高中数学+选修2-1+(精)几类很经典的圆锥曲线问题

几类圆锥曲线问题

一、弦长问题

圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C ∶f(x ，y)=0与直线l ∶y=kx+b 相交于A(11,y x )、B(22,y x )两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 例1 过抛物线2

4

1x y -

=的焦点作倾斜角为α的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，旦|AB|=8，求倾斜角α． 分析一：由弦长公式易解．解答为：

∵ 抛物线方程为y x 42

-=， ∴焦点为(0，-1)． 设直线l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

将此式代入y x 42

-=中得：0442

=-+kx x ．∴k x x x x 442121-=+-=，

由|AB|=8得:()()41441822

-⨯⨯--⋅+=k k ∴1±=k

又有1tan ±=α得:4π

α=

或4

3πα=

. 分析二:利用焦半径关系.∵2

,221p y BF p y AF +-=+

-= ∴|AB|=-(1y +y 2)+p=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+p=-k(1x +x 2)+2+p ．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．

二、最值问题

方法1：定义转化法

①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．

例2、已知点F 是双曲线x 24－y 2

12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋

|PA |的最小值为________．

解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4， 即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5， 即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9.故填9.

方法2：数形结合（切线法）

当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．

例3、求椭圆x 2

2

＋y 2

＝1上的点到直线y ＝x ＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．

解 设椭圆的切线方程为y ＝x ＋b ， 代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝± 3. 当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝6

2

，将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－

233，此时y ＝3

3

， 即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫

－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62；

当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝36

2

，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2

－2＝0，解得x ＝233，此时y ＝－3

3

，

即椭圆上的点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

233，－

33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362.

方法3：参数法（函数法）

① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； ②求解关于这个参数的函数最值

例4、在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 2

3

＋y 2

＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________．

解析 因为椭圆x 2

3＋y 2

＝1的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝3cos φ

y ＝sin φ，

(φ为参数)．

故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.

因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋1

2sin φ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫φ＋π3， 所以，当φ＝

π

6

时，S 取最大值2.故填2.

方法4：基本不等式法

①将最值用变量表示．

②利用基本不等式求得表达式的最值．

例5、求椭圆x 2

3＋y 2

＝1内接矩形ABCD 面积的最大值．

例6 已知定点A(0，3)点B 、C 分别在椭圆2

2

16413

x y +=的准线上运动，当∠BAC=90°时，求△ABC 面积的最小值。

解：椭圆2

2

16413

x y +

=的两条准线方程分别为：y=1或y=－1。 点B 在直线y=1上且设B （a ，1），点C 在直线y=－1上且设C （b ，－1），由于∠BAC=90°，A(0，3)，所以2AB k a -=

，4

AC k b -= AB k ·AC k =8

1ab =-，ab=－8。

1||||2ABC S AB AC =

⋅V =2222

22114161646422

a b a b a b ++=+++=2211612816()82a a ++≥，当且仅当2

2

16

a a =

，即2a =±，4b =m 时△ABC 面积的值最大为8。

例7 已知2x +4(y-1)2=4，求：(1)2

x +y 2的最大值与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值．

解：(1)将2x +4(y-1)2=4代入得：2

x +y 2=4-4(y-1)2+y 2=-3y 2+8y

由点(x ，y)满足2

x +4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y ≤2．

当y=0时，(2

x +y 2)min=0．

(2)：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y ，则将此代入2

x +4(y-1)2=4中得关于y 的一元

二次方程，借助于判别式可求得最值．

令x+y=u ， 则有x=u-y,代入2

x +4(y-1)2=4得：52

y -(2u+8)y+2

u =0． 又∵0≤y ≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×2

u ≥0． ∴5151+≤≤-u