音乐中的各音阶与频率的关系
音阶频率的计算
十三、【电子琴的深入讨论】(下文摘自02级电子琴11组报告)如何计算音阶?先从十二平均率中的音阶频率关系谈起。
十二平均律中每组音中有12个音键，其中7个白键、5个黑键。
每个相邻键之间都是半音关系，其频率相差2的12次方根，即1.059463，用音分算是100音分；每隔一键之间是全音关系，用音分计算是200音分；一个全音等于两个半音。
因为相邻音阶的频率比值相等，只要以某一音阶作起始点，就可以算出所有音阶的频率。
那么，以什么音做起始点呢？1934年，世界各国著名的物理学家和音乐家在法国斯徒会议上共同商定，以a1(即小字一组a音)=440HZ为乐器的基准音高。
以a1为基准，按相邻音阶频率比即乘以1.059463为上一半音的频率；除以1.059463为下一半音的频率。
不过这样算会产生累积误差。
通常我们算出小字一组的12音阶频率，再按倍频关系算出上一组和下一组的频率。
还有一种算法是确定中央C音(小字一组的C键即c1)的频率为261.6HZ，再按同组各音与c1的频率比算出其余12音阶的频率，如下表：音名： c1 #c1 d1 #d1 e1 f1 #f1 g1 #g1 a1 #a1 b1 c2频率比：1 1.059463 1.12246 1.1892 1.2599 1.3348 1.4142 1.4983 1.5874 1.68171.7817 1.8877 2同样按照倍频关系算出各组的音阶频率。
下面开始了解电子琴如何产生所有音阶频率。
没有专用音源微处理器的电子琴，其产生音阶常用的方法是自上而下逐级分频。
得到最高组12音阶后，可根据十二平均律原理，相邻八度同名音的频率为倍数关系，故C4频率=C5频率4185.6/2=2092.8HZ，用C5的输出进行2分频就得到C4的音阶频率，其余各组各音阶频率计算以此类推。
用上述分频方法得到的所有音阶频率由于严格按照12平均律进行精确运算，故当主频变化时它们的关系是不会改变的，最多是与标准频率产生微小误差(千分之几)。
音乐中的各音阶与频率的关系
就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是（3/2）n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。举例而言就是，人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ的声音有什么不同。另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。）
“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（AristoxenusofTarentum）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇，不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。
需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。
音阶频率计算公式
音阶频率计算公式1. 十二平均律。
- 在十二平均律中，将一个八度（频率比为2:1）平均分成12等份。
设基准音频率为f_0，对于十二平均律中的第n个音（n = 0,1,·s,11，n = 0表示基准音），其频率f_n的计算公式为：f_n = f_0×2^(n)/(12)。
- 例如，国际标准音A4的频率f_0 = 440Hz。
如果要计算A#4（n = 1）的频率，根据公式f_1=440×2^(1)/(12)≈466.16Hz。
2. 纯律。
- 纯律以自然泛音为基础来确定音高关系。
对于纯律中的大三和弦，根音频率为f，三音频率为f×(5)/(4)，五音频率为f×(3)/(2)。
- 例如，在C大调中，C为根音，频率设为f，E为三音，其频率为f×(5)/(4)，G为五音，其频率为f×(3)/(2)。
3. 五度相生律。
- 五度相生律是根据纯五度关系产生的音律。
从一个基准音开始，不断乘以(3)/(2)（纯五度的频率比），然后通过调整八度关系来得到其他音的频率。
- 设基准音频率为f_0，向上生五度得到的音频率为f_1 = f_0×(3)/(2)。
如果这个音的频率超出了一个八度范围，就除以2使其回到一个八度内。
例如，从C开始，向上生五度得到G，C频率为f，则G频率为f×(3)/(2)。
二、不同音阶体系下的频率计算示例。
1. 以十二平均律计算一个八度内的音阶频率。
- 假设以A = 440Hz为基准音（A4），按照十二平均律计算一个八度内（A4 - A5）各音的频率。
- A4：f = 440Hz- A#4（n = 1）：f = 440×2^(1)/(12)≈466.16Hz- B4（n = 2）：f = 440×2^(2)/(12)≈493.88H z- C5（n = 3）：f = 440×2^(3)/(12)≈523.25Hz- C#5（n = 4）：f = 440×2^(4)/(12)≈554.37Hz- D5（n = 5）：f = 440×2^(5)/(12)≈587.33Hz- D#5（n = 6）：f = 440×2^(6)/(12)≈622.25Hz- E5（n = 7）：f = 440×2^(7)/(12)≈659.26Hz- F5（n = 8）：f = 440×2^(8)/(12)≈698.46Hz- F#5（n = 9）：f = 440×2^(9)/(12)≈739.99Hz- G5（n = 10）：f = 440×2^(10)/(12)≈783.99Hz- G#5（n = 11）：f = 440×2^(11)/(12)≈830.61Hz- A5（n = 12，相当于n = 0但高一个八度）：f = 440×2^(12)/(12) = 880Hz 2. 纯律中的音阶频率计算示例（以C大调为例）- 设C的频率为f = 261.63Hz（近似值）。
声音的频率与声音的音调的关系
声音的频率与声音的音调的关系声音是生活中不可或缺的一部分，它通过震动空气分子传播，让我们能够听到各种声音。
声音的频率和音调是声音的两个重要特征，频率决定了声音的高低，音调则决定了声音的音质。
在这篇文章中，我将探讨声音的频率如何影响声音的音调，并介绍一些与此相关的实际应用。
声音的频率是指一秒钟内震动的次数，单位是赫兹（Hz）。
频率越高，声音就越高沉，频率越低，声音就越低沉。
这是因为高频率的声音意味着声波震动的速度很快，而低频率的声音则意味着声波震动的速度较慢。
音调是声音的主要特征之一，它取决于声波的频率。
声音的音调通常用音阶来描述，我们熟悉的音阶包括C大调、D大调等。
在西方音乐中，音阶以8个音符为一组，重复进行。
当声音的频率提高时，音阶中的音符越来越高，这就是我们所说的升高音调。
相反，当声音的频率降低时，音符越来越低，音调就会降低。
频率与音调之间存在着严格的数学关系。
根据国际标准音高A （440 Hz），其他音符的频率可以通过简单的数学运算得到。
例如，C 音的频率是A音的频率除以2的幂次方，而D音、E音、F音、G音、A音、B音的频率则根据相对位置的不同进行计算。
这个数学模式被称为等比数列，是声音频率与音调之间的数学基础。
频率与音调的关系不仅存在于音乐中，还广泛应用于实际生活中的许多方面。
例如，在语音识别技术中，通过识别声音的频率和音调，计算机可以判断说话者的语速和情绪。
在电话通信中，频率和音调的关系可以用来改进语音质量，保证通话的清晰度。
此外，在音频处理和录音工艺中，频率和音调的关系也被用来调整音频的音质。
然而，我们不能仅仅通过频率和音调来判断声音的好坏。
声音的质量还取决于声压级和谐波等其他因素。
声压级衡量声音的强度，谐波则是指频率的倍数。
这些因素与频率和音调是相关的，但并不完全相同。
只有综合考虑了所有的因素，才能全面地评估声音的质量。
在总结中，声音的频率和音调是声音的重要特征，频率决定了声音的高低，音调则决定了声音的音质。
音高和频率
音高和频率（序言）音高和频率转换表如下一些解释：o Octave 0-9 表示八度区。
C-D-E-F-G-A-B 为C 大调七个主音：do re mi fa so la si（简谱记为 1 到7）。
科学音调记号法（scientific pitch notation）就是将上面这两者合在一起表示一个音，比如A4 就是中音la，频率为440 Hz。
C5 则是高音do（简谱是 1 上面加一个点）。
o升一个八度也就是把频率翻番。
A5 频率880 Hz，正好是A4 的两倍。
一个八度区有12 个半音，就是把这两倍的频率间隔等比分为12，所以两个相邻半音的频率比是 2 开12 次方，也即大约 1.05946。
这种定音高的办法叫做twelve-tone equal temperament，简称12-TET。
o两个半音之间再等比分可以分100 份，每份叫做一音分（cent）。
科学音调记号加上音分一般足够表示准确的音高了。
比如A4 +30 表示比440 Hz 高30 音分，可以算出来具体频率是447.69 Hz。
o A4 又称A440，是国际标准音高。
钢琴调音师或者大型乐队乐器之间调音都用这个频率。
o C4 又称Middle C，是中音八度的开始。
有一种音高标定方法是和C4 比较相隔的半音数，比方B4 就是+11，表示比C4 高11 个半音。
o MIDI note number p 和频率 f 转换关系：p = 69 + 12 x log2(f/440)。
这实际上就是把C4 定为MIDI note number 60，然后每升降一个半音就加减一个号码。
o可以看到E-F 和B-C 的间隔是一个半音，而七个主音别的间隔都是两个半音，也叫一个全音。
o标准钢琴琴键有大有小，大的白色琴键是主音，小的黑色琴键是主音升降一个半音后的辅音。
一般钢琴是88 个琴键，从A0 到C8。
知道了上面这些，看到钢琴键盘应该就马上能找到Middle C 了，如下o音高间隔（音程）有各类说法，某些间隔的两个音同时发出来会比较令人身心愉快，比如频率比3:2 的perfect fifth 在各类乐曲都会广泛用作和弦。
声学基础与常识
王传芳 / gaizi23@
声音三要素
声学三要素：音调或者叫音高（对应频率）、音色（对应频谱）、响度（对应振幅）。任何复杂的声音都可以用此三 个属性来描述 音调：人耳对于声音高低的感觉，称为音调。音调主要与声音 的频率有关，同时也与声压级和声音的持续时间有关。音调会 随着频率的增大而提高，但不是与频率成完全的线性关系。 音调的单位为“美”（Mel），定义40dB@1KHz纯音的音调为 1000美。需要注意的是，影响音调的因素还有声音的声压级， 以及声音的持续时间。低频的纯音，声压级高的时候，要比声 压级低的时候搞到音调变低；频率在1KHz~5KHz之间的纯音， 音调几乎与声压级无关；频率再高的纯音，声压级升高时，会 感到音调变高。 复音（是指由许多纯音组成的声音）的音调由复音中频率最低 的声音决定，即由基音决定。复音的声压级高低对于音调的影 响要比纯音小很多。 当声音持续时间在0.5s以下的时候，要比1s以上感到音调比较 低。持续时间再短，为10ms左右的时候，会使得听音人感觉 不出它的音调，只能听到“咔咔”的声音。 要想使人耳能够明确感觉出音调所必须的声音持续时间，随声 音的频率不同而不同。频率低的声音要比频率高的声音需要更 长的时间。
西洋乐器声源 小提琴 大提琴 低音提琴 小号 圆号 长号 高音萨克斯 低音萨克斯 钢琴 频率范围 （包括谐频） 196Hz~16KHz 65Hz~16KHz 41Hz~10KHz 180Hz~10KHz 90Hz~8KHz 80Hz~7KHz 200Hz~17KHz 58Hz~14KHz 27Hz~12KHz
声压级（SPL）
声波通过空气传播时，由于振动会导致压强的改变，压强改变量是随时间变化的，实测声压就是压强该变量的有效值， 单位是Pa或MPa。声压就是大气压受到扰动后产生的变化，相当于在大气压强上的叠加一个扰动引起的压强变化。由于 声压的测量比较容易实现，通过声压的测量也可以间接求得质点速度等其它物理量，所以声学中常用这个物理量来描述 声波。表示声压大小的指标称为声压级（SPL，sound pressure level），用某声音的声压（p）与基本声压值（p0）之比 的常用对数的20倍来表示，即20lgP/P0，单位为dB。
音乐与乐器声音的频率与音阶
音乐与乐器声音的频率与音阶音乐是一种艺术形式，通过声音的排列与组合来表达情感和思想。
而乐器的声音则是音乐创作和演奏的基础，它们产生的声音频率与音阶对音乐的表达具有重要的影响。
本文将介绍音乐与乐器声音的频率与音阶之间的关系。
一、音乐的频率与音调音乐的频率是指声波每秒钟振动的次数，用赫兹（Hz）来表示。
频率越高，声音听起来越高音调，频率越低，声音听起来越低音调。
不同的乐器和声音源产生的声音频率不同，因此它们在音乐中扮演着不同的角色。
例如，钢琴和吉他是常见的乐器，它们在音乐中负责弹奏和伴奏。
钢琴的频率范围通常从27.5Hz到4186Hz，而吉他的频率范围通常从82.4Hz到1319Hz。
这意味着钢琴可以演奏出更广泛的音调，而吉他则相对较少。
二、音高与音阶音高是指声音的高低，是音乐中最基本的属性之一。
音高与音调有密切的关系，音高越高，音调越高。
通过不同的音高，音乐可以创造出丰富多样的表达效果。
音阶是按照一定规律排列的一组音高。
常用的西方音乐音阶有大调音阶和小调音阶。
大调音阶包含7个音符，从低音到高音顺序为：do、re、mi、fa、sol、la、si。
小调音阶也包含7个音符，但音程有所不同，听起来更加忧伤和深沉。
不同的音阶给人不同的感受和情感体验。
大调音阶通常让人感到明快和欢快，而小调音阶则更容易引起人的情感共鸣。
在音乐创作和演奏中，乐曲的选择和音乐编排往往基于不同音阶的特点来表达特定的情绪和氛围。
三、乐器的声音频率与音阶不同的乐器产生的声音频率与音阶各不相同。
这是由于乐器的结构、材料和制作工艺等因素所决定的。
下面以几种常见的乐器为例，介绍它们的声音频率和音阶特点：1. 钢琴：钢琴是一种弹拨乐器，具有广阔的音域和多变的音阶。
它可以演奏出包括低音区、中音区和高音区在内的所有音调，音域覆盖从低至32.7Hz到高至4186Hz的范围，能够满足创作和演奏的需求。
2. 笛子：笛子是一种吹奏乐器，常见的有竹笛、金属笛等。
音阶与频率对应关系表
音阶与频率对应关系表一首音乐是许多不同的音阶组成的，而每个音阶对应着不同的频率，这样我们就可以利用不同的频率的组合，即可构成我们所想要的音乐了，当然对于单片机来产生不同的频率非常方便，我们可以利用单片机的定时/计数器T0来产生这样方波频率信号，因此，我们只要把一首歌曲的音阶对应频率关系弄正确即可。
现在以单片机12MHZ晶振为例，例出高中低音符与单片机计数T0相关的计数值如下表所示音符频率（HZ）简谱码（T值）音符频率（HZ）简谱码（T值）低1 DO 262 63628 # 4 FA# 740 64860#1 DO# 277 63731 中 5 SO 784 64898低2 RE 294 63835 # 5 SO# 831 64934 #2 RE# 311 63928 中 6 LA 880 64968 低 3 M 330 64021 # 6 932 64994低 4 FA 349 64103 中 7 SI 988 65030# 4 FA# 370 64185 高 1 DO 1046 65058低 5 SO 392 64260 # 1 DO# 1109 65085# 5 SO# 415 64331 高 2 RE 1175 65110低 6 LA 440 64400 # 2 RE# 1245 65134 # 6 466 64463 高 3 M 1318 65157低 7 SI 494 64524 高 4 FA 1397 65178中 1 DO 523 64580 # 4 FA# 1480 65198# 1 DO# 554 64633 高 5 SO 1568 65217中 2 RE 587 64684 # 5 SO# 1661 65235# 2 RE# 622 64732 高 6 LA 1760 65252 中 3 M 659 64777 # 6 1865 65268中 4 FA 698 64820 高 7 SI 1967 65283下面我们要为这个音符建立一个表格，有助于单片机通过查表的方式来获得相应的数据低音0－19之间，中音在20－39之间，高音在40－59之间TABLE: DW 0,63628,63835,64021,64103,64260,64400,64524,0,0DW 0,63731,63928,0,64185,64331,64463,0,0,0DW 0,64580,64684,64777,64820,64898,64968,65030,0,0DW 0,64633,64732,0,64860,64934,64994,0,0,0DW 0,65058,65110,65157,65178,65217,65252,65283,0,0DW 0,65085,65134,0,65198,65235,65268,0,0,0DW 02、音乐的音拍，一个节拍为单位（C调）曲调值DELAY 曲调值DELAY 调4/4 125ms 调4/4 62ms 调3/4 187ms 调3/4 94ms 调2/4 250ms 调2/4 125ms对于不同的曲调我们也可以用单片机的另外一个定时/计数器来完成。
音高关系的概念
音高关系的概念音高关系是指音乐中不同音调之间的关系。
音高是声音的基本特征之一，是指声音的高低程度。
音高的高低由振动频率决定，频率高则音高高，频率低则音高低。
在音乐中，音高关系是通过不同音调之间的频率差异以及音高对比来表现的。
音高关系在音乐中具有重要的作用，它可以为音乐注入情感和表达力。
音高的升高和降低常常与音乐的起伏、曲线和变化有关。
不同的音高关系可以表达音乐的情感色彩，比如高音可以表现出明朗、欢快和活力的情感，而低音则可以表达出沉郁、庄重和深沉的情感。
音高关系有着多样的形式和表现方式。
最基本的音高关系是音高的顺序排列，即音阶。
音阶中的音符按照音高的递增或递减顺序排列，形成了不同的音高关系。
音高关系还可以通过和声的方式来表现，比如和弦中不同音符的音高关系。
和声中的音高关系对于音乐的和谐性和丰富性起着重要作用。
音高关系也可以通过旋律的方式来表达。
旋律中的音符按照一定的音高关系排列，形成了旋律的走向和发展。
旋律中的音高关系决定了旋律的高潮、转折和情感表达。
音高关系还可以通过声部之间的对位关系来表现，比如巴赫的复调音乐中常常运用对位法，通过不同声部之间的音高对比来构建和谐的音乐结构。
音高关系也可以通过音乐的调式来表现。
调式是音乐中的一个基本元素，它决定了音乐中不同音符的音高关系。
调式包括大调和小调两种基本形式，它们有着不同的音高结构和音高关系。
大调音乐具有明朗、欢快和轻快的特点，常常用于表达明朗、愉悦的情感；而小调音乐则具有沉郁、悲伤和深沉的特点，常常用于表达深情和哀思。
音高关系还可以通过音乐的节奏来表达。
节奏是音乐中的时间元素，它决定了音乐的速度和稳定性。
节奏中的不同音符按照一定的音高关系排列，形成了节奏的结构和变化。
音高关系与节奏的结合可以使音乐更加生动、有力和富有动感。
总之，音高关系是音乐中不同音调之间的关系，它可以通过音阶、和弦、旋律、调式和节奏等方式来表现。
音高关系在音乐创作和演奏中起着重要的作用，它能够为音乐注入丰富的情感和表达力，使音乐更加生动、丰富和有韵律感。
声学基础与常识
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SPL VS. P(Pa)
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声压·声压级·响度级·响度
为分析声压，响度级以及响度之间的关系，我们通过右上角表格数据绘制了如下曲线。从分析的曲线可以看出，人 耳所感受到的响度与物理意义的声压（帕）直接虽然是对数关系，但是其底a没有达到10。
声压级连续变化时的声压级变化分辨阈：对于声压级连续变化的
信号，声压级变化的分辨阈与声压级大小有关。当声压级较小的
时候，分辨阈较大；当声压级逐渐增大的时候，分辨阈会逐渐减 小。而且不同的声压级的声音，其声压级变化的分辨阈随频率的
7
变化也会不同。右图可以看到，当声压级在50dB以上的时候，人
耳能够分辨的最小声压级变化大约为1dB；当声压级小于40dB的
等响曲线中每条曲线显示不同频率的声压 级不相同,但人耳感觉的响度相同。 由此可见（我的理解），响度级考虑的是 折为整算“理人方p耳”pt的与频dB率的特物性理后意的义声类压似级。。可以认
声音三要素
响度与持续时间的关系：响度除了与声压级、频率 等相关因素有关以外，还与声音的持续时间有关。 大量的测试结果表明：在100ms~200模式的持续时 间以内，声音的响度随持续时间的增大而增大。所 以，从某种程度上说，听觉是由记忆功能的。
声音三要素
响度：人耳对于声音强弱的感觉，称为响度。声音的响度主要与声压有关，声压越大，响度也就越大。但是，响度与声
压并不是成线性比例关系，而是大致与声压的指数成比例关系。响度的这一听觉特性被称为“史蒂文指数定律”。
音乐中的各音阶与频率的关系
音乐中的各音阶与频率的关系--十二平均律zz2009-09-18 14:46“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。
比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。
研究音律的学问叫做“律学”。
也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。
对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。
令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。
这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。
这些圣咏是西方现代音乐的源头。
）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。
而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。
所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。
对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。
一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。
声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。
频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。
从物理学角度看音阶的产生
从物理学角度看音阶的产生
音乐是一种美妙的艺术形式，而音乐中的音符和音阶是如何产生的呢？从物理学的角度来看，我们可以探讨音阶的形成和原理。
首先，音乐是由不同频率的声波组成的。
频率越高的声波，对应的音调就越高。
在音乐理论中，把一系列音高按照一定规律排列组合而成的音阶。
音阶的产生和组成是根据许多物理规律和原理的。
首先，音阶中的基本单位是频率的比例关系。
例如，当两个音的频率比为2:1时，
这两个音的音高差一个八度。
这种频率比例的关系是根据弦乐器或管乐器发声原理得出的。
其次，音阶的等分原理也是很重要的。
在音乐中，一个八度被分成12个半音。
这12个半音之间的频率比例是固定的，这也决定了不同音符之间的音程关系。
另外，共振现象也对音阶的产生影响很大。
当一个物体受到特定频率的外力作用时，就会出现共振现象。
在乐器中，共振现象是乐器发声的基础，也是音阶形成的重要因素之一。
而音阶中的半音和全音，也与泛音列有密切关系。
泛音列是自然界中一种普遍存在的声音现象，不同频率的泛音合成在一起就构成了音色丰富的声音。
综上所述，从物理学的角度来看，音阶的产生是由许多物理规律和原理共同作用的结果。
音阶不仅仅是人类长期实践和感知音乐的产物，更是深深根植于自然规律之中的。
对音阶的理解可以帮助我们更深入地欣赏音乐，感受到自然界的美妙和奥秘。
音乐中的各音阶与频率的关系
音乐中的各音阶与频率的关系--十二平均律zz2009-09-18 14:46“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。
比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。
研究音律的学问叫做“律学”。
也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。
对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。
令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。
这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。
这些圣咏是西方现代音乐的源头。
）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。
而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。
所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。
对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。
一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。
声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。
频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。
五度相生律概念
五度相生律概念五度相生律是一种音乐理论，它基于五度音程的关系来生成音阶和音高。
五度音程是指两个音之间的频率比为2:3的关系，是音乐中最基本的音程之一。
以下是关于五度相生律的四个方面：1.五度音程关系五度音程是指两个音之间的频率比为2:3的关系，是音乐中最基本的音程之一。
在五度相生律中，以一个音为基音，上方纯五度的音和下方纯五度的音分别作为第一泛音和第二泛音。
根据五度相生律，基音和第一泛音之间的频率比为3:2，基音和第二泛音之间的频率比也为3:2。
这样，通过五度相生律可以生成一个完整的音阶。
2.音阶排列在五度相生律中，音阶的排列顺序是按照五度相生关系得出的。
以一个音为基音，上方纯五度的音和下方纯五度的音分别作为第一泛音和第二泛音，以此类推，可以得到完整的七声音阶。
在五度相生律中，每个音的音高和频率都有明确的规定，按照这个规律排列的音阶具有很高的和谐性和美感。
3.音高计算在五度相生律中，音高的计算是基于五度音程关系的。
具体来说，如果知道一个音的频率，可以通过计算得出其他音的频率。
例如，如果基音的频率为f1，第一泛音的频率为f2=1.5f1，第二泛音的频率为f3=0.75f1。
通过这些公式，可以计算出整个音阶中每个音的频率。
4.音乐实践在音乐实践中，五度相生律被广泛应用于各种音乐风格中。
它不仅被用于古典音乐和民族音乐中，也被用于流行音乐和爵士乐中。
通过使用五度相生律，音乐家可以创造出和谐、动听的旋律和和声，让听众感受到音乐的美妙和魅力。
总之，五度相生律是一种重要的音乐理论，它以五度音程关系为基础，通过计算和排列生成完整的音阶和音高。
在音乐实践中，五度相生律被广泛应用于各种音乐风格中，为音乐创作提供了重要的理论和实用价值。
声音的频率与音高关系
声音的频率与音高关系声音是我们日常生活中无处不在的一种感知体验，也是交流和传递信息的重要方式之一。
然而，你是否曾想过声音的频率与音高之间存在着怎样的关系呢？在这篇文章中，我们将探讨声音的频率是如何决定了音高以及它们之间的关系。
首先，我们来了解一下声音的频率是什么。
声音是由物体发出的能量在空气中传播所产生的，而声音的频率则是指声波振动的频率。
简单来说，声波的频率就是声音振动的快慢程度，被称为赫兹（Hz）。
声波频率越高，表示声音的振动速度越快；反之，频率越低则振动速度越慢。
接下来，让我们进一步探讨声音频率与音高之间的关系。
音高是用来描述声音高低的物理特性，它是我们听到声音时的感知结果。
在音乐中，音高常常用音符表示，而不同的声音频率对应着不同的音高。
一般来说，频率越高的声音对应着较高的音高，而频率越低的声音则对应着较低的音高。
根据人耳对声音的感知，我们可以知道，人耳对不同频率的声音的感知是有限的。
我们最敏感的听觉范围介于20 Hz到20,000 Hz之间。
在这个范围内，通常频率越高的声音越容易被察觉到，而频率越低的声音则需要更大的振幅才能够被我们察觉到。
因此，当频率超过20,000 Hz时，我们将无法感知到这些高频声音。
同时，我们还可以进一步了解到，声音的频率与音高之间存在着一种数学关系。
根据研究发现，音高的感知与声音频率之间近似遵循“对数关系”。
也就是说，当声音频率变化一个单位时，我们对音高的感知并不会呈线性增加，而是呈现出递增的趋势。
这就解释了为什么音阶上相邻的音符频率之间的间隔并不是等比增减的。
此外，值得注意的是，音高和音量是两个不同的概念。
音量是音频信号的振幅大小，用来描述声音的强度。
虽然音量和音高是不同的物理特性，但在实际听觉体验中，我们常常将它们混为一谈。
我们通常认为频率较高的声音听起来更尖锐，频率较低的声音听起来更低沉，但这种感知往往与声音的音量有关。
综上所述，声音的频率决定了我们对声音的音高感知。
数学乐理知识点总结
数学乐理知识点总结在音乐理论中，数学是一个重要的组成部分。
数学与音乐之间存在着密切的关系，数学的运算和逻辑性在音乐的创作、分析和表现中扮演着重要的角色。
本文将对数学在音乐理论中的应用进行总结和介绍。
一、频率与音高音乐是由震动产生的声音所构成的，而这些声音的特征之一就是频率。
频率是指声音震动的次数，频率越高则声音越高。
在乐理中，频率与音高之间存在着关系，并且可以用数学公式来表示。
频率与音高之间的关系由物理学家海因里希在 17 世纪提出的公式来描述：f = 2^(n-49)/12 × 440其中 f 代表频率，n 代表音高的音名，440 是 A4 音（中央 C 音）的频率。
这个公式表明，音高与频率的关系是呈指数增长的。
当n增大一个八度时，频率则翻倍增加。
二、节拍与拍子在音乐中，节拍和拍子是非常重要的概念。
节拍是音乐中的基本时间单位，而拍子则是由若干个节拍组成的一个小节。
在乐理中，节拍和拍子可以用数学的方法来理解和表示。
通常，一个小节可以用一个分数来表示，分数的分子表示拍子的个数，分母表示每个拍子的时值。
比如，一个 4/4 拍子表示一个小节包含四个拍子，每个拍子是一个四分音符的时值。
这种表示方法使得音乐的节奏可以用数学的方法来分析和表示。
三、调性与音程在音乐中，调性是非常重要的基本概念。
调性决定了音乐作品的基调，以及作品中不同音符之间的关系。
在乐理中，调性可以用数学的方法来分析和表示。
调性的基本单位是音程，它表示了两个音符之间的音高关系。
音程可以用半音的数量来表示，因为半音是音乐中的基本音高单位。
此外，音程还可以用简化的数学比例来表示，比如 2:1 表示一个八度的音程，3:2 表示一个纯五度的音程等等。
这种表示方法使得调性和音程可以用数学的方法来分析和比较。
四、和弦与和声和弦是音乐中的基本概念之一，它由几个音符同时演奏而成。
在乐理中，和弦可以用数学的方法来分析和理解。
和弦的基本单位是音阶，它由不同音高的音符组成。
五度相生律 频率比
五度相生律频率比摘要：1. 五度相生律的定义和含义2. 频率比的概念和计算方法3. 五度相生律与频率比的关系4. 五度相生律在音乐创作和演奏中的应用5. 频率比在音乐创作和演奏中的应用正文：五度相生律是中国古代音乐理论中的一个重要概念，它指的是五个音阶的生成关系，即：宫、商、角、徵、羽。
这五个音阶按照频率比例依次排列，形成了一个和谐的音阶体系。
五度相生律在我国古代音乐理论中有着非常重要的地位，它对音乐的创作和演奏产生了深远的影响。
频率比是指两个频率之间的比值，是音乐理论中一个重要的概念。
频率比的计算方法是通过将两个频率相除，得到的结果就是它们的频率比。
频率比在音乐理论中有着非常重要的地位，它可以用来描述音符之间的关系，是音乐创作和演奏的基础。
五度相生律与频率比有着密切的关系。
五度相生律的五个音阶的频率比是按照一定的比例关系的，这个比例关系是基于频率比的。
五度相生律的五个音阶的频率比是：宫：商=1:0.866，商：角=1:0.866，角：徵=1:0.866，徵：羽=1:0.866，羽：宫=1:2。
这个比例关系是音乐理论中一个重要的比例关系，被称为“五度相生律频率比”。
五度相生律在音乐创作和演奏中有着广泛的应用。
在音乐创作中，作曲家可以按照五度相生律的频率比来选择音符，以达到和谐的效果。
在音乐演奏中，演奏者可以按照五度相生律的频率比来调整音高，以达到准确的音高。
频率比在音乐创作和演奏中也有着广泛的应用。
在音乐创作中，作曲家可以按照频率比来选择音符，以达到和谐的效果。
在音乐演奏中，演奏者可以按照频率比来调整音高，以达到准确的音高。
频率比是音乐理论中一个重要的概念，它在音乐创作和演奏中起着重要的作用。
总的来说，五度相生律和频率比是音乐理论中两个重要的概念，它们在音乐创作和演奏中起着重要的作用。
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音乐中的各音阶与频率的关系--十二平均律zz2009-09-18 14:46“律”，即“音律”（intonation），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。
比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。
研究音律的学问叫做“律学”。
也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音（当然也可以选择其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。
对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的知识，迟早都会遇到关于律学的问题。
令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基础概念却出奇地相似。
这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
（BTW：现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（chant）的首音节。
这些圣咏是西方现代音乐的源头。
）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。
而空气的振动是以波的形式传播的，也就是所谓的声波。
所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的特性：频率／波长、振幅、相位。
对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。
一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000次）之间。
声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。
频率低于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。
（BTW：人耳能分辨的最小频率差是2HZ。
举例而言就是，人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ 的声音有什么不同。
另外，人耳在高音区的分辨能力迅速下降，原因见后。
）需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。
打比方说，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。
100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。
换句话说，某一组声音，如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……，即按2n的规律排列的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。
（比如这里有16个音，它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍……16倍。
大家可以听一下，感觉它们是不是音越高就“距离”越近。
用音乐术语来说，这些音都是110HZ的“谐波”（harmonics），即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。
这个ogg文件可以用“暴风影音”／StormCodec软件来试听。
）由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。
用音乐术语来说，×2就是一个“八度音程”（octave）。
前面提到的do、re、mi中的do，以及so、la、si后面的那个高音do，这两个do之间就是八度音程的关系。
也就是说，高音do的频率是do的两倍。
同样的，re和高音re之间也是八度音程的关系，高音re的频率是re的两倍。
而高音do上面的那个更高音的do，其频率就是do的4倍。
也可以说，它们之间隔了两个“八度音程”。
显然，一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。
很自然，用do、re、mi写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写，听众只会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。
这种等效性，其实就是“等差音高序列”的直接结果。
“八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了。
比如我国浙江的河姆渡遗址，曾经出土了一管距今9000年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏8个音符，其中就包含了一个八度音程。
当然这个八度音程不会是do到高音do，因为只要是一个音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有关系。
明白了八度音程的重要性，下面来介绍在一个八度音程之内，还有那些音是重要的。
这其实是律学的中心问题。
也就是说，如果某一个音的频率是F，那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。
如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发声是因为琴弦的振动。
而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。
如果在一根弦振动的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。
这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。
因为在物理上，弦的振动频率和其长度是成反比的。
由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。
他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1。
那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。
一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。
这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。
这样，在我们要寻找的F～2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。
（那个3F的频率正好处于下一个八度，即2F～4F中的同样位置。
）接着再试，数学上简单性仅次于3:1的是4:1，我们试试按弦的1/4点会怎样？又出现了两个音。
一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。
另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。
现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。
同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。
在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。
这个现象也被很多民族分别发现了。
比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。
我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。
具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到3/2F。
如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。
得到这两个频率之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。
实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。
古人于是换了一种方法。
与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。
可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。
没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F的频率减半，便得到了9/8F。
接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。
就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。
我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。
可是（3/2）n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。
律学所有的麻烦就此开始。
数学上不可能的事，只能从数学上想办法。
古人的对策就是“取近似值”。
他们注意到（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。
这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。
这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。
这7个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。
如果这里的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，这7个频率组成了7声音阶。
这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leading tone）。
其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so 和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。
由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的，而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。
西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。
我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。
仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si 之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音（tone）；mi～fa、si～do 之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音（semitone）。
“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。
原因之一就是它太复杂了。
前面说过，如果按住弦的1/5点或者1/6点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，现在居然出现了81/64和243/128这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（just intonation）。
“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。
“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。
（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。
）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。