4-5_证明不等式的基本方法_教案4_(人教A版选修4-5)

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人教A版选修4-5 用数学归纳法证明不等式举例第1课时教案

章节：课时：备课人；二次备课人课题名称第四讲用数学归纳法证明不等式举例（1）三维目标学习目标：1、会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式；2、在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系；3、培养学生特殊化、一般化和转化的数学思想。

重点目标会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式难点目标会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式导入示标目标三导学做思一：自学探究问题1.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是A2k－1B2k－1C2k D2k+1解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为;由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k答案：C学做思二问题2.用数学归纳法证明（1+1）（1+）·…·（１＋）＞当n=1时，不等式①成立假设n=k时，不等式①成立，即（1＋1）（1＋）·…·（１＋）＞那么n=k+1时，（１＋１）（１＋）·…·（１＋）（１＋）＞（１＋）＝又［］2－（）2＝＞０，∴＞=∴当n=k+1时①成立综上所述，n∈N*时①成立．学做思三技能提炼例1、在数列中，a n>0,且S n=1/2(a n+)(1)求a1、a2、a3；(2)猜测出a n的关系式并用数学归纳法证明。

例2、用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是A2k－1B2k－1C2k D2k+1例3、设数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+（n=1，2，…）（1）证明a n＞对一切正整数n都成立；（2）令b n=（n=1，2，…），判定b n与b n+1的大小，并说明理由达标检测变式反馈1、用数学归纳法证明第一步应验证（）2、已知不等式左边增加的部分是（）3、证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有a n+c n＞2b n.反思总结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验课后练习同步练习金考卷。

人教版高中数学选修4-5教案【第08课时】不等式的证明方法：比较法

课题：第08课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：要点难点：教课过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只需观察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a b a b0a b a b0a b a b0二、典型例题：例 1、设a b ，求证：a23 2 2 (a b)。

b b例 2、若实数x 1 ，求证：3(1x2x 4 )(1x x 2 ) 2 .证明：采纳差值比较法：3(1x2x4 )(1x x2 )2= 3 3x23x 4 1 x2x 42x 2x 22x3= 2( x4x3x1)= 2( x1) 2 ( x 2x1)= 2( x1) 2 [( x 1 )23 ].241 )23x 1,进而 (x1) 20,且( x0,1)23] 0,24∴ 2( x 1) 2 [( x24∴ 3(1x 2x4 )(1x x 2 ) 2 .议论：若题设中去掉x 1 这一限制条件，要求证的结论怎样变换？例 3、已知a,b R ,求证a a b b a b b a .此题能够试试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明： 1) 差值比较法：注意到要证的不等式对于a, b 对称，不如设 a b 0.a b0，进而原不等式得证。

a ab b a b b a a b b b (a a b b a b ) 02）商值比较法：设 a b0,a1, a b 0, a a b b( a )a b 1. 故原不等式得证。

b a b b a b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地址。

甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半行程以速度m 行走，另一半行程以速度n 行走。

假如m n ，问甲、乙两人谁先抵达指定地址。

剖析：设从出发地址至指定地址的行程是S ，甲、乙两人走完这段行程所用的时间分别为 t1 ,t2。

人教版高中数学选修4-5第四讲《数学归纳法证明不等式》教案

第四讲：数学概括法证明不等式数学概括法证明不等式是高中选修的要点内容之一，包含数学概括法的定义和数学概括法证明基本步骤，用数学概括法证明不等式。

数学概括法是高考考察的要点内容之一，在数列推理能力的考察中据有重要的地位。

本讲主要复习数学概括法的定义、数学概括法证明基本步骤、用数学概括法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、剖析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特别到一般等数学思想方法。

在用数学概括法证明不等式的详细过程中，要注意以下几点：（1）在从 n=k 到 n=k+1 的过程中，应剖析清楚不等式两头（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的构造特点；（2）对准当 n=k+1 时的递推目标，有目的地进行放缩、剖析；（3）活用起点的地点；（4）有的试题需要先作等价变换。

例题精讲例 1、用数学概括法证明111111111342n 1 2n n 1 n 22n2剖析：该命题企图：本题主要考察数学概括法定义，证明基本步骤证明：11111 当 n=1 时，左侧 =1- 2=2，右侧 =1 1 = 2 ，所以等式建立。

2 假定当 n=k 时，等式建立，111111111即 2 3 42k 1 2k k 1 k 22k 。

那么，当 n=k+1 时，111111112k 12342k12k2k2 11111k1k22k2k12k2 11111111( 11)2 3 4k 2 k 32k 2k 1 k 1 2k 211111k2k32k2k 1 2(k 1)这就是说，当n=k+1 时等式也建立。

综上所述，等式对任何自然数n 都建立。

评论：数学概括法是用于证明某些与自然数相关的命题的一种方法．设要证命题为P（ n）．（ 1）证明当 n 取第一个值 n时，结论正确，即考证P（ n ）正确；（ 2）假定 n=k（ k∈ N 且 k≥n）000时结论正确，证明当 n=k+1时，结论也正确，即由 P（k）正确推出 P（ k+1）正确，依据（ 1），（2），就能够判断命题要证明的等式左侧共P（ n）对于从2n 项，而右侧共n0开始的全部自然数n 项。

高二选修4-5_证明不等式的基本方法4

把以上四个不等式相加得 abcd a b c d abcd abd bca cbd dac
abcd. 即 ab cd
1 a b c d 2 abd bca cba dac
分式型放缩可改变分子或分母，或分子、分母同时改变，达到放缩的目的．
例2
已知a,b是实数,求证 a b 1 a b
【解析】当
n＞1
1 1 11 时，n2＞nn＋1＝n－n＋1.
所以212＋312＋412＋…＋n12＞2×1 3＋3×1 4＋4×1 5＋…＋nn1＋1＝ 12－13＋13－14＋14－15＋…＋1n－n＋1 1＝12－n＋1 1.
【例 1】
证
明
：12
－
1 n＋1
＜
1 22
＋
1 32
＋
1 42
＋
…
x 1x
y 1 y
B
A B
方法2：特值法: 因为x>0,y.>0, 所以取x=1,y=1代入可比较。
含根式不等式的放缩
【例 3】已知实数 x，y，z 不全为零，求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2＞32(x＋y＋z)．
【解题探究】欲证不等式左端是三个根式的和，而右端是有理式，若两边平方则十分复杂，可考虑对根号内的式子进行配方后再用放缩法．
1．放缩法：在证明不等式的过程中，有时利用不等式的_传__递_性____，通过对不等式的某些部分作适当的__放_大_或_缩_小______，达到证明的目的．
2．放缩法的实质是__非_等_价_转__化________，放缩没有__一_定_的_准_则__和_程_序__________，需按题意适当放缩，否则达不到目的．

高中数学教案选修4-5教案第二讲证明不等式的基本方法一比较法

一比较法目的要求：掌握证明不等式的基本的解法之----比较法。

重点难点：掌握作差比较和作商比较各自的使用情景教学设计：目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：一、复习：不等式的一个等价命题：二、作差法：1． 2.已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：ba mb m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：ba mb m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？3.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2，则21122,22t nS m S S n t m t =+=+ .0,.0,的大小比较差与转化为即把不等式两边相减本的方法就是证明基最要证明>->b a b a .,,,12233ab b a b a b a b a +>+≠求证且都是正数已知例.,,,.,.2并给出证明问题将这个事实抽象为数学此时浓液的浓度增加到白糖加若在上述溶液中再添则其浓度为糖溶液白糖制出如果用例m b m a kg m b a kg b kg a ++.,,定正负的代数式转化为一个能够明确确通过适当的恒等变形可以把不等式两边相减分析可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2从而：甲先到到达指定地点。

人教版高中选修4-5第二讲讲明不等式的基本方法教学设计

人教版高中选修4-5第二讲讲明不等式的基本方法教学设计教学目标1.了解不等式的概念和性质2.掌握不等式的求解方法3.能够灵活运用不等式解决实际问题4.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力教学内容本节课的教学内容为“不等式的基本方法”。

主要包括如下几个方面：1.不等式的概念和性质2.不等式的解法及其应用3.不等式在实际问题中的应用教学重难点本节课的教学重难点为：1.不等式的解法及其应用2.不等式在实际问题中的应用教学方法1.课堂讲解：通过教师的讲解，让学生了解不等式的概念和性质，并掌握不等式的求解方法。

2.练习演示：通过例题演示，让学生掌握不等式解法，并培养学生灵活运用不等式解决实际问题的能力。

3.探究式教学：通过让学生自主探究和发现，培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。

教学过程Step 1 引入新课1.教师针对“不等式的基本方法”这一主题，通过引入一些生活实例，激发学生学习的兴趣，进入主题。

2.介绍本节课的教学目标、内容和重难点。

Step 2 教学内容讲解1.首先，教师给出不等式的概念和性质，包括定义、分类、性质、意义等方面的内容。

2.然后，介绍不等式的求解方法，包括一元不等式的解法和二元不等式的解法。

3.最后，通过例题演示不等式在实际问题中的应用，如面积、周长、速率等问题。

Step 3 练习与探究1.学生自主完成若干道基础练习。

2.教师引导学生探究不等式的引理和定理，让学生自主发现不等式性质的规律和特点。

3.学生自主设计不等式应用题，通过小组或个人讨论解决问题。

Step 4 总结与拓展1.教师对本节课所学内容进行总结。

2.教师给出不等式在实际问题中的拓展应用，引导学生思考更为复杂、实用的问题，并进行实例演示。

3.学生相互检查，互相评价，提出建议和意见。

教学评估评估方式：小测验小测验内容：1.不等式的定义及分类。

2.一元不等式和二元不等式的解法。

3.不等式在实际问题中的应用。

教学反思1.通过采用探究式教学方法，学生的理解能力得到了很大的提高，在练习中学生也更加自主、自信。

5.3 证明不等式的基本方法课件(人教A版选修4-5)

第二讲证明不等式的基本方法(一)
引入
思考一
方法综合
课堂练习
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
第二讲证明不等式的基本方法(一)
前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式以及绝对值不等式 x ≤ a 和 x ≥ a 的解集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面，我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法. 思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证： a 3 b3 a 2b ab2
∴a b a b
a b
b a
课外练习: 1.若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1，求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,
4 求证: 1 a b . 3
4. 比较 loga (1 x) 与 loga (1 x)
的大小（ a 0且a 1,0 x 1）.
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
1．若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 证明：采用差值比较法： 2 4 2 2 3(1 x x ) (1 x x ) = 3 3 x2 3 x4 1 x2 x4 2 x 2 x2 2 x3 = 2( x 4 x 3 x 1) = 2( x 1)2 ( x 2 x 1) 1 2 3 2 = 2( x 1) [( x ) ]. 2 4 1 2 3 2 x 1, ( x 1) 0, 且( x ) 0, 2 4 12 3 2 ∴ 2( x 1) [( x ) ] 0, ∴ 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2 4

新人教A版高中数学(选修4-5)《用数学归纳法证明不等式》word教案2篇

4.2 用数学归纳法证明不等式课前导引情景导入观察下列式子：1+23212<,1+,35312122<+47413121222<++,…,则可以猜想的结论为：__________考注意到所给出的不等式的左右两边分子、分母与项数n 的关系，则容易得出结论：1+++223121 (112)1(12++<+n n n . 这个不等式成立吗？如何证明呢？知识网络证明不等式是数学归纳法的重要应用之一，在利用数学归纳法证明不等式时，要注意利用不等式的传递性.证明不等式的其他常用方法,如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等也是证明P(k+1)成立的基本方法.〔这里的P(k+1)是n=k+1时不等式成立〕使用数学归纳法证明不等式时除了以上方法外，还要注意发现或设法创设归纳假设与n=k+1时命题之间的联系，充分利用这样的联系来证明n=k+1时命题成立.课堂导学三点剖析一、利用数学归纳法证明不等式的技巧（一）【例1】对于n ∈N ,证明1312111++++++n n n >1. 证明：当n=1时，左边=1213>1=右边；设n=k 时，有1312111++++++k k k >1; 当n=k+1时，左边1313121++++++k k k ++++=+++++=2111)431331231(k k k k k 3324312311)11431331231(131+-++++>--++++++++k k k k k k k k )43)(33)(23(21++++=k k k >1=右边.所以对一切自然数n 不等式均成立. 温馨提示解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从n=k 到n=k+1增减的项. 各个击破类题演练1对于n ∈N ，试比较2n 与n 2的大小. 解析：先验算n=1时，2n >n 2，n=2和n=4时，2n =n 2,n=3时,2n <n 2. 而当n=5时，有2n >n 2,猜测对n≥5有2n >n 2. 用数学归纳法证明如下：（1）当n=5时，已证.（2）设当n=k(k≥5)时，2k >k 2且k 2>2k+1. 当n=k+1时，2k+1=2·2k >2k 2>k 2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1时成立. 由（1）、（2），知猜测正确. 变式提升1 求证：1+21213121n n >-+++ . 证明：用数学归纳法.当n=1时，显然不等式成立.根据归纳假设，当n=k 时，命题成立，即 1+21213121k k >-+++ .① 要证明n=k+1时，命题也成立，即1+211211212112131211+>-+++++-++++k k k k k .② 要用①来证明②,事实上，对不等式①两边加上（121121211-+++++k k k ）,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证121121211-+++++k k k ≥21.③③式左边共有2k项，且1211-+k 最小，故212212212112121111=>->-+++++++k k k k k kk ,这就证明了③式成立.综上，知不等式成立.二、利用数学归纳法证明不等式的技巧（二）【例2】已知n 是大于1的自然数，求证： (1+31)(1+51)(1+71)…(1+121-n )>1221+n . 证明：假设n=k(k≥2)时，原不等式成立，即（1+31）(1+51)(1+71)…(1+121-k )>1221+k . 则当n=k+1时，左边=（1+31）（1+51）（1+71）…（1+121-k ）·(121+k )>1221+k ·(1+121+k )=21(12112+++k k ).现在关键证21(12112+++k k )>1)1(221++k ,直接证较繁,下面用分析法证之.欲证21（12112+++k k ）>1)1(221++k ,即证3212112+>+++k k k ,只需证2k+1+121+k +2>2k+3,即121+k >0.这显然是成立的，故当n=k+1时，原不等式成立. 综上，当n 为大于1的自然数时，原不等式成立.温馨提示用数学归纳法证明不等式时，从P(k)到P(k+1)的过渡往往用到不等式的传递性，即要证n=k+1时不等式成立〔不妨用A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需n=k 时，A （k ）≥B(k)成立,然后有A （k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 类题演练2在数列{a n }中，|a n |<2,且a n+1a n -2a n+1+2a n <0, 求证：a n >n2-(n ∈N ). 证明：∵|a n |<2, ∴-2<a n <2.∴2-a n >0. 由题设a n+1(2-a n )>2a n ,则a n+1>nna a -22.1°当n=1时，由|a n |<2,得a 1>-2=12-成立. 2°假设当n=k 时，有a k >k2-成立.（下证a k +1>12+-k 成立）设f(x)=x x -22,易知f(x)在(-2,2)内是单调递增的，又a k +1>f(a k ),由归纳假设,可知a k >k2-, ∴a k+1>f(a k )>f(k 2-)=1222)2(2+-=+-∙k kk ,即当n=k+1时，a k+1>12+-k 成立.故对任意n ∈N ，a n >n2-成立.变式提升2设a,b ∈R *,n ∈N *,求证：2n n b a +≥(2b a +)n.证明：①n=1时，左边=右边=2ba +,原不等式成立. ②设n=k 时,原不等式成立，即2k kb a +≥(2b a +)k成立.∵a,b ∈R +,∴2b a +·2k k b a +≥2)(1++k b a 成立.∴要证明n=k+1时原不等式成立，即证明)2(211b a b a k k +≥+++k+1成立. 只需证明:22211kk k k b a b a b a +∙+≥+++成立. 只需证明:a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立.下面证明:a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立.不妨设a≥b >0,则a k+1+b k+1-ab k -a k b=(a k -b k )(a-b)≥0. ∴a k+1+b k+1≥ab k +a k b 成立. 故n=k+1时原不等式成立.由①②,可知对于任何n ∈N *，原不等式成立. 三、数学归纳法证明不等式的点问题【例3】证明n 为一切自然数时，（1+2+…+n ）·（1+21+…+n1）≥n 2. 证明：先看下面的证明（1）n=1时，左边=右边=1,命题正确.（2）假设n=k(k ∈N 且k≥1)命题正确，即(1+2+…+k)·(1+21+…+k1)≥k 2，则n=k+1时，左边=［1+2+…+k+(k+1)］［1+21+…+111++k k ］=(1+2+…+k)·(1+21+…+k1)+121+++k k +(k+1)·（1+21+…+k 1）+1≥k 2+21k+(k+1)(1+21+…+k 1)+1，∵1+21+…+k 1≥1+21,∴左边≥k 2+21k+(k+1)(1+21)+1=k 2+2k+1+23≥k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时命题正确. 综合（1）、（2）,知n 为一切自然数时命题正确. 初看“证明”天衣无缝，仔细推敲便会发现“证明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.归纳步的证明用了结论“1+21+…+k 1≥1+21”,此结论成立的前提条件是k≥2,即归纳步建立的自动递推机制只能在n≥2(n ∈N )的范围内行使递推职能，其得以起动的初始条件是n=2时命题正确.因此数学归纳法的奠基应是n=2时命题正确的验证，n=1时的验证只是对命题的补充证明，并非为奠基.该命题严格的证明过程应该是：（1）n=1,2时命题正确，（2）n≥2时，用数学归纳法证明假设n=k(k ∈N 且k≥2)时命题正确，证明n=k+1时命题也正确. 综合（1）、（2）,知n 为一切自然数时命题正确. 温馨提示对于一个n≥n 0(n ∈N )的真命题，如果用数学归纳法证明，第一步总是n=n 0时命题正确的验证.这种想法是不对的，到底“奠基”步中从哪个数字开始，要看问题的条件. 类题演练3若a i >0(i=1,2,…,n),且a 1+a 2+…+a n =1, 求证：a 12+a 22+…+a n 2≥n1(n ∈N 且n≥2). 证明：(1)n=2时，∵a 1+a 2=1,∴a 12+a 22=a 12+(1-a 1)2=2(a 1-21)2+21≥21. ∴n=2时命题正确.（2）假设n=k(k≥2)时命题正确，即如果a 1+a 2+…+a k =1且a i >0(i=1,2,…,k), 那么a 12+a 22+…+a k 2≥k1,则n=k+1时， ∵a 1+a 2+…+a k +a k+1=1, ∴a 1+a 2+…+a k =1-a k+1. ∵0<a k+1<1,∴0<1-a k+1<1. ∴k 个正数的和11211111+++-++-+-k k k k a a a a a a =1,从而由归纳假设得 ka a a a a a k k k k 1)1()1()1(21212211≥-++-+-+++ , 即a 12+a 22+…+a k 2≥k 1(1-a k+1)2,从而有a 12+a 22+…+a k 2+a k+12≥k 1(1-a k+1)2+a k+12. 下面只要证明k 1(1-a k+1)2+a k+12≥11+k ,即证(k+1)2a k+12-2(k+1)a k+1+1≥0，即证［(k+1)a k+1-1］2≥0,∴上式成立. 故n=k+1时命题正确. 变式提升3设x>0，x≠1,求证：（1+x n ）(1+x)n >2n+1x n (n ∈N ). 证明：（1）n=1时，左边=(1+x)2,右边=4x, ∵(1+x)2-4x=(1-x)2>0,∴(1+x)2>4x.∴n=1时命题正确.（2）假设n=k(k ∈N 且k≥1)时命题正确，即(1+x k )(1+x)k >2k+1x k ,则n=k+1时，（1+x k+1）(1+x)k+1-2k +2x k+1=(1+x k+1)(1+x)k+1-2x·2k+1x k >(1+x k+1)(1+x)k+1-2x(1+x k )(1+x)k =(1+x)k ［(1+x)(1+x k+1)-2x(1+x k )］ =(1+x)k (1+x+x k+1+x k+2-2x-2x k+1) =(1+x)k (1-x)(1-x k+1), ∵x>0且x≠1,∴1-x 与1-x k+1同号. ∴（1+x ）k ·(1-x)(1-x k+1)>0.∴（1+x k+1）(1+x)k+1>2(k+1)+1x k+1. ∴n=k+1时命题正确.。

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质

探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

人教A版高中数学选修4-5第一讲二绝对值不等式上课课件

证明
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工区地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把实际问题划归为数学问题，即归结为求解形如y x a x b 的函数的极值问题，这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称定理1为绝对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况：如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b

高中数学教案选修4-5教案第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法

三反证法与放缩法☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ☻知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系： ☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。

例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例xy y x y x y x ++>+>.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑧利用常用结论：如：2=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例3 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<c ad d b d c c a c b b d b a a 证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +∴1=+++++++++++++++>c b ad d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立。

高中数学人教A版选修4-5教学案：第四讲二用数学归纳法证明不等式

对应学生用书P421．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．2．归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．对应学生用书P42[例1]证明：2n＋2>n2，n∈N＋.[思路点拨]验证n＝1，2，3时，不等式成立―→假设n＝k成立，推证n＝k＋1―→n＝k＋1成立，结论得证[证明](1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．当n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k 2＋2k ＋1)＋(k ＋1)(k －3)(因k ≥3，则k －3≥0， k ＋1>0)≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.所以2k ＋1＋2>(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)，原不等式对于任何n ∈N 都成立．数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n ＝k 时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．1．用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式成立．即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56.当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)>56＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立． 2．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k，当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，不等式成立．由(1)(2)知原不等式在n ≥2，n ∈N ＋时均成立．3．设P n ＝(1＋x )n ，Q n ＝1＋nx ＋n (n －1)2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n的大小，并加以证明．解：(1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n .(2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类)． ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n >Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，则P 3－Q 3＝x 3<0，所以P 3<Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )<0，所以P 4<Q 4. 假设P k <Q k (k ≥3)，则P k ＋1＝(1＋x )P k <(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3<Q k ＋1，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n <Q n .[例2] 设f (n )>0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)，又f (2)＝4. (1)求f (1)，f (3)的值．(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．[思路点拨] 利用f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)可求出f (1)，f (3)再猜想f (n )，利用数学归纳法给出证明．[解] (1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)．取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )>0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2.取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，猜想f (n )＝2n .证明：①当n ＝1时f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k 成立． f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，这就是说当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知猜想正确，即f (n )＝2n .利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．4．在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4的值，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式； (2)证明你的结论．解：(1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.(2)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上知结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立．即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝ 2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)． b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．5．是否存在常数a ，b ，c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N ＋都成立，若存在，求出a ，b ，c 并证明；若不存在，试说明理由．解：假设存在a ，b ，c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )，对于一切n ∈N ＋都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1；当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6；当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]．即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N ＋都成立．对应学生用书P441．用数学归纳法证明“对于任意x >0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋1x n －4＋1xn －2＋1xn ≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( ) A ．n 0＝1 B ．n 0＝2C ．n 0＝1,2D ．以上答案均不正确解析：需验证：n 0＝1时，x ＋1x ≥1＋1成立．答案：A2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：n 取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5. 答案：C3．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1解析：由n ＝k 到n ＝k ＋1，应增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项．答案：C4．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞m24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )A ．12B ．13C ．14D ．不存在解析：令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，取n ＝2,3,4,5等值，发现f (n )是单调递增的，所以[f (n )]min ＞m 24，所以由f (2)＞m24，求得m 的最大值为13. 答案：B5．证明n ＋22<1＋12＋13＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时．要证明的式子为________．解析：当n ＝2时，要证明的式子为 2<1＋12＋13＋14<3.答案：2<1＋12＋13＋14<36．用数学归纳法证明“⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12”时，n 的最小取值n 0为________．解析：左边为(n －1)项的乘积，故n 0＝2. 答案：27．设a ，b 均为正实数(n ∈N ＋)，已知M ＝(a ＋b )n ，N ＝a n ＋na n －1b ，则M ，N 的大小关系为________解析：当n ＝1时，M ＝a ＋b ＝N . 当n ＝2时，M ＝(a ＋b )2，N ＝a 2＋2ab <M . 当n ＝3时，M ＝(a ＋b )3，N ＝a 3＋3a 2b <M . 归纳得M ≥N . 答案：M ≥N8．用数学归纳法证明，对任意n ∈N ＋，有 (1＋2＋…＋n )⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n ≥n 2. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝右边，不等式成立．当n ＝2时，左边＝(1＋2)⎝⎛⎭⎫1＋12＝92>22，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即(1＋2＋…＋k )⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ≥k 2. 则当n ＝k ＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k )＋(k ＋1)]⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ (1)⎦⎤＋1k ＋1＝(1＋2＋…＋k )⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ＋(1＋2＋…＋k )1k ＋1＋(k ＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k ＋1≥k 2＋k2＋1＋(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1k . ∵当k ≥2时，1＋12＋…＋1k ≥1＋12＝32，(*)∴左边≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)×32＝k 2＋2k ＋1＋32≥(k ＋1)2.这就是说当n ＝k ＋1时，不等成立，由(1)、(2)可知当n ≥1时，不等式成立． 9．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a ≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5. 由此猜想a n 的一个通项公式： a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明．①当n ＝1，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，当n ＝k ＋1时．a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时， a k ＋1≥(k ＋1)＋2.根据①和②，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋2. 10．设a ∈R ，f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是奇函数，(1)求a 的值；(2)如果g (n )＝nn ＋1(n ∈N ＋)，试比较f (n )与g (n )的大小(n ∈N ＋)．解：(1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.故a ＝1.(2)f (n )－g (n )＝2n －12n ＋1－nn ＋1＝2n －2n －1(2n ＋1)(n ＋1).只要比较2n 与2n ＋1的大小．当n ＝1,2时，f (n )<g (n )；当n ≥3时，2n >2n ＋1，f (n )>g (n )．下面证明，n ≥3时，2n >2n ＋1，即f (x )>g (x )． ①n ＝3时，23>2×3＋1，显然成立， ②假设n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时，2k >2k ＋1，那么n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k >2(2k ＋1)．2(2k ＋1)－[2(k ＋1)＋1]＝4k ＋2－2k －3＝2k －1>0(∵k ≥3)，有2k ＋1>2(k ＋1)＋1.∴n ＝k ＋1时，不等式也成立，由①②可以判定，n ≥3，n ∈N ＋时，2n >2n ＋1. 所以n ＝1,2时，f (n )<g (n )；当n ≥3，n ∈N ＋时，f (n )>g (n )．。

人教A版选修4-5证明不等式的基本方法

ba
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2、分析法：（执果索因）
从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充
分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系：
B B1 B2 Bn A
a+b+c
即 aabbcc abc 3 .
补充例题 :已知a 2，求证 : loga (a 1) log(a1) a.
分析：由于不等式两边对数的底数不同，故不宜采用作差比较法，解答本题可采用作商比较法.
证明： a 2， a 1 1，loga a 1 0，loga1 a 0.
由于
loga a 1
下面给出证明.将不等式两边相减,得 b m b
a m a m(b a) b m b b(b m)
a b，b a 0，又 a，b，m都是正数，
m(b a) 0，b(b m) 0
m(b a) 0 ，即 a m a 0， a m a ，
b(b m)
bm b
bm b
例4、已知a，b，c 0，求证:a2b2 b2c2 c2a2 abc. abc
分析 : 要证的不等式可以化为 a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)，即 a2b2 b2c2 c2a2 a2bc b2ac c2ab. 观察上式,左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用x2 ( y2 z2 ) 2x2 yz.
证明: b2 c2 2bc，a 0，a(b2 c2 ) 2abc c2 a2 2ac，b 0，b(c2 a2 ) 2abc
a2 b2 2ab，c 0，c(a2 b2 ) 2abc

高中数学(人教A版)选修4-5教案第二讲证明不等式的基本方法2.2.2 分析法

当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。

使用分析法证明时，要注意表述的规范性，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进行表述，完成证明过程。

例1、求证：5273<+证：分析法：综合表述： ∵052,073>>+ ∵21 < 25只需证明：22)52()73(<+ ∴521<展开得： 2021210<+ ∴10212<即： 10212< ∴2021210<+∴ 521< ∴22)52()73(<+即： 21 < 25（显然成立） ∴5273<+ ∴5273<+例2、设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++即：3322222)(3y x y x y x >+只需证：xy y x 3222>+∵xy xy y x 32222>≥+成立∴ 31332122)()(y x y x +>+证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+2333366)(2y x y x y x +=++>∵x > 0，y > 0， ∴31332122)()(y x y x +>+例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0展开得：2222c b a ca bc ab ++-=++∴ab + bc + ca ≤ 0证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2即证：0222≥+++++ca bc ab c b a即：0])()()[(21222≥+++++a c c b b a （显然）∴原式成立证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2 = a 2 b 2 ab = 0]43)2[(22≤++-bb a例4、已知0,1a b ab >>=，求证：22a b a b +≥-，并求等号成立的条件。

人教A版选修4-5 2.2证明不等式的基本方法学案

2.2 证明不等式的基本方法学习目标1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1 如何理解分析法寻找的是充分条件？探究2 综合法与分析法有何异同点？1.综合法证明不等式(1)用综合法证明不等式需要把“从已知出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证”的全过程写出来，其特点可描述为“由因导果”．可图示为P ⇒Q 1⇒Q 1⇒Q 2⇒…⇒Q n ⇒Q .图中P 表示已知或已有的定义、定理、性质等，Q 为要证的结论．(2)综合法证明时常用的不等式：a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，取等号)，a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋，当且仅当a ＝b 时，取等号)，a 2≥0，|a |≥0，(a －b )2≥0，b a ＋a b ≥2(ab >0)．2．分析法证明不等式(1)当证明题不知从何入手时，可以用分析法而获得解决．它从待证的结论入手，步步寻求结论成立的充分条件，直至这个充分条件是显然成立的．(2)用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式是：欲证B 成立，只需证B 1成立，只需证B 2成立，……只需证A 成立，而A 已知成立，从而知“若A 则B ”为真．(3)用分析法证明不等式的逻辑关系是：B ⇐B 1⇐B 2…⇐B n ⇐A .3．分析综合法证明不等式一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易下手，因而常用分析法寻求解题途径，然后用综合法进行证明．还有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法(或两头凑法)．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提，相互渗透，相互转化的辩证统一关系．分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.【例1】已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.【变式训练1】已知a >0，b >0，c >0，求证：1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac.【例2】已知a >b >0，求证：2()8a b a-<a ＋b 2－ab <2()8a b b -.(2)不等式两边需平方或开方时，不等式两边必须是非负数．【变式训练2】已知a ，b ∈R ＋，2c >a ＋b ，求证：(1)c 2>ab ；(2)c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .【例3】 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【变式训练3】已知a>0，b>0，且a＋b＝1.求证：a＋12＋b＋12≤2.参考答案探究1 【提示】用分析法证明，其叙述格式是：要证明A ，只需证明B .即说明只要有B 成立，就一定有A 成立．因此分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件．分析法体现了数学中“正难则反”的原则，也是思维中的逆向思维，逆求(不是逆推)结论成立的充分条件．探究2 【提示】综合法与分析法的异同点【例1】用综合法证明如下．【证明】 ∵a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2·bc a. 同理1b －1≥2·ac b， 1c －1≥2·ab c. 由于上面三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．【变式训练1】证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴1a ＋1b ≥2 1a ·1b ＝2ab. 同理1b ＋1c ≥2bc ，1c ＋1a ≥2ac. 以上三个不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2ab ＋2bc ＋2ac . ∴1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac. 当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号．【例2】【证明】 ∵a >b >0，要证2()8a b a -<a ＋b 2－ab <2()8a b b-，只需证2()4a b a -<a ＋b －2ab <2()4a b b-，即证2()4a b a -<(a －b )2<2()4a b b-，即证a －b2a <a －b <a －b2b ，即证a ＋ba <2<a ＋b b ，即证1＋b a <2<1＋a b，即证 b a<1< a b . ∵a >b >0，∴a b >1,0<b a<1. ∴ a b >1, b a<1成立．∴2()8a b a -<a ＋b 2－ab <2()8a b b-成立．【变式训练2】证明 (1)∵2c >a ＋b ，a >0，b >0， ∴4c 2>(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥2ab ＋2ab ＝4ab . ∴c 2>ab .(2)要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ，只需证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，只需证|a －c |<c 2－ab ，只需证|a －c |2<(c 2－ab )2，即证a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，即证a 2＋ab <2ac .∵a >0，∴只需证a ＋b <2c .这是题设条件，显然成立，故原不等式成立．【例3】【证明】要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，即a ＋b a ＋b ＋c a ＋b ＋a b ＋c ＋b ＋c b ＋c＝3，即证ca ＋b ＋a b ＋c ＝1，又需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即c 2＋a 2＝b 2＋ac .又△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝π3，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以原命题成立．【变式训练3】证明要证a ＋12＋b ＋12≤2，只需证a ＋12＋b ＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤4，即证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1，只需证ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，只需证ab ≤14. ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14. ∴原不等式成立．。

高中数学第二讲不等式的证明学案新人教A版选修4-5

第二讲证明不等式的基本方法第一步本章总览心中有数第二步分块自学提出疑点§1 比较法【自学目标】理解作差比较法和作商比较法，掌握利用比较法证明不等式的一般步骤。

【自学内容提炼】一、基础知识梳理二、典型例题归纳例1. 自学P21例1，小组讨论本题的证明方法，并归纳作差比较法的基本步骤方法。

例2. 自学P22例3，并归纳作商比较法的基本步骤方法。

例3. 自学P21例2，从实际问题抽象出数学问题。

三、提出疑点与解决【达标训练】课本P23习题2.1思考题：已知a,b,c,d都是正数，且a cb d<，求证：a a c cb b d d+<<+§2.1 综合法【自学目标】理解综合法的概念、综合法证明不等式的原理和思维特点，掌握综合法证明不等式的方法和步骤。

【自学内容提炼】一、基础知识梳理1. 综合法：一般地，从出发，利用、、、等，经过一系列的、而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。

综合法又叫做或 .2. 自己写出几个综合法证明不等式所依赖的已知不等式：二、典型例题归纳例1. 自学P23例1，小组内讲解。

例2. 自学P23例2，小组讨论。

例3. 已知正数a,b,c，且1a b c++=，求证：13 ab bc ac++≤三、提出疑点与解决【达标训练】课本P25~26习题2.2 / 1、2、8§2.2 分析法（两课时）【自学目标】理解分析法的概念、分析法证明不等式的原理和思维特点，掌握分析法证明不等式的方法和步骤。

【自学内容提炼】一、基础知识梳理1. 分析法：证明命题时，从出发，逐步寻求使它成立的，直至所需条件为或（、或、等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。

这是一种的思考和证明方法.2. 分析法证明的关键是每一步都必须可逆．．．．．．．．.3. 自己总结分析法证明的一般格式二、典型例题归纳例1. 自学P24例3，归纳分析法的格式例2. 自学P25例4，小组内讨论。

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4-5证明不等式的基本方法教案(人教A版选修4-5)
教学札记
16
（a —b ）2 _0= a 2 —2ab b 2 _0= a 2 —ab b 2 _ ab
注意到a 0, b . 0 ,即a b 0 ,
由上式即得（a - b ）（a 2 -ab - b 2） _ab （a b ），从而 a 3 - b 3 _ a 2b ab 2 成立。

议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
a + m a
例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且 a ：：： b.求证：
（ 1）
b 十m b
证法一要证（1），只需证b （a + m ） a a （b + m ）（2）
要证（2），只需证bm a am （ 3）要证（3），只需证b > a （ 4）
已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。

下面的证法二采用综合法。

证法二因为b - a,m 是正数，所以bm am
两边同时加上ab 得b （a - m ） - a （b - m ）两边同时除以正数 b （b - m ）得（1）。

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。

设截面的周长为
占
、2
[L >
I
，截面积为兀丄I ;周长为L 的正方形为-，截面积为
Q 兀丿 4
L ,则周长为L 的圆的半径为
2 ■: L。

所以本题只需证明
4
证明：设截面的周长为
L ,则截面是圆的水管的截面面积为
（L Y
—I ，截面是正方形的 12兀丿
水管的截面面积为U 。

14丿只需证明:
为了证明上式成立，只需证明
二
L 2 4- 2
L 2
—。

因此，只需证明 4 •二。

4 1
两边同乘以正数2，得：
L2
16
2 2 2
所以（1）成立。

例 6、证明：（a 2 b 2）（c 2 d 2） _ （ac bd ）2. （ 1）
证明（1）：= （a 2 b 2）（c 2 d 2） -（ac bd ）2 - 0
（2）
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
二 a c b c a d b d - （a c 2abcd b d ） - 0 （ 3）
2 2 2 2
二 b c a d -2 abcd - 0
（ 4）
2
=（be 「ad ） - 0
（5）
（5）显然成立。

因此（1）成立。

例7、已知a,b,c 都是正数，求证a 3 b 3 c^ 3abc-并指出等号在什么时候成立? 分析：本题可以考虑利用因式分解公式
a 3
b 3
c 3 _3abc = （a b c ）（a 2 b 2 c 2 - ab _bc _ ca ）着手。

证明： a 3 b 3 c 3 -3abc
2 z 、2
上式显然成立，所以江。

S 丿14丿
这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

例 5、证明：a 2 b 2 c 2 亠 ab bc ca 。

证法一：因为 a 2 b 2 _2ab
（2）
2 2
b c - 2bc
（ 3）
2 2
c a 亠 2ca
（ 4）
所以三式相加得 2（a 2 b 2 • c 2） _ 2（ab - bc - ca ）
（ 5
）
两边同时除以2即得（1 ）。

证法二：
=（a b c）（a2 b2 c2 - ab _ be _ ca）
1 2 2 2
=(a b c)[(a -b) (b -c) (c-a)].
2
2 2 2
由于a,b,c 都是正数，所以a b c 0.而(a-b) ・(b-c) ・(c-a) - 0 , 可知 a 3 b 3 c 3 -3abc _0
即a 3 b 3 • c 3 _ 3abc (等号在a = b = c 时成立)
探究：如果将不等式a 3 b 3 c^3abc 中的a 3,b 3,c 3分别用a,b,c 来代替，并在两边同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：
(1a
b)(1 b - c)(1 c a) 2 7，其中a, b,c 是互不相等的正数，且 abc = 1.
三、课堂小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去) 一
个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。

这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、课堂练习：
1
1、已知x - 0,求证：x •
- 2.
x
1 1 4
x 0, y •0,x = y,
x y x + y
3、已知a b 0,求证
、a - b i a - b.
4、已知a 0,b
0.求证：
(1) (a b)(a‘ b‘)一4.(2)
(a b)(a 2 b 2)(a 3 b 3) _8a 3b 3.
5、已知a, b, c, d 都是正数。

求证:
五、课后作业：
课本25页第1、2、3、4题。

六、教学后记：
(1)
a b c d
-、ab • cd ；
(2)
a b c d
款嬴.
6、已知a,b, c 都是互不相等的正数，求证 (a b c)(ab bc ca) 9abc.。