南京大学固体物理复试

一、下图为石墨烯的结构，黑点代表碳原子。

1、它是复式还是简单晶格？
2、为什么？
3、画出对应的两维点阵和初基元胞。

二、考虑立方点阵(包括简、体心和面心立方)的宏观对称性，
1、画出简、体心和面心立方点阵的初基元胞的基矢。

2、写出所有的对称素。

3、列出全部的对称操作，共有多少？
三、某有序合金AB3，晶体结构如下图所示。

A、B原子的x-射线衍射的
形状因子分别为f A和f B。

1、试问这一结构的布喇菲点阵属哪个晶系？
2、求晶体衍射的几何结构因子F(h,k,l)=?
3、假定f A=f B，求衍射的消光条件。

四、试用德拜模型计算
1、系统的零点振动能U0与德拜温度的关系;
2、低温时的平均声子数<n(T) >与温度的关系
五、用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子, 若只考虑最近邻的相
互作用,
1、导出其能带为
E(k) = E0-A-4J[cos(k x a/2)cos(k y a/2)+cos(k y a/2)cos(k z a/2)+cos(k z a/2)cos(k x a/2)]。

2、求能带底部电子的有效质量。

六、两价金属中相邻两带略有重迭,第一能带带顶的能量为E1,第二能带A
B
a
带底能量为E 2.己知在此两极值处电子能量分别为
E (1)(k) = E 1-ħ2k 2/2m 1*; E (2)(k) = E 2+一ħ2k 2/2m 2*, m 1*,m 2*>0
式中k 为以极值为原点的波矢量, 试求
1、E F 0
2、N(E F 0)
一、考虑到晶体的平移周期性后，证明晶体中不可能有两条6次轴，
或者是一条6次轴和一条4次轴相交于一点。

（20分）
二、写出简立方、体心立方、面心立方的公认初基元胞基矢及其倒点
阵元胞基矢。

三、考虑一维单原子链，其晶格常数为a ，原子质量为M ，原子间最
近邻力常数为1β，次近邻力常数为2β，试求：
（a ）该一维原子链的声子色散关系；（b ）长波极限下声波的速度。

四、图示为二维正三角形晶格，相邻原子间
距为a ，只计入最近邻相互作用，试用紧束
缚法近似计算其s 电子能带E (k )、带中电子
的速度v (k )以及能带极值附近的有效质量。

五、设一维晶格的电子能带为
)cos()(0ka E k E -=，a 为晶格常数，a k a //ππ≤<-为电子的约化波矢。

假定0=t 时，能带中的一个电子的波矢为0=k ，同时施加一个外加电
场ε。

试求时间t ，该电子的波矢，能量以及群速度。

六、考虑二维自由电子气，二维电子密度为n ，试计算：
（a ）二维自由电子气的能态密度；（b ）费米能和费米波矢与电子密
度之间的关系；（c ）有限温度下，二维电子气的化学势)(T μ。

（１）Si 为半导体产业中最重要的材料之一，其单晶属于 金刚石
结构；填充率为 0.34 ；Si 原子间成键键角为 109°28′ ；该结构属于 面心立方 点阵；若其单胞（立方胞）边长为a ，倒
点阵元胞的体积为 32(π/a)^3 ；第一布里渊区内切球半径为 √3π/a 。

（２）晶体按对称性分类：点阵的点群数为 ；点阵的空间群数
为 ；结构的点群数为 ；结构的空间群数
为 ；
（３）假定价带顶附近一个e k ϖ状态，能量为)(e e k E ϖ，有效质量为*e m ,速度为e v ϖ的
电子被激发到空带，则空带中产生一个空穴，该空穴的波矢=h k ϖ -
e k ϖ ；能量=)(h h k E ϖ - )(e e k E ϖ ；有效质量=*h m -
*e m ；速度=h v ϖ e v ϖ 。

（４）假定NaCl 结构晶体元胞数为N ，则晶格振动独立的波矢数 = N ；
独立的模式数 = 6N ；其中有多少种LA 声子 N ；多
少种TA 声子 2N ；多少种LO 声子 N ；多少种TO 声
子 2N ；
二、单层石墨是近来国际研究热点问题之一。

试问它是简单还是复式格子。

为什么？作出这一结构所对应的两维点阵、初基元胞，和W-S 元胞。

三、试用德拜模型计算，元胞数为N 的三维晶体：
1、系统的零点振动能0U 与德拜温度D θ的关系；
2、低温时总声子数与温度的关系?)(=T n
四、设一个二维自由电子气系统，每单位面积中的电子数为n ，试求出该系统的 ()a 费米波矢和费米能量；()b 能态密度()E N ；()c 温度为T 时的化学势。

[本
题30分]
五、已知x y -面内晶格常数为a ，z 方向晶格常数为c 的简单四方晶体中孤立原子的S 态电子能量为s E ，晶场劈裂为0J ，沿x y -面内交叠积分为1J ，z 方向交叠积分为2J 。

()a 试用紧束缚方法导出其S 态电子能带； ()b 假定12,0,J J >求能量极大值和极小值附近的有效质量；()c 求布里渊区边界上沿3个主轴方向上的群速度。

六、设某半导体的导带和价带分别为()E k =
()E k =()a 如果在0t =时刻加一
个波矢为0,0x y z k k k k ===的电子于导带，并于Z 轴方向施加一电场E ，求t 时刻的电流；()b 求t →∞时刻的电流；()c 在相同条件下，如果价带上出现一个空穴，求其电流。

1. 由初基元胞基矢321,,a a a ρρρ定义的正点阵主要描述了晶体的 平移 对称
性。

2. 在晶体结构测量实验中常常采用边长为c b a ρρρ,,扩大的单胞而不是边长为321,,a a a ρρρ的初基元胞，主要是考虑到晶体的 转动和反演 对称性。

3. 对点阵(布喇菲格子)而言, 考虑其宏观(点群)对称性，他们可以分为__7__
个晶系. 如果还考虑其平移对称性，则共有__14__种布喇菲格子。

4. 立方体(包括简、体心和面心立方)的对称素有__3 个 4_次轴, 4 个 3_次
轴, 6 个 _2_次轴, 以及_恒等_ 和 _中心反演_ 操作, 共_48_ 个对称素。

5. 范德瓦耳斯相互作用是经典效应还是量子效应？ 量子效应 。

6. 石墨晶体的结合类型涉及到 共价 、 范德瓦尔斯 和
金属 结合。

7. 声频支和光频支格波分别对应基元中原子的 集体 和 相对 运动。

8. 某三维晶体由N 个元胞组成，每个元胞内有3个原子。

考虑晶体的晶格振动，
其色散关系曲线共有__3N__支，其中__3__支为声学波，包括_2___支横声学波，__1_支纵声学波; 另有_3N-3___支为光学波，包括__2N-2__支横光学波， __N-1__支纵光学波。

9. 设某一维简单晶格，晶格参数为a ，元胞数为N ，周期势为()a
x V x V π2cos 21=，根据近自由电子近似，在 第一 布里渊区界面上存在能隙；能隙宽度
=g E 2V1 。

写出在布里渊区界面处的波函数=±ϕ exp(i πx/a) ± exp(-i πx/a) ；相应的能量=±E λ ±V 。

10. (5分) 正常金属的比热主要来自于 电子 和 晶格 比热。

其中的
晶格 比热是室温时金属比热的主要来源。

低温下(T →0)，金属比热为两
部分之和，与温度的关系可写为()V C T =总 γT +bT 3 。

11. (5分)金属电阻是电子与导致非周期性的因素 晶格振动 和 杂志
缺陷 的散射的结果。

其中 晶格振动 导致的电阻率与温度有关，高温时为()~T ρ T ；低温时为()~T ρ T 5 。

12. 元胞数为N ，体积为V 的三维简单晶格单价金属0=T 时的费米能=F E
ℏ22m (3π2n )23 ；若将该金属分为体积为V 1和V 2的两块，则两部分的费米能之比=21F F E E 1 。

13. 己知空穴波矢h e k k =-r r 、能量()()h e h e E k E k =-r r ，设价带顶的能量为零。

画出空穴能带图，并给出空穴速度?h v =r 和空穴有效质量*?h m =
(二)、某晶体为面心立方结构，其晶格参数为a，每个格点上只有一个原子，其原子散射因子为f，求
1、某晶面的晶面指数(h
1h
2
h
3
)和密勒指数(hkl)之间的关系。

2、求密勒指数为(hkl)晶面族的面间距d
hkl。

3、求x-射线衍射的几何结构因子F(hkl)，写出消光条件。

讨论该消光条件下的密勒指数(hkl)代表的倒格点是否真实(也可以借助(1)中给出的关系)？
(三)、试用德拜模型近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温晶格比热为
1、在一维系统中C
v ∝T。

2、在二维系统中C
v
∝T2。

(四)、用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子, 若只考虑最近邻的相互作用,试导出
1、s态电子能带E
s
(k)公式。

2、能带底部电子的有效质量。

(五)、利用波尔兹曼方程的弛豫时间近似解，证明弱磁场并不改变电子的平衡分布。