高三(下)模拟考试数学及答案(理科)
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
2023届四川省南充市高三下学期高考考前数学(理)模拟训练(一)【含答案】
2023届四川省南充市高三下学期高考考前数学（理）模拟训练（一）一、单选题1．若集合，则（ ）{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣A B = A ．B ．C ．D ．[)1,1-(]0,1[)0,1()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得，{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣，()0,1A B ∴= 故选：D.2．（ ）sin2023cos17cos2023sin17+=A ．B ．C ．D 1212-【答案】C【分析】根据诱导公式和正弦和角公式求解即可.【详解】解：因为3605182334020=⨯++所以，，()()4s 1in 8202n 3s 3605043sin 18s i 03i 4n 3=⨯++=+=-()()4c 1os 8202s 3c 3605043cos 18c o 03o 4s 3=⨯++=+=-所以，sin2023cos17cos2023sin17+.sin43cos17cos43sin17sin60=--=-= 故选:C.3．校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：中位数m85m ≥8085m ≤<7080m ≤<70m <评价优秀良好合格不合格2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（ ）A ．优秀B ．良好C ．合格D ．不合格【答案】B【分析】根据频率分布直方图求解中位数即可得答案.【详解】解：由频率分布直方图可知，前3组的频率分别为，第4组的频率为0.1,0.1,0.20.4所以，中位数，即满足，对应的评价是良好.0.1801082.50.4m =+⨯=m 8085m ≤<故选：B.4．双曲线 ）2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ．B ．2y x =±y =C ．D ．y x =12y x=±【答案】B【分析】根据.==ce a b a =【详解】由题意知，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>可得，解得，==ce a 22221()3a b b a a +=+=b a =所以双曲线的渐近线方程为.C by x a =±=故选：B.5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，则（ ）O ()3,4A --()5,12B -cos OAB ∠=A ．B ．CD ．33653365-【答案】D【分析】利用计算即得结果.cos AO ABOAB AO AB⋅∠=【详解】由题设，(3,4),(8,8)AO AB ==-所以cos AO AB OAB |AO ||AB |⋅∠== 故选：D6．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为（）A ．BC ．28D ．283【答案】A4，下底长为2的正四棱台求解.因为上底长为4，下底长为2，所以该棱台的高为，1h=棱台的体积，∴(128416133V =⨯+⨯=故选：.A 7．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO 的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO ，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．()sin x x xf -=()sin cos f x x x x=-()221f x x x =-()3sin f x x x =+【答案】B【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.【详解】A ：，即在定义域上递增，不符合；()1cos 0f x x '=-≥()f x B ：，()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--=在上，在上，在上，(2π,π)--()0f x '<(π,π)-()0f x '>(π,2π)()0f x '<所以在、上递减，上递增，符合；()f x (2π,π)--(π,2π)(π,π)-C ：由且定义域为，为偶函数，222211()()()()f x x x f x x x -=--=-=-{|0}x x ≠所以题图不可能在y 轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；(0,)+∞32()20f x x x +'=>()f x D ：由且定义域为R ，为奇函数，33()sin()()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-研究上性质：，故在递增，(0,)+∞2()cos 30f x x x =+>'()f x (0,)+∞所以在R 上递增，不符合；()f x 故选：B8．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch 曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．168120818271027【答案】A【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果.23【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，13所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，23由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，n 213nn S ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭即经过4次操作之后所得图形的面积是.442161381S ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭故选：A9．将3个1和3个0随机排成一行，则3个0都不相邻的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．1202151512【答案】C【分析】先求出总数，再由插空法，得到满足题意的情况，由古典概型的公式即可得出答案.【详解】先考虑总的情况，6个位置选3个放1，有种，36C 再考虑3个0都不相邻的情况，将3个0插入3个1形成的4个空中，有种，34C 可得.3436C 1C 5P ==故选：C ．10．定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）R ()f x ()()2=f x f x -()21f x +-()20231k f k ==∑A ．B ．C ．2022D ．20232023-2022-【答案】D【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数的对称轴和中心对称点及周()f x 期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果.【详解】∵，∴关于对称，()()2=f x f x -()f x 1x =∵为奇函数，∴由平移可得关于对称，且，()21f x +-()f x ()2,1()21f =，即(2)1(2)1f x f x ∴+-=--++(2)(2)2f x f x ++-=()()2=f x f x -(2)()2f x f x ∴++=(4)(2)2f x f x ∴+++=上两式比较可得()(4)f x f x =+∴函数是以4为周期的周期函数.，，()f x ()()()13222f f f +==()()421f f ==∴， ∴.()()()()12344f f f f +++=()()2023120244420234k f k f ==⨯-=∑故选：D.11．如图，在梯形ABCD 中，，，，将△ACD 沿AC 边折起，AB CD ∥4AB =2BC CD DA ===使得点D 翻折到点P ，若三棱锥P -ABC 的外接球表面积为，则（ ）20πPB=A ．8B ．4C ．D ．2【答案】C【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明，可得12OO O M=12O M OO =四边形为平行四边形，进而证得BC ⊥面APC ，通过勾股定理可求得PB 的值.12OO MO【详解】如图所示，由题意知，，60ABC ︒∠=所以，AC =AC BC ⊥所以AB 的中点即为△ABC 外接圆的圆心，记为，2O 又因为，2PA PC ==所以，，120APC ︒∠=1PM =所以在中，取AC 的中点M ，连接PM ，则△APC 的外心必在PM 的延长线上，记为，APC △1O所以在中，因为，，所以为等边三角形，APC △160APO ︒∠=11O P O A =1APO △所以，12O P =（或由正弦定理得：）11242sin AC O P O P APC ===⇒=∠所以，11O M =在中，，，，ACB △2122O B AB ==2112O M BC ==2//O M BC 设外接球半径为R ，则，解得：，24π20πR =25R =设O 为三棱锥P -ABC 的外接球球心，则面ABC ，面APC ．2OO ⊥1OO ⊥所以在中，，2Rt OO B △21OO =又因为在，，1Rt OO P△11OO ===所以，，121OO O M ==121O M OO ==所以四边形为平行四边形，12OO MO 所以，12//OO O M 又因为，2//O M BC 所以，1OO //BC又因为面APC ，1OO ⊥所以BC ⊥面APC ，所以，BC PC ⊥所以，即：22222228PB PC CB =+=+=PB =故选：C.12．设函数，其中，是自然对数的底数（…），则（ ）()e ln x f x ax x=-R a ∈e e 2.71828≈A ．当时，B ．当时，1a =()e f x x≥3e 4a =()0f x >C ．当时，D ．当时，1a =-()e f x x≥3e 4a =-()0f x >【答案】B【分析】令，结合，判断AC ；将不等式转化为()e ln e x ax x xg x =--()10g =()1g a'=-()0f x >，，再构造函数求解最值即可判断B ；借助特殊值判断D.324e ln e x x x x ⋅>()1,x ∈+∞10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】解：令，则，且，，()e ln e x ax x xg x =--()e ln ex a x a g x '=---()10g =()1g a'=-当，，∴存在一个较小的正数使得都有，1a =()110g '=-<ε()1,1x ε∀∈+()0g x <当时，，∴存在一个较小的正数使得都有，1a =-()110g '=>ε()1,1x ε∀∈-()0g x <故A ，C 都不正确，对于选项B ，当，则显然成立，当时，即证明，(]0,1x ∈()1,x ∈+∞3e e ln 04xx x ->也即证明，，324e ln e x x x x ⋅>()1,x ∈+∞令，则，12e ()x h x x =()312e()xx h x x -'=所以，时，，单调递增，时，，单调递减，()2,x ∈+∞1()0h x '>1()h x ()0,2x ∈1()0h x '<1()h x 所以，的最小值为，12e ()x h x x =()21e 24h =令，则，()2ln xh x x =()221ln x h x x -'=所以，时，，单调递减，时，，单调递增，()e,x ∈+∞2()0h x '<()2h x ()0,e x ∈2()0h x '>()2h x 所以，的最大值为，()2ln xh x x =()21e e h =所以，，()()()()21122323334e 444e 1ln 2e e e e e 4e x xh x h h h x x x ⋅=≥=⋅==≥=因为不同时取等，所以，，即选项B 正确，324e ln e x x x x ⋅>对于选项D ，当时，（成立），即1e x =11132243e e 2e 11e e e e ln e e 0e 16e 4e e 4416+⋅=-<-<⇔<⇔<，所以选项D 不正确．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据不同选项，构造不同的函数，利用函数值的大小，特殊值等，实现大小比较.二、填空题13．设是虚数单位，复数的模长为__________.i 2i1i +【分析】先根据复数的除法化简，然后由模长公式可得.【详解】解：()()()2i 1i 2i 1i,1i 1i 1i -==+∴++-=.14．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X （单位：分）服从正态分布，且成绩在()280,N σ上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.[]80,90【答案】8【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X （单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在()280,N σ80x=上的学生人数为16，[]80,90由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.24168-=故答案为：815．如图，在中，.延长到点，使得，则ABCπ3AC ACB ∠==BA Dπ2,6AD CDA ∠==的面积为__________.ABC 【分析】根据正弦定理和面积公式求解即可.【详解】解：因为在中，，，ADC △π3AC ACB ∠==π2,6AD CDA ∠==所以，由正弦定理得，sin sin AD AC ACD CDA ∠∠=sin ACD ∠=π4ACD ∠=所以，，5ππ,124CAB ABC ∠∠==在中，由正弦定理可得ABC sin sin AB ACACB CBA ∠∠=AB =因为ππππππsin sin sin cos cos sin 464646CAB ⎛⎫∠=+=+=⎪⎝⎭所以，1sin 2ABC S AB AC CAB ∠=⨯⨯⨯=16．《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为，双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>d 的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕C 1y =1y =-C（其中），则双曲线的离心率为______.yπ222c a b =+C 【分析】先利用条件求出，直线与渐近线及双曲线的交点，从而求出截面积，再利题设所给d 1y =信息建立等量关系，从而求出结果.【详解】由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以，by xa =±(),0F c 22bc d b a b ==+由，得，1y b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩a xb =由，得()2222110y x y x a b =⎧⎪⎨-=>⎪⎩x ==所以截面面积为，()2222221ππa b a a b b ⎛⎫+ ⎪-= ⎪⎝⎭由题知，阴影部分绕y 轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴，22πππV a ===2bc =所以，即，()4222226a b c c a c ==-44226a c a c =-∴，解得，所以42e e 60--=2e 3=e =三、解答题17．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期1314､至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知4400⨯甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；23343445丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.2356(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.ξξ【答案】(1)乙进入决赛的可能性最大(2)答案见解析【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，231342⨯=乙队进入决赛的概率为，343455⨯=丙队进入决赛的概率为，255369⨯=显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，135,,259的可能取值为，ξ0,1,2,3，()1354011125945P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()135********2(1(1)(1)25952995290P ξ==-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，()135132596P ξ==⨯⨯=，()()()()43711110231459063P P P P ξξξξ==-=-=-==---=所以的分布列为：ξξ0123P4451337901618．已知分别为三个内角的对边，且.,,a b c ABC ,,A B C ()sin 2sin A B C-=(1)证明:；2222a b c =+(2)若，，，求AM 的长度.2π3A =3a =3BC BM =【答案】(1)证明见解析(2)1AM =【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证；（2）在中，由（1）结合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解.ABC ,b c ABM 【详解】（1）由，()()sin 2sin 2sin A B C A B -==+得，sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin A B A B A B A B -=+则，sin cos 3cos sin 0A B A B +=由正弦定理和余弦定理得，2222223022a c b b c a a b ac bc +-+-⋅+⋅=化简得；2222a b c =+（2）在中，，ABC 2229a b c bc =++=又因为，所以，所以2222a b c =+222229b c b c bc +=++=b c ==所以，π6B C ==由，得，3BC BM = 13a BM ==在中，，ABM 2222cos 313133a a AM c c B ⎛⎫=+-⨯⋅=+-= ⎪⎝⎭19．如图，正三棱柱的体积为P 是面内不同于顶点的一点，111ABC A B C -AB =111A B C 且．PAB PAC ∠=∠(1)求证：；⊥AP BC (2)经过BC 且与AP 垂直的平面交AP 于点E ，当三棱锥E -ABC 的体积最大时，求二面角平面角的余弦值．1P BC B --【答案】(1)证明见解析．【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）由分析知，三棱锥E -ABC 的体积最大，等价于点E 到面ABC 的距离最大，由分析知，∠PFD为二面角的平面角，以F 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和，代入1P BC B --FP FD即可得出答案.【详解】（1）设线段BC 的中点为F ，则，AF BC ⊥∵，，AP 为公共边，AB AC =PAB PAC ∠=∠∴，PAB PAC △△≌∴，PB PC =∴，又，面APF ，PF BC ⊥AF PF F = ,AF PF ⊂∴BC ⊥面APF ，面APFAP ⊂（2）设线段的中点为D ，由题意，点P 在线段上，11B C 1A D由，111ABC A B C V -=AB =12AA =∴三棱锥E -ABC 的体积最大，等价于点E 到面ABC 的距离最大，∵AP ⊥面BCE ，面BCE ，∴，EF ⊂AP EF ⊥∴点E 在以AF 为直径的圆上，如图，易知，3AF =从而，45EAF EFA ∠=∠=︒由（1）知PF ⊥BC ，DF ⊥BC ，平面，DF 平面，PF ⊂PBC ⊂1BCB 平面平面，PBC1BCB BC =∴∠PFD 为二面角的平面角，1P BC B --如图，以F 为原点建立空间直角坐标系，则，，，，()0,0,0F 330,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭()B ()0,1,2P ，()0,0,2D于是，，从而，()0,1,2FP =()0,0,2FD =cos ,FP FD <>==∴二面角．1P BC B --20．已知，两点分别在x 轴和y 轴上运动，且，若动点G 满足()0,0M x ()00,N y 1MN =，动点G 的轨迹为E .2OG OM ON =+(1)求E 的方程；(2)已知不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的A 、B 两点，总满足，Q ⎫⎪⎪⎭AQO BQO ∠=∠证明：直线l 过定点.【答案】(1)；2214x y +=(2)证明见解析.【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得，结合和两点坐标求距离公式可得002xx y y ==、1MN =，将代入计算即可；22001x y +=002x x y y ==、(2)设直线l 的方程为：、，联立椭圆方程并消去y ，根据韦达定理表y kx m =+()()1122A x y B x y ，、，示出，利用两点求斜率公式求出，结合题意可得，列出关于k 和m1212+、x x x x AQ BQk k 、AQ BQk k =-的方程，化简计算即可.【详解】（1）因为，即，2OG OM ON =+0000(,)2(,0)(0,)(2,)x y x y x y =+=所以，则，002x x y y ==，002xx y y ==又，得，即，1MN =22001x y +=22()12x y +=所以动点G 的轨迹方程E 为：；2214x y +=（2）由题意知，设直线l 的方程为：，，y kx m =+()()1122A x y B x y ，，，则，1122y kx m y kx m=+=+，，消去y ，得，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(41)8440k x kmx m +++-=由，得，22226416(41)(1)0k m k m ∆=-+->2241m k <+，21212228444141km m x x x x k k --+==++，直线的斜率为，直线的斜率为，AQAQ k =BQ BQ k =又，所以AQO BQO ∠=AQk =BQk-=整理，得，1212120y x x y y y +=12122()()0kx x m x x ++=，2222228(1)80414141km km k mk k k --+=+++由，化简得，2410k +≠m =所以，(y kx k x ==故直线过定点.21．已知函数为的导函数．1()ln (0,0),()f x kx a x x a f x x ->'=-+>()f x (1)当时，求函数的极值；1,2a k ==()f x (2)已知，若存在，使得成立，求证：()1212,(0,)x x x x ∈+∞≠k ∈R ()()12f x f x =．()()120f x f x ''+>【答案】(1)极大值为，无极小值．3-(2)证明见解析【分析】（1），求导，利用函数的单调性及极值的定义求解；1()2ln f x x xx =--+（2）不妨设，因为，所以，结合12x x >()()12f x f x =121212ln 1x x a kx x x x +=-，得()()1222121211112f x f x a k x x x x ⎛⎫''+=+++- ⎪⎝⎭，设， 构造函数()()()2121211222121221212ln x x x x x f x f x ax xx x x x x -⎛⎫''+=+-- ⎪-⎝⎭12(1,)x t x =∈+∞，结合函数的单调性，可证得结论.1()2ln (1)t t t t tϕ=-->【详解】（1）当时，此时，1,2a k ==1()2ln f x x xx =--+则，2211(21)(1)()2x x f x x x x +-'=-+=-当时，，则在单调递增；01x <<()0f x '>()f x (0,1)当时，，则在单调递减；1x >()0f x '<()f x (1,)+∞所以的极大值为，无极小值．()f x (1)3f =-（2）不妨设，因为，12x x >()()12f x f x =则，11221211ln ln kx a x kx a x x x --+=--+即，所以，()12112122ln x x x a k x x x x x -+=-121212ln1x x a k x x x x +=-由，则，21()a f x k x x '=+-()()1222121211112f x f x a k x x x x ⎛⎫''+=+++- ⎪⎝⎭，()()12122212121212ln111112x x f x f x a ax x x x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪''+=+++-+ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭即，()()12122212121212ln 112112x x f x f x a x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪''+=+-++-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()222121211222121212212ln x x x x x f x f x a x x x x x x x -⎛⎫-''+=+-⎪-⎝⎭即，()()()2121211222121221212ln x x x x x f x f x ax x x x x x x -⎛⎫''+=+-- ⎪-⎝⎭设， 构造函数，12(1,)x t x =∈+∞1()2ln (1)t t t t t ϕ=-->则，2221221()10t t t t t t ϕ-+'=+-=>所以在上为增函数，()t ϕ(1,)+∞所以，()(1)0t ϕϕ>=因为，()21222121210,0,0x x a x x x x ->>>-所以．()()120f x f x ''+>【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．22．“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，其中黑、白区域xOy 4分界线，为两个圆心在轴上的半圆，在太极图内，以坐标原点为极点，轴非负半1C 2C y (2,2)P -x轴为极轴建立极坐标系．(1)求点的一个极坐标和分界线的极坐标方程；P 1C (2)过原点的直线与分界线，分别交于，两点，求面积的最大值．l 1C 2C M N PMN 【答案】(1)，：3π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1C 24sin 0ρρθ-=(2)4【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式转化即可；（2）由图形对称性知，，在极坐标系中，求，并求其最大值即可.2PMN POM S S = POM S 【详解】（1）设点的一个极坐标为，，，P (),P P P ρθ0P ρ>[)0,2πP θ∈则，P ρ===2tan 12P P P y x θ===--∵点在第三象限，∴，∴点的一个极坐标为.P 3π4P θ=P 3π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，4∴分界线的圆心直角坐标为，半径为，1C ()10,2C 2r =∴的直角坐标方程为（），即（），1C ()2224x y +-=0x ≥2240x y y +-=0x ≥将，，代入上式，得，，cos x ρθ=sin y ρθ=222x y ρ+=24sin 0ρρθ-=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦化简，得分界线的极坐标方程为，.1C 4sin ρθ=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）∵在上，∴设点的极坐标为，则，，M 1C M (),M M M ρθ4sin MM ρθ=π0,2M θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴的面积POM ()11sin sin 22POM P M P M S OP OM POM ρρθθ=⋅⋅∠=⋅⋅- 13π4sin sin 24M M θθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭24sin cos 4sin M M Mθθθ=+()2sin 221cos 2M M θθ=+-2sin 22cos 22M M θθ=-+π224M θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵，∴，π0,2M θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444M θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当，即时，的面积的最大值为.ππ242M θ-=3π8M θ=POM ()max 2POM S = ∵直线过原点分别与，交于点，，∴由图形的对称性易知，，l 1C 2C M N OM ON =∴面积，PMN 2PMN POM S S =∴面积的最大值为.PMN ()()max max 24PMN POM S S == 23．已知，且，证明：0,0,1a b c >>>222422a b c c ++-=(1)；24a b c ++≤(2)若，则.2a b =1131b c +≥-【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）由均值的不等式可得，由（1）可得()()11112141911a b c b c b c b c ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++-=++-≥ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭，即可证明.11213a b c ≥++-1131b c +≥-【详解】（1）由，得，222422a b c c ++-=2224(1)3a b c ++-=由柯西不等式有，()2222222(2)(1)111(21)a b c a b c ⎡⎤++-++≥++-⎣⎦，当且仅当时等号成立，213a b c ∴++-≤211a b c ==-=，当且仅当时等号成立；24a b c ∴++≤11,,22a b c ===（2）由可得2a b =，()()1111412141559111b c a b c b c b c b c c b -⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++-=++-=++≥+= ⎪ ⎪⎣⎦---⎝⎭⎝⎭当且仅当时取等，12c b -=由（1）可得，当且仅当时等号成立，11213a b c ≥++-11,,22a b c ===从而，当且仅当时等号成立.11193121b c a b c +≥⋅≥-++-11,,22a b c ===。
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
2021-2022年高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题含答案
2021年高三下学期第六次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，） 1．集合，，则（ ）A 、B 、C 、D 、 2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A ． B ．C ．D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和 为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 4．已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（） A. B. C. D. 5．数列的前n 项和为，若，则( ) A. B. C.D.6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为 A ．B ．或C ．D ．或8．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，则｜a －b ｜＝A ．5B ．C ．2D ．6 9．二项式展开式中的系数是( )A ．-14B ．14C ．-28D ．28 10．在△ABC 中，若,，则b=（ ） A ．3 B ．4 C.5 D .611．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数的零点的个数为开始否 n ＝3n +1n 为偶数k ＝k ＋1 结束n ＝5，k ＝0 是 输出k n 否是A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( ) A ． B ． C D二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)． 13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___．14．若整数．．满足0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则的最大值为 ． 15．向平面区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x .内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率等于_______．16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和， 求使得对所有都成立的最小正整数18．（本小题满分12分） A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 1 5％ 10％ P0.80.2X 2 2％ 8％ 12％ P0.20.50.3（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将万元投资A 项目，万元投资B 项目，表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指C 1B 1A 1出x 为何值时，取到最小值．（注：）19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱中，侧面底面，， ，，为中点． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 20．（本小题满分12分）已知两定点，和定直线l ：，动点在直线上的射影为，且． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程并画草图；（Ⅱ）是否存在过点的直线，使得直线与曲线相交于， 两点，且△的面积等于？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 21．（本小题满分12分）已知函数，且.（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一．．．题．作答，如果多做，按所做第1题计分。
陕西省榆林市2023届高三下学期第四次模拟考试 数学(理) PDF版含解析
绝密★启用前榆林市2022～2023年度第四次模拟考试数学试题(理科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2．请将各题答案填写在答题卡上。
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(杨宪伟老师工作坊)集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，则P ∪Q ＝()(A)[－2，3](C){2}(B){－2，－1，0，2，3}(D){－2，－1，0，3}2．(杨宪伟老师工作坊)复数z ＝(1－i)(3＋i)，则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3．(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28－x 26＝1的一条渐近线方程为()(A)3x －4y ＝0(B)4x －3y ＝0(C)3x ＋2y ＝0(D)2x －3y ＝04．(杨宪伟老师工作坊)若tan(α＋π4)＝15，则tan α＝()(A)－23(B)23(C)－13(D)135．(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )＝x 2－e －ax (a ∈R )，若f (x )的图象在x ＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a ＝()(A)12(B)2(C)±2(D)±126．(杨宪伟老师工作坊)将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x ＝()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π207．(杨宪伟老师工作坊)已知a ＝log 32，b ＝0.30.5，c ＝0.5－0.4，则()(A)c＜b＜a(B)c＜a＜b(C)a＜b＜c(D)b＜c＜a 8．(杨宪伟老师工作坊)(5x2＋8x)9的展开式中含x3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84 9．(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)3210．(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，119≈10.9．(A)15(B)16(C)34(D)3511．(杨宪伟老师工作坊)已知球O的内接三棱锥P－ABC的体积为6，且PA，PB，PC的长分别为6，3，2，则三棱锥A－BOC的体积为()(A)2(B3(C)4(D)612．(杨宪伟老师工作坊)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)＝2f(x＋1)－2，2f(x)＋g(x－3)＝2．若y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝3，现有四个结论：①g(0)＝4；②4为g(x)的周期；③g(x)的图象关于点(2，0)对称；④g(3)＝0．其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(杨宪伟老师工作坊)已知向量a＝(3，2)，b＝(λ，－4)，若a⊥(a－b)，则λ＝▲．14．(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为．15．(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，经过过点A，且F为抛物线C 的焦点，若|AF|＝3|OF|，则△OAF的面积为．16．(杨宪伟老师工作坊)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2sin B，则A＝▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n}中，a1＋a5＝7，a6＝132．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n＋1}的前n项和为S n．18．(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题．(1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．19．(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D－ABC中，已知AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，2AB＝AC＝AD＝4，E为AB的中点，F为AC的中点，G为CD的中点．(1)证明：AD ∥平面EFG ．(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值．20．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，a ≠0．(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )有3个零点，求a 的取值范围．21．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为34，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为27．(1)求椭圆C 的方程．(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点，直线PF 1，PF 2与直线x ＝5分别交于A ，B 两点，记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝913，求|AB |．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂22．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y ＝5，圆M 以(3，0)为圆心且与l 相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆M 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α(0＜α＜π2，ρ＞0)与圆M 交于点A ，B 两点，且1|OA |＋1|OB |＝17，求直线AB 的直角坐标方程．23．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为M ．(1)解关于x 的不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|；(2)若正数a ，b 满足a 2＋2b 2＝M ，求2a ＋b 的最大值．榆林市2022～2023年度第四次模拟考试数学试题解析(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(杨宪伟老师工作坊)集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，则P ∪Q ＝()(A)[－2，3](C){2}(B){－2，－1，0，2，3}(D){－2，－1，0，3}【答案】B【解析】因为集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，所以P ∪Q ＝{－2，－1，0，2，3}，故选(B)．2．(杨宪伟老师工作坊)复数z ＝(1－i)(3＋i)，则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D【解析】因为z ＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选(D)．3．(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28－x 26＝1的一条渐近线方程为()(A)3x －4y ＝0(B)4x －3y ＝0(C)3x ＋2y ＝0(D)2x －3y ＝0【答案】D【解析】令y 28－x 26＝0，可得：2x ±3y ＝0，故选(D)．4．(杨宪伟老师工作坊)若tan(α＋π4)＝15，则tan α＝()(A)－23(B)23(C)－13(D)13【答案】A 【解析】解法1：因为tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝15，所以tan α＝－23，故选(A)．解法2：tan α＝tan(α＋π4－π4)＝tan(α＋π4)－tanπ41＋tan(α＋π4)tanπ4＝－23，故选(A)．5．(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )＝x 2－e －ax (a ∈R )，若f (x )的图象在x ＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a ＝()(A)12(B)2(C)±2(D)±12【答案】D【解析】f (x )＝x 2－e －ax ，f'(x )＝2x ＋a e －ax ，所以f'(0)＝a ，f (0)＝－1，f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝ax －1，所以该切线与坐标轴围成三角形的面积12×1×1|a |＝1，解得：a ＝±12，故选(D)．6．(杨宪伟老师工作坊)将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x ＝()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π20【答案】C 【解析】解法1：将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，得到的是函数y ＝cos2(x －π20)＝cos(2x －π10)，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12，得到的是函数y ＝cos(4x －π10)，令4x －π10kπ(k ∈Z)，解得：x ＝π40＋kπ4(k ∈Z)，故选(C)．解法2：函数y ＝cos2x 的一条对称轴为x ＝0，将其向右平移π20个单位长度，再将横坐标缩小到原来的12，可得：x ＝π40，故选(C)．7．(杨宪伟老师工作坊)已知a ＝log 32，b ＝0.30.5，c ＝0.5－0.4，则()(A)c ＜b ＜a (B)c ＜a ＜b(C)a ＜b ＜c(D)b ＜c ＜a【答案】C【解析】因为a ＝log 32∈(0，0.5)，b ＝0.30.5∈(0.5，1)，c ＝0.5－0.4∈(1，2)，所以a ＜b ＜c ，故选(C)．8．(杨宪伟老师工作坊)(5x 2＋8x)9的展开式中含x 3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84【答案】B【解析】(5x2＋8x)9的展开式中含x3项为C59(5x2)4(8x)5＝C59·54·85x3，故选(B)．9．(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)32【答案】A【解析】取B1C1的中点E，连结ME，EN，则平面ME∥CC1，所以∠EMN即为异面直线MN与BC1所成角，在△EMN中，MN＝EN＝6，ME＝2，cos∠EMN＝ME2MN＝36，故选(A)．10．(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，119≈10.9．(A)15(B)16(C)34(D)35【答案】B【解析】由题意：第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，所以μ＝50×0.1＋60×0.25＋70×0.4＋80×0.15＋90×0.1＝69；σ2＝(50－69)2×0.1＋(60－69)2×0.25＋(70－69)2×0.4＋(80－69)2×0.15＋(90－69)2×0.1＝119，σ≈10.9，P (X ＞79.9)＝1－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)2≈0.15865，此次竞赛获得优秀奖杯的人数为：100×0.15865≈16，故选(B)．11．(杨宪伟老师工作坊)已知球O 的内接三棱锥P －ABC 的体积为6，且PA ，PB ，PC 的长分别为6，3，2，则三棱锥A －BOC 的体积为()(A)2(B3(C)4(D)6【答案】B【解析】V P －ABC ＝V C －P AB ≤13×12×PA ×PB ×PC ＝6，所以PA ，PB ，PC 互相垂直，而O 为三棱锥P －ABC V A －BOC ＝V O －ABC ＝12V D －ABC ＝12V P －ABC ＝3，故选(B)．12．(杨宪伟老师工作坊)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且g (x )＝2f (x ＋1)－2，2f (x )＋g (x －3)＝2．若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (1)＝3，现有四个结论：①g (0)＝4；②4为g (x )的周期；③g (x )的图象关于点(2，0)对称；④g (3)＝0．其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③【答案】C【解析】因为f (x )，g (x )的定义域均为R ，g (x )＝2f (x ＋1)－2，f (1)＝3，所以g (0)＝2f (1)－2＝4，①正确；又因为2f (x )＋g (x －3)＝2，所以2f (x ＋1)＋g (x －2)＝2，g (x )＝－g (x －2)，即：g (x )＝g (x －4)，故4为g (x )的周期，②正确；因为y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，2f (x )＋g (x －3)＝2，所以g (x －3)＝g (x ＋1)关于直线x ＝1对称，g (x )关于直线x ＝2对称，③错误；而g (3)＝－g (1)＝g (1)，所以g (3)＝g (1)＝0，④正确，故选(C)．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(杨宪伟老师工作坊)已知向量a ＝(3，2)，b ＝(λ，－4)，若a ⊥(a －b )，则λ＝▲．【答案】7【解析】因为a ⊥(a －b )，所以(a －b )•a ＝0，即：a •b ＝a 2，3λ－8＝13，λ＝7．14．(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为．【答案】712【解析】P ＝13＋14＝712．15．(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C ：y 2＝4x 的顶点为O ，经过过点A ，且F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝3|OF |，则△OAF 的面积为．【答案】2【解析】设A (x 0，y 0)，则|AF |＝x 0＋1＝3|OF |＝3，x 0＝2，|y 0|＝22，故△OAF 的面积＝12|y 0|＝2．16．(杨宪伟老师工作坊)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2sin B ，则A ＝▲．【答案】2π3【解析】因为sin C ＝2sin B ，所以c ＝2b ，又因为a 2－b 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc －3bc2bc＝－12，A ＝2π3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝7，a 6＝132．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为S n ．【解析】(1)因为a 1＋a 5＝2a 3＝7，所以a 3＝72，而a 6＝132，所以{a n }的公差d ＝a 6－a 36－3＝1，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋12；(2)1a n a n ＋1＝4(2n ＋1)(2n ＋3)＝2(12n ＋1－12n ＋3)，S n ＝2(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝2(13－12n ＋3)＝4n6n ＋9．18．(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A ，B 两组题，每组都有4道题目，甲对A 组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14．甲对B 组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A 组中任选2道题或从B 组中任选2道题．(1)若甲选择从A 组中任选2道题，设X 表示甲答对题目的个数，求X 的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．【解析】(1)记甲选择从A 组中任选2道题，选到的2道题都有思路为事件M ，只有1道题有思路为事件N ，则P (M )＝C 23C 24＝12，P (N )＝12．X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝0)＝12×(1－23)2＋12×(1－23)×(1－14)＝1372；P (X ＝1)＝12×C 12×(1－23)×23＋12×[23×(1－14)＋(1－23)×14]＝3772；P (X ＝2)＝12×(23)2＋12×23×14＝1136；X 的分布列为：X 012P137237721136EX ＝0×1372＋1×3772＋2×1136＝98．(2)设甲从B 组中任选2道题作答，答对题目数量为Y ，则Y ～B (2，0.6)，EY ＝2×0.6＝1.2＞EX ＝98，故甲应该选择B 组题答题．19．(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，已知AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，2AB ＝AC ＝AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为AC 的中点，G 为CD 的中点．(1)证明：AD ∥平面EFG ．(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值．【解析】(1)因为F 为AC 的中点，G 为CD 的中点，所以AD ∥GF ，又因为AD ⊄平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，所以AD ∥平面EFG ；(2)解法1：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0，0)，D (0，0，4)，C (0，4，0)，BC →＝(－2，4，0)，DC →＝(0，4，－4)，EF →＝(－1，2，0)，FG →＝(0，0，2)，设平面BCD 的法向量为n →＝(x ，y ，z )•BC →＝0•DC →＝0x ＋2y ＝0－z ＝0，令y ＝1，则n →＝(2，1，1)，设平面EFG 的法向量为m →＝(x 1，y 1，z 1)，•EF →＝0•FG →＝0x 1＋2y 1＝01＝0，令y 1＝1，则m →＝(2，1，0)，cos<m →，n →>＝m →•n →|m →||n →|＝306，故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306．解法2：取BD 的中点H ，连结EH ，GH ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交EF 于N ，连结DM 交GH 于O ，连结ON ，则H ∈平面EFG ，因为AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，所以AD ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，而AM ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADM ，又因为BC ∥GH ，所以GH ⊥平面ADM ，而平面EFG ∩平面BCD ＝GH ，所以∠MON 平即为面BCD 与平面EFG 所成角，由(1)可得：AD ∥平面EFG ，平面EFG ∩平面ADM ＝ON ，所以AD ∥ON ，∠MON ＝∠ADM ．而AM ＝AB •AC BC ＝455，DM ＝AM 2＋AD 2＝4305，cos ∠ADM ＝AD DM ＝306，故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306．20．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，a ≠0．(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )有3个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，所以f'(x )＝(x －a )(x －2a )x ，而a ≠0，所以当a ＞0时，f (x )的增区间为(0，a )和(2a ，＋∞)，减区间为(a ，2a )；当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；(2)因为f (x )有3个零点，所以a ＞0，f (a )＝2a 2(ln a －54)＞0，f (2a )＝2a 2(ln2a －2)＜0，解得：e 54＜a ＜e 22，此时f (1)＝12－3a ＜0，f (6a )＝2a 2ln6a ＞0，f (x )在(1，a )、(a ，2a )和(2a ，6a )各有1个零点，共有3个零点，满足题意，所以a 的取值范围为(e 54，e 22)．21．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为34，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为27．(1)求椭圆C 的方程．(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点，直线PF 1，PF 2与直线x ＝5分别交于A ，B 两点，记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝913，求|AB |．【解析】(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－7a 2＝916，所以a 2＝16，b 2＝7，C 的方程为：x 216＋y 27＝1．(2)F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P (x 0，y 0)(0＜x 0＜4且x 0≠3)，S 1S 2＝|PA |·|PB ||PF 1|·|PF 2|＝5－x 0x 0＋3·5－x 0|x 0－3|＝913，当x 0＜3时，(5－x 0)29－x 20＞1不成立，3＜x 0＜4时，(5－x 0)2x 20－9＝913，解得：x 0＝72，|y 0|＝1058，此时S 1＝12|AB |(5－x 0)＝34|AB |＝913S 2＝913×3|y 0|，故|AB |＝910526．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y ＝5，圆M 以(3，0)为圆心且与l 相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆M 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α(0＜α＜π2，ρ＞0)与圆M 交于点A ，B 两点，且1|OA |＋1|OB |＝17，求直线AB 的直角坐标方程．【解析】(1)圆M 的半径r ＝|3＋0－5|12＋12＝2，设P (ρ，θ)为圆M 上的任意一点，则在△OPM中，由余弦定理可得：2＝ρ2＋9－6ρcos θ，即：ρ2－6ρcos θ＋7＝0，故圆M 的极坐标方程为：ρ2－6ρcos θ＋7＝0；(2)令θ＝α，可得：ρ2－6ρcos α＋7＝0，1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝6cos α7＝17，解得：cos α＝16，而0＜α＜π2，故tan α＝35，直线AB 的直角坐标方程为y ＝35x ．23．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为M ．(1)解关于x 的不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|；(2)若正数a ，b 满足a 2＋2b 2＝M ，求2a ＋b 的最大值．【解析】(1)f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，当x ＝－1时可取等号，故M ＝3，不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|等价于|2x －1|＜3，解得：－1＜x ＜2，故原不等式的解集为(－1，2)；(2)由柯西不等式可得：(a 2＋2b 2)[22＋(22)2]≥(2a ＋b )2，即：2a ＋b ≤362，当且仅当a ＝4b ＝263时取等号，故2a ＋b 的最大值为263．。
江西省九江市2023届高三下学期三模数学(理)试卷及答案
九江市2023年第三次高考模拟统一考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|}2M x x =>，{|N x y ==，则()M N = R ð（）A.1{|0}2x x ≤≤ B.1{|0}2x x << C.1{|}2x x ≤ D.{|0}x x ≤2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（）A.1C.2D.3.抛物线212y x =的焦点坐标为（）A.1(,0)8 B.1(0,)8C.1(,0)2D.1(0,24.分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15︒.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（）A.814B.8168C.4D.35.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲乙两个小组各自随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表（频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则下列结论正确的是()甲158163361711233445688818378199频率/组距每穗粒数1502001901801701600.040.030.020.01乙6.已知0.22a =，0.5log 0.2b =，0.2log 0.4c =，则（）A.b a c >>B.b c a>> C.a b c>> D.a c b>>7.已知0π<<<αβ，且1cos 3α=，22cos()3αβ-=，则cos β=（）A.89B.79 C.429D.0A.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数B.甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数C.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数D.甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数8.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（）9.已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的导函数()y f x '=的图像如图所示，记()()()g x f x f x '=⋅，则下列说法正确的是（A.()g x 的最小正周期为2πB.6ϕ5π=-C.(4g π= D.()g x 在(0,6π10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +是奇函数，(1)f x-的图像关于直线1x =对称，则()f x （）A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，上单调递增C．在[20222024]，上单调递减D．在[20232025]，上单调递增DA C 图2图1榫卯B 11.已知双曲线22221x y a b-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1AB F B ⊥，13sin 5F AB ∠=，则该双曲线的离心率为（C ）C.2D.212.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1A BD △内一点(包括边界)，且线段1PA 的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段1PA 长度的最小值是（D ）C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.26(x 展开式中，2x 的系数为.BCDP1C 1B 1A 1D A 14.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 上一点，2BD DC =，则AD AB ⋅=.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12nn n a a ++=，则9S =.16.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x >，则a 的取值范围为,).BA CD三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）如图，圆内接四边形ABCD 中，已知2AB =，BC =2CDB ADB ∠=∠.(1)求ABC ∠；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.D ABC。
陕西省宝鸡市2023届高三下学期二模理科数学试题含解析
2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合{}40M x x =-<<，{}24N x x =<，则M N =（）A.{}20x x -<<B.{}22x x -<<C.{}44x x -<<D.{}42x x -<<2.设1z ，2z 为复数，则下列说法正确的为（）A.若22120z z +=，则120z z ==B.若12z z =，则1z ，2z 互为共轭复数C.若a ∈R ，i 为虚数单位，则()1i a +⋅为纯虚数D.若20z ≠，则1122z z z z = 3.直线l ：cos sin 1()x y ααα+=∈R 与曲线C ：221x y +=的交点个数为（） A.0B. 1C.2D.无法确定4.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为1S 和2S ，若125S S =，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（）A.12B.13C.23D.255.设a ，b ∈R ，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的（） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.ABC △中，5AB =，7AC =，D 为BC 的中点，5AD =，则BC =（） A.3 B.3 C.22 D.427.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，(),M x y 为C 上一动点，曲线C 在点M 处的切线交y 轴于N 点，若30FMN ∠=︒，则FNM ∠=（） A.60︒B.45︒C.30︒D.15︒8.已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（） A.()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增 B.()f x 在()0,2单调递减 C.()f x 的图像关于直线1x =对称D.()f x 有最小值，但无最大值9.设m ，{}2,1,0,1,2,3n ∈--，曲线C ：221mx ny +=，则下列说法正确的为（） A.曲线C 表示双曲线的概率为15B.曲线C 表示椭圆的概率为16C.曲线C 表示圆的概率为110D.曲线C 表示两条直线的概率为1510.点(),P x y 在不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域上，则xy 的最大值为（）A.94B. 2C.83D. 311.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为4的正方形，PBA PBC ∠=∠，PD AD ⊥，Q 为正方形ABCD 内一动点且满足QA QP ⊥，若2PD =，则三棱锥Q PBC -的体积的最小值为（）A.3B.83C.43D. 212.已知正实数x ，y ，z 满足235log log log 0x y z ==≠，给出下列4个命题： ①x y z <<②x ，y ，z 的方程x y z +=有且只有一组解 ③x ，y ，z 可能构成等差数列④x ，y ，z 不可能构成等比数列 其中所有真命题的个数为（） A. 1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.若a ，b ，c ，d 为实数，且a c ad bcb d=-，定义函数sin 3()2cos 2cos x xf x x x=，现将()f x 的图像先向左平移512π3()g x 的图像，则()g x 的解析式为______. 14.已知非零向量a ，b ，c 满足1a b a b ==-=且1c a b --=，则c 的取值范围是______.15.若函数31()3xxf x e ex ax -=-+-无极值点，则实数a 的取值范围是______. 16.如图，已知正四面体EFGH 和正四棱锥P ABCD -的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH 的侧面EGH 与正四棱锥P ABCD -的侧面P AB 重合（P ，E 重合；A ，H 重合；B ，G 重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______ ①PF CD ⊥ ②PF 与BC 异面 ③新几何体为三棱柱④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题12分）某市作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，该市22个市级部门联合启动了2022年市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍选行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中m 的值；（2）从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X ，求随机变量X 的分布列和期望. 18.（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，222CD AB AD ===，4PD =，AD CD ⊥，E 为棱PD 上一点.（1）求证：无论点E 在棱PD 的任何位置，都有CD AE ⊥成立； （2）若E 为PD 中点，求二面角A EC P --的余弦值. 19.（本小题12分）已知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}()0n n b b >的首项为c ，且前n 项和nS 满足11(2)n n n n S S S S n ---=≥.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，求使10102023n T >的最小正整数n . 20.（本小题12分）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>，F 为左焦点，A 为上顶点，()2,0B 72AF AB=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得12OPQ OMN S S =△△？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由（OPQ S △为OPQ △面积）. 21.（本小题12分） 已知函数2()ln ()2a f x x x x x a =+-∈R ，且()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x （12x x <）. （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：1220a x x +<+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求PM QM -. 23.（选修4-5：不等式选讲）（10分） 已知函数()11f x x x =-++. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDBACBCCBABC二、填空题：13.()2cos2g x x = 14.331⎡⎤⎣⎦15.{}2a a ≤ 16.①③④解答题答案17.解：（Ⅰ）由(0.00420.0220.0300.028)101m ⨯++++⨯=，解得0.012m =. （Ⅱ）由题意知不低于80分的队伍有()500.120.048⨯+=支， 不低于90分的队伍有500.042⨯=支. 随机变量X 的可能取值为0，1，2.∵36385(0)14C P X C ===，21623815(1)28C C P X C ===，1262383(2)28C C P X C ===， ∴X 的分布列为X 012P514 1528 32851533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. 18.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD CD ⊥， 因为AD CD ⊥，AD PD D =，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD ， 因为E 为棱PD 上一点， 所以AE ⊂平面P AD ， 所以CD AE ⊥.（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，因为222CD AB AD ===，4PD =，所以()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,2E ，()0,0,4P ， 所以()1,0,2EA =-，()0,2,2EC =-， 设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00EA n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2x z y z =⎧⎨=⎩，令1z =得()2,1,1n =，因为PD AD ⊥，AD CD ⊥，PD CD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD .所以平面PCE 的一个法向量为()1,0,0m DA ==， 所以26cos ,36n m n m n m⋅===， 因为二面角A EC P --为钝二面角， 所以二面角A EC P --的余弦值为：6. 19.解：（Ⅰ）∵1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为1()3nf n c c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴11(1)3a f c c =-=-，[][]22(2)(1)9a f c f c =---=-， [][]32(3)(2)27a f c f c =---=-， 数列{}n a 是等比数列，应有3212a a q a a ==，解得1c =，13q =. ∴首项112(1)33a f c c =-=-=-， ∴等比数列{}n a 的通项公式为12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∵1111(2)n n n n n n n n S S S S S S S S n -----==≥，又0n b >0n S >11n n S S -=； ∴数列{}nS 构成一个首项为1，公差为1的等差数列，1(1)1n S n n =+-⨯=，∴2n S n =，当1n =时，111b S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n b S S n n n -=-=--=-，又1n =时也适合上式， ∴{}n b 的通项公式21n b n =-. （Ⅱ）111111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴1111111112335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 由10102023n T >，得1010212023n n >+，得336.6n >，故满足10102023n T >的最小正整数为337. 20.解：（172AF AB =，即2272a a b =+ 由右顶点为()2,0B ，得2a =，解得23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=. （2）依题意可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690k y ky +--=，由韦达定理得122634k y y k +=+，122934y y k -=+， 则212121k y y +-= 联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，得2440y ky +-=， 由韦达定理得344y y k +=-，344y y =-， 所以23441y y k -=+，若12OPQ OMN S S =△△， 则123412y y y y -=-221211k k +=+63k =±，所以存在符合题意的直线方程为610x y ++=或610x y +=. 21.解：（1）()ln f x x ax '=+，因为()f x 在()0,+∞内有两个极值点， 所以()f x '在()0,+∞内有两个零点，即方程ln 0x ax +=有两个正实根， 即ln xa x=-有两个正实根， 令ln ()x g x x =-，2ln 1()x g x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递减， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(),e +∞上单调递增， 又()1g e e=-，画出函数()g x 的图象如图所示，由方程ln x a x =-有两个根，得10a e-<<. （2）证明：()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x ，由（1）可知，1122ln 0ln 0x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，则1221ln ln x x a x x -=-， 要证1220a x x +<+，只需122112ln ln 20x x x x x x -+<-+， 进一步化为122112ln ln 2x x x x x x -<--+， 从而得()1212122ln ln x x x x x x --<+，所以12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，设12x t x =，可知t 的取值范围是()0,1，则只需证2(1)ln 1t t t -<+， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()h t 在()0,1上单调递增，从而()()10h t h <=， 因此1220a x x +<+.22.解：（1）因为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以222222124363124363x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，所以曲线C 的普通方程为2243y x -=， 因为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 3sin 2ρθρθ=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为320x -=.（2）由（1）可得直线l 的参数方程3212x y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数）， 所以22134223s ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得23123320s s ++=， 设1PM s =-，2QM s =-， 则1243s s +=-，12323s s =， 所以()21212128163448333PM Q s s M s s =+--=-==. 23.解：（1）由题设知：113x x ++-<；①当1x >时，得()112f x x x x =++-=，23x <，解得312x <<； ②当11x -≤≤时，得()112f x x x =++-=，23<，恒成立；③当1x <-时，得()112f x x x x =---+=-，23x -<，解得312x -<<-； 所以不等式的解集为：33,22⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由二次函数222(1)1y x x m x m =--+=-+++，该函数在1x =-取得最大值1m +，因为2(1)()2(11)2(1)x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，所以在1x =-处取得最小值2，所以要使二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点， 只需12m +≥，即1m ≥.。
广西2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷(解析版)
广西2024届高三下学期4月模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据离心率定义与基本量关系求解即可.【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即.故选：C2. 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，再利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】因为，故复数的共轭复数为.故选：B.3. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）12142a 2c 242a c =⨯14c a =()i 67i -76i +76i -67i +67i--()i 67i -()2i 67i 6i 7i 76i -=-=+()i 67i -76i -()cos5f x x =15A. B. C D. 【答案】A 【解析】【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.【详解】由题意新函数解析式为.故选：A ．4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B 【解析】【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分析.【详解】如图，当时，与可相交也可平行， 故A 错；当时，由平行性质可知，必有，故B 对；如图，当时，或，故C 错；当时，可相交、平行，故D 错.故选：B..()cos 51y x =+1cos 55y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()cos 51y x =-1cos 55y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos5(cos(51)5y x x =+=+,l m ,αβ;l m αβ⊂⊂l m αβα βl βl m ⊥l β⊥αβ⊥l m//l m αβ//αβ//l βl m ⊥//l βl ⊆βαβ⊥,l m5. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.【详解】对于A ，，其定义域为，不符合题意；对于B ，，在上为减函数，不符合题意；对于C ，，在上单调递减，不符合题意；对于D ，，在上单调递增，符合题意；故选：D .6. 已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球的体积之比为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）A. 1 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱底面圆半径和球的半径相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.【详解】设圆柱底面圆半径为，球的半径为，则圆柱的高为，由，可得，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.故选：B7. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（）A. B. C. D. ()0,2()f x =()22f x x x=-()1f x x=()14f x x=()f x =[1,)+∞()22f x x x =-(01),()1f x x=()0,2()14f x x ==()0,2MM 'O 32MM 'O 3252MM 'r O R MM 'r O R MM '2r 2333π2334π223r r r R R ⋅==1r R=MM 'O 222222π4π334π22r r r R R +==0x =()()2f x x x a =-a (),0∞-3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得.【详解】由已知，，令得或，由题意是极小值点，则，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点，不合题意，综上，，即.故选：A .8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）A. 8 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】【分析】由回归方程的性质求出即可.【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，0x =32()f x x ax =-2()32f x x ax '=-23()3a x x =-()0f x '=0x =23a x =0x =203a≠203a<203a x <<()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 0x =203a >203a x <<()0f x '<()f x 0x <()0f x '>()f x 0x =203a<a<0x y ()()1122,,,,x y x y ()()()55,,6,28,0,28x y 7ˆ101667yx =+()6,28()0,28ˆ4yx m =+51140i i y ==∑m =,x y ,x y ,x y ,x y ''51140ii y==∑140285y ¢==2844y m mx '--'==又这两对数据为，所以，所以，所以故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到剔除前后的平均数.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合和关系的Venn 图如图所示，则可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】【分析】根据Venn 图可知 ，依次判定选项即可.【详解】根据Venn 图可知 ，对于A ，显然 ，故A 正确；对于B ，，则，故B 错误；对于C ，，则 ，故C 正确；对于D ，，或，则 ，故D 正确.()()6,28,0,28()114056287y =⨯+=()17166310x y =⨯-=760281654x mx m ---'==⇒=M N ,M N {}{}0,2,4,6,4M N =={}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣{}{}lg ,e 5xM xy x N y y ====+∣∣(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣N M N M N M {}11,{1}M xx N x x =-<<=>-∣∣M N ⊆{}{}0,5M xx N y y =>=>∣∣N M (){,M x y y x ==∣}y x =-(){},,N x y y x ==∣N M故选：ACD10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A ，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B ，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD ．【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，，A 错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B 正确；，当且仅当时等号成立，，C 正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D 错．故选：BC ．ABC ,,A B C ,,,a b c O ABC 1cos ,25A AO ==1144AO AB AC=+ 3AB AC ⋅≤ABC a 1133AO AB AC =+AB AC ⋅u u u r u u u rAB AC O ABC AO BC D D BC 22111()33233AO AD AB AC AB AC ==⨯+=+1133AO AB AC =+ 3AB AC AO +=22229()222AO AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅≥+⋅1cos 5AB AC AB AC A AB AC ⋅==5AB AC AB AC=⋅ 225292AB AC AB AC ⨯⋅+⋅≤⨯ 3AB AC ⋅≤ AB AC = 15cos AB AC AB AC A ⋅⋅=≤ AB AC = sin A ==11sin 1522ABC S AB AC A =≤⨯= 22229()2AO AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 222362365AB AC AB AC AB AC +=-⋅=-22222442cos 2cos 3636152455a b c bc A AB AC AB AC A AB AC =+-=+-⋅==-≥-⨯= a ≥AB AC =a11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）A. 的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的周期为2D. 【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据函数图象的变换性质判断即可；对B ，由题意计算即可判断；对C ，由A 可得，由B 可得，进而可判断C ；对D ，由结合与的对称性可得，进而，结合C 中的周期为4求得，进而可得.【详解】对A ，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A 正确；对B ，，，又，故.即，故图象关于直线对称，故B 正确；对C ，由A ，，且，的R ()f x ()()224f x f x x +--=()23f x -()2,1()00f =()f x ()1,1()()2g x f x x =-2x =()()2g x f x x =-()()()12502499f f f +++= ()()220g x g x +--=()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()224f x f x x +--=()00f =()f x ()()()()0,1,2,3f f f f ()()()()0,1,2,3g g g g ()g x ()()()1250g g g +++ ()()()1250f f f +++L ()23f x -()2,1()3f x -()4,1()f x ()1,1()()()()2222224g x f x x f x x -=---=-+-()()()()2222242g x f x x f x x +=+-+=+--()()224f x f x x +--=()()()()222240g x g x f x f x x +--=+---=()()22g x g x +=-()()2g x f x x =-2x =()()22f x f x +=--()()22f x f x -=-又因为，故，即，故，即.由B ，，故，故的周期为4，故C 错误；对D ，由，的图象关于点对称，且定义域为R ，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.【答案】200【解析】【分析】利用乘法原理，结合组合知识求解．【详解】第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，故答案为：200.()()224f x f x x +--=()()224f x f x x ----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4fx f x x --=()()()22f x x f x x -=---()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()()4g x g x g x =-=+()()2g x f x x =-()00f =()f x ()1,1()11f =()22f =()()224f x f x x +--=1x =()()134-=f f ()35f =()()2g x f x x =-()()000g f ==()()1112g f ==--()()2224g f ==--()()3361g f =-=-()g x ()()400g f ==()()()()()()()()()125012123412g g g g g g g g g ⎡⎤+++=⨯+++++⎣⎦ ()1241251=⨯---=-()()()12245010051f f f -+-++-=- ()()()()502100125024..100515124992f f f ⨯++++=+++-=-= ()()()()1,2,3,4g g g g ()g x 2356C C 200=13. 已知，则__________.【答案】1或-3【解析】【分析】由已知可得或，从而可求出的值.【详解】由 可得，所以 或，即 或，当时，当 时，，故答案为：1或-3.14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义求解．【详解】双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故答案为：2.2sin sin2αα=πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 0α=sin 2cos αα=πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭2sin sin2αα=2sin 2sin cos ααα=sin 0α=sin 2cos αα=tan 0α=tan 2α=tan 0α=πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭tan 2α=πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭12,F F 22:1412x y E -=M E 2F 12F MF ∠,N O ON =221412x y -=2a =2F N 1MF H 2MH MF =2NH NF =O 12F F 1121111()()2222ON F H MH MF MF MF a ==-=-==四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．【小问1详解】设的公差为，则，，又，所以，所以，．小问2详解】由（1）得，所以．16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.【{}n a 26a ={}1n n a a ++10a 2111n n n n b a a a -+=+{}n b n n S 21228n S n n <++1022a =d 1a n n S {}n a d 1212()()24n n n n n n a a a a a a d +++++-+=-==2d =26a =1624a =-=42(1)22n a n n =+-=+1022a =11114(44(1)(2)412n b n n n n n n =+=-+++++2212111(1)111()42222422284(2)8n n n n S b b b n n n n n n +=+++=-+⨯=++-<++++ [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.【答案】（1）； （2）分布列见详解；【解析】【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解；（2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.【小问1详解】由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；【小问2详解】从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.a [)[)30,40,80,90[)80,90X X 0.00564.5()2E X =a X 10(30.010.0150.032)1a +⨯++=0.005a =(354595)0.05(5565)0.3750.15850.164.5⨯+++++=⨯⨯⨯+[)[)30,40,80,90[)30,400.05620.050.1⨯=+[)80,90X ()212436C C 11C 5P X ===()122436C C 32C 5P X ===()632436C C 13C 5P X ===X XP 153515()131123 2.555E X =⨯+⨯+⨯=P ABCD -PAB ⊥ABCD ABCD 60ABC ∠= 2,AB E ===CD（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析． （2【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；（2）用空间向量法求二面角．【小问1详解】取中点，连接，如图，因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，所以，，从而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则为PBC ⊥PAE D AP E --AB O ,OP OC PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z AB O ,OP OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC ADC △E CD ,OC AB AE CD ⊥⊥OC AB ==//OC AE //CE AOAOCE AB ==222PA PB AB+=PA PB ⊥PAB112PO AB ==PO AB ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PO ⊂PAB PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z (1,0,0)B (0,0,1)P C (1,0,0)A -(E -(D -(1,0,1),1),(1,0,1),(1),(1)PB PC PA PE PD =-=-=--=--=--PBC (,,)m x y z =，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以，所以平面平面；【小问2详解】设平面的一个法向量是，则，取得，设二面角的大小为，由图知为锐角，所以18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1） （2）过定点，定点坐标为【解析】PB m x z PC m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =m = PAE 000(,,)n x y z =r0000000PA n x z PE n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 0=x n = 3030m n ⋅=+-= m n ⊥ PBC⊥PAE PAD (,,c)t a b =200PD t a c PA t a c ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 1b =t = D AP E --θθcos cos t θ= 2:2(0)C y px p =>F F 22:(3)1E x y ++=C O ()2,4,,P A B C P ,PA PB y ,M N O O MN AB 28y x =(0,2)-【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.【小问1详解】点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.【小问2详解】设，则方程为，方程为,联立与抛物线的方程可得，即,因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.F E 1EF +3162p ⎛⎫++=⎪⎝⎭(0,),(0,)M m N m -PA PB PA C A B AB F E 1EF +3162p ⎛⎫++= ⎪⎝⎭4p =C 28y x =(0,),(0,)M m N m -PA 42m y x m -=+PB 42my x m +=-PA C 21616044m y y m m -+=--()4404m y y m ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭A 44A m y m =-A ()222284A A y m x m ==-A ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭B ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪- ⎪++⎝⎭AB 2216A B A B y y m k x x m --==-B AB ()2222416244m m m y x m m m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++⎝⎭22162m y x m-=-AB (0,2)-()f x ,P Q ()y f x =P Q ,P Q ()y f x =PQ ()y f x =（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；（3）设对应切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小的范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论．【小问1详解】不是，理由如下：的52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+()1e ,0,46,0,x x g x x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()y g x =()cos h x x =PQ ()y h x =PQ 12,,,n k k k ()123,4,5,,i k k k i n >>= 12158k k <2y x =+()g x '1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''22x x '<111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-1x 11112cos sin π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =1x 15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-12cos 01cos x x <<由已知，由解得，，又，，不妨设切点为，，在点处的切线的方程为，即，在点的切线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”．【小问2详解】由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；【小问3详解】证明：设对应的切点为，，对应的切点为，2()2f x x x '=-+2()21f x x x'=-+=11x =22x =3(1)2f =-(2)2ln 22f =-3(1,2P -(2,2ln 22)Q -P 312y x +=-52y x =-Q 2ln 222y x -+=-42ln 2y x =-+52y x =-52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+12e ,0()4,0x x g x x x+⎧≤>'⎪=⎨⎪⎩1e (0)x y x +=≤24(0)y x x =>1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<P 11111e e ()x x y x x ++-=-Q 222244(6)()y x x x x --=-1112211224e 44e (1)6x x x x x x ++⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩2x 111(1)121e (1)4e 60x x x ++--+=1(1)12()e(1)4e6x x t x x ++=--+0x ≤111(1(1)1)1222()e 2e e [e 2]0x x x x t x x x ++++'=-=-<）()t x (1)0t -=()0t x =0x ≤=1x -111(1)121e(1)4e60x x x ++--+=11x =-22x =(1,1)P -11y x -=+2y x =+(2,4)Q 42y x -=-2y x =+2y x =+1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''，由于，所以，，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，则，，其中，所以，又，，即，，时，，，令（），则，，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以．【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．22x x '<(cos )sin x x '=-111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=11111111111cos cos cos(π)cos 2cos (π)π2x x x x x k x x x x x '----===---'-22222222222cos cos cos(3π)cos 2cos (3π)3π2x x x x x k x x x x x '----===---'-21ππ2x x -<<<-2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-11112cos sin π2x k x x -==--22222cos sin 3π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-2223πcos ()sin 2x x x =-ππ2x -<<-sin 0x <cos 0x <cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =222222sin cos 1cos ()110sin sin sin x x xF x x x x--'=+=-+=-<()F x π(π,)2--5π5ππ(0662F -=--<15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-211cos cos 0x x -<<<12cos 01cos x x <<221122113π3π3π(π)cos 15222πππ5πcos 8()2226x x k x k x x x ----=⋅<<=----1122(,),(,)x y x y 121212()()y y f x f x x x -''==-。
2023届宁夏回族自治区银川一中高三下学期第二次模拟考试 数学(理)答案
银川一中2023届高三第二次模拟数学(理科)参考答案一、单选题1．【答案】A【分析】根据给定条件，求出复数z 及z ，再利用复数除法运算求解作答.【详解】依题意，12z i =+，则12i z =-，所以12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+.故选：A2．【答案】D 【分析】由已知可推得2B ∈，代入即可解得2m =-，代入即可得出答案.【详解】由题意可知，2B ∈，即2220m -+=，所以2m =-，所以，{}{}2202,1B x x x =--==-.故选：D.3．【答案】C【分析】根据含量词命题的否定形式可得到原命题，通过反例可说明原命题为假命题.【详解】 命题P 的否定为特称命题，P ∴：x ∀∈R ，211x +>，当0x =时，211x +=，P ∴为假命题，ABD 错误，C 正确.故选：C.4．【答案】B【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，随机选取两个不同的数，基本事件总数27C 21n ==，其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)，共6个，所以62217P ==.故选：B 5．【答案】B【分析】执行程序即可算出其输出值结果.【详解】由题意可知，流程图的功能为计算111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值，裂项求和可得：111111111122334455566S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.6．【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A ：函数2y x =-+的定义域为R ，值域也为R ，不符合题意；对于B：函数y =的定义域和值域都为[)0,∞+，不符合题意；对于C ：2y x =的定义域和值域都为{}0x x ≠，不符合题意；对于D ：2,02,0x x y x x -≤⎧=⎨+>⎩的定义域为R ；当0x ≤时，22y x =-≤-；当0x >时，22y x =+>；所以值域为(](),22,∞∞--⋃+，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D ．7．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.【详解】因为()2cos 75cos152sin 75sin152cos 15750a b ⋅=-=+=，2a = ，1b = .所以()()222280a b a b a b λλλ+⋅-=-=-= .所以8λ=.故选：A 8．【答案】A 【分析】由题意求出双曲线的一条渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，根据离心率的计算公式可得答案.【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为π,(0,)2αα∈，则另一条渐近线的倾斜角为5α，由双曲对称性可得π5π,=6ααα+=∴，则一条渐近线的斜率为πtan 6=设双曲线的长半轴长为a ，短半轴长为b，则b a =，故离心率为3e ==，故选：A 9．【答案】C 【分析】根据已知条件求得123R h =，243R h =，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为1h ，大球缺的高为2h ，则122h h R +=，①由题意可得：122π12π2Rh Rh =，即：212h h =，②所以由①②得：123R h =，243R h =，所以小球缺的体积23112228ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，大球缺的体积23214480ππ333381R R R V R ⎛⎫⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以小球缺与大球缺体积之比为313228π78180π2081R V R V ==.故选：C.10【答案】B 【分析】由判别式可解得6k ，由根与系数关系可得121212111331x x k x x x x k k ++===++ ，由k 的范围结合不等式的性质变形可得答案．【详解】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++=1331kk k==++，6k ，∴1106k <，3102k <，故33112k <+，∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23.故选：B 11．【答案】B 【分析】根据二倍角公式得到11tan 10γ=，代入式子得到22111061410hhD d ==++，解得答案.【详解】10sin 211cos 21γγ=+，即220sin cos 10tan 112cos γγγγ==，所以11tan 10γ=，22111061410h h D d ==++，解得66h =，故选：B.12．【答案】B【分析】结合229x y +≥可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线Γ的图象，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由题意得：2290x y +-≥，即229x y +≥，即曲线Γ上的点(),x y 为圆229x y +=上或圆229x y +=外的点，由221033x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得：22133y x -=或229x y +=，由22221339x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得：xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧⎪⎨⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由此可得曲线Γ的图象如下图所示，由图象可知：当()3,m ∈- 时，直线y m =与曲线Γ有四个不同交点；∴实数m的取值范围为()3,- .故选：B.二、填空题13．【答案】11【分析】根据题设的抽取方式，结合随机表法依次写出所得编号，即可得答案.【详解】由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05，所以第5个个体的编号为11.故答案为：1114．【答案】2【分析】由题，利用导数及韦达定理可得37a a，后利用等比中项性质可得答案.【详解】()284f x x x '=-+，由题37a a ，是方程2840x x -+=的两个不等实根，则由韦达定理373740,80a a a a =>+=>，所以370,0a a >>又5a 是37a a ，的等比中项且5a 与37a a ，同号，则2555402a a a =>⇒=,.故答案为：2.15．【答案】60︒【分析】把展开图恢复到原正方体，得到AE //DC ，从而得到∠BAE 或其补角是异面直线AB 与CD 所成的角，从而可解.【详解】如图所示，把展开图恢复到原正方体．连接AE ，BE ．由正方体可得//CE AD 且CE AD =，∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AE //DC ．∴BAE ∠或其补角是异面直线AB 与CD 所成的角．由正方体可得：AB AE BE ==，∴ABE 是等边三角形，∴60=︒∠BAE ．∴异面直线AB 与CD 所成的角是60°．故答案为：60°16．【答案】1【分析】构造函数()x f x e =，设切点为11(,)x y ，设()ln g x x =，设切点为22(,)x y ，结合条件得到12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x =交点的横坐标，利用对称性得出1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而得出12e x x =，12ln x x =，然后计算出12k k ．【详解】设()x f x e =，则()e x f x '=，设切点为11(,)x y ，则11e x k =，则切线方程为111e ()x y y x x -=-，即111e e ()x x y x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以1111e e (1)x x x --=--，所以11e 1x x =，设()ln g x x =，则1()g x x '=，设切点为22(,)x y ，则221k x =，则切线方程为2221()y y x x x -=-，即2221ln ()y x x x x -=-，直线1(1)1y k x =+-过定点(1,1)--，所以22211ln (1)x x x --=--，所以22ln 1x x =，则12,x x 是函数()f x e x =和()ln g x x =的图象与曲线1y x =交点的横坐标，易知()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，而曲线1y x =也关于直线y x =对称，因此点1122(,),(,)x y x y 关于直线y x =对称，从而12e x x =，12ln x x =，所以1122e 1x k k x ==．故答案为：1.三、解答题17．【答案】(1)21n a n =+；(2)详见解析.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 关系，即可求解；（2）根据{}n b 通项公式，用裂项相消法求出和n T ，即可证明结论.【详解】（1）由设数列{}n a 的公差为d ，则11393315a d a d +=⎧⎨+=⎩解得2d =，13a =，所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+；（2）由21n a n =+，可得111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +===-++++，所以12n n T b b b =+++ 1111111()()()235572123n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦11111()2323646n n =-=-++,又1046n >+，故.18．【答案】(1)12(2)分布列见解析，()87E X =(3)3月3日【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.（2）根据题意得到0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7PX ===，再写出分布列数学期望即可.（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.【详解】（1）令时间A 为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故()3162P A ==.（2）由（1）知：0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7P X ===，X的分布列为：X 012P 174727()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在[]20,25，[)15,20，[)10,15，[)5,10，[)0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530⨯=人，2000.2550⨯=人，2000.360⨯=人，2000.240⨯=人，2000.120⨯=人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.19．【答案】(1)26y x =(2)证明见解析【分析】（1）将(6,6)M -代入抛物线即可求解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为,(0)my x t t =-≠，将直线l 与抛物线进行联立可得12126,6y y m y y t +==-，结合OA OB ⊥可得6t =，即可求证【详解】（1）因为抛物线C 过点(6,6)M -，∴2(6)26p -=⨯，解得3p =，∴抛物线C 的标准方程为26y x =．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为,(0)my x t t =-≠，联立26my x ty x =-⎧⎨=⎩，化为2660y my t --=，236240m t ∆=+>，∴12126,6y y m y y t +==-，∵OA OB ⊥，∴()212121236y y OA OB x x y y ⋅=+= 12661036t y y t -⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，0t ≠，16n T <解得6t =，满足236240m t ∆=+>，∴直线l的方程为6my x =-，∴直线过定点()6,0．20．【答案】(1)存在，理由见解析【分析】（1）根据面面平行的判定定理、性质定理分析证明；（2）根据题意结合长方体的外接球可得12AA =，建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）当点D 为AB 的中点时，1O D 平面1A AC ，证明如下：取AB 的中点D ，连接OD ，∵O ，D 分别为BC ，AB 的中点，则OD AC ，OD ⊄平面1A AC ，AC ⊂平面1A AC ，∴OD 平面1A AC ，又∵1OO 1AA ，1OO ⊄平面1A AC ，1AA ⊂平面1A AC ，∴1OO 平面1A AC ，1O O OD O ⋂=，1,O O OD ⊂平面1OO D ，∴平面1OO D 平面1A AC ，由于1O D ⊂平面1OO D ，故1O D ∥平面1A AC .（2）∵BC 是O 的直径，可得90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥，且2BC =，30ABC ∠=︒，故AB =1AC =，又∵1AA ⊥平面ABC ，且,AB AC 平面ABC ，∴11,AA AB AA AC ⊥⊥，即AB ，AC ，1AA 两两垂直，且点1A ，A ，B ，C 可知该球为以AB 、AC 、1AA 则(22221AB AC AA ++=，可得12AA =，以A为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则()0,0,0A，)B ，()0,1,0C ，()10,0,2A ，得)12A B =- ，()10,1,2AC=- ，设(),,n x y z =r 为平面1A BC 的一个法向量，则112020n A B z n A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2x=，则y z =，可得(2,=r n ，且()0,1,0AC = 为平面1A AB 的一个法向量，设二面角1C A B A--为θ，则cos cos ,19AC n AC n AC n θ⋅===uuu r r uuu r r uuu r r ，所以二面角1C A B A --的余弦值为19.21．【答案】（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围；（2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明；②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明.【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221a f x x x '=+++.（1）由()01f '=，可得2202a ++=，8a =-.又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增.故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增，故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立，即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+，即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤，解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<>令：11x k =+，得11ln(111k k +<++，即：12ln()11k k k +>++∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2即证.【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.22．【答案】(1)C 的极坐标方程为2sin22ρθλ=，ππ,Z 2k k θ≠+∈，l的直角坐标方程为40x +=(2)1λ=【分析】（1）消去参数得到C 的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出l 的直角坐标方程；（2）将()π12θρ=∈R 代入C 的极坐标方程，求出,A B 的坐标，得到AB 为直径的圆的圆心和半径，根据相切关系得到方程，求出答案.【详解】（1）将曲线C 的参数方程x ty tλ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去t ，得C 的普通方程为xy λ=，且因为0t ≠，所以0x ≠，将cos ,sin x y ρθρθ==，ππ,Z 2k k θ≠+∈，代入xy λ=，得2sin cos ρθθλ=，即2sin22ρθλ=，ππ,Z 2k k θ≠+∈，即为C 的极坐标方程，由直线l 的方程πsin 26ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简得1sin cos 222ρθρθ-=，化简得40x +=，即为l 的直角坐标方程.（2）将直线π12θ=代入2sin22ρθλ=，得24ρλ=，即12ρρ==-故以AB 为直径的圆圆心为O，半径r =圆心O 到直线l的距离2d =，由已知得2=，解得1λ=.23．【答案】(1)(0,4)【分析】（1）根据零点分区间，分类求解即可，（2）根据绝对值三角不等关系可得21a =，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当1a =-时，()4f x <等价于|1||3|4x x -+-<，当1x ≤时，13420x x x -+-<⇒-<，则01x <≤，当13x <<时，13424x x -+-<⇒<，则13x <<，当3x ≥时，134244x x x -+-<⇒-<，则34x ≤<，综上所述，不等式()4f x <的解集为(0,4)．（2）()3(3)2f x x a x a x a x a a =+++≥+-+= ，当且仅当()(3)0x a x a ++≤等号成立，min ()|2|2f x a ∴==，即21a =，24()()a m a m n -+= ，∴22241a m n =+=，∴2222222211445()59()n n m mn m m n mn ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当224()()mn mn =，即2()2mn =，即213m =，26n =时，等号成立，故221n m +的最小值为9。
广东省广州市广东二师番禺附中2024学年高三下学期第二次模拟考试(数学试题理)试题
广东省广州市广东二师番禺附中2024学年高三下学期第二次模拟考试（数学试题理）试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤2．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．633．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．1322i - B ．3122i + C ．1322i + D ．3122i - 4．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．332B ．3C ．33D ．235．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．56．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④7．已知实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34x y +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14±D ．149．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-10．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C- D11．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A．12-+ B．12i C．12-- D．12i - 12．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <D ．b a >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（ ）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（ ） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（ ） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（ ）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为 ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（ ） A ．sin sin x y <B <C ．21x y -<D ．11x y x y <++ 11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（ ）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ） 对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意． 在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意 即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个； 设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时 如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个． 故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误； 由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确； 对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确； 对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去； 当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意； 综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称； 若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74． 故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+； 解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．； ．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系 则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”， 设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题(解析版)
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试时间：120分钟满分：150分命题：高三集备组审核：高三集备组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合2{10}A x x =->，2{log 0}B x x =>，则A B ⋂等于（）A .{1}x x > B.{0}x x > C.{1}x x <- D.{1x x <-或1}x >【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式210x ->和对数不等式2log 0x >化简集合，再求交集.【详解】不等式210x ->解得1x <-或1x >，集合{1A x x =<-或1}x >，不等式22log 0log 1x >=，解得1x >，集合{1}B x x =>{1}A B x x ∴⋂=>．故选：A ．2.已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=，则（）A.11010a a +>B.11010a a +< C.3990a a += D.5151a =【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的性质可得110121005052512a a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，进而可得到答案.【详解】根据等差数列的性质，得110121005052512a a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，因为1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以510a =，所以11013995120a a a a a +=+==，故选：C ．3.若函数()(ln f x ax =+是奇函数，则a 的值为（）A.1B.－1C.±1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇函数的概念可得((ln ln 0ax ax -++=，进而结合对数的运算即可求出结果.【详解】因为()(ln f x ax =+是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即((ln ln 0ax ax -+++=恒成立，所以()22ln 110a x ⎡⎤-+=⎣⎦，即()2210a x -=恒成立，所以210a -=，即1a =±．当1a =时，()(ln f x x =+，定义域为R ，且()()0f x f x -+=，故符合题意；当1a =-时，()(ln f x x =-+，定义域为R ，且()()0f x f x -+=，故符合题意；故选：C.4.将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（）A.13B.12C.23D.56【答案】D 【解析】【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人共有的选择数，再求出甲、乙两人被分到同一个工作岗位的选择数，再利用古典概型求概率公式及对立事件求概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人，则必有2人分配到同一个工作岗位，先从4人中选出2人，有24C =6种选择，再进行全排列，有33A =6种选择，故总的方法有2343C A 36=种，其中甲、乙两人被分到同一个工作岗位的情况：从3个岗位中选出一个分配给甲乙，再将剩余的丙丁和剩余的两个岗位进行全排列，有1232C A 6=种选择，所以甲､乙二人分配到同一个工作岗位的概率为61366=，故甲､乙二人分别去了不同工作岗位的概率为151=66-.故选：D5.设,a b为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为12b - ，则2a b -= （）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为a 在b方向上的投影向量为12b - ，所以()111222a b b b a a b b a b a b b⋅-=⋅⋅⇒-=⋅⋅⇒⋅=-⋅，所以有2a b -==，故选：D 6.已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】首先由()()()P A P AB P AB =+求出()P AB ，再由条件概率公式计算可得.【详解】因为()()()P A P AB P AB =+，3()5P A =，()15P AB =，所以()()()25P AB P A P AB =-=，所以()()()1|2P AB P A B P B ==，则()()()2451|52P AB P A B P B ===.故选：D7.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A 【解析】【详解】，故选A.考点：抛物线的标准方程及其性质8.在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A.22B.332C.6D.32【答案】B 【解析】【分析】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=，AC x =，即可表示出CB ，CD ，在BCD △中利用正弦定理2cos sin(60)32x θθ=-︒，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.【详解】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，令AC x =()0x >，则2CB x =，cos CD x θ=，在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，cos sin(60)x θθ==-︒1322=，可得33tan 2θ=，即33tan 2ACD ∠=．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到BCD △中利用正弦定理得到关系式.二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数12,z z ，下列结论正确的是（）A.若12z z =，则2212z z = B.1212z z z z -=-C.若120z z =，则10z =或20z = D.若10z ≠且12z z =，则2121z z =【答案】BCD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断C ；设()1i,,R z a b a b =+∈，通过复数计算即可判断D.【详解】对于A ，设11i z =+，则21i z =-，所以221(1i)2i z =+=，而221(1i)2i z =-=-，所以2212z z ≠，故A 不正确；对于B ，设12i(,),i(,)R R z a b a b z c d c d =+∈=+∈，则1212()()i (i)(i)z z a c b d a b c d z z -=---=---=-，故B 正确；对于C ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故C 正确.对于D ，设()221i,,R,0z a b a b a b =+∈+≠，则1z ()i,,R a b a b =-∈，所以21z ()()22i i a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z =，故D 正确.故选：BCD.10.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3C ︒，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3C ︒人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）A.中位数为3，众数为2B.均值小于1，中位数为1C.均值为3，众数为4D.均值为2【答案】BD 【解析】【分析】先设出7天体温高于37.3C ︒人数，并按大小关系排好顺序.A ，C 可通过列举法判定；B ，D 可通过放缩法判定.【详解】设连续7天体温高于37.3C ︒人数依次为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，则k a N ∈，1,2,3...,7k =.将1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 按顺序从小到大依次记为1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，7b ，且k b N ∈，1,2,3...,7k =.A 选项：由中位数为3得43b =，又众数为2，所以5b ，6b ，7b 的值无法确定，故选项A 错误；B 选项：由中位数为1得41b =，由均值小于1得127 (17)b b b +++<，有71271 (177)b b b b ++++<<，76b <，故选项B 正确；C 选项：由均值为3得，127 (37)b b b +++=，127...21b b b +++=，取10b =，231b b ==，4564b b b ===，77b =，满足众数为4，但有1天有7人体温高于37.3C ︒，故选项C 错误；D 选项：由均值为2得，127 (27)b b b +++=，127...14b b b +++=，<=，所以()27214b-<，所以75b≤，故选项D正确.故选：BD.11.已知12212log,log2ba a b⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（）A.22a ba b-+=+ B.22b aa b-+=+C.121eb a+> D.112ea b->【答案】AD【解析】【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式e1x x≥+即可判断C；利用不等式ln1≤-x x即可判断D.【详解】对A，由图可知：2xy=与12logy x=交点(),2aA a，()01a<<2logy x=与12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点(),2,(1)bB b b->，根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A，B关于y x=对称，故22baab-⎧=⎨=⎩，22a ba b-+=+，故A正确；对B，由A知22b aa b-+=+，故B错误；对C，由2ba-=知21ba=，则1211ba+=+，设()e1xf x x=--，x∈R，则()e1xf x'=-，则当(),0x∞∈-时，()0f x'<，此时()f x单调递减；当()0,x∞∈+时，()0f x'>，此时()f x单调递增；则()()00f x f≥=，则e10x x--≥恒成立，即1e xx+≤，当0x=时取等；令1xa=，则有111eaa+≤，因为10≠a，则111eaa+<，即121eb a+<，故C错误；对D，设()ln1h x x x=+-，()0,x∞∈+，则()1xh xx'-=，则当()0,1x∈时，()0f x'>，此时()f x单调递增；当()1,x ∞∈+时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；则()()10h x h ≤=，即ln 10x x +-≤在()0,∞+上恒成立，即ln 1≤-x x 在()0,∞+上恒成立，当1x =时取等，令1x b =，则11ln 1b b⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，即1ln 1b b ≥-，因为1b >，则1ln 1b b >-，则11e b b ->，故112eabb -=>，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题AB 选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD 选项的关键在于两个不等式e 1x x ≥+和ln 1≤-x x 的运用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,36π，侧面积为64π，则该圆台的高为__________.【答案】【解析】【分析】根据圆台的性质和有关公式进行计算可得结果.【详解】做圆台的轴截面，如图：由题意得：圆台的上､下底面的半径分别为2，6，设圆台的母线长为l ，高为h ，则该圆台的侧面积()π2664πS l =⨯+⨯=侧，解得8l =，所以h ==故答案为：13.421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______．【答案】49【解析】【分析】利用多项式乘法法写出展开式的通项，令x 次数为0即为常数项．【详解】421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()444214444422C ()11C C 12C C mr r r rr r m r m m r m r mr r r T x x x x x -----+--⎛⎫=+⨯-=-=- ⎪⎝⎭，m r ≤，当0,4m r ==时，常数项为1；当1,2m r ==时，得常数项为()21214212C C 24-=；当2,0m r ==时，得常数项为()02024412C C 24-=；所以展开式中的常数项为1242449++=.故答案为：49.14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调，其中ω为正整数，π||2ϕ<，且ππ32f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则()y f x =图象的一个对称中心是______；若π342f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则ϕ的值为______．【答案】①.5π,012⎛⎫⎪⎝⎭答案不唯一②.π6##30︒【解析】【分析】根据单调区间，以及2π3πf f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得0π32π2f ⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，进而可得对称中心；先根据单调区间求出ω的可能取值，然后根据342f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得到ω和ϕ的关系，根据关系以及ω的可能取值对照验证计算即可.【详解】因为()f x 在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且2π3πf f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,π,ππ2π2π,36363π2⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π32π212π0f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以()y f x =图象的一个对称中心是5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；由题设，()f x 的最小正周期ππ2π2,362362ππππT ⎛⎫≥⨯-=-=< ⎪⎝⎭，故2π2Tω=≤，由N ω*∈，得1,2ω=，由5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()()sin f x x ωϕ=+的一个对称中心，所以115π12π,k k ωϕ+=∈Z ①；因为342f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2πππ243k ωϕ+=+或2332π,2π43πk k k ωϕ∈+=+Z 、.若2πππ243k ωϕ+=+②，①-②得()12122ππ,63πk k k k ω=-+-∈Z 、，即()1212262,k k k k ω+-∈=-Z 、，不存在整数12k k 、，使得1,2ω=.若332π243ππ,k k ωϕ+=+∈Z ③，①-③得()13132π2ππ,63k k k k ω=-+-∈Z 、，即()1313462,k k k k ω=-+-∈Z 、，不存在整数13k k 、使得1ω=，当1321k k =+时，2ω=.此时333π=π2πππ2232,6k k k ϕ=-++∈Z ，由π2ϕ<，得π6ϕ=.故答案为：5π,012⎛⎫⎪⎝⎭；π6【点睛】思路点睛：解决本题的思路是通过ππ2π2,362362ππππT ⎛⎫≥⨯-=-=<⎪⎝⎭确定1,2ω=，联立5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭和342f π⎛⎫=⎪⎝⎭可得()12122ππ,63πk k k k ω=-+-∈Z 、或()13132π2ππ,63k k k k ω=-+-∈Z 、，分别验证是否有1,2ω=，即可求得ϕ.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比()%i y ：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码i x 12345iy 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8（1）求2017—2021年年份代码i x 与i y 的样本相关系数（精确到0.01）；（2）请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y 关于x 的经验回归方程；（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()55212111,,7ˆˆˆ0.6,133.69niii i i i ni i i i x x y y bay bx x y y x x ====--⎛⎫==-== ⎪⎝⎭-∑∑∑∑附：样本相关系数，()()6niix x y y r --=∑．【答案】（1）0.98-（2） 0.59 6.87y x =-+（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%【解析】【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数()()niix x y y r --=∑（2）由（1）知0.98r ≈-，r 接近1，即可说明线性相关关系极强；根据（1）中求出的数据，即可求出ˆ0.59b =-，ˆ 6.87a=，进而得到回归直线方程；（3）将8x =代入回归直线方程，即可预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.【小问1详解】由己知可得，1234535x ++++==，6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 5.15y ++++==，由题可列下表：i x x -2-1-012i y y- 1.30.40.1-0.3- 1.3-()()51i i i x x y y =--=-∑()()55.90.986iix x y y r ---=≈-∑．【小问2详解】由小问1知，y 与x 的相关系数0.98,r r ≈-接近1，所以y 与x 之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．由小问1知，()()()515215.9ˆ0.5910iii i i x x y y bx x ==---===--∑∑，ˆˆ 5.1(0.59)3 6.87ay bx =-=--⨯=，所求经验回归方程为 0.59 6.87y x =-+．【小问3详解】令8x =，则 0.598 6.87 2.15y =-⨯+=，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%．16.已知函数()ln(1)()f x ax x a =--∈R ．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值【答案】（1）(1)y a x =+；（2）1a =-【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由()ln(1)f x ax x =--，得1()(1)1f x a x x'=+<-，当0a ≥时，不符合题意；当a<0时，()f x 最小值为111ln()f a a a ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，若()0f x ≥恒成立，则1ln()0a a ++-≥，设()1ln()(0)x x x x ϕ=++-<．根据导数研究()ϕx 的最大值，即可求出a 的值.【小问1详解】定义域为(,1)-∞，由()ln(1)f x ax x =--，得1()(1)1f x a x x'=+<-，因为(0)0,(0)1f f a '==+，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】定义域为(,1)-∞，11()11ax a f x a x x'-++=+=--，①当0a ≥时，(1)ln 20f a -=--<，不符合题意．②当a<0时，令()0f x '=，解得11x a=+，当1,1x a ⎛⎫∈-∞+⎪⎝⎭时，()0,()'<f x f x 在区间1,1a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减，当11,1x a ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0,()'>f x f x 在区间11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当11x a=+时，()f x 取得最小值111ln()f a a a ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭；若()0f x ≥恒成立，则1ln()0a a ++-≥，设()1ln()(0)x x x x ϕ=++-<，则11()1x x x xϕ'+=+=，当(,1)x ∈-∞-时，()0,()x x ϕϕ'>在区间(,1)-∞-上单调递增，当(1,0)x ∈-时，()0,()x x ϕϕ'<在区间(1,0)-上单调递减，所以()(1)0x ϕϕ≤-=，即1ln()0a a ++-≥的解为1a =-．所以1a =-.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC =，1AB =，E ，F 分别为1AC ，1BB 的中点，且EF ⊥平面11AA C C ．（1）求棱BC 的长度；（2）若111BB A B ⊥，且1△A FC 的面积12△A FC S =，求二面角11B A F C --的正弦值．【答案】（1）1（2）32【解析】【分析】（1）根据平行关系可得EF DB ，再结合垂直关系可得DB AC ⊥，即可得结果；（2）根据题意分析可得1BB ⊥平面ABC ，12AA =，建系，利用空间向量求二面角.【小问1详解】取AC 中点D ，连接ED ，BD ，∵,D E 分别为1,AC A C 的中点，则DE 1AA 且112DE AA =，又∵111ABC A B C -为三棱柱，且F 分别为1BB 的中点，则BF 1AA 且112BF AA =，可得DEBF 且DE BF =，即四边形DEFB 为平行四边形，故EF DB ，又∵EF ⊥平面11AA C C ，则DB ⊥平面11AA C C ，AC ⊂平面11AA C C ，可得DB AC ⊥，又∵D 为AC 的中点，则△ABC 为等腰三角形，∴1BC AB ==.【小问2详解】由（1）可知：1BC AB ==，且AC =，即222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，则可得2EF DB ==，且1111A B B C ⊥，∵EF ⊥平面11AA C C ，1AC ⊂平面11AA C C ，则1EF A C ⊥，∴111112222△A FC S A C EF A C =⋅=⨯=，解得12A C =，由（1）知DB ⊥平面11AA C C ，1AA ⊂平面11AA C C ，则1DB AA ⊥，又∵1AA 1BB ，则1DB BB ⊥又∵111BB A B ⊥，AB 11A B ，则1BB AB ⊥，AB DB B = ，,AB DB ⊂平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，则1BB AC ⊥，且1AA 1BB ，可得1AA AC ⊥，∴1AA C △为直角三角形，则1AA ==以1B 为坐标原点，向量11B C ，11B A ，1B B方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系1B xyz -，则()10,0,0B ，()10,1,0A ，()11,0,0C，(C，(B ，20,0,2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，可得120,2A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(11,AC =-，设平面1A FC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则11112020n A F y z n A C x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令1y =，则1,x z =-=，可得(1n =-，∵平面11B A F 的一个法向量为()21,0,0n =，设二面角11B A F C --的平面角为()0,πθ∈，可得121211cos 212n n n n θ⋅===⨯⋅u r u u r u r u u r ，∴sin 2θ==，故二面角11B A F C --的正弦值为2.18.设F 是双曲线Γ：221x y -=的左焦点，经过F 的直线与Γ相交于M ，N 两点．（1）若M ，N 都在双曲线的左支上，求OMN 面积的最小值．（2）是否存在x 轴上一点P ，使得PM PN ⋅为定值?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1（2）存在这样的定点2,20⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭P 【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，即可由弦长公式以及点到直线距离公式求解长度，利用面积公式以及二次函数的性质即可求解，（2）由向量数量积的坐标运算，即可结合韦达定理化简求解.【小问1详解】设直线MN的方程为x my =，()11,M x y ，()22,N x y ．由221x my x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩可得()()221101m y m --+=≠±，由根与系数的关系可知122221y y m +=-，12211y y m =-①．此时()222212111m MN m m +=--．原点O到直线MN的距离为d =此时()222111221OMNm S d MN m +===-△．由M ，N 都在双曲线的左支上知()1212201x x m y y m =+-+-<，122201x x m -=>-，得11m -<<，令()2110m t t -=-≤<，则2221111144244OMNS t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，由于(]1,1t ∞∈--，所以当11t=-，即1t =-时，此时取最大值，则OMN S ≥△，当1t =-，即0m =时，等号成立．【小问2详解】假设存在这样的定点(),0P n ．当直线的斜率不为0时，由（1）知()()()()()()112212121212,,PM PN x n y x n y x n x n y y my n my n y y ⋅=-⋅-=--+=--+())())2212121m y y mn y y n=+-⋅++②．将①代入②可得())222311m PM PN nm --+⋅=+- ，此时要想PM PN ⋅ 为定值，则3111--=-，得22n =-，从而12PM PN ⋅=- ．即存在这样的定点2,20⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭P 满足题意．当直线的斜率为0时，易知()()2111PM PN n n n ⋅=+-=- ，若2,20⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭P ，则12PM PN ⋅=- ，满足题意.综上，存在2,20⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭P 满足题意．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值．【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e .列表如下：x (1,e)e (e ，+∞)()f 'x +–f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．。
江苏省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设集合204x A x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭∣和{2,3,4,5}B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3,4 D ．{}2,3,42．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（ ） A ．21B ．25C ．29D ．333．1sin cos ,sin25ααα+=-=（ ）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-4．下列不等式成立的是（ ）A 1>B ．若0m >，则1122m m +>+ C ．若a b >，c d >则a c b d ->- D ．若0m >，0n >且1m n +=，则2818m n+≥ 5．已知直线l ：3470x y -+=圆C ：()()22210x y r r -+=>若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则r =（ ） A ．1B ．3C ．125D ．46．已知向量,a b 的夹角的余弦值为23，(3)(3)a b a b -⊥+和1b =，则()?a b b -=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．47．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知60,1A b =︒=sin sin sin a b cA B C++++的值为( )A B C D8．已知()f x 为定义在R 上的周期函数，其周期为2，且当[1,1]x ∈-时，则πcos ,012(),101x f x x a x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪-≤<⎪-⎩则7(2)2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．52B ．0C ．12D ．239．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20f x f x x'+>，则不等式()()()202320233332023x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}2020x x >-B ．{}2020x x <-C ．{}20230x x -<<D ．{}20232020x x -<<-二、多选题10．已知双曲线221916y x -=的左、右焦点分别为1F 和2F ，点P 在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为34y x C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为9D ．点P 到两渐近线的距离乘积为1442511．对于ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰三角形C ．若10a =，9b =与60B =︒，则符合条件的ABC 有两个D ．若222sin sin sin A B C +>，则ABC 是锐角三角形12．已知函数()()2e xf x x a =+，则（ ）A ．函数()f x 在R 上单调递增，则1a ≥B ．当1a =时，则函数()f x 的极值点为－1C ．当8a <-时，则函数()f x 有一个大于2的极值点D ．当0a =时，则若函数()y f x m =-有三个零点123,,x x x ，则1233x x x ++<-三、填空题13．某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．14．已知抛物线C ：26x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若AB 的中点的纵坐标为5，则AF BF +=______．15．已知0a >和0b >，且1ab =，则111822a b a b+++的最小值为___________.四、双空题16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______；点N 轨迹的长度为______．五、解答题(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若数列(){}1nn n a b -⋅的前n 项和为n T ，求()1962n n T n ++⨯-的表达式.18．若△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ．若sin a B =，sin b C =且()c a λλ+=∈R ． (1)若2λ=，求cos B ； (2)证明：3B π≤(3)求λ的范围．19．如果，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 与侧面ABB 1A 1都是菱形，AB =4，60BAD ∠=︒平面11CDD C ⊥平面ABCD ，E ､F ､M ､G 分别是1111C D BC AD BB ,,,的中点，N 是AC 上的点且AC =4AN(1)求证：//MN 平面EFG ；(2)若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为48，求二面角A EC G --的余弦值.20．近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++和n a b c d =+++.21．已知抛物线()2:20C x py p =>上的点(),4t 到焦点F 的距离等于圆2224310x y x y +-+-=的半径．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，直线1l 交C 于M ，N 两点，直线2l 交C 于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的最小值．22．若对实数0x ，函数()f x ，()g x 满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称()()()00,,f x x x F x g x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩为“平滑函数”，0x 为该函数的“平滑点”.已知()323122f x ax x x =-+和()ln g x bx x =.(1)若1是平滑函数()F x 的“平滑点” （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点()2,P t 可作三条不同的直线与函数()y F x =的图象相切，求实数t 的取值范围； (2)对任意0b >，判断是否存在1a ≥，使得函数()F x 存在正的“平滑点”，并说明理由．参考答案与解析1．B【分析】先解不等式204x x +≤- ，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意204x x +≤- ，解得2x -≤＜4 {}2,3A B ∴= 故选：B. 2．A【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立 ∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()1121212242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+= ⎪+--+⎝⎭ 当且仅当21x y +=-时，则即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21． 故选：A 3．A【分析】把已知等式平方化简即得解. 【详解】1sin cos 5αα+=-两边平方得()21sin cos 25αα∴+= 221sin 2sin cos cos ,25αααα∴++= 112sin cos 25αα∴+=24sin225α∴=-故选：A 4．D【分析】利用作差法可判断A ，B ，利用特值法可判断C ，利用乘1法，结合基本不等式的性质可判断D ．【详解】由)(()221484220-=+-==<1<A 选项错误；由1102224m m m m +-=>++，可知1122m m +>+，故B 选项错误；若故C 选项错误；由()281442252518m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13m =，23n =时取等号，故D 选项正确. 故选：D. 5．B【分析】由数形结合结合点线距离即可求【详解】由题意得()1,0C ，则点C 到直线l 的距离为372916d圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则如图所示，直线l 交圆于A 、B 垂直半径CP 于B ，BP=1. 故12BC d r ，故3r =.故选：B6．C【分析】可由题意设出(),a x y =，()1,0b =由(3)(3)a b a b -⊥+，根据向量垂直的性质得22(3)?(3)90a b a b x y -+=+-=，再由向量,a b 的夹角的余弦值为23，可解得2x =，再代入求解即可.【详解】由题意不妨设(),a x y = ()1,0b = 则()33,a b x y +=+ ()33,a b x y -=-由(3)(3)a b a b -⊥+，可得22(3)?(3)90a b a b x y -+=+-=，即229x y += 又由233x==，解得2x =所以()2··211a b b a b b -=-=-=. 故选：C. 7．A【分析】根据面积可求得4c =，然后根据余弦定理得到a = 【详解】∵ABC ∆60,1A b =︒=∴11sin 1sin 6022bc A c =⨯⨯⨯︒==∴4c =．由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=∴a =．由正弦定理得sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A ．【点睛】正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式都能反应三角形中的边角关系，因此这些内容常综合在一起考查，成为命题的热点．在解题是要注意公式的灵活应用，特别是在应用正弦定理时要注意公式的常用变形，如本题中所涉及的式子等． 8．D【分析】先根据周期性得到()()11f f -=，由此计算出a 的值，然后利用周期性将7(2)2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转变为()102f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据解析式可求得结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的周期为2的周期函数，所以()()11f f -= 所以1cos 022a π-==-，所以1a = 所以[]1,1x ∈-时，则πcos ,012()1,101x f x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪-≤<⎪-⎩所以()()()1171122222200cos01222312f f f f f f -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-++=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- 故选：D. 9．D【分析】设()()2,0g x x f x x =>，已知()()20f x f x x'+>，得出()0g x '>，则可求出函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数，不等式()()()202320233332023x f x f x ++<+可转化为()()20233g x g +<，再根据函数()g x 的单调性即可求解.【详解】解：根据题意，设()()2,0g x x f x x =>，则导函数()()()22g x x f x xf x ''=+函数()f x 在区间()0,∞+上，满足()()20f x f x x'+>，则有()()220x f x xf x '+> 所以()0g x '>，即函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数()()()()()()222023202333202320233332023x f x f x f x f x ++<⇒++<+所以()()20233g x g +< 则有020233x <+< 解得20232020x -<<-即此不等式的解集为{}20232020x x -<<-10．BD【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A 选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B 选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C 选项；利用点到直线的距离公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，该双曲线的离心率为53c e a ==，A 错； 对于B 选项，该双曲线的渐近线方程为34a y x xb =±=±，B 对； 对于C 选项，若12PF PF ⊥，则()1222212262100PF PF a PF PF c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩ 所以()()222121212264PF PF PF PF PF PF ⋅=+--=，可得1232PF PF ⋅=故12121162PF F S PF PF =⋅=△，C 错； 对于D 选项，设点()00,P x y ，则2200169144y x -=双曲线的两渐近线方程分别为340x y += 340x y -= 所以，点P 到两渐近线的距离乘积为22000000229163434144342525x y x y x y --⋅+==+，D 对.故选：BD. 11．AC【分析】根据三角函数的单调性可判断A 选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B 选项，利用正弦定理可判断C 选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D 选项.【详解】对于A ：由A B >，则当0,2A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，则sin sin A B >，当,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则由A B π+<可知2B A ππ<-<，所以()sin sin sin B A A π<-=，故A 选项正确；对于B ：由()0,A B π+∈得：22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 选项错误；对于C ：由根据正弦定理sin sin a b A B =得：sin 533sin 92a B Ab ==> 233A B πππ∴<<=- 且2A π≠，所以满足条件的三角形有两个，C 选项正确；对于D ：由正弦定理可将222sin sin sin A B C +>转化为222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以2C π<，但无法判断,A B 的范围，D 选项错误.12．ACD【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A ；利用导数与函数的极值点之间的关系判断B ，C ；对于D ，作出函数大致图象，判断123,,x x x 的范围，进而根据122212e e x x x x =，可得到21212lnx x x x -=，由此采用换元法并构造函数(),(02)n 1(1l )1t t t th t =<+<-+，从而证明1233x x x ++<-，判断D. 【详解】对于A ，由()()2e xf x x a =+可得()()2e 2x f x x x a '=++若函数()f x 在R 上单调递增，则()0f x '≥恒成立，即220x x a ++≥恒成立 故440a ∆=-≤，故1a ≥经验证1a =时，则()2e (1)0xf x x '=+≥，仅在=1x -时取等号，适合题意故函数()f x 在R 上单调递增，则1a ≥，A 正确；对于B ，当1a =时，则()()2e 1xf x x =+()2e (1)0x f x x '=+≥，仅在=1x -时取等号，()f x 在R 上单调递增 函数无极值点，B 错误；对于C ，由于()()2e 2xf x x x a '=++当8a <-时，则222(1)10x x a x a ++=++-=，则不妨取1211x x =-=-且1x x <或2x x >时，则函数220y x x a =++> 0fx当12x x x <<时，则函数220y x x a =++< ()0f x '<故21x =-()f x 的极小值点，且由于8a <-，则19a ->，则22x >，C 正确；对于D ，当0a =时，则 ()()22e ,e (2)x xf x x f x x x '=∴=+当<2x -或0x >时，则0f x，当20x -<<时，则函数()0f x '<则()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，且()0f x ≥ 故可作出其大致图像如图：函数()y f x m =-有三个零点123,,x x x ，即函数()f x 的图象与直线y m =有三个交点不妨设123x x x <<，由于()224e f --=，而()21e 4e f -=>，且234(e )f x m -=<，故301x <<由图象可知122,20x x <--<<考虑到当m 趋近于0时，则1x 会趋近于无限小，2x 趋近于0，故猜测124x x +<-下面给以证明：由题意可知122212e e x x x x =，故1222212211e ,2ln x x x x x x x x -=∴-= 设21,01x t t x =<<，则21x tx =，故1122ln 2ln (1)2ln ,,11t t t x t t x x t t-=∴==-- 则122ln 2ln 2(1)ln 111t t t t t x x t t t++=+=--- 要证明124x x +<-，即证2(1)ln 41t t t +<--，即2(1)ln 01t t t -+<+ 设(),(02)n 1(1l )1t t t th t =<+<-+，故22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t --'=+=>++ 故()h t 在(0,1)上单调递增故()(1)0h t h <=，即2(1)ln 41t t t+<--成立，故124x x +<- 而301x <<，故1233x x x ++<-成立，D 正确故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要综合应用导数与函数的单调性以及极值点之间的关系等知识，同时注意数形结合以及构造函数等方法，难点在于判断1233x x x ++<-时，则要首先判断出三者的范围，进而数形结合，合理猜测，进而利用构造函数的方法加以证明.13．4200【详解】先按顺序依次选三人共有111423020C C C再去掉顺序数：111423020334200.C C C A = 故答案为：4200.14．13【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.【详解】抛物线C ：26x y =的准线方程为32y =-，设()11,A x y 和()22,B x y 由抛物线定义得：132AF y =+，232BF y =+因AB 的中点的纵坐标为5，则有1210y y += 所以121233()()31322AF BF y y y y +=+++=++=． 故答案为：1315．6 【分析】将111822a b a b+++化简，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+> 1ab =111818222a b a b a b ab a b +∴++=+++1862a b a b +=+≥=+当且仅当6a b +=时取等号，结合1ab =，解得33a b =-=+或33a b =+=-.故答案为：6.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，则要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，则必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N 的轨迹，然后代入公式即可求出长度.【详解】根据题意该正四面体的棱长为3=12AB ，点A ，B ，M 分别是正四面体的棱三等分点.该正四面体的表面积为141212sin602︒⨯⨯⨯⨯=该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体每个角上小正四面体的侧面积为1344sin 602︒⨯⨯⨯⨯=每个角上小正四面体的底面积为144sin602︒⨯⨯⨯=所以该多面体的表面积为44⨯⨯=如图，设点H 为该多面体的一个顶点则8HF MF == 4BF =.在HBF 中 22212cos606416248482HB HF BF HF BF ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=则HB =222HB BF HF +=HB BF ∴⊥，即HB AB ⊥，同理MB AB ⊥又MB HB B =，AB ∴⊥平面MHB .点N 是该多面体外接球表面上的动点，由题可知正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足MN AB ⊥∴点N 的轨迹是HBM △的外接圆.BH BM ==21283MH =⨯= 在HBM △中，由余弦定理得2221cos23HB MB HM HBM HB MB +-∠===⋅sin HBM ∴∠== 设HBM △的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sinMHrHBM===∠r∴=∴点N的轨迹长度为2πr=.故答案为：【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N的轨迹.17．(1)21na n=-2nnb=(2)n为偶数时，则1196(2)22n nnT n+++⋅-=-；n为奇数时，则1196(2)22n nnT n+++⋅-=+．【分析】(1)设{}n a公差为d，设{}n b公比为q，根据已知条件列出方程求出d、1a和q即可得到两个数列的通项公式；(2)分n为偶数和奇数时，则利用错位相减法求出数列(){}1nn na b-⋅的前n项和为nT，从而求出()1962nnT n++⨯-的表达式．【详解】（1）设{}n a公差为d424S S=()()11144144222a d a d d a-⇒+=+⇒=()()2111212121110n na a a n d a n d a d⎡⎤=+⇒+-=+-+⇒-+=⎣⎦（2）令()(1)(1)212n n nn n na b n c-=--⋅=，则()21221412nn nc c n--+=+⋅当n为偶数时12n n T c c c =+++()1315292212n n T n -=⋅+⋅+++⋅，① ()()311452232212n n n T n n -+=⋅++-⋅++⋅，②①－②得：()3511352424242212n n n T n -+-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅ ()()121181461223104212149n n n n n n T n T -++⎛⎫⋅- ⎪-⋅+⎝⎭-=+⋅-+⋅⇒=- 当n 为奇数时，则()()167222129n n n n n n T T c n --⋅+=+=--⋅ n ∴为偶数时()111196(2)61226222n n n n n T n n n +++++⋅-=-⋅+-⋅=-n 为奇数时()()11196(2)672292126222n n n n n n T n n n n ++++⋅-=-⋅+-⋅-⋅+⋅=+．18．(1)3cos 4B = (2)证明见解析(3)λ∈⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求解即可；（2）由余弦定理及均值不等式，利于余弦函数的单调性即可证明；（3）由B 的范围求出λ范围，再结合a b c +>，a b c -<确定λ的范围.【详解】（1）由题，可得sin sin a B b C=，由正弦定理得a b b c =，即2b ac =． 由于2c a =，且由余弦定理2222cos b a c ac B ac =+-=化简可得34cos B =，解得3cos 4B =． （2）由（1）得222cos a c ac B ac +-=，代入c a λ=，则有()222212cos a a B a λλλ+-=化简可得()212cos B λλλ+-=即211111cos 222222B λλλλλ-+==+-=≥当且仅当122λλ=即1λ=时，则等号可以取到． 因此，π3B ≤．（3）由（2），可得21111cos ,122222B λλλλλ-+⎡⎫==+-∈⎪⎢⎣⎭及0λ>，解得λ∈⎝⎭．又因为a b c +>，a b c -<><及0b ≠解得λ∈⎝⎭．综上，λ∈⎝⎭． 19．(1)证明见解析【分析】（1）根据平行四边形得线线平行即可求证（2）根据面面垂直以及体积公式可得1C H =进而建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于O ,连接1,D O FO ，故O 是AC 中点因为F 是BC 中点，所以1//,,2=OF AB OF AB 又1111111//,2=D E A B D E A B ,故11,//=OF D E OF D E 因此四边形1OFED 为平行四边形，故1//OD FE又AC =4AN ，所以N 为AO 中点，又M 为1AD 中点所以1////,⊄MN OD EF MN 平面EFG ,EF ⊂ 平面EFG ,所以//MN 平面EFG（2）则平面11CC D D内过点1C作1C H DC⊥，垂足为H，连接HB因为平面11CC D D⊥平面ABCD，且平面ABCD平面11CC D D CD=所以1C H⊥平面ABCD易得,ABD BCD是等边三角形因此四棱柱的体积为11144sin6048ABCDV S C H C H C H=⋅=⨯⨯⋅=⇒=所以2DH CH==，即H为DC的中点BH=1,,C H BH CH两两垂直故建立如图所示的空间直角坐标系；则()(()(()14,0,0,,0,2,0,,,--A E C C B因为112=BG CC，则(-G故()()(0,4,23,23,6,0,23,,CE AC GE=-=-=--设平面ACE的法向量为(),,m x y z=则060040m AC ym CE y⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，取y=()3,3,2m=设平面GCE的法向量为()111,,xn y z=则11111040ym GEm CE y⎧⎧--=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，取1y=122m⎛⎫= ⎪⎝⎭设二面角A EC G--的平面角为θ，由图可知二面角A EC G--的平面角为锐角，故172cos cos,4m nm nm nθ⋅====⨯故二面角A EC G --20．(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；(2)分布列见解析()1E X = 2()3D X =.【分析】（1）求出2χ，比较临界值可得；（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率得分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．【详解】（1）2290(2525355) 5.625 3.84160303060χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P == X 的所有可能取值为0，1，2，3和1~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭328(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()2131241C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()2231222C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ 311(3)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ∴X 的分布列如下：()1313E X ⨯== 112()31333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 21．(1)28x y =(2)128【分析】（1）根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；（2）分别联立两条直线与抛物线，可得线段MN 与PQ 长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值.【详解】（1）由题设知抛物线的准线方程为2p y =-由点(),4t 到焦点F 的距离等于圆2224310x y x y +-+-=的半径而2224310x y x y +-+-=可化为()()221236x y -++=，即该圆的半径为6 所以462p +=，解得4p = 所以抛物线C 的标准方程为28x y =；（2）由题意可知直线1l 与直线2l 的斜率都存在，且焦点F 坐标为()0,2因为12l l ⊥，不妨设直线1l 的方程为2y kx =+，直线2l 的方程为12y x k=-+ 联立282x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得28160x kx --=，2Δ64640k =+>恒成立． 设()11,M x y ()22,N x y则128x x k += 1216x x =- 所以()2121248822p p MN y y k x x p k =+++=+++=+ 同理，得2218888PQ k k ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以四边形MPNQ 的面积()222211816488812864222S MN PQ k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11281282⎛≥+= ⎝，（当且仅当1k =±时等号成立） 所以四边形MPNQ 的面积的最小值是128．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．22．(1)（ⅰ）1a = 12b =（ⅱ）3,ln 28⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)存在，理由见解析【分析】（1）（ⅰ）求导列出a.b 的方程求解即可, （ⅱ）转化为方程：()()()2t F x F x x '=--有3个不同根，构造函数结合图像求解即可；（2）消参得()23ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立，转化为()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立，构造函数证明即可 【详解】（1）（ⅰ）由()323122f x ax x x =-+ ()lng x bx x = 则()21332f x ax x '=-+ ()()1lng x b x '=+ 由题意，1是平滑函数()F x 的“平滑点”可知10a -=，且532a b -=，解得 1a = 12b =. （ⅱ）由题意，()3231,0122ln ,12x x x x F x x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，过点()2,P t 作()F x 的切线 切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x '-=-故题意等价于方程：()()()2t F x F x x '=--有3个不同根设()()()()2p x F x F x x '=--则()()()632,012,12x x x p x x x x ⎧---<<-≥'⎪=⎨⎪⎩令()0p x '>，即122x <<；令()0p x '<，即102x <<或2x > 所以函数()p x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递减 且11113222228p F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()()()()22222ln 2p F F =--='如图所示第 21 页 共 21 页所以3,ln 28t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （2）题意等价于0b ∀>，是否1a ∃≥，使得()32231ln 221331ln 2ax x x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消去a 有()312ln 12x b x -=-，3122ln 1x b x -=-其中由0b >，可得23x ⎛∈ ⎝ 故题意进一步化简23x ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()23ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立 23x ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+- ()()83ln q x x x -'= 故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则单调递减；(x ∈，()q x 单调递增 故()()10q x q ≥=得证即0b ∀>，31a ≥使得()F x 存在的“平滑点”．【点睛】方法点睛：定义函数问题，主要根据定义理解函数性质特征，结合函数求导求解即可.。
广西柳州市2023届高三第二次模拟考试数学(理)试题(含答案解析)
16．① 0.35 log3 5 ，② ln
2
2 2
2
，③ e3
2
，④
2
ln
sin
1 8
cos
1 8
1 4
，上述不等式
正确的有______（填序号）
三、解答题 17．第 24 届冬季奥运会将于 2022 年 2 月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全 体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了 10 名学生，得到他们 的分数统计如下表：
减区间即可对选项一一验证.
【详解】由 f (x) Asin x 的图像可知，相邻两条对称轴的距离为最小正周期的一半，
T ，即T ， 22
2
，即
2，
f x sin 2x ，
对任意
x R ，都有
f
(x)
f
7 12
，
当 x 7 时， f x sin 2x 取最小值，
4 5
QF1
，则椭圆 C 的标准方程为（
）
A． 5x2 5y2 1 23
B． x2 y2 1 2
C． x2 y2 1 23
D． x2 y2 1
45
11．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a b sinA sinB c sinC sinB ，
试卷第 2页，共 5页
【详解】 A B 1, 0,1, 2 ，共有 4 个元素， A B 的子集有 24 16 个.
故选：C.
3．D
【分析】由平面向量基本定理求解即可
【详解】因为在 ABC 中，点 D 在边 AC 上， DC 2DA ，
所以
2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)
2024年高考数学（理科）第二次模拟考试卷及答案解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}5log 1A xy x ==-∣，集合{}Z03B y y =∈≤≤∣，则()R A B ⋂=ð（）A ．()0,1B ．[]0,1C ．∅D ．{}0,1【答案】D【分析】先表示出集合,A B ，再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合(){}{}5log 11A xy x x x ==-=>∣∣，集合{}{}Z030,1,2,3B y y =∈≤≤=∣，集合{}R |1A x x =≤ð，所以()R A B ⋂=ð{}0,1.故选：D2．设i 为虚数单位，且()1i 2z +=，则z =（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i+【答案】D【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得共轭复数.【详解】由题意可得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以z =1i +.故选：D.3．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b上的投影向量为（）A ．12b- B ．13b - C ．23bD ．23b - 【答案】D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=-，由a 在b 上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列，则105S S 为（）A ．244B ．243C ．242D ．241【答案】A【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，1212a a +=且()13226a a a +=+，设等比数列的公比为q ，则2111112a a q a q a a q +=++，得3q =，()()10110510555113131313244131313a S S a ---===+=---.故选：A5．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A ．35B ．2150C ．611D ．34【答案】B【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B ．6．已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--，则()f x 是（）A ．奇函数，且在(0,e)上是增函数B ．奇函数，且在(0,e)上是减函数C ．偶函数，且在(0,e)上是增函数D ．偶函数，且在(0,e)上是减函数【答案】A【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.【详解】若函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--有意义，则e 0e 0x x ->⎧⎨+>⎩，解得e e x -<<，即函数()f x 的定义域为(e,e)-，因为()()()()()ln e ln e ln e ln e ()f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，函数e 2e ()ln(e )ln(e )ln ln 1e e x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+--==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，因为函数2e1e u x=-+-在(0,e)上递增，函数ln y u =在定义域上递增，所以函数()f x 在(0,e)上是增函数.故选：A 7．“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．3【答案】C【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ==.故选：C9．4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【分析】将21x x+看成一个整体，得到41421()(1)rr r r T C x x -+=+-，再展开421()r x x -+得到430r m --=，分别取值得到答案.【详解】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421((1)rrr r T C x x-+=+-421()rx x -+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x-----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r =系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-=当1m =时，1r =系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=-故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理，将21x x +看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.10．若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤，且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，则ω的值为（）A ．16-B ．56C ．116D ．56或116【答案】D【分析】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，可求出16k ω=-，再由ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求出ω的范围，即可得出答案.【详解】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，16k ω=-，k ∈Z ．由()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，得ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，所以02ω<≤．所以56ω=或116．经检验，56ω=或116均满足条件．故选：D ．11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2B ．异面直线1DD 与1B FC ．点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP D ．过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+【答案】D【分析】对于A ：转化为长方体的外接球分析运算；对于B ：根据异面直线夹角分析运算；对于C ：根据面面平行分析判断；对于D ：根据平行关系求截面，进而可得周长.【详解】对于A ：三棱锥1B BEF -的外接球即为以1BB 、BE 、BF 为邻边的长方体的外接球，因为11BB =，12BE BF ==，可得外接球的半径4R =，所以外接球的表面积23π4π2S R ==，故A 正确；对于B ：因为11//DD BB ，则异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F ，且11BB =，12BF =，可得12B F =，所以111cos BB BB F B F ∠==所以，异面直线1DD 与1B FB正确；对于C ：取11A B 、11A D 、11C D 的中点M 、Q 、N ，连接AM 、MN 、QN 、DN ，，由题意可得：1//AE B M ，1AE B M =，则1AEB M 为平行四边形，所以1//B E AM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，M 、N 分别为11A B 、11C D 的中点，则11//A M D N ，11A M D N =，所以，四边形11A D NM 为平行四边形，所以，11//MN A D ，11MN A D =，又因为11//AD A D ，11AD A D =，可得//MN AD ，MN AD =，则AMND 为平行四边形，所以//AM DN ，可得1//B E DN ，因为1B E ⊂平面1B EF ，DN ⊄平面1B EF ，则//DN 平面1B EF ，因为11//AA CC ，11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC AC ，因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，同理可得11//QN A C ，则11//EF AC ，可得//QN EF ，因为EF ⊂平面1B EF ，QN ⊄平面1B EF ，则//QN 平面1B EF ，因为DN QN N =I ，DN 、QN ⊂平面DNQ ，所以平面//DNQ 平面1B EF ，则点P 在线段QN 上，可得11122QN A C ==，2DQ QN ==，所以当点P 为线段QN 的中点时，DP QN ⊥，DP 4=，故C 正确；对于D ：连接AC 、11A C ，因为E 、F 为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，又因为11//AA CC ，11AA CC =，则11AAC C 为平行四边形，可得11//AC A C ，则11//EF AC ，过1D 作11//KL AC ，设11KL AB K = ，11KL BC L = ，则//KL EF ，可得111KA AB =，111LCBC =，连接KE 、LF ，设1KE AA G = ，1LF CC H = ，连接1D G 、1D H ，可得过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1EFHDG ，因为12KA AE =，12LC CF =则1223GA AG ==，1223HC CH ==，可得113D G D H ==，6GE HF ==，EF所以截面周长为22+D 错误；故选：D.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12．若点P 既在直线20l x y -+=:上，又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，C 的左、右焦点分别为12,F F ，122F F =，且12F PF ∠的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为（）AB C D 【答案】B【分析】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，由12F PF ∠的平分线与l 垂直可得12F PN F PM ∠=∠，即可得1F N P 与2F PM 相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出1PF 、2PF ，结合椭圆定义即可得长轴长.【详解】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，作12F PF ∠的平分线PH 与x 轴交于H ，由122F F =，故()11,0F -、()21,0F ，则1F N =，2F M =，由PH l ⊥且PH 为12F PF ∠的平分线，故12F PH F PH ∠=∠，故12F PN F PM ∠=∠，又1F N l ⊥、2F M l ⊥，故1F N P 与2F PM 相似，故1122132F N NP PF F M MP PF ===，由20l x y -+=:，令0y =，则2x =-，故直线l 与x 轴交于点()2,0G -，故NG ==2MG ==，故22MN =-=由112213F N NP PF F MMPPF ===，故144NP MN ==，344MP MN ==，故14PF ==，24PF ==，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故2a =即C故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于作出1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，再将12F PF ∠的平分线与l 垂直这个条件转化为12F PN F PM ∠=∠，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及122F F =得到1PF 、2PF 的值.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-，写出符合条件的一个角α的值为.【答案】2π3（答案不唯一）【分析】根据题目条件得到()1cos cos 6αββ+=和()2sin sin 3αββ+=-，从而求出()121cos cos 632ααββ⎡⎤=+-=-=-⎣⎦，进而求出角α的值.【详解】()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ⎡⎤+=++=+-+⎣⎦，故()()5cos cos sin sin 6αββαββ+-+=，()tan tan 4αββ+=-，即()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()55cos cos 6αββ+=，即()1cos cos 6αββ+=，则()()2sin sin 4cos cos 3αββαββ+=-+=-，则()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++⎣⎦121632=-=-，可取2π3α=.故答案为：2π314．在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC 若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为12tan A AO ∠=2r ，所以111AA BB CC ===，2113323O P AP ==⨯=，同理16O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以)212PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C 中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()222236PQ r ⎫=+⎪⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以棱台的体积为143V =+=⎝⎭．故答案为：12.15．已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ，n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为．【答案】30x y -=【分析】构造函数()()2g x f x =+，将已知等式转化为()()()g mn g m g n =，再利用赋值法求得()0g 与()1g ，进而求得,a b ，再利用利用导数的几何意义即可得解．【详解】因为()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，所以()()()()()222+=++f mn f m f n ，设()()3222g x f x x b x a +++=+=，则()()()g mn g m g n =，令0m n ==，则()()200g g =，则()00g =，或()01g =，若()01g =，则由()()()00g g m g =，得()1g m =，显然不成立，所以()00g =，即20b +=，则2b =-令1m =，则()()()1g n g g n =，由于()g n 不恒为0，故()11g =，即121a b +++=，则0a =，此时()32f x x =-，经检验，满足要求，则()13f -=-，()23f x x '=，所以()13f '-=，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为()331+=+y x ，即30x y -=．故答案为：30x y -=16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22b c bc+的取值范围为.【答案】342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sin 2cos 2A A +=，再根据同角关系式可得sin A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，结合条件可得tan C 取值范围，进而求得bc 的取值范围，令b t c =，则221b c t bc t +=+，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由()222S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+，因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，2B A C ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221b c b c t bc c b t+=+=+，由对勾函数单调性知1y t t =+在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1t =时，2y =；当35t =时，3415y =；当53t =时，3415y =，所以342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，即22b c bc+的取值范围是342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，进而可以求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若114(1)n n n n n b a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】(1)21n a n =-(2)101220242025T =【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-....................................................6分（2）由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.....................................................12分18．（12分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，14=BN BC 【分析】（1）利用勾股定理证明CD BD ⊥，再根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；....................................................6分（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =-- ．....................................................7分设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =- ，....................................................9分假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，设BN BC λ=uuu r uu u r ，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 602n AN n AN ⋅︒== ，整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．....................................................12分19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．【答案】(1)0.8186(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）716．【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解，（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()F x P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由题设得(3842)0.6827P X <<=，(3644)0.9545P X <<=，所以(44)(38)(44)((4044)(3840)F F P X P X P X P X -=-=+≤≤≤≤≤≤1(0.68270.9545)0.81862=⨯+=...................................................3分（2）（ⅰ）由题设得：[]12111122222()()()1()1()(|)()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >⋂>>-≤->>===>>-≤-=1121221111444111144t t t t t t -⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21121212()1()1()4t t P T t t P T t t G t t ->--≤-=--==,所以1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-．...................................................8分（ⅱ）由（ⅰ）得1(1|)(1)1(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=-=-=≤，所以第1n +天元件B ，C 正常工作的概率均为14．为使第1n +天系统仍正常工作，元件B ，C 必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)416--=．....................................................12分20．（12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足0FA FB FC ++= ，则称该三角形为“核心三角形”．(1)设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；(2)已知ABC 是“核心三角形”，证明：ABC 三个顶点的横坐标都小于2．【答案】(1)210x y --=(2)证明见解析【分析】（1）设AB 的方程为2y x t =+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据(1,0)F 及0FA FB FC ++= 得到点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线方程，求出1t =-，得到直线方程；（2）设直线BC 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A 的坐标为()2342,4m n m ---，代入抛物线方程，得到2342n m =-，由根的判别式得到2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标242m <，同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【详解】（1）设直线AB 的方程为2y x t =+，与24y x =联立得2220y y t -+=，由480t ∆=->得12t <，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则12122,2+==y y y y t ，所以()12121212x x y y t t +=+-=-，由题意知(1,0)F ，因为()()()1122330,1,,1,,1,FA FB FC FA x y FB x y FC x y ++==-=-=- ，所以()1231233,(0,0)x x x y y y ++-++=，所以12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，故()333122x t t y ⎧=--=+⎨=-⎩即点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线E 的方程得：44(2)t =+，解得1t =-，满足条件12t <，所以直线AB 的方程为210x y --=．....................................................6分（2）证明：设直线BC 的方程为x my n =+，与24y x =联立得2440y my n --=，()2Δ160m n =+>，所以22323,4,4n m y y m y y n >-+==-，所以()22323242x x m y y n m n +=++=+．由（1）知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，所以2113424x m n y m ⎧=--⎨=-⎩，即点A 的坐标为()2342,4m n m ---．又点A 在抛物线24y x =上，所以()22164342m m n =--，所以2342n m =-，又2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标2234242m n m --=<，同理可证，B ，C 两点的横坐标也小于2．所以ABC 三个顶点的横坐标均小于2．....................................................12分【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．（12分）已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值集合；(2)证明：()111sin sin sin ln 2122n n n n++++<∈++N ．【答案】(1){}1(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求函数()f x 的最小值，转化恒成立条件列不等式可求a 的取值集合；（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明1111ln 21232n n n n>+++++++ ，再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.【详解】（1）由题可知函数()f x 的定义域为{}0x x >，221()a x a f x x x x -'=-= ，令()0f x '=，得x a =，由x ，()f x ，()f x '列表如下()()min ln 1f x f a a a ==-+，因为()0f x ≥恒成立，所以ln 10a a -+³，(0,)a ∈+∞．令()ln 1g x x x =-+，则11()1x g x x x -'=-=，由x ，()g x ，()g x '列表如下x ()0,11()1,∞+()g x +0-()g x '递增极大值递减()()max 10g x g ∴==．又()0,1a ∈ ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，(1,)∈+∞a ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，1a ∴=，故a 的取值集合为{}1．....................................................5分（2）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x+-≥，11ln 1x x x x -≥-=，ln(1)1x x x ∴+≥+（当0x =时，“=”成立），令1()x n n+=∈N ，111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭，()1ln 1ln 1n n n +->+，由累加法可知()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎬+-+>⎪+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-->⎪⎭累加可得1111ln(2)ln 1232n n n n n n ->+++⋅⋅⋅++++，即1111ln 21232n n n n>+++++++ ，令()sin h x x x =-，,()0x ∈+∞，()cos 10h x x '=-≤ 恒成立，()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递减，()(0)0h x h <=∴，sin x x ∴<，11111111sin sin sin sin 12321232n n n n n n n n∴++++>++++++++++ ，1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n +∴>++++∈+++N ....................................................12分【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][()4,∞∞-⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。
2023届四川省内江市高三下学期高考模拟热身训练(一)数学(理)试题【含答案】
2023届四川省内江市高三下学期高考模拟热身训练（一）数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为U =R {}2log 2A x x =≤∣{}15B x x =<<∣（ ）A ．B ．C ．D ．{}5x x ≤{}01x x <≤{}4x x ≤{}15x x <≤【答案】B【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为，，再根据集合运算求解即()U A B {}04A x x =<≤可.【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为，()U AB 因为，所以，222log log 4x ≤={}04A x x =<≤因为，所以或，{}15B x x =<<∣{1U B x x =≤ }5x ≥所以.(){}01UB A x x ⋂=<≤ 故选：B.2．下面关于复数（其中i 为虚数单位）的结论正确的是（ ）1i z =-+A ．对应的点在第一象限B ．1z 1z z <+C ．的虚部为D ．z i 0z z +<【答案】D【分析】根据复数的除法，求模运算，和加法运算即可求解.【详解】,,所以对应的点在第三象限，A 错；1i z =-+1111i 1i 11i1i 1i 1i222z ----==⋅==---+-+--1z，故B 错；1i 1z z ==>+===的虚部为1，故C 错；z ，故D 正确.1i 1i 20z z +=-++--=-<故选：D.3．命题 “”，则p 为（ ）:p 21,10∀>->x x ⌝A ．B ．C ．D ．21,10∀>-≤x x 21,10∀≤-≤x x 2001,10x x ∃>-≤2001,10x x ∃≤-≤【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式求解.【详解】命题 “”为全称命题，其否定为特称命题，:p 21,10∀>->x x 即p ：.⌝2001,10x x ∃>-≤故选：C4．已知函数，则 （ ）2(1),0()34,0f x x f x x x x +≤⎧=⎨-->⎩()()4f f -=A ．-6B ．0C ．4D ．6【答案】A【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.()()416f f -==-【详解】由分段函数知：当时，周期，0x ≤1T =所以，()()()44511346f f f -=-+==--=-所以．()()()()()466716f f f f f -=-=-+==-故选：A5．“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品．2021年前三个季度的收入情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（ ）A ．该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和．B ．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的．16C ．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的．13D ．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍．【答案】C【分析】利用条形统计图求解判断.【详解】设第一季度的总收入为，则第二季度的总收入为，第三季度的总收入为.a 2a 4a 对于选项A ，第一、二季度服装收入和为，第三季度服装收入为(0.1)(20.4) 2.5a a a a a -+-=，故A 错误；4 1.2 2.8a a a -=对于选项B ，第一季度化妆品收入为，第三季度化妆品收入为，第一10%0.1a a ⨯=430% 1.2a a ⨯=季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故B 错误；0.111.212a a =对于选项C ，第二季度的化妆品收入为，第三季度的化妆品收入为，220%0.4a a ⨯=430% 1.2a a ⨯=第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的，故C 正确；0.411.23a a =对于选项D ，第三季度总收入是第一季度总收入的倍，故D 错误.44aa =故选：C ．6．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）m n ，αβ，A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ ，，，B ．m n m nαβαβ⊂⊂⇒ ，，C ．m m n n αα⊥⊥⇒ ，D ．n m n m αα⊥⇒⊥ ，【答案】D【详解】若α∥β，m α，m β，则m ，n 可能平行也可能异面，故B 错误；若m ⊥α，m ⊥n ，则⊂⊂n ∥α或n α，故C 错误；若m α，n α，m ∥β，n ∥β，由于m ，n 不一定相交，故α∥β也不一定成⊂⊂⊂立，故A 错误；若m ∥n ，n ⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m ⊥α，故D 正确.7．若，则（ ）21sin 2712sin αα+=-tan α=A ．B ．C ．D ．43-34-3443【答案】C【分析】利用倍角公式，以及同角三角函数关系，整理化简即可求得正切值.【详解】因为21sin 2712sin αα+=-，()()()22222sin sin 2sin cos cos sin tan 1cos sin cos sin cos sin cos sin 1tan cos cos αααααααααααααααααα+++++====-+---即，解得.tan 171tan αα+=-3tan 4α=故选：C.8．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k 是一个随着1θ0θmin t θ()010e kt θθθθ-=+-物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷却，经过90C ︒10C ︒物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（ ）10min 50C ︒20C ︒A ．B ．C ．D ．17.5min 25.5min30min32.5min【答案】C 【分析】首先根据及物体经过物体的温度为得出的值，再求出()010e ktθθθθ-=+-10min 50C ︒k 时的值即可．20θ=t 【详解】由题意得，，，代入，190θ=010θ=50θ=10t =，即，105010(9010)e k-=+-101e 2k -=所以，1ln 210k =所以，ln 210010()t eθθθθ-=+-由题意得，，代入，190θ=010θ=20θ=即，得，ln 2102010(9010)e t -=+-ln 2101e8t-=即， 解得，1ln 2ln 3ln 2108t -==-30t =即若使物体的温度为，需要冷却，20C ︒30min 故选：C ．9．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>,F O OF 的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）C O 32A ⎛ ⎝C A ．B ．C ．D ．2213y x -=22126x y -=2213x y -=22162x y -=【答案】C【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接b y x a =32A ⎛ ⎝b =，再由即可求解.FA =c 222c a b =+【详解】双曲线，()2222:10,0x y C a b a b -=>>则渐近线方程：，by x a =±，b ∴=连接，则，FA FA b AO a ===2c =所以，解得.2224c a b =+=223,1a b ==故双曲线方程为.2213x y -=故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.10．已知a >0，b >0，且a +b =1，则错误的是（ ）A ．B ．2212a b +≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-≤【答案】C【解析】根据，由结合二次函数可判断A ，由可判断1a b +=()22221a b a a +=+-211a b a -=->-B ，由和CD222log log log a b ab+=21=+【详解】对于A ，，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=当且仅当时，等号成立，故A 正确；12a b ==对于B ，，所以，故B 正确；211a b a -=->-11222a b -->=对于C ，，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==-⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，故C不正确；12a b ==对于D ，因为，2112a b=+≤++=时，等号成立，故D 正确.≤12a b ==故选：C.11．已知球是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，O A BCD -，，点是线段的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值是BC =AB =E AB E O （ ）A ．B ．C ．D ．π2π34ππ6【答案】A【分析】作图，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于OE 时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解.【详解】如图，是A 在底面的射影，1O由正弦定理得，的外接圆半径，BCD△1112BO ==由勾股定理得棱锥的高，11AO ==设球O 的半径为R ，则即，解得，22211BO OO BO =+()22211R R =-+1R =所以，即点O 与重合，10OO =1O 在中，点是线段的中点，，Rt AOB △E AB 1AO BO ==所以OE 时，截面面积最小，π1sin4OE =⨯=.=2ππ2⨯=故选：A 12．若函数满足对都有，且为上的奇函数，当()y f x =R x ∀∈()()22f x f x +-=()1y f x =-R时，，则集合中的元素个数为（ ）()1,1x ∈-()1212x x f x =-+(){A x f x ==A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据已知可推出函数周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问()f x 题转化为函数图象的交点问题解决.【详解】由为R 上的奇函数,()1y f x =-①，()()()()()1112f x f x f x f x f x ⇒-=---=--+⇒+-=⎡⎤⎣⎦又②，()()()()2222f x f x f x f x +-=⇒-++=由②－①为周期为2的周期函数,()()()()()202f x f x f x f x y f x ⇒+-=⇒+=⇒=而又，()()()()()2211211f x f x f f f +-=⇒+=⇒=当时当时,．()1,1x ∈-()()121012x x f x f =-+⇒=⇒Z x ∈()1f x =又当时，单调递增，且．()1,1x ∈-()1212xx f x =-+()1522f x -<<故可作出函数的大致图象如图：(),y f x y ==而集合A 中的元素个数为函数与图象交点的个数，()y f x=y =由以上分析结合函数性质可知，1为集合A中的一个元素，y =且y =f （x ）与2，3），（4，5）上各有一个交点，y =∴集合中的元素个数为3．(){A x f x ==故选：A ．二、填空题13．已知，若，则______ .(2,),(3,1)a b λ=-=()a b b+⊥ a = 【答案】【分析】根据题意求得，结合向量的数量积的运算公式求得的值，得到的坐标，(1,1)a b λ+=+ λa利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为，可得，(2,),(3,1)a b λ=-= (1,1)a b λ+=+又因为，可得，解得，()a b b+⊥()(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+4λ=-所以(2,4)a =--=故答案为：14．在二项式的展开式中，项的二项式系数为__________．622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 【答案】20【分析】写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数.【详解】因为，，1，2， (6)()621231662C C 2rrr r r r r T xx x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭0r =令，得，所以项的二项式系数为.1233r -=3r =3x 36C 20=故答案为：2015．如图，已知在扇形中，半径，圆内切于扇形（圆和OAB π3,3OA OB AOB ==∠=1O OAB 1O ，弧均相切），作圆与圆相切，再作圆与圆相切，以此类,OA OB AB 2O 1,,O OA OB 3O 2,,O OA OB 推．设圆，圆…的面积依次为，那么____________．1O 2O 12,S S ⋯3S =【答案】π81【分析】根据锐角三角比的圆的几何特性即可求解.【详解】设圆与弧相切于点，1O AB D 圆，圆与分别切于点，1O 2O OA ,C E 则，．1O C OA⊥2O E OA⊥设圆，圆，圆，…，1O 2O 3O 因为，π3AOB ∠=所以．π6AOD ∠=在中，1Rt OO C△113OO r =-则，1112O C OO =即，1132r r -=解得．11r =在中，，2Rt OO E △22132OO r r =--则，2212O E OO =即，212322r r r --=解得．211133r r ==同理可得，，321193r r ==所以.233ππ81S r ==故答案为：.π8116．已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交2:8E y x =F F C C l E 于两点（点和点在点的两侧），则下列命题中正确的有_________．,A B C A B ①若为的中线，则；BF ACF △2AF BF=②为定值（为坐标原点）；OA OB ⋅O③存在直线，使得l AC =④对于任意直线，都有．l 2AF BF CF+>【答案】①②④【分析】直线，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据中线得到坐标，:2l x ky =-,A B 计算，A 正确，计算，B 正确，确定为等腰直角三角形，计算得26AF BF ==20OA OB ⋅=ACD 到为同一点，C 错误，，D 正确，得到答案.,A B 288AF BF k +>=【详解】，，设直线，不妨取都在第一象限，()2,0F ()2,0C -:2l x ky =-()()1122,,,A x y B x y 如图所示：，得，且，即，228x ky y x =-⎧⎨=⎩28160y ky -+=()2Δ6410k =->21k >故，则．12128,16y y k y y +==2121284,4x x k x x +=-=过点作于，于，A AD CD ⊥D BE CD ⊥E 对①：若为的中线，则，所以，所以，BF ACF △122yy =1y =14x =故，所以，则，正确；(4,A (1,B 2AF BF =对②：，正确；121241620OA OB x x y y ⋅=+=+=对③：若，即为等腰直角三角形，AC =AC =ACD 此时，则，所以，所以，CD AD=()112,A y y -211816y y =-2118160y y -+=所以，所以，此时为同一点，不合题设，错误；14y =24y =,A B 对④：，而，结合，得，21248AF BF AD BE x x k +=+=++=28CF =21k >288k >即恒成立，正确．2AF BF CF+>故答案为：①②④三、解答题17．在等比数列中，，且，，成等差数列.{}n a 748a a =214a 35a -412a -(1)求的通项公式；{}n a (2)若，证明：数列的前n 项和.22111log n n n b n a a -=+{}n b 43n T <【答案】(1)12n n a +=(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，列方程求解即可.（2）对进行分组求和，一部分利用裂项相消进行求和，一部分利用等比数列的求和公式进行求n T 和，再对计算得到的进行不等式的放缩，即可证明不等式成立.n T 【详解】（1）设数列的公比为q ，{}n a 由，得，所以.748a a =3448a q a =2q =因为，，成等差数列，所以，214a 35a -412a -()324125124a a a -=+-即，解得.11118108122a a a -=+-14a =因此.11422n n n a -+=⨯=（2）因为，()22211111111log 1214n n nn n b n a a n n n n -⎛⎫=+=+=-+ ⎪++⎝⎭所以21111111112231444n n T n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ .1111111441111113414nn n n ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+=-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭-因为，，所以.1111n -<+1111343n ⎛⎫⨯-< ⎪⎝⎭43n T <18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务.已知该公司统计了往年同期天内每天配送的蔬菜量，单位：件).2002(4000X X ≤<注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装)，并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[)40,80[)80,120[)120,160[)160,200天数255010025若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这天配送的蔬菜33量中至多有天小于件的概率；2120（2）该物流公司拟一次性租赁-批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输，已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载件，满载才发车，否则不发车.若发车，则每辆货车每趟可40获利元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损元.该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2000400辆货车，负责人乙提出的方案是租赁辆货车，为使该物流公司此项业务的营业利润最大，应该34选用哪种方案？【答案】（1）；（2）租赁辆货车利润最大．4855123【分析】（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P （A ），由此能38=求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率．（2）分别计算租赁辆货车和租赁辆货车两种方案的利润均值，再作比较即可．34【详解】（1）记事件为“在天随机抽取天，其蔬菜量小于件”，A 2001120则，()38P A =∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至少有天的蔬菜量小于件的概率为：21202222103333535548588888512p C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由题意得每天配送蔬菜量在的概率分别为，X 40,80,80,120,120,160[[[[,160,200））））1111,,,8428设物流公司每天的营业利润为,Y 若租赁辆车，则的可能取值为，3Y 6000,3600,1200，()560008P Y ＝=，136004P Y =（＝），112008P Y =（＝）的分布列为：Y ∴Y600036001200P581418元，()511600012004800848E Y ∴=⨯⨯+⨯=若租赁辆车，则的可能取值为，4Y 8000,5600,3200,800，()180008P Y =＝156002P Y =（＝）132004P Y =（＝）18008P Y =（＝）的分布列为：Y ∴Y800056003200800P18121418()11118000560032008004700,8248E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.48004700 ＞所以租赁辆货车利润最大．319．如图，在四边形ABCP 中，△ABC 为边长为CP ＝CA ，将△ACP 沿AC 翻折，使点P 到达的位置，若平面平面ABC ，且．P 'P BC '⊥BC P A '⊥(1)求线段的长；P A '(2)设M 在线段上，且满足，求二面角的余弦值．P C '2MC P M '=P AB M '--【答案】(1)AP '=【分析】（1）取BC 中点O ，连接，，根据题意得到，结合题意，利用线面垂直AO P O 'AO BC ⊥的判定得到平面，进而得到，再结合面面垂直的性质得到线面垂直，进而得BC ⊥AP O 'BC AP '⊥证；（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，PAB ABM 利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）取BC 中点O ，连接，，因为△ABC 为等边三角形，O 为BC 的中点，则AO P O '，又，，平面，AO BC ⊥BC P A '⊥AO AP A '⋂=AO AP '⊂，AP O '∴平面，∴．BC ⊥AP O 'BC OP ⊥'所以为等边三角形，所以，BP CP ''==P BC '3OP '=又平面平面，，所以平面，所以，P BC '⊥ABC AO BC ⊥AO ⊥P BC 'AO P O '⊥又，所以3AO =AP =='（2）因为平面，，以点O 为坐标原点，、、所在直线分别为P O '⊥ABC AO BC ⊥OA OB OP 'x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，()3,0,0A ()B ()0,0,3P '0,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，设平面的法向量为，()AB =- ()3,0,3AP '=- P AB '()111,,m xy z = 则，取，则，111130330m AB x m AP x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩11x =()m = ，设平面的法向量为，0,2BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ABM ()222,,xn y z = 则，取，则，22223020n AB x n BM y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩21x =()2n = 由已知可得．cos ,m n m n m n⋅===⋅综上，二面角P AB M '--20．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，过22:12+=x E y 12,F F 2F l E ,A B 作直线与直线垂直且与直线交于．2F 2PF l 2x =P (1)当直线与轴垂直时，求内切圆半径；l x 1ABF (2)分别记的斜率为，证明：成等差数列．2,,PA PF PB 123,,k k k 123,,k k k 【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义可得的周长，结合面积可求得内切圆半径；1ABF 1ABF （2）设直线，可求得，由与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用两点:1l x my =+()2,P m -l 连线斜率公式和韦达定理化简可整理得到，又，可知，由此可得132k k m +=-2k m =-1322k k k +=结论.【详解】（1）由椭圆方程得：，，a 1b =1c =当直线与轴垂直时，的周长为，又，l x 1ABF 4a =22b AB a ==，11211222ABF S AB F F ∴=⋅==的内切圆半径1ABF ∴ 12r =（2）设，（不妨令在轴上方），直线，()11,A x y ()22,B x y A x :1l x my =+则，由得：，；2:PF y mx m =-+2y mx m x =-+⎧⎨=⎩2x y m =⎧⎨=-⎩()2,P m ∴-由消去得：，则，22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()222210m y my ++-=2880m ∆=+>，，12222my y m ∴+=-+12212y y m =-+，()()()()()()122112131212112211y m my y m my y m y m k k x x my my +-++-++∴+=+=----()()()21212212122121my y m y y mm y y m y y +-+-=-++将韦达定理代入整理得：，3322132222222222222221122m m mm m m m m k k m m m m m m --++---+++===---+-+++又，，2021m k m --==--1322k k k∴+=的斜率成等差数列.2,,PA PF PB ∴123,,k k k 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；x y ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；0∆>③利用韦达定理表示出所求量，结合韦达定理整理化简可得结果.21．已知函数，是非零常数．()sin ln f x x x m x =-+m (1)若函数在上是减函数，求的取值范围；()f x ()0,∞+m (2)设，且满足，证明：当时，函数在上恰3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 1sin ααα=+20sin m αα<<-()f x ()0,2π有两个极值点．【答案】(1)(),0∞-(2)证明见解析.【分析】（1）由题知在上恒成立，再分和两种情况讨论()cos 10mf x x x =-+≤'()0,∞+0m <0m >求解即可；（2）根据题意令，进而分，，三种()()cos ,0,2g x x x x x π=-∈(]0,x π∈3,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭情况讨论函数的单调性，进而得，其中，再根据当()g x 21110()()sin g x g x x x <≤=-13,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线与的图像在上有两个交点并结合极值点的概念即可2110sin m x x <<-y m =()y g x =()0,2π证明.【详解】（1）解：()cos 1mf x x x=-+'因为函数在上是减函数，()f x ()0,∞+所以，在上恒成立，()cos 10mf x x x =-+≤'()0,∞+当时，在上恒成立，满足题意；0m <()cos 10mf x x x =-+≤'()0,∞+当时，当时，由，故，与0m >0,2m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2m x >()cos 1m f x x x =-+'cos 12x ≥-+cos 10x =+≥在上恒成立矛盾，()0f x '≤()0,∞+所以，的取值范围为m (),0∞-（2）解：令得，()cos 10mf x x x =-+='cos m x x x =-所以，，则，()()cos ,0,2g x x x x x π=-∈()1cos sin g x x x x=-+'所以，当时，，函数在上单调递增，(]0,x π∈()0g x '>()g x (]0,π当时，，故函数在上单调递减，3,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()2sin cos 0g x x x x ''=+<()g x '3,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦因为，()3320,1022g g πππ⎛'⎫=>=-⎝'< ⎪⎭所以，存在，使得，即，13,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()10g x '=1111cos sin 0x x x -+=所以，当时，，在上单调递增；()1,x x π∈()0g x '>()g x ()1,x π当时，，在上单调递减；13,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 13,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，恒成立，3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3cos sin 0g x x x x '''=->所以，在上单调递增，()g x ''3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭因为，，3202g π⎛⎫''=-< ⎪⎝⎭()220g ππ''=>所以，存在，使得，即，23,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ''=2222sin cos 0x x x +=所以，当时，，单调递减，23,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ''<()g x '当时，，单调递增，()2,2x x π∈()0g x ''>()g x '因为，()3310,2022g g πππ⎛⎫=-<⎪'= ⎝⎭'所以，在上单调递减， ()g x 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，函数在上单调递增，在上单调递减，且()g x ()10,x ()1,2x π，111(0)(2)0,()(1cos )g g g x x x π===-因为，即，()11111cos sin 0g x x x x '=-+=1111sin cos x x x +=由的唯一性可得，1x 1x α=又，211111()(1cos )sin g x x x x x =-=-所以，，其中，21110()()sin g x g x x x <≤=-13,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，当时即时，2110sin m x x <<-20sin m αα<<-直线与的图像在上有两个交点，y m =()y g x =()0,2π所以，在上有两个变号零点，即在上有两个极值点.()f x '()0,2π()f x ()0,2π【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于构造函数，进而结合()()cos ,0,2g x x x x x π=-∈三角函数在的符号，分，，三种情况讨论函数的单调()0,2π(]0,x π∈3,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()g x 性，进而的函数值得范围，其中，再结合函数零点与极()g x 21110()()sin g x g x x x <≤=-13,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭值点的概念即可求解.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标1C 3cos ,3sin x r y r ββ=+⎧⎨=+⎩β0r >原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.x 2C π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)若曲线与有且仅有一个公共点，求的值；1C 2C r(2)若曲线与相交于A ，B 两点，且，求直线AB 的极坐标方程.1C 2C ||AB =【答案】(1)r =r =(2)或.2cos 2sin 30ρθρθ+-=2cos 2sin 50ρθρθ+-=【分析】（1）根据圆的参数方程和可得曲线是以为圆心，为半径的圆.利22sin cos 1ββ+=1C (3,3)r 用公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，得曲线是以.结合圆与圆2C (1,1)的位置关系计算即可求解；（2）由（1），将两圆的方程相减可得直线AB 的方程，利用点到直线的距离公式，结合圆的垂径定理计算即可求解.【详解】（1）由为参数)，得为参数)，3cos (3sin x r y r βββ=+⎧⎨=+⎩3cos (3sin x r y r βββ-=⎧⎨-=⎩又，所以曲线的普通方程为，22sin cos 1ββ+=1C 222(3)(3)x y r -+-=即曲线是以为圆心，为半径的圆.1C (3,3)r ，2π2sin 2cos 2sin 2cos 4ρθρθθρρθρθ⎛⎫=+⇒=+⇒=+ ⎪⎝⎭由得，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===222222(1)(1)2x y x y x y +=+⇒-+-=即曲线是以.2C (1,1)若曲线与有且仅有一个公共点，则两圆相切，1C 2C.r =+|r =由，解得.0r >r =r =（2）将两圆的方程相减，得，244180x y r++-=即直线AB 的方程为.244180x yr ++-=因为，所以圆的圆心到直线AB的距离为||AB =2C d ==解得或，则直线AB 的方程为或，212r =28r =2230x y +-=2250x y +-=故直线AB 的极坐标方程为或.2cos 2sin 30ρθρθ+-=2cos 2sin 50ρθρθ+-=23．已知函数.()|1||1|f x x x x =--++(1)解不等式；1()12f x x <-(2)是否存在正实数，使得对任意的实数，都有成立？若存在，求出的取值范k x ()()f x k f x +≥k 围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2(,6),23⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，[4,)+∞【分析】（1）写出的分段型式，解不等式；()f x （2）结合函数的图象可知，再进一步证明.()f x 4k ≥【详解】（1），2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=--++=--≤≤⎨⎪->⎩①当时，，，；1x <-1()12f x x <-1212x x +<-6x <-②当时，，则，，则；11x -≤≤1()12f x x <-112x x -<-23x >213x <≤③当时，，，，则. 1x >1()12f x x <-1212x x -<-2x <12x <<综上所述，不等式的解集为.1()12f x x <-2(,6),23⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）假设存在正实数，使得对任意的实数，都有成立.k x ()()f x k f x +≥，2,1(),112,1x x f x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩当时，因为成立，=1x -(1)(1)1(3)f k f f -+≥-==结合函数的图象可知，，所以.()f x 13k -+≥4k ≥下面进一步验证：若，则 ，成立.4k ≥(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ()()f x k f k +≥①当时，(,1)x ∈-∞-，()()|1||1|(2)|1||1|2f x k f x x k x k x k x k x k x k +-=+++--++-+=++--++-因为，|1||1||(1)(1)|2x k x k x k x k +--++≥-+--++=-所以，所以成立.()()220f x k f x k +-≥--≥()()f x k f x +≥②当时，(1,)∈-+∞x .()()2(|1||1|)2|1||1|f x k f x x k x x x k x x +-=+--+--+=---++因为，|1||1||(1)(1)|2x x x x +--≥-+--=-所以，所以成立.()()220f x k f x k +-≥--≥()()f x k f x +≥综上所述，存在正实数，使得对任意的实数，都有成立，k x ()()f x k f x +≥此时的取值范围是.k [4,)+∞。
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重庆市江北中学高级高三（下）模拟考试（4月月考）数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题列出的4个选项中，只有一项符合题目要求。
1．i i i i ++-1)21)(1(,复数为虚数单位等于（ ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2 2．已知向量在则),0,3(),1,2(-=-=方向上的投影为 （ ）A ．5-B ．5C ．—2D ．2 3．函数x x x x f 2cos cos sin 3)(+=的单调增区间为（ ）A ．Z k k k ∈+-],6,3[ππππ B ．Z k k k ∈+-],62,32[ππππC ．Z k k k ∈+-],12,125[ππππD ．Z k k k ∈+-],12,1252[ππππ4．已知)2,1(),1,2(-N M ，在下列方程的曲线上，存在点P 满足|MP|=|NP|的曲线方程是（ ）A ．013=+-y xB ．03422=+-+x y xC ．1222=+y xD ．1222=-y x 5．若两个平面βα与相交但不垂直，直线m 在平面βα则在平面内,内 （ ）A ．一定存在与直线m 平行的直线B ．一定不存在与直线m 平行的直线C ．一定存在与直线m 垂直的直线D ．一定不存在与直线m 垂直的直线6．已知)tan(,cos )sin(),2(,53sin βααβαπβπβ+=+<<=则且= （ ）A ．1B ．2C ．—2D ．2587．已知圆xx g x x f y x y x C 2)(,log )()0,0(4:222==≥≥=+与函数的图象分别交于 22212211),,(),,(x x y x B y x A +则等于 （ ）A ．16B ．8C ．4D ．28．已知等差数列30,240,18,}{49===-n n n n a S S S n a 若项和为的前，则n 的值为（ ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 9．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ） A ．288个 B ．240个 C ．144个 D ．126个 10．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为)0,5()0,5(和-，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为（ ）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x 11．设椭圆0),0,(,21)0,0(122222=-+=>>=+c bx ax c F e b a by a x 方程右焦点的离心率的两个根分别为),(,2121x x P x x 则点在 （ ）A ．圆222=+y x 内 B ．圆222=+y x 上C ．圆222=+y x 外D ．以上三种情况都有可能12．设q p m q mx x x e x f p x 是则内单调递增在,5:,),0(12ln )(:2-≥+∞++++=的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．已知y x z y y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+300632则的最大值为 。
14．一个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度均为1，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 。
15．设nx x )3(2131+的二项展开式中各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若h+t=272，则二项展开式为x 2项的系数为 。
16．已知定义域为D 的函数D x x f ∈对任意),(，存在正数K ，都有K x f ≤|)(|成立，则称函数)(x f 是D 上的有“有界函数”。
已知下列函数：①x x f sin 2)(=；②21)(x x f -=；③xx f 21)(-=；④1)(2+=x xx f ，其中是“有界函数”的是 （写出所有满足要求的函数的序号）。
三、解答题：本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，公比为q ，且.43cos =B （I ）求q 的值；（II ）求C A cot cot +的值。
18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立。
根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75。
（I ）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（II ）设经过两次考试后，能被该高校予录取的人数为ξ，求随机数量ξ的期望E （ξ）。
19．（本小题满分12分）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 与BB 1的中点。
（I ）求证：EF ⊥平面A 1D 1B ；（II ）求二面角F —DE —C 的正切值；（III ）若AA 1=2，求三棱锥D 1—DEF 的体积。
20．（本小题满分12分）已知数列).)((2,1,}{*2111N n a a a na a a n n n ∈+++==+ 中（I ）求432,,a a a ；（II ）求数列n n a a 的通项}{；（III ）设数列).(1:,1,21}{211k n b b b a b b b n n n kn n ≤<+==+求证满足 21．（本题满分12分）过双曲线3322=-x y 的上支上一点P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于点A ，B 。
（I ）求证：OB OA ⋅为定值；（II ）若AM OB =，求动点M 的轨迹方程。
22．（本小题满分14分）设函数2)2(12)(223=->-+---=x m m x m mx x x f 的图象在其中处的切线与直线125+-=x y 平行。
（I ）求m 的值；（II ）求函数)(x f 在区间[0，1]的最小值；（III ）若1,0,0,0=++≥≥≥c b a c b a 且，根据上述（I ）、（II ）的结论， 证明：.109111222≤+++++cc b b a a参考答案一、选择题：C D A C C C C D B C A D 二、填空题13．9 14．π3 15．1 16．①②④ 三、解答题：17．（I ）∵a 、b 、c 成等比数列 ac b =∴2…………1分 由余弦定理：B ac c a b cos 2222-+=…………2分 ac c a b B 2343cos 222-+=∴=…………3分0522232222=-+-+=∴ac c a ac c a ac 即0252,242=+-∴==q q aq c aq b…………4分222,2122或的值是非负考虑到或q q q ∴=∴ …………6分（II ）47sin 43cos =∴∆=B ABC B B 的内角是且 …………7分 由正弦定理：BbC c A a sin sin sin ==…………8分ac b Bb C A ac ==∴222sin sin sinB C A 2sin sin sin =∴…………10分CA B C A C A CA AC A C C C A A C A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cot cot =+=+=+=+∴774471sin 1sin sin 2====B B B …………12分18．解：（I ）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A 1、A 2、A 3；E 表示事件“恰有一人通过笔试”则)()()()(321321321A A A P A A A P A A A P E P ++=4.05.04.06.05.04.06.05.06.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==0.38 …………6分（II ）解法一：因为甲、乙、丙三同学经两次考试后合格的概率均为P=0.3 …………9分所以9.03.03)(),3.0,3(~=⨯==nP E B ξξ故…………12分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A ，B ，C ， 则3.0)()()(===C P B P A P9.0027.03189.02441.01)(:027.03.0)3(,189.07.03.03)2(441.03.0)3.01(3)1(322=⨯+⨯+⨯=====⨯⨯===⨯-⨯==∴ξξξξE P P P 于是有两人被该高校预录取的概率.189.07.03.03)2(2=⨯⨯==ξP …………12分 19．方法一：（I ）∵E 、F 分别为AB 与BB 1的中点∴EF ∥AB 1，而AB 1⊥A 1B ，∴EF ⊥A 1B又D 1A 1⊥平面ABB 1A 1，∴D 1A 1⊥EF ，∴EF ⊥平面AD 1B 1 …………2分 （II ）设CB 交DE 的延长线于点N ，作BM ⊥DN 于M 点，连FM∵FB ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥DN ，∴∠FMB 为二面角F —DE —C 的平面角 …………5分设正方体棱长为a ，则EBN Rt aFB ∆=在,2中， ,25tan ,,55,25,,2==∠∆=⋅=∴===BM FB FMB FBM Rt a EN BN EB BM a EN a BN a EB 中在∴二面角F —DE —C 的正切值为.25…………8分（III ）连结DB ，∵BB 1∥DD 1131,111111DD S V V V V S S DEB DEBD DB DE DF D E DEF D DB D DF D ⋅====∴=∴∆----∆∆ .322)22221(31=⋅⋅⋅=…………12分方法二：如图所示，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D —ACD 1，不妨令正方体的棱长为2。
（I ）∵E 、F 分别为AB 与BB 1的中点∴E （2，1，0），F （2，2，1），A 1（2，0，2）D 1（0，0，2），B （2，2，0），)2,2,0(),1,1,0(1-==∴B A EF ， )0,0,2(11-=D A ，…………2分111111,,0,0D A EF B A EF D A A ⊥⊥∴=⋅=⋅∴，（II ）显然，平面DEC 的法向量为).2,0,0(1=DD,02202,00,,),1,2,2(),0,1,2(),,,1(⎩⎨⎧-++=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴⊥⊥===z y y z y DEF 即而的法向量为设平面解得).2,2,1(-=…………6分记二面角F —DE —C 的平面角为α，35sin ,32234||||cos 11==⨯==∴ααDD n ， …………7分.25tan =∴α故二面角F —DE —C 的正切值.25…………8分 20．解：（I ）4,3,2432===a a a…………2分（II ）)(2)1()(2121211-++++=-+++=n n n n a a a a n a a a na①—②得nn a a a n na a a n na n n n n n n n 1,)1(:2)1(111+=+==--+++即……4分 所以)(),2(123121*121321N n n a n n n na a a a a a a a n n n n ∈=≥=-==-所以 ……6分 （III ）由（II ）得：01,2111211>>>>>+==-+b b b b b kb b n n n n n ， 所以}{n b 是单调递增数列，故要证：1)(1<≤<k n b k n b 只需证…………8分 若n n n n n n b b b kb b k b k b k +<+=≥<==++121111,2;121,1则若显然成立则所以kb b n n 1111->-+ …………10分因此：11,1211)11()11(11121<+<+=+-->+-++-=-k k b k k k k b b b b b b k k k k 所以 所以)(1k n b n ≤<…………12分21．解：（I ）设直线AB ：0,>+=b b kx y)3)(3(4)2(,03032)3(33222222222=---=∆≠-=-++-⎩⎨⎧=-+=b k kb k b kbx x k x y b kx y 得由 322=+∴b k…………3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⎩⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=+=>>k b y k b x x y b kx y k b y k b x x y b kx y y y y x B y x A 333333330,0),,(),,(2211212211得由得由3||30,03,3,13212121222221212221=⋅=⋅∴>>==-=-=⋅x x y y y y x y x y k b x x 且22121=⋅+⋅=⋅∴y y x x OB OA…………6分（II ）AM = ，所以四边形BOAM 是平行四边形OM +=∴…………8分M(x,y)，由（*）得bkk kb x x x 232221=--=+=， ①b kb y y y 636221=-=+= ②由①②及141232222=-=+x y b k 得 …………11分060>=∴>by b ，所以M 的方程)0(141222>=-y x y ……12分 22．解：（I ）因为2243)(m mx x x f ---='，所以5812)2(2-=---='m m f…………2分 解得m=—1或m=—7（舍），即m=—1…………4分（II ）由31,1,0143)(212===-+-='x x x x x f 解得 …………5分列表如下：…………7分所以函数)(x f 在区间[0，1]的最小值为2750)31(=f …………8分（III ）因为)2)(1(22)(223x x x x x x f -+=+-+-=由（II ）知，当)2(502711,2750)2)(1(,]1,0[22x xx x x -≤+≥-+∈所以时， 31),(3222)()](2[5027)]()(2[502711110,10,10,1,0,0,0)2(50271222222222222222222222≥++++≤+++++=++++-=++-++≤+++++≤≤≤≤≤≤=++≥≥≥-≤+c b a c b a ca bc ab c b a c b a c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a c b a x x xx 所以又因为所以时且当所以故109)312(5027111222=-≤+++++cc b b a a （当且仅当31===c b a 时取等号）…………14分。