解三角形、数列、基本不等式、简单逻辑、圆锥曲线综合训练

数列、简单逻辑、解三角形、基本不等式、圆锥曲线综合练习（后附详细答案与解析）1.“x=-1“是“x2+x=0“（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离（）A. 6B. 5C. 4D. 23.命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（）A. 若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形B. 若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C. 若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等D. 若△ABC任何两个角相等，则它不是等腰三角形4.设S n为等比数列{a n}的前n项和，a2-8a5=0，则=（）A. B. C. 2 D. 175.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=，b2=ac，则△ABC一定是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若=2，b2-a2=ac，则cos B等于（）A. B. C. D.7.设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D.8.设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：-y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A. B. C. D.9.若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f'（2）x-3，则（）A. f（0）＜f（4）B. f（0）=f（4）C. f（0）＞f（4）D. 以上都不对10.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点F（c，0）为圆心，以a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|=c，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.11.已知关于x的不等式x2-ax-b＜0的解集是（2，3），则a+b的值是（）A. -11B. 11C. -1D. 112.已知抛物线y2=4x，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为（）A. B. C. D.13.公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=______．14.命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是______．15.已知x＞0，y＞0，x+2y=4，则的最小值为______．16.已知m＞0，p：x2-2x-8≤0，q：2-m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．17.在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A-B）+sin C=sin A，b=3．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求边a，c的值．18.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+n-1，且a n＞1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求T n=a1•2+a2•2+…+a n•2的值．19.已知数列{a n}满足，且a3+a7=20，a2+a5=14．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．20.已知椭圆，F1（-1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF 1的周长为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OA⊥OB．求直线l的方程．21.已知椭圆离心率等于，P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. A5. C6. C7. C8. C9. B10. B11. C12. C13. 1914. ∃x∈R，使得x2+1≥015. 216. 解：（1）由x2-2x-8≤0得-2≤x≤4，即p：-2≤x≤4，记命题p的解集为A=[-2，4]，命题q的解集为B=[2-m，2+m]，∵¬q是¬p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4．（2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，解得：-3≤x＜-2或4＜x≤7．综上得：-3≤x＜-2或4＜x≤7．17. 解：（Ⅰ）由sin（A-B）+sin C=sin A，得sin A cos B-cos A sin B+sin （A+B）=sin A即2sin A cos B=sin A，∵sin A≠0，∴cos B=．sin B=（Ⅱ）由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cos B=a2+c2-ac⇒a2+c2-ac=9…①又∵s △ABC=ac•sin B=2，∴ac=6…②由①②解得，∵a＞c，∴a=3，c=2．18. 解：（1）当n=1时，2S1=2a1=+1-1，a1＞1，解得a1=2．当n≥2时，2a n=2（S n-S n-1）=+n-1-，化为：（a n+a n-1-1）（a n-a n-1-1）=0，又a n＞1，∴a n-a n-1=1，∴数列{a n}是公差为1的等差数列，公差为1．∴a n=2+（n-1）=n+1．（2）a n•2=（n+1）•2n+1．∵T n=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1，2T n=2×23+3×24+…+n•2n+1+（n+1）•2n+2，两式相减得：-T n=23+（23+24+…+2n+1）-（n+1）•2n+2=8+-（n+1）•2n+2=-n•2n+2，∴T n=n•2n+2．19. 解：（1）数列{a n}满足，则数列{a n}为等差数列．由于：且a3+a7=20，a2+a5=14．则：，即：，解得：，所以：a n=2+2（n-1）=2n．（2）由于：，则：=，所以：，=．故：．20. （Ⅰ）解：椭圆，F1（-1，0），F2（1，0）分别是椭圆的左、右焦点，所以c=1，过点F2（1，0）作直线l于椭圆C交于A，B两点，△ABF1的周长为．所以，，c=1且a2=b2+c2，得b=1，则椭圆方程：．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）当AB垂直于x轴时，直线l的方程x=1，不符合题意；当AB不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x-1），得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，，=因为，所以，则，x 1•x2+y1•y2=0，得，直线l的方程为．21. 解：（Ⅰ）根据题意，椭圆离心率等于，则有，又a2=b2+c2，所以a2=4c2，b2=3c2设椭圆方程为，代入（2，3），得c2=4，a2=16，b2=12 椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）设AB方程为，代入化简得：x2+tx+t2-12=0，△=t2-4（t2-12）＞0，解可得：-4＜t＜4，，又P（2，3），Q（2，-3）S APBQ=S△APQ+S△BPQ=当t=0时，S最大为．【解析】1. 解：由x2+x=0得x=0或x=-1，则x=-1是x2+x=0的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2. 解：由椭圆，得a2=25，a=5．设P到椭圆另一个焦点的距离为d，则由椭圆定义可得：4+d=2a=10，即d=6．∴P到另一个焦点的距离为6．故选：A．由椭圆标准方程求得长轴长，再由椭圆定义得答案．本题考查椭圆标准方程，考查椭圆定义的应用，是基础题．3. 解：命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”，它的逆否命题是“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形”．故选：A．根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了命题和它的逆否命题的应用问题，是基础题．4. 解：根据题意，等比数列{a n}中a2-8a5=0，即a2=8a5，则有a1q=8a1q4，即有q3=，解可得q=，则===1+q4=1+（）4=；故选：A．根据题意，由等比数列的通项公式可以将a2-8a5=0变形为a1q=8a1q4，解可得q的值，又有等比数列前n项和公式可得===1+q4，将q的值代入即可得答案．本题考查等比数列的性质以及等比数列前n项和公式的应用，关键是求出等比数列的公比．5. 解：根据题意，在△ABC中，B=，则有cos B==，变形可得a2+c2-b2=ac，又由b2=ac，则有a2+c2-2ac=（a-c）2=0，即有a=c，又由B=，则△ABC一定是等边三角形，故选：C．根据题意，由余弦定理可得cos B==，变形可得a2+c2-b2=ac，又由b2=ac，分析可得（a-c）2=0，即可得a=c，又由B=，分析可得答案．本题考查三角形形状的判定，涉及余弦定理的应用，关键是利用余弦定理分析a、c之间的关系．6. 解：△ABC中，=2，由正弦定理得=2，c=2a；又b2-a2=ac，由余弦定理，得cos B===-+=-+1=．故选：C．据正弦定理和余弦定理，结合题意即可求得cos B的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．7. 解：由题意可得F1（-c，0），M（a，b），直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，即a+c=b，平方可得（a+c）2=3b2=3（c2-a2）=3（c+a）（c-a），化简可得a+c=3（c-a），即为c=2a，可得e==2．故选：C．求得直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，运用a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a，b，c的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8. 解：依题意，曲线C1：+=1的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）双曲线C2：-y2=1的焦点也为F1（-2，0），F2（2，0）∵P是曲线C2与C1的一个交点，设其为第一象限的点由椭圆与双曲线定义可知PF 1+PF2=2，PF1-PF2=2解得PF 1=+，PF2=-设∠F1PF2=θ则cosθ==，故选：C先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径|PF1|，|PF2|，最后在焦点三角形PF1F2中，利用余弦定理计算即可．本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题．9. 解：函数的导数f′（x）=2x+2f′（2），令x=2，得f′（2）=4+2f′（2），即f′（2）=-4，f（x）=x2-8x-3，∴f（0）=-3，f（4）=16-32-3=-19，则f（0）＞f（4），故选：C求函数的导数，令x=2，求出函数的解析式，代值计算即可比较本题主要考查二次函数的性质的应用，根据函数的导数公式求出f′（2）的值是解决本题的关键．10. 解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=x，即bx-ay=0，∴焦点到渐近线的距离d=，∵|AF|=|BF|=a，∴|AD|==，则|AB|=2|AD|=2=c，平方得4（a2-b2）=c2，即a2-c2+a2=c2，则2a2=c2，则c2=a2，则c=a，即离心率e=，故选：B根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．11. 解：若关于x的不等式x2-ax-b＜0的解集是（2，3），则2，3是方程x2-ax-b=0的根，故a=5，b=-6故a+b=-1，故选：C．根据不等式的解集求出a，b的值，作和即可．本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式和二次函数的关系，是一道基础题．12. 解：根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan60°=由直线方程的点斜式方程，设AB：y=（x-1）将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3（x-1）2=4x整理得：3x2-10x+3=0设A（x1，y1），B（x2，y2）由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x 1-x2|==．O到直线的距离为：d==，△AOB的面积为：=．故选：C．求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式设出直线方程：y=（x-1），与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．利用点到直线的距离求出三角形的高，即可求解面积．本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．13. 解：设数列的公差为d，（d≠0）∵S5=a32，得：5a3=a32，∴a3=0或a3=5；∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52=a2•a14，∴（a3+2d）2=（a3-d）（a3+11d）若a3=0，则可得4d2=-11d2即d=0不符合题意，若a3=5，则可得（5+2d）2=（5-d）（5+11d），解可得d=0（舍）或d=2，∴a10=a3+7d=5+7×2=19，故答案为：19．由S5=a32，结合等差数列的求和公式可求a3，然后由a52=a2•a14，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，结合通项公式进行求解即可．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，利用方程组思想是解决本题的关键．14. 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是∃x∈R，使得x2+1≥0．故答案为：∃x∈R，使得x2+1≥0．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．15. 解：=（x+2y）（）=（4+）=1+≥1+=2，当且仅当x=2，y=1时取等等号，∴的最小值为2，故答案为：2．由x+2y=4，得1=（x+2y），把要求的式子化为（x+2y）（），再展开后利用基本不等式求得它的最小值．本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．16. （1）根据充分不必要条件的定义进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系，进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的判断，利用定义法是解决本题的关键．17. （1）由sin（A-B）+sin C=sin A，得sin A cos B-cos A sin B+sin（A+B）=sin A，即．sin B=，然后求解cos B的值．（Ⅱ）由余弦定理得：a2+c2-ac=9…①，又s △ABC=ac•sin B=2，ac=6…②，由①②解得a，c．本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．18. （1）当n=1时，2S1=2a1=+1-1，a1＞1，解得a1．当n≥2时，2a n=2（S n-S n-1），又a n＞1，a n-a n-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）a n•2=（n+1）•2n+1．利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. （1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．20. （I）利用已知条件求出c，椭圆的定义求解a，得到b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）当AB垂直于x轴时，直线l的方程x=1，不符合题意；当AB不垂直于x轴时，设直线l 的方程为y=k（x-1），得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，利用韦达定理以及向量的数量积转化以及即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力．21. （Ⅰ）由椭圆的离心率以及椭圆的几何性质分析可得a2=4c2，b2=3c2，设椭圆方程为，将（2，3）代入其中，计算可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程，即可得答案；（Ⅱ）设出A、B的坐标以及AB的方程，利用根与系数的关系分析，可以用k表示S APBQ=S△APQ+S△BPQ的值，由二次函数的性质分析可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是正确求出椭圆的标准方程．。