空间向量与立体几何知识点

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d 知识点拨：
1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．
2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ⋅=⇔⊥
是数形结合的纽带之一，这是运用空间向
量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．
3、公式
cos ,a b a b a b
⋅<>=⋅
是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求
两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等．
4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．
5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
（2）线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ⋅=⇔⊥
．
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得p =xa yb +。

3、空间平面的表达式
空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y 使
MP xMA yMB =+
或对空间任一定点O,有
或OP xOA yOB zOM =++
（其中1x y z ++=）这几
个式子是M,A,B,P 四点共面的充要条件．三、空间向量基本定理1、定理
如果三个向量a 、b 、c
不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组
x 、y 、z ，使p =xa yb +
zc
+ 2、注意以下问题
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
（2）由于0
可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念．
由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c
不共面。

那么所有空间向量所组成
的集合就是
{}|,,,p p xa yb zc x y z R =++∈ ,这个集合可看做是由向量a 、b 、c
生成的，所以我们把{},,a b c 称为空间的一个基底。

a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的
向量都可构成空间的一个基底． 3、向量的坐标表示 （1）单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交
基底，常用
{},,i j k
表示．
（2）空间直角坐标系
在空间选定一点O 和一个单位正交基底{},,i j k
以点O 为原点，分别以i 、j 、k
的方
向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．则建立了一个空间直角坐
标系O －xyz,点O 叫原点，向量i 、j 、k
都叫坐标向量．
（3）空间向量的坐标
a i j k
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b a (21)'AA AD AB (21→+→=→+→+→+→=→+→+→=a 21)'AA AD 2AB (21
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，→
=→c OC ，则|c ||b ||a |→=→=→)]OC →
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个． 2、直线方向向量的应用
利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．
（1）若有直线l ,
点A 是直线l 上一点，向量a
是l 的方向向量，在直线l 上取
AB a = ，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =
，这样，点A 和
向量a
不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．
（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它
们的方向向量分别是a 和b
，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有
序实数对（x ，y ），使得OP =
xa yb + ，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．
二、平面的法向量
1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．
2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a
为法向量且经过点A 的平面是
唯一确定的．
三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u
，则有l 1//
l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．
2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v
，则有
α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v
．
若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v
四、平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =
．
2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)
a a
b
c b a b c ==
3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩ 4、解方程组，取其中一个解，即得法向量
五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系
（一）用向量方法证明空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． 1、线线平行
设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b
，则要证明l 1// l 2，只需证明a //b
，即
()
a kb
k R =∈ 2、线面平行
（1）设直线l 的方向向量是 a ，平面α的法向量是
n ，则要证明//l α，只需证明
⊥ a n ，即0⋅=
a n .
（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行
（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v
（二）用向量方法证明空间中的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1、线线垂直
设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b
，则要证明l 1⊥
l 2，只需证明a ⊥b
，即
0a b ⋅=
2、线面垂直
（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a
//
u
（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3、面面垂直
（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
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七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法
）所示，BO⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段是平面α的任一条斜线段，则在Rt△BOA 中，
BO BA
= cos∠ABO=
因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：、求出该平面的一个法向量．
、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量．
、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位
法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即
d =另外，等积法也是点到面距离的常用求法．
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l 2的方向向量，根据下列条件判断=（－6，－9，3）；
（0，4，0）；
=（6，3，3）
→
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i ）所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点。