高考数学压轴题精选(一)(老师用)

高考数学压轴题精选(一)

1．（本小题满分12分）设函数x ax

x

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数。求正实数a 的取值范围；

设1,0>>a b ，求证：

.ln 1b

b a b b a b a +<+<+ 解：（1）01

)(2

'

≥-=

ax

ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， x

a 1

≥

∴对),1[+∞∈x 恒成立

又

11

≤x

1≥∴a 为所求。

（2）取b b a x +=

，1,0,1>+∴

>>b

b

a b a ，

一方面，由（1）知x ax

x

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数，

0)1()(

=>+∴f b

b

a f

0ln 1>+++⋅+-

∴

b b a b b a a b b

a …

即b

a b b a +>+1

ln

另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G

)1(01

11)('>>-=-

=x x

x x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G

∴当1>x 时，0)1()(>>G x G

∴x x ln >即

b

b

a b b a +>+ln

综上所述，

.ln 1b

b a b b a b a +<+<+ 2．已知椭圆C 的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上，右焦点到直线10x y -+=

（1）求椭圆C 的方程；

？

（2）过点F （1，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，设,(2,0)FA FB T λ=，若

||],1,2[+--∈求λ的取值范围。

解：（1

=1c =…………………1分

由题意1,b a =∴=

所以椭圆方程为2

212

x y +=………………………3分 （2）容易验证直线l 的斜率不为0。

故可设直线l 的方程为1x ky =+，

2

212

x y +=代入中，得.012)2(22=-++ky y k

设1122(,),(,),A x y B x y

则2

22

21+-=+k k y y .21

221+-=k y y ……………………………5分 ∵λ=∴有.02

1<=λλ，且y y

{

222

1222

12()414222

y y k k y y k k λλ+∴=-⇒++=-++由

021

2121

2

5

]1,2[≤++≤-

⇒-≤+

≤-⇒--∈λ

λλ

λλ.72

07202

4212222≤≤⇒≤⇒≤+-≤-⇒k k k k …………7分

∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x y x y x +-+=+∴-=-=

又.2

)

1(42)(4,222221212

21++-=-+=-+∴+-=+k k y y k x x k k y y

故2212212)()4(||y y x x TB TA ++-+=+

2

22222222222)2(8

)2(28)2(16)2(4)2()1(16+++-+=

++++=k k k k k k k 2

22)2(8

22816+++-

=k k ……………………………………………………8分

令720.2

12

2≤≤+=

k k t ∴21211672

≤+≤k ，即].21,167[∈t ∴.2

17

)47(816288)(||222--=+-==+t t t t f

而]21,167[∈t ，∴169()[4,]32

f t ∈

∴].8

2

13,

2[||∈+TB TA ………………………………………………………10分 '

3．设函数322

()f x x ax a x m =+-+(0)a >

（1）若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求m 的范围； （2）若函数()f x 在[]1,1-内没有极值点，求a 的范围；

（3）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）当1a =时32

()f x x x x m =+-+，

因为()f x 有三个互不相同的零点，所以32

()0f x x x x m =+-+=， 即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。

令32()g x x x x =--+，则'2

()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+。 因为()g x 在(,1)-∞-和13(,)+∞均为减函数，在()

13

1,-为增函数， ]

m 的取值范围()5

271,-

（2）由题可知，方程'

2

2

()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根，

因为'2'2

(1)320

(1)3200f a a f a a a ⎧=+-≤⎪-=--≤⎨⎪>⎩

，所以3a ≥

（3）∵'22

3()323()()a f x x ax a x x a =+-=-+，且0a >，