示范教案( 等比数列前n项和公式的推导与应用)

2.5 等比数列的前n 项和

2.5.1 等比数列前n 项和公式的推导与应用

从容说课

师生将共同分析探究等比数列的前n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的

等比数列前n 项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得q a a a a a a a a n n n n =====---1223211...

再由分式性质，得q a S a S n n n =--1,整理得)1(11≠--=q q q a a S n n 教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间

教学重点 1.等比数列前n 项和公式的推导

2.等比数列前n 项和公式的应用

教学难点 等比数列前n 项和公式的推导

教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等

三维目标 一、知识与技能

1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；

2.探索并掌握等比数列前n 项和公式；

3.用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，利用公式知三求一；

4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想 二、过程与方法

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动

三、情感态度与价值观

1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；

2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；

3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？ 生 知道一些，踊跃发言

师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格

子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求

师 假定千粒麦子的质量为40 g ，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？

生 各持己见.动笔，列式，计算

生 能列出式子：麦粒的总数为

1+2+22+…+263

师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下. 课件展示：

1+2+22+…+2 63=?

师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和 现在我们来思考一下这个式子的计算方法：

记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消. 课件展示：

S=1+2+22+23+…+2 63,①

2S=2+22+23+…+263+264,②

②-①得

2S-S=2 64-

264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g ，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.

师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识

推进新课 ［合作探究］

师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q 2+…+q n =？ 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察

生 观察、独立思考、合作交流、自主探究

师 若将上式左边的每一项乘以公比q ，就出现了什么样的结果呢？

生 q+q 2+…+q n +q n +1

生 每一项就成了它后面相邻的一项

师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？

师 生共同探索：

如果记S n =1+q+q 2+…+q n

那么qS n =q+q 2+…+q n +q n +1

要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =1-q n

师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q 的取值

生 如果q≠1，则有q q S n

--=11

师 当然，我们还要考虑一下如果q ＝1问题是什么样的结果

生 如果q ＝1，那么S n =n

师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？ 课件展示：

a 1+a 2+a 3+…+a n =？ ［教师精讲］

师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法

师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法

如果记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n

那么qS n =a 1q+a 2q+a 3q+…+a n

要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a n

师 再次提醒学生注意q 的取值

如果q≠1，则有q q

a a S n n --=11

师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：

如果记S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1

那么qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n -1+a 1q n

要想得到S n ，只要将两式相减，就立即有(1-q)S n =a 1-a 1q n

如果q≠1，则有q q a S n n --=1)1(1

师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.

形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a 1,q,a n ,S n ,n 中a 1,q,a n ,S n 四个；后者出现的是a 1,q,S n ,n 四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式

师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q ＝1问题是什么样的结果呢？ 生 独立思考、合作交流

生 如果q ＝1，S n =na 1

师 完全正确

如果q ＝1，那么S n =na n .正确吗？怎么解释？

生 正确.q ＝1时，等比数列的各项相等，它的前n 项的和等于它的任一项的n 倍 师 对了，这就是认清了问题的本质

师 等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：

［合作探究］

思路一：根据等比数列的定义，我们有：q a a a a a a a a n n =====-1

342312...

再由合比定理，则得q a a a a a a a a n n =++++++++-1

321432......

即q a S a S n n n =--1

从而就有(1-q)S n =a 1-a n

(以下从略

思路二：由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 得

S n =a 1+a 1q+a 2q+…+a n -1q=a 1+q(a 1+a 2+…+a n -1)=a 1+q(S n -a n

从而得(1-q)S n =a 1-a n q.

(以下从略