4 等势面 静电场中的电偶极子
第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
10.6等势面
25
解：
6.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 =Ar (r≤R) ， =0 (r＞R) A为一常量．试求球体内外的场强分布．
S
E dS
E cosdS E 4r
s
2
1
E Qinside 4 0 r
Ar 2 E er 4 0 When : r R : Qin
9
在同一场点,其电势沿不同方向的单 位长度的电势变化率也是不同的。
V dV
但沿法线方向的变化率最大。即 V E dln a l V V ln l 我们定义：一个矢量，它沿着法线的正 E 方向，大小等于电势沿法线方向单位长度的 变化率 V/ln。这个矢量叫电势梯度。用 gradV或V来表示。
32
高斯是德国数学家
★4： 求均匀带电细杆延长线上一点的场强 已知 q ,L,a 解答：
O dq dE 2 4 0 ( L a x )
x
L
dx
P
a
dE
X
4 0 ( L a x )2 0 1 1 qL q ( ) 4 0 a L a 4 0aL( L a ) 4 0a( L a )
q
F
r
F
E
q
M p E
p 转向 E 的方向，以达到稳定状态 力矩总是使电矩
π
M 0
非稳定平衡
非匀强电场中
F F F qE qE 0
13
二
电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
Ep qV qV
V V q( )r0 cos r0 cos
（3）等势面的例子
电势场强微分关系,电偶极子,电介质
UP
k
p cos θ r2
k
p r r3
k
p
r0
r2
28
五、电介质(了解) 无极分子位移极化 有极分子取向极化 极化强度： 描述极化程度
P
pi
V
均匀电介质中的电场：E E0 r r 1 e 0r
29
r2
14
U
k
p r0
k
p cos
r2
r2
电势与p成正比， 与距离的平方成反比， 还与方位有关。
求中垂面上的电势：
U=kq/r+(-kq/r) = 0
U k p cos 0
r2
y
rr
q q l
x
15
A●
B
●
●C
U A 0;UB 0;UC 0
p cos
U k
r2
16
3 电偶极子电场中的场强
a q0E dl
3. 电势：(1)
UA
E dl
A
(2)
Ua
q
4 π 0r
4. 电势差：
b Ua Ub a E dl
2
6.3.1 场强与电势的关系
1 等势面（电势图示法） 等势面：电势相等的点连成的面。
规定任意两相邻等势面间的电势差相等
为什么这么规定？
3
等势面的特征：
➢电荷沿等势面移动时,静电力做功为零
电势沿法线n方向的变
化率： dU dU dn dl
电势沿法线n方向的变化最快
(电势变化率最大)
电势梯度：gradU
dU dn
n0
单位：V/m
9
3 电势与场强的微分关系
q0沿法线n方向从A移到B， 电场力做的功：
第26讲：静电场——其它
第26讲：静电场——其它
内容：§8－8，§8－9
1．等势面
2．电场强度和电势的关系
3．利用电势来求电场强度的分布（50分钟）
4．在外电场中电偶极子的力矩和取向
5．在外电场中电偶极子的电势能和平衡位置（50分钟）
要求：
1．了解等势面的概念；
2．掌握电场强度和电势的关系；
3．掌握利用电势来求电场强度的分布的计算方法；
4．了解在外电场中电偶极子的力矩和取向；
5．了解在外电场中电偶极子的电势能和平衡位置。
重点与难点：
1．等势面的概念；
2．电场强度与电势的关系；
3．静电场中的电偶极子。
作业：
问题：P50：24，25，27，28
习题：P54：23，25，26，30
预习：§9－1，§9－2
复习：
1.电场力作功的特点
2.静电场的环路定理
3.电势和电势差
．等势面的性质：
）在等势面上移动电荷时，电场力不作功；。
第12讲 等势面 电势梯度 静电场中的电偶极子
第12讲等势面电势梯度静电场中的电偶极子电场线与等势面的关系♉电场线处处垂直等势面♉电场线指向电势降的方向♉等势面的疏密反映了场的强弱电场强度和电势的关系积分关系式⎰⋅=b a a l Ed ϕ0=b ϕ微分关系式ϕϕ-∇=-=g ra d Ek z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ电偶极子( )在电场( )中所受的力矩 Ep M ⨯=电偶极子( )在均匀外场( )中的势能 Ep W ⋅-=E p E p 电场中的电偶极子O 图中所示以 O 为心的各球冠面为静电场的等势面，已知ϕ1 < ϕ2 < ϕ3，在图上画出 a 、b 两点的电场强度的方向，并比较它们的大小。
E a E b(填 <、=、>)。
ϕ1 ϕ2 ϕ3 a b = a E b E Q3.12.11.若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度分布是 ；若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的场强分布是 。
处处为零 不为零的恒量(或均匀分布) Q3.12.2设有两个电偶极矩分别为 和 的电偶极子。
如果它们重叠在一起，此带电系统的电偶极矩为多少？ 答：1p 2p Q3.12.3221121l q l q p p p+=+=Q3.12.4电偶极子在均匀电场中总要使自身转向稳定平衡的位置，若此电偶极子处在非均匀电场中，它将怎样运动呢？你能说明吗？答：见视频。
[Q3.12.5] 证明 Q1.3.7 中的电四极子在它的轴线延长线上的电势为式中 Q = 2ql 2 叫做它的电四极矩。
利用梯度验证，所得场强公式与Q1.3.7一致。
)(l r r Q >>= π4130εϕ+q P-2q +q l l r解： 根据电势的叠加原理⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=r l r l r q 211π40εϕ+q P-2q +q l l r2π422220)()()()(l r r l r l r r l r r q ---++-=ε)(22202π4l r r l q -=ε当 l << r 时， 30π4r Qεϕ≈r E ∂∂-=ϕ40π43r Q ε=[Q3.12.5]* 电偶极层： 一厚度 l 均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷 。
静电场的环路定理(北邮)
W Ua a q0
a
0
q 0 E dl
E
a
E dl
a
4、电势差:
U a U b E dl E dl
a b
E 减少， 能量哪里去了？
解: 由高斯定理
0
E
r RA r RB
2
q q
RA
q 4 0 r
RA r RB
RB
U AB U A U B
RB E dl
B A
q q 1 1 dr ( ) 2 40 RA RB RA 40 r
2.如图已知+q 、-q、R ①求单位正电荷沿adc 移至c ，电场力所作的功
例2：求半径为R、电量Q均匀分布的球面在 球心O处产生的电势。
dq Q dq 思路(1): dU U 4 0 R 40 R 40 R
好
(2):
U
O
E dl
R
O
E dl E dl
R
E dl R
F-
q
M
能量最低，稳定平衡。
, W pE 能量最大，非稳定平衡。
5、电场力作正功时，电势能减少，能量
哪里去了？
Aa b q0 E dl q0 ( U a U b )
b a
1 q0 ( Ua Ub ) mv 2 2
1eV=1.6×10-19J
求E 。
例：用电势梯度法计算带电圆环轴线上 一点的场强。 r
o x p X
04电势梯度、电偶极子-精选文档
5. 基本的电势分布 (1) 点电荷的电势
q Vp 4 0 r
(2) 均匀带电球面的电势
Vin
u (r )
Q 4 0 R
Q Vout(r) 4 0r
0
R
r
（下一页）
§8 - 8 等势面 和电势梯度
一、 等势面 (1)等势面定义 ：由电场中电势相等的点组成的曲面
c
即:等势面与电力线处处正交.
d
E
②电力线指向电势降低的方向; ★沿电力线移动 q d V W W q ( V V ) A E d l 0 ; c c d c d cd
c
V d
（下一页）
③等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方 场强小（证明待后）。
●
F
q
如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电 偶极子不仅要转动，而且还会作平动。 （下一页）
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
q ●
r0
●
F
电势分别为V 和V- 。 + E
Wp = qV+－qV-
r 如图 电偶极子 0 pq 在匀强电场 E 中。 设 q 和 q 所在处的
等势面类比于地形图中的等高线.
(2)等势面的获得:
①利用电势的解析表达式:
V ( x , y , z ) V , i 1 , 2 , 3 ... i
②利用实际测量的方法.
规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
+
(3)等势面的例子
正点电荷电场 中的等势面 （下一页）
电偶极子的等势面
+
（下一页）
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
大学物理5-9 静电场中的电偶极子-new
(2)在电荷分布有某些对称性的条件下，可通过高斯 1 定理求场强。
E dS q
S 0
内
(3)用点电荷电势公式和电势叠加原理求电势分布， 再利用场强和电势的关系通过微商求场强。 dq V E grad V V 4π 0 r
求电势的方法
(1) 电势叠加法：当电荷分布已知时
qi 点电荷系：V i 4 π 0 ri dq 连续带电体： V 4π 0 r (2) 场强积分法：当 E 易于由高斯定理求出
VA
电势零点
A
E dl
8
EP EP EP q(V V )
qr0 E cos pE cos
r0
F
q
E
0 时， EP pE 稳定平衡位置
电场中电偶极子 时， EP pE 非稳定平衡位置 总是向势能最低 的位置转向 时，EP 0 非平衡位置
2
电偶极子的电场线与等势面
+
真空中静电场小结 1. 两个物理量
E U
2. 两个基本方程 高斯定理：
1 E dS
S
0
q
内
静电场环路定理：
E dl 0LBiblioteka 6求电场强度的方法
(1)利用点电荷的场强公式和场强叠加原理，通过 矢量积分求场强。
dq E dE e 2 r 4π 0 r
M M M
q
F
力矩方向相同，均垂直直面向里
r0
F
q
E
均匀电场中电偶极子所受力矩 M p E
§8.6等势面电场强度和电势的关系
b
q0
E dl
a
q0 (ua ub ) 0
(2) 等势面与电力线互相垂直。
E 等势面
(3) 规定相邻两等势面的电势差相等。
等势面密集——电场较强；
等势面稀疏——电场较弱； (4) 电场强度的方向总是指向电势降低的方向。
第8章 静电场
2
二. 电势与电场强度的微分关系
取两个相邻的等势面，等势面法线方向为 n ，设 n 相同，把点电荷从P移到Q，电场力作功为：
EyBiblioteka u yEzu z
E
(u
i
u
j
u
k)
grad(u)
x y z
某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这 就是电势与电场强度的微分关系。
第8章 静电场
5
思考：以下说法对吗？
E大处
E0处
u高 u0
E小处 E均匀处
u低 u 均匀
注意：
E 的大小，取决于 du 的大小，而不是u的大小
dn
如：均匀带电球面内部空间
§8.6 等势面 电场强度和电势的关系
一、等势面 （描绘电势的空间分布）
1. 等势面——在电场中电势相等的点所连成的曲面。 规定：相邻等势面之间电势差相等。
+
+
（点电荷） （无限大平面）
（电偶极子）
第8章 静电场
1
2. 等势面的性质
(1) 沿等势面移动电荷q0，静电力做功为零。
b
Aab a q0E dl
+ +A
+S +
+ B
-
+
+ +
+
电偶极子的电场强度和电势_概述及解释说明
电偶极子的电场强度和电势概述及解释说明1. 引言:1.1 概述:电偶极子是物理学中重要的概念之一，指的是由两个相等但相反电荷构成的偶极子。
当电偶极子置于外部电场中时，会受到力矩的作用而发生旋转运动。
了解电偶极子在不同情况下的行为对于理解电场强度和电势具有重要意义。
1.2 研究意义:研究电偶极子的性质和行为可以帮助我们理解电场在空间中的分布规律，以及如何控制和利用电场力进行工程实践。
此外，通过研究电偶极子，还能推导出更深层次的物理原理和数学公式，拓展我们对自然界规律的认识。
1.3 目的:本文旨在探讨电偶极子所产生的电场强度和电势分布特性，并分析其在不同情况下的反应和稳定性。
通过深入剖析该主题，希望能够为相关领域的研穴提供新思路和启示，推动该领域研究向前发展。
2. 电偶极子的基本概念：2.1 定义和特征：电偶极子是由两个等量异号的电荷组成的系统，它们之间的距离很小。
其中一个带正电荷，另一个带负电荷。
这种构成的系统具有一定的特性，例如对外界电场具有响应能力，可以产生自身的相互作用力。
2.2 数学表达式：可以用矢量来描述电偶极子，其中矢量指向从负电荷到正电荷。
其数学表达式可以表示为p = q*d，其中p是电偶极矩，q是单个电荷大小，d是两个电荷之间的距离。
2.3 实际应用：在物理学领域中，电偶极子是一种非常重要的模型。
它在分子结构、光学、物理化学等领域都有广泛应用。
通过研究和理解电偶极子的基本概念和特性，我们可以更深入地探讨分子内部结构及相互作用力的机制，并且应用于各种实际问题中。
3. 电场强度与电势的关系3.1 电场强度的计算方法电场强度是描述某一点上电场对单位正电荷施加的力的大小和方向。
在静电学中，可以通过库仑定律来计算某一点上的电场强度。
根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力与它们之间的距离成反比，因此可以得到该点处的电场强度。
3.2 电势与电场强度之间的关系电势是描述一个系统中单位正电荷所具有的做功能力。
电势
rB rB λ er dr VP = ∫ E dr = ∫r 2π ε 0 r r
rB = ln 2π ε 0 r
由于ln1=0,所以选离直线为rB=1 m处 ,所以选离直线为 由于 处 作为电势零点,则P点的电势为 作为电势零点, 点的电势为
令 VB = 0
λ
o B rB
P
r
r
λ VP = ln{r}m 2πε0
p p
电势
半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布 例3.半径为 的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布.(P180) 半径为 的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布. 为圆心, 的细圆环, 解:以O为圆心,取半径为 →r+dr的细圆环,电荷元 为圆心 取半径为r→ 的细圆环 dq=σds= σ2π r dr 细圆环在轴线上的电势: 细圆环在轴线上的电势:
电势
四,电势(electric potential ) 电势差 1.电势 1.电势
EPa ∞ Va = = ∫ E dl q0 a
EPa = ∫ q0E dl
a
∞
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零) 点(电势零)电场力所作的功
∞
2.电势差 电压) 2.电势差(电压)(electric potential difference)
Uab =Va Vb = ∫ E dl ∫ E dl = ∫ E dl
a b
a
b
a,b两点的电势差等于将单位正电荷从 点移 , 两点的电势差等于将单位正电荷从a点移 到b时,电场力所做的功. 电场力所做的功.
电势
注意 1,电势是相对量,电势零点的选择原则上可以是 电势是相对量, 任意的.如果场源电荷分布在有限的区域内,我们 任意的.如果场源电荷分布在有限的区域内, 通常选取无穷远处的电势为零; 通常选取无穷远处的电势为零;如果场源电荷不是 分布在有限的区域,不能取无穷远处的电势为零. 分布在有限的区域,不能取无穷远处的电势为零. 2,两点间的电势差与电势零点选择无关. 两点间的电势差与电势零点选择无关. 沿着电力线方向,电势降低. 3,沿着电力线方向,电势降低.
普通物理学(科目代码 802)考试大纲
普通物理学（科目代码802）考试大纲Ⅰ、考查范围质点力学、刚体转动及机械振动和机械波，约25%；气体动理论和热力学基础，约18%；电磁学，约25%；波动光学，约17%；相对论和量子力学，约15%Ⅱ、考查要求考查要求分为三级：掌握、理解、了解。
掌握：属较高要求。
对于要求掌握的内容多应比较透彻明了，并能熟练地用以分析和计算工科普通物理课水平的有关问题，对于那些能由基本定律导出的定理要求会推导。
理解：属一般要求。
对于要求理解的内容都应明了，并能用以分析和计算工科普通物理课水平的有关问题。
了解：属较低要求。
对于要求了解的内容，应知道所涉及问题的现象和有关实验，并能对它们进行定性解释，还应知道与问题直接有关的物理量和公式的物理意义。
对于要求了解的内容，在经典物理部分一般不要求定量计算，在近代物理部分要求能作代公式性质的一类计算。
Ⅲ、考查形式及试卷结构1．考试方式：闭卷，笔试2．考试时间：180分钟3．试卷分值：满分150分4．题型结构：选择题约占35%填空题约占30%计算题约占35%Ⅳ、考查内容（一）质点运动学【考试目标】1．掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。
2．能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动的速度、加速度，能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。
3．理解伽利略坐标变换和速度变换。
【考试内容】1．位矢、位移、速度、加速度、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度。
2．加速度为恒矢量时的运动方程、圆周运动。
3．相对运动、伽利略坐标变换和速度变换。
（二）牛顿定律【考试目标】1．掌握牛顿三定律及其适用条件，能用微积分方法求解一维力作用下简单的质点动力学问题。
2．了解力学量的单位和量纲。
3．理解伽利略相对性原理及惯性参考系、非惯性系和惯性力的概念。
【考试内容】1．牛顿运动定律及其应用。
2．力学量的单位和量纲。
3．几种常见的力。
4．惯性参考系、力学相对性原理。
静电场4(电场与电势关系)
a a
ba →
→
b
dA = q0 E cosθdl = q0 (Ua − Ub ) = −q0dU ∴ E cosθdl = −dU dU El = E cosθ = − dl
2. 微分关系 → 电荷 q0 从a 经位移 dl 到达 b ， → 电场力所作功为： 电场力所作功为： E
a
θ
b
→
Ub
= q0 (U A − U B ) > 0
∴U A > U B
q o dl
A
UA
结论2： 结论 ：电场强度的方向总是指向 势降低的方向
3. 等势面图示法 等势面画法规定 规定： 等势面画法规定：相邻两等势面之间的 电势差相等。 电势差相等。 将单位正电荷沿等势面法线方向移动。 将单位正电荷沿等势面法线方向移动。
对 X，Y，Z 方向有： ， ， 方向有：
[ 例1 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一点 q q 的电势为： 的电势为： U=4 r = 2 2 1 2 π o ε ε 4π o ( x + R ) 求：轴线上任一点的场强。 轴线上任一点的场强。
R
r
X
[解] 解
X ∂U E = Ex = − ∂x q x = 3 4π ε0 (x 2 + R 2 ) 2
R
dq
r
X
dq = σ 2πrdr
dU =
R
dq 4πε0 r + x
2 2
σ
X
=
σrdr
2 2
2ε 0 r + x
U=∫
0
σrdr
2ε 0
σ = 2 2 2ε 0 r +x
(R
高二物理竞赛课件：等势面(电势图示法)
等势面
dl 1
2
E
V
V2
V1
0
E 的方向为电势降低的方向。
(4) 在画等势面图时，通常取相邻两等势面间的电势差 为一固定值。这样，E 越大，等势面越密。因此，等势
面的疏密也能反映 电场的强弱． dV E dl dV 一定时，E越大，dl 越小
点电荷的电场线和等势面
+
dl1 dl2
dl2 dl1, E2 E1
VQ
4
0
ln
b b
L/ L/
2 2
p、Q两点之间的电势差
VpQ
Vp
VQ
4
0
(ln
a a
L L
/2 /2
ln
b b
L/ L/
2) 2
(3) 电场线的方向指向电势降低的方向。 假设将正电荷 q0 沿电场线方向由 1 移
到 2 ，电2 场力 将做正功，
A12 1 q0E dl
q0 (V1 V2 ) q0V 0
电偶极子的电场线和等势面
+
平行板电容器的电场线和等势面 ++ ++ + + + + +
1) 电势梯度 取两个相邻近的等势面1和
V dV
P2
nˆ0
2，电势分别为 V 和 V+dV , 且 V
dV > 0 .
规定：等势面的法线正方向 n0
为指向电势升高的法线方向。
dn P3
P1 dl
2
E
1
A
VAB
RB q
RA 4)
例. 一均匀带电细棒，长为L，带电量为q，在其延长线 上有两点p、Q，距细棒中心O点分别为a、b，求p、Q 两点之间的电势差。
电偶极子的等势面
电偶极子的等势面程序：function dengshimian(h,xspan,yspan)x=xspan(1):h:xspan(2);y=yspan(1):h:yspan(2);[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=1./sqrt((X-0.2).^2+Y.^2)-1./sqrt((X+0.2).^2+Y.^2);contour(x,y,Z,[-10:0.5:10]);% dengshimian(0.01,[-0.3,0.3],[-0.3,0.3]) 执行-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050.050.10.150.20.25【 * 例 5.5.2 .2-2 】研究偶极子 (Dipole) 的电势（ Electric potential ）和电场强度（ Electric field density ）。
设在 处有电荷 ，在 处有电荷 。
那么在电荷所在平面上任何一点的电势和场强分别为 ， 。
其中 。
。
又设电荷 ， ， 。
clear;clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x;[X,Y]=meshgrid(x,y); % 设置坐标网点rp=sqrt((X-a).^2+(Y-b).^2);rm=sqrt((X+a).^2+(Y+b).^2);V=q*k*(1./rp-1./rm); % 计算电势[Ex,Ey]=gradient(-V); % 计算场强AE=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;% 场强归一化，使箭头等长cv=linspace(min(min(V)),max(max(V)),49);% 产生49 个电位值contourf(X,Y,V,cv,'k-') % 用黑实线画填色等位线图%axis('square') % 在Notebook 中，此指令不用title('fontname{ 隶书}fontsize{22} 偶极子的场'),hold onquiver(X,Y,Ex,Ey,0.7) % 第五输入宗量0.7 使场强箭头长短适中。
静电场-电势,等势面,电势梯度
10
4.2 从电场强度计算电势
v vv 1）运用高斯定理电场的分布： E = E(r )
2) 通过电场强度的积分计算电势：
V =∫
∞
a
r r E ⋅ dl
11
例7-12 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为q，求 空间的电势分布。
dl
r
rP R P ∞
12
(r ≤ R) 0 解： E = q 4πε r 2 (r > R) 0
33
p均匀带电球面内外的场强
E内 = 0 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球面的电势
Q V内 = 4πε 0 R Q V外 = 4πε 0 r
34
p均匀带电球体内外的场强
Qr E内 = 4πε 0 R 3 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球体外的电势
Q 3R 2 − r 2 V内 = 8πε 0 R 3 Q V外 = 4πε 0 r
dr r O R x P
E
x
25
σ 2 2 解： V = ( x + R − x) 2ε 0 ∂V σ x (1 − ) E = Ex = − = 2 2 ∂x 2ε 0 x +R
26
两均匀带电同心球面，根据电势分布求电场强度分布
27
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
v 2） V = 0 的地方， E = 0 吗？ v v 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
例7-10 均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ。 求轴线离圆盘中心O距离为x的P点的电势。
dr r O R x P x
9
解：dV =
dq 4πε 0 x 2 + r 2
功、电势差、电势能之间的关系重点
功、电势差、电势能之间的关系
Aab q E dl q( ua ub ) Wa Wb
b a
讨 论
１. Aab 0
Wa Wb
则
则
2. Aab 0
Wa Wb
则
则
q0 q0
ua ub
ua ub
q0
ua ub
ua ub
q0
一、 等势面 等势面 ： 电场中电势相等的点组成的曲面
+
电偶极子的等势面
+
等势面的性质 ⑴等势面与电力线处处正交， 电力线指向电势降落的方向。 ★a,b为等势面上任意两点移动q,从a到b
a
b
ua ub
Aab q( ua ub ) 0
u
★令q在面上有元位移 dl
dA qE dl qE cosdl 0
H C H
+
pe
O +
H
H
+
H
pe 0
pe
正电荷中心 ——分子电偶极矩
1. 无极分子的位移极化
e
无外电场时 pe 0
f
pe
l
E外
f
0 加上外电场后 pe
+
极化电荷
+ + + + + +
E外
极化电荷
2. 有极分子的转向极化
+ + + + + + + + + + + + + +
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∂V (x, y, z) Ey = − ∂y
率的负值， 率的负值，即
∂V (x, y, z) Ez = − ∂z
第9章 静电场 章
返回
11
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
定义梯度
∂f v ∂f v ∂f v gradf (x,y,z ) = i + j+ k ∂x ∂y ∂z
A
dV El = − dl
v ∆l
B
v E
q =1
v 电场强度沿 ∆l 方向 的分量， 的分量，等于电势 沿这个方向空间变 化率的负值. 化率的负值.
第9章 静电场 章
返回
10
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
在直角坐标系中
v 方向的分量等于电势沿x方向空间变化 方向的分量等于电势沿 E 沿x方向的分量等于电势沿 方向空间变化
第9章 静电场 章
返回
20
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
1. 图示为一具有球对称性分布的静电场的 E~r关系曲线．请指出该静电场是由下列哪 关系曲线． 关系曲线 E 种带电体产生的． 种带电体产生的．
E∝1/r2
(A) 半径为R的均匀带电球面． 半径为 的均匀带电球面． 的均匀带电球面 R r (B) 半径为 的均匀带电球体． 半径为R的均匀带电球体 O 的均匀带电球体． (C) 半径为 、电荷体密度 ρ ＝Ar (A为常 半径为R 为常 的非均匀带电球体． 数）的非均匀带电球体． (D) 半径为 、电荷体密度 ρ ＝A/r (A为常数 半径为R 为常数) 为常数 的非均匀带电球体． 的非均匀带电球体． ［ ］
0 r
v v E ⋅ dl
0 R
= ∫ E2 dr + ∫ E1dr
r
R
=∫
E1 =
E2 =
R
ρ R2
2 ε0 r
2
r
dr + ∫
0
ρr
2 ε0
2
R
dr
ρr
2ε0
ρR2
2ε0r
R ρR = ln − 2 ε0 r 4 ε0
第9章 静电场 章
ρR
返回
4
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
= pE sin θ
返回
17
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
v v v M = p×E
v v o 最大 当 p ⊥ E 时, θ = 90 M最大 v v , θ = 0o 当 p // E 时, M=0
稳定平衡 v v o p // E ,θ = 180 时, M=0 不稳定平衡
B
有 −∆ V = E ∆ l cos θ = El ∆ l
∆V ∴ El = − ∆l q =1 ∆V dV lim =− 当 ∆ l → 0 时， El = − ∆l→0 ∆l dl
第9章 静电场 章
返回
9
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
V + ∆V
V
v en
9-4 静电场中的电偶极子
沿着等势面的方向
V + ∆V
V
v enቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
v ∂V v En = − en ∂ln
v v (Q E = En )
v ∆l
B
v ∂V v E = − en ∂ln ∂V Q =0 ∂lt v dV v ∴E = − en dln
第9章 静电场 章
返回
13
v E
q =1
南通大学
再求电势 （1） 轴 V=0 ） R
r<R
V1 = ∫
ρr
2ε0
0 r
0
v v 0 E ⋅ dl = ∫ E1dr
r
=∫
ρr
2 ε0
r
dr
E1 =
E2 =
ρR2
2ε0r
=−
ρ
4 ε0
r2
返回
3
第9章 静电场 章
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
r>R
R
V2 = ∫
率的负值， 率的负值，即
v 方向的分量等于电势沿y方向空间变化 方向的分量等于电势沿 E 沿 y方向的分量等于电势沿 方向空间变化
∂V (x, y, z) Ex = − ∂x
率的负值， 率的负值，即
v 方向的分量等于电势沿z方向空间变化 方向的分量等于电势沿 E 沿 z方向的分量等于电势沿 方向空间变化
v v v M + = r+ × F+
+q r F+ r+ r l θ E o r−q
方向向里 方向向里
v v v M − = r− × F−
r F−
合力矩 M = M + + M −
l l = qE sin θ + qE sin θ 2 2 = qlE sin θ
v v v M = p×E
第9章 静电场 章
∂V E = Ex = − ∂x ∂ q =− 2 2 12 ∂x 4 πε0 ( x + R ) qx = 4 πε0 ( x 2 + R 2 ) 3 2
第9章 静电场 章
返回
15
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
八 静电场中的电偶极子 1. 外电场对电偶极子的力矩和取向作用
电场强度与电势的关系
v v v v ∂V v ∂V v ∂V v （ i+ j+ k) E = Exi + Ey j + Ez k = − ∂x ∂y ∂z
= −gradV = −∇V
电场强度等于电势梯度的负值. 电场强度等于电势梯度的负值 电势梯度的负值
第9章 静电场 章
返回
12
南通大学
Nantong University
第9章 静电场 章
返回
21
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
2. 如图，在点电荷q的电场中，选取以 为 如图，在点电荷 的电场中 选取以q为 的电场中， 中心、 为半径的球面上一点 为半径的球面上一点P处作电势 中心、R为半径的球面上一点 处作电势 零点，则与点电荷q距离为 距离为r的 点的电 零点，则与点电荷 距离为 的P’点的电 势为 (A) (C)
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
七 电场强度与电势梯度 1. 等势面 电场中电势相等的点所构成的曲面。 电场中电势相等的点所构成的曲面。 ① 点电荷的等势面
q V= 4πε0 r
+q
点电荷的等势面是一系列 为中心的同心球面。 以q为中心的同心球面。 为中心的同心球面
14
返回
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
用电场强度与电势的关系， 例2: 用电场强度与电势的关系，求均匀带q 电量的细圆环轴线上一点的电场强度. 电量的细圆环轴线上一点的电场强度.
q 解： = V 2 2 12 4πε0 ( x + R )
R
o
x
P
x
v E=
v qx i 2 2 32 4πε0 (x + R )
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
的无限长圆柱体， 例4：半径为 的无限长圆柱体，电荷按体密 ：半径为R的无限长圆柱体 分布，分别以（ ） 度 ρ 分布，分别以（1）轴线处为零电势位 ，（2）圆柱体表面为零电势位置， 置，（ ）圆柱体表面为零电势位置，求圆 柱体内外的电势。 柱体内外的电势。 解： 先求场强 R （1） r < R ）
r F−
+q r F+ r+ r l θ E o r当 −q
因此， 因此，力矩的作用总是使电偶极矩转向 v 与 E 相一致的方向 .
第9章 静电场 章
返回
18
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
2. 电偶极子在电场中的电势能
V+
电偶极子在均匀电场中 的电势能
E p = q(V+ − V− )
v v o 当 p // E ,θ = 0 时 Ep = − pE
+q r F+ r l θ E当 o −q
V+
r F−
电势能最低 稳定平衡 v v ,θ = 180o 时, Ep = pE p // E
v v Ep = − p ⋅ E
V−
电势能最高 不稳定平衡 v v o 当 p ⊥ E 时, θ = 90 Ep = 0
q 4πε 0 r
q 4πε 0 (r − R )
P R q r P＇
第9章 静电场 章
(B) (D)
q 4πε 0
1 1 − r R
1 1 − R r
q 4πε 0
［
返回
］
22
南通大学
Nantong University
9-4 静电场中的电偶极子
v 3. 如图所示，在匀强电场 E 中取一半径为 如图所示，
第9章 静电场 章