4-5_证明不等式的基本方法_教案4_(人教A版选修4-5)

4-5证明不等式的基本方法教案(人教A版选修4-5)

教学札记

16

（a —b ）2 _0= a 2 —2ab b 2 _0= a 2 —ab b 2 _ ab

注意到a 0, b . 0 ,即a b 0 ,

由上式即得（a - b ）（a 2 -ab - b 2） _ab （a b ），从而 a 3 - b 3 _ a 2b ab 2 成立。 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

a + m a

例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且 a ：：： b.求证：

（ 1）

b 十m b

证法一 要证（1），只需证b （a + m ） a a （b + m ） （2）

要证（2），只需证bm a am （ 3） 要证（3），只需证b > a （ 4）

已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为b - a,m 是正数，所以bm am

两边同时加上ab 得b （a - m ） - a （b - m ）两边同时除以正数 b （b - m ）得（1）。

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面 是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为

占

、2

[L >

I

，截面积为兀丄I ;周长为L 的正方形为-，截面积为

Q 兀丿 4

L ,则周长为L 的圆的半径为

2 ■: L

。所以本题只需证明

4

证明：设截面的周长为

L ,则截面是圆的水管的截面面积为

（L Y

—I ，截面是正方形的 12兀丿

水管的截面面积为U 。

14丿 只需证明:

为了证明上式成立，只需证明

二

L 2 4- 2

L 2

—。

因此，只需证明 4 •二。

4 1

两边同乘以正数2，得：

L2

16

2 2 2

所以（1）成立。

例 6、证明：（a 2 b 2）（c 2 d 2） _ （ac bd ）2. （ 1）

证明 （1）：= （a 2 b 2）（c 2 d 2） -（ac bd ）2 - 0

（2）

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

二 a c b c a d b d - （a c 2abcd b d ） - 0 （ 3）

2 2 2 2

二 b c a d -2 abcd - 0

（ 4）

2

=（be 「ad ） - 0

（5）

（5）显然成立。因此（1）成立。

例7、已知a,b,c 都是正数，求证a 3 b 3 c^ 3abc-并指出等号在什么时候成立? 分析：本题可以考虑利用因式分解公式

a 3

b 3

c 3 _3abc = （a b c ）（a 2 b 2 c 2 - ab _bc _ ca ）着手。

证明： a 3 b 3 c 3 -3abc

2 z 、2

上式显然成立，所以江。

S 丿14丿

这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面 是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

例 5、证明：a 2 b 2 c 2 亠 ab bc ca 。 证法一：因为 a 2 b 2 _2ab

（2）

2 2

b c - 2bc

（ 3）

2 2

c a 亠 2ca

（ 4）

所以三式相加得 2（a 2 b 2 • c 2） _ 2（ab - bc - ca ）

（ 5

）

两边同时除以2即得（1 ）。

证法二：

=（a b c）（a2 b2 c2 - ab _ be _ ca）

1 2 2 2

=(a b c)[(a -b) (b -c) (c-a)].

2

2 2 2

由于a,b,c 都是正数，所以a b c 0.而(a-b) ・(b-c) ・(c-a) - 0 , 可知 a 3 b 3 c 3 -3abc _0

即a 3 b 3 • c 3 _ 3abc (等号在a = b = c 时成立)

探究：如果将不等式a 3 b 3 c^3abc 中的a 3,b 3,c 3分别用a,b,c 来代替，并在两边 同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(1a

b)(1 b - c)(1 c a) 2 7，其中a, b,c 是互不相等的正数，且 abc = 1.

三、 课堂小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去) 一

个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得 到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常 用到的技巧。

四、 课堂练习：

1

1、 已知x - 0,求证：x •

- 2.

x

1 1 4

x 0, y •0,x = y,

x y x + y

3、已知a b 0,求证

、a - b i a - b.

4、已知a 0,b

0.求证：

(1) (a b)(a‘ b‘)一4.(2)

(a b)(a 2 b 2)(a 3 b 3) _8a 3b 3.

5、已知a, b, c, d 都是正数。求证:

五、 课后作业：

课本25页第1、2、3、4题。 六、 教学后记：

(1)

a b c d

-、ab • cd ；

(2)

a b c d

款嬴.

6、已知a,b, c 都是互不相等的正数，求证 (a b c)(ab bc ca) 9abc.