南京大学固体物理复试

一、下图为石墨烯的结构，黑点代表碳原子。

1、它是复式还是简单晶格？

2、为什么？

3、画出对应的两维点阵和初基元胞。

二、考虑立方点阵(包括简、体心和面心立方)的宏观对称性，

1、画出简、体心和面心立方点阵的初基元胞的基矢。

2、写出所有的对称素。

3、列出全部的对称操作，共有多少？

三、某有序合金AB3，晶体结构如下图所示。A、B原子的x-射线衍射的

形状因子分别为f A和f B。

1、试问这一结构的布喇菲点阵属哪个晶系？

2、求晶体衍射的几何结构因子F(h,k,l)=?

3、假定f A=f B，求衍射的消光条件。

四、试用德拜模型计算

1、系统的零点振动能U0与德拜温度的关系;

2、低温时的平均声子数与温度的关系

五、用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子, 若只考虑最近邻的相

互作用,

1、导出其能带为

E(k) = E0-A-4J[cos(k x a/2)cos(k y a/2)+cos(k y a/2)cos(k z a/2)+cos(k z a/2)cos(k x a/2)]。

2、求能带底部电子的有效质量。

六、两价金属中相邻两带略有重迭,第一能带带顶的能量为E1,第二能带A

B

a

带底能量为E 2.己知在此两极值处电子能量分别为

E (1)(k) = E 1-ħ2k 2/2m 1*; E (2)(k) = E 2+一ħ2k 2/2m 2*, m 1*,m 2*>0

式中k 为以极值为原点的波矢量, 试求

1、E F 0

2、N(E F 0)

一、考虑到晶体的平移周期性后，证明晶体中不可能有两条6次轴，

或者是一条6次轴和一条4次轴相交于一点。（20分）

二、写出简立方、体心立方、面心立方的公认初基元胞基矢及其倒点

阵元胞基矢。

三、考虑一维单原子链，其晶格常数为a ，原子质量为M ，原子间最

近邻力常数为1β，次近邻力常数为2β，试求：

（a ）该一维原子链的声子色散关系；（b ）长波极限下声波的速度。

四、图示为二维正三角形晶格，相邻原子间

距为a ，只计入最近邻相互作用，试用紧束

缚法近似计算其s 电子能带E (k )、带中电子

的速度v (k )以及能带极值附近的有效质量。

五、设一维晶格的电子能带为

)cos()(0ka E k E -=，a 为晶格常数，a k a //ππ≤<-为电子的约化波矢。

假定0=t 时，能带中的一个电子的波矢为0=k ，同时施加一个外加电

场ε。试求时间t ，该电子的波矢，能量以及群速度。

六、考虑二维自由电子气，二维电子密度为n ，试计算：

（a ）二维自由电子气的能态密度；（b ）费米能和费米波矢与电子密

度之间的关系；（c ）有限温度下，二维电子气的化学势)(T μ。

（１）Si 为半导体产业中最重要的材料之一，其单晶属于 金刚石

结构；填充率为 0.34 ；Si 原子间成键键角为 109°28′ ；该结构属于 面心立方 点阵；若其单胞（立方胞）边长为a ，倒

点阵元胞的体积为 32(π/a)^3 ；第一布里渊区内切球半径为 √3π/a 。

（２）晶体按对称性分类：点阵的点群数为 ；点阵的空间群数

为 ；结构的点群数为 ；结构的空间群数

为 ；

（３）假定价带顶附近一个e k ϖ状态，能量为)(e e k E ϖ，有效质量为*e m ,速度为e v ϖ的

电子被激发到空带，则空带中产生一个空穴，该空穴的波矢=h k ϖ -

e k ϖ ；能量=)(h h k E ϖ - )(e e k E ϖ ；有效质量=*h m -

*e m ；速度=h v ϖ e v ϖ 。

（４）假定NaCl 结构晶体元胞数为N ，则晶格振动独立的波矢数 = N ；

独立的模式数 = 6N ；其中有多少种LA 声子 N ；多

少种TA 声子 2N ；多少种LO 声子 N ；多少种TO 声

子 2N ；

二、单层石墨是近来国际研究热点问题之一。试问它是简单还是复式格子。为什么？作出这一结构所对应的两维点阵、初基元胞，和W-S 元胞。

三、试用德拜模型计算，元胞数为N 的三维晶体：

1、系统的零点振动能0U 与德拜温度D θ的关系；

2、低温时总声子数与温度的关系?)(=T n

四、设一个二维自由电子气系统，每单位面积中的电子数为n ，试求出该系统的 ()a 费米波矢和费米能量；()b 能态密度()E N ；()c 温度为T 时的化学势。[本

题30分]

五、已知x y -面内晶格常数为a ，z 方向晶格常数为c 的简单四方晶体中孤立原子的S 态电子能量为s E ，晶场劈裂为0J ，沿x y -面内交叠积分为1J ，z 方向交叠积分为2J 。()a 试用紧束缚方法导出其S 态电子能带； ()b 假定12,0,J J >求能量极大值和极小值附近的有效质量；()c 求布里渊区边界上沿3个主轴方向上的群速度。

六、设某半导体的导带和价带分别为()E k =

()E k =()a 如果在0t =时刻加一

个波矢为0,0x y z k k k k ===的电子于导带，并于Z 轴方向施加一电场E ，求t 时刻的电流；()b 求t →∞时刻的电流；()c 在相同条件下，如果价带上出现一个空穴，求其电流。

1. 由初基元胞基矢321,,a a a ρρρ定义的正点阵主要描述了晶体的 平移 对称

性。

2. 在晶体结构测量实验中常常采用边长为c b a ρρρ,,扩大的单胞而不是边长为321,,a a a ρρρ的初基元胞，主要是考虑到晶体的 转动和反演 对称性。

3. 对点阵(布喇菲格子)而言, 考虑其宏观(点群)对称性，他们可以分为__7__

个晶系. 如果还考虑其平移对称性，则共有__14__种布喇菲格子。