生平
•
米尔诺出生于美国新泽西州奥兰治。在普林斯顿大学就读
本科期间，证明了Fary–Milnor定理。之后，他在进入普林斯顿
大学的研究生院，并完成了论文《Isotopy of Links》。获得博士
学位后，他继续在普林斯顿工作。
•
1962年，米尔诺因他在微分拓扑领域的工作获得菲尔兹奖。
之后，他又获得了美国国家科学奖章（1967年）、Leroy P Steele
性格
•
哥德尔是个要求严格的人。因此，他很多的想
法在生前都没有正式发表甚至记录，要逝世后从其手
稿找出。
•
他不喜欢谈论自己或受到注目。哥德尔曾要求王
浩在死后才可以发表一篇有关他的传记。他在学术研
究之外的东西，都不公开发表意见。
•
他亦讨厌旅行。
•
他自幼多病，而且从小便患了疑病症。他还患过
抑郁症。后来他在普林斯顿的医院绝食而死，因为他
这一点可比喻如下：若把地球上各地的风速看 成一个向量场，则任何时候地球上总有一个地方没有 风。
陈省身生于1911年，15岁考上南开大学，是第 一位获得国际数学界最高荣誉“沃尔夫数学奖”的华 人。
1943年，32岁的陈省身完成了关于高斯-博内公 式的简单内蕴证明， 这篇论文被誉为数学史上划时代 的论文，他因此被国际数学界尊称为“微分几何之 父”。
13.2 高斯-博内公式的推广
高斯－博内公式有许多重要应用，其中之一就是关 于曲面上向量场奇点的庞加莱定理:
设S是紧致无边界的可定向曲面。对于S上任何 只有孤立奇点的向量场,它在所有奇点处的指标之和等 于S的欧拉示性数。因为球面（以及与球面同胚的闭 曲面）的欧拉示性数为2,所以球面上的向量场必有奇 点。
第13章
20世纪数学概观(Ⅲ)
现代数学成果十例
13.1 哥德尔不完全性定理
哥德尔是奥地利著名数学家,不完备性定理是他 在1931年于《论<数学原理>及有关系统中的形式不可 判定命题》中提出来的。
这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化, 更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑
哥德尔
• 哥德尔（1906—1978）生于捷克的布尔诺，卒于
Prize（1982年，2004年，2011年）、沃尔夫奖（1989年）。他
还著有许多出色的书籍。这些书通俗，简洁而又严谨。
•
2011年，他因其“在拓扑，几何和代数的开拓性发现” 获
得了阿贝尔奖。作为回应，他告诉《新科学家》，“这感觉非
常好”(“It feels very good”)，并说“早上6点的电话总是让人感