三角恒等变换与解三角形

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高考数学热点专题突破讲练：三角恒等变换与解三角形(含新题详解)

第七讲三角恒等变换与解三角形简单三角恒等变换差角余弦公式倍角公式和(差)角公式余弦定理正弦定理三角形面积公式解三角形应用举例1．(倍角公式)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23【解析】 ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π 22 ＝1－sin 2α2＝1－232＝16.【答案】 A2．(正弦定理与和角公式)(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】由正弦定理，及b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝1，得A ＝π2(由于0＜A ＜π)，故△ABC 是直角三角形．【答案】 A3．(正弦定理)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 【解析】在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝2 3.【答案】 2 3图2－2－14．(余弦定理的应用)(2013·福建高考)如图2－2－1，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】 ∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. 【答案】35．(三角恒等变换)(2013·重庆高考改编)4cos 50°－tan 40°＝________. 【解析】 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin (50°＋30°)＋sin (50°－30°)cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°cos 40°＝ 3.【答案】 3简单的三角恒等变换(2013·湖南高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．【思路点拨】 (1)利用和(差)角、倍角公式将f (x )、g (x )化简，沟通二者联系；(2)由f (x )≥g (x )，化为“一角一名称”的三角不等式，借助三角函数的图象、性质求解．【自主解答】 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12，从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．(1)注意角之间的关系，灵活运用和(差)、倍角公式化为“同角x ”的三角函数，这是解题的关键；(2)重视三角函数图象，性质在求角的范围中的应用，由图象的直观性、借助周期性，整体代换可有效避免错误．2．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．变式训练1 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求cos 2αsin (α－π4)的值．【解】依题意得sin α－cos α＝12，所以1－2sin αcos α＝14，2sin αcos α＝34.则(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝74.由0<α<π2，知sin α＋cos α＝72>0.所以cos 2αsin (α－π4)＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.正(余)弦定理(2013·山东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．【思路点拨】 (1)由余弦定理，得关于a ，c 的方程，与a ＋c ＝6联立求解；(2)依据正弦定理求sin A ，进而求cos A ，sin B ，利用两角差的正弦公式求值．【自主解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.1．(1)本题求解的关键是运用正弦(余弦)定理完成边角转化；(2)求解易忽视判定A 的范围，错求cos A ＝±13，导致增解．2．以三角形为载体考查三角变换是近年高考的热点，要时刻关注它的两重性：一是作为三角形问题，它必然通过正弦(余弦)定理、面积公式建立关于边的方程，实施边角转化；二是它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．变式训练2 (2013·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．【解】 (1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12.又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.解三角形及应用(2013·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .【思路点拨】 (1)从要证的结论看，需将条件中角的三角函数化为边，因此需统一为正弦函数，然后运用三角变换公式化简．(2)由(1)的结论，联想余弦定理，求cos B ，进而求出△ABC 的面积．【自主解答】 (1)在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B (sin Acos A＋sin C cos C )＝sin A cos A ·sin Ccos C，所以sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C . 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，所以sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝ 2. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34.因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．认真分析题设与要求结论的联系与区别，消除差异，从而找到解题的突破口，这是本题求解的关键．2．三角形中的边角计算是近年命题的重点，解决这类问题要抓住两点：(1)根据条件，恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(2)结合内角和定理、面积公式，灵活运用三角恒等变换公式．变式训练3 已知三角形的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．【解】 (1)∵m ∥n ，∴c (c －a )＝(b －a )(a ＋b )， ∴c 2－ac ＝b 2－a 2，则a 2＋c 2－b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.又0＜B ＜π，因此B ＝π3.(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝2π3，∴sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋sin2π3 cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6， ∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1，∴32＜sin A ＋sin C ≤ 3. 故sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3正(余)弦定理的实际应用【命题要点】 ①实际问题中的距离，高度测量；②实际问题中角度、方向的测量；③实际行程中的速度、时间的计算．如图2－2－2所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？图2－2－2【思路点拨】由题设条件，要求该救援船到达D 点的时间，只需求出C 、D 两点间的距离，先在△ABD 中求BD ，再在△BDC 中求CD ，进而求出时间．【自主解答】由题意知AB ＝5(3＋3)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝45°，∴∠ADB ＝105°.∴sin 105°＝sin 45°·cos 60°＋sin 60°·cos 45° ＝22×12＋32×22＝2＋64. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴BD ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)×222＋64＝103(1＋3)1＋3＝10 3.又∠DBC ＝180°－60°－60°＝60°，BC ＝203，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2·BD ·BC ·cos 60° ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，∴救援船需要的时间t ＝3030＝1(小时)．1．该题求解的关键是借助方位角构建三角形，要把需求量转化到同一个三角形(或相关三角形)中，运用正(余)弦定理沟通边角关系．2．应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件．(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．变式训练4 如图2－2－3，A 、C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，图2－2－3下午4时到达C 岛． (1)求A 、C 两岛之间的距离； (2)求∠BAC 的正弦值．【解】 (1)在△ABC 中，由已知，得AB ＝10×5＝50(海里)，BC ＝10×3＝30(海里)， ∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30 cos 120°＝4 900，所以AC ＝70(海里)．故A 、C 两岛之间的距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.从近两年的高考命题看，正弦定理、余弦定理是高考命题的热点，不仅是用来解决一些简单的三角形边角计算问题；且常与三角函数、向量、不等式交汇命题，灵活考查学生分析解决问题的能力，多以解答题的形式出现，属中低档题目．以三角形为载体的创新交汇问题(12分)已知△ABC 是半径为R 的圆内接三角形，且2R ·(sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B .(1)求角C ；(2)试求△ABC 的面积S 的最大值．【规范解答】 (1)由2R (sin 2A －sin 2C ) ＝(2a －b )sin B ，得a sin A －c sin C ＝2a sin B －b sin B ， ∴a 2－c 2＝2ab －b 2，4分由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，又0＜C ＜π，∴C ＝π4.6分(2)∵csin C＝2R ， ∴c ＝2R sin C ＝2R . 由(1)知c 2＝a 2＋b 2－2ab ， ∴2R 2＝a 2＋b 2－2ab .8分又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)， ∴2R 2≥2ab －2ab ， ∴ab ≤2R 22－2＝(2＋2)R 2.10分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ≤2＋12R 2. 即△ABC 面积的最大值为2＋12R 2. 12分【阅卷心语】易错提示 (1)不能灵活运用正弦定理化简等式，致使求不出角C ，究其原因是不能深刻理解正弦定理的变形应用．(2)对求△ABC 的面积的最大值束手无策，想不到利用等式求ab 的最大值．防范措施 (1)利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可实施边角转化．(2)对于“已知一边及其对角”的三角形，常用余弦定理，得到其他两边的关系，再利用基本不等式便可求三角形面积的最值．1．已知函数f (x )＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求f (β)的值．【解】 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋74π－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －34π＋π2 ＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)． ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)由cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45得 cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. ∴f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝2sin π4＝ 2. 2．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解】 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.。

三角函数三角恒等变换及解三角形

三角函数、三角恒等变换及解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲要求：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[基础真题体验]考查角度[任意角的三角函数]1．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45【解析】因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45. 【答案】 D2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xx C ．y ＝x e x D ．y ＝sin xx【解析】函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D3．(2011·课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【解析】取终边上一点(a,2a )，a ≠0，由任意角的三角函数定义得，cos θ＝±55，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.【答案】 B4．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】由三角函数的定义，sin θ＝y 16＋y2，又sin θ＝－255＜0， ∴y ＜0且y16＋y 2＝－255，解得y ＝－8. 【答案】－8[命题规律预测]考向一角的集合表示及象限角的判定[典例剖析]【例1】 (1)给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角； ②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为________．【思路点拨】 (1)先用终边相同角的表示方法分解角，再判断所在象限． (2)先确定边界，再用集合方式表示即可．【解析】 (1)①中，－3π4是第三象限角，故①错误．②中，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确．③中，－400°＝－360°－40°，为第四象限角，故③正确．④中，－315°＝－360°＋45°，为第一象限角，故④正确．(2)如图，设S 1＝{α|90°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}，S 2＝{α|270°＋k ·360°≤α≤315°＋k ·360°，k ∈Z}，∴阴影所表示的范围S ＝S 1∪S 2＝{α|90＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z}．【答案】 (1)C (2){α|90＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z}1．若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α(0≤α＜2π)(k ∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．2．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． [对点练习](1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．【解析】 (1)当k ＝2n (n ∈Z)时，α＝n ·360°＋45°，所以α在第一象限．当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α＝n ·360°＋225°，所以α在第三象限．综上可知，α在第一或第三象限．(2)当角的终边在第一象限时，角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z ，当角的终边在第三象限时，角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋43π，k ∈Z ，故所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π3，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋43π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z . 【答案】 (1)A (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z考向二【例2】 (1)已知扇形周长为10，面积为4，则扇形的圆心角为________．(2)已知扇形周长为40，则当它的半径r ＝________，圆心角θ＝________时，扇形的面积最大．【思路点拨】 (1)建立关于圆心角和半径的方程组求解．(2)由题设得出面积关于圆心角(或半径)的函数关系式，利用函数求最值．【解析】 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100. 当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．【答案】 (1)12 (2)10 2弧度制应用的关注点：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题，常常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10， (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10， ∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l ＝α·R ＝π3×10＝103π， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.考向三三角函数的定义[典例剖析]【例3】 (1)已知角α终边上一点P (3，1)，则2sin 2α－3tan α＝( ) A ．－1－3 3 B ．1－3 3 C ．－2 3D ．0(2)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________．【思路点拨】 (1)先由三角函数的定义求出角α，再进行计算． (2)由三角函数定义及题设确定B 点坐标，再计算tan 2α的值．【解析】 (1)由已知得|OP |＝2，由三角函数定义可知sin α＝12，cos α＝32，即α＝2k π＋π6(k ∈Z)．所以2sin 2α－3tan α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4k π＋π3－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6＝2sin π3－3tan π6＝2×32－3×33＝0.(2)设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，由三角函数的定义可知sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π6(k ∈Z)，点A (2cos θ，2sin θ)．设点B (x ，y )，由已知得 x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋23π＝3，所以点B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝ 3. 【答案】 (1)D (2)(－1，3) 3用三角函数概念求三角函数值的方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值，进而得到三角函数值．[对点练习](1)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( )A.3 B ．±3 C.33 D ．±33(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12【解析】 (1)由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12， ∴tan α＝±3，B 正确．(2)由三角函数定义可知Q (x ，y )满足： x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32，故A 正确．【答案】 (1)B (2)A误区分析8 误认为“|t |＝t ”致三角函数定义求值中漏解[典例剖析]【典例】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＋45tan α＝________.【解析】因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则r ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.误区：此处求解时，常认为r ＝5t ，不对t 进行分类讨论而导致漏解．当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－3t 5t ＝－35， cos α＝4t 5t ＝45，tan α＝－3t 4t ＝－34，所以sin α＋cos α＋45tan α＝－35＋45＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－25；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t ＝－45，tan α＝－3t 4t ＝－34.所以sin α＋cos α＋45tan α＝35－45＋45×⎝⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，所求值为－25或－45. 【答案】－25或－45【防范措施】 1.对于a 2＝|a |，在去掉绝对值号后，应分a ≥0和a ＜0两种情况讨论． 2．已知角α终边上任意一点P (x ，y )，求三角函数值时，应用sin α＝y x 2＋y2，cos α＝x x 2＋y2，tanα＝yx 求解．[对点练习]已知角θ的终边上一点P (3a,4a )(a ≠0)，则sin θ＝________. 【解析】 ∵x ＝3a ，y ＝4a ， ∴r ＝(3a )2＋(4a )2＝5|a |.(1)当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin θ＝y r ＝45. (2)当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin θ＝y r ＝－45，综上，sin θ＝±45. 【答案】 ±451．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z) C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z)【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z)，但角度制与弧度制不能混用，故只有C 正确．【答案】 C2．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C3．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255 C ．－55 D ．－255【解析】 sin α＝2(－1)2＋22＝255.【答案】 B4．已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【解析】设扇形的半径为R ，则12|α|R 2＝2，∴R ＝1. ∴周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6. 【答案】 C课时提升练(十七) 任意角、弧度制及任意角的三角函数(见学生用书第263页)一、选择题1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1【解析】由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 【答案】 C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0【解析】在第三象限，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 【答案】 B3．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【解析】由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C 4．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点则cos α＝－x x 2＋y 2.其中正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确，sin α＞0，α的终边也可能在y 轴的非负半轴上． ④不正确，在三角函数的定义中，cos α＝xr ＝x x 2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．【答案】 A5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角的终边所在的范围(阴影部分)是()【解析】当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2；当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，应选C.【答案】 C6．已知角α的终边过点P (x ，x 2＋1)(x ＞0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D. 2 【解析】 tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取“＝”．【答案】 B7．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3] 【解析】∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上，∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.【答案】 A8．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4【解析】由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限角，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.9．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32 【解析】 ∵r ＝64m 2＋9.∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12. 【答案】 B10．设π4＜α＜π2，sin α＝a ，cos α＝b ，tan α＝c ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．b ＜a ＜c【解析】在单位圆中作出角α的正弦线、余弦线、正切线，如图，sin α＝|MP |，cos α＝|OM |，tan α＝|AT |，∵|OM |＜|MP |＜|AT |，∴b ＜a ＜c .【答案】 D11．函数y ＝|tan x |tan x ＋sin x |sin x |＋|cos x |cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π2，k ∈Z 的值域是( )A ．{y |－1≤y ≤3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{y |－3≤y ≤3}D ．{－1,3}【解析】当x 是第一象限角时，tan x ，sin x ，cos x 都是正的，故y ＝1＋1＋1＝3；当x 是第二象限角时，tan x ＜0，sin x ＞0，cos x ＜0，∴y ＝－1＋1－1＝－1；同理可得，x 是第三、四象限角时，y ＝－1.12．已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0 D ．小于等于0 【解析】 ∵θ是第四象限角， ∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，又当－1＜α＜0时，sin α＜0. 故sin(sin θ)＜0. 【答案】 C 二、填空题13．若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．【解析】由题意知－a 4＝tan 120°，∴－a 4＝－3， ∴a ＝4 3. 【答案】 4 314．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小角的弧度数为________．【解析】 2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6. 【答案】 5π615．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【解析】由已知tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限．【答案】二 16．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中不正确．．．的命题是________．【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．【答案】 ①②④⑤第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式考纲要求：1.理解同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．[基础真题体验]考查角度[同角三角函数的基本关系] 1．(2014·课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0【解析】 ∵tan α>0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)是第一、三象限角．∴sin α，cos α都可正、可负，排除B ，C. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)，结合正、余弦函数图象可知，A 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2a ＝0，故D 不正确．【答案】 A2．(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C.1225 D.2425 【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425. 【答案】 A3．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1【解析】因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2，即sin 2α＝－1，所以α＝3π4，tan α＝－1. 【答案】 A 考查角度[诱导公式]4．(2013·广东高考)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos α，故cos α＝15，故选C.【答案】 C [命题规律预测]考向一同角三角函数的基本关系的应用[典例剖析]【例1】 (1)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2(2)(2014·嘉兴模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 【思路点拨】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解． (2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2α＝1求解．【解析】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，因此cos α＝－55.【答案】 (1)A (2)－55同角三角函数基本关系应用题目的破题技巧：(1)在sin α、cos α与tan α三者中知一求二的题目常利用平方关系和商数关系构造方程组求解． (2)知tan α的值求关于sin α与cos α的n 次齐次分式的值时，一般分子分母同除以cos n α，转化为关于tan α的式子求解．(3)含有sin 2α，cos 2α及sin αcos α的式子求值时，可将式子的分母看作“1”，利用平方关系代换后转化为“切”再求解．[对点练习](1)若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1 D.54(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则tan α＝________. 【解析】 (1)∵tan α＝2，∴2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.【答案】 (1)B (2)－43考向二诱导公式的应用[典例剖析]【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________．【思路点拨】 (1)利用诱导公式将给定的任意角转化为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角再求值． (2)注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π和α－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，对待求式中的角进行转化即可．【解析】 (1)原式＝－sin1 200°cos1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.【答案】 (1)1 (2)－2＋331．使用诱导公式解题的技巧诱导公式的基本作用在于将任意角的三角函数转化为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角的三角函数，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角．利用诱导公式时要正确分析角的结构特点，然后确定要使用哪个诱导公式，应用时注意函数名是否要改变，符号是否要改变．2．给值求值问题的求解须知在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进化转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错． [对点练习](1)sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于( )A ．－79B ．－13 C.13 D.79【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13. 【答案】 (1)B (2)C考向三 in α±cos α与sin α·cos α的关系[典例剖析]【例3】已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．【思路点拨】由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2A ＝1可求得．【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，① ∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75.②∴由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.方程组思想的运用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.体现了方程组思想的运用．[对点练习]已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 【解析】由sin α－cos α＝2，得1－2sin αcos α＝2， ∴2sin αcos α＝－1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝0，∴sin α＋cos α＝0，∴sin α＝22，cos α＝－22，∴tan α＝－1.【答案】－1误区分析9 未提取“角的范围”这一隐含信息致三角函数求值增根[典例剖析]【典例】 (2015·佛山模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( ) A ．－32 B.32 C ．－34 D.34 【解析】 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos_α＜0，sin_α＜0，且|cos_α|＜|sin_α|，误区：审题时，“5π4＜α＜3π2”即α为第三象限角，故cos α＜0，sin α＜0，而|cos α|＜|sin α|这一关键问题未审出，而导致cos α－sin α的符号不确定．∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.∴cos α－sin α＝32. 【答案】 B【防范措施】利用平方关系求三角函数值，开方时应注意三角函数值符号的判断，以防产生增根．一般地判断角范围的条件很隐蔽，需要认真分析、挖掘．如本例中的“5π4＜α＜3π2”应理解为第三象限后半区的角．[对点练习]已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.【解析】由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23. 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＝43. 【答案】 431．cos 600°的值为( )A.32B.12 C ．－32 D ．－12 【解析】 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 【答案】 D2．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213 【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513， ∴cos α＝513，又α是第四象限角， ∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 A3．已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 【解析】 sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝25. 【答案】 254．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 ，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ＝________. 【解析】 (cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝1516，∵π4＜θ＜π2，∴cos θ＜sin θ，∴cos θ－sin θ＝－154. 【答案】－154课时提升练(十八) 同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题1．tan 300°＋sin 450°的值为( ) A ．1＋3 B ．1－ 3 C ．－1－ 3 D ．－1＋ 3【解析】 tan 300°＋sin 450°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 【答案】 B2．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513 D.1213 【解析】因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.【答案】 A3．在△ABC 中，若tan A ＝－2，则cos A ＝( ) A.55 B ．－55 C.255 D ．－255【解析】 ∵在△ABC 中，tan A ＝－2，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos A ＝－11＋tan 2A＝－55. 【答案】 B4．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12【解析】 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 【答案】 B5．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255 B.255 C ．±255 D.52【解析】 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.【答案】 B6．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ C ．±(sin θ－cos θ) D ．sin θ＋cos θ 【解析】 ∵1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ＞0，∴原式＝sin θ－cos θ.【答案】 A7．已知sin(π－2)＝a ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2的值为( )A ．－1－a 2B ．－a C.1－a 2 D ．a【解析】 ∵sin(π－2)＝a ，∴sin 2＝a . ∴cos 2＝－1－a 2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos 2＝－1－a 2.【答案】 A8．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13【解析】由已知得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010. 【答案】 C9．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 015)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3【解析】 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3.∴f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.【答案】 D10．当0＜x ＜π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4【解析】当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ，设t ＝tan x ，则0＜t ＜1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．【答案】 D11．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为( )A.4－2m m －3 B ．±m －34－2m C ．－512 D ．－34或－512 【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，得m ＝8或m ＝0. ∴sin θ＝513，cos θ＝－1213或sin θ＝－35，cos θ＝45. ∴tan(k π＋θ)＝tan θ＝－512或－34. 【答案】 D 二、填空题12．已知cos(75°＋α)＝13，－180°＜α＜－90°，则tan(15°－α)＝________. 【解析】由－180°＜α＜－90°得，－105°＜α＋75°＜－15°， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－223，又cos(15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)，sin(15°－α)＝sin [90°－(75°＋α)]＝cos(75°＋α)，∴tan(15°－α)＝－24. 【答案】－2413．已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315. 【答案】 31514．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于________．【解析】 ∵α与β的终边关于直线y ＝x 对称，∴α＋β＝ 2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，∴α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，故sin α＝12. 【答案】 1215．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 【答案】 016．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝______. 【解析】由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2得，sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcosθ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 【答案】 310第三节三角函数的图象与性质考纲要求：1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． [基础真题体验]考查角度[三角函数的图象]1．(2013·课标全国卷Ⅰ)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]上的图象大致为( )【解析】在[－π，π]上，∵f (－x )＝[1－cos(－x )]·sin(－x )＝(1－cos x )(－sin x )＝－(1－cos x )sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称，排除B.取x ＝π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos π2sin π2＝1＞0，排除A. ∵f (x )＝(1－cos x )sin x ，∴f ′(x )＝sin x ·sin x ＋(1－cos x )cos x＝1－cos 2x ＋cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1. 令f ′(x )＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12.结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为23π，靠近π，选C. 【答案】 C考查角度[三角函数的性质]2．(2014·课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 【解析】 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 【答案】 C3．(2012·课标全国卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]【解析】取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B 、C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k∈Z ，排除D.【答案】 A4．(2014·北京高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．【解析】 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 【答案】 π [命题规律预测]考向一三角函数的定义域与值域[典例剖析]【例1】 (1)(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．0 (2)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．【思路点拨】 (1)先确定2x －π4的范围，再用数形结合法求最值． (2)由2sin x －1≥0求解．【解析】 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. (2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)求三角函数的定义域、值域(最值)的方法：(1)求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的常见求法①化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．②换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．[对点练习](1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最大值是________．【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2考向二三角函数的单调性[典例剖析]【例2】 (1)(2014·辽宁高考)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增(2)函数y ＝|tan x |的单调减区间为________．【思路点拨】 (1)先进行图象变换，再用代换法求单调区间．(2)由y ＝tan x 的图象得到y ＝|tan x |的图象，观察图象写出其单调减区间即可．【解析】 (1)y ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π.令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z.令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712π，故B 正确．画出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．(2)y ＝|tan x |的图象如图所示：观察图象可知，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z三角函数的单调区间的求法：(1)代换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．[对点练习]函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 在[－π，0]上的单调递减区间为________．【解析】令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0考向三三角函数的奇偶性、周期性和对称性【命题视角】三角函数的奇偶性、周期性与对称性是三角函数的重要性质，是高考的命题热点，通常以选择题、填空题或解答题某一问的形式呈现，常考查对称轴与对称中心的求解，周期的求解与奇偶性的判断等问题．角度一：判断对称轴与对称中心【例3－1】 (2014·福建高考)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称【思路点拨】【解析】由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对．【答案】 D利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与x 轴的交点这一性质求解或通过检验函数值进行判断角度二：求三角函数的周期【例3－2】 (2014·天津高考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π【思路点拨】利用辅助角公式把函数f (x )表示为正弦型函数，解出交点横坐标，由距离求出ω，得到周期T .【解析】 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z)．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 【答案】 C(1)利用周期定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；(3)利用图象．角度三：三角函数的奇偶性及应用【例3－3】已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3【思路点拨】化f (x )为A sin(ωx ＋φ)的形式，再结合诱导公式求解φ值．【解析】 f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos (3x ＋φ)－32sin (3x ＋φ)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3x ＋φ)＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π3(k ∈Z)，由所给选项知只有D 适合．【答案】 D若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.思想方法7 研究三角函数性质的一大“法宝”——整体思想所谓整体思想就是研究问题时从整体出发，对问题的整体形式、结构特征进行综合分析，整体处理的思想方法．在三角函数学习中，运用“整体思想”可以解决以下几类问题： (1)三角函数的化简求值．(2)研究三角函数的有关性质，(如求单调区间、值域、对称轴、对称中心等)． (3)解三角不等式或求含参变量的取值范围问题．[典例剖析]【典例】 (2014·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解】 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z. 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4·(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.[对点练习]已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z) 【解析】由已知得2πω＝π，∴ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，故f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．【答案】 D课堂达标训练1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 ∵正弦函数的图象的对称轴过图象的最高点或最低点，∴令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z ，取k ＝－1，则x ＝－π4.【答案】 C2．函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π2是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋52π＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．【答案】 A3．函数y ＝1tan x －1的定义域为________．【解析】要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z4．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．【解析】当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3补上一课(二) 三角函数最值(值域)的求法三角函数的最值问题是三角函数中的基本内容，历年高考题中均重点考查，对于这类问题如果找到恰当的方法，掌握其规律，可以简捷求解．前面考向一中我们已稍作介绍，在此再总结以下类型以供参考．1 y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的最值(值域)【例1】设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的值域为________．【思路点拨】令t ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3→t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1—求得y ＝4t 2－12t －1的最值，得原函数的值域【解析】令t ＝sin x ，由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. y ＝4t 2－12t －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－10，因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1时，函数单调递减，所以当t ＝－12，即x ＝－π6时，y max ＝6；当t ＝1，即x ＝π2时，y min ＝－9. ∴y ∈[－9,6]．【答案】 [－9,6]【名师点津】形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型函数的值域问题转化为二次函数的值域问题，要注意换元前后变量的取值范围要保持不变．2 y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 型函数的最值(值域)【例2】函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32【思路点拨】转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的值域求解．【解析】 ∵f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴函数f (x )的值域为[－3，3]．【答案】 B【名师点津】形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的函数最值应用辅助角公式转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值．。

第2讲三角恒等变换与解三角形

因为 sin A≠0，所以 sin(π－2C)＝sin C，即 sin 2C＝2sin Ccos C＝sin C. 因为 sin C≠0，所以 cos C＝12.
π 因为 0＜C＜π，所以 C＝ 3 .
返回
(2)由 S△ABC＝12absin C＝ 3，可得 ab＝4. 因为 2a＋b＝6，所以 2a＋4a＝6，解得 a＝1 或 2. 当 a＝1 时，b＝4，由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 c＝ 13，所以△ABC 的周长为 5＋ 13. 当 a＝2 时，b＝2，由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得 c＝2，所以△ABC 的周长为 6. 综上，△ABC 的周长为 6 或 5＋ 13.
又 sin(β－α)＝ 1100＞0，所以 β－α∈π2 ，π，
所以 cos(β－α)＝－
1－sin2（β－α）＝－3
10 10 .
返回
所以 cos(α＋β)＝cos2α＋（β－α）＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－2 5 5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
返回
解：(1)∵a＋b－ccos A－ 3asin C＝0，
∴由正弦定理得，sin A＋sin B－sin Ccos A－ 3sin Asin C
＝0.
∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin A＋sin Acos C＋cos Asin C－sin Ccos A－ 3sin Asin
坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地
面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换（Trigonometric Identities）是数学中重要的基本概念之一，它们在解三角形等相关问题中发挥着重要的作用。

在本文中，我们将探讨三角恒等变换的基本概念以及如何利用它们解决三角形的问题。

1. 引言三角恒等变换是指在三角函数之间的相等关系。

通过运用这些恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而更容易解决与三角函数相关的问题。

2. 基本的三角恒等变换2.1 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1对于任意角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。

这个恒等变换被称为三角函数的基本恒等变换，它表明正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。

2.2 余弦函数与正弦函数的互补关系对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ 和cos(π/2 - θ) = sinθ。

这表明余弦函数与正弦函数在π/2之间具有互补关系。

2.3 正切函数与余切函数的互补关系对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ 和cot(π/2 - θ) = tanθ。

这表明正切函数与余切函数在π/2之间具有互补关系。

3. 利用三角恒等变换解三角形利用三角恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而解决与三角形相关的问题。

以下是一些常用的例子：3.1 例子1：已知一个角的正弦值，求解这个角的余弦值和正切值。

假设已知角θ的正弦值为sinθ = 3/5。

根据正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1，我们可以得到cos^2θ = 1 - (sinθ)^2 = 1 - (3/5)^2 = 16/25。

因此，cosθ = ±4/5，取决于角θ的实际情况。

同样地，根据正切函数的定义，我们可以得到tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/ (±4/5) = 3/4。

3.2 例子2：已知一个角的余弦值，求解这个角的正弦值和余切值。

假设已知角θ的余弦值为cosθ = 4/5。

三角恒等变换及解三角形

2()()2()()()2()ααβαββαβαβααββαβαβα=-++=+--=+-+=++三角恒等变换和解三角形一、基础知识回顾 1、和角与差角公式：①sin()αβ±=____________②cos()αβ±=_____________③tan()αβ±=____________ ④sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,大小由tan baϕ=决定). 2、二倍角公式：①sin 2α=_________；②c o s2α=________=________=_________；③ta n2α=__________ 3、半角公式：①2sin2α=_________________；sin2α=_________________.②2cos 2α=_________________；cos 2α=_________________.③tan 2α=_____________=sin 1cos αα+=1cos sin αα-.4、角的变形：5、正弦定理：_________________________________；主要用于解决以下问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求三角形其它元素。

6、已知三角形的两边,a b 和其中一边的对角A ∠，三角形解的情况：7、根据正弦定理可得△ABC 的几个常用面积公式： ①ABC S ∆=____________11sin sin 22bc A ca B ==②用,,a b c 及R 表示ABC S ∆=_____________；（R 为△ABC 的外接圆半径） ③用,,a b c 及r 表示ABC S ∆=_____________；（r 为△ABC 的内切圆半径） 8、余弦定理：_________________;___________________;_____________________ 变形为:____________________;____________________;_____________________ 余弦定理主要解决以下问题：（1）已知三边或三边的比例，求三角形的三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

专题14 三角恒等变换与解三角形(解析版)

专题14 三角恒等变换与解三角形【高考导航】1．利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点．2．利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.【真题解析】1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725[解析] 解法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， ∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725.故选D. 解法二：∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35，∴cos α＋sin α＝325，∴1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案] D2．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A[解析] 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0，所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ，即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°<C <90°，故2b ＝a .故选A.解法二：由正弦定理和余弦定理得b ⎝⎛⎭⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝2a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ，所以2b 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2＋b 2－c 2ab ＝a 2＋3b 2－c 2，即2b a(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2，即(a 2＋b 2－c 2)⎝⎛⎭⎫2b a －1＝0，所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，故2b ＝a ，故选A.[答案] A3．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.[解析] 由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14， ∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154， ∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152. 又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14， 0<∠BDC <π2，∴cos ∠BDC ＝104. [答案]152 104 4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A. 故sin B sin C ＝23. (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12. 所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3. 由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8. 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.【典例解析】考点一三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin αcos α.(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a . 【训练】1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. [答案] D【训练】2．已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin2(α＋γ)＝3sin2β，则m ＝( ) A.12 B.34 C.32D ．2 [解析] 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B ，因为sin2(α＋γ)＝3sin2β，所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B )，即2cos A ·sin B ＝sin A cos B ，所以tan A ＝2tan B ，所以m ＝tan A tan B＝2，故选D. [答案] D3．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． [解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55× 1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案]7π4(1)三角恒等变换的三原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)解决条件求值应关注的三点①分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．③求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题．考点二解三角形1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状[解析] ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．[答案] B 角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算[解析] 由b sin B －a sin A ＝12a sin C 及正弦定理得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74.故选A.[答案] A 角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算[思维流程] (1)代换A ＋C 为π－B →化简关系式→求出cos B (2)求sin B →结合面积公式求出ac →借助余弦定理求出b[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．【特别提醒】应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．【训练】1．[角度1]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状一定是( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形[解析]在△ABC中，∵cos2A2＝b＋c2c，∴1＋cos A2＝sin B＋sin C2sin C＝12·sin Bsin C＋12，∴1＋cos A＝sin Bsin C＋1，∴cos A sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，∴sin A cos C＝0，sin A≠0，∴cos C＝0，∴C为直角．故选B.[答案] B【训练】2．[角度2]在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，则B＝()A.π6或5π6 B.π3 C.π6 D.5π6[解析]∵a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，∴由正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A＝12sin B. 又∵sin B≠0，∴sin A cos C＋sin C cos A＝12，解得sin(A＋C)＝sin B＝12.∵0<B<π，∴B＝π6或5π6.故选A.[答案] A【训练】3．[角度3]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．[解析]由正弦定理得，(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c，又a＝2，所以b2＋c2－bc＝4，所以cos A＝b2＋c2－42bc＝bc2bc＝12，故A＝π3.因为b2＋c2≥2bc，所以bc≤4，所以S△ABC＝12bc sin A≤12×4×32＝3，当且仅当b＝c时取等号．[答案] 3考点三正、余弦定理的实际应用1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【训练】1．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km[解析] 画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin30°sin45°＝3 2. [答案] B2．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.[解析] 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin30°＝DB sin15°，即DB ＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin45°＝252(3－1)sin (90°＋θ)，即25sin45°＝252(3－1)cos θ，得到cos θ＝3－1.[答案]3－1解三角形实际问题的4步骤【强化训练】一、选择题1．已知α为锐角，且7sin α＝2cos2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝( ) A.1＋358 B.1＋538C.1－358D.1－538[解析] 由7sin α＝2cos2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358，故选A. [答案] A2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4[解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×sin π33＝22，所以A ＝π4或3π4.又a <b ，所以A <B ，所以A ＝π4.[答案] B3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010[解析] 设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C. [答案] C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若满足c ＝2，a cos C ＝c sin A 的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(3，2)D ．(2，2)[解析] 因为a cos C ＝c sin A ，由正弦定理得sin A cos C ＝sin C sin A ，易知sin A ≠0，故tan C ＝1，所以C ＝π4.过点B 作AC 边上的高BD ，垂足为D ，则BD ＝22BC ，要使满足条件的△ABC 有两个，则BC >2>22BC ，解得2<BC <2.故选D.[答案] D5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] 因为sin C ＝23sin B ，所以由正弦定理得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，得a ＝7b ，再由余弦定理可得cos A ＝32，所以A ＝π6.故选A. [答案] A6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为312c ，则ab 的最小值为( )A.12B.13C.16D ．3 [解析] 由正弦定理及2c cos B ＝2a ＋b ，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )，则2sin C ·cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，整理可得2sin B ·cos C ＋sin B ＝0，又0<B <π，所以sin B >0，则cos C ＝－12，因为0<C <π，所以C ＝2π3，所以sin C ＝32，则△ABC 的面积为12ab sin C ＝34ab ＝312c ，即c ＝3ab ，结合c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，可得a 2＋b 2＋ab ＝9a 2b 2，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ＋ab ≤9a 2b 2，即ab ≥13，当且仅当a ＝b ＝33时等号成立，故ab 的最小值是13.故选B. [答案] B 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝________.[解析] 由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.[答案] 120°8．计算：4cos50°－tan40°＝________.[解析] 4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin (120°－40°)－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝ 3.[答案]39．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝45°，C 点的仰角∠CAB ＝60°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝45°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.[解析] 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝60°，BC ＝100 m ，所以AC ＝2003m.在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝45°，从而∠AMC ＝60°，由正弦定理得AC sin60°＝AM sin45°，因此AM ＝20023m.在Rt △MNA 中，AM ＝20023m ，∠MAN ＝45°，得MN ＝2003m.[答案] 2003三、解答题10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A ·sin π4＝7226. 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A . (1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S . [解] ∵⎝⎛⎭⎫54c －a cos B ＝b cos A ，∴由正弦定理得⎝⎛⎭⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，则54sin C ·cos B ＝sin C .∵sin C >0，∴cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23.又∵a ＋b ＝10，∴a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5，∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0，解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，∴S ＝12ac sin B ＝15.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，且b ≥a ，求2b －c 的取值范围． [解] (1)由已知可得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2C －14sin 2C ，化简得sin 2A ＝34，∴sin A ＝±32，又0<A <π，∴sin A ＝32，故A ＝π3或2π3. (2)由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，因为b ≥a ，所以B ≥A ，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3且B ∈⎣⎡⎭⎫π3，2π3，故2b －c ＝4sin B －2sin C＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6. 因为π3≤B <2π3，所以π6≤B －π6<π2，所以2b －c 的取值范围为[3，23)．。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。

通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。

本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。

1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。

根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。

2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。

根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。

3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。

举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。

根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。

高考三轮复习专题训练2---三角恒等变换与解三角形综合问题

三角恒等变换与解三角形综合问题1.三角恒等变换与解三角形的综合问题是高考的热门考点，涉及的公式多、性质繁，知识点较为综合，主要涉及三角恒等变换、解三角形及三角函数与解三角形的开放、探究问题。

2.三角恒等变换与解三角形综合问题的答题模板第一步利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化第二步由三角方程或条件式求角第三步利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长第四步检验易错易混、规范解题步骤得出结论3.常用的几个二级结论（1）降幂扩角公式()()221cos =1+cos2,21sin =1cos2.2ααα−α⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（2）升幂缩角公式221+cos2=2cos ,1cos2=2sin .αα−αα⎧⎨⎩（3）正切恒等式tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C若△为斜三角形，则有tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C （正切恒等式）．（4）射影定理在ABC 中，cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+．【典例】(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1＋sin A ＝sin 2B 1＋cos 2B. (1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简] (2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系] 思路引导母题呈现三角恒等变换与解三角形综合问题的一般步骤方法总结1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．模拟训练5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233ab 的值．6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________. (1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+，条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+，条件③3sinsin 2B C b a B +=．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得πsin 6A ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值，进而求得A ；（2）利用三角形面积公式求得bc 的值进而根据余弦定理求得22b c +的值，最后联立方程求得b 和c ．【详解】（1）解：因为3sin cos c a C c A =−，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：sin 3sin sin sin cos C A C C A =−，∴3sin cos 1A A −=，π2sin 16A ⎛⎫∴−= ⎪⎝⎭，π1sin 62A ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫∴−∈− ⎪⎝⎭，ππ66A ∴−=， π3A ∴=. （2）解：113sin 3222ABC S bc A bc ==⋅=，4bc ∴=，由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +−==，2244b c ∴+−=，联立2284b c bc ⎧+=⎨=⎩，解得2,2b c ==. 2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，π3A =，则πsin sin 3sin 6B C B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭π3sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.模拟训练【详解】（1）由正弦定理可得()()b c b c a a bc −−=⋅−，即222b c a bc +−=，由余弦定理的变形得2221cos 22b c a A bc +−==，又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由πA B C ++=得2π3C B =−，且2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2πππsin sin sin πsin 333C B B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π33πsin sin sin sin sin cos 3sin 3226B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为20,π3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而ππ5,π666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而3sin sin ,32B C ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦. 即sin sin B C +的取值范围为3,32⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）先选条件，并利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化，得到角A 的三角函数值，再结合角A 的取值范围即可求得角A 的大小；（2）先利用余弦定理建立关于,b c 的方程，再利用向量的线性运算将2BD DC =转化为AD 与AB ，AC 的关系，两边同时平方即可将2AD 用,b c 表示，最后利用ABC 是锐角三角形及换元法,利用基本不等式求AD 长的最大值即可．【详解】（1）方案一：选条件①．由正弦定理得()sin si 33sin 3sin s s i n n co C A A B B B A =+=+，∴3cos sin sin sin A B B A =，∵sin 0B >，∴sin 3cos A A =，即tan 3A =，∵02A π<<，∴3A π=．方案二：选条件②．由正弦定理得()()()b a b a c b c +−=−，即222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．方案三：选条件③．由余弦定理得22222122a c b a b ac bc ac +−−=⋅−，∴222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+−，得2236b c bc =+−，∵2BD DC =，∴22AD AB AC AD −=−，即32AD AB AC =+，两边同时平方得2222294442AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++，2236b c bc =+−∴()22222221424249b c bcAD b c bc b c bc ++=++=⨯+−．令b t c =，则0t >，()()2222424121411t t t AD t t t t +++==+−+−+，令1t u +=，则1u >，221212443333AD u u u u =+=+−++−，在锐角ABC 中2222222222222222222222222a b c b c bc b c b bca cb bc bc c b c bc b c a b c b c bc ⎧⎧+>+−+>⎧>⎪⎪+>⇒+−+>⇒⎨⎨⎨>⎩⎪⎪+>+>+−⎩⎩，∴122bc <<，∴31,32u b c ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴21241683233AD ≤+=+−，∴223AD ≤+，当且仅当3u =时取等号，∴线段AD 长的最大值为223+．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答. （2）由（1）可得π(0,)3B ∈，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理及A B C π+=−，得πsin cossin sin 2C B C B −=，即有sin sin2sin cos sin 222C C C B B =，而(),0,A B π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即sin 0B ≠，sin 02C ≠，因此1cos 22C =，π23C =，所以2π3C =．（2）令ABC 边BC 上的高为h ，由11sin 22ABC S ah ac B ==，得3sin h B =，由（1）知，π(0,)3B ∈，即3sin (0,)2B ∈，则33sin (0,)2h B =∈，所以BC 边上的高的取值范围是3(0,)2. 5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233a b的值．【分析】（1）根据正弦定理化角为边，将2c 表示出来，再利用余弦定理化简，再结合三角函数的性质及基本不等式即可得出答案；（2）直接利用（1）中的结论即可得解.【详解】（1）因为222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=，所以2226363sin a b c ab C ++=，则22223sin 23a c ab C b =−−，又222224323sin 233cos 3sin 2232a b ab C a b c a b C C ab ab b a +−+−===+−，所以233sin cos 32a b C C b a+=+，因为2323223232a b a b b a b a+≥⋅=，当且仅当2332a b b a =，即23a b =时，取等号， π3sin cos 2sin 26C C C ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ62C +=，即π3C =时，取等号，所以233sin cos 232a b C C b a +=+=，所以π3C =；（2）由（1）可得23a b =，所以2333a b=. 6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.(1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B 的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案. （2）将1c b =+代入正弦定理可得1sin 2b C b +=，要使角A 有两解，即1sin 12C <<，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）若选①：整理得()1tan tan 3tan tan A C A C −=−+，因为A B C π++=，所以()tan tan 3tan tan 1tan tan 3A CB AC A C +=−+=−=−，因为()0,B π∈，所以6B π=；若选②：因为()23cos 3cos c a B b A −=，由正弦定理得()2sin 3sin cos 3sin cos C A B B A −=，所以()2sin cos 3sin 3sin ,sin 0C B A B C C =+=>，所以3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=；若选③：由正弦定理整理得2223a c b ac +−=，所以222322a cb ac +−=，即3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=；（2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =，得1sin sin b b B C +=，所以1sin 2b C b +=，因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<，即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos 0B C A C +−=，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，再利用两角和的正弦公式即可求解；方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出3cos sin C C =，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解；(2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得3b a =，然后代入即可求解.【详解】（1）方案一：选条选①．由()cos 2cos 0c B b a C +−=，得sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +−=，得()sin 2sin cos 0B C A C +−=，即sin 2sin cos 0A A C −=．∵0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，又0πC <<，∴π3C =．方案二：选条件②．由cos 3sin +=+a b c B c B ，得sin sin sin cos 3sin sin +=+A B C B C B ，即()sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B ++=+，于是sin cos cos sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B C B ++=+，因此sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴3sin cos 1C C −=，即π1sin 62C ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ∵()0,πC ∈，∴ππ5π,666C ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，∴ππ66C −=，故π3C =．方案三：选条件③．由正弦定理，得()23cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，即()23cos sin sin C A B C +=，∴23sin cos sin C C C =，又0πC <<，∴sin 0C ≠，∴3cos sin C C =，即tan 3C =，∴π3C =．（2）在ABC 中，π3C =，由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−，又()223189sin 122S b c ab C =−=，∴()2223389124b a b ab ab ⎡⎤−+−=⎣⎦，整理得22960a ab b −+=，得3b a =，此时227c a b ab a =+−=，∴2227cos 214a cb B ac +−==−，∴B 为钝角，故ABC 是钝角三角形．【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A 的大小；（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c 边，用面积公式计算面积.【详解】（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =．（2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得224312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+−⋅，即223123232c c c −=+−⋅，整理，得22390c c −−=，由0c >得3c =，所以11133sin 332224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△． 9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+，条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+，条件③3sinsin 2B C b a B +=．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出sin2A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）由已知ABC ABD ACD S S S =+结合三角形的面积公式可得出111b c+=，将2b c +与11b c +相乘，展开后利用基本不等式可求得2b c +的最小值.【详解】（1）解：选①：因为1cos 2a B c b =+，由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B C B =+，即()11sin cos sin sin sin cos cos sin sin 22A B A B B A B A B B =++=++，所以1cos sin sin 2A B B =−，而()0,πB ∈，sin 0B ∴≠，故1cos 2A =−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =；选②：因为sin sin sin sin A C B C b a c −+=+，由正弦定理a c b c b a c −+=+，即222b c a bc +−=−，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =；选③：因为3sin sin 2B C b a B +=，正弦定理及三角形内角和定理可得π3sin sinsin sin 2A B A B −=，即3sin cos 2sin cos sin 222A A A B B =，因为A 、()0,πB ∈，则π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，sin 0B ≠，cos 02A ≠，所以3sin 22A =，所以π23A =，即2π3A =. （2）解：由题意可知，ABC ABD ACD S S S =+，由角平分线性质和三角形面积公式得12π1π1πsin 1sin 1sin 232323bc b c =⨯⨯+⨯⨯，化简得bc b c =+，即111b c+=，因此()112222332322c b c b b c b c b c b c b c ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭，当且仅当221c b ==+时取等号，所以2b c +的最小值为322+．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =，所以π3C =．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+−得：221a b ab =+−，因此12ab ab ≥−，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11333sin (0,]22244ABC S ab C ab ab ==⨯=∈△，所以ABC 面积的取值范围是3(0,]4．。

三角恒等变换与解三角形专题

12 3 x－2 ＋，x∈R. 2
因为 sin x∈[－1,1]， 1 3 所以，当 sin x＝2时，f(x)取最大值2；当 sin x＝－1 时，f(x)取最小值－3. 所以函数
3 f(x)的值域为－3，2.
考点核心突破
训练高效提能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
训练高效提能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分量
基础要点整合
专题二
三角函数与平面向
解题规范流程
【考点集训】
3 1． (2013· 日照一模)已知 sin α＝5，且 α 为第二象限角，则 tan α 的值为________．
解析因为 α 为第二象限角， 4 sin α 3 所以 cos α＝－，tan α＝＝－ . 5 cos α 4
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第一部分量
基础要点整合
专题二
三角函数与平面向
解题规范流程
【考点集训】
1 5 3．(2013· 汕头模拟)已知 tan α＝－3，cos β＝ 5 ，α， β∈(0，π)． (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求函数 f(x)＝ 2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
第一部分量
基础要点整合
专题二
三角函数与平面向
解题规范流程
1 (2)因为 tan α＝－3，α∈(0，π)， 1 3 所以 sin α＝，cos α＝－， 10 10 3 5 5 5 2 5 f(x)＝－ 5 sin x－ 5 cos x＋ 5 cos x－ 5 sin x ＝－ 5sin x，

高考数学三角恒等变换与解三角形

所以 sin∠ADB＝ 2． 5
由题意知，∠ADB＜90°，
所以 cos∠ADB＝ 1－ 2 ＝ 23． 25 5
(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝ 2． 5
在 △ BCD 中，由余弦定理得， BC2 ＝ BD2 ＋ DC2 － 2·BD·DC·cos ∠ BDC ＝ 25 ＋ 8 －
于是 sin2B＝2sinBcosB＝4， 5
cos2B＝1－2sin2B＝3， 5
故 sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA
＝4×(－ 5)－3×2 5＝－2 5．
5
5 55
5
(理)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a>b，a＝5，c＝6，sinB
∴b2＝a2＋b2－2·a·b· 3，解得 a＝2 3b，
3
3
由正弦定理得， AD ＝ AB ， sin∠ABD sin∠ADB
∴ b6＝sin∠aADB， 3
解得 sin∠ADB＝2 2． 3
4．设α∈
0，π 2
，β∈
0，π 2
，且
tanα＝1＋sinβ，则(
C
)
cosβ
A．3α－β＝π 2
B．3α＋β＝π 2
3
4
9
16
∴sinβ＝3cosβ， 4
∴sinβ＝3，cosβ＝4，
5
5
∴sinα＝4，cosα＝3，
5
5
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝3×4－4×3＝0， 5555
∴α＋β＝π，∴BC2＝AB2＋AC2， 2
∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得 v＝100，故选 C．

三角函数-三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。

注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。

)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

三角恒等变换与解三角形教学设计

《三角恒等变换与解三角形》教学设计一、学情分析：（1）这是一节高三的一轮复习课，复习《三角恒等变换与解三角形》之前，已经提前预习了和、差、二倍角公式，正、余弦定理，部分同学具备分析问题的能力；（2）本班是理科班，数学基础良好，学生思维较活跃，能够运用所学知识解决实际问题；（3）根据学生特点制定了由浅入深地来复习三角恒等变换与解三角形这一课时的教学计划，同时通过实例提高学生的学习兴趣。

二、教学内容分析：《三角恒等变换与解三角形》既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。

为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解题的基本方法、步骤。

三、教学目标：1、课标要求：能够运用三角恒等变换与正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2、（1）熟练掌握和差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形；会选择恰当的公式，根据问题的条件进行公式变形；加强对换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

运用正弦定理、余弦定理提高学生分析问题、解决问题的能力。

（2）通过三角变换，加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识。

通过解三角形在实际中的一些应用，开放多种思路，引导学生发现问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；四、教学的重点和难点：重点：在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

难点：从中找到解决问题的关键。

五、教学策略选择与设计：重视提出问题、解决问题策略的指导。

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，学生不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此在教学中引导学生发现问题、提出问题是非常必要的。

针对这一节课的内容，以及学生特点，我制定了由浅入深的教学计划：首先，将所授内容分为三大类——正余弦定理的应用，解三角形与实际应用问题；其次，在每一类型中，有代表性地各选取一道例题，遵循由浅入深的原则进行顺序上的安排。

高考微点六三角恒等变换与解三角形

高考微点六三角恒等变换与解三角形牢记概念公式，避免卡壳1.三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . ③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径. (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .活用结论规律，快速抢分1.辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .2.在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sinB.3.△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 4.设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则 (1)若a 2＋b 2＝c 2，则C ＝π2；(2)若a 2＋b 2>c 2，则C <π2； (3)若a 2＋b 2<c 2，则C >π2.高效微点训练，完美升级1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2－1＝( )A.13 B.－13 C.79D.－79解析 2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13. 答案 A2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为( )A.12 B.23 C.－12D.1解析由题意得cos α＝12，sin α＝－32， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案 C3.已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2 B.1 C. 3D. 2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D4.sin 10°1－3tan 10°＝( ) A.14 B.12 C.32 D.1解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14.答案 A5.在△ABC 中，三边长分别为a ，a ＋2，a ＋4，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为( ) A.154 3 B.154 C.214 3D.354 3解析由条件知长为a 的边对应的角最小，设为A ，则由余弦定理，得cos A ＝（a ＋2）2＋（a ＋4）2－a 22（a ＋2）（a ＋4）＝1314，解得a ＝3或a ＝－2(舍去)，则三边长分别为3，5，7，且sin A ＝3314，所以△ABC 的面积S ＝12×5×7×3314＝1534. 答案 A6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋ba ＋c＝1，则C＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋ba ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3，故选B. 答案 B7.已知3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B.－79 C.19D.－19解析由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α).由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，故9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( ) A.7 B.27 C.37D.47解析在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B ＝4，则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A＝47sin(A ＋θ)(其中tan θ＝39). 所以AC ＋3BC 的最大值为47. 答案 D9.若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( ) A.1110 B.－1110 C.1D.－1解析 ∵点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心， ∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1. 答案 D10.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝____________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 答案 3211.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.解析连接OC ，由题意知CD ＝150米，OD ＝100米，∠CDO ＝60°.在△COD 中，由余弦定理得OC 2＝CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°，即OC ＝507. 答案 50712.(多填题)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则sin θ＝________；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ·cos π4＋cos θsin π4＝35，cos θcos π4－sin θsin π4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－152，cos θ＝752，∴tan θ＝－17，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtanπ4＝－17－11－17×1＝－43.答案－210 －4313.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.。

高三数学寒假精品讲义第10讲三角恒等变换、解三角形(解析版)

第10讲三角恒等变换、解三角形【题型精讲】题型一:三角恒等变换1．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A．79-B．79C．29-D．29【答案】A 【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A2．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．9-D．9【答案】B 【详解】解：sin cos 662πππθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2217cos cos 212sin 122626393πθπθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．89-B．9-C．9D．89【答案】B 【详解】解：∵22662πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴cos 2cos 2sin 22sin cos 662666ππππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 63πα-⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴122422sin cos 266339ππαα⎛⎛⎫⎛⎫++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B .题型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22226,3c ab a b C π+=++=，则ABC 的面积为（）A．3B．2C．11+【答案】B 【详解】由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又因为22226c ab a b +=++，()1cos 26C ab -=，又3C π=，所以6ab =，所以11sin 62222ABC S ab C ==⨯⨯=，故选：B2．（2021·河南·高三月考（文））在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,2,b B C ==则a c +的取值范围为（）A．(B．()4C．(0,D．()【答案】A 【详解】在ABC 中，由2B C =及正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：32sin 2sin 32(3sin 4sin )34(1cos )14cos sin sin 22sin cos cos cos b A C C C C a C B C C C C C---=====-，sin 2sin 1sin sin 2cos b C C c B C C ===，于是得114cos 4cos cos cos a c C C C C+=-+=因为ABC 为锐角三角形，则有020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即03202202C C C ππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得64C ππ<<，有cos 22C <<，则(4cos C ∈，所以a c +的取值范围为．故选：A3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）ABC 中，D 为边BC 的中点，8AB =，17AC =，7.5AD =，则ABC 的面积为___________.【答案】60【详解】不妨设BD CD x==在ABD △和ACD △中，由余弦定理222222cos ,cos 22DA DB AB DA DC AC ADB ADC DA DB DA DC+-+-∠=∠=⨯⨯由于cos cos ADB ADC ADB ADCπ∠+∠=∴∠=-∠故222222022DA DB AB DA DC AC DA DB DA DC +-+-+=⨯⨯，代入长度可得22222227.587.517481015154x x x x x +-+-+=∴=2BC x ∴==在ABC 中，由余弦定理2228cos 217AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⨯，又(0,)BAC π∠∈15sin 17BAC ∴∠==由面积公式，1sin 602ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠= 故答案为：604．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，角75A B C ===︒，2BC =，则AB 的取值范围是__________．【答案】+．【详解】如图1，延长BA ，CD ，相交于点E ．由图易知将边AD 向上或向下平行移动，条件75A B C ===︒，2BC =并不改变．所以当点D 趋近于点C 时，AB 最小当点D 趋近于点E 时，AB最大．因此问题转化为在BCE 中求BE 的值，以及在三角形'A BC 中求'A B 的值．在'A BC 中，75,75,2B BA C BC '∠=︒∠=︒=,所以30,2BCA A C BC ''∠=︒==,由余弦定理易求得：'A B ====在BCE 中，75,75,2B BCE BC ∠=︒∠=︒=,所以30BEC ∠=︒,由正弦定理易求得：sin sin BC BE E BCE =,即2sin30sin75BE=︒︒，所以2sin 754142BE =︒=所以AB的取值范围是．故答案为：．题型三：正余弦定理的实际应用1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD 中，1DA DC ==，AB =，若2B π=，则四边形ABCD面积的最大值为________．【答案】4【详解】如图连接AC ，设∠ADC 2α=，由1DA DC ==，AB =，2B π=，可知2sin ,sin ,AC BC AB ααα===，∴四边形ABCD面积：211sin 2sin 2cos 2sin(2)2224444S αααααϕ=+=-+=-+，其中tan 2ϕ=，当sin(2)1αϕ-=时，max 4S =.故答案为：4.2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC 正前方有棵挺拔的小树NH ，在路灯杆前的点A （BC ，NH ，点A 在同一平面内）处测得路灯顶点B 处和小树顶点N 处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M ，此时M ，N ，B 三点在同一条直线上.在点M 处测得MH =1m ，小树顶点N 处的仰角为60°，则路灯杆BC 的长为___________m .【答案】33【详解】设CH x =，在Rt MNH △中，有1MH =，60NMH Ð=°，所以3NH =在Rt ANH △中，有3NH =30NAH ∠=︒，则3AH =，所以 3BC AC x ==+，由题意可知MNH △MBC △，可得NH MHBC MC=，即3131x x =++，解得3x =所以33BC =+故答案为：333．（2021·全国·高三月考（文））如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，π3B =，D 是ABC 外一点，3AD =，2CD =，则四边形ABCD 面积的最大值是___________.【答案】13364+【详解】在ABC 中，由余弦定理可得22222π2cos3b ac ac a c ac ac =+-=+-=，即()20a c -=，所以a c =，因为π3B =，所以ABC 为等边三角形，在ADC 中，由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅，由于3AD =，2CD =，代入上式可得21312cos b D =-，所以21π1sin 23sin 232ABCD ABC ACD S S S b D =+=+⋅⋅)23sin 1312cos 3sin D D D =+=-+π3sin 6sin3D D D ⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭所以当ππ32D -=即5π6D =时，ABCD S 最大为64+，四边形ABCD 面积的最大值为64+，故答案为：64+.4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为1km 的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2km 的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分别安装一套监测设备，且90BAC ∠=︒，AB AC =．定义：四边形OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设AOB θ∠=．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．252km+【详解】在OAB 中，,1,2AOB OB OA θ∠=== ，2222cos AB OB OA OB OA θ∴=+-⋅⋅，AB =211sin 22OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅△△，5sin 2cos2OACB S θθ∴=-+，则5)2OACB S θϕ=-+（其中tan 2ϕ=），当sin()1θϕ-=时，OACB S 取最大52252km .252km.【课后精练】一、单选题1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（）A．725B．35C．45D．2425【答案】A【详解】由题意知，大正方形的面积为25，其边长为5，小正方形的面积为1，其边长为1，每个直角三角形的面积为1(251)64-=，设图1中一个直角三角形的短直角边长为m，则另一条直角边长m+1，有1(1)62m m+=，解得3m=，设直角三角形中短边对的角为θ，则3sin5θ=，所以27cos212sin25θθ=-=，即图2中菱形的一个锐角的余弦值为725.故选：A2．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数()22sin24f x x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭．若关于x的方程()2f x m-=在,42xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m的取值范围是（）A．12⎡⎢⎣B．2⎢⎣C．[]0,1D．,22⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【详解】()1cos 22222x f x x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⨯1sin 2cos 22sin 213x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22633x πππ≤-≤，所以1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,3，因为()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦上有解即()2=+f x m 在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，故223m ≤+≤即01m ≤≤，故选：C.3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90m ，山高160m ，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（）A．12B．941C．1625D．916【答案】B 【详解】由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为200m l ==处观察，设此时视角为θ，塔底离地面高度为n ，塔顶离地面高度为m ，则l =2()tan 1m n l m n l l m n l mn l lθ--==++⋅，故909sin 25016041m n m n θ-===++.故选：B4．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC 就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得sin 54︒=（）154+358+458+2514-【答案】A 【详解】在ABC 中，72B C ∠=∠= ，由正弦定理得sin sin BC AC A B =，即sin 3651sin 72BC AC -==，由倍角公式得，sin 36512sin 3636cos -=o o o ，解得15cos364+︒=()15sin 54sin 9036cos364︒=︒-︒=︒=，故选：A5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知13sin(()4444πππϕϕ-=--<<，则cos 2ϕ=（）A．15B．78-C．7815【答案】D 【详解】因为344ππϕ-<<，所以242πππϕ-<-<，又因为1sin(44πϕ-=-，215cos 1sin 444ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin sin cos cos sin444444ππππππϕϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦230302888-=-，所以23226015cos 212sin 12648ϕϕ-=-=-=.故选：D6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知ππsin cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（）A．1-B．1C．12D．12-【答案】A解：因为ππsin cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππsin cos cos sin cos cos sin sin 6666αααα-=-，即11cos sin cos sin 2222αααα-=-，11cos sin 22αα⎛⎫⎫=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin tan 1cos ααα==-故选：A7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（）A．可能是锐角B．一定是直角C．可能大于23πD．一定小于56π【答案】D 【详解】解：从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根有()1,2,3，()1,2,4，()1,2,5，()1,3,4，()1,3,5，()1,4,5，()2,3,4，()2,3,5，()2,4,5，()3,4,5共10种取法，其中能够围成三角形的有()2,3,4，()2,4,5，()3,4,5，若三边为2,3,4，设最大角为θ，则22223411cos 22342θ+-==->-⨯⨯，故最大角为钝角，即223ππθ<<；若三边为2,4,5，设最大角为θ，则22224551cos 224162θ+-==->-⨯⨯，故最大角为钝角即223ππθ<<；若三边为3,4,5，设最大角为θ，则222345cos 0234θ+-==⨯⨯，故最大角为直角，即223ππθ=<；故最大内角一定小于56π；故选：D8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22(32)(54)0a b a c -+-=，则ABC 最小内角的正弦值为（）A．45B．34C．35【答案】D 【详解】解：因为22(32)(54)0a b a c -+-=，所以320,450,a b c a -=⎧⎨-=⎩则3,25,4b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可知ABC 的最小内角为角A ，所以22222229253416cos 3524224a a abc a A bc a +-+-===⨯⨯，又()0,A π∈，所以sin 4A =.故选：D.9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，m ，则实数m 的取值范围是（）A．()3,7B．C．)D．(【答案】B 【详解】因2，5，m 是三角形的三边，则25m +>且25m +>，解得37m <<，设这个三角形中长为5，m 的边所对角分别为,αβ，显然长为2的边所对角必为锐角，而这个三角形为锐角三角形，则由余弦定理得：222cos 02225m m α+-=>⨯⨯，且222cos 022552m β+-=>⨯⨯，即221m >且229m <m <<所以实数m的取值范围是.故选：B10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（）A．23πB．2π+C．23πD．2π-【答案】D 【详解】由已知得： 2π3AB BC AC ===，则2AB BC AC ===，故扇形的面积为2π3，法1：弓形AB 的面积为22π2π233=-，∴所求面积为22π322π3⎛-+=-⎝法2：扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为22π3222π3⨯--=-．故选：D11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M 山峰和N 山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是300m ，从B 点测得M 点的仰角π4ABM ∠=，N 点的仰角π6CBN ∠=以及cos 4MBN ∠=，则两座山峰之间的距离MN =（）A．300m B．C．600mD．【答案】C 【详解】由题意可知：300AB AM CN ===，BM ==2600BN CN ==，由余弦定理得600MN =故选：C12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC 的三条边长分别为a ，b ，c ，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点121212,,,,,A C B A C B 仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A．9πB．143πC．283πD．323π【答案】C 【详解】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，22328333⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭2282833ππ=．故选:C.二、填空题13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos2x x x xx ++=__________．【答案】85【详解】解：由33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222cos sin 3cos sin 2222x x x x ⎫+=--⎪⎪⎝⎭，整理得2cos sin x x =，即tan 2x =，()222sin cos sin 2cos 1sin sin 2sin cos 2sin 1cos cos22x x x x x x x x x x x +-+++∴=+()2222sin cos 1cos 4sin cos 4tan 884sin cos 1cos sin cos tan 14152x x x x x x x x x x x x +======++++故答案为：8514．（2021·广西桂林·高三月考（文））下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π.②函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线1112x π=对称；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点.④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象.其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）【答案】①②④【详解】解：函数442222sin cos (sin cos )(sin cos )cos 2y x x x x x x x =-=+⋅-=-的最小正周期是π，故①正确；对于函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1111()3sin 2312123f πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故②正确；在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有一个公共点，故③错误；把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 23sin 263y x x π⎡π⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故④正确．故答案为：①②④．15．（2021·广东茂名·高三月考）某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形，其中12O O ，为半圆的圆心，则该图形的面积为_________2cm .【答案】52π+【详解】由图可知，该平面图形由两个半径分别为1与2的半圆，一个两边长分别为2，4且夹角为60︒的三角形三部分组成，所以22211542sin 602222S πππ⨯⨯=++⨯⨯︒=+故答案为：52π+16．（2021·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为)151米，在它们之间的地面上的点M （B 、M 、D 三点共线）处测得楼顶A ．教堂顶C 的仰角分别是15 和60 ，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．【答案】【详解】在直线三角形ABM 中，sin15ABAM=，即()1514AM=，解得AM =在ACM △中，45CAM ∠= ，105CMA Ð= ，30ACM ∠= ，则sin 45sin 30CM AM=12=，解得60CM =米，在直角三角形CDM 中，sin 60CD CM =60CD=，解得CD =米，故索菲亚教堂的高度为故答案为：。

三角恒等变换与解三角形

失分警示]1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．3．忽视解的多种情况如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π，求C ，再由正弦定理或余弦定理求边c ，但解可能有多种情况．4．忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围． 5．忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．考点三角恒等变换典例示法题型1 求角典例1 中山模拟]已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解答此类问题的关键是结合已知条件，求出相应角的三角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.题型2 求值典例2 安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．化简常用的方法技巧(1)化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．考点正、余弦定理典例示法题型1应用正、余弦定理求边、角典例3淄博模拟]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C ＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．题型2 判断三角形的形状典例4 设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．题型3 求有关三角形的面积典例5 2014·浙江高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．考点正、余弦定理的实际应用典例示法典例6如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．1．解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤针对训练2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_______________________________________________ _________________________m.全国卷高考真题调研]1．全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－7253．2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．4．浙江高考]已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.5．2015·广东高考]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.6．2014·山东高考]设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．一、选择题1．合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.122．广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B.64 C.223 D.326。

常考问题三角恒等变换与解三角形

知识与方法
热点与突破
审题与答题
热点与突破热点一三角变换及应用【例 1】 (1)已知 0<β<π2<α<π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，
求 cos(α＋β)的值； (2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求 2α－β 的值．
知识与方法
A，所以
tan
A＝
33，
因为 0<A<23π，所以 A＝6π，C＝π2.
法二由已知，得 A＋C＝2B，又 A＋B＋C＝π，所以 B＝3π，又由
sin C＝2sin A，得 c＝2a，所以 b2＝a2＋4a2－2a·2acosπ3＝3a2，c2
＝a2＋b2，即△ABC 为直角三角形，所以 C＝2π，A＝23π－2π＝π6.
热点与突破
审题与答题
x2＝ACcos∠CAD＝10 13cos(45°－θ)＝30. y2＝ACsin∠CAD＝10 13sin(45°－θ)＝20. 所以过点 B，C 的直线 l 的斜率为 k＝2，故直线 l 的方程为 y＝2x－40. 又点 E(0，－55)到直线 l 的距离为 d＝|0＋515＋－440|＝3 5<7. 所以船会进入警戒水域．
知识与方法
热点与突破
审题与答题
[规律方法] 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解
题的突破口，如求A→B·A→C，需要求出 bc，由三角形的面积及 cos A，
可求出 sin A，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．
知识与方法
热点与突破
审题与答题
【训练 2】 (2013·山东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＋c＝6，b＝2，cos B＝79. (1)求 a，c 的值； (2)求 sin(A－B)的值．解 (1)由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ac2c－4＝79，即 a2＋c2－4＝194ac. ∴(a＋c)2－2ac－4＝194ac，∴ac＝9. 由aa＋ c＝c＝ 9，6，得 a＝c＝3.

三角恒等变换和解三角形公式

三角恒等变换和解三角形公式三角恒等变换是指一类等式或恒等式，可以通过它们来简化或转换三角函数表达式。

这些变换可以帮助我们解决三角函数问题，并简化复杂的三角表达式。

解三角形公式是用来计算三角形各个角度和边长的公式。

下面将详细介绍三角恒等变换和解三角形公式。

一、三角恒等变换1.正弦、余弦和正切的基本恒等变换：(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，这个等式被称为三角恒等式的基本等式，它适用于所有角度。

(2) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

2.余弦、正切和余切的基本恒等变换：(1) $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

3.正弦和余弦的互补恒等变换：(1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$(2) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正弦和余弦互为相反数。

4.正切和余切的互补恒等变换：(1) $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta$(2) $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正切和余切互为倒数。

5.其他常用的三角恒等变换：(1) $\sin(-\theta) = -\sin \theta$(2) $\cos(-\theta) = \cos \theta$(3) $\tan(-\theta) = -\tan \theta$这些变换表明，正弦、余弦和正切函数在角度取相反数时会发生改变。

1.解直角三角形：(1)已知两个直角三角形的边长求第三边：- 斜边长：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$- 一边长和斜边长：$b = \sqrt{c^2 - a^2}$或$a = \sqrt{c^2 -b^2}$(2)已知一个直角三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$2.解一般三角形：(1)已知三个角度的和为180度- 内角和公式：$A + B + C = 180^\circ$(2)已知一个三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$总结：三角恒等变换是一类等式或恒等式，可以用来简化或转换三角函数表达式，包括正弦、余弦和正切的基本恒等变换、余弦、正切和余切的基本恒等变换、正弦和余弦的互补恒等变换、正切和余切的互补恒等变换，以及其他常用的变换。

三角恒等变换与解三角形

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形中常用的方法之一。

通过利用三角函数之间的关系，可以简化复杂的三角形问题，从而解决解题难题。

本文将介绍常见的三角恒等变换，并结合实例来说明其在解三角形问题中的应用。

一、三角恒等变换的定义三角恒等变换指的是一些等式或关系式，通过其变换可以得到与原三角函数等价的另一种表达式。

这些变换可以方便我们在求解三角形问题时进行化简和变形。

下面将介绍几种常见的三角恒等变换：1. 余弦定理余弦定理是三角形中常用的恒等变换之一，可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理表达式如下：\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]其中，$a$、$b$、$c$表示三角形的边长，$C$表示夹角$c$的对应角。

2. 正弦定理正弦定理也是解三角形问题中常用的恒等变换。

正弦定理表达式如下：\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]其中，$a$、$b$、$c$表示三角形的边长，$A$、$B$、$C$表示三角形的对应角度。

3. 余角恒等变换余角恒等变换可以将三角函数中的一个角的正弦、余弦、正切、余切等函数转化为另一个角的相应三角函数表达式。

例如，$sin(\pi -\theta) = sin\theta$、$cos(\pi - \theta) = -cos\theta$等。

二、三角恒等变换在解三角形中的应用三角恒等变换在解三角形问题中是十分有用的。

通过对已知条件进行恒等变换，可以从中发现一些隐藏的关系，从而简化问题。

例如，已知三角形的两边和一夹角，可以使用余弦定理求解第三边的长度。

而当已知三角形的两边和三个角度之一时，可以使用正弦定理求解三角形的三个角度。

通过利用三角恒等变换，可以将复杂的计算问题转化为简单的代数计算，进而解决三角形问题。

下面通过一个具体的例子来说明三角恒等变换在解三角形中的应用。

专题二第2讲三角恒等变换与解三角形

c，已知 bsin 2A＝asin B，且 c＝2b，则ab等于
A.3
1 B.3
3 C. 3
√D. 3
因为bsin 2A＝asin B，
所以2bsin Acos A＝asin B，
利用正弦定理可得2abcos A＝ab，所以 cos A＝12，又 c＝2b，所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b2＋44bb22－a2＝12，解得ab＝ 3.
(2)(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). ①证明：2a2＝b2＋c2；
方法一由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
abcos C＝ 2 ，2bccos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.
方法二因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
所以 cos α＝
415，tan
α＝csoins
αα＝
15 15 .
2sin α 方法二因为 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－cocssoinαs22αα ＝c2ossi2nα－αcsoisnα2α＝21s－in 2αscions2αα，

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