人教版高中数学必修一《基本初等函数》小结与复习

第二章《基本初等函数》小结与复习

（一）教学目标

1.知识与技能

掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.

2.过程与方法

归纳、总结、提高.

3.情感、态度、价值观

培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.

（二）教学重点、难点

重点：指数函数、对数函数的性质的运用.

难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.

（三）教学方法

讲授法、讨论法.

（四）教学过程

教学环节教学内容师生互动设计意

图

复习引入（多媒体投影）

1.本章知识结构

学生总结，老师完善.

师：请同学们总结本章知识结构.

生：（1）指数式和对数式：①整数指

数幂；②方根和根式的概念；③分数指数

幂；④有理指数幂的运算性质；⑤无理数

指数幂；⑥对数概念；⑦对数的运算性质；

⑧指数式与对数式的互化关系.

（2）指数函数：①指数函数的概念；

②指数函数的定义域、值域；③指数函数

的图象（恒过定点（0，1），分a＞1，0

对本章

知识、

方法形

成体

系.

2.方法总结＜a＜1两种情况）；④不同底的指数函数图象的比较；⑤指数函数的单调性（分a ＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用.

（3）对数函数：①对数函数的概念；

②对数函数的定义域、值域；③对数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1和0＜a＜1两种情况）；④不同底的对数函数图象的比较；

⑤对数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用；⑦反函数的有关知识.

（4）幂函数：①幂函数的概念；②幂函数的定义域、值域（要结合指数来讲）；③幂函数的图象（过定点情况，图象要结合指数来讲）；④幂函数的性质（奇偶性、单调性等，同样要结合指数）；⑥图象和性质的应用.

师：请同学们归纳本章解题方法.

生：（1）函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

（2）函数值域的求法：①配方法（二

次或四次）；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤函数的单调性法.

（3）单调性的判定法：①设x 1、x 2

是所研究区间内的任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f （x 1）与f （x 2）的大小；③作差比较或作商比较.

（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）

（4）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转；③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象.

（5）常用函数的研究、总结与推广：

①研究函数y =

2

1（a x ±a －

x ）（a ＞0，且a ≠1）的定义域、值域、单调性、反函数；

②研究函数y =log a （21x ±x ）（a ＞0，且a ≠1）的定义域、单调性、反函数.

（6）抽象函数〔即不给出f （x ）的解析式，只知道f （x ）具备的条件〕的研究.

①若f （a +x ）=f （a －x ），则f （x ）关于直线x =a 对称.

②若对任意的x 、y ∈R ，都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），则f （x ）可与指数函数

类比.

③若对任意的x、y∈（0，+∞）都

有f（xy）=f（x）+f（y），则f（x）可与

对数函数类比.

应用

举例

例1 设a＞0，x=

2

1

（a n

1

－

a n

1

-

），

求（x+2

1x

+）n的值.

例2 已知函数f（x）=

1

1

+

-

x

x

m

m

（m

＞0，且m≠1）.

（1）求函数f（x）的定义

域和值域；

（2）判断f（x）的奇偶性；

例1解：1+x2=1+

4

1

（a n

2

－2+a n

2

-

）

=

4

1

（a n

2

）+2+a n

2

-

）

=［

2

1

（a n

1

+a n

1

-

）］2.

∵a＞0，∴a n

1

＞0，a n

1

-

＞0.

∴a n

1

+a n

1

-

＞0.

∴x+2

1x

+=x+

2

1

（a n

1

+a n

1

-

）=

2

1

（a n

1

－a n

1

-

）+

2

1

（a n

1

+a n

1

-

）=a n

1

.

∴（x+2

1x

+）n=a.

小结：本题考查了分数指数幂的运算

性质，技巧是把根号大的式子化成完全平

方的形式.

例2解：（1）∵m x＞0，m x+1≠0恒成

立，

∴函数的定义域为R.

∵y=

1

1

+

-

x

x

m

m

，∴m x=

y

y

-

+

1

1

＞0.

∴－1＜y＜1.

∴函数f（x）的值域为（－1，1）.

进一步

掌握指

数函

数、对

数函

数、幂

函数的

概念和

性质等

知识.

培

养学生

分析问

题、解

决问题

和交流

的能力

及分类

讨论、

抽象理

解能

力.