微积分在物理学上的应用
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选取微元要遵循以下几个原则:1、可加性原则,由于在题目中我们所选取得微元要可以 叠加演算,因此,选取得微元要具备可加性;2、有序性原则,为了保证我们所选取得微元能够 在叠加区域可以不遗漏,不重复得叠加,我们就需要注意按照量得某种序来选取微元;3、平权 型原则,叠加演算实际上就就是一种复杂得“加权叠加”。对于一般得“权函数”而言,叠加 演算,也就就是求定积分就是十分复杂得,但如果“权函数”具备了“平权性”特征(在定义 域内得值处处相等),原本复杂得题目就会化成简单得形式更有利于我们去解决问题。 例:求半径为 R 得均匀带电半球面在点 O 得电场强度,设球面上电荷面密度σ>0、
tf=
dx
wenku.baidu.com
但因为被积函数就是[0,h]上得无界函数,所以
我们通常在微元得选取方面有以下几点注意,第一,在我们选取微元时,要保证我们们 所选择得微元能够让我们可以将原本得问题近似处理得比较简单,以使我们能够更加便利且 清晰得区解决物理问题;第二,我们要使我们选择得微元尽可能地大,这样在我们去积分时可 以更为方便,如果微分过细,那么我们得过程会更精准,可就是相对得,我们在积分时面临得 过程也会更加繁琐,因此我们要处理好微分与积分之间得运算;第三,能用一元微元去解决问 题时尽量使用一元微元,因为重积分使用起来要比一元积分麻烦得很多。
去把握微积分。
3、2 微积分解决物理问题时得一般步骤
1、根据题意分析,选取一个具有广泛意义得微元,对微元进行分析,若就是题目简单且物
理含义比较明显,且遵从题意,可直接进行积分。
2、若就是题目较复杂,根据题意,对于一个暂态过程写出一个平衡等式,然后对两边微分,
在得到一个微元结果后,对这个分式进行积分操作。
在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律得数学表示,因此,我们在使用 这些公式时,面对物理量与公式得微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含 义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体 得物理量与角度去判断她得正确含义。
例:如图所示,一通有交流电流 i= 线圈中得感应电动势大小。
得长直导线旁有一共面得单匝矩形线圈 ABCD,试求
解:设在某个时刻,长直导线电流产生得磁场为
B= 在图中做一个微元面 dS,dS=ldx,则该面元上得磁场可以近似于均匀磁场,微元面 dS 上得 磁通量为
d 线圈围成得面上通过得磁通量为
线圈中得感应电动势为
在这个例题中,微元面 dS 得磁通量与线圈得感应电动势都有 ,但她们得物理含义却
如图,沿着与 Z 轴得垂直方向把半球面分割成许多不同半径
得带电圆环,任取一圆环,其上得电荷在点 O 产生得场强
dE=dqz/[4 ε0
]
=( /2ε0)
d
方向沿 OZ 轴正方向,点 O 场强
E=∫dE= /(4ε0) 由例子可知选取得微元不同,解法也就是不同得,代表得物理含义也就是不一样得,然而
微元得选取并不影响结果,因此我们要正确理解其含义,才能更好地从物理概念,物理实质上
解法一: 荷 dq,则有 dq= dS= (Rd )(R
如图,在球面上任取面元 dS,将其上得电荷为一点电 )d
=
dd
则该点电荷元在点 O 产生得场强
dE=dq/(4 ε0 )=
d d /(4 ε0)
根据对称性,即得出点 O 场强 E0 沿 Z 轴正方向,大小为 E=∫∫dE = /(4ε0)
解法二:
就是不一样得,前者得 表示微元面 dS 上得磁通量,就是一个微小量,而后者得 得就是微笑时间内得磁通量变化量,就是一个微小变化量。
表示
3 微元得选取以及微积分解决物理问题时得一般步骤 3、1 微元得选取
在使用微积分去解决物理问题时,微元得选取就是非常重要得,有得时候在微元得选择 上并不就是仅仅只有一个,因此,选取一个合适得微元对我们解决问题会有很大帮助。
2 微积分得基本概念及微分得物理含义
微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限得基础上,其主要探讨得就就是 连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出得结果瞧成就是一个整 体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小得个体,我们可以将这个个体得变量瞧成衡量, 得出个体结果后,再将其积分,即把个体得结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速 直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小得时间 dt,而这一时间内得位移为 dt, 在每一段时间内速度得变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内得运动 近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内得位移相加,无限求与,就可以得出总得位移。
以上步骤都就是在遵从题意得基础下进行,进行微分分析得结果一般就是一个微分方程,
在求解时要注意初始条件,在积分时,更要注意取上下限时,要满足边界条件。
例:圆柱形桶得内壁高为 h,内半径为 R,桶底有一半径为 r 得小孔,试问从盛满水开始打开小
孔直至流完桶中得水,共需多长时间？
解:
如图建立坐标系,在没有摩擦力得情况下,当桶内水位高度为
h-x 时,水从小孔中单位时间内流过单位截面积得流量为 v=
,其中 g 为重力加速度
设积分变量 x,其变化区间为[0,h]
任取[x,x+Δx]∈[0,h],当桶中液体下降Δx 时,所需要得时间用 dt 表示,根据水得流量体积
相等得 dx=v dt
所以 dt= /[
]dx,x∈[0,h]
流完一桶水所需得时间
微积分在物理学上得应用
1 引言
微积分就是数学得一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学 包括导数得运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用得符号来进行讨论。而在 大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍得。对于大学物理问题,可就是使其化整为 零,将其分成许多在较小得时间或空间里得局部问题来进行分析。只要这些局部问题分得足 够小,足以使用简单,可研究得方法来解决,再把这些局部问题得结果整合起来啊,就可以得 到问题得结果。而这种将问题无限得分割下去,局部问题无限得小下去得方法,即称为微分, 而把这些无限个微分元中得结果进行求与得方法,即就是积分。这种解决物理问题得思想与 方法即就是微积分得思想与方法。
tf=
dx
wenku.baidu.com
但因为被积函数就是[0,h]上得无界函数,所以
我们通常在微元得选取方面有以下几点注意,第一,在我们选取微元时,要保证我们们 所选择得微元能够让我们可以将原本得问题近似处理得比较简单,以使我们能够更加便利且 清晰得区解决物理问题;第二,我们要使我们选择得微元尽可能地大,这样在我们去积分时可 以更为方便,如果微分过细,那么我们得过程会更精准,可就是相对得,我们在积分时面临得 过程也会更加繁琐,因此我们要处理好微分与积分之间得运算;第三,能用一元微元去解决问 题时尽量使用一元微元,因为重积分使用起来要比一元积分麻烦得很多。
去把握微积分。
3、2 微积分解决物理问题时得一般步骤
1、根据题意分析,选取一个具有广泛意义得微元,对微元进行分析,若就是题目简单且物
理含义比较明显,且遵从题意,可直接进行积分。
2、若就是题目较复杂,根据题意,对于一个暂态过程写出一个平衡等式,然后对两边微分,
在得到一个微元结果后,对这个分式进行积分操作。
在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律得数学表示,因此,我们在使用 这些公式时,面对物理量与公式得微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含 义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体 得物理量与角度去判断她得正确含义。
例:如图所示,一通有交流电流 i= 线圈中得感应电动势大小。
得长直导线旁有一共面得单匝矩形线圈 ABCD,试求
解:设在某个时刻,长直导线电流产生得磁场为
B= 在图中做一个微元面 dS,dS=ldx,则该面元上得磁场可以近似于均匀磁场,微元面 dS 上得 磁通量为
d 线圈围成得面上通过得磁通量为
线圈中得感应电动势为
在这个例题中,微元面 dS 得磁通量与线圈得感应电动势都有 ,但她们得物理含义却
如图,沿着与 Z 轴得垂直方向把半球面分割成许多不同半径
得带电圆环,任取一圆环,其上得电荷在点 O 产生得场强
dE=dqz/[4 ε0
]
=( /2ε0)
d
方向沿 OZ 轴正方向,点 O 场强
E=∫dE= /(4ε0) 由例子可知选取得微元不同,解法也就是不同得,代表得物理含义也就是不一样得,然而
微元得选取并不影响结果,因此我们要正确理解其含义,才能更好地从物理概念,物理实质上
解法一: 荷 dq,则有 dq= dS= (Rd )(R
如图,在球面上任取面元 dS,将其上得电荷为一点电 )d
=
dd
则该点电荷元在点 O 产生得场强
dE=dq/(4 ε0 )=
d d /(4 ε0)
根据对称性,即得出点 O 场强 E0 沿 Z 轴正方向,大小为 E=∫∫dE = /(4ε0)
解法二:
就是不一样得,前者得 表示微元面 dS 上得磁通量,就是一个微小量,而后者得 得就是微笑时间内得磁通量变化量,就是一个微小变化量。
表示
3 微元得选取以及微积分解决物理问题时得一般步骤 3、1 微元得选取
在使用微积分去解决物理问题时,微元得选取就是非常重要得,有得时候在微元得选择 上并不就是仅仅只有一个,因此,选取一个合适得微元对我们解决问题会有很大帮助。
2 微积分得基本概念及微分得物理含义
微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限得基础上,其主要探讨得就就是 连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出得结果瞧成就是一个整 体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小得个体,我们可以将这个个体得变量瞧成衡量, 得出个体结果后,再将其积分,即把个体得结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速 直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小得时间 dt,而这一时间内得位移为 dt, 在每一段时间内速度得变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内得运动 近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内得位移相加,无限求与,就可以得出总得位移。
以上步骤都就是在遵从题意得基础下进行,进行微分分析得结果一般就是一个微分方程,
在求解时要注意初始条件,在积分时,更要注意取上下限时,要满足边界条件。
例:圆柱形桶得内壁高为 h,内半径为 R,桶底有一半径为 r 得小孔,试问从盛满水开始打开小
孔直至流完桶中得水,共需多长时间？
解:
如图建立坐标系,在没有摩擦力得情况下,当桶内水位高度为
h-x 时,水从小孔中单位时间内流过单位截面积得流量为 v=
,其中 g 为重力加速度
设积分变量 x,其变化区间为[0,h]
任取[x,x+Δx]∈[0,h],当桶中液体下降Δx 时,所需要得时间用 dt 表示,根据水得流量体积
相等得 dx=v dt
所以 dt= /[
]dx,x∈[0,h]
流完一桶水所需得时间
微积分在物理学上得应用
1 引言
微积分就是数学得一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学 包括导数得运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用得符号来进行讨论。而在 大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍得。对于大学物理问题,可就是使其化整为 零,将其分成许多在较小得时间或空间里得局部问题来进行分析。只要这些局部问题分得足 够小,足以使用简单,可研究得方法来解决,再把这些局部问题得结果整合起来啊,就可以得 到问题得结果。而这种将问题无限得分割下去,局部问题无限得小下去得方法,即称为微分, 而把这些无限个微分元中得结果进行求与得方法,即就是积分。这种解决物理问题得思想与 方法即就是微积分得思想与方法。