专升本高数二第讲讲义
专升本高数知识点.
第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。
偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=βαlim，则α是比β高阶的无穷小量。
（2）若c βα=lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=βαlim，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=βαlim ，则α与β是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限 （1）100==→→xxx x x x sin lim sin lim使用方法：拼凑[][][][][][]000==→→sin lim sin lim，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→10111)(lim lim[][][]e =+→11)(lim使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、()() ⎝⎛>∞<==∞→m n m n m n ba X Q x P mn x ,,,lim00()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。
m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0A x f x f A x f x x x x xx ===+-→→→)(lim )(lim )(lim 000充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
成人高考—专升本—高等数学(二) 备考 知识点 复习
(4)如果 limx→x0f(x)=a，且 a＞0(或 a＜0)，则必存在点 x0 的某一个邻域(x0 －δ,x0+δ)，在该邻域内，有 f(x)＞0(或 f(x)＜0).
(5)如果在点 x0 的某一去心邻域(x0－δ,x0)∪(x0,x0+δ)内有 f(x)≥0(或 f(x) ≤0)，且 limx→x0f(x)=a，则必有 a≥0(或 a≤0).
limn→∞Cxn=C·limn→∞xn=CA (C 为常数).
数列极限的四则运算法则的作用在于把求复杂数列的极限的运算化为简
单数列的极限值的代数运算，从而简化计算. 常用的数列极限有
limn→∞c=c limn→∞1nk=0 (k＞0,常数)，
(c 为常数)，
limn→∞qn=0 (|q|＜1),
limn→∞(1+1n)n=e.
二、函数的极限
1.函数极限的定义
(1)x→∞时函数极限的定义 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0， 使当|x|＞X 时， 不等式|f(x) －A|＜ε恒成立,则称常数 A 为 x→∞时函数 f(x)的极限，记为 limx→∞f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→∞时). 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0，使当 x＞X(或 x＜－X)时， 不等式|f(x)－A|<ε恒成立，则称常数 A 为 x→＋∞(或为 x→－∞)时函数 f(x) 的极限，记为 limx→+∞f(x)=A (或 limx→-∞f(x)=A). 定理 1 函数极限 limx→∞f(x)存在且等于 A 的充分必要条件是极限 limx →+∞f(x)和 limx→-∞f(x)都存在且都等于 A，即有 limx→∞f(x)=A limx→+∞
专升本《高等数学(二)》复习资料
2.无穷小量的比较 .
设和是同一过程中的无穷小 量，
即lim 0，lim 0
（1）如果lim
0，则称是比高阶的无穷小量.
（2）如果lim
C
0，则称 是与同阶的无穷小量 .
（3）如果lim
C
1，则称是与等价无穷小量，记作 等价于.
（4）如果lim
, 则称是比低阶的无穷小量 .
一、极限
(x) (x)
( x )
为未定型极限，并分别 简记为“0”或“”.
0
洛必达法则是求未定型 极限的一种有效方法。
其它类型未定式：0.； - 也可以变形
为“0”或“”来求解
0
五、导数应用
（二）曲线的切线方程与法线方程
若函数y f (x)在点x0处可导，由导数的几何意义，知f ' (x0 )
表示过曲线上点M (x0，f (x0 ))的切线斜率，所以，过曲线上点
lim f (x) （0 或lim f（x） 0）
x x0
x
在微积分中，常用希腊字母，，来表示无穷小量.
2.无穷大量概念
如果当自变量x x（0 或x ）时，函数f (x)的绝对值可以 变得充分大（即无限得增大），则称在该变化过程中，f (x)为
无穷大量.记作 lim f (x) x x0
d ( cu ) cdu ( c 为常数）； d (u v ) du dv
d (uv ) vdu
udv ; d ( u ) v
vdu udv v2
(v 0)
五、导数应用
（一）洛必达求导
如果当x a(或x )时，函数f (x)与F (x)
都趋于零或都趋于无穷
大，则称
lim
成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)
解： ∂z = 2x sin 2 y ， ∂z = 2x2 cos 2 y
∂x
∂y
三、全微分
1、全微分公式：函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处全微分公式为： dz = ∂z dx + ∂z dy ∂x ∂y
2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数 ∂z 和 ∂z . （2）、然后代入上述公式即可. ∂x ∂y
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多．元．函．数．。其自 变量的变化范围称为定．义．域．，通常记作 D 。 例如：二元函数通常记作： z = f (x, y) ， (x, y) ∈ D
二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法： （1）设二元函数 z = f (x, y) ，则函数 z 在区域 D 内对 x 和对 y 的偏导数记为：
或 dy
x= x0
dx
x = x0
（2）函数 f (x) 在区间（a,b）内的导数记作：
f '(x ) ， y' 或 dy dx
二、求导公式（必须熟记） （1） (c)' = 0 （C 为常数） （3） (ex )' = ex （5） (sin x)' = cos x
（2） (xα )' = α xα −1 （4） (ln x)' = 1
x2
− 2x + x2 −1
1
.
……… 0未定式，提取公因式 0
解：原式=
lim
x→1
(
x
( x −1)2 −1)( x +1)
=
lim
x→1
( (
x x
−1) +1)
=
安徽专升本 高数讲义 第二章导数与微分第四讲
4
(2) y x e x x e x
e x xe x 1 x e x
y 1 x e x 1 x e x
e x (1 x )e x 2 x e x
(3) y arctan x
x
y e x sin( x y ) x
x x y e y e cos( x y ) x y 1
y e x y e x cos( x y) x y 1
y e x y e x cos( x y ) y cos( x y ) 1
1 1 x2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
2. 设
y a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an , 求y ( n ) .
解 y' na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 (n 2)a2 x n 3 an 1 ,
y 0 2e0 cos0 2
作
业
一、计算下列各函数的二阶导数：
1. 2 x3 x 4 y x
2. y x arctan x
1 1 1 3. y x 3 3 3 1 3 x 3 3 x 3 9 x 二、计算下列各函数的n 阶导数：
可导，并且：
y f ( u( x )) f ( u) u( x )
隐含数求导法则:
（ 1） 方程两边关于 x 求导，求导过程中把 y 看作
中间变量，得到一个关于 y的方程。
(2) 从上述方程中解出 y
专升本高等数学讲义
专升本高等数学讲义嘿，亲爱的同学们！当咱们谈到专升本的高等数学，是不是感觉心头一紧，仿佛面前有座难以翻越的大山？别担心，今天咱们就一起来把这座山给踏平！先来说说为啥要学好这高等数学。
我给你们讲个事儿啊，之前我有个学生小李，他专科毕业找工作的时候，碰到一个特别心仪的岗位，各方面条件都特别好，可人家要求本科学历，而且数学能力得过硬。
就因为这，小李只能眼巴巴地看着机会溜走，那叫一个后悔呀！从那以后，他下定决心要专升本，把高等数学拿下。
咱们先从函数说起。
函数就像是数学世界里的小精灵，它们有着各种各样的特点和脾气。
比如说一次函数，简单直接，就像个直爽的孩子；二次函数呢，有个弯弯的曲线，像个爱美的小姑娘，总是展现出优美的姿态。
再看看极限，这可是个神奇的概念。
想象一下，你在跑步，一直跑一直跑，快到终点的时候，那个无限接近但又还没到达的瞬间，就是极限啦！还有导数，它就像是函数的“速度表”。
比如说，一辆汽车在路上跑，导数就能告诉咱们它在每个时刻的速度变化。
积分呢，就像是在积累财富。
一点点地把小的部分加起来，最后就得到了一个大的成果。
在学习高等数学的过程中，可别害怕犯错。
我记得有一次，课堂上做一道积分的题目，大部分同学都做错了。
当时大家都有点沮丧，但是咱们不怕呀，一起找出错误，重新理解，最后都搞明白了。
做题是必不可少的。
但也别盲目地题海战术，要学会总结归纳。
每做一道题，都问问自己，这道题考查的是哪个知识点？解题的关键在哪里？学习高等数学也得劳逸结合。
学累了，出去走走，呼吸新鲜空气，让大脑放松放松，说不定回来再看那些难题，就突然有灵感了。
总之，专升本的高等数学并不可怕，只要咱们一步一个脚印，认真学习，多做题，多思考，就一定能攻克它！就像小李后来通过努力，成功专升本，还找到了理想的工作。
相信你们也一定可以的！加油吧，同学们！。
成考总复习专科起点升本科 高等数学(二)考点精解与真题总结
全国各类成人高考总复习教材专科起点升本科高等数学（二）考点精解与真题解析成人高考专科起点升本科经管类高数二第一章极限和连续一、常见的考试知识点1．极限(1)函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件．(2)极限的性质、极限的四则运算．(3)无穷小量的概念、性质及无穷小量阶的比较．等价无穷小量代换及其应用．(4)两个重要极限及其应用．2．连续(1)函数在一点处连续与间断的概念及连续的判定．(2)闭区间上连续函数的性质．3．试卷内容比例本章内容约占试卷总分的15％，共计22分左右．二、常用的解题方法与技巧(一)极限求函数(或数列)极限的常用方法主要有：(1)利用极限的四则运算法则．(2)(3)(4)(5)方法求解．(6)利用两个重要极限：注意两个重要极限的结构式分别为：其中方块“口”内可以为x，也可以为x的函数，只要满足上述结构形式，公式都正确．特别要记住下列常用的公式：其中的a，b，d为常数．(7)利用无穷小量的性质．主要是“无穷小量与有界变量之积为无穷小量”以及“无穷大量的倒数为无穷小量”．(8)利用等价无穷小量代换．利用等价无穷小量代换常能简化运算，但是等价无穷小量代换能在乘除法中使用，限于知识面的原因不要在加减法中使用．常用的等价无穷小量代换有：当x→0时，(9)求分段函数在分段点处的极限时，一定要分别求左极限与右极限，然后再判定极限是否存在．(二)连续1．判定ƒ (x)在点x。
处连续性的方法先考察ƒ(x)是否为初等函数，x0点是否为ƒ(x)的定义区间内的点．如果给定函数为分段函数，且x0又是分段点，则需利用连续性定义来判定，特别是在分段点两侧函数表达式不同的时候，应该用左连续、右连续判定．2．判定ƒ(x)间断点的方法连续性的三个要素之一得不到满足的点，即为函数的间断点，因此判定函数间断点的步骤通常是：(1)(2)断点．(3)三、常见的考试题型与评析(一)无穷小量的概念及无穷小量的比较本部分内容1994--2013年共考了8次，考到的概率为40％．1．典型试颢(1)A．高阶的无穷小量B．等价的无穷小量C．非等价的同阶无穷小量D．低阶的无穷小量(2)(0408)(3)(1012)2．解题方法与评析【解析】(I)选B．无穷小量阶的比较就是先求两个无穷小量之比的极限，再根据定义来确定选项．解法1利用等价无穷小量代换．解法2利用重要极限Ⅱ．(2)填1．利用等价无穷小量的定义．(3)填1．利用等价无穷小量的定义．(二)型不定式的极限本部分内容1994--2013年共考了20次，属于必考题．1．典型试题(1)(0521)(2)(0621)(3)(0721)(4)(0821)(5)(0921)(6)(1021)(7)(1221)(8)(1321)2．解题方法与评析【解析】型不定式极限的求法是每年专升本试题中必考的内容之一，考生必须熟练掌握．求型不定式极限的常用方法是利用等价无穷小量代换以及洛必达法则求解．对于极限式中有根式的，首先有理化，再进行计算较简捷．常用的等价无穷小量代换有：当x→0时，(1) 或(2) 或(3) 或或(4)或(5)(6)(7)(8)【评析】(1)(2)等价无穷小量代换：此方法常用于一些可直接用等价无穷小量代换的函数，如题(3)．由于知识面的原因，希望考生不要在加减运算中使用等价无穷小量代换，只能在乘除运算中(3)(4)捷的方法．求极限的最佳方法是等价无穷小量代换与洛必达法则的混合使用．例如：(三)“”型不定式的极限本部分内容1994--2013年共考了5次，考到的概率为25％．1．典型试题(1)(0116)(2)(0308)(3)(0701)A．0B．1/2C．1D．2(4)(0801)A.1/4B.0C．2/3D.1(5)(1011)2．解题方法与评析【解析】型不定式极限的计算，常用的办法是约去分子与分母中最高阶无穷因子或直接用洛必达法则求解．(1)(2)填了1/3．或(3)选B．(4)选C．或(5)填0．或【评析】型不定式极限的计算，主要是约去分子与分母中最高阶的无穷因子或直接用洛必达法则求解．在用洛必达法则求解时，一定要注意分子与分母是否满足洛必达法则定理中的条件．本大题的题(1)与题(3)就不满足洛必达法则定理中的条件，因为分子与分母都是离散变量的函数，既不连续，也不可导．(四)重要极限I本部分内容1994—2013年共考了11次，考到的概率为55％．1．典型试题(1)(0403)A．1/3B．1C．2D．3(2)(0501)A．0B．1/5C．1D．5(3)(0612)(4)(0712)(5)(0812)(6)(1021)(7)(1112)(8)(1212)2．解题方法与评析【解析】(1)所以α=3．也可这样求解：(2)选D．或(3)填3．或(4)填1/2．或(5)填2．(6)与题(4)相同．(7)填1．(8)填2/3．【评析】重要极限I是特殊的型不定式极限，所以前面介绍的求型不定式极限的方法均适用．上述各题均可用洛必达法则求解．如果极限式中含有三角函数或反三角函数，应优先考虑用重要极限I求解．(五)重要极限Ⅱ本部分内容1994——2013年共考了13次，考到的概率为65％.1．典型试题(1)(0118)(2)(0521)(3)(0601)A．1B．EC．2eD．e2(4)(0912)(5)(1121)(6)(1315)2．解题方法与评析【解析】(1)(2)(3)选D．(4)(5)(6)【评析】(六)连续性本部分内容1994——2013年共考了12次，考到的概率为60％.1．典型试题(1)(9801)A．一1B．1C．2D．3(2)(0007)(3)(0209)(4)(0613)(5)(0811)(6)(0913)(7)(1013)(8)(1111)(9)(1213)(10)(1312)2．解题方法与评析【解析】(1)(2)填2．所以k=2．(3)填1．方法同题(2)，可得α=1．(4)填2．方法同题(2)，可得α=2．(5)填1．因为ƒ(0)=(2x+1)|x=0=1．(6)填8．因为则(7)填1．因为则由ƒ (0-0)= ƒ (0+0)，得α=1．(8)填0．(9)填1．(10)填1．【评析】判定函数ƒ (x)在一点X0处连续，需依次检查连续性的三个要素．如果X0为ƒ (x)的分段点，且在X0两侧ƒ (x)的表达式不同，需分别计算X0的左极限与右极限以及在X0处的函数值，从而确定在点X0处的连续性．成人高考专科起点升本科经管类高数二第二章一元函数微分学一、常见的考试知识点1．导数与微分(1)导数的概念及几何意义，用定义求函数在一点处的导数值．(2)曲线上一点的切线方程和法线方程．(3)导数的四则运算及复合函数的求导．(4)隐函数的求导及对数求导法．(5)高阶导数的求法．(6)微分法则．2．洛必达法则及导数的应用(1)用洛必达法则求各类不定式的极限．(2)用导数求函数的单调区间．(3)函数的极值、最值．(4)曲线的凹凸性、拐点及曲线的水平渐近线与铅直渐近线．(5)证明不等式．3．试卷内容比例本章内容约占试卷总分的30％，共计45分左右．二、常用的解题方法与技巧(一)导数与微分1．导数的定义2．导数的几何意义3．可导与可微的关系可微必定可导，反之也对，且如果求微分dx可以先求出yˊ，再代入上式即可．4．求导数的常见方法(1)利用基本初等函数的求导公式与导数的四则运算法则．(2)利用复合函数链式法则，为了不遗漏每一个复合层次，可以由外到里一次求得一个层次的导数．(3)对隐函数求导时，只需将所给式子两端出现的y当作中间变量，两端分别关于x求导，整理并解出yˊ．(4)对数求导法，主要解决幂指函数求导与连乘除、乘幂形式的函数的求导问题．(二)导数的应用1．利用导数判定函数ƒ (x)单调性的通常步骤(1)求出ƒ(x)的定义域．(2)求出ƒˊ(x)，令ƒˊ(x)=0，求出(x)的所有驻点，并求出ƒ(x)不可导的点．(3)判定上述两相邻点间ƒ '(x)的符号，其中ƒ (x)>0时名的取值范围即为ƒ (x)单调递增的范围; ƒˊ(x)<0时x的取值范围即为ƒ (x)单调递减的范围．2．利用导数判定函数f(x)极值的通常步骤(1)求出ƒ(x)的定义域．(2)求出ƒˊ(x)，令ƒˊ(x)=0，求出八ƒ(x)的所有驻点，并求出定义域内ƒ(x)不可导的点．(3)若f(x)在上述点的某邻域内可导，可以利用极值的第一充分条件判定上述点是否为极值点．(4)若在ƒ(x)的驻点处ƒ(x)二阶可导，且二阶导数易求，则可以利用极值的第二充分条件判定驻点是否为极值点．3．利用导数求连续函数ƒ(x)在区间[a，b]上的最大、最小值的通常步骤(1)求出ƒ(x)在(a，b)内所有的驻点(即ƒˊ(x)=0的点)及不可导的点：x1,…,x k4．利用导数判定曲线y=ƒ (x)的凹凸性与拐点的通常步骤(1)求出ƒ (x)在(a，b)内二阶导数为0的点及二阶导数不存在的点．(2)判定ƒ″(x)在上述点的两侧是否异号．若在x0两侧ƒ″(x)异号，则点x0，ƒ (x0))为曲线的拐点．在ƒ″(x)<0的x取值范围内，曲线y=ƒ (x)为凸的；在ƒ″(x)>0的x取值范围内，曲线y=ƒ (x)为凹的．三、常见的考试题型与评析(一)利用导数的定义求极限或求函数在某点的导数值本部分内容1994--2013年共考了8次，考到的概率为40％．1．典型试题(1)(0222)(2)(0303)( )．A．0B．1C．2D．4(3)(0702)A．一2B．0C．2D．4(4)(0802)A．0B．1C．3D．62．解题方法与评析【解析】函数y=ƒ (x)在点X0处导数的定义，其结构式为x0处的导数．如果不符合上式结构，则应通过变形或化简后变成上式结构才成立．(1)(2)选D．(3)选D．方法同(1)．(4)选C．方法同(1)．(二)利用四则运算法则求函数的导数(微分)或求函数在某点的导数值本部分内容1994--2013年共考了20次，属于必考题．1．典型试题(1)(0210)(2)(0310)(3)(0419)(4)(0522)(5)(0622)(6)(0705)A．B．C．D．(7)(0822)(8)(0903)A．0B．1C．eD．2e(9)(1022)(10)(1122)(11)(1203)A．-1B．-1/2C．0D．1(12)(1302)A．B．C．1/3D．2．解题方法与评析【解析】这些题都可以利用基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则来计算．(1)(2)填1．(3)(4)(5)(6)选C．(7)(8)选C．因为(9)因为所以(10)(11)选A．(12)选A．【评析】这些试题都是考试大纲要求熟练掌握的基本运算，因此希望考生一定要牢记基本初等函数的导数公式及四则运算法则．对其他求微分的试题，考生可自行练习．(三)复合函数的求导本部分内容1994—2013年共考了18次，考到的概率为90％。
专升本高数2PPT课件
f (4) (x) ________．
34.
设
参
数
方
程
x
y
2t 1 3t2 1
所
确
定
的
函
数
为
y
y(x) ，则
d2 y dx2
________．
42 ． 设 由 方 程 e y xy2 e2 确 定 的 函 数 为
y y(x) ，求 dy ． dx x0
2011年河南专升本
2.1 导数的概念
本章重点考核的知识点
• 1．导数的定义； • 2．导数的几何意义； • 3．导数的四则运算法则； • 4．反函数求导法则； • 5．复合求导法则； • 6．简单函数的高阶导数； • 7．隐函数求导； • 8．对数求导法； • 9．幂指函数求导； • 10．参数方程求导； • 11．一元函数一阶微分形式的不变性。
2010年河南专升本
6.
函数
f (x) 在点 x
x0 处可导，且
f
(x0 )
1，则 lim h0
f (x0 ) f (x0 3h) 2h
A． 2 3
B． 2 3
C． 3 2
D． 3 2
8. 设函数 y 1 x2 2sin π ，则 y 5
A． x 2 cos π
1 x2
5
B． x 1 x2
0
00 0
为
y f (x ) f (x )(x x )；
0
0
0
曲线 y f (x)在点M (x , y )处的法线方程为 00 0
y f (x ) 1 (x x ) ，( f (x ) 0).
0
f (x0 )
0
0
专升本高数第二章导数-PPT课件
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
专升本高数二学习资料
导数的应用 '' !判定函数的单调性 '' !函数的极值极值点和驻点 '$ !函数的最大值与最小值 '* !曲线的凹凸性拐点 $+ !曲线的水平渐近线与铅直渐近线 $"
第三章!一元函数积分学
'
二元函数的极值 )+ 二元函数的极值 )+ 二元函数的条件极值 )&
第五章!概率论初步 排列与组合 )# !两个基本的计数原理 )# !排列数 )' !组合数 )$ 随机事件及其概率 )* !随机事件 )* !随机事件的运算律 "+# 古典概型及概率的性质 "+% !古典概型 "+% !概率 "+(
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!定积分的性质 %( !定积分的计算 %) !无穷区间的反常积分 ($ 定积分的应用 (( !求平面图形的面积 (( !求旋转体体积 (*
第四章!多元函数微分学
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目 !函数的概念 " !函数的性质 # !反函数和复合函数 $ !基本初等函数 % 极!限 "& !数列极限的概念 "& !数列极限的性质 "# !函数极限的概念 "' !函数极限的性质 "( !无穷小量与无穷大量 ")
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条件概率乘法公式独立性 ""+ !条件概率 ""+ !相互独立事件 ""& 一维离散型随机变量 ""' !离散型随机变量 ""' !常见的离散型随机变量的概率分布模型
高等数学二专升本教材讲解
高等数学二专升本教材讲解高等数学二是专升本考试中的一门重要科目，为了帮助准备参加专升本考试的考生更好地掌握该科目的知识，本文将对高等数学二的教材进行详细讲解。
第一章：多元函数微分学1.1 隐函数与多元函数的导数在高等数学二的多元函数微分学中，我们首先学习了隐函数与多元函数的导数。
隐函数的求导是一项重要的技巧，我们需要通过求偏导数的方法来确定隐函数的导数。
在具体的计算过程中，我们需要运用链式法则和隐函数定理等概念。
1.2 多元函数的微分和全微分多元函数的微分和全微分是高等数学二中的核心内容。
通过多元函数的微分和全微分，我们可以更好地理解多元函数的变化规律和性质。
在计算全微分时，我们需要运用到偏导数，以及导数在计算微分中的应用。
1.3 复合函数的导数复合函数的导数在高等数学二的多元函数微分学中也是一项重要的内容。
我们需要通过链式法则和复合函数的求导法则来计算复合函数的导数。
此外，还需掌握常见的复合函数导数计算方法，如指数函数、对数函数和三角函数等。
第二章：多元函数积分学2.1 重积分重积分是高等数学二中的重要概念，其主要应用于多元函数的积分。
我们需要学习二重积分和三重积分的计算方法，并了解其几何意义。
此外，还需掌握重积分在求取平均值、质心和质量等方面的应用。
2.2 曲线、曲面积分曲线积分和曲面积分是高等数学二中的重要知识点，对于多元函数的积分具有重要的意义。
我们需要学习曲线积分和曲面积分的计算方法，并了解其几何意义和物理应用。
2.3 用重积分计算物理量在高等数学二的多元函数积分学中，我们还需要运用重积分来计算物理量。
通过建立积分与物理问题之间的联系，我们可以更好地理解和运用重积分的概念和方法。
第三章：无穷级数3.1 数项级数数项级数是高等数学二中关键的内容，我们需要学习数项级数的收敛性和敛散性判别方法。
掌握级数的概念和应用，对于解决实际问题具有重要的意义。
3.2 幂级数幂级数是高等数学二中的一个重要概念，其在数学和工程领域中具有广泛的应用。
夜大《高数》D专升本第二部分常
工程问题
在机械、航空、航天等领域中， 二阶微分方程被用来描述物体的 运动规律和动态特性。
经济问题
在经济学中，二阶微分方程被用 来描述经济系统的动态变化和均 衡状态，如供需关系、劳动力市 场等。
05
高阶常微分方程
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程的定义
高阶线性微分方程是包含未知函数的高阶导数的方程，形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$，其中$y(x)$是未知函数，$a_0(x), a_1(x), ldots, a_{n-1}(x)$是已知函数。
02
对于不同类型的一阶非线性微分方程，以采用不同的方法求解，如变量代换、积分因子等。
一阶非线性微分方程的解的性质
03
一阶非线性微分方程的解可能存在奇点、极限环等复杂性质，
需要具体分析。
一阶微分方程的应用
经济问题
一阶微分方程可以用于描述经济中的供需关系、价格 变动等问题。
物理问题
一阶微分方程可以用于描述物理中的运动规律、电路 中的电流等问题。
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法通常采用常数变易法和积分因子法。这些方法能够求解出高阶线性微分方程的通解和特解。
高阶线性微分方程的解的性质
高阶线性微分方程的解具有叠加原理和线性性质，即对于两个独立的解$y_1(x)$和$y_2(x)$，它们的线性 组合仍然是该方程的解。
高阶非线性微分方程
01
一阶微分方程
只含有一个自变量和一个导数的微 分方程。
线性微分方程
可以表示为线性组合形式的微分方 程。
成考高等数学(二)重点及解析(详细版)
成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占130分左右） 第一章、函数、极限和连续（22分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
2ln sin y x =是由ln y u =，2u v =和sin v x =这三个简单函数复合而成.3arctan x y e =是由arctan y u =，vu e =和3v x =这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数：y c = （2）幂函数：y x μ= （3）指数函数：xy a =(a 〉0,1)a ≠且 （4）对数函数：log a y x =(a 〉0,1)a ≠且（5）三角函数：sin y x =，cos y x =，tan y x =，cot y x =，sec y x =，csc y x = （6）反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x = 其中： （正割函数）1sec cos x x =， （余割函数）1csc sin x x= 三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）一、无穷小1、定义：以0为极限的量称为无穷小量。
注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。
（2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。
()21lim 10x x →-=，即当1x →时，变量21x -是无穷小；但是当0x →时，21x -就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。
所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。
例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（ ）.A 、1sin x→(x 0) B 、1x e →(x 0) C 、()2ln 1x +→(x 0) D 、239x x --()3x →E 、1cos x -→(x 0)F 、21x -→(x 0)G 、()211x -1→(x ) H 、sin xx→(x 0) 答案：选C 、E 、F 、H ，因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当o x x →（或x →∞）时，()f x 无限地增大或无限减小，则称()f x 是当o x x →（或x →∞）的无穷大。
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定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。
(1)直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）
(２)间接凑（先凑微分,再凑公式)(被积函数中含有导数关系）
五、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号)（注意积分上下限的变化）
法则：被积函数右减左,积分区间看上下。
步骤(1)画图;
(2）有时通过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.
（3）有时被积函数只是一个函数，也可以用分部积分。
定积分
一、定积分的概念——（本质是和式的极限)
二、积分上限函数的导数
变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是：直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导；含有变限积分的极限问题。
特点：能在积分基本公式中找到相近的积分公式
【注】积分公式的特点是三个一致，即被积函数、积分变量和积分结果中都是ｘ，是一致的，而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的,所以做题时要凑成一致的。
（2)间接凑
间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的，但是通过凑微分,变形,可以凑成形式上和公式相同的，从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分,再凑公式。
专升本高数二第讲讲义
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不定积分
一、不定积分
1、原函数
二、换元积分法
1、第一换元法(凑微分法)
（１)直接凑
要求不定积分,首先考虑能否用公式,即能否直接用公式,基本公式中没有相同的,就找相近的公式如果有相近的,就用直接凑。
特点:被积函数中含有导数关系。
2、第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号)
（１)根式换元
特点：被积函数中含一般根式,直接换元,根号是谁就换谁
三、分部积分法
分布积分法主要用来求解函数乘积的不定积分,当被积函数是两个函数的乘积，而又没有导数关系时，考虑分部积分法。
1、分部积分法原则
【注】 (1）有时用一次分部积分不能得到最后结果，需要用多次。
(1）根式换元
特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁
【注】（1）由于换元中积分变量发生了变化，所以其对应的积分上下限也会发生变化，定积分的第二换元法需要注意积分上下限的变化;
（２）定积分的计算不需要回代。
六、定积分的分部积分法ﻫ来自定积分的应用一、平面图形的面积计算
① 上下结构的平面图形的面积：