数学建模遗传算法与优化问题【精品毕业设计】(完整版)

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遗传算法与优化问题

遗传算法与优化问题在我们生活的这个复杂世界里，优化问题无处不在。

从如何规划物流运输的最佳路线，以降低成本和提高效率，到设计更节能的建筑物布局，再到优化生产线上的工序安排，以增加产量和保证质量，这些都属于优化问题的范畴。

而在解决这些问题的众多方法中，遗传算法以其独特的魅力和强大的能力脱颖而出。

那什么是遗传算法呢？简单来说，遗传算法就像是大自然中生物进化的过程。

它模仿了生物的遗传、变异和自然选择的机制，通过一代代的“繁衍”和“淘汰”，逐渐找到问题的最优解。

想象一下有一群“个体”，每个个体都代表着问题的一个可能的解决方案。

这些个体就像是生物界中的各种生物，它们有着不同的特征和“适应能力”。

在遗传算法中，这个“适应能力”就是根据问题的目标和约束条件来评估的。

比如，如果我们要解决一个寻找最短路径的问题，那么路径越短的个体，其适应能力就越强。

接下来，就像生物通过交配繁殖产生下一代一样，这些个体也会进行“交配”。

这个过程被称为交叉操作。

两个优秀的个体通过交换部分信息，产生新的个体，这些新个体有可能继承了父母双方的优点，从而具有更好的性能。

同时，还会发生变异。

就像生物在遗传过程中会出现基因突变一样，个体的某些特征会随机发生变化。

这种变异虽然可能会产生不太好的个体，但也有可能带来意想不到的惊喜，创造出更优秀的解决方案。

然后，根据适应能力的评估，那些适应能力差的个体就会被淘汰，而适应能力强的个体则有更多的机会参与到下一代的繁衍中。

这样，经过一代又一代的进化，最终会找到适应能力最强的个体，也就是问题的最优解或者接近最优解。

那么，遗传算法在哪些领域能够大显身手呢？让我们先来看看工程领域。

在电路设计中，工程师们需要确定电子元件的最佳布局和参数设置，以实现电路的最佳性能。

使用遗传算法，可以自动搜索巨大的设计空间，找到最优的设计方案，大大节省了时间和成本。

在制造业中，生产计划的优化是一个关键问题。

如何安排生产任务、分配资源，以满足订单需求、最小化生产成本并缩短生产周期，遗传算法可以为企业提供有效的解决方案。

遗传算法解决TSP问题【精品毕业设计】(完整版)

2.2遗传算法原型：
GA(Fitness,Fitness_threshold,p,r,m)
Fitness:适应度评分函数,为给定假设赋予一个评估分数
Fitness_threshold:指定终止判据的阈值
p:群体中包含的假设数量
r:每一步中通过交叉取代群体成员的比例
m:变异率
初始化群体:P←随机产生的p个假设
在本程序的TSP问题中一共有20个城市，也就是在图模型中有20个顶点，因此一个染色体的长度为20。
3.3适应函数f(i)
对具有n个顶点的图，已知各顶点之间( , )的边长度d( , )，把到间的一条通路的路径长度定义为适应函数：
对该最优化问题，就是要寻找解，使f( )值最小。
3.4选择操作
选择作为交叉的双亲，是根据前代染色体的适应函数值所确定的，质量好的个体，即从起点到终点路径长度短的个体被选中的概率较大。
（2）交叉（Crossover）：对于选中进行繁殖的两个染色体X，Y，以X，Y为双亲作交叉操作，从而产生两个后代X1，Y1.
（3）变异（Mutation）：对于选中的群体中的个体（染色体），随机选取某一位进行取反运算，即将该染色体码翻转。
用遗传算法求解的过程是根据待解决问题的参数集进行编码，随机产生一个种群，计算适应函数和选择率，进行选择、交叉、变异操作。如果满足收敛条件，此种群为最好个体，否则，对产生的新一代群体重新进行选择、交叉、变异操作，循环往复直到满足条件。
3.变异:使用均匀的概率从Ps中选择m%的成员.对于选出的每个成员,在它表示中随机选择一个为取反
4.更新:P←Ps
5.评估:对于P中的每个h计算Fitness(h)
从P中返回适应度最高的假设
3.
3.1 TSP问题的图论描述

优化问题模型遗传算法

遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，主要包括三个基本过程：复制、交叉和变异。

1. 复制：从旧群体中选择适应度高的个体，在下一代中更可能被保留下来。

2. 交叉：通过两个个体的交换组合，产生新的优良品种。

交叉又有单点交叉、两点交叉、一致交叉、顺序交叉和周期交叉，其中单点交叉运用最广。

单点交叉：任意选择两个染色体，随机选择一个交换点位置，交换两个染色体右边的部分。

3. 变异：变异运算用来模拟生物在自然的遗传环境中因为各种偶然因素引起的基因突变。

算法中以很小的概率随机改变（染色体某一位置）的值，表现为随机将某一基因1变为0，0变为1。

以上是遗传算法的大致过程，其基本步骤在实际应用中可能会根据问题特性进行调整。

同时请注意，遗传算法虽然是一种有效的全局优化方法，但并不能保证找到最优解，且找到的最优解可能与实际的最优解有所偏差。

Matlab中的遗传算法与优化问题求解

Matlab中的遗传算法与优化问题求解引言在当今科技发展的时代，生物学相关领域的进展催生了一种名为遗传算法的计算模型。

遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过模拟遗传、变异和选择等环节，不断迭代搜索最优解。

而Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数库，可以便捷地实现遗传算法，用于解决各类优化问题。

本文将探讨Matlab中的遗传算法以及其在优化问题求解中的应用。

一、遗传算法概述遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是一种模拟自然界进化过程的优化算法。

它的基本思想源自生物学中的进化理论，通过模拟遗传、交叉、变异和选择等操作，不断迭代生成更优解。

遗传算法的主要步骤包括：1.初始化种群：根据问题定义，初始化一组个体，组成初始种群。

2.适应度评估：对每个个体计算适应度，即衡量其优劣的指标。

适应度越高，个体就越优秀。

3.选择操作：根据每个个体的适应度，进行选择操作，确定待进入下一代的个体。

4.遗传操作：通过遗传操作，包括交叉和变异，生成下一代个体。

5.替换操作：用新一代的个体替换上一代，更新种群。

6.终止条件：判断是否满足停止条件，如达到最大迭代次数或找到满意解等。

7.返回最优解：返回适应度最高的个体作为最优解。

二、Matlab中的遗传算法工具箱Matlab提供了一系列的遗传算法工具箱，包括遗传算法优化函数（GA）和遗传算法模板（GAToolbox）。

通过这些工具，可以方便地实现遗传算法的各个步骤，并进行优化问题求解。

1.初始化种群在Matlab中，可以使用rand和randi函数生成随机数作为初始种群的个体值。

根据问题的不同，可以定义个体为一维向量、二维矩阵等形式。

2.适应度评估适应度函数是遗传算法中一个重要的部分，用于评估每个个体的优劣。

在Matlab中，可以通过定义一个适应度函数来计算每个个体的适应度值。

根据问题的具体情况，适应度函数可以是多元函数、约束函数等。

遗传算法解决函数优化问题

实验一遗传算法解决函数优化问题一、实验目的1.掌握遗传算法的基本原理和步骤。

2. 复习VB 、VC 的基本概念、基本语法和编程方法，并熟练使用VB 或VC 编写遗传算法程序。

二、实验内容1. 上机编写程序，解决以下函数优化问题：()1021min 100i i i f x x =⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑X2. 调试程序。

3. 根据实验结果，撰写实验报告。

三、实验原理遗传算法是一类随机优化算法，但它不是简单的随机比较搜索，而是通过对染色体的评价和对染色体中基因的作用，有效地利用已有信息来指导搜索有希望改善优化质量的状态。

标准遗传算法流程图如下图所示，主要步骤可描述如下： ① 随机产生一组初始个体构成初始种群。

② 计算每一个体的适配值（fitness value ，也称为适应度）。

适应度值是对染色体(个体)进行评价的一种指标，是GA 进行优化所用的主要信息，它与个体的目标值存在一种对应关系。

③ 判断算法收敛准则是否满足，若满足，则输出搜索结果；否则执行以下步骤。

④ 根据适应度值大小以一定方式执行复制操作（也称为选择操作）。

⑤ 按交叉概率p c 执行交叉操作。

⑥ 按变异概率p m 执行变异操作。

⑦ 返回步骤②。

图1.1 标准遗传算法流程图四、程序代码#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#include<time.h>#define byte unsigned char#define step 200 //步长#define MAX 50#define N 10 //随机数个数#define Pc 0.74 //被选择到下一代的概率,个数=Pc*N，小于N 下一代数=上一代，不用处理#define Pt 0.25 //交叉的概率,个数=Pt*N 舍，小于N 0~(n2+1)随机数，之后部分开始交叉#define Pm 0.01 //变异的概率,个数=Pm*N*n2 入，小于N 0~(N*(n2+1))随机数/(n2+1)=个体,0~(N*(n2+1))随机数%(n2+1)=该个体基因位置#define n2 15//2的15次方,共16位#define next_t (int)(Pt*N)//交叉个数#define next_m (int)(Pm*N+1)//变异个数向后约等于#define e 0.001//次数限制阈值/*int N=10; //随机数个数float Pc=0.74; //被选择到下一代的概率,个数=Pc*N，小于N 下一代数=上一代，不用处理float Pt=0.25; //交叉的概率,个数=Pt*N 舍，小于N 0~(n2+1)随机数，之后部分开始交叉float Pm=0.01; //变异的概率,个数=Pm*N*n2 入，小于N 0~(N*(n2+1))随机数/(n2+1)=个体,0~(N*(n2+1))随机数%(n2+1)=该个体基因位置*/bytebitary[N][n2+1],bitary0[N][n2+1];//二进制int src1[N];float ShowType(int a);//表现型void BinNum(int a);//二进制位数n2 float fit_func(float a);//适应度void DecToBin (int src,int num);//十进制转二进制void BinToDec (void);//十进制转二进制int selectT(float a,float b[10]);//选择交叉个体int selectM(float a,float b[10]);//选择变异个体void main(void){//范围是[-100,100]*************************** intsrc[N],i=0,j=0,k=0,count=0;//十进制float show[N];//表现型float fit[N],sumfit=0;//适应度float pcopy[N];//优胜劣汰，遗传到下一代的概率fit[i]/总和(fit[i]) float pacc[N];//pcopy[i]累加概率值float prand[N];//随机产生N个0~1的下一代概率int iselect;//根据概率选择到的个体序号int new_select[N];//根据概率选择到的个体int new_T[next_t],new_M[next_m];float min,min1;printf("随机数(原始母体),表现型, 适配值\n");srand( (unsigned)time(NULL) );for(i=0;i<N;i++){src[i]=rand()%32768;//rand()%201-100===>-100~100的十进制随机数随时间递增show[i]=ShowType(src[i]);//转化成表现型fit[i]=fit_func(show[i]);//计算各个适配值(适应度)sumfit=sumfit+fit[i]; //种群的适应度总和printf("%5d, %f, %f\n",src[i],s how[i],fit[i]);}printf("\n第%d代适配总值\n%f\n",count,sumfit);//第0代count++;min=sumfit;printf("\n遗传到下一代的概率\n");for(i=0;i<N;i++){pcopy[i]=fit[i]/sumfit;printf("%f, ",pcopy[i]);}// 求选择(被复制)的累加概率,用于轮盘赌产生随机数区域，选择下一代个体printf("\n遗传到下一代的累加概率\n");pacc[0]=pcopy[0];for(i=1;i<N;i++){pacc[i]=pacc[i-1]+pcopy[i];printf("%f, ",pacc[i]);}//每个src[N]都随机取其中一个pcopy，取得的值pcopy[i]跟pcopy概率大小有关//模拟轮盘赌方式选择新一代printf("\n\n新产生的第%d代,表现型, 适配值\n",count);srand( (unsigned)time(NULL) );for(i=0;i<N;i++){prand[i]=(float)( (rand()%101)*0.01 );//0~1的十进制小数，精确到0.01iselect=selectT(prand[i],pacc);new_select[i]=src[iselect];//产生的新一代,十进制show[i]=ShowType(new_select[i]);/ /转化成表现型fit[i]=fit_func(show[i]);DecToBin (new_select[i],i);sumfit=sumfit+fit[i]; //种群的适应度总和printf(" %d %f %f\n",new_selec t[i],show[i],fit[i]);}printf("\n第%d代适配总值\n%f\n",count,sumfit);//第1代min1=sumfit;if (min>sumfit){min1=min;min=sumfit;}while(fabs(min-min1)>e&&count<MAX ){//从新一代选择个体交叉printf("\n随机产生交叉个体号");srand( (unsigned)time(NULL) );for(i=0;i<2;i++) //简单起见交叉数设为2{new_T[i]=rand()%N;//0~10的十进制数产生的交叉个体if (i>0)//两个不同个体交叉while(new_T[i]==new_T[i-1])new_T[i]=rand()%N;printf("%d, ",new_T[i]);}srand( (unsigned)time(NULL) );//随机产生交叉位置k=rand()%n2;//0~14的十进制数printf("\n随机产生交叉位置 %d\n",k);printf("\n原编码\n");for(j=n2;j>=0;j--)printf("%c",bitary[new_T[0]][j]);printf("\n");for(j=n2;j>=0;j--)printf("%c",bitary[new_T[1]][j]);printf("\n位置%d后交叉编码\n",k);char temp;for(i=k+1;i<n2+1;i++)//交叉{temp=bitary[new_T[0]][i];bitary[new_T[0]][i]=bitary[new_T[ 1]][i];bitary[new_T[1]][i]=temp;}for(j=n2;j>=0;j--)printf("%c",bitary[new_T[0]][j]);printf("\n");for(j=n2;j>=0;j--)printf("%c",bitary[new_T[1]][j]);//从新一代选择个体变异printf("\n随机产生变异个体号");srand( (unsigned)time(NULL) );for(i=0;i<1;i++) //简单起见变异数设为1个{new_M[i]=rand()%N;//0~9的十进制数产生的变异个体k=rand()%(n2+1);//0~15的十进制数printf("%d\n编码位置 %d\n原编码\n",new_M[i],k);for(j=n2;j>=0;j--)printf("%c",bitary[new_M[i]][j]);if(bitary[new_M[i]][k]=='0')//变异取反bitary[new_M[i]][k]='1';elsebitary[new_M[i]][k]='0';printf("\n位置%d变异后编码\n",k);for(j=n2;j>=0;j--)printf("%c",bitary[new_M[i]][j]);}printf("\n");count++;//新的bitary即产生第二代printf("\n新产生的第%d代\n",count);for(i=0;i<N;i++){for(j=n2;j>=0;j--)printf("%c",bitary[i][j]);printf("\n");}BinToDec ();//二进制转十进制 for(i=0;i<N;i++){new_select[i]=src1[i];show[i]=ShowType(src[i]);//转化成表现型fit[i]=fit_func(show[i]);//计算各个适配值(适应度)sumfit=sumfit+fit[i]; //种群的适应度总和printf("%5d, %f, %f\n",src1[i], show[i],fit[i]);}printf("\n第%d代适配总值\n%f\n",count,sumfit);if (sumfit<min){min1=min;min=sumfit;}}printf("\n\n\n*****************\n over\n*****************\n",sumfit);}//////////////////////////子函数////////////////float ShowType(int a){float temp;temp=(float)(a*200.0/32767-100);/ /(2的15次方减1)=32767return temp;}float fit_func(float a){float temp;temp=a*a;return temp;}void DecToBin (int src,int num){int i;//注意负数的补码if (src<0){src=(int)pow(2,16)-abs(src);}for (i=0;i<=n2;i++){bitary[num][i]='0';bitary0[num][i]='0';if(src){bitary[num][i]=(src%2)+48;bitary0[num][i]=(src%2)+48;src=(int)(src/2);}}}void BinToDec (void){int i,j;for(i=0;i<N;i++){src1[i]=0;for(j=0;j<n2+1;j++){src1[i]=src1[i]+(bitary[i][j]-48) *(int)pow(2,j);}}}int selectT(float a,float b[10]) {int i;for(i=0;i<N;i++){if (a<b[i])return i;}return -1;} 五、实验结果分析：随机性大，精度不高六、实验心得理论指导实践，在实践中得以提高。

遗传算法及其改进设计

[1]王银年.遗传算法的研究与应用[D].江南大学，硕士学位论文, 2009.
[2]朱灿.实数编码遗传算法机理分析及算法改进研究[D].中南大学，博士学位论文, 2009.
[3]许琦.基于遗传算法的高校排课问题的研究[D].华南理工大学，硕士学位论文, 2012.
系审核意见
负责人（签名）————————
备注：1、本任务书一式三份，系、指导教师、学生各执一份。
2、学生须将此任务书作为毕业论文（设计）说明书的附件，装订在说明书中。
（1）研究掌握遗传算法的原理；
（2）设计实现遗传算法的C语言程序；
（3）研究掌握通过matlab遗传算法工具箱进行问题优化的方法；
（4）分析普通遗传算法的缺点，并提出算法改进措施，并用matlab语言和遗传算法工具箱实现；
（5）对一些标准测试函数，用提出的改进算法进行优化，检验算法结果；
（6）选定某实际问题（可使用UCI机器学习数据库数据），用遗传算法进行优化；
工作阶段（包括时间划分和各阶段主要工作内容）
一、2012年12月查阅文献资料，确定设计方向；
二、1月至3月确定设计的研究方法并提交开题报告；
三、2013年1月至2013年3月完成毕业设计作品；
四、2013年4月完成毕业论文初稿。
五、2013年5月日，完成最终毕业论文。
其它要求（包括文献研究、实验实习等方面）
毕业论文（设计）任务书
学生姓名
学号
专业班级
指导教师
职称
题目
遗传算法及其改进设计
研究（设计）任务（包括目标和要求）
1、根据设计（论文）选题，查阅相关技术书籍、学校图书馆网站数据库文献资料，进一步明确选题的目的、意义和应用领域；
2、பைடு நூலகம்据选题进行理论验证，补充掌握进行设计需要补充的知识；

数学建模遗传算法例题

数学建模遗传算法例题数学建模是指通过数学模型来解决现实世界中的问题。

而遗传算法是一种基于演化论的优化方法，通过模拟自然界中的生物遗传进化过程来求解问题。

在数学建模中，遗传算法常常被用来寻找最优解或者优化模型参数。

下面是一个数学建模中使用遗传算法的例题：某公司要在一条河流上建造一座桥，河流宽度为W，建造桥的费用为C，桥的长度为L，桥的最大承重能力为P，桥的强度与长度成正比，与费用成反比，与承重能力成正比。

求出桥的最佳长度和费用。

解题思路：1. 建立数学模型：设桥的长度为x，费用为y，则桥的强度为k(x,y)，承重能力为p(x,y)。

由题可知，强度与长度成正比，与费用成反比，与承重能力成正比，即：k(x,y) = k1*x/k2*yp(x,y) = p1*x/p2*y其中k1、k2、p1、p2为常数。

2. 确定适应度函数：适应度函数是遗传算法中非常重要的一部分，它用来评价染色体的优劣。

在本题中，适应度函数可以定义为：f(x,y) = 1/k(x,y) * p(x,y) / C其中，C为建造桥的费用。

3. 设计遗传算法流程：(1) 初始化种群：随机生成一批长度和费用的染色体，并计算其适应度。

(2) 选择操作：根据适应度函数选择优秀个体，并进行交叉和变异操作，得到新一代染色体群体。

(3) 计算适应度：计算新一代染色体的适应度。

(4) 终止条件：当符合一定的停止条件时，停止运行遗传算法。

(5) 输出结果：输出最优解。

4. 编写代码：在实际运用中，可以使用Python语言来实现遗传算法，并求解出桥的最佳长度和费用。

代码如下：import randomW = 100 #河流宽度C = 100000 #建造桥的费用k1, k2, p1, p2 = 1, 1, 1, 1 #常数#初始化种群def init_population(population_size):population = []for i in range(population_size):x = random.randint(1, W)y = random.randint(1, C)population.append((x,y))return population#计算适应度def fitness(x, y):k = k1 * x / k2 * yp = p1 * x / p2 * yreturn 1 / k * p / C#选择操作def selection(population, elite_size):population_fitness = [(x, y, fitness(x, y)) for x, y in population]population_fitness_sorted = sorted(population_fitness, key=lambda x: x[2], reverse=True)elite = population_fitness_sorted[:elite_size]return elite#交叉操作def crossover(parents):parent1, parent2 = parentschild1 = (parent1[0], parent2[1])child2 = (parent2[0], parent1[1])return [child1, child2]#变异操作def mutation(individual, gene_pool):gene = random.randint(0, 1)if gene == 0:x = random.choice(gene_pool)individual = (x, individual[1])else:y = random.choice(gene_pool)individual = (individual[0], y)return individual#遗传算法def genetic_algorithm(population_size, elite_size, mutation_rate, generations):population = init_population(population_size)for i in range(generations):elite = selection(population, elite_size)parents = random.sample(elite, 2)children = crossover(parents)for child in children:if random.uniform(0, 1) < mutation_rate:child = mutation(child, range(1, W+1))population.append(child)population = random.sample(population, population_size)return max(population, key=lambda x: fitness(x[0], x[1])) #求解最佳长度和费用best_bridge = genetic_algorithm(population_size=100, elite_size=10, mutation_rate=0.1, generations=1000)print('最佳长度为：', best_bridge[0])print('最佳费用为：', best_bridge[1])通过遗传算法，我们可以求出桥的最佳长度为39，最佳费用为389。

MATLAB中的遗传算法与优化问题解析

MATLAB中的遗传算法与优化问题解析引言随着计算机科学的迅猛发展，优化问题的求解变得越来越重要。

在现实生活中，我们经常遇到各种需要优化的情况，例如在工程设计中寻找最佳方案、在运输调度中确定最优路径、在金融领域优化投资组合等。

针对这些问题，遗传算法作为一种基于生物进化思想的优化算法，成为了研究者们的关注焦点。

一、遗传算法概述遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一种用来求解最优化问题的随机搜索和优化技术。

它通过模拟生物进化的机制，不断地进行个体之间的交叉、变异和选择，以寻找到最优解。

1.1 算法流程遗传算法的基本流程包括初始化种群、评估适应度、选择、交叉、变异和进化等步骤。

首先，通过随机生成一定数量的个体作为初始种群，利用适应度函数评估每个个体的适应程度。

然后，根据适应度大小，按照一定的概率选择优秀个体作为父代，进行交叉和变异操作产生新的个体。

最后，将新个体替换掉原有种群中适应度较差的个体，重复以上步骤直到满足终止条件。

1.2 适应度函数设计适应度函数是遗传算法中非常重要的一个组成部分，它用来评估个体的优劣程度。

适应度函数应该能准确地衡量问题的目标函数，使得达到最大（或最小）适应度的个体能代表问题的最优解。

在设计适应度函数时，需要结合问题本身的特点和要求，合理选择适应性度量。

1.3 交叉与变异操作交叉和变异是遗传算法中的两个重要操作。

交叉操作通过将两个父代个体的染色体片段进行互换，产生出新的后代个体。

变异操作则是在个体的染色体上随机改变一个或多个基因的值。

通过交叉和变异操作可以增加种群的多样性，提高搜索空间的覆盖率，从而增加找到最优解的概率。

二、 MATLAB中的遗传算法工具箱MATLAB作为一种高效且易于使用的科学计算软件，提供了丰富的工具箱，其中包括了强大的遗传算法工具箱。

通过这个工具箱，用户可以方便地实现遗传算法来解决各种优化问题。

2.1 工具箱安装与调用遗传算法工具箱是MATLAB的一个功能扩展包，用户可以在MATLAB官方网站上下载并安装。

MATLAB实验遗传算法和优化设计

实验六遗传算法与优化设计一、实验目的1. 了解遗传算法的基本原理和基本操作（选择、交叉、变异）；2. 学习使用Matlab 中的遗传算法工具箱(gatool)来解决优化设计问题；二、实验原理及遗传算法工具箱介绍1. 一个优化设计例子图1所示是用于传输微波信号的微带线(电极)的横截面结构示意图，上下两根黑条分别代表上电极和下电极，一般下电极接地，上电极接输入信号，电极之间是介质(如空气，陶瓷等)。

微带电极的结构参数如图所示，W 、t 分别是上电极的宽度和厚度，D 是上下电极间距。

当微波信号在微带线中传输时，由于趋肤效应，微带线中的电流集中在电极的表面，会产生较大的欧姆损耗。

根据微带传输线理论，高频工作状态下（假定信号频率1GHz ），电极的欧姆损耗可以写成（简单起见，不考虑电极厚度造成电极宽度的增加）：图1 微带线横截面结构以及场分布示意图{}28.6821ln 5020.942ln 20.942S W R W D D D t D W D D W W t D W W D e D D παπππ=+++-+++⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ (1) 其中πρμ0=S R 为金属的表面电阻率，ρ为电阻率。

可见电极的结构参数影响着电极损耗，通过合理设计这些参数可以使电极的欧姆损耗做到最小，这就是所谓的最优化问题或者称为规划设计问题。

此处设计变量有3个：W 、D 、t ，它们组成决策向量[W, D ,t ] T ，待优化函数(,,)W D t α称为目标函数。

上述优化设计问题可以抽象为数学描述：()()min ..0,1,2,...,jf X s tg X j p ⎧⎪⎨⎪≤=⎩ (2)其中()Tn x x x X ,...,,21=是决策向量，x 1，…，x n 为n 个设计变量。

这是一个单目标的数学规划问题：在一组针对决策变量的约束条件()0,1,...,j g X j p ≤=下，使目标函数最小化（有时也可能是最大化，此时在目标函数()X f 前添个负号即可）。

基于遗传算法的组合优化问题研究-毕业设计中期共17页

用图语言来描述TSP问题，给出一个图G=(V,E), 每条边e都属于边集E上有非负权值的w(e),寻找G的 Hamilton圈C，使得C的总权值w(c)=∑w(e)最小,其中e属于E(C).
算法分析
步骤 1 ：在屏幕上画一个 10*6 的栅格，大小为 700*420象素，作为遗传算法解TSP问题的演示地图，然后，在地图上点击鼠标左键设置点作为城市，点击鼠标右键清空点，当点击菜单开始或按ENTER键时即进行寻路。
步骤2：当设置了城市点之后，程序先初始化，用vector<pair<POINT,int>> drawpoint储存点的位置并标号，用vector<vector<int>> pointmatrix储存任意两个点的距离，用pair<vector<POINT>,int> resultpoint储存点的位置和距离，其中，距离是屏幕上象素点的距离，两个点之间的距离用公式 sqrt(pow(vecpoint[n].x-vecpoint[m].x,2)+pow (vecpoint[n].y-vecpoint[m].y,2))来计算。
Thank you !
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
算法分析
步骤6：在交叉和变异的过程中，可以进行遗传算法的各种参数设置，具体设置图表如下：
算法分析
步骤7：经过不断的选择，交叉，变异，最终找到一条最优的染色体，即找到一条最优路径。

遗传算法毕业论文【精品毕业设计】(完整版)

目录1 引言 (1)2 问题描述 (2)3 基于遗传算法TSP算法 (2)3.1 基于遗传算法的TSP算法总体框架 (2)3.2算法的详细设计 (3)3.2.1 解空间的表示方式 (3)3.2.2 种群初始化 (4)3.2.3适应度函数 (4)3.2.4选择操作 (4)3.2.5交叉操作 (5)3.2.6变异操作 (6)3.2.7进化逆转操作 (6)3.3 实验结果分析 (7)4 基于模拟退火算法的TSP算法 (10)4.1 SA算法的实现过程 (10)4.2 算法流程图 (10)4.3模拟退火算法的实现过程 (10)4.4实验结果 (11)5 对两种算法的评价 (14)5.1遗传算法优缺点 (14)5.2 模拟退火算法的优缺点 (15)6结语 (15)参考文献 (17)附录： ............................................................................................................ 错误！未定义书签。

廊坊师范学院本科生毕业论文论文题目：基于遗传算法与模拟退火算法的TSP算法求解10大城市最短旅途论文摘要：TSP问题为组合优化中的经典的NP完全问题.本论文以某旅行社为中国十大旅游城市--珠海、西安、杭州、拉萨、北京、丽江、昆明、成都、洛阳、威海制定最短旅途为例，分别利用基于遗传算法的TSP算法与基于模拟退火算法的TSP算法求解10大城市旅游路线问题.本论文给出了遗传算法与模拟退火算法中各算子的实现方法，并展示出求解系统的结构和求解系统基于MATLAB的实现机制．利用MATLAB软件编程，运行出结果，并对基于遗传算法的TSP算法结果与基于模拟退火算法的TSP算法的结果进行比较，描述其优缺点，并选择最为恰当的TSP算法，实现最短旅途的最优解.关键词：遗传算法；模拟退火算法；TSP；最短路径；Title：TSP Algorithm Based on Genetic Algorithm or Simulated Annealing Algorithm for Solving the Shortest Journey of 10 CitiesAbstract：TSP problem is a classic NP problem about combinatorial optimization．This article takes a travel agency looking for the shortesttrip of ten tourist cities in China－Zhuhai，Xi'an，Hangzhou，Lhasa，Beijing，Lijiang，Kunming，Chengdu，Luoyang and Weihai forinstance，and solves this problem by TSP algorithm based on geneticalgorithm and simulated annealing algorithm．The article gives theimplementations of every operator of genetic algorithm and simulatedannealing algorithm and demonstrates the architecture and theimplementation mechanism of the solving system based on MATLAB．Iprogram and operate the results by MATLAB software，and compare theresults based on genetic algorithm and simulated annealingalgorithm．And describe their advantages and disadvantages so thatchoose the most appropriate TSP algorithm to achieve the optimalsolution for the shortest path．Keywords：genetic algorithm；simulated annealing algorithm；TSP；the shortest path1 引言TSP问题为组合优化中的经典问题，已经证明为一NP完全问题[1]，即其最坏情况下的时间复杂性随着问题规模的扩大，按指数方式增长[2]，到目前为止不能找到一个多项式时间的有效算法.TSP问题可描述为:已知n个城市相互之间的距离，某一旅行商从某个城市出发访问每个城市一次且仅一次，最后回到出发城市，如何安排才使其所走路线最短.TSP问题不仅仅是一个简单的组合优化问题，其他许多的NP完全问题可以归结为TSP问题，如邮路问题、装配线上的螺帽问题和产品的生产安排问题等，使得TSP问题的有效求解具有重要的意义.本文中的TSP算法主要采用遗传算法与模拟退火算法．遗传算法是一种进化算法，其基本原理是仿效生物界中的“物竞天择，适者生存”的演化法则[3]．遗传算法把问题参数编码为染色体，再按照所选择的适应度函数，利用迭代的方式进行选择、交叉、变异以及进化逆转等运算对个体进行筛选和进化，使适应值大的个体被保留，适应值小的个体被淘汰[4]，新的群体继承了上一代的信息，又优于上一代，这样反复循环，直至满足条件，最后留下来的个体集中分布在最优解的周围，筛选出最优个体作为问题的解．模拟退火算法的出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般的组合优化问题之间的相似性[5]，该算法是一种优化算法，其物理退火过程由三部分组成，分别为：加温过程、等温过程、冷却过程．其中，加温过程对应算法设定初温，等温过程对应算法的Metropolis[6]抽样过程，冷却过程对应控制参数的下降．这里能量的变化就是目标函数，要得到的最优解就是能量最低态[7]．Metropolis准则是SA算法收敛于全局最优解的关键所在，Metropolis 准则以一定的概率接受恶化解，这样就使算法跳离局部最优的陷阱．2 问题描述本案例为某旅行社为中国十大旅游城市，分别为珠海、西安、杭州、拉萨、北京、丽江、昆明、成都、洛阳、威海，根据全程路径最短为目的，制定最优的旅游顺序依次游玩这十个城市.这类问题就由TSP算法来解决，寻找出一条最短遍历这10个城市的路径.利用google地图找到城市坐标，下表为这十个城市的位置坐标如表2-1所示.表2-1 10个城市的位置坐标3 基于遗传算法TSP算法3.1 基于遗传算法的TSP算法总体框架TSP问题的遗传算法包括编码设计、种群初始化、适应度函数选择、终止条件设定、选择操作设定、交叉操作设定以及变异操作设定和进化逆转操作.为简化TSP问题的求解，假设每个城市和其它任意一个城市之间都以欧氏距离[8]直接相连.遗传算法TSP问题的流程图如图2-1所示.。

毕业论文-遗传算法在函数优化中的应用

遗传算法在函数优化中的应用目录1.绪论 (2)概述 (2)遗传算法的发展历史与研究进展 (4)2.遗传算法流程与应用举例 (6)遗传算法中各重要因素分析 (6)2.2重要参数设置 (8)简单的遗传算法运算示例 (8)3.遗传算法在函数优化应用中的性能研究 (12)遗传算法在实际应用中的性能影响因素 (12)函数优化问题的描述 (14)求解函数优化问题的最优交叉、变异率组合的研究 (16)一种求解函数优化问题的自适应遗传算法 (19)小结 (21)结束语 (21)参考文献 (22)致谢 (23)1.绪论遗传算法(genetic algorithms简称GA)由美国密歇根大学的John H．Holland教授等创立的一类仿生型的优化算法。

它是以达尔文的生物进化论和孟德尔的遗传变异理论为基础、模拟生物进化过程、自适应启发式全局优化的搜索算法。

由于遗传算法无需过多地考虑问题的动力学信息，如连续、可微等，该算法结构简单，并且具有全局搜索能力、信息处理的隐并行性、鲁棒性和可规模化等优点，它在思路上突破原有的最优化方法的框架，尤其适用于处理传统搜索方法难以解决的复杂和非线性问题，现己被广泛用于组合优化、机器学习、自适应控制、规划设计和人工生命等领域，并且在经济和决策方面也有很好的应用，是21世纪有关智能计算中的关键技术之一。

遗传算法的处理对象不是参数本身，而是对参数进行了编码的个体，因此不仅可以对传统的目标函数优化求解，而且可以处理诸如矩阵、树和图等结构形式的对象，用适应度函数同时对搜索空间的多个解进行评估，它将每个可能的问题表示为“染色体”，然后按遗传学规律进行选择、交叉和变异操作，直到满足终止条件为止。

隐含并行性和全局搜索性是遗传算法的两大特点，前者可使遗传算法只需检测少量的结构就能反映搜索空间的大量区域，后者则使遗传算法具有良好的稳健性。

在遗传算法的诸多应用中，函数优化是最显而易见的应用，也是经典的应用。

遗传算法优化的BP神经网络建模【精品毕业设计】（完整版）

遗传算法优化的BP神经⽹络建模【精品毕业设计】（完整版）遗传算法优化的BP神经⽹络建模⼗⼀⽉匆匆过去，每天依然在忙碌着与⽂档相关的东西，在寒假前⼀个多⽉⾥，努⼒做好⼿头上的事的前提下多学习专业知识，依然是坚持学习与素质提⾼并重，依然是坚持锻炼⾝体，为明年找⼯作打下基础。

遗传算法优化的BP神经⽹络建模借鉴别⼈的程序做出的仿真，最近才有时间整理。

⽬标：对y=x1^2+x2^2⾮线性系统进⾏建模，⽤1500组数据对⽹络进⾏构建⽹络，500组数据测试⽹络。

由于BP神经⽹络初始神经元之间的权值和阈值⼀般随机选择，因此容易陷⼊局部最⼩值。

本⽅法使⽤遗传算法优化初始神经元之间的权值和阈值，并对⽐使⽤遗传算法前后的效果。

步骤：未经遗传算法优化的BP神经⽹络建模1、随机⽣成2000组两维随机数(x1,x2)，并计算对应的输出y=x1^2+x2^2，前1500组数据作为训练数据input_train，后500组数据作为测试数据input_test。

并将数据存储在data中待遗传算法中使⽤相同的数据。

2、数据预处理：归⼀化处理。

3、构建BP神经⽹络的隐层数，次数，步长，⽬标。

4、使⽤训练数据input_train训练BP神经⽹络net。

5、⽤测试数据input_test测试神经⽹络，并将预测的数据反归⼀化处理。

6、分析预测数据与期望数据之间的误差。

遗传算法优化的BP神经⽹络建模1、读取前⾯步骤中保存的数据data；2、对数据进⾏归⼀化处理；3、设置隐层数⽬；4、初始化进化次数，种群规模，交叉概率，变异概率5、对种群进⾏实数编码，并将预测数据与期望数据之间的误差作为适应度函数；6、循环进⾏选择、交叉、变异、计算适应度操作，直到达到进化次数，得到最优的初始权值和阈值；7、将得到最佳初始权值和阈值来构建BP神经⽹络；8、使⽤训练数据input_train训练BP神经⽹络net;9、⽤测试数据input_test测试神经⽹络，并将预测的数据反归⼀化处理；10、分析预测数据与期望数据之间的误差。

年数学建模之遗传算法基本算法

2011之遗传算法（基本遗传算法）
遗传算法之基本算法
国防科技大学理学院数学系成礼智
2011年夏季学期数学建模竞赛讲座
1
智能优化计算 2011之遗传算法（基本遗传算法）
基本遗传算法
1 简单函数优化的实例 2 遗传基因型 3 适应度函数及其尺度变换 4 遗传操作——选择 5 遗传操作——交叉/基因重组 6 遗传操作——变异 7 算法的设计与实现 8 模式定理
18
智能优化计算 2011之遗传算法（基本遗传算法） 3 适应度函数及其尺度变换
几种常见的适应度函数 ✓ 界限构造法2
若目标函数为最大化问题：
F(fi(x t) ) 1 c0 ,cf(x)0 1 cf(x)
若目标函数为最小化问题：
F(fi(x t) ) 1 c0 ,cf(x)0 1 cf(x)
c为目标函数的保守估计值。
置由[0，l／n]区间的均匀随机
数决定。如图所示，需要选择6
✓ 随机遍历抽样法（stochastic universal s个am个p体li，ng指）针间的距离为l／6
＝o.167，第一个指针的随机位
个体 1 2 3 4 5 6 7 8 9置为100.1，1按1 这种选择方法被选适应度 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0中3.4．作40为，.26交，0配.81集。个体为：1．2，选择概率 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
间一一对应。
13
智能优化计算 2011之遗传算法（基本遗传算法）
2 遗传基因型
多种编码方式 ✓ 二进制编码； ✓ 浮点数编码； ✓ 格雷码编码； ✓ 符号编码； ✓ 复数编码； ✓ DNA编码等。

基于遗传算法的组合优化问题研究-毕业设计答辩

随机生成城市
各个模块的具体实现
顺序近邻表示
矩阵表示
整数编码
各个模块的具体实现
步骤三
城市编码
整数编码： n个城市分别用 0到n-1之间不同的整数表示，n个数的一个排列就代表旅行商问题的一个可能解，同时亦是染色体的一种构成。
自然，简单和符合逻辑满足TSP问题的约束条件
保证了每个城市经过且只经过一次，并且保证任何一个城市子集中不形成回路。

遗传算法的优点
遗传算法作为一种模拟生物进化的一种算法，提供了一种求解复杂系统优化问题的通用框架。它不依赖于问题的具体领域，对问题的种类有很强的鲁棒性，具有自组织、自适应和自学习性。这种自组织、自适应特性不需要事先描述问题的全部特点，所以可解决那些复杂的非结构化问题。
设计的基本流程
圆形地图：当用户选择圆形地图时，程序接收一个圆形地图菜单响应消息，调用圆形坐标地图类，然后调用函数在屏幕上画一个圆形地图。
直角坐标地图
圆形地图
各个模块的具体实现
步骤二
城市生成
用户可以点击鼠标左键产生城市，也可以选择菜单栏的设置城市选项，通过输入城市数目来随机生成城市。还可以按指定的城市坐标，设置指定的城市。当然，如果用户选择错了城市，可以在该城市上点击鼠标右键来清除城市。如果用户要清除所有的城市，可以双击鼠标右键或选择菜单栏的结束选项，都可以清除所有的城市。
设计中所做的改进
二
改进循环交叉算法
通过认真分析循环交叉算法的原理，根据具体的编程实现，对原循环交叉算法作了改进。对原循环交叉中子代初始位设为定值的情况，在本设计中我改为了随机值。这样，种群的结果会多样化，从而避免了“早熟收敛”现象。最后，对两种算法进行了仿真实验，并且对实验结果进行了比较，详细情况见论文 5.4节。

数学建模遗传算法与优化问题

数学建模遗传算法与优化问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT实验十遗传算法与优化问题一、问题背景与实验目的遗传算法（Genetic Algorithm—GA），是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，它是由美国Michigan大学的教授于1975年首先提出的．遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及应用范围广等显着特点，奠定了它作为21世纪关键智能计算之一的地位．本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论，然后用其解决几个简单的函数最值问题，使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算．1．遗传算法的基本原理遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程．它把问题的参数用基因代表，把问题的解用染色体代表（在计算机里用二进制码表示），从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体．这个群体在问题特定的环境里生存竞争，适者有最好的机会生存和产生后代．后代随机化地继承了父代的最好特征，并也在生存环境的控制支配下继续这一过程．群体的染色体都将逐渐适应环境，不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解．值得注意的一点是，现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的，这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用，而它本身是否完全正确并不重要（目前生物界对此学说尚有争议）．（1）遗传算法中的生物遗传学概念由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念．首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关系．这些概念如下：遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程，主要有三个基本操作（或称为算子）：选择（Selection）、交叉（Crossover）、变异（Mutation）．遗传算法基本步骤主要是：先把问题的解表示成“染色体”，在算法中也就是以二进制编码的串，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也就是假设的可行解．然后，把这些假设的可行解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群．经过这样的一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解．下面给出遗传算法的具体步骤，流程图参见图1：第一步：选择编码策略，把参数集合（可行解集合）转换染色体结构空间；第二步：定义适应函数，便于计算适应值；第三步：确定遗传策略，包括选择群体大小，选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；第四步：随机产生初始化群体；第五步：计算群体中的个体或染色体解码后的适应值；第六步：按照遗传策略，运用选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体；第七步：判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数，不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步．图1 一个遗传算法的具体步骤遗传算法有很多种具体的不同实现过程，以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤，此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止．2．遗传算法的实际应用例1：设2()20.5f x x x =-++，求 max (), [1,2]f x x ∈-．注：这是一个非常简单的二次函数求极值的问题，相信大家都会做．在此我们要研究的不是问题本身，而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题．在此将细化地给出遗传算法的整个过程．（1）编码和产生初始群体首先第一步要确定编码的策略，也就是说如何把1-到2这个区间内的数用计算机语言表示出来．编码就是表现型到基因型的映射，编码时要注意以下三个原则：完备性：问题空间中所有点（潜在解）都能成为GA 编码空间中的点（染色体位串）的表现型；健全性：GA 编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解；非冗余性：染色体和潜在解必须一一对应．这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题，将某个变量值代表的个体表示为一个{0，1}二进制串．当然，串长取决于求解的精度．如果要设定求解精度到六位小数，由于区间长度为2(1)3--=，则必须将闭区间 [1,2]-分为6310⨯等分．因为216222097152231024194304=<⨯<= 所以编码的二进制串至少需要22位．将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）转化为区间[1,2]-内对应的实数值很简单，只需采取以下两步（Matlab 程序参见附录4）：1）将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）代表的二进制数化为10进制数： 2）'x 对应的区间[1,2]-内的实数： 'x 2=2288967利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步——编码，这种二进制编码的方法完全符合上述的编码的三个原则．首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下： pop(1)={ <>， %% a1 <>， %% a2 <>， %% a3<>} %% a4（Matlab 程序参见附录2）化成十进制的数分别为： pop(1)={ ，，， }接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了．（2）定义适应函数和适应值由于给定的目标函数2()20.5f x x x =-++在[1,2]-内的值有正有负，所以必须通过建立适应函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应值非负，而且目标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向，也为以后计算各个体的入选概率打下基础．对于本题中的最大化问题，定义适应函数()g x ，采用下述方法：式中min F 既可以是特定的输入值，也可以是当前所有代或最近K 代中()f x 的最小值，这里为了便于计算，将采用了一个特定的输入值．若取min 1F =-，则当()1f x =时适应函数()2g x =；当() 1.1f x =-时适应函数()0g x =．由上述所随机产生的初始群体，我们可以先计算出目标函数值分别如下（Matlab 程序参见附录3）：f [pop(1)]={ , , , }然后通过适应函数计算出适应值分别如下（Matlab 程序参见附录5、附录6）：取min 1F =-， g[pop(1)]= { , , 0 , } （3）确定选择标准这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准，得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率．其计算公式如下：对于给定的规模为n 的群体pop={123,,,,n a a a a }，个体i a 的适应值为()i g a ，则其入选概率为由上述给出的群体，我们可以计算出各个个体的入选概率．首先可得 41() 6.478330i i g a ==∑，然后分别用四个个体的适应值去除以41()i i g a =∑，得：P (a 1)= / = %% a 1 P (a 2)= / = %% a 2P (a 3)= 0 / = 0 %% a 3P (a 4)= / = %% a 4（Matlab 程序参见附录7）（4）产生种群计算完了入选概率后，就将入选概率大的个体选入种群，淘汰概率小的个体，并用入选概率最大的个体补入种群，得到与原群体大小同样的种群（Matlab 程序参见附录8、附录11）．要说明的是：附录11的算法与这里不完全相同．为保证收敛性，附录11的算法作了修正，采用了最佳个体保存方法（elitist model ），具体内容将在后面给出介绍．由初始群体的入选概率我们淘汰掉a 3，再加入a 2补足成与群体同样大小的种群得到newpop(1)如下：newpop(1)={ <>， %% a 1 <>， %% a 2<>， %% a2<>} %% a4（5）交叉交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体，然后得到新的染色体组，组成新的群体（Matlab程序参见附录9）．我们把之前得到的newpop(1)的四个个体两两组成一对，重复的不配对，进行交叉．（可以在任一位进行交叉）< >， <>交叉得：< >， <>< 01000010>， <1000011>交叉得：< >， <>通过交叉得到了四个新个体，得到新的群体jchpop (1)如下：jchpop(1)={<>，<>，<>，<01101010>}这里采用的是单点交叉的方法，当然还有多点交叉的方法，不过有些烦琐，这里就不着重介绍了．（6）变异变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因（Matlab程序参见附录10）．现把刚得到的jchpop(1)中第3个个体中的第9位改变，就产生了变异，得到了新的群体pop(2)如下：pop(2)= { <>， <>， <1>， <0110> }然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止．（7）终止条件遗传算法的终止条件有两类常见条件：（1）采用设定最大（遗传）代数的方法，一般可设定为50代，此时就可能得出最优解．此种方法简单易行，但可能不是很精确（Matlab 程序参见附录1）；（2）根据个体的差异来判断，通过计算种群中基因多样性测度，即所有基因位相似程度来进行控制．3．遗传算法的收敛性前面我们已经就遗传算法中的编码、适应度函数、选择、交叉和变异等主要操作的基本内容及设计进行了详细的介绍．作为一种搜索算法，遗传算法通过对这些操作的适当设计和运行，可以实现兼顾全局搜索和局部搜索的所谓均衡搜索，具体实现见下图2所示．图2 均衡搜索的具体实现图示应该指出的是，遗传算法虽然可以实现均衡的搜索，并且在许多复杂问题的求解中往往能得到满意的结果，但是该算法的全局优化收敛性的理论分析尚待解决．目前普遍认为，标准遗传算法并不保证全局最优收敛．但是，在一定的约束条件下，遗传算法可以实现这一点．下面我们不加证明地罗列几个定理或定义，供读者参考（在这些定理的证明中，要用到许多概率论知识，特别是有关马尔可夫链的理论，读者可参阅有关文献）．定理1 如果变异概率为)1,0(∈m P ，交叉概率为]1,0[∈c P ，同时采用比例选择法（按个体适应度占群体适应度的比例进行复制），则标准遗传算法的变换矩阵P 是基本的．定理2 标准遗传算法（参数如定理1）不能收敛至全局最优解．由定理2可以知道，具有变异概率)1,0(∈m P ，交叉概率为]1,0[∈c P 以及按比例选择的标准遗传算法是不能收敛至全局最最优解．我们在前面求解例1时所用的方法就是满足定理1的条件的方法．这无疑是一个令人沮丧的结论．然而，庆幸的是，只要对标准遗传算法作一些改进，就能够保证其收敛性．具体如下：我们对标准遗传算法作一定改进，即不按比例进行选择，而是保留当前所得的最优解（称作超个体）．该超个体不参与遗传．最佳个体保存方法（elitist model ）的思想是把群体中适应度最高的个体不进行配对交叉而直接复制到下一代中．此种选择操作又称复制（copy ）．De Jong 对此方法作了如下定义：定义设到时刻t （第t 代）时，群体中a *（t ）为最佳个体．又设A （t ＋1）为新一代群体，若A （t ＋1）中不存在a *（t ），则把a *(t )作为A （t ＋1）中的第n +1个个体（其中，n 为群体大小）（Matlab 程序参见附录11）．采用此选择方法的优点是，进化过程中某一代的最优解可不被交叉和变异操作所破坏．但是，这也隐含了一种危机，即局部最优个体的遗传基因会急速增加而使进化有可能限于局部解．也就是说，该方法的全局搜索能力差，它更适合单峰性质的搜索空间搜索，而不是多峰性质的空间搜索．所以此方法一般都与其他选择方法结合使用．定理3 具有定理1所示参数，且在选择后保留当前最优值的遗传算法最终能收敛到全局最优解．当然，在选择算子作用后保留当前最优解是一项比较复杂的工作，因为该解在选择算子作用后可能丢失．但是定理3至少表明了这种改进的遗传算法能够收敛至全局最优解．有意思的是，实际上只要在选择前保留当前最优解，就可以保证收敛，定理4描述了这种情况．定理4 具有定理1参数的，且在选择前保留当前最优解的遗传算法可收敛于全局最优解．例2：设2()3f x x x =-+，求 max (), [0,2]f x x ∈，编码长度为5，采用上述定理4所述的“在选择前保留当前最优解的遗传算法”进行．此略，留作练习．二、相关函数（命令）及简介本实验的程序中用到如下一些基本的Matlab 函数：ones, zeros, sum, size, length, subs, double 等，以及 for, while 等基本程序结构语句，读者可参考前面专门关于Matlab 的介绍，也可参考其他数学实验章节中的“相关函数（命令）及简介”内容，此略．三、实验内容上述例1的求解过程为：群体中包含六个染色体，每个染色体用22位0—1码，变异概率为，变量区间为[1,2]-，取Fmin=2-，遗传代数为50代，则运用第一种终止条件（指定遗传代数）的Matlab程序为：[Count,Result,BestMember]=Genetic1(22,6,'-x*x+2*x+',-1,2,-2,,50)执行结果为：Count =50Result =BestMember =图2 例1的计算结果（注：上图为遗传进化过程中每一代的个体最大适应度；而下图为目前为止的个体最大适应度——单调递增）我们通过Matlab软件实现了遗传算法，得到了这题在第一种终止条件下的最优解：当x取时，Max () 1.4990f x=．当然这个解和实际情况还有一点出入（应该是x取1时，f x=），但对于一个计算机算法来说已经很不错了．Max () 1.5000我们也可以编制Matlab程序求在第二种终止条件下的最优解．此略，留作练习．实践表明，此时的遗传算法只要经过10代左右就可完成收敛，得到另一个“最优解”，与前面的最优解相差无几．四、自己动手1．用Matlab编制另一个主程序，求例1的在第二种终止条件下的最优解．提示：一个可能的函数调用形式以及相应的结果为：[Count,Result,BestMember]=Genetic2(22,6,'-x*x+2*x+',-1,2,-2,,Count =13Result =BestMember =可以看到：两组解都已经很接近实际结果，对于两种方法所产生的最优解差异很小．可见这两种终止算法都是可行的，而且可以知道对于例1的问题，遗传算法只要经过10代左右就可以完成收敛，达到一个最优解．2．按照例2的具体要求，用遗传算法求上述例2的最优解．3．附录9子程序中的第3行到第7行为注解语句．若去掉前面的%号，则程序的算法思想有什么变化4．附录9子程序中的第8行至第13行的程序表明，当Dim(1)>=3时，将交换数组Population的最后两行，即交换最后面的两个个体．其目的是什么5．仿照附录10子程序，修改附录9子程序，使得交叉过程也有一个概率值（一般取~）；同时适当修改主程序或主程序，以便代入交叉概率．6．设2f x x∈-，要设定求解精度到15位小=--+，求max(),[2,2]f x x x()41数．五、附录附录1：主程序function[Count,Result,BestMember]=Genetic1(MumberLength,MemberNumber,FunctionFitn ess,MinX,MaxX,Fmin,MutationProbability,Gen)Population=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber);global Count;global CurrentBest;Count=1;PopulationCode=Population;PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,Mumbe rLength);PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin);PopulationProbability=Probability(PopulationFitnessF);[Population,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(PopulationCode,Populatio nFitness,MumberLength);EachMaxFitness(Count)=EachGenMaxFitness;MaxFitness(Count)=CurrentBest(length(CurrentBest));while Count<GenNewPopulation=Select(Population,PopulationProbability,MemberNumber);Population=NewPopulation;NewPopulation=Crossing(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);Population=NewPopulation;NewPopulation=Mutation(Population,MutationProbability);Population=NewPopulation;PopulationFitness=Fitness(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin);PopulationProbability=Probability(PopulationFitnessF);Count=Count+1;[NewPopulation,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(Population,PopulationFitn ess,MumberLength);EachMaxFitness(Count)=EachGenMaxFitness;;MaxFitness(Count)=CurrentBest(length(CurrentBest));Population=NewPopulation;endDim=size(Population);Result=ones(2,Dim(1));for i=1:Dim(1)Result(1,i)=Translate(Population(i,:),MinX,MaxX,MumberLength);endResult(2,:)=PopulationFitness;BestMember(1,1)=Translate(CurrentBest(1:MumberLength),MinX,MaxX,Mumb erLength);BestMember(2,1)=CurrentBest(MumberLength+1);close allsubplot(211)plot(EachMaxFitness)subplot(212)plot(MaxFitness)【程序说明】主程序包含了8个输入参数：(1) MumberLength：表示一个染色体位串的二进制长度．（例1中取22）(2) MemberNumber：表示群体中染色体的个数．（例1中取6个）(3) FunctionFitness ：表示目标函数，是个字符串，因此用表达式时，用单引号括出．（例1中是2()20.5f x x x =-++）(4) MinX ：变量区间的下限．（例1中是[1,2]-中的） (5) MaxX ：变量区间的上限．（例1中是[1,2]-中的 2）(6) Fmin ：定义适应函数过程中给出的一个目标函数的可能的最小值，由操作者自己给出．（例1中取Fmin=2-）(7) MutationProbability ：表示变异的概率，一般都很小．（例1中取） (8) Gen ：表示遗传的代数，也就是终止程序时的代数．（例1中取50）另外，主程序包含了3个输出值： Count 表示遗传的代数；Result 表示计算的结果，也就是最优解；BestMember 表示最优个体及其适应值．附录2：子程序function Population=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber) Temporary=rand(MemberNumber,MumberLength); Population=(Temporary>=*ones(size(Temporary)));【程序说明】子程序用于产生一个初始群体．这个初始群体含有MemberNumber 个染色体，每个染色体有MumberLength 个基因（二进制码）．附录3：子程序function PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength)Dim=size(PopulationCode);PopulationFitness=zeros(1,Dim(1)); for i=1:Dim(1)PopulationFitness(i)=Transfer(PopulationCode(i,:),FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);end 【程序说明】子程序用于计算群体中每一个染色体的目标函数值．子程序中含有5个输入参数：PopulationCode 表示用0—1代码表示的群体，FunctionFitness 表示目标函数，它是一个字符串，因此写入调用程序时，应该用单引号括出，MumberLength表示染色体位串的二进制长度．MinX和MaxX 分别指变量区间的上下限．附录4：子程序function PopulationData=Translate(PopulationCode,MinX,MaxX,MumberLength) PopulationData=0;Dim=size(PopulationCode);for i=1:Dim(2)PopulationData=PopulationData+PopulationCode(i)*(2^(MumberLength-i));endPopulationData=MinX+PopulationData*(MaxX-MinX)/(2^Dim(2)-1);【程序说明】子程序把编成码的群体翻译成变量的数值．含有4个输入参数，PopulationCode, MinX, MaxX, MumberLength．附录5：子程序function PopulationFitness=Transfer(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength) PopulationFitness=0;PopulationData=Translate(PopulationCode,MinX,MaxX,MumberLength);PopulationFitness=double(subs(FunctionFitness,'x',sym(PopulationData))); 【程序说明】子程序 Transfer 把群体中的染色体的目标函数值用数值表示出来，它是Fitness的重要子程序．其有5个输入参数分别为PopulationCode, FunctionFitness, MinX, MaxX，MumberLength．附录6：子程序function PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin)Dim=size(PopulationFitness);PopulationFitnessF=zeros(1,Dim(2));for i=1:Dim(2)if PopulationFitness(i)>FminPopulationFitnessF(i)=PopulationFitness(i)-Fmin;endif PopulationFitness(i)<=FminPopulationFitnessF(i)=0;endend【程序说明】子程序是用于计算每个染色体的适应函数值的．其输入参数如下：PopulationFitness 为群体中染色体的目标函数值，Fmin为定义适应函数过程中给出的一个目标函数的可能的最小值．附录7：子程序function PopulationProbability=Probability(PopulationFitness)SumPopulationFitness=sum(PopulationFitness);PopulationProbability=PopulationFitness/SumPopulationFitness;【程序说明】子程序用于计算群体中每个染色体的入选概率，输入参数为群体中染色体的适应函数值PopulationFitness．附录8：子程序function NewPopulation=Select(Population,PopulationProbability,MemberNumber)CProbability(1)=PopulationProbability(1);for i=2:MemberNumberCProbability(i)=CProbability(i-1)+PopulationProbability(i);endfor i=1:MemberNumberr=rand(1);Index=1;while r>CProbability(Index)Index=Index+1;endNewPopulation(i,:)=Population(Index,:);end【程序说明】子程序根据入选概率（计算累计概率）在群体中按比例选择部分染色体组成种群，该子程序的3个输入参数分别为：群体Population，入选概率PopulationProbability，群体中染色体的个数MemberNumber．附录9：子程序function NewPopulation=Crossing(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength)%%PopulationFitness=%% Fitness(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);%%PopulationProbability=Probability(PopulationFitness);%%[SortResult,SortSite]=sort(PopulationProbability);%%Population=Population(SortSite,:);Dim=size(Population);if Dim(1)>=3Temp=Population(Dim(1),:);Population(Dim(1),:)=Population(Dim(1)-1,:);Population(Dim(1)-1,:)=Temp;endfor i=1:2:Dim(1)-1SiteArray=randperm(Dim(2));Site=SiteArray(1);Temp=Population(i,1:Site);Population(i,1:Site)=Population(i+1,1:Site);Population(i+1,1:Site)=Temp;endNewPopulation=Population;【程序说明】子程序用于群体中的交叉并产生新群体．其输入参数为：Population, FunctionFitness，MinX，MaxX，MumberLength．附录10：子程序function NewPopulation=Mutation(Population,MutationProbability)Dim=size(Population);for i=1:Dim(1)Probability=rand(1);Site=randperm(Dim(2));if Probability<MutationProbabilityif Population(i,Site(1))==1Population(i,Site(1))=0;endif Population(i,Site(1))==0Population(i,Site(1))=1;endendendNewPopulation=Population;【程序说明】子程序用于群体中少量个体变量并产生新的群体．输入参数为：群体Population和变异概率MutationProbability．附录11：子程序function [NewPopulationIncludeMax,CurrentBest,EachGenMaxFitness]= Elitist(Population,PopulationFitness,MumberLength)global Count CurrentBest;[MinFitness,MinSite]=min(PopulationFitness);[MaxFitness,MaxSite]=max(PopulationFitness); EachGenMaxFitness=MaxFitness; if Count==1CurrentBest(1:MumberLength)=Population(MaxSite,:);CurrentBest(MumberLength+1)=PopulationFitness(MaxSite); elseif CurrentBest(MumberLength+1)<PopulationFitness(MaxSite); CurrentBest(1:MumberLength)=Population(MaxSite,:);CurrentBest(MumberLength+1)=PopulationFitness(MaxSite); endPopulation(MinSite,:)=CurrentBest(1:MumberLength); endNewPopulationIncludeMax=Population;【程序说明】子程序用到最佳个体保存方法（“优胜劣汰”思想）．输入参数为：群体Population, 目标函数值PopulationFitness 和染色体个数MumberLength ．“遗传算法”专题一、遗传算法的主要特征：我们的目的是获得“最好解”，可以把这种任务看成是一个优化过程。

数学建模遗传算法与优化问题

实验十遗传算法与优化问题一、问题背景与实验目的遗传算法（Genetic Algorithm—GA），是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975年首先提出的．遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点，奠定了它作为21世纪关键智能计算之一的地位．本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论，然后用其解决几个简单的函数最值问题，使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算．1．遗传算法的基本原理遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程．它把问题的参数用基因代表，把问题的解用染色体代表（在计算机里用二进制码表示），从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体．这个群体在问题特定的环境里生存竞争，适者有最好的机会生存和产生后代．后代随机化地继承了父代的最好特征，并也在生存环境的控制支配下继续这一过程．群体的染色体都将逐渐适应环境，不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解．值得注意的一点是，现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的，这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用，而它本身是否完全正确并不重要（目前生物界对此学说尚有争议）．（1）遗传算法中的生物遗传学概念由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念．首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程，主要有三个基本操作（或称为算子）：选择（Selection）、交叉（Crossover）、变异（Mutation）．遗传算法基本步骤主要是：先把问题的解表示成“染色体”，在算法中也就是以二进制编码的串，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也就是假设的可行解．然后，把这些假设的可行解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群．经过这样的一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解．下面给出遗传算法的具体步骤，流程图参见图1：第一步：选择编码策略，把参数集合（可行解集合）转换染色体结构空间；第二步：定义适应函数，便于计算适应值；第三步：确定遗传策略，包括选择群体大小，选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；第四步：随机产生初始化群体；第五步：计算群体中的个体或染色体解码后的适应值；第六步：按照遗传策略，运用选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体；第七步：判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数，不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步．图1 一个遗传算法的具体步骤遗传算法有很多种具体的不同实现过程，以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤，此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止．2．遗传算法的实际应用例1：设2()20.5f x x x =-++，求 max (), [1,2]f x x ∈-．注：这是一个非常简单的二次函数求极值的问题，相信大家都会做．在此我们要研究的不是问题本身，而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题．在此将细化地给出遗传算法的整个过程．（1）编码和产生初始群体首先第一步要确定编码的策略，也就是说如何把1-到2这个区间内的数用计算机语言表示出来．编码就是表现型到基因型的映射，编码时要注意以下三个原则：完备性：问题空间中所有点（潜在解）都能成为GA 编码空间中的点（染色体位串）的表现型；健全性：GA 编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解；非冗余性：染色体和潜在解必须一一对应．这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题，将某个变量值代表的个体表示为一个{0，1}二进制串．当然，串长取决于求解的精度．如果要设定求解精度到六位小数，由于区间长度为2(1)3--=，则必须将闭区间 [1,2]-分为6310⨯等分．因为216222097152231024194304=<⨯<= 所以编码的二进制串至少需要22位．将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）转化为区间[1,2]-内对应的实数值很简单，只需采取以下两步（Matlab 程序参见附录4）：1）将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）代表的二进制数化为10进制数：21212019102100()(2)'i i i b b b b b b x =⋯=⋅=∑2）'x 对应的区间[1,2]-内的实数：12)1(2'122---⋅+-=x x 例如，一个二进制串a=<1000101110110101000111>表示实数0.637197．'x =(1000101110110101000111)2=2288967637197.01232288967122=-⋅+-=x 二进制串<0000000000000000000000>，<1111111111111111111111>，则分别表示区间的两个端点值-1和2．利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步——编码，这种二进制编码的方法完全符合上述的编码的三个原则．首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下：pop(1)={<1101011101001100011110>， %% a1<1000011001010001000010>， %% a2<0001100111010110000000>， %% a3<0110101001101110010101>} %% a4（Matlab 程序参见附录2）化成十进制的数分别为：pop(1)={ 1.523032，0.574022 ，-0.697235 ，0.247238 }接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了．（2）定义适应函数和适应值由于给定的目标函数2()20.5f x x x =-++在[1,2]-内的值有正有负，所以必须通过建立适应函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应值非负，而且目标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向，也为以后计算各个体的入选概率打下基础．对于本题中的最大化问题，定义适应函数()g x ，采用下述方法：min min (), ()0()0,f x F f x F g x -->⎧=⎨⎩若其他式中min F 既可以是特定的输入值，也可以是当前所有代或最近K 代中()f x 的最小值，这里为了便于计算，将采用了一个特定的输入值．若取min 1F =-，则当()1f x =时适应函数()2g x =；当() 1.1f x =-时适应函数()0g x =．由上述所随机产生的初始群体，我们可以先计算出目标函数值分别如下（Matlab 程序参见附录3）：f [pop(1)]={ 1.226437 , 1.318543 , -1.380607 , 0.933350 }然后通过适应函数计算出适应值分别如下（Matlab 程序参见附录5、附录6）：取min 1F =-，g[pop(1)]= { 2.226437 , 2.318543 , 0 , 1.933350 }（3）确定选择标准这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准，得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率．其计算公式如下：对于给定的规模为n 的群体pop={123,,,,n a a a a }，个体i a 的适应值为()i g a ，则其入选概率为1()(),1,2,3,,()i s i n ii g a P a i n g a ===⋯∑由上述给出的群体，我们可以计算出各个个体的入选概率．首先可得 41() 6.478330ii g a ==∑，然后分别用四个个体的适应值去除以41()i i g a =∑，得：P (a 1)=2.226437 / 6.478330 = 0.343675 %% a 1P (a 2)=2.318543 / 6.478330 = 0.357892 %% a 2P (a 3)= 0 / 6.478330 = 0 %% a 3P (a 4)=1.933350 / 6.478330 = 0.298433 %% a 4（Matlab 程序参见附录7）（4）产生种群计算完了入选概率后，就将入选概率大的个体选入种群，淘汰概率小的个体，并用入选概率最大的个体补入种群，得到与原群体大小同样的种群（Matlab 程序参见附录8、附录11）．要说明的是：附录11的算法与这里不完全相同．为保证收敛性，附录11的算法作了修正，采用了最佳个体保存方法（elitist model），具体内容将在后面给出介绍．由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3，再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop(1)如下：newpop(1)={<1101011101001100011110>，%% a1<1000011001010001000010>，%% a2<1000011001010001000010>，%% a2<0110101001101110010101>} %% a4（5）交叉交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体，然后得到新的染色体组，组成新的群体（Matlab程序参见附录9）．我们把之前得到的newpop(1)的四个个体两两组成一对，重复的不配对，进行交叉．（可以在任一位进行交叉）<110101110 1001100011110>，<1101011101010001000010>交叉得：<100001100 1010001000010>，<1000011001001100011110><10000110010100 01000010>，<1000011001010010010101>交叉得：<01101010011011 10010101>，<0110101001101101000010>通过交叉得到了四个新个体，得到新的群体jchpop (1)如下：jchpop(1)={<1101011101010001000010>，<1000011001001100011110>，<1000011001010010010101>，<0110101001101101000010>}这里采用的是单点交叉的方法，当然还有多点交叉的方法，不过有些烦琐，这里就不着重介绍了．（6）变异变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因（Matlab程序参见附录10）．现把刚得到的jchpop(1)中第3个个体中的第9位改变，就产生了变异，得到了新的群体pop(2)如下：pop(2)= {<1101011101010001000010>，<1000011001001100011110>，<1000011011010010010101>，<0110101001101101000010> }然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止．（7）终止条件遗传算法的终止条件有两类常见条件：（1）采用设定最大（遗传）代数的方法，一般可设定为50代，此时就可能得出最优解．此种方法简单易行，但可能不是很精确（Matlab 程序参见附录1）；（2）根据个体的差异来判断，通过计算种群中基因多样性测度，即所有基因位相似程度来进行控制．3．遗传算法的收敛性前面我们已经就遗传算法中的编码、适应度函数、选择、交叉和变异等主要操作的基本内容及设计进行了详细的介绍．作为一种搜索算法，遗传算法通过对这些操作的适当设计和运行，可以实现兼顾全局搜索和局部搜索的所谓均衡搜索，具体实现见下图2所示．图2 均衡搜索的具体实现图示应该指出的是，遗传算法虽然可以实现均衡的搜索，并且在许多复杂问题的求解中往往能得到满意的结果，但是该算法的全局优化收敛性的理论分析尚待解决．目前普遍认为，标准遗传算法并不保证全局最优收敛．但是，在一定的约束条件下，遗传算法可以实现这一点．下面我们不加证明地罗列几个定理或定义，供读者参考（在这些定理的证明中，要用到许多概率论知识，特别是有关马尔可夫链的理论，读者可参阅有关文献）．定理 1 如果变异概率为)1,0(∈m P ，交叉概率为]1,0[∈c P ，同时采用比例选择法（按个体适应度占群体适应度的比例进行复制），则标准遗传算法的变换矩阵P 是基本的．定理2 标准遗传算法（参数如定理1）不能收敛至全局最优解．由定理2可以知道，具有变异概率)1,0(∈m P ，交叉概率为]1,0[∈c P 以及按比例选择的标准遗传算法是不能收敛至全局最最优解．我们在前面求解例1时所用的方法就是满足定理1的条件的方法．这无疑是一个令人沮丧的结论．然而，庆幸的是，只要对标准遗传算法作一些改进，就能够保证其收敛性．具体如下：我们对标准遗传算法作一定改进，即不按比例进行选择，而是保留当前所得的最优解（称作超个体）．该超个体不参与遗传．最佳个体保存方法（elitist model ）的思想是把群体中适应度最高的个体不进行配对交叉而直接复制到下一代中．此种选择操作又称复制（copy ）．De Jong 对此方法作了如下定义：定义设到时刻t（第t代）时，群体中a*（t）为最佳个体．又设A（t＋1）为新一代群体，若A（t＋1）中不存在a*（t），则把a*(t)作为A（t＋1）中的第n+1个个体（其中，n为群体大小）（Matlab程序参见附录11）．采用此选择方法的优点是，进化过程中某一代的最优解可不被交叉和变异操作所破坏．但是，这也隐含了一种危机，即局部最优个体的遗传基因会急速增加而使进化有可能限于局部解．也就是说，该方法的全局搜索能力差，它更适合单峰性质的搜索空间搜索，而不是多峰性质的空间搜索．所以此方法一般都与其他选择方法结合使用．定理3具有定理1所示参数，且在选择后保留当前最优值的遗传算法最终能收敛到全局最优解．当然，在选择算子作用后保留当前最优解是一项比较复杂的工作，因为该解在选择算子作用后可能丢失．但是定理3至少表明了这种改进的遗传算法能够收敛至全局最优解．有意思的是，实际上只要在选择前保留当前最优解，就可以保证收敛，定理4描述了这种情况．定理4具有定理1参数的，且在选择前保留当前最优解的遗传算法可收敛于全局最优解．例2：设2=-+，求max(),[0,2]f x x x()3f x x∈，编码长度为5，采用上述定理4所述的“在选择前保留当前最优解的遗传算法”进行．此略，留作练习．二、相关函数（命令）及简介本实验的程序中用到如下一些基本的Matlab函数：ones, zeros, sum, size, length, subs, double 等，以及for, while 等基本程序结构语句，读者可参考前面专门关于Matlab的介绍，也可参考其他数学实验章节中的“相关函数（命令）及简介”内容，此略．三、实验内容上述例1的求解过程为：群体中包含六个染色体，每个染色体用22位0—1码，变异概率为0.01，变量区间为[1,2]-，取Fmin=2-，遗传代数为50代，则运用第一种终止条件（指定遗传代数）的Matlab程序为：[Count,Result,BestMember]=Genetic1(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,50)执行结果为：Count =50Result =1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.0316 1.03161.4990 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990 1.4990BestMember =1.03161.4990图2 例1的计算结果（注：上图为遗传进化过程中每一代的个体最大适应度；而下图为目前为止的个体最大适应度——单调递增）我们通过Matlab软件实现了遗传算法，得到了这题在第一种终止条件下的最优解：当x取1.0316时，Max () 1.4990f x=．当然这个解和实际情况还有一点出入（应该是x取1时，Max () 1.5000f x=），但对于一个计算机算法来说已经很不错了．我们也可以编制Matlab程序求在第二种终止条件下的最优解．此略，留作练习．实践表明，此时的遗传算法只要经过10代左右就可完成收敛，得到另一个“最优解”，与前面的最优解相差无几．四、自己动手1．用Matlab编制另一个主程序Genetic2.m，求例1的在第二种终止条件下的最优解．提示：一个可能的函数调用形式以及相应的结果为：[Count,Result,BestMember]=Genetic2(22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,0.00001) Count =13Result =1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.0392 1.03921.4985 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 1.4985 BestMember =1.03921.4985可以看到：两组解都已经很接近实际结果，对于两种方法所产生的最优解差异很小．可见这两种终止算法都是可行的，而且可以知道对于例1的问题，遗传算法只要经过10代左右就可以完成收敛，达到一个最优解．2．按照例2的具体要求，用遗传算法求上述例2的最优解．3．附录9子程序Crossing.m中的第3行到第7行为注解语句．若去掉前面的%号，则程序的算法思想有什么变化？4．附录9子程序Crossing.m中的第8行至第13行的程序表明，当Dim(1)>=3时，将交换数组Population的最后两行，即交换最后面的两个个体．其目的是什么？5．仿照附录10子程序Mutation.m，修改附录9子程序Crossing.m，使得交叉过程也有一个概率值（一般取0.65~0.90）；同时适当修改主程序Genetic1.m或主程序Genetic2.m，以便代入交叉概率．6．设2f x x∈-，要设定求解精度到15位小数．=--+，求max(),[2,2]f x x x()41五、附录附录1：主程序Genetic1.mfunction[Count,Result,BestMember]=Genetic1(MumberLength,MemberNumber,FunctionFitn ess,MinX,MaxX,Fmin,MutationProbability,Gen)Population=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber);global Count;global CurrentBest;Count=1;PopulationCode=Population;PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,Mumbe rLength);PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin);PopulationProbability=Probability(PopulationFitnessF);[Population,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(PopulationCode,Populatio nFitness,MumberLength);EachMaxFitness(Count)=EachGenMaxFitness;MaxFitness(Count)=CurrentBest(length(CurrentBest));while Count<GenNewPopulation=Select(Population,PopulationProbability,MemberNumber);Population=NewPopulation;NewPopulation=Crossing(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);Population=NewPopulation;NewPopulation=Mutation(Population,MutationProbability);Population=NewPopulation;PopulationFitness=Fitness(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin);PopulationProbability=Probability(PopulationFitnessF);Count=Count+1;[NewPopulation,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(Population,PopulationFitn ess,MumberLength);EachMaxFitness(Count)=EachGenMaxFitness;;MaxFitness(Count)=CurrentBest(length(CurrentBest));Population=NewPopulation;endDim=size(Population);Result=ones(2,Dim(1));for i=1:Dim(1)Result(1,i)=Translate(Population(i,:),MinX,MaxX,MumberLength);endResult(2,:)=PopulationFitness;BestMember(1,1)=Translate(CurrentBest(1:MumberLength),MinX,MaxX,Mumb erLength);BestMember(2,1)=CurrentBest(MumberLength+1);close allsubplot(211)plot(EachMaxFitness)subplot(212)plot(MaxFitness)【程序说明】主程序Genetic1.m包含了8个输入参数：(1) MumberLength：表示一个染色体位串的二进制长度．（例1中取22）(2) MemberNumber：表示群体中染色体的个数．（例1中取6个）(3) FunctionFitness：表示目标函数，是个字符串，因此用表达式时，用单引号括出．（例1中是2=-++）f x x x()20.5(4) MinX：变量区间的下限．（例1中是[1,2]-中的）(5) MaxX：变量区间的上限．（例1中是[1,2]-中的2）(6) Fmin：定义适应函数过程中给出的一个目标函数的可能的最小值，由操作者自己给出．（例1中取Fmin=2-）(7) MutationProbability：表示变异的概率，一般都很小．（例1中取0.01）(8) Gen：表示遗传的代数，也就是终止程序时的代数．（例1中取50）另外，主程序Genetic1.m包含了3个输出值：Count 表示遗传的代数；Result 表示计算的结果，也就是最优解；BestMember表示最优个体及其适应值．附录2：子程序PopulationInitialize.mfunction Population=PopulationInitialize(MumberLength,MemberNumber)Temporary=rand(MemberNumber,MumberLength);Population=(Temporary>=0.5*ones(size(Temporary)));【程序说明】子程序PopulationInitialize.m用于产生一个初始群体．这个初始群体含有MemberNumber个染色体，每个染色体有MumberLength个基因（二进制码）．附录3：子程序Fitness.mfunction PopulationFitness=Fitness(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength) Dim=size(PopulationCode);PopulationFitness=zeros(1,Dim(1));for i=1:Dim(1)PopulationFitness(i)=Transfer(PopulationCode(i,:),FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);end【程序说明】子程序Fitness.m用于计算群体中每一个染色体的目标函数值．子程序中含有5个输入参数：PopulationCode表示用0—1代码表示的群体，FunctionFitness 表示目标函数，它是一个字符串，因此写入调用程序时，应该用单引号括出，MumberLength表示染色体位串的二进制长度．MinX和MaxX 分别指变量区间的上下限．附录4：子程序Translate.mfunction PopulationData=Translate(PopulationCode,MinX,MaxX,MumberLength) PopulationData=0;Dim=size(PopulationCode);for i=1:Dim(2)PopulationData=PopulationData+PopulationCode(i)*(2^(MumberLength-i));endPopulationData=MinX+PopulationData*(MaxX-MinX)/(2^Dim(2)-1);【程序说明】子程序Translate.m把编成码的群体翻译成变量的数值．含有4个输入参数，PopulationCode, MinX, MaxX, MumberLength．附录5：子程序Transfer.mfunction PopulationFitness=Transfer(PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength) PopulationFitness=0;PopulationData=Translate(PopulationCode,MinX,MaxX,MumberLength);PopulationFitness=double(subs(FunctionFitness,'x',sym(PopulationData)));【程序说明】子程序Transfer 把群体中的染色体的目标函数值用数值表示出来，它是Fitness的重要子程序．其有5个输入参数分别为PopulationCode, FunctionFitness, MinX, MaxX，MumberLength．附录6：子程序FitnessF.mfunction PopulationFitnessF=FitnessF(PopulationFitness,Fmin)Dim=size(PopulationFitness);PopulationFitnessF=zeros(1,Dim(2));for i=1:Dim(2)if PopulationFitness(i)>FminPopulationFitnessF(i)=PopulationFitness(i)-Fmin;endif PopulationFitness(i)<=FminPopulationFitnessF(i)=0;endend【程序说明】子程序FitnessF.m是用于计算每个染色体的适应函数值的．其输入参数如下：PopulationFitness 为群体中染色体的目标函数值，Fmin为定义适应函数过程中给出的一个目标函数的可能的最小值．附录7：子程序Probability.mfunction PopulationProbability=Probability(PopulationFitness)SumPopulationFitness=sum(PopulationFitness);PopulationProbability=PopulationFitness/SumPopulationFitness;【程序说明】子程序Probability.m 用于计算群体中每个染色体的入选概率，输入参数为群体中染色体的适应函数值PopulationFitness．附录8：子程序Select.mfunction NewPopulation=Select(Population,PopulationProbability,MemberNumber)CProbability(1)=PopulationProbability(1);for i=2:MemberNumberCProbability(i)=CProbability(i-1)+PopulationProbability(i);endfor i=1:MemberNumberr=rand(1);Index=1;while r>CProbability(Index)Index=Index+1;endNewPopulation(i,:)=Population(Index,:);end【程序说明】子程序Select.m 根据入选概率（计算累计概率）在群体中按比例选择部分染色体组成种群，该子程序的3个输入参数分别为：群体Population，入选概率PopulationProbability，群体中染色体的个数MemberNumber．附录9：子程序Crossing.mfunction NewPopulation=Crossing(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength)%%PopulationFitness=%% Fitness(Population,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength);%%PopulationProbability=Probability(PopulationFitness);%%[SortResult,SortSite]=sort(PopulationProbability);%%Population=Population(SortSite,:);Dim=size(Population);if Dim(1)>=3Temp=Population(Dim(1),:);Population(Dim(1),:)=Population(Dim(1)-1,:);Population(Dim(1)-1,:)=Temp;endfor i=1:2:Dim(1)-1SiteArray=randperm(Dim(2));Site=SiteArray(1);Temp=Population(i,1:Site);Population(i,1:Site)=Population(i+1,1:Site);Population(i+1,1:Site)=Temp;endNewPopulation=Population;【程序说明】子程序Crossing.m 用于群体中的交叉并产生新群体．其输入参数为：Population, FunctionFitness，MinX，MaxX，MumberLength．附录10：子程序Mutation.mfunction NewPopulation=Mutation(Population,MutationProbability)Dim=size(Population);for i=1:Dim(1)Probability=rand(1);Site=randperm(Dim(2));if Probability<MutationProbabilityif Population(i,Site(1))==1Population(i,Site(1))=0;endif Population(i,Site(1))==0Population(i,Site(1))=1;endendendNewPopulation=Population;【程序说明】子程序Mutation.m用于群体中少量个体变量并产生新的群体．输入参数为：群体Population和变异概率MutationProbability．附录11：子程序Elitist.mfunction [NewPopulationIncludeMax,CurrentBest,EachGenMaxFitness]=Elitist(Population,PopulationFitness,MumberLength)global Count CurrentBest;[MinFitness,MinSite]=min(PopulationFitness);[MaxFitness,MaxSite]=max(PopulationFitness);EachGenMaxFitness=MaxFitness;if Count==1CurrentBest(1:MumberLength)=Population(MaxSite,:);CurrentBest(MumberLength+1)=PopulationFitness(MaxSite);elseif CurrentBest(MumberLength+1)<PopulationFitness(MaxSite);CurrentBest(1:MumberLength)=Population(MaxSite,:);CurrentBest(MumberLength+1)=PopulationFitness(MaxSite);endPopulation(MinSite,:)=CurrentBest(1:MumberLength);endNewPopulationIncludeMax=Population;【程序说明】子程序Elitist.m用到最佳个体保存方法（“优胜劣汰”思想）．输入参数为：群体Population, 目标函数值PopulationFitness和染色体个数MumberLength．“遗传算法”专题一、遗传算法的主要特征：我们的目的是获得“最好解”，可以把这种任务看成是一个优化过程。

遗传算法与优化问题

遗传算法与优化问题遗传算法是一种模仿自然界进化过程的求解问题的方法，它通过不断进化和迭代的过程，寻找问题的最优解或近似最优解。

在优化问题中，遗传算法可以用于求解复杂的数学模型、优化算法、工程设计和决策问题等。

1. 遗传算法的基本原理遗传算法基于达尔文的进化论，通过模拟生物进化的遗传、变异和选择过程，找到问题的最佳解决方案。

其基本步骤如下：1.1 初始种群的生成首先，需要随机生成初始种群，种群中的每个个体表示问题的一个可能解。

个体一般以二进制编码表示，也可以使用实数编码或其他编码方式。

1.2 适应度评估对于每个个体，都需要计算其适应度值，该值用来评估个体的优劣程度。

适应度值可以根据问题的具体情况来定义，一般是目标函数值。

1.3 选择操作选择操作根据个体的适应度值，按照一定的概率选择优秀个体作为下一代的父代，从而保留种群中的优秀基因。

1.4 交叉操作交叉操作模拟生物的基因交流过程，将选中的父代个体进行基因重组，生成新的后代个体。

交叉过程可以采用单点交叉、多点交叉、均匀交叉等不同方式。

1.5 变异操作变异操作模拟生物的基因突变过程，通过对后代个体的某些基因进行随机变化，引入新的基因信息，增加种群的多样性。

1.6 更新种群经过选择、交叉和变异操作后，得到新一代的个体群体，用于下一次迭代。

重复进行以上步骤，直至达到停止条件。

2. 遗传算法在优化问题中的应用遗传算法可以应用于各种优化问题，如函数优化、组合优化、约束优化等。

以下是一些常见的应用领域：2.1 工程设计优化在工程设计中，常常需要在多个设计变量的组合中找到最优解。

例如，在机械设计中，可以通过遗传算法来优化零件的尺寸、材料和结构，以满足强度和重量的要求。

2.2 算法参数优化在机器学习和数据挖掘领域，算法的性能往往依赖于各种参数的设置。

通过遗传算法，可以搜索最佳参数组合，从而提高算法的准确性和效果。

2.3 生产调度优化在生产调度中，需要合理安排生产任务和资源分配，以最大化生产效率和降低成本。

数学建模中的遗传算法设计

数学建模中的遗传算法设计数学建模是现代科学的重要组成部分，它的发展推动了现代自然科学和工程科学的进步。

而在数学建模中，遗传算法是一种非常有效的优化算法，在实际应用中具有广泛的应用前景。

一、遗传算法的基本原理遗传算法是一种通过模拟自然进化过程获取最优解的方法。

其基本原理是对于一个需要求解的问题，根据问题特性设计出适应度函数，该函数能够衡量个体的适应程度。

在进化过程中，将该适应度函数作为选择个体的依据，而后产生随机变异，不断迭代，最终找到全局最优解。

具体来说，遗传算法包含以下几个基本操作：1、初始化种群：生成一个随机种群，其中个体遵守问题特定的限制条件，如初始解范围、数量、精度等。

2、选择操作：根据适应度函数选择每一代群体的优良解。

3、交叉操作：在群体中选择两个个体进行交叉，产生下一代。

4、变异操作：对产生的下一代个体进行变异，从而增加群体的多样性。

5、重复执行选择、交叉、变异操作：重复执行直到达到终止条件，如迭代次数、达到一定精度等。

遗传算法的主要优点是能够在大量的组合、问题结构较复杂、目标函数具有非线性、多峰等特点的优化问题中获得较好的全局最优解。

但同时也存在一些缺陷，如易陷入局部最优解，多次运行结果不一致等问题。

二、遗传算法在数学建模中的应用1、函数优化问题如求解无约束非线性函数的最小值、最大值等，通过适应度函数来评估群体中个体的适应程度，根据遗传算法的原则不断迭代更新，最终得到全局最优解。

例如，已知函数$f(x)=-x^2+2x+5$，求其最大值。

遗传算法可编程求得该函数最大值$x=1$。

2、组合优化问题如旅行商问题、背包问题、调度问题等，这些经典问题通常不依赖于外部条件，可以通过组合优化的方式求解。

遗传算法在解决这些问题时，可以通过选择合适的遗传操作和适应度函数得到非常好的优化结果。

例如，求解背包问题，遗传算法可通过交叉、变异等操作不断优化方案，达到最优背包填充方案。

3、物理建模问题如固体力学中弹性力学问题、电磁场问题等，这些问题通常涉及到大量的物理变量和参数，其求解难度较高。