重积分习题集答案2 (2)

0
0
2
(2)0 dx 0 e dy 0 [e ] dx (e x 1)dx (e x x)1 e 2. 0
1 x y y x 0
1
1
1
0
13 1 3 1 1. 1 2 x 2 (3) dx ( x y)dy 0 ( xy y )0 dx 0 x dx x |0 2 0 0 2 2 2
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所以
(2) 解: 当 其中 时,
而D的面积为 3 , 所以有 3 ln 2 ln(2 x 2 y 2 )d 3 ln 5.
D
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10.2 二重积分的计算 10.2(1) 利用直角坐标计算二重积分
1.计算下列二次积分 2 2 1 2 1 2 2 y 1 y (1) 0 dx 0 xe dy [ xe ]0 dx x(e 1)dx (e 1) x |0 2(e 1).
y2 x
D
yx
x
sin y(1 y)dy sin ydy y sin ydy 1 sin1. 0 0 0
1
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1
1
10. 求平面
所围柱体被平面
截得的立体的体积.
解: 画出立体的图形:
2 x
6
dx
0 2 0 2
( x y )dxdy dy
2 2
3a a
y y a
( x 2 y 2 )d x
3a y xa
D
yx
a 1 3 2 y ( x xy ) | y a dy x a 3 0 3a 1 1 3 3 [ y y ( y a)3 ( y a) y 2 ]dy a 3 3 3a 1 3 2 3 1 2 2 D 3 3a 1 2 2 (2ay a y a ) dy ( ay a y a y) |a 14a 4 . a 3 3 2 3
3a
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D
x 6.计算二重积分 I 2 d xd y , 其中D是由 D y 由直线 及曲线 所围成的闭区域. y 解: 画出D的图形 2 yx
x x 2 x D x2 1 I 2 d x d y d x 1 2 dy D y 1 xy 1 x y 2 2 x x x 40 1 2 1 3 2 2 . ( |1 )dx ( x 1)dx ( x x) |1 1 1 3 y x 3
1
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4 0

1
1
x cos 2 xydy

1
D
1
0

4
x
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5. 计算二重积分 I D ( x 2 y 2 )d x d y 其中D是以y x, y x a, y a和y 3a,( a 0)为边的平行四 y 边形. 解: 画出D的图形
第十章
第十章重积分 习题答案(一)(28)
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10.1 二重积分的概念与性质
1.由二重积分的几何意义计算 (1)其中 解: (2)其中D 是由曲线 解: 依题意画图如下
及直线
围成的闭区域;
y 2 y2 x
其中 可用定积分计算: o 2 1 ( y 2 y 2 )dy 1 1 2 1 3 2 9 9 ( y 2 y y ) 1 , I 3 13.5 2 3 2 2

2
1
dy 2 xydx
y
y2
y 2 y2 x
y x2
4 x
1 2 y2 y x | y 2 dx 1 2
2
o 1
1 2 3 1 2 2 5 2 4 y[( y 2) y ]dy ( y 4 y 4 y y )dy 2 1 2 1 1 1 4 4 3 1 6 2 45 . 2 ( y x 2 y x ) |1 8 2 4 3 6 (2) I (3x 2 y )dxdy, 其中D是两坐标轴及直线
y2 1 2 0
ydy e
y2 1 2 0
d (
y ) e 2
2
y2 2 1 0
| 1 e .

1 2
sin y (2) I dxdy,其中D是由直线 y x 及曲线 y 2 x y D y 所围成的闭区域.
解: 画出D的图形:
1 sin y y 1 sin y sin y ( y y 2 )dy dxdy dy 2 dx 0 y 0 0 y y y D
1 x
1
0
f x, y dy
dy
0
1
2 y 2 y
f x, y dx.
3.画出积分区域,并计算二重积分 (1) I xydxdy,其中D为y 2 x及y x 2所围成的

D
闭区域.
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解:画D的图形:
I xydxdy
D
x
1 x
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u v
2.将二重积分
f x, y dxdy 化为二次积分:
D
(1) D 是由 y 2, y 2 x 及 x 0 所围成的区域; 解: 画D的图形: 1 2 f x, y dxdy dx f x, y dy
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y xwenku.baidu.com2
4x
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(3)其中D是由
解: D 的面积为 所以
围成的闭区域;
2.比较下列二重积分的大小:
其中D是由x 轴与y 轴及直线 解: 依题意画D的图形:
所围成;
即
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(2).
{ x, y | e x e2 ,0 y e} y 其中D e 解: 依题意画图如下:
D
dx [3x(2 x) (2 x )2 ]dx o 0 0 2 2 3 2 20 . 2 2 (4 2 x 2 x )dx (4 x x x ) |0 3 0 3
2 2 x 0

4
y
dx
x cos 2xydxdy
D
1 4 1 4 dx cos 2 xyd (2 xy) sin 2 xy |1 1dx 0 1 0 2 2 1 4 1 1 2sin 2 xdx cos 2 x |04 . 2 0 2 2
x 1 D x 2
2
y2
I
D
1 2
xy 1 0 1 2 1 2 2 2 xy xy D1 ye dxdy 1 dy 1 e d ( xy ) dy e xy d ( xy)
2 y
x
1
1
1 e | dy
xy 2 1 y

2
1
1 (e e)dy (e2 y e y )dy e | dy 1
0
0
D
x 1 x 1
(2) 解: 由已给积分次序知
0 x 1 D: 2 x y 1,
画出D的图形:
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8. 计算下列二重积分
(1) I ye xy d x d y ,其中D 是由直线 y 2, x 1,
x 2 及曲线
D
y
所围成的区域.
解: 画出D的图形: 为便于积分,选择先对 x 再对 y 积分:
I

D
1 x dx d y
2
x 1 x 2 y |0 dx
1 2 0

1 2 0
dx
x
0
1 x 2 dy
yx
0
D
1 2
1 2 0
1 2 0
x
1 x 2 xdx
1 2
3 1 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2 ). 1 x d (1 x ) (1 x ) |0 (1 3 8 2 3
其中D:
x 2
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2.利用极坐标计算下列二重积分 (1) I

D
D
e
( x2 y 2 )
dxdy,其中D是闭区域 x2 y 2 a 2 ,(a 0);
y
2 a r2
解: 画出D的图形:
I e
( x2 y 2 )
dxdy 0 d 0 e rdr
xy 2 1
2y 2
1
2
1 2y 1 2y y 2 1 4 2 1 ( e ey ) |1 ( e e ) |1 e e 2 2 2 2
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(2) I D 1 x 2 d x d y,其中D是直线
解: 画出D的图形:
y
所围成;
1 2
y
7.交换下列积分次序,并计算: (1)
dy e dx
y 0 y
1
1
1 yx
0
D
解: 由已给积分次序知
y x 1 D: 0 y 1,
x 1 x 1
画出D的图形:
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x e y dy e y |0 dx dx 0 0
1
x
1
y 1 yx
2
0
(6 3x 2 y)dy
2 2 x 0
(6 y 3xy y ) |
0
dx
2
2
3
[6(2 x ) 3x (2 x ) (2 x )2 ]dx
2 2
16 2 3 2 2 (2 x 8x 8)dx ( x 4 x 8 x) |0 . 0 3 3
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10.2(2)利用极坐标计算二重积分
1.(1)计算 解: 画出D的图形:
其中: x y 4.
2 2
y
2
x
(2)计算
其中D 是由半圆周
及x轴
所围成的上半个闭圆域. 解: 画出D的图形:
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(3)计算
解: 画出D的图形:
其中D:
y
2
x
y
(4)计算 解: 画出D的图形:
D
当 ( x, y) D 时,
ln( x y)d [ln( x y)]2 d . 即
D D
0
e
e2
x
3.利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1) 其中 D { x, y | e x e2 , 0 y e} 解: 当 ( x, y) D 时, 而D的面积为
D
x y 2 所围成的闭区域.
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解:画出D的图形
y
(3x 2 y)dxdy
D

2
0
dx
2
2 x
0
(3x 2 y)dy
2
D
x y 2
2x
(3xy y ) |
2
4.计算 x cos 2 xydxdy,其中D为矩形域: 0 x , 1 y 1; 解:画出D的图形
D
y
2D
0
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y 2x
0
dy f x, y dx
2 0
2x y 2 0
1
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x
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(2) D是由
限内的区域; 解: 画D的图形: f x, y dxdy
D
所围成的在第一象
y
yx
0
2 2 x2
x2 y 2 2
1
x
2
dx f x, y dy dx 0 0
a
x
1 a r2 2 r2 a a2 2 ( ) e d (r ) e |0 (1 e ). 2 0 (2) I x 2 y 2 1d , 其中D: x2 y 2 4;
D
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解: 画出D的图形:
I x y 1d ,
9.计算下列二重积分: (1)
e
D
y2 2
dxdy D 是由 x 0, y x, y 1 所围成的区域.
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解:画出D 的图形:
e
D
y2 2
dxdy e
y2 1 2 0
dy dx
0
y
e
y2 1 2 0
y x |0 dy e

1
1
x
1 1 1 2 x 2 x x (4) dx ye dy 0 e y |x dx 0 ( x x )e dx 2 2 0 x 1 1 1 1 2 x 2 x 1 ( x x )d (e ) [( x x )e |0 e x d ( x x 2 )] 0 2 0 2 v u