2010年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】

1
A
1
1
0
7．设随机变量
X
服从（－1，1）上的均匀分布，事件
A＝{0＜X＜1}，B
X
1 4
，
则（ ）。
A．P（AB）＝0
5 / 15
B．P（AB）＝P（A） C．P（A）＋P（B）＝1 D．P（AB）＝P（A）P（B） 【答案】D 【解析】
8．设 X1，X 2，，X n 是来自总体 N (, 2 )( 0) 的简单随机样本，记统计量
C．x＝3 是 f (x) 的第一类间断点，x＝e 是 f (x) 的第二类间断点
D．x＝3 是 f (x) 的第二类间断点，x＝e 是 f (x) 的第一类间断点
【答案】C
【解析】
由于函数在点 x＝3 没有定义，因此 x＝3 为第一类可去间断点；
又
lim
xe
(x
ex e3 3)(x 1)
，因此函数在
T
1 n
n i 1
Xi2
，则 E（T）＝（
）。
A． 2
B． 2
C． 2 2
D． 2 2
【答案】C
【解析】由题意知，
EX , DX 2 EX 2 2 2
则有
6 / 15
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
9．
lim
x
x
x
a
x
＝______。
ea
又由于
且
3 / 15
所以
所以
，所以
。
5．设向量组Ⅰ：1，2，，r 可由向量组Ⅱ： 1，2，，s 线性表示。下列命题
正确的是（ ）。
A．若向量组Ⅰ线性无关，则 r s B．若向量组Ⅰ线性相关，则 r s C．若向量组Ⅱ线性无关，则 r s D．若向量组Ⅱ线性相关，则 r s
【答案】A 【解析】由于向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，所以 r（Ⅰ）≤r（Ⅱ），即
D
9 / 15
D (x, y) | x2 y2 2, x 1 。
【
解
析
】
。
dz | 12．函数 z
yx 1 y 在点（1，e）处的全微分
(1,e) ＝______。
【答案】
7 / 15
【
解
析
】
13．设
A
1 1
1 2
1
3
，
AT
为
A
的转置矩阵，则行列式 |
AT
A | ＝______。
【答案】0
【解析】因为 R( AT A) R( A) 2 ，又因为 AT A 为 3 阶矩阵，所以 AT A 0 。
f (x) 1 ，且
1 0
f
( x)dx
1 2
，记
则（ ）。
A． I1 I2 I3 B． I1 I3 I2 C． I2 I1 I3Leabharlann BaiduD． I3 I2 I1
【答案】D 【解析】
由于 0 < f (x) < 1，所以 f (x) f (x) ， 1 f (x) 1 f (x)
因此
即 I1 I2 。
r 1，2，，r r 1，2，，s s
若向量组Ⅰ线性无关，则 r 1，2，，r r ，所以
r r 1，2，，r r 1，2，，s s
即r s。
6．设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2 A O ，若 A 的秩为 3，则 A 相似于（ ）。
4 / 15
1
A．
1 1
2010 年考研农学门类联考《数学》真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．设函数
f
(x)
(x
ex e3 3)(x
e)
，则（
）。
A．x＝3 及 x＝e 都是 f (x) 的第一类间断点
B．x＝3 及 x＝e 都是 f (x) 的第二类间断点
例系数 k＞0），求此农作物生长高度的变化规律（高度以 m 为单位）。
解：设此农作物生长的变化规律函数为 y y(t) ，则由题意得
y ky 1 y，y(0) 0.1
求解得此农作物生长高度的变化规律为
y
ekt 9 ekt
。
18．（本题满分 11 分）
计 算 二 重 积 分 I x sin(xy)dxdy ， 其 中 区 域
A． f (a) 0 B． f (a) 0 C． f (a) 0 D． f (a) 0
【答案】B 【解析】由于
于是
因为 g(x0) 0 ，则 f (g(x0 )) 0 即可满足条件 f (g x0 ) 0 ，在 x0 取
极大值。
2 / 15
4．设函数 f (x) 在区间0,1上连续， 0
15．（本题满分 10 分）
设函数
f
(x)
ln
tan
x 2
ex
cos 2x
，求
f
( 2
)
。
解：由已知得
8 / 15
因此，
。
16．（本题满分 10 分）
2
计算定积分 x cos xdx 。 0
解：令 x t ，则 x t2 ，dx 2tdt ，所以原式为
17．（本题满分 11 分）
设某农作物长高到 0.1m 后，高度的增长速率与现有高度 y 及（1－y）之积成比例（比
【答案】
【解析】
。
10．曲线
y
2x2 cos x
sin x x2
的水平渐近线的方程为
y＝______。
【答案】－2
【解析】
11．已知一个长方形的长 x 以 0.2m/s 的速率增加，宽 y 以 0.3m/s 的速率增加，当 x
＝12m，y＝5m 时，其面积增加的速率为______。
【答案】4.6（m2/s）
14．设随机变量 X 的概率分布为 P X k (1 )k1，k 1，2， ，其中 0＜
＜1。若 PX 2 5 ，则 P X 3 ____。
9 【答案】 4
27
【解析】由题知
所以 PX
3
1 3
1
1 3
2
4 27 。
三、解答题（15～23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
0
1
1
B．
1
0
1
C．
1 1
0
1
D．
1
1
0
【答案】D
【 解 析 】 设 A 的 特 征 值 为 ， 因 为 A2 A 0 ， 所 以 2 0 ， 即
( 1) 0 0 或 1 ，又因为 A 为实对称阵，故 A 必可相似对角化，又由于 r
（A）＝3，所以 1 是三重特征根，即
x＝e
点为第二类无穷间断点。
2．曲线
y
x (x 4)2
的凸弧区间是（
）。
A．（ ，－8）
B．（－8，－4）
C．（－4，4）
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D．（4，＋∞） 【答案】A 【解析】
由
。
3．设函数 f (x)，g(x) 具有二阶导数， g(x0 ) a，g(x0 ) 0，g(x) 0 ， 则 f (g(x)) 在 x0 取极大值的一个充分条件是（ ）。