华南理工大学考研(数学分析2010)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华南理工大学2010年数学分析考研试题
一．求解下列各题 1.确定α与β，使(
)2
lim
3420n n n n αβ
→∞
+---=.
2.讨论函数()f x ，()g x 在0
x =处的可导性，其中
(),,x x f x x x -⎧=⎨⎩为无理数，为有理数，和()2
2,,x x g x x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩为无理数，
为有理数.
3.已知
()f
x 在[)0,+∞上连续，且满足()0f
x x
≤
≤
，[)
0,x ∈+∞，设1
a ≥，
()1n n a f
a +=，1,2n =
，证明（1){}n a 收敛；（2）若lim
n n a l
→∞
=，则()f l l =.
4.判断下面的级数的收敛性
()()()
2
1
111n n
n x
x x x
∞
=+++∑
，0
x
≥.
5.讨论函数()(),1co s y
y
f x y e x ye =
+-的极大值和极小值.
6.计算33323S
x d yd z y d zd x z d xd y ++⎰⎰，其中S 为球面2
2
2
2
x y z a ++=的外侧.
二．设p 为正常数，函数()()co s p
f x x
=，证明：当01p <
≤时，()f
x 在[)0,+∞上
一致连续. 三．证明a x
b x
b xy
a
e
e e
d y x
----=
⎰
，并计算积分0
a x
b x
e
e d x
x
--+∞-⎰
，()0b a >>.
四．令
()()
ln 1,0,,,0,xy x f x y x
y x +⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
证明(),f x y 在其定义域上是连续的.
五．求积分D x c y c I d xd y a
b ⎛
⎫
--=+
⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰其中D 由曲线
1x c y c a
b
--+
=和x c =，
y c
=所围成，且,,0
a b c
>.
六．设f
为定义在(),a +∞上的函数，在每一有限区间(),a b 上有界，且
()()lim 1x f x f
x A
→+∞
+-
=⎡⎤⎣⎦
，证明
()
lim
x f
x A
x
→+∞
=.
七．设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，
证明
()()()()()0
1
lim
n
b
i
i
i
a
i f g x
f
x g x d x λξθ∆→=∆=
∑⎰
，其中∆为[],a b 的任一分割，
01:n a x x x b
∆=<<<= ，[]1,,i i i i x x ξθ-∈，1,2,,i n
= ，1i i i x x x -∆=-，
(){}1m ax i i n
x λ≤≤∆=∆.
华南理工大学2010年数分考研试题解答
一．1.解 由条件知，2
42lim
30n n n
n
n βα→∞
⎛⎫
+
-
--
= ⎪ ⎪⎝
⎭，
从而有2
42lim 30n n
n
n βα→∞⎛
⎫
+
-
--=
⎪
⎪⎝
⎭，2
42lim 33
n n
n
n βα→∞⎛
⎫
=+
--
=
⎪ ⎪⎝
⎭
，
(
)2
lim
3423n n n n
β→∞
=+--
2
42lim
3423n n n n n
→∞
-=
+-+
2
24lim
4233
n n n
n
→∞
-
=
+
-
+
4233
3=
=
+
，
3
α=，23
β
=
.
2.解 显然()00f =，()00
g =
，
()()
0f x f
x
-
≤,()()2
0g x g x -≤,
()f
x ,()g x 均在0
x
=处连续，
当x 沿着无理点趋向0时，有
()()
0110f
x f
x -
=-→--，
当x 沿着有理点趋向0时，有
()()
0110
f
x f
x x x
-
=
=→-，
()()
0lim
x f
x f
x →-
-不存在，所以()f x 在0
x
=处不可导.