2010年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) 1. （10年，4分） 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A ) 1. (B ) e . (C ) a be -. (D ) b ae-.【考查分析】“1∞”型极限的计算. 【详解】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2lnlim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim lnx x x x a x b e→∞⋅-+=,其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).2. （10年，4分） 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A ) x . (B ) z . (C ) x -. (D ) z -. 【考查分析】隐函数偏导数的计算. 【详解】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''．选（B ）. 3. （10年，4分） 设,m n 是正整数,则反常积分()20ln 1mnx dx x-⎰的收敛性 ( )(A ) 仅与m 的取值有关. (B )仅与n 的取值有关.(C ) 与,m n 取值都有关. (D ) 与,m n 取值都无关. 【考查分析】判断反常积分的敛散性. 【详解】0x =与1x =都是瑕点.应分成()()()22211212ln 1ln 1ln 1mm mnnnx x x xxx---=+⎰⎰,用比较判别法的极限形式,对于()2120ln 1m nx x-,由于121012[ln (1)]lim 1mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim m x nx x+→-存在,此时()2120ln 1m n x x -实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,dx 总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).【评注】(1)当210m m-≥时，⎰是定积分.(2) 0,0αβ∀>>,有lim ln 00x x x βα+=→. 4. （10年，4分） ()()2211limnnn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A )()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B ) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C )()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D ) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. 【考查分析】利用积分和式求极限. 【详解】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n jn i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. 【评注】本题易认为是二重积分或误认为逐次极限.实际上,对i 求和时与j 无关,对j 求和时与i 无关,所以这是一道两个和得乘积的极限题.5. （10年，4分） 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A ) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B ) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C ) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D ) 秩()r A n =,秩()r B n =. 【详解】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A .6. （10年，4分） 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A ) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B ) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C ) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D ) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【考查分析】对称矩阵相似于对角矩阵.【详解】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 【评注】看清题目,说清每个已知条件的作用.即可得出结论.7. （10年，4分） 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A ) 0. (B )12. (C ) 112e --. (D ) 11e --. 【考查分析】本题主要考查分布函数的概念及随机事件概率的计算.已知分布函数,【详解】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C). 【评注】已知分布函数,求随机事件的概率是基本题,但需注意题中的随机变量既不是离散型也不是连续型.由于分布函数在1x =处不连续,故利用{1}(1)(10)P X F F ==--来计算.8. （10年，4分） 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A ) 234a b +=. (B ) 324a b +=. (C ) 1a b +=. (D ) 2a b +=. 【详解】根据题意知,()2212x f x e π-=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) 9. （10年，4分） 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == . 【详解】因为 ()()22ln 1ln 1tttdy t e dx e -+==-+-,()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx == 10. （10年，4分）2π=⎰.【考查分析】用变量变换与分部计算定积分.【详解】t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法,原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.11. （10年，4分） 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.【详解】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122x x dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12. （10年，4分） 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .【详解】()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdzdxdydz d rdr dzd r rdrππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r drπθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. 13. （10年，4分） 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = . 【详解】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.14. （10年，4分） 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = . 【考查分析】随机变量的数学期望,方差.泊松分布的期望,方差. 【详解】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 【评注】22()EX DX EX =+,所以应求X 的期望与方差,而X 的分布{},0,1,2,!CP X k k k === 的C 是待定常数.不难看出这是一个泊松分布. 三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. （10年，10分）(本题满分10分)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． 【考查分析】求常系数线性非齐次微分方程的通解. 【详解】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． 16. （10年，10分）(本题满分10分)求函数()()2221x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值.【考查分析】对变限求导数,划分单调区间,求极值. 【详解】 因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt x e dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .【评注】(1)求()f x 的单调性区间就是求()f x '的正负号区间.增减或增减区间的分界点就是极值点.上述方法就是求出()f x ',然后分出()f x '的正负号区间,从而得到()f x 的增减区间,相应地得到()f x 的极值点.这里就不必去求驻点处得()f x ''.(2)若题目只要求()f x 的极值,我们也可以221()2x t f x x e dt -'=⎰后,解得驻点0x =,1x =±,然后再求驻点处的二阶导数.由于201(0)20t f e dt -''=<⎰,⇒11(0)(1)2f e -=-为极大值.由于1(1)40f e -''±=>,⇒(1)0f ±=为极小值.17. （10年，10分）(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. 【详解】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()1111001ln ln ln 1nnn t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.18. （10年，10分）(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.【考查分析】求幂级数的收敛域及和函数. 【详解】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++,所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-. (II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-,故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.【评注】幂函数在收敛域上可以逐项积分,但逐项求导只能先在收敛区间进行.在逐项求导后，在另行讨论端点处是否成立。
2010年考研数学试题详解及评分参考
ò 积分 xydx + x2dy = L
.
2010 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考
【答】 应填 0 .
【解法一】 补有向线段 L : y = 0 (x Î[-1,1]) ，起点为 (1, 0) ，终点为 (-1, 0) ，设由
L 与 L 围成的平面区域为 D ，则利用格林公式及区域 D 关于 y 轴的对称性，得
nx
-
x
)
dx
ò (1) 对于
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
，易见被积函数非负，且只在
x
®
0+
时无界，于是
0
nx
ò ò 当 n > 1 时，由 lim n x m ln2 (1- x) = 0 及
1 2
1
dx 收敛，知
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
收敛；
x®0+
nx
0 nx
0
nx
( ) 当 n = 1 时，由 m ln2 (1- x)
.
【答】 应填
2 3
.
{ } 【解】 记 D = ( x, y) x2 + y2 £ 1 ，有
òòò òò ò òò ò ò W
dxdydz =
D
dxdy
1 dz
x2 + y2
= (1- x2 - y2 )dxdy =
D
2p dq
0
1(1- r2 )rdr
0
=
p 2
，
òòò òò ò òò ò ò W
2010考研数二真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( )(A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.(3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e. (4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I:,,,r ααα 可由向量组12II:,,,s βββ 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >. (8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .(11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y= .(12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= . 三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分)( I ) 比较()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；( II ) 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ.(18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3)(19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂.(20)(本题满分10分) 计算二重积分2 sin DI r θ=⎰⎰,其中(),|0s e c ,04D rr πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解. (23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得TQ A Q 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q . 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→=,其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2a x x =,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =2a y =；在ln y a x =上,x =, ln 22a a y a ==.所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于1210[ln (1lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-, 所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y z F F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅,112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n jn i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!nn -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+,所以 ()()()1(1)!(1)!ln12(1)22(12)(12)n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn yn -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '=0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰． 又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bbba S xdyb --==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=. 266221122cos 2(cos 2)(223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u ux x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u ua b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂[]2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI rθ=⎰⎰sin Dr rdrdθ=⎰⎰D=⎰⎰100xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+. (22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Qηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245TQ AQ⎛⎫⎪=Λ=-⎪⎪⎝⎭.。
2010全国研究生入学考试数学试题一答案
2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题（1）、极限（C）A、1B、C、D、（2）、设函数，由方程确定，其中F为可微函数，且，则（B）A、B、C、D（3）、设施正整数，则反常积分的收敛性( C)A、仅与的取值有关B、仅与有关C、与都有关D、都无关（4）、( D )A、B、C、D、（5）、设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（A）A、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD、秩r(A)=n, 秩r(B)=n(6) 设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于（D）A． B.C. D.(7) 设随机变量的分布函数，则 {x=1}= （C）A．0 Ｂ. C. D.(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：（A ）A、B、C、D、二、填空题（9）、设求（10）、（11）、已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分0（12）、设则的形心坐标（13）设若由形成的向量空间维数是2，则 6（14）设随机变量概率分布为，则 2三、解答题（15）、求微分方程的通解解答：（16）、求函数的单调区间与极值解答：单调递减区间单调递增区间极大值，极小值（17）、（Ⅰ）比较与的大小，说明理由（Ⅱ）设，求极限解答：（18）、求幂级数的收敛域及和函数解答：收敛域，和函数（19）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面为面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分解答：（1）（2）（20）、设已知线性方程组存在2个不同的解，（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求方程组的通解。
解答：（Ⅰ）（Ⅱ）的通解为（其中k为任意常数）（21）已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）证明：为实对称矩阵又的特征值为1，1，0的特征值为2，2，1，都大于0为正定矩阵。
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 设函数()()()33x e e f x x x e -=--，则 ( )(A) 3x =及x e =都是()f x 的第一类间断点.(B) 3x =及x e =都是()f x 的第二类间断点.(C) 3x =是()f x 的第一类间断点，x e =都是()f x 的第二类间断点. (D) 3x =是()f x 的第二类间断点，x e =都是()f x 的第一类间断点. 答案：C详解：()()33333311lim lim lim 333313x x x x x x e e e e e e x x e e x e e →→→--===------, ()()331lim lim 33x e x e x e e e e e x x e e x e→→--==∞----, 3x ∴= 是()f x 的第一类间断点,x e = 是()f x 的第二类间断点. (2) 曲线()24xy x =-的凸弧区间是 ( )(A)(),8-∞-. (B)()8,4--. (C)()4,4-. (D)()4,+∞. 答案：A 详解：()24xy x =-, ()344x y x --'=-, ()421604x y x +''=<-,∴在 (),8-∞-上，曲线是凸的(3) 设函数()f x ，()g x 具有二阶导数，()()()00,0,0g x a g x g x '''==<，则()()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是 ( ) (A)()0f a '<. (B) ()0f a '>. (C) ()0f a ''<. (D) ()0f a ''>.答案：B详解：(){}()()f g x f g x g x '''=⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,(){}()()()()2f g x f g x g x f gx g x ''''''''=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 由于 ()00g x '=，得：(){}()()()()00000f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.由于 ()00g x ''<，所以 ()0f a '>(4) 设函数()f x 在区间[]0,1上连续，()01f x <<，且()1012f x dx <⎰，记110I =⎰⎰，()()()112001I f x f y dxdy =-⎰⎰，()()()11300I f x f y dxdy =⎰⎰，则 ( )(A)123I I I <<. (B)132I I I <<. (C)213I I I <<. (D)321I I I <<. 答案：D详解： 100I =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰()()()()11112000011I f x dx f y dy f x dx f x dx =⋅-=⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()()()()1111300I f x d x f y d y fx d x f x d x =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰,由于 ()01f x <<，所以 ()f x >，()1f x >-()10f x dx ∴>⎰⎰，()101f x dx ∴>-⎡⎤⎣⎦⎰⎰，12I I ∴>. 又()()()11110000111f x dx dx f x dx f x dx -=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰，且()1012f x dx <⎰. ()()11001f x dx f x dx ∴->⎡⎤⎣⎦⎰⎰, 23I I ∴>, 123I I I ∴>> (5) 设向量组12:,,r I ααα可由向量组12:,,s II βββ线性表示，下列命题正确的是 ( )(A) 若向量组I 线性无关，则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关，则r s >.(C) 若向量组II 线性无关，则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关，则r s >. 答案：A详解：由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以()()r I r II ≤，即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关，则1(,,)r r r αα=，所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤，即r s ≤，选(A). (6) 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于 ( ) (A)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 答案：D详解：设λ为A 的特征值，由于20A A +=，所以20λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值为-1或0。
2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
lim 1 x
0
x1－
nx
1
又反常积分 1 2
1 dx 收敛，所以 1 x
1 m ln2 (1 x)
1 2
dx 收敛。 nx
1 m ln2 (1 x)
综上，无论正整数 m 和 n 取何值，反常积分 0
dx 都收敛，故选 D。 nx
n n
n
4． lim n
i 1
j1 (n i)(n2
j2)
1 m ln2 (1 x)
3．设 m，n 均是正整数，则反常积分 0
dx 的收敛性（ ）。 nx
A．仅与 m 的取值有关
B．仅与 n 的取值有关
C．与 m，n 的取值都有关
D．与 m，n 的取值都无关
【答案】D
【考点】反常积分的性质，收敛性判别
【解析】分析过程如下
1 m ln2 (1 x)
【解析】在 F（y/x，z/x）＝0 两边对 x 求导得
F1 (
y x2
)
F2
(
z x2
zx ) x
0
zx
yF1 zF2 xF2
再在 F（y/x，z/x）＝0 两边对 y 求导得
F1
(
1 x
)
F2
(
zy x
)
0
zy
F1 F2
故 x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝z。
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1 m ln2 (1 x)
1 m ln2 (1 x)
0
dx 2
nx
0
n x
dx 1
2
dx nx
1 m ln2 (1 x)
考研数学高数部分试卷与解答2010
《考研数学试卷》2010高数部份一、填空题[2010.农9.4]lim xx x x a →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭a e [2010.二10.4]曲线3221x y x =+的渐近线方程为2y x =[2010.农10.4]曲线222sin cos x xy x x +=-的水平渐近线方程为y =2-[2010.二11.4]函数()ln 12y x =-在0x =处的n 阶导数()()0n y=()21!n n -⋅-[2010.一.9.4]设()20ln 1ttx e y u du-⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰，则220t d y dx ==0 [2010.三9.4]设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则x dydx==1-[2010.三12.4]若曲线321y x ax bx =+++有拐点()1,0-，则b =3[2010.一.10.4]2π=⎰4π-[2010.三10.4]设位于曲线()y e x =≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为24π[2010.二12.4]当0θπ≤≤时，对数螺线r eθ=)1e π-[2010.二13.4]已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加，当12,5x m y m ==时，其对角线增加的速率为3/cm s[2010.农11.4]已知一个长方形的长x 以0.2/m s 的速率增加，宽y 以0.3/m s 的速率增加，当12,5x m y m ==时，其面积的增加速率为24.6/m s[2010.农12.4]函数1x y z y-=在点()1,e 处的全微分()1,e dz =2dx e dy -+[2010.一.12.4]设(){}22,,1x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心的竖坐标z =23[2010.一.11.4]已知曲线[]():11,1L y x x =-∈-，起点是()1,0-，终起点是()1,0，则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰[2010.三11.4]设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且()11R =，则()R p =()3113p pe-[2010.二9.4]3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为2123cos sin x y c e c x c x =++二、单项选择题 [2010.三1.4]若011lim 1x x a e x x→⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a =（C ）A.0B. 1C. 2D. 3[2010.一.2.4]极限()()2lim xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭（C ）A. 1B. eC. a be- D. b ae-[2010.三4.4]设()()()1010ln ,,xf x xg x xh x e ===，则当x 充分大的时候有（C ）A. ()()()g x h x f x <<B. ()()()h x g x f x <<C. ()()()f x g x h x <<D. ()()()g x f x h x <<[2010.农1.4]设函数()()()33x e e f x x x e -=--，则（C ）A. 3x =及x e =都是()f x 的第一类间断点B. 3x =及x e =都是()f x 的第二类间断点C. 3x =是()f x 的第一类间断点，x e =是()f x 的第二类间断点D. 3x =是()f x 的第二类间断点，x e =是()f x 的第一类间断点[2010.二1.4]函数()f x =的无穷间断点的个数为（B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无穷多个[2010.二3.4]曲线2y x =与曲线()ln 0y a x a =≠相切，则a =（C ）A. 4eB. 3eC. 2eD. e [2010.农2.4]曲线()24xy x =-的凸弧区间是（A ）A. (),8-∞-B.()8,4--C. ()4,4-D. ()4,+∞ [2010.三3.4][2010.农3.4]设函数()(),fx g x 具有二阶导数，()()()00,0,0g x a g x g x '''==<，则()()f g x 在0x 点取极大值的一个充分条件是（B ）A. ()0f a '<B. ()0f a '>C. ()0f a ''<D. ()0f a ''>[2010.一.3.4][2010.二4.4]设,m n 均是正整数，则反常积分10的收敛性（D ）A. 仅与m 的取值有关B. 仅与n 的取值有关C. 与,m n 的取值都有关D. 与,m n 的取值都无关 [2010.一.2.4][2010.二5.4]设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂（B ） A. x B. z C. x - D. z - [2010.一.4.4][2010.二6.4]()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑（D ） A. ()()1200111xdx dy x y ++⎰⎰ B. ()()100111xdx dy x y ++⎰⎰ C.()()11111dx dy x y ++⎰⎰D. ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰[2010.农 4.4]设函数()f x 在区间[]0,1上连续，()01f x <<，且()112f x dx<⎰，记()()()()()1111112300000,1,I dxdyI f x f ydxdy I f x fy dxdy ==-=⎰⎰⎰⎰⎰，则（D ）A. 123I I I <<B. 132I I I <<C. 213I I I <<D. 321I I I << [2010.二2.4][2010.三2.4]设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次微分方程的解，则（A ）A. 11,22λμ== B. 11,22λμ=-=- C.21,33λμ== D. 22,33λμ==三、 解答题[2010.三15.9]求极限11ln lim 1xxx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭解 因为()ln ln ln 2ln ln ln 11ln 1ln lim lim lim ln 11x x x x x x x x x x x x x e e x xe x x x e x e →∞→∞→∞⎛⎫- ⎪--⎝⎭=⋅=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而ln 1lim lim 0x x x x x →+∞→+∞==，故ln ln ln 11ln limlim lim 1ln ln x x xx x x x e x e xx →∞→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⋅=- 所以11ln 1lim 1xxx x e -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭[2010.农15.10]设函数()ln tan cos 22x x f x e x -=+，求2f π⎛⎫'' ⎪⎝⎭解 ()()csc cos 22sin 2xf x x ex x -'=-+()()cot csc 4sin 23cos 2xf x x x e x x -''=-+-，232f e ππ-⎛⎫''= ⎪⎝⎭[2010.农19.10]证明：111x e x +⎛⎫+> ⎪⎝⎭证 设()()()11ln 11ln 1ln x f x x x x x +⎛⎫=+=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭则()()111ln 1ln ln 10f x x x x x x⎛⎫'=+--=+-< ⎪⎝⎭，从而()f x 在定义域内单调减少又()11lim lim ln 1ln 1x x x f x e x +→+∞→+∞⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，从而()1f x >，即111x e x +⎛⎫+> ⎪⎝⎭[2010.二21.10]设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且()()100,13f f ==，证明：存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()22f f ξηξη''+=+ 证 设函数()()313F x f x x =-则由题意知，()()00,10F F ==，()F x 在110,,,122⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上均满足拉格朗日中值定理条件，从而()()()2111100,0,2222F F F f ξξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''⎡⎤-=-=-∈⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2111111,0,2222F F F f ηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫''⎡⎤-=-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，得()()()()221110022F F f f ηηξξ''⎡⎤⎡⎤-=-+-=⎣⎦⎣⎦ 即存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()22f f ξηξη''+=+ [2010.一.17.10][2010.二16.10][2010.三18.10]（1）比较积分()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与()1ln 1,2,n t t dt n =⎰ 的大小，说明理由；（2）记()()1l n l n 11,2,nn u t t d t n =+=⎡⎤⎣⎦⎰ ，求极限lim n n u →∞。
2010考研数一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=, 其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】12221212222x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-, ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()0122111x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,130x =. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()1230,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1T Q Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ- ,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。
2010年考研数学一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。
全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题模拟题及详解【圣才出品】
14．设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，则 【答案】 【解析】
三、解答题（15～23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 10 分）
求
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：利用等价无穷小和洛必达法则有
16．（本题满分 10 分）
求函数
的极值．
解：当
D．
【答案】C
【解析】
．则 Y 的概率密度
（ ）．
8．设 （ ）．
A． B．
为来自总体
的简单随机样本， 分别为样本均值和样本标准差，则
C． D． 【答案】B 【解析】
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分）
9． 【答案】
________ .
【解析】
10．曲线 【答案】 【解析】
11．函数 【答案】 【解析】令 令
第 1 部分 历年真题及详解
2017 年全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
求．）
1．当
时，下列变量中与 x 等价的无穷小量是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以当
时，x 的等价的无穷小量是
．
在点（0，1）处的切线方程为 ________ .
，所以切线方程为
．
的单调递减且其图形为凹的区间为 ________ .
得 ，得
； ．所以
单调递减且其图形为凹的区间为
12．曲线 【答案】 【解析】令
2010考研数学一真题及答案解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= (A)1 (B)e (C)e a b - (D)e b a -(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z xy x y∂∂+∂∂= (A)x (B)z (C)x - (D)z - (3)设,m n 为正整数,则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关(C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 (4)2211lim ()()nnx i j nn i n j →∞==++∑∑= (A)12001(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰ (B)1001(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰(C)11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰(D)112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则(A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B(C)秩(),n =A 秩()m =B (D)秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)1110⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C)1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (7)设随机变量X 的分布函数()F x = 00101,21e 2x x x x -<≤≤->则{1}P X ==(A)0 (B)1 (C)11e 2-- (D)11e --(8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,()f x =12()()af x bf xx x ≤> (0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b += (B)324a b +=(C)1a b += (D)2a b +=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设20e ,ln(1),ttx y u du -==+⎰求220t d ydx == .(10)2π⎰= .(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0),则曲线积分2L xydx x dy +⎰= .(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= . (14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!CP X k k k ===则2EX = .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)求微分方程322e x y y y x '''-+=的通解.(16)(本题满分10分)求函数221()()e xt f x x t dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(1)比较10ln [ln(1)]n t t dt +⎰与10ln (1,2,)n t t dt n =⎰的大小,说明理由 (1) 记10ln [ln(1)](1,2,),n n u t t dt n =+=⎰求极限lim .n x u →∞(18)(本题满分10分)求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 的切平面与xoy 面垂直,求P 点的轨迹,C并计算曲面积分,I ∑=⎰⎰其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设11010,1,111aλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b已知线性方程组=A x b存在两个不同的解.(1)求,.aλ(2)求方程组=A x b的通解.(21)(本题满分11分)设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为2212,y y +且Q 的第三列为,0,.22T(1)求.A(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分11分) 设二维随机变量()X Y +的概率密度为2222(,)e ,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率分布为其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使31i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年考研数学一真题及答案。
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案
(
) (A)
答案：D 详解：设 为 A 的特征值，由于 A2 A 0 ，所以 2 0 ，即 ( 1) 0 ，这样 A 的特征值 为 -1 或 0。由于 A 为实对称矩阵，故 A 可相似对角化，即 A : ， r ( A) r ( ) 3 ，因此，
(10) 曲线 y 答案： y 2
2 x 2 sin x 的水平渐近线的方程为 y . cos x x 2
sin x 2 x sin x x 2 2 0 2 lim 详解： lim 2 x cos x x x cos x 1 0 1 x2
1
1 1 1 1 1 1 1 f x dx 1 dx f x dx 1 f x dx 又 ，且 0 0 0 0 f x dx 2 . 0
1 f x dx 0 f x dx , 0
, k 1, 2,L ，其中 0 1 ，若
详解： P( X 2) P( X 1) P( X 2) (1 )11 (1 )21 (1 )
0
1
f ,
x dx
由于 0 f x 1 ，所以
f x f x ， 1 f x x f x dx ， 1 f x dx 1 f x dx ， I1 I 2 . 0 0 0
f a 0.
(B) f a 0 .
-1-
答案：B
详解： f g x f g x g x ,
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.1．设函数，则（ ）.3()(3)()x e e f x x x e -=--A ．x ＝3及x ＝e 都是的第一类间断点()f x B ．x ＝3及x ＝e 都是的第二类间断点()f x C ．x ＝3是的第一类间断点，x ＝e 是的第二类间断点()f x ()f x D ．x ＝3是的第二类间断点，x ＝e 是的第一类间断点()f x ()f x 【答案】C【解析】，由于函数在点x ＝3没有定义，因此x ＝3为第一类可去间断点；又，因此函数在x ＝e 点为第二类无穷间断点.3lim (3)(1)x x e e e x x →-=∞--2．曲线的凸弧区间是（ ）.2(4)x y x =-A ．（，－8）-∞B ．（－8，－4）C ．（－4，4）D ．（4，＋∞）【解析】由.3．设函数具有二阶导数，，则()()f x g x ，00()()0()0g x a g x g x '''==<，，在取极大值的一个充分条件是（ ）.(())f g x 0x A ．()0f a '<B ．()0f a '>C ．()0f a ''<D ．()0f a ''>【答案】B【解析】由于于是因为，则即可满足条件，在取极0()0g x '=0(())0f g x ''>[]0()0f g x '''⎡⎤<⎣⎦0x 大值.4．设函数在区间上连续，，且，记()f x []0,10()1f x <<101()2f x dx <⎰则（ ）.A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．213I I I <<D ．321I I I <<【答案】D【解析】由于0()1f x <<()1()f x f x >>-因此即．12I I >又由于且所以所以，所以．5．设向量组：可由向量组Ⅱ：线性表示．下列命题I 12r ααα⋅⋅⋅，，，12s βββ⋅⋅⋅，，，正确的是（ ）.A ．若向量组线性无关，则I r s≤B ．若向量组线性相关，则I r s>C ．若向量组Ⅱ线性无关，则r s≤D ．若向量组Ⅱ线性相关，则r s>【答案】A【解析】由于向量组I 能由向量组Ⅱ线性表示，所以r （I ）≤r（II ），即()()1212r s r r sαααβββ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，若向量组I 线性无关，则，所以()12r r r ααα=L ，，，,即.()()1212r s r r r s αααβββ=⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，r s ≤6．设A 为4阶实对称矩阵，且，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.2A A O +=A ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C ．1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭D ．1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设A 的特征值为，因为，所以，即λ20A A +=20λλ+=或，又因为A 为实对称阵，故A 必可相似对角化，又由于(1)00λλλ+=⇒=1λ=-r （A ）＝3，所以是三重特征根，即.1λ=-1110A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭:7．设随机变量X 服从（－1，1）上的均匀分布，事件A ＝{0＜X ＜1}，，则（ ）.14B X ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A ．P （AB ）＝0B ．P （AB ）＝P （A ）C ．P （A ）＋P （B ）＝1D ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）⋅【答案】D【解析】8．设是来自总体的简单随机样本，记统计量12n X X X ⋅⋅⋅，，，2(,)(0)N μσσ>，则E （T ）＝（ ）.211n i i T X n ==∑A ．2σB ．2μC ．22σμ+D ．22σμ-【答案】C【解析】由题意知，，则有2222,EX DX EXμσμσ==⇒=+二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在题目中的横线上．9．＝____.lim xx x x a →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】a e 【解析】.。
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1
A
1
1
0
7．设随机变量
X
服从（－1，1）上的均匀分布，事件
A＝{0＜X＜1}，B
X
1 4
，
则（ ）。
A．P（AB）＝0
5 / 15
B．P（AB）＝P（A） C．P（A）＋P（B）＝1 D．P（AB）＝P（A）P（B） 【答案】D 【解析】
8．设 X1，X 2，，X n 是来自总体 N (, 2 )( 0) 的简单随机样本，记统计量
【答案】
【解析】
。
10．曲线
y
2x2 cos x
sin x x2
的水平渐近线的方程为
y＝______。
【答案】－2
【解析】
11．已知一个长方形的长 x 以 0.2m/s 的速率增加，宽 y 以 0.3m/s 的速率增加，当 x
＝12m，y＝5m 时，其面积增加的速率为______。
【答案】4.6（m2/s）
r 1，2，，r r 1，2，，s s
若向量组Ⅰ线性无关，则 r 1，2，，r r ，所以
r r 1，2，，r r 1，2，，s s
即r s。
6．设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2 A O ，若 A 的秩为 3，则 A 相似于（ ）。
4 / 15
1
A．
1 1
C．x＝3 是 f (x) 的第一类间断点，x＝e 是 f (x) 的第二类间断点
D．x＝3 是 f (x) 的第二类间断点，x＝e 是 f (x) 的第一类间断点
【答案】C
【解析】
由于函数在点 x＝3 没有定义，因此 x＝3 为第一类可去间断点；
又
lim
xe
(x
ex e3 3)(x 1)
，因此函数在
14．设随机变量 X 的概率分布为 P X k (1 )k1，k 1，2， ，其中 0＜
＜1。若 PX 2 5 ，则 P X 3 ____。
9 【答案】 4
27
【解析】由题知
所以 PX
3
1 3
1
1 3
2
4 27 。
三、解答题（15～23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
T
1 n
n i 1
Xi2
，则 E（T）＝（
）。
A． 2
B． 2
C． 2 2
D． 2 2
【答案】C
【解析】由题意知，
EX , DX 2 EX 2 2 2
则有
6 / 15
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
9．
lim
x
x
x
a
x
＝______。
ea
f (x) 1 ，且
1 0
f
( x)dx
1 2
，记
则（ ）。
A． I1 I2 I3 B． I1 I3 I2 C． I2 I1 I3 D． I3 I2 I1
【答案】D 【解析】
由于 0 < f (x) < 1，所以 f (x) f (x) ， 1 f (x) 1 f (x)
因此
即 I1 I2 。
2010 年考研农学门类联考《数学》真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．设函数
f
(x)
(x
ex e3 3)(x
e)
，则（
）。
A．x＝3 及 x＝e 都是 f (x) 的第一类间断点
B．x＝3 及 x＝e 都是 f (x) 的第二类间断点
D
9 / 15
D (x, y) | x2 y2 2, x 1 。
0
1
1
B．
1
0
1
C．
1 1
0
1
D．
1
1
0
【答案】D
【 解 析 】 设 A 的 特 征 值 为 ， 因 为 A2 A 0 ， 所 以 2 0 ， 即
( 1) 0 0 或 1 ，又因为 A 为实对称阵，故 A 必可相似对角化，又由于 r
（A）＝3，所以 1 是三重特征根，即
x＝e
点为第二类无穷间断点。
2．曲线
y
x (x 4)2
的凸弧区间是（
）。
A．（ ，－8）
B．（－8，－4）
C．（－4，4）
1 / 15
Hale Waihona Puke D．（4，＋∞） 【答案】A 【解析】
由
。
3．设函数 f (x)，g(x) 具有二阶导数， g(x0 ) a，g(x0 ) 0，g(x) 0 ， 则 f (g(x)) 在 x0 取极大值的一个充分条件是（ ）。
例系数 k＞0），求此农作物生长高度的变化规律（高度以 m 为单位）。
解：设此农作物生长的变化规律函数为 y y(t) ，则由题意得
y ky 1 y，y(0) 0.1
求解得此农作物生长高度的变化规律为
y
ekt 9 ekt
。
18．（本题满分 11 分）
计 算 二 重 积 分 I x sin(xy)dxdy ， 其 中 区 域
15．（本题满分 10 分）
设函数
f
(x)
ln
tan
x 2
ex
cos 2x
，求
f
( 2
)
。
解：由已知得
8 / 15
因此，
。
16．（本题满分 10 分）
2
计算定积分 x cos xdx 。 0
解：令 x t ，则 x t2 ，dx 2tdt ，所以原式为
17．（本题满分 11 分）
设某农作物长高到 0.1m 后，高度的增长速率与现有高度 y 及（1－y）之积成比例（比
【
解
析
】
。
dz | 12．函数 z
yx 1 y 在点（1，e）处的全微分
(1,e) ＝______。
【答案】
7 / 15
【
解
析
】
13．设
A
1 1
1 2
1
3
，
AT
为
A
的转置矩阵，则行列式 |
AT
A | ＝______。
【答案】0
【解析】因为 R( AT A) R( A) 2 ，又因为 AT A 为 3 阶矩阵，所以 AT A 0 。
又由于
且
3 / 15
所以
所以
，所以
。
5．设向量组Ⅰ：1，2，，r 可由向量组Ⅱ： 1，2，，s 线性表示。下列命题
正确的是（ ）。
A．若向量组Ⅰ线性无关，则 r s B．若向量组Ⅰ线性相关，则 r s C．若向量组Ⅱ线性无关，则 r s D．若向量组Ⅱ线性相关，则 r s
【答案】A 【解析】由于向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，所以 r（Ⅰ）≤r（Ⅱ），即
A． f (a) 0 B． f (a) 0 C． f (a) 0 D． f (a) 0
【答案】B 【解析】由于
于是
因为 g(x0) 0 ，则 f (g(x0 )) 0 即可满足条件 f (g x0 ) 0 ，在 x0 取
极大值。
2 / 15
4．设函数 f (x) 在区间0,1上连续， 0