第三节正定二次型
第四章 二次型 第三节 正定二次型
该对角矩阵称为矩阵A的规范形矩阵，由A唯一确定. p称为矩阵A的正惯性指数；
r-p称为矩阵A的负惯性指数；
矩阵A的正惯性指数和负惯性指数的和为矩阵A的秩.
定理4.3.1 任意n阶实对称矩阵都合同于一个 n阶对角矩阵 E p
Er p . 0
定理4.3.2 两个n阶实对称矩阵合同 充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指数.
1r
a11 a, , n.
ar 1
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
如果对任何X 0都有f ( X ) 0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A是负定的.
2 2 2 f x 4 y 16 z 例如三元二次型 为正定二次型
二元二次型
2 2 f x1 3 x2
为负定二次型
注 n阶对称矩阵A为负定矩阵当且仅当A为正定矩阵.
定理4.3.3 可逆的线性替换不改变n元 实二次型的正定性.
矩阵充分必要条件是其对角元di 0, i 1, 2,
推论4.3.2
n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A合同于n阶单位矩阵E. 推论4.3.3 n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A的特征值均为正数.
推论4.3.4 若n阶实对称矩阵A为正定矩阵， A 0 .
定义4.3.2
A设A aij 是一个n阶方阵，则称A中形如 Ak a11 a21 ak 1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk , n）.
第五章三节二次型和对称矩阵的有定性
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = - 2x1 - 2x2 - x3 + 2x1x2 - 2x2 x3 例8 设二次型
试判断 f (x1, x2 , x3 )的有定性。 解
轾 -2 1 犏 二次型的矩阵 A = 犏 - 2 1 犏 犏 -1 0 臌 A的各顺序主子式 -2 det A = - 2 < 0,det A = 1 2 1
det A = 1> 0,det A2 = 1 1 det A = det A = t 3
1 t t 1
= 1- t 2 = > 0
t -1 1 2 = - 5t 2 - 4Fra bibliotek > 0 5
-1 2
4 解之得- < t < 0. 5 4 即当 - < t < 0时，二次型 f (x1, x2 , x3 )为正定二次型。 5
第三节 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型 正定二次型，矩阵A称为正定矩阵 正定矩阵。 正定二次型 正定矩阵
T
推论2 推论 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵C，使得 A = CT C. 推论3 推论 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。 定理5.8 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 定理 特征值都是正数。 例2 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 A- 1也是正定矩阵。 证法1 证法 由 AT = A，有
6.2 正定二次型
bk b1ak 1 bk b2 ak 2
正定矩阵A的k 阶顺序主子式 Ak > 0 , (k = 1, …, n). 所以， Bk > 0 , (k = 1, …, n). B 为正定矩阵.
例
判别二次型
的正定性.
解
二次型的矩阵为
二次型正定
小
定理 (1) A为正定矩阵；
结
对于实对称矩阵 A，下列命题等价：
例 设实对称矩阵A = (aij)nn 是正定矩阵. b1, b2, …, bn是 任意n个非零实数，证明: B = (aii bibj)nn为正定矩阵. 证
b12 a11 b2b1a21 Bk
b1b2 a12 b22 a22
b1bk a1k b2bk a2 k 2 2 2 b1 b2 bk | Ak | bk2 akk
t 为何值时，f 为正定二次型？
解
2 P | A | 4 2 t 0, 3
1 t 1 A t 4 0 1 0 2 P1 1 0, 1 t P2 4 t 2 0, t 4
2t 2
所以，当 2 t 2 时 f 为正定二次型
定义
对于 n 阶矩阵 A = (aij), 子行列式
a11 a1k Pk ak 1 akk
称为 A 的 k 阶 顺序主子式.
定理 f (X) = X TAX 是正定二次型 A 的各阶顺序主子式全大于零.
例
讨论下面二次型的正定性： f3 (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 2x2 x3
解 作业：习题6.2 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11
高等代数课件 第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
e1 e2 T Ae1 e2 a d c d 0 b c 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
•若A
1 b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
a
2
c2
1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
第三节正定二次型
第三节正定二次型第三节正定二次型内容分布图示★ 二次型有定性的概念★ 例1-3 ★ 正定矩阵的判定★ 定理6 ★ 矩阵的主子式★ 定理7★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题5-3 ★ 返回内容要点:一、二次型有定性的概念定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<="">成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、正定矩阵的判别法定理1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =定理4 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。
推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为22122221r p p z z z z z ---++++则(1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为22221n z z z f ----= )(2) f 半正定的充分必要条件是.n r p <= (即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22221 )(3) f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22221 ) (4) f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即22122221r p p z z z z z f ---+++=+ )定义2 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式)1(21212221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k ≤<<<≤称为A 的一个k 阶主子式.而子式),,2,1(||212222111211n k a a a a a a a a a A kkk k k k k ==称为A 的k 阶顺序主子式.定理7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式),,2,1(0||n k A k =>.注：(1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵,。
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
《线性代数教学PPT》二次型的正定型
P2
5 2
2 26 0,
6
P3 | A | 80 0,
f 负定.
数
即 (-1)k Pk > 0 (k = 1, 2, 3) = =
基本要求
线
(1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示, 性 了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯
性定理等概念.
代
(2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,
线
若f (x) xT Ax正定,即x Rn , x 0, 恒有xT Ax 0,
性
于是y Rn , y 0,有Cy 0(否则Cy 0,则C 1Cy 0,
即y 0,这与y 0矛盾),因此y Rn , y 0,有
代
yT (CT AC) y (Cy)T A(Cy) 0
线
解
A t 4 0
需
1 0 2
性
P1 1 0,
P2
1
t
t 4 t 2 0,
4
P3 | A | 4 2t 2 0,
代
4 2t2 0
4
t2
0
数
=
2t 2
所以，当 2 t 2 时f 为正定次型
所以,二次型yT (CT AC) y正定.同理可证,当
数
yT (CT AC) y正定时, 有xT Ax正定.
命题1亦表明A与CT AC有相同的正定性.即合同的
=
矩阵有相同的正定性.
=
例 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB
也是正定矩阵 (k > 0, l > 0).
正定二次型和正定矩阵.ppt
detA := 832176
a 2 2ab b 2 (a b) 2 0, 1 2 ab (a b 2 ). 2
f f 99 x 130 x 71x
2 1 2 2
2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 ( x1 x2 ) 48 ( x1 x3 ) 60 ( x2 x3 ) 2 2 2 2 2 2 99 x1 130 x2 71x3 6( x x ) 24( x x ) 30( x x )
6 2 | A2 | 30 4 26 0, 2 5 6 | A3 | 2 2 2 2 5 0 0 210 20 28 162 0. 7
22
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
3. A P T P , P 可逆.
17
a11 As a s1
的行列式.
a1 s , a ss
a11 , An a n1
a1n A . ann
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零. 证明 必要性
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
正定二次型及正定矩阵.ppt
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn
正定二次型
§4 正定二次型一、正定二次型定义 设有实二次型f （n x x x ,,,21 ），如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有f （n c c c ,,,21 ）>0.则称 f 为正定二次型。
如，二次型f （n x x x ,,,21 ）=22221n x x x +++ 是正定的，因为只有在c 1=c 2=…=c n =0时，22221nc c c +++ 才为零. 正定性的判定 1．实二次型f （n x x x ,,,21 ）= d 1x 12+d 2x 22+…+d n x n 2 是正定的当且仅当d i ＞0 ，i=1,2,…,n . .2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f （n x x x ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni x x a11 ,a ij =a ji , (1)是正定的，经过非退化实线性替换X =CY (2)变成二次型g （n y y y ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni y y b11 , b ij =b ji (3)则n y y y ,,,21 的二次型g （n y y y ,,,21 ）也是正定的，事实上，令y 1=k 1,y 2=k 2,…,y n =k n代入⑵的右端，就得n x x x ,,,21 对应的一组值.譬如说，是n c c c ,,,21 这就是说⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21因为C 可逆，就有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21=C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以当n k k k ,,,21 是一组不全为零的实数时，n c c c ,,,21 也是一组不全为零的实数.显然g （n k k k ,,,21 ）= f （n c c c ,,,21 ）>0因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换X C Y 1-=变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。
正定二次型
从而 f > 0, 即kA + lB为正定阵 .
16
证明 由于 A, B为实对称阵 ,
故有 ( kA + lB )T = kAT + lB T = kA + lB
即 kA + lB也为实对称阵 .
对 X ≠ 0,
T T 有 f = X T ( kA + lB ) X = kX AX + lX BX
故 X T AX > 0, X T BX > 0, 又因为 A, B正定 ,
二次型 f 正定当且仅当 A 的各阶顺序主子 式全大于零， 式全大于零，
13
2 t t A = t 2 t , t t 2 2 t p2 = = 4 t 2 > 0, 即 p1 = 2 > 0, t 2 2 t t p3 = t 2 t = (2 2t )(2 + t )2 > 0, t t 2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12
4
三、正定二次型的判定定理
定理 若实二次型 f = X T AX为正定的，那么二次 为正定的，
型的矩阵 A的主对角线元素 a ii > 0 ( i = 1,2, , n ).
证明
为正定的， 因实二次型 f = X T AX为正定的，所以对
任意的 X ≠ 0，均有 X T AX > 0， i 于是， 于是，取 X = ( 0, ,0,1,0, ,0)T ，
实二次型的正定性
1
一、惯性定理
定理（惯性定理） 定理（惯性定理） 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy x = Pz 及
使 及 相等 .
正定二次型
( x1 x2 )2 x22 5 x32 4 x2 x3
( x1 x2 )2 ( x2 2 x3 )2 x32
令 y1 x1 x2
y2
x2
2 x3
为满秩变换. 得
y3 x3
f y12 y22 y32
正惯性指数p=3=n, 得 f 正定.
方法3 特征值
1 1 0
正定二次型(正定矩阵)的性质.
注意: 正定矩阵是特殊的实对称矩阵.
性质1 若A, B为同阶正定矩阵, k为正实数, 则 (1) A+B, kA仍为正定矩阵; (2) 对任意满秩矩阵C, C AC仍为正定矩阵, 即合同变换不改变正定性.
证明 (1) x(A+B)x= xAx+ xBx>0. x(kA)x=k xAx>0(k>0).
xCy
C 0Biblioteka d1y12d
p
y
2 p
d
p1
y2 p1
dr
yr2
(2)
rn.
则必存在实向量 y (0,,0, y p1 ,, yn ) 0
代入上式使 f 0.
同理由C1x=y, 对给定的y能确定唯一非零解 x ( x1, x2 ,, xn ) 使f 0.
这与f 正定矛盾, 因此 p=n.
其它类似可证.
f=xAx >0, 称f为正定二次型, 对称矩阵A称为 正定矩阵.
f= xAx <0, 称f为负定二次型, 对称矩阵A称为 负定矩阵.
f= xAx 0, 称f 为半正定二次型, A为半正定矩阵.
f= xAx 0,称f为半负定二次型, A为半负定矩阵.
若存在非零向量x1, x2, 使得f=x1Ax1>0, f=x2Ax2<0, 称 f 为不定二次型.
正定二次型
2. 二次型正定性的判定 定理12. 实二次型 f =xTAx 为正定二次型的充分必要 条件是它的标准形的 n 个系数全为正数.
证: 设可逆变换 x=Cy，使
f (x)=f(Cy)=k1y12+k2y22+…+knyn2.
先证充分性. 设 ki >0 (i=1,2, …,n). 任给 x≠ 0,则 y = C-1x≠0, 故 f (x)= f (Cy) = k1y12+k2y22+…+knyn2 > 0.
则 k1，k2，…，kr与 1， 2， …，r中带正号的个数相同.
2. 惯性定律的几何解释 惯性定律反映到几何上, 就是经过可逆的线性变换把 二次曲线方程化成标准方程。方程的系数与所作的线性变 换有关；而曲线的类型（是椭圆型 、双曲线型等）是不会 因为所作的线性变换的不同而改变的.
3. 惯性指数 ① 称二次型标准形的项数为二次型的惯性指数 r； ② 称二次型标准形的正项个数为二次型的正惯性指数 p； ③ 称二次型标准形的负项数为二次型的负惯性指数 q; 显然 r= p + q =R(A)
a11 a11 0, a11 a21 a12 0, a22 , a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann 0.
对称矩阵 A 为负定矩阵的充分必要条件是A 的奇数阶 顺序主子式全小于零，而偶数阶的顺序主子式全大于零.即
a11 a1r (1)
r
0,
(r 1,2,, n)
二、二次型的正定性
1、 二次型正定性的概念 定义11 设有二次型 f = xTAx ,若对任何 x ≠0, 都
有f >0, 则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵 A 是正定矩阵, 记为 A > 0 ;对任何 x ≠0, 都有 f < 0, 则称 f 为负定二次型， 并称对称矩阵 A 是负定矩阵, 记为 A < 0 .
第三节 正定二次型
此时A为正定矩阵，f为正定二次型.
当 a b 1 时，有 1 0, 3 0
2 2
此时A为不定矩阵，f为不定二次型.
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例6.7 求 的值，使得二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 2 x2 x3 2 x3 x1 x4
第三节 正定二次型
1
惯性定理 正(负)定二次型的概念 正(负)定二次型的判别
2
3
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一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形 中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也 不变），也就是有如下定理.
构成的k阶子式
a11 a1k ak 1 akk
称为矩阵A的k阶顺序主子式.
令k 1,2,, n 就得到矩阵A的一切顺序主子式．
n阶矩阵只有n个顺序主子式.
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定理6.4
对称矩阵 A为正定的充分必要条件是: A
的各阶顺序主子式为正，即
a11 a12 a11 0, 0, a21 a22
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1 a 0 ( 3) f 的矩阵为 A a 1 b 0 b 1 1 a 1 a 2 3 A 1 (a 2 b 2 ) 1 1 2 a 1
当 a b 1 时，有1 0, 2 0, 3 0 ，
假设有 ks 0, 则当y s (单位坐标向量) 时,
正定二次型和正定矩阵的概念判别二次型或矩阵正定的方法21页PPT
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第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
201
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次
型。
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例19 设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的， 则C TAC是正定的。
有 f证x TA 因x 为 A0,为作 正x定，C所y,以则 对f任 意y T x(C T 0A , )y C , 由 x 0 及 C 可 ,得 y C 逆 1 x 0 , 从 f 而 x T A x y T ( C T A ) y 0 C ,
定理12 实二次型 f xTAx为正定的充分
必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。
证 设可逆变换 xCy使
n
f(x)f(C)y kyi2. i1
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设 先k 证i 充0分(i性1,2,,n)任 . x 给 0 ,则 C1x 0 ,故
f(x )nkiyi20. i1
当 显 yC 再e 然 e s 时 证s ,必0 (.要这单性与位：假坐用设标反向f 证量正法定) 时。矛，假盾f设(，C 故 有e sk)ki s≤k 00s. , 则0 , 推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特
及
1z122z22rzr2, (i 0)
则k1,k2,,kr中正数的个 1,数 2,与 ,r中正数的
个数相. 正等数的个数称为正惯性指数，负数的个数
7-3正定二次型
z2 q2
zr2
则 p=q
3、规范形对应的矩阵
f y12 y22
y2p
y2 p1
y2 p2
yr2
1
p个
1
规范形的矩阵
-1
r p个.
(1) 秩为r
-1
0
n r个
0
(2) 对角阵，主对角线上的元素只能为1,0,-1
f = 2y12 - y22 - y32
f 2z12 2z22 2z32
令
w1 w2
2 y1 y2
y1
解得
y2
1 2
w1
w2
Y = CW 可逆，得标准形为f w12 w22 w32.
w3 y3
y3
w3
令
w1 w2
例2 问t满足什么条件时，二次型
f (x1, x2, x3) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2x3正定.
解：二次型f 的矩阵
1 t 1
A
t
1
2
1 2 5
A1 1 0,
1 A2 t
t 1 t2 0， 1
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同. 证：设A为n阶实对称阵
A正定 实二次型f X T AX 正定 f 的规范形为f y12 y22 yn2. f 的规范形对应的矩阵是单位阵E A与E合同
线代 (20)
即，D与E合同.
例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明
（1） A 1 是正定矩阵；
（2） k A ( k
0 )是正定矩阵；
（3）A * 是正定矩阵； （4） A m 是正定矩阵（m为任意整数）； （5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵；
（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 证：
因此有
X R , X 0,
X ( k A ) X k X A X 0 .
故， A 正定. k
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A
A C C C
* 1
C C
，于是
2
0
*
又 A A A ，由（1）（2）即得 A
正定.
（4）由于 A 正定，知 当 m＝2k
2
正定. 结论成立.
假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.
设
令 则
A ( a ij ) n n .
a 11 a 1 ,n 1 A1 a a n 1 ,n 1 n 1 ,1
A1 A a nn
所以A不是正定的.
2) 实对称矩阵A正定
det A A 0
A C C ,
证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使
从而 注意 反之不然. 即实对称矩阵A，且 如
A
A 0,
A C C C
2
0.
A未必正定.
1 0 , X A X x 1 x 2 不是正定二次型. 但
A
m
A
m
正定.
R , X 0,
n
（5）由于A、B正定，对 X
4.4 正定二次型
推论
二次型 f (x) xAx 为负定的充分必要条件是：
二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于０，偶数阶
顺序主子式大于０．
例 判断二次型的正定性
f 2x12 2x1x2 2x1x3 2x22 2x2 x3 2x32
2 1 1
解法1 二次型的矩阵为
A
1
2
1
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值的个数
f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值的个数
f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值的个数 =R(A)
●二次型的规范形
二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理 可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是， 如下形式的标准形是唯一的：
（4）称二次型f (x) xAx是半负定二次型，如果对于
任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为半负定矩阵。
例 判定下列二次型的正定性
f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32
正定
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32 2x1x2 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32
二次型的矩阵为
A
1
2
1
1 1 2
2 1 1
A E 1 2 1 (1 )2 (4 ) 0
1 1 2
解出特征值 1 2 1 0, 3 4 0
故A是正定矩阵，f 是正定二次型。
例 判断二次型的正定性 f 5x2 6 y2 4z2 4xy
任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为正定矩阵。
正定二次型是二次型中一项非常重要的二次型,
= λi x xi = λi xi
2
= λi
实对称矩正定矩阵的充要条件是: 推论 实对称矩正定矩阵的充要条件是:
A的所有特征值都大于零. 的所有特征值都大于零.
证 为正定矩阵, 为正定矩阵 (⇒) 设A为正定矩阵, λ 为任一特征值， 为任一特征值，x 为 正定， λ 的特征向量，即 Ax = λ x ，由于A正定，则 的特征向量，
2 2 = λ1α 12 + λ 2α 2 + L + λ nα n
2 λ n = λ n ( α 12 + α 22 + L + α n )
2 ≤ x T A x ≤ λ 1 (α 12 + α 22 + L + α n ) = λ 1
（2） x A x i = x λ i x i ）
T i T i
-1 < t < 1
4 < t < 0 5
3
t > 0 4 t < − 5
（舍去） . 舍去）
正定。 ∴当 − < t < 0 时，A正定。
合同， 与 合同 即存在可逆矩阵C 例6.9 设A与B合同，即存在可逆矩阵 , 使
C T AC = B , 则A 正定
⇔
B 正定。 正定。
证 ( ⇐ ) 设B 正定，∀x ≠ 0 , xT Bx > 0 , 则 正定，
yT C T ACy = (Cy )T A(Cy ) > 0
因此， 是正定的。 因此，二次型 f (y) = (Cy)TA C y= yTCTAC y是正定的。 是正定的 反过来也是对的， 有相同的正定性。 反过来也是对的，故xTA x 和yTCTAC y有相同的正定性。 有相同的正定性 从定理的证明还可以看出，对于实对称矩阵 ， 和 从定理的证明还可以看出，对于实对称矩阵A，A和 CTAC (其中 可逆 有相同的正定性。 其中C可逆 有相同的正定性。 其中 可逆)有相同的正定性
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第三节 正定二次型
内容分布图示
★ 二次型有定性的概念 ★ 例1-3 ★ 正定矩阵的判定 ★ 定理6 ★ 矩阵的主子式 ★ 定理7
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-3 ★ 返回
内容要点:
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =
(1) 如果对任何非零向量X , 都有
0>AX X T （或0<AX X T ）
成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 如果对任何非零向量X , 都有
0≥AX X T （或0≤AX X T ）
成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二、正定矩阵的判别法
定理1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.
定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =
定理4 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。
推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .
定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为
2
2122221r p p z z z z z ---++++
则
(1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为
2
2221n z z z f ----= )
(2) f 半正定的充分必要条件是.n r p <= (即半正定二次型的规范形为n r z z z f r <+++=,22
221 )
(3) f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22
2
21 ) (4) f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即2
2122221r p p z z z z z f ---+++=+ )
定义2 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式
)1(2121
2221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k ≤<<<≤
称为A 的一个k 阶主子式.而子式
),,2,1(||2
1
22221
11211n k a a a a a a a a a A kk
k k k k k ==
称为A 的k 阶顺序主子式.
定理7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式),,2,1(0||n k A k =>.
注：(1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵,。
(2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-
其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.
(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
a. 对称矩阵A 是半正定（半负定）的;
b. A 的所有主子式大于（小于）或等于零；
c. A 的全部特征值大于（小于）或等于零.
例题选讲：
二次型有定性的概念
例1(讲义例1) 二次型,),,,(2
222121n n x x x x x x f +++= 当0),,,(21≠=T n x x x X 时, 显然有
,0),,,(21>n x x x f
所以这个二次型是正定的,其矩阵n E 是正定矩阵.
例2 (讲义例2) 二次型,44422
33222312121x x x x x x x x x f -+-+--=将其改写成
,0)2(),,(2321321≤-+-=x x x x x x f
当02321=-+x x x 时, 0),,(321=x x x f ,故),,(321x x x f 是半负定,其对应的矩阵⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----422211211是半负定矩阵.
例3 (讲义例3) 2
221212),(x x x x f -= 是不定二次型,因其符号有时正有时负, 如
.0)1,2(,01)1,1(><-=f f
正定矩阵的判别法
例4 (讲义例4) 当λ取何值时, 二次型),,(321x x x f 为正定.
2
3
32223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++=. 例5 (讲义例5) 判别二次型),,(z y x f 为负定.
xz xy z y x z y x f 44665),,(222++---=.
例6 (讲义例6) 证明: 如果A 为正定矩阵, 则1-A 也是正定矩阵.
课堂练习
1.设二次型,222),,(31212
32221321x x x tx x x x x x x f -+++= 试确定当t 取何值时, ),,(321x x x f 为正定二次型.
2.判别二次型312
322213214542),,(x x x x x x x x f -++=是否正定.
3.设A ,B 分别为m 阶,n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=B A C 00是否为正定矩阵.。