中考数学几何证明题专题复习汇总.doc
2023年数学中考试题精选:几何综合证明(一)
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1.(2023.营口24题)在平行四边形ABCD中,∠ADB=90°,点E在CD 上,点G在AB上,点F在BD的延长线上,连接EF,DG, ∠FED=∠ADG,ADBD =DG EF=k.(1)如图1,当k=1时,请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________;(2)如图2,当k=√(3)时,写出线段AD,DE和DF之间的数量关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,当点G是AB的中点时,连接BE,求tan∠EBF的值2.(2023.本溪铁岭辽阳25题)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点O为AB的中点,点D在直线AB上(不与点A,B重合),连接CD,线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,过点B作直线l⊥BC,过点E作EF⊥l,垂足为点F,直线EF交直线OC于点G.(1)如图1,当点D与点O重合时,请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系;(2)如图2,当点D在线段AB上时,求证:CG+BD=√2BC;(3)连接DE,△CDE的面积记为S1,△ABC的面积记为S2,当EF:BC=1:3时,请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。
已知AB=AC,∠A>90°,点E为AC上一动点,将△ABE以BE为对称轴翻折,同学们经过思考后进行如下探究:独立思考:小明:“当点D落在BC上时,∠EDC=2∠ACB.”小红:“若点E为AC中点,给出AC与DC的长,就可求出BE的长.”补足探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:问题1:在等腰△ABC中,AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到.(1)如图1,当点D落在BC上时,求证:∠EDC=2∠ACB;(2)如图2,若点E为AC中点,AC=4,CD=3,求BE的长.问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形,可以问题进一步拓展.问题2:如图3,在等腰△ABC中,∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD.若CD=1,则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,连接DE,将ED绕点E逆时针旋转90°,得到EF,连接BF.(1)当点E在线段BC上,∠ABC=45°时,如图1,求证:AE+EC=BF;(2)当点E在线段BC延长线上,∠ABC=45°时,如图2,当点E在线段CB延长线上,∠ABC=135°时,如图3,请猜想并直接写出线段AE,EC,BF的数量关系;(3)在(1)、(2)的条件下,若BE=3,DE=5,则CE=______.5.(2023.贵州省25题)如图1,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形ABC中,CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB,垂足为B,点P在CB上.(1)【动手操作】如图2,若点P在线段CB上,画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形,图中∠PBE的度数为______度;(2)【问题探究】根据(1)所画图形,探究线段PA与PE的数量关系,并说明理由;(3)【拓展延伸】如图3,若点P在射线CB上移动,将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E,探究线段BA,BP,BE之间的数量关系,并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中,AB=10,AD=6,∠DAB=60°,点E为BC边上的一点(点E不与点C重合),连接AE,将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠,点C,D的对应点分别为C`,D`,射线C`E与射线AD将于点F.(1)求证:AF=EF;(2)如图2,当EF⊥AF时,DF的长为______;(3)如图3,当CE=2时,过点F作FM⊥AE,垂足为点M,延长FM 交C`D`于点N,连接AN,EN,求△ANE的面积。
中考数学几何证明专题及答案
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班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------一、证明题1. 在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED .(1)求证:△BEC ≌△DEC ;(2)延长BE 交AD 于F ,当∠BED =120°时,求∠2.已知梯形 EMBED Equation.3 中, EMBED Equation.3 , EMBEDEquation.3 (如图所示). EMBED Equation.3 的平分线 EMBED Equation.3 交 EMBED Equation.3 于点 EMBED Equation.3 ,联结 EMBED Equation.3 .(1) 在图中,用尺规作 EMBED Equation.3 的平分线 EMBED Equation.3 (保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形 EMBED Equation.3 是菱形;(2) 若 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,求证: EMBEDEquation.3 .3. 已知:如图,在直角梯形 EMBED Equation.3 中, EMBED Equation.3∥ EMBED Equation.3 , EMBED Unknown .点 EMBEDEquation.3 是 EMBED Equation.3 的中点,过点 EMBED Unknown 作 EMBEDEquation.3 的垂线交 EMBED Equation.3 于点 EMBED Equation.3 ,交EMBEDEquation.3 的延长线于点 EMBED Equation.3 .点 EMBED Unknown 在线段 EMBED Unknown 上,且满足 EMBED Equation.3 , EMBED Unknown .(1)若 EMBED Equation.3 ,求证: EMBED Equation.3 ; (2)求证: EMBED Equation.3.A C DMPF ED C B A班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------4. 如图,四边形EMBED Unknown是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一点,连结AG ,点E 、F 分别在AG 上,连接BE 、DF ,∠1=∠2 , ∠3=∠4. (1)证明: EMBED Unknown ;(2)若 EMBED Unknown ,求EF 的长.5. 在EMBED Equation.DSMT4中,EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4为EMBED Equation.DSMT4延长线上一点,点EMBED Equation.DSMT4在EMBED Equation.DSMT4上,且EMBEDEquation.DSMT4.(1)求证:EMBED Equation.DSMT4;(2)若EMBED Equation.DSMT4,求EMBED Equation.DSMT4的度数.SHAPE \* MERGEFORMAT6. 如图,梯形 EMBED Equation.DSMT4 中, EMBED Equation.DSMT4 EMBEDEquation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 过点EMBED Equation.DSMT4 作 EMBED Equation.DSMT4于 EMBEDEquation.DSMT4 交对角线 EMBED Equation.DSMT4 于 EMBED Equation.DSMT4 点 EMBED Equation.DSMT4 为 EMBED Equation.DSMT4 中点,连结 EMBED Equation.DSMT4(1)求 EMBED Equation.DSMT4 的长; (2)求证: EMBED Equation.DSMT4SHAPE \* MERGEFORMATA BE GCD FE班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------7. 如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ⊥DC ,AB=BC ,且AE ⊥BC . ⑴ 求证:AD=AE ;⑵ 若AD=8,DC=4,求AB 的长. SHAPE \* MERGEFORMAT8. 如图,等边△ABC 中,AO 是∠BAC 的角平分线,D 为AO 上一点,以CD 为一边 且在CD 下方作等边△CDE,连结BE. (1) 求证:△ACD ≌△BCE ;(2) 延长BE 至Q, P 为BQ 上一点,连结CP 、CQ 使CP=CQ=5, 若BC=8时, 求PQ 的长.9. 如图,在EMBED Equation.DSMT4中,EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4于点EMBED Equation.DSMT4,将EMBED Equation.DSMT4绕点EMBED Equation.DSMT4顺时针旋转,使EMBED Equation.DSMT4与EMBED Equation.DSMT4重合,点EMBEDEquation.DSMT4落在点EMBED Equation.DSMT4处,EMBED Equation.DSMT4的延长线交EMBED Equation.DSMT4的延长线于点EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4的延长线交EMBED Equation.DSMT4的延长线于点EMBED Equation.DSMT4.求证:EMBED Equation.DSMT4.班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------10. 如图,在梯形EMBED Equation.DSMT4中,EMBED Equation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4为EMBED Equation.DSMT4的中点,EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4与EMBED Equation.DSMT4相交于点EMBED Equation.DSMT4.(1)求证:梯形EMBED Equation.DSMT4是等腰梯形;(2)当EMBED Equation.DSMT4与EMBED Equation.DSMT4具有什么位置关系时,四边形EMBED Equation.DSMT4是菱形?请说明理由,并求出此时菱形EMBEDEquation.DSMT4的面积.11. 已知:如图,在菱形EMBED Equation.DSMT4中,点EMBED Equation.DSMT4分别在边EMBED Equation.DSMT4上,EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4与EMBED Equation.DSMT4交于点EMBED Equation.DSMT4.(1)求证:EMBED Equation.DSMT4;(2)当EMBED Equation.DSMT4时,求证:四边形EMBED Equation.DSMT4是平行四边形.班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------答案:一、证明题1. (1)证明:∵四边形ABCD 是正方形∴BC =CD ,∠ECB =∠ECD =45°又EC =EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分 (2)∵△ABE ≌△ADE∴∠BEC =∠DEC = EMBED Equation.DSMT4∠BED …………4分∵∠BED =120°∴∠BEC =60°=∠AEF ……………5分 ∴∠EFD =60°+45°=105° …………………………6分2. (1) 图略(有作图痕迹,且正确).证明:∵EMBED Equation.3为EMBED Equation.3的平分线,∴ EMBEDEquation.3 .又∵EMBED Equation.3,∴ EMBED Equation.3 .∴ EMBED Equation.3 .∴EMBED Equation.3. ∵EMBED Equation.3,∴EMBED Equation.3.∵EMBED Equation.3,∴四边形EMBED Equation.3是平行四边形.∵EMBED Equation.3,∴四边形EMBED Equation.3是菱形.(2)证明:由(1) 知,四边形EMBED Equation.3是菱形,∴ EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .∴ EMBED Equation.3 .班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------(方法一)设线段 EMBED Equation.3 中点为 EMBED Equation.3 ,联结 EMBED Equation.3 ,则 EMBED Equation.3 .∵ EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .∴ EMBED Equation.3 .∵ EMBED Equation.3 ,∴△EMBED Equation.3为等边三角形.∴ EMBED Equation.3 ,EMBED Equation.3. ∴ EMBED Equation.3 .∴EMBED Equation.3. ∴ EMBED Equation.3 .∴EMBED Equation.3,即EMBED Equation.3.(方法二)作 EMBED Equation.3 ,垂足为 EMBED Equation.3 ,则 EMBED Equation.3 .∴在 EMBED Equation.3 △EMBED Equation.3中,EMBED Equation.3,EMBED Equation.3.∵ EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,∴EMBEDEquation.3.在 EMBED Equation.3 △EMBED Equation.3中,EMBEDEquation.3.∴EMBED Equation.3.∴EMBED Equation.3,即EMBED Equation.3.3. 证明:(1)连结 EMBED Unknown .(1分) ∵点 EMBED Unknown 是 EMBED Unknown 的中点, EMBED Unknown ,∴ EMBED Unknown .(2分) 又∵ EMBED Unknown , EMBED Unknown ,∴ EMBED Unknown ≌ EMBED Unknown .(3分)∴ EMBED Unknown EMBED Unknown .(4分)∵ EMBED Unknown ∥ EMBED Unknown , EMBED Unknown . ∴ EMBED Unknown ,∴ EMBED Unknown . (5分)在Rt EMBED Unknown 中, EMBED Unknown ,∴ EMBED Unknown,即 EMBED Unknown . (6分)(2)∵ EMBED Unknown ≌ EMBED Unknown ,∴ EMBED Unknown .∵ EMBED Unknown ∥ EMBED Unknown ,∴ EMBED Unknown . ∴ EMBED Unknown . (7分) ∵ EMBED Unknown , EMBED Unknown , ∴ EMBED Unknown EMBED Unknown. (8分)∴ EMBED Unknown. (9分)班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------在Rt EMBED Unknown 中, EMBED Unknown.(10分)4. (1)∵四边形ABCD 是正方形∴ EMBED Unknown在 EMBED Unknown 和 EMBED Unknown 中 EMBED Equation.3∴ EMBED Unknown4分(2)∵四边形ABCD 是正方形∴∠1+∠4=90° ∵∠3=∠4∴∠1+∠3=90° ∴∠AFD =90°6分在正方形ABCD 中, EMBED Unknown∴∠1=∠AGB=30°在 EMBED Unknown 中, EMBED Unknown∴ EMBED Unknown EMBED Equation.3 EMBEDUnknown8分由(1)得 EMBED Unknown ∴ EMBED Unknown∴ EMBED Unknown EMBED Equation.3105.(1)证明:EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4在EMBED Equation.DSMT4和EMBED Equation.DSMT4中,EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4(2)EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4又EMBED Equation.DSMT4 由(1)知EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT46. (1)解: EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .在Rt EMBED Equation.DSMT4 中, EMBED Equation.DSMT4 . EMBEDEquation.DSMT4,点EMBEDEquation.DSMT4为EMBEDEquation.DSMT4 的中点, EMBED Equation.DSMT4.(2)证明:在线段 EMBED Equation.DSMT4 上截取 EMBED Equation.DSMT4 ,连结D,..,......,..(2)由(1)知:AD=AE DC=EC设AB=x, 则BE=x-4 AE=8在Rt△ABE中∠AEB=900由勾股定理得:EMBED Equation.DSMT4解得:x=10∴AB=108. (1)证明ABC和△CDE均为等边三角形,班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------∴AC=BC , CD=CE 且∠ACB=∠DCE=60°∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60° ∴∠ACD=∠BCE ∴△ACD ≌△BCE(2)解:作CH ⊥BQ 交BQ 于H, 则PQ=2HQ 在Rt △BHC 中 , 由已知和(1)得∠CBH=∠CAO=30°∴ CH=4 在Rt △CHQ 中,HQ=EMBED Equation.3∴PQ=2HQ=6 9. 证明:EMBED Equation.DSMT4由EMBED Equation.DSMT4旋转而得,EMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4. 又EMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4.10. 解:(1)证明:EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4.又EMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4. 又EMBED Equation.DSMT4.EMBED Equation.DSMT4.EMBED Equation.DSMT4梯形EMBED Equation.DSMT4是等腰梯形.(2)当EMBED Equation.DSMT4时,四边形EMBED Equation.DSMT4是菱形.证明:EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4.EMBED Equation.DSMT4四边形EMBED Equation.DSMT4和四边形EMBED Equation.DSMT4均为平行四边形. EMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4.EMBED Equation.DSMT4四边形EMBED Equation.DSMT4是菱形.班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------过EMBED Equation.DSMT4作EMBED Equation.DSMT4于点EMBEDEquation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4是等边三角形. EMBED Equation.DSMT4.EMBEDEquation.DSMT4.EMBED Equation.DSMT4.11. 解:(1)因为四边形EMBED Equation.DSMT4是菱形,则EMBEDEquation.DSMT4,又因EMBED Equation.DSMT4,所以EMBED Equation.DSMT4,又由菱形的性质可得EMBED Equation.DSMT4,于是EMBED Equation.DSMT4,则EMBED Equation.DSMT4.(2)由EMBED Equation.DSMT4结合EMBED Equation.DSMT4,得EMBEDEquation.DSMT4,得EMBED Equation.DSMT4;另外因为EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4,所以EMBEDEquation.DSMT4,则得EMBED Equation.DSMT4,于是由平行四边形的判定可得四边形EMBED Equation.DSMT4是平行四边形.。
中考数学几何证明题.doc
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方法就是用逆向思维法。
如果你已经上初三了,几何学的不好,做题没有思路,那你一定要注意了:从现在开始,总结做题方法。
同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手,建议你从结论出发。
例如:可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。
这是非常好用的方法,同学们一定要试一试。
(3)正逆结合。
对于从结论很难分析出思路的题目,同学们可以结合结论和已知条件认真的分析,初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到中点倍长法。
给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形等等。
正逆结合,战无不胜。
中考数学专题复习八几何证明题
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专题八:几何证明题问题解析几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力;几何证明题和计算题在中考中占有重要地位.根据新的课程标准;对几何证明题证明的方法技巧上要降低;繁琐性、难度方面要降低.但是注重考查学生的基础把握推理能力;所以几何证明题是目前常考的题型.热点探究类型一:关于三角形的综合证明题例题12016·四川南充已知△ABN和△ACM位置如图所示;AB=AC;AD=AE;∠1=∠2.1求证:BD=CE;2求证:∠M=∠N.分析1由SAS证明△ABD≌△ACE;得出对应边相等即可2证出∠BAN=∠CAM;由全等三角形的性质得出∠B=∠C;由AAS证明△ACM≌△ABN;得出对应角相等即可.解答1证明:在△ABD和△ACE中;;∴△ABD≌△ACESAS;∴BD=CE;2证明:∵∠1=∠2;∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE;即∠BAN=∠CAM;由1得:△ABD≌△ACE;∴∠B=∠C;在△ACM和△ABN中;;∴△ACM≌△ABNASA;∴∠M=∠N.点评本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE.1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证:AD=BE;②求∠AEB的度数.2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明:AE=2CM+BN.类型二:关于四边形的综合证明题例题22016·山东省滨州市·10分如图;BD是△ABC的角平分线;它的垂直平分线分别交AB;BD;BC 于点E;F;G;连接ED;DG.1请判断四边形EBGD的形状;并说明理由;2若∠ABC=30°;∠C=45°;ED=2;点H是BD上的一个动点;求HG+HC的最小值.考点平行四边形的判定与性质;角平分线的性质.分析1结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=GB即可.2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EMC中;求出EM、MC即可解决问题.解答解:1四边形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD;∴EB=ED;GB=GD;∴∠EBD=∠EDB;∵∠EBD=∠DBC;∴∠EDF=∠GBF;在△EFD和△GFB中;;∴△EFD≌△GFB;∴ED=BG;∴BE=ED=DG=GB;∴四边形EBGD是菱形.2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EBM中;∵∠EMB=90°;∠EBM=30°;EB=ED=2;∴EM=BE=;∵DE∥BC;EM⊥BC;DN⊥BC;∴EM∥DN;EM=DN=;MN=DE=2;在RT△DNC中;∵∠DNC=90°;∠DCN=45°;∴∠NDC=∠NCD=45°;∴DN=NC=;∴MC=3;在RT△EMC中;∵∠EMC=90°;EM=.MC=3;∴EC===10.∵HG+HC=EH+HC=EC;∴HG+HC的最小值为10.点评本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识;解题的关键是利用对称找到点H的位置;属于中考常考题型.同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO.1已知BD=;求正方形ABCD的边长;2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.类型三:关于圆的综合证明题例题32016·山东潍坊正方形ABCD内接于⊙O;如图所示;在劣弧上取一点E;连接DE、BE;过点D作DF∥BE交⊙O于点F;连接BF、AF;且AF与DE相交于点G;求证:1四边形EBFD是矩形;2DG=BE.考点正方形的性质;矩形的判定;圆周角定理.分析1直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;∠EDF=90°;进而得出答案;2直接利用正方形的性质的度数是90°;进而得出BE=DF;则BE=DG.解答证明:1∵正方形ABCD内接于⊙O;∴∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;又∵DF∥BE;∴∠EDF+∠BED=180°;∴∠EDF=90°;∴四边形EBFD是矩形;2∵正方形ABCD内接于⊙O;∴的度数是90°;∴∠AFD=45°;又∵∠GDF=90°;∴∠DGF=∠DFC=45°;∴DG=DF;又∵在矩形EBFD中;BE=D同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE.1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由;2求证:BC2=CD 2OE;3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长.类型四:关于相似三角形的证明问题例题42016·黑龙江齐齐哈尔·8分如图;在△ABC中;AD⊥BC;BE⊥AC;垂足分别为D;E;AD与BE 相交于点F.1求证:△ACD∽△BFD;2当tan∠ABD=1;AC=3时;求BF的长.考点相似三角形的判定与性质.分析1由∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;推出∠DBF=∠DAC;由此即可证明.2先证明AD=BD;由△ACD∽△BFD;得==1;即可解决问题.解答1证明:∵AD⊥BC;BE⊥AC;∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°;∴∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;∴∠DBF=∠DAC;∴△ACD∽△BFD.2∵tan∠ABD=1;∠ADB=90°∴=1;∴AD=BD;∵△ACD∽△BFD;∴==1;∴BF=AC=3.同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点.1 如图1;若∠ACP=∠B;求证:AC2=AP·AB;2 若M为CP的中点;AC=2;① 如图2;若∠PBM=∠ACP;AB=3;求BP的长;② 如图3;若∠ABC=45°;∠A=∠BMP=60°;直接写出BP的长.达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知:如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P .1求证:AP=BQ ;2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF =BD;连接BF .1求证:D 是BC 的中点;2若AB =AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论.3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC;BC 的交点分别为D 、E;且=.1试判断△ABC 的形状;并说明理由.2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD 的值.4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD 中;E 、F 分别为边AB 、CD 的中点;BD 是对角线.1求证:△ADE ≌△CBF ;2若∠ADB 是直角;则四边形BEDF 是什么四边形 证明你的结论.5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB 是⊙O 的直径;延长AB 至P;使BP=OB;BD 垂直于弦BC;垂足为点B;点D 在PC 上.设∠PCB=α;∠POC=β.求证:tanα tan=.DCEF B A 图66. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H.1求证:HF=AP;2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长.7. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE 交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C.1求证:PE是⊙O的切线;2求证:ED平分∠BEP;3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长.参考答案类型一:关于三角形的综合证明题同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE.1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证:AD=BE;②求∠AEB的度数.2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明:AE=2CM+BN.考点等腰三角形的性质.分析1①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE;再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC;DC=EC”;利用全等三角形的判定SAS即可证出△ACD≌△BCE;由此即可得出结论AD=BE;②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC;再通过角的计算即可算出∠AEB的度数;2根据等腰三角形的性质结合顶角的度数;即可得出底角的度数;利用1的结论;通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度;二者相加即可证出结论.解答1①证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°;∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB;∠DCE=∠DCB+∠BCE;∴∠ACD=∠BCE.∵△AC B和△DCE均为等腰三角形;∴AC=BC;DC=EC.在△ACD和△BCE中;有;∴△ACD≌△BCESAS;∴AD=BE.②解:∵△ACD≌△BCE;∴∠ADC=∠BEC.∵点A;D;E在同一直线上;且∠CDE=50°;∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°;∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB;且∠CED=50°;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.2证明:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形;且∠ACB=∠DCE=120°;∴∠CDM=∠CEM=×180°﹣120°=30°.∵CM⊥DE;∴∠CMD=90°;DM=EM.在Rt△CMD中;∠CMD=90°;∠CDM=30°;∴DE=2DM=2×=2CM.∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°;∠BEC=∠CEM+∠AEB;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°;∴∠BEN=180°﹣120°=60°.在Rt△BNE中;∠BNE=90°;∠BEN=60°;∴BE==BN.∵AD=BE;AE=AD+DE;∴AE=BE+DE=BN+2CM.点评本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算;解题的关键是:1通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE;2找出线段AD、DE的长.本题属于中档题;难度不大;但稍显繁琐;解决该题型题目时;利用角的计算找出相等的角;再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角;最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.类型二:关于四边形的综合证明题同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO.1已知BD=;求正方形ABCD的边长;2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.考点正方形的性质.分析1根据正方形的性质以及勾股定理即可求得;2根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF;进一步得出∠BAF=∠BCN;然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN;进而证得△ABF∽△COM;根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN= CM.解答解:1∵四边形ABCD是正方形;∴△ABD是等腰直角三角形;∴2AB2=BD2;∵BD=;∴AB=1;∴正方形ABCD的边长为1;2CN=CM.证明:∵CF=CA;AF是∠ACF的平分线;∴CE⊥AF;∴∠AEN=∠CBN=90°;∵∠ANE=∠CNB;∴∠BAF=∠BCN;在△ABF和△CBN中;;∴△ABF≌△CBNAAS;∴AF=CN;∵∠BAF=∠BCN;∠ACN=∠BCN;∴∠BAF=∠OCM;∵四边形ABCD是正方形;∴AC⊥BD;∴∠ABF=∠COM=90°;∴△ABF∽△COM;∴=;∴==;即CN=CM.类型三:关于圆的综合证明题同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE.1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由;2求证:BC2=CD 2OE;3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长.思路分析:本题考查了切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点.故对于题1可以连接OD;BD;由AB为圆O的直径;得到∠ADB为直角;从而得出三角形BCD为直角三角形;E为斜边BC 的中点;利用斜边上的中线等于斜边的一半;得到CE=DE;利用等边对等角得到一对角相等;再由OA=OD;利用等边对等角得到一对角相等;由直角三角形ABC中两锐角互余;利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余;可得出∠ODE为直角;即DE垂直于半径OD;可得出DE为圆O的切线;对于题2首先可证明OE是△ABC的中位线;则AC=2OE;然后证明△ABC∽△BDC;根据相似三角形的对应边的比相等;即可证得;对于题3在直角△ABC中;利用勾股定理求得AC的长;之后根据三角形中位线定理OE的长即可求得.解题过程:1证明:连接OD;BD;∵AB为圆O的直径;∴∠ADB=90°;在Rt△BDC中;E为斜边BC的中点;∴CE=DE=BE=12 BC;∴∠C=∠CDE;∵OA=OD;∴∠A=∠ADO;∵∠ABC=90°;即∠C+∠A=90°;∴∠ADO+∠CDE=90°;即∠ODE=90°;∴DE⊥OD;又OD为圆的半径;∴DE为⊙O的切线;2证明:∵E是BC的中点;O点是AB的中点; ∴OE是△ABC的中位线;∴AC=2OE;∵∠C=∠C;∠ABC=∠BDC;∴△ABC∽△BDC;∴BC ACCD BC=;即BC2=AC CD.∴BC2=2CD OE;3解:∵cos∠BAD=35;∴sin∠BAC=45 BCAC=;又∵BE=6;E是BC的中点;即BC=12;∴AC=15.又∵AC=2OE;∴OE=12AC=152.规律总结:熟练把握切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关键.要证某线是圆的切线;已知此线过圆上某点;连接圆心与这点即为半径;再证垂直即可.类型四:关于相似三角形的证明问题同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点.1 如图1;若∠ACP=∠B;求证:AC2=AP·AB;2 若M为CP的中点;AC=2;① 如图2;若∠PBM=∠ACP;AB=3;求BP的长;② 如图3;若∠ABC=45°;∠A=∠BMP=60°;直接写出BP的长.考点相似形综合;考查相似三角形的判定和性质;平行线的性质;三角形中位线性质;勾股定理..答案 1证△ACP∽△ABC即可;2①BP=5;②71解析1证明:∵∠ACP=∠B;∠BAC=∠CAP;∴△ACP∽△ABC;∴AC:AB=AP:AC;∴AC2=AP·AB;2①如图;作CQ∥BM交AB延长线于Q;设BP=x;则P Q=2x∵∠PBM=∠ACP;∠PAC=∠CAQ;∴△APC∽△ACQ;由AC2=AP·AQ得:22=3-x35即BP②如图:作CQ⊥AB 于点Q;作CP 0=CP 交AB 于点P 0;∵AC =2;∴AQ=1;CQ =BQ; 设P0Q =PQ =1-x;BP -1+x;∵∠BPM=∠CP 0A ;∠BMP=∠CAP 0;∴△AP 0C∽△MPB;∴00AP P C MP BP =;∴MP P0C =2012P C ==AP 0 BP =1+x;解得x ∴BP =-11-.达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知:如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P .1求证:AP=BQ ;2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.考点正方形的性质;全等三角形的判定与性质.分析1根据正方形的性质得出AD=BA;∠BAQ=∠ADP;再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA;判定△AQB≌△DPA 并得出结论;2根据AQ ﹣AP=PQ 和全等三角形的对应边相等进行判断分析.解答解:1∵正方形ABCD∴AD=BA;∠BAD=90°;即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPAAAS∴AP=BQ2①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF =BD;连接BF .1求证:D 是BC 的中点;2若AB =AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论.考点三角形例行;特殊四边形的性质与判定..1证明:∵点E 是AD 的中点;∴AE =DE .∵AF ∥BC;∴∠AFE =∠DCE;∠FAE =∠CDE .∴△EAF ≌△EDC .∴AF =DC .∵AF =BD;∴BD =DC;即D 是BC 的中点.2四边形AFBD 是矩形.证明如下:∵AF ∥BD;AF =BD;∴四边形AFBD 是平行四边形.∵AB =AC;又由1可知D 是BC 的中点;∴AD ⊥BC .DC EF B A图6∴□AFBD是矩形.3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC;BC的交点分别为D、E;且=.1试判断△ABC的形状;并说明理由.2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD的值.思路分析:1连结AE;如图;根据圆周角定理;由=得∠DAE=∠BAE;由AB为直径得∠AEB=90°;根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形;2由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6;再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8;接着由AB为直径得到∠ADB=90°;则可利用面积法计算出BD=;然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=;再根据正弦的定义求解.解题过程:解:1△ABC为等腰三角形.理由如下:连结AE;如图;∵=;∴∠DAE=∠BAE;即AE平分∠BAC;∵AB为直径;∴∠AEB=90°;∴AE⊥BC;∴△ABC为等腰三角形;2∵△ABC为等腰三角形;AE⊥BC;∴BE=CE=BC=×12=6;在Rt△ABE中;∵AB=10;BE=6;∴AE==8;∵AB为直径;∴∠ADB=90°;∴AE BC=BD AC;∴BD==;在Rt△ABD中;∵AB=10;BD=;∴AD==;∴sin∠ABD===.规律总结:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中;同弧或等弧所对的圆周角相等;都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理.4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;BD是对角线.1求证:△ADE≌△CBF;2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是什么四边形证明你的结论.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.分析:1由四边形ABCD是平行四边形;即可得AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;又由E、F分别为边AB、CD的中点;可证得AE=CF;然后由SAS;即可判定△ADE≌△CBF;2先证明BE与DF平行且相等;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;再连接EF;可以证明四边形AEFD是平行四边形;所以AD∥EF;又AD⊥BD;所以BD⊥EF;根据菱形的判定可以得到四边形是菱形.解答:1证明:∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;∵E、F分别为边AB、CD的中点;∴AE=AB;CF=CD;∴AE=CF;在△ADE和△CBF中;∵;∴△ADE≌△CBFSAS;2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是菱形;理由如下:解:由1可得BE=DF;又∵AB∥C D;∴BE∥DF;BE=DF;∴四边形BEDF是平行四边形;连接EF;在 ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;∴DF∥AE;DF=AE;∴四边形AEFD是平行四边形;∴EF∥AD;∵∠ADB是直角;∴AD⊥BD;∴EF⊥BD;又∵四边形BFDE是平行四边形;∴四边形BFDE是菱形.点评:本题主要考查了平行四边形的性质;全等三角形的判定以及菱形的判定;利用好E、F 是中点是解题的关键.5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB是⊙O的直径;延长AB至P;使BP=OB;BD垂直于弦BC;垂足为点B;点D在PC上.设∠PCB=α;∠POC=β.求证:tanα tan=.解析:连接AC先求出△PBD∽△PAC;再求出=;最后得到tanα tan=.解答:证明:连接AC;则∠A=∠POC=;∵AB是⊙O的直径;∴∠ACB=90°;∴tanα=;BD∥AC;∴∠PBD=∠A;∵∠P=∠P;∴△PBD∽△PAC;∴=;∵PB=0B=OA;∴=;∴tana tan===.点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识;本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC;再求出tanα tan=.6. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H.1求证:HF=AP;2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.所有分析: 1先根据EQ⊥BO;EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°.根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH;故∠QEM=∠HBM.由ASA定理得出△APB≌△HFE;故可得出结论;2由勾股定理求出BP的长;根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP;再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长;由1知;△APB≌△HFE;故EF=BP=4;再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论.解答: 1证明:∵EQ⊥BO;EH⊥AB;∴∠EQN=∠BHM=90°.∵∠EMQ=∠BMH;∴△EMQ∽△BMH;∴∠QEM=∠HBM.在Rt△APB与Rt△HFE中;;∴△APB≌△HFE;∴HF=AP;2解:由勾股定理得;BP===4.∵EF是BP的垂直平分线;∴BQ=BP=2;∴QF=BQ tan∠FBQ=BQ tan∠ABP=2×=.由1知;△APB≌△HFE;∴EF=BP=4;∴EQ=EF﹣QF=4﹣=.点评:本题考查的是正方形的性质;熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键.7.8. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C.1求证:PE是⊙O的切线;2求证:ED平分∠BEP;3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长.考点:切线的判定.分析: 1如图;连接OE.欲证明PE是⊙O的切线;只需推知OE⊥PE即可;2由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°;根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4;结合已知条件证得结论;3设EF=x;则CF=2x;在RT△OEF中;根据勾股定理得出52=x2+2x﹣52;求得EF=4;进而求得BE=8;CF=8;在RT△AEB中;根据勾股定理求得AE=6;然后根据△AEB∽△EFP;得出=;求得PF=;即可求得PD的长.解答: 1证明:如图;连接OE.∵CD是圆O的直径;∴∠CED=90°.∵OC=OE;∴∠1=∠2.又∵∠PED=∠C;即∠PED=∠1;∴∠PED=∠2;∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°;即∠OEP=90°; ∴OE⊥EP;又∵点E在圆上;∴PE是⊙O的切线;2证明:∵AB、CD为⊙O的直径;∴∠AEB=∠CED=90°;∴∠3=∠4同角的余角相等.又∵∠PED=∠1;∴∠PED=∠4;即ED平分∠BEP;3解:设EF=x;则CF=2x;∵⊙O的半径为5;∴OF=2x﹣5;在RT△OEF中;OE2=OF2+EF2;即52=x2+2x﹣52;解得x=4;∴EF=4;∴BE=2EF=8;CF=2EF=8;∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2;∵AB为⊙O的直径;∴∠AEB=90°;∵AB=10;BE=8;∴AE=6;∵∠BEP=∠A;∠EFP=∠AEB=90°;∴△AEB∽△EFP;∴=;即=;∴PF=;∴PD=PF﹣DF=﹣2=.点评:本题考查了切线的判定和性质;圆周角定理的应用;勾股定理的应用;三角形相似的判定和性质;熟练掌握性质定理是解题的关键.。
(word完整版)初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结,推荐文档
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初中三角形总复习【知识精读】1. 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段:(1)三角形的角平分线(三条角平分线的交点叫做内心) (2)三角形的中线(三条中线的交点叫重心) (3)三角形的高(三条高线的交点叫垂心) 3. 三角形的主要性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边,任何两边之差小于第三边; (2)三角形的内角之和等于180°(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角,等于和它不相邻的两个内角的和; (4)三角形中,等角对等边,等边对等角,大角对大边,大边对大角; (5)三角形具有稳定性。
4.S S ABE ∆⋅ 基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中,∠C =2∠B ,则∠B 的范围是( ) A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析:因为∆ABC 为锐角三角形,所以090︒<<︒∠B 又∠C =2∠B ,∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角,()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ,即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ,故选择C 。
例2. 选择题:已知三角形的一个外角等于160°,另两个外角的比为2:3,则这个三角形的形状是( ) A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析:由于三角形的外角和等于360°,其中一个角已知,另两个角的比也知道,因此三个外角的度数就可以求出,进而可求出三个内角的度数,从而可判断三角形的形状。
解:∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ,3x ∴+=23200x x 解得:x =40 2803120x x ==, 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C例3. 如图,已知:在∆ABC 中,AB AC ≤12,求证:∠∠C B <12。
中考数学几何专题复习

专题 几何专题题型一考察概念基础知识点型例1如图1,等腰△ABC 的周长为21,底边BC = 5,AB 的垂直平分线是DE ,则△BEC 的周长为 ; 例2 如图2,菱形ABCD 中,60A ∠=°,E 、F 是AB 、AD 的中点,若2EF=,菱形边长是______.图1 图2 图3 例3 已知AB 是⊙O 的直径,PB 是⊙O 的切线,AB =3cm,PB =4cm,则BC = . 题型二折叠题型:折叠题要从中找到对就相等的关系,然后利用勾股定理即可求解; 沿DE 折叠,若48CDE ∠=°,则APD ∠等例4 D E ,分别为AC ,BC 边的中点,于 ;例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4,AD =2.将矩形纸片沿 EF 折叠, 使点A 与点C 重合,折叠后在其一面着色图,则着色部分的面积为A . 8B .112C . 4D .52EDBC A P图4图5 图6题型三涉及计算题型:常见的有应用勾股定理求线段长度,求弧长,扇形面积及圆锥体积,侧面积,三角函数计算等;例6如图3,P 为⊙O 外一点,PA 切⊙O 于A,AB 是⊙O 的直径,PB 交⊙O 于C,PA =2cm,PC =1cm,则图中阴影部分的面积S 是A.2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 2232cm π- 图3 题型四证明题型: 第二轮复习之几何一——三角形全等判定方法1:SAS例1如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,点E 、F 分别在边AB 、AD 上,且 AE=AF; 求证:△ACE ≌△ACF例2 在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED . 1求证:△BEC ≌△DEC ;2延长BE 交AD 于F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数.BD GFF ADFEBCDCBA EFG判定方法2:AASASA例3 如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE AG ⊥于 E ,BF DE ∥,交 AG 于F ,求证:AFBF EF =+.例4如图,在□ABCD 中,分别延长BA,DC 到点E,使得AE=AB, CH=CD 连接EH,分别交AD,BC 于点F,G;求证:△AEF ≌△CHG.判定方法3:HL 专用于直角三角形例5在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E在BC上, 且AE=CF. 1求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; 2若∠CAE=30o,求∠ACF 度数.对应练习1.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 中点,AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.1证明:∠DFA = ∠FAB; 2证明: △ABE≌△FCE.2.如图,点E 是正方形ABCD 内一点,CDE ∆是等边三角形,连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F . 1求证:BCE ADE ∆≅∆;5分2求AFB ∠的度数.5分3.如图,已知∠ACB =90°,AC =BC ,BE ⊥CE 于E ,AD ⊥CE 于D ,CE 与AB 相交于F .1求证:△CEB ≌△ADC ;2若AD =9cm,DE =6cm,求BE 及EF 的长.第二轮复习之几何二——三角形相似Ⅰ.三角形相似的判定例1如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,连接DE,F 为线段DE 上一点,且∠AFE =∠B. 1求证:△ADF ∽△DEC2若AB =4,AD =33,AE =3,求AF 的长. 例2如图9,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点不与点A .B重合,连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE, PE 交边BC 于点F .连接BE 、DF;E B D A CF AF DEB CABCEFABCDF EF ED CBA 1求证:∠ADP=∠EPB ; 2求∠CBE 的度数; 3当APAB的值等于多少时.△PFD ∽△BFP 并说明理由.2.相似与圆结合,注意求证线段乘积,一般是转化证它所在的三角形相似;将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似 例3 如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交AC 与E,交BC 与D .求证:1D 是BC 的中点;2△BEC∽△ADC; 3BC 2=2AB CE .3.相似与三角函数结合,①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化,然后求线段的长度②求某个角的三角函数值,一般会先将这个角用等角转化,间接求三角函数值例4如图,点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点,⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.1求证:⊿ABE∽⊿DFE ;2若sin∠DFE=31,求tan∠EBC 的值. 练习一、选择题1、如图1,将非等腰ABC △的纸片沿DE 折叠后,使点A 落在BC 边上的点F 处.若点D 为AB 边的中点,则下列结论:①BDF △是等腰三角形;②DFE CFE ∠=∠;③DE 是ABC △的中位线,成立的有 A .①②B .①③C .②③D .①②③图1 图22.如图,等边△ABC 中,BD=CE,AD 与BE 相交于点P,则∠APE 的度数是A .45° B.55° C.60° D.75° 3.如图3,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE等于A .1013 B .1513 C .6013 D .7513MEDCBA图3 图4 图5GFE CBADAO BCXY4.如图4,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D 在一条直线上,点M 是AE 的中点,下列结论:①tan∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个5.如图5,等边三角形ABC 中,D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点,且总使AD=BE ,AE 与CD 交于点F ,AG ⊥CD 于点G,则FGAF= . 6.如图6,已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上,AD ∥BC ,AC 平分∠BCD ,∠ADC = 120°,四边形ABCD 的周长为10cm .图中阴影部分的面积为 A. 32B.3C. 23D. 43图6 图7对折,使点A 落在点1A 处;已知7.如图7,在直角坐标系中,将矩形OABC 沿OB3=OA ,1=AB ,则点1A 的坐标是 ; A 、23,23 B 、23,3 C 、23,23 D 、21,23 三、解答题1如图,矩形ABCD 中,点E 是BC 上一点,AE =AD,DF⊥AE 于F,连结DE.求证:DF =DC .2.如图,四边形ABCD 是矩形,△PBC 和△QCD 都是等边三角形,且点P 在矩形上方,点Q 在矩形内.求证:1∠PBA =∠PCQ =30°;2PA =PQ .3.如图9,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD =∠CBD =15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE =CA .1求证:DE 平分∠BDC ;2若点M 在DE 上,且DC=DM ,求证: ME=BD . 4.如图5AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,AD ⊥CD 于点D .求证:1∠AOC =2∠ACD ; 2AC 2=AB ·AD . 、5.把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠,使点A 与点E 重合,点C 与点F 重合E 、F 两点均在BD 上,折痕分别为BH 、DG;1求证:△BHE ≌△DGF ;2若AB =6cm,BC =8cm,求线段FG 的长;6.如图8,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合, 连结BE 、EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系,并证明你的猜想.ABCDEAC B DPQABCDEF 第二轮复习之几何三——四边形例1 如图,分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD、等 边△ABE;已知∠BAC=30o,EF⊥AB,垂足为F,连结DF;1试说明AC=EF ;2求证:四边形ADFE 是平行四边形;例2如图,AD ∥FE,点B 、C 在AD 上,∠1=∠2,BF =BC⑴求证:四边形BCEF 是菱形⑵若AB =BC =CD,求证:△ACF ≌△BDE例3如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一 点,连结AG,点E 、F 分别在AG 上,连接BE 、DF,∠1=∠2 ,∠3=∠4.1证明:△ABE≌△DAF; 2若∠AGB=30°,求EF 的长.例4如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AD BC ∥,AB DC =,2AD =, 4BC =延长BC 到E ,使CE AD =.1证明:BAD DCE △≌△;2如果AC BD ⊥,求等腰梯形ABCD 的高DF 的值.对应练习1.如图,在菱形ABCD 中,∠A=60°,点P 、Q 分别在边AB 、BC 上,且AP=BQ . 1求证:△BDQ ≌△ADP ;2已知AD=3,AP=2,求cos ∠BPQ 的值结果保留根号.2、如图,E F ,是四边形ABCD 的对角线AC 上两点,AF CE DF BE DFBE ==,,∥. 求证:1AFD CEB △≌△.2四边形ABCD 是平行四边形.3. 如罔7,在一方形ABCD 中.E 为对角线AC 上一点,连接EB 、ED,1求证:△BEC ≌△DEC :2延长BE 交AD 于点F,若∠DEB=140°.求∠AFE 的度数.4.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,延长CB 到点E ,使BE =AD ,连接DE 交AB 于点M .1求证:△AMD ≌△BM E ;2若N 是CD 的中点,且M N=5,BE =2,求BC 的长.第二轮复习之几何四——圆Ⅰ、证线段相等例1:如图,AB 是⊙O 的直径,C 是的中点,CE ⊥AB 于 E ,BD 交CE 于点F .1求证:CF=BF ;2若CD =6, AC =8,则⊙O 的半径为 ___ ,CE 的长是 ___ .ABDEFCDAB EC F ACBDEFO2、证角度相等例2如图,AB 是⊙O 的直径,C 为圆周上一点,30ABC ∠=︒,过点B 的切线与CO 的延长线交于点D .:求证:1CAB BOD ∠=∠;2ABC ∆≌ODB ∆. 3、证切线点拨:证明切线的方法——连半径,证垂直;根据:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线例3如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径, AE⊥CD 于点E,DA 平分∠BDE;1求证:AE 是⊙O 的切线;2若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD 的长;例4如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,OC⊥AB,∠ADC=30°. 1求∠BOC 的度数;2求证:四边形AOBC 是菱形. 对应练习1.如图,已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直,垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD的延长线相交于点F ,且AD =3,cos ∠BCD= . 1求证:CD ∥BF ; 2求⊙O 的半径; 3求弦CD 的长.2.如图,点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点,点B 在⊙O 上,且AB =AD =AO .1求证:BD 是⊙O 的切线.2若点E 是劣弧BC 上一点,AE 与BC 相交于点F,且△BEF 的面积为8,cos∠BFA=32,求△ACF 的面积.1.一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是A .75B .60C .65D .55图1 图22.如图2,在边长为4的等边三角形ABC 中,AD 是BC 边上的高,点E 、F 是AD 上的两点,则图中阴影部分的面积是A .43B .33C .23D .33.如图3,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,∠B =30°,点P 是BC 边上的动点,则AP 长不可能是DCBOADOBCA E 例7图43DOEC O图 8OFE BCADCB A O P D图3 图4 A B C D74. 如图4,直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是 A .247B .73C .724D .135.如图5,ABC △是等腰直角三角形,BC 是斜边,将ABP △绕点A 逆时针旋转后,能与ACP '△重合,如果3AP =,那么PP '的长等于 A .32B .23C .42 D .336. 图6,已知等边△ABC 中,点D,E 分别在边AB,BC 上,把△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在点B ˊ处,DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F,G,若∠ADF=80o ,则∠EGC 的度数为 图5 图67.如图,已知:在平行四边形ABCD 中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC 的平分线交AD•于点E,交CD 的延长线于点F,则DF=______cm .8.如图,矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,对角线AC 的垂直平分线分别交AD,BC 于点E 、F,连接CE,则CE 的长________.9.如图,BD 是⊙O 的直径,OA ⊥OB,M 是劣弧错误!上一点,过点M 作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点,MD 与OA 交于点N; 1求证:PM=PN ; 2若BD=4,PA=32AO,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 的长. 10.如图,在△ABC 中,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P,PD ⊥AC 于点D,且PD 与⊙O 相切.1求证:AB =AC ;2若BC =6,AB =4,求CD 的值.11.一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠ E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长.12.如图,四边形ABCD 是边长为a 的正方形,点G ,E 分别是边AB ,BC 的中点,∠AEF =90o,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F . 1证明:∠BAE =∠FEC ; 2证明:△AGE ≌△ECF ; 3求△AEF 的面积.13.如图,矩形ABCD 中,53AB AD ==,.点E 是CD 上的动点,以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ,过点F 作FG BE ⊥于点G .1当E 是CD 的中点时:①tan EAB ∠的值为______________; ② 证明:FG 是O ⊙的68CEABD切线;2试探究:BE 能否与O ⊙相切 若能,求出此时DE 的长;若不能,请说明理由.几何之——解直角三角形1在△ABC 中,∠C=90°,sinA=45,则tanB =A .43B .34C .35D .452、在 ABC 中,若|sinA-22 |+23-cosB 2=0, ∠A.∠B 都是锐角,则∠C 的度数是A. 750B. 9003、如下左图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA 的值是A 、513B 、1213 C 、512D 、1354如上右图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若EF=2, BC=5,CD=3,则tanC 等于A 、34B 、43C 、35D 、455、如,在矩形ABCD 中,DE⊥AC 于E,设∠ADE=α,且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为 . A3 B316 C 320 D 516 6在锐角△ABC 中,∠BAC=60°,BD、CE 为高,F 为BC 的中点,连接DE 、DF 、EF,则结论:①DF=EF;②AD:AB=AE :AC ;③△DEF 是等边三角形;④BE+CD=BC;⑤当∠ABC=45°时,BE=√2DE 中,一定正确的有A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个7.084sin 45(3)4-︒+-π+-=为528.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离米,则这 个破面的坡度为 . 9.如图,已知直线1l∥2l ∥3l ∥4l ,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则sin α= . 直角三角形常见模型1 张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°,旗杆底部B 点的俯角为45°.若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,试求旗杆AB 的高度;2.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东DE OCBG FAABC DαAABCDEADBE图6i =1:3C60°方向,2小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离; 3某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上;前进100m 到达B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向上如图,在以航标C 为圆心,120m 为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险4如图6,梯形ABCD 是拦水坝的横断面图,图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比,∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD 的面积.结果保留三位有效数字.参考数据:3≈,2≈3 1.73≈。
中考复习初中数学几何证明 试题(含答案)
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初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二).如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ,所以CD=GF 得证。
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二).3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F .经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O(1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.BF求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .求证:CE =CF .(初二)2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .求证:AE =AF .(初二)3、设P 是正方形ABCD 一边求证:PA =PF .(初二)4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEFB 、D .求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)经典题(四)1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5. 求:∠APB 的度数.(初二)2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA . 求证:∠PAB =∠PCB .(初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·BD .(初三)4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)经典难题(五)1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:≤L <2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值. A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度数.经典题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
中考数学几何证明复习题
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中考数学几何证明复习题第一篇:中考数学几何证明复习题几何证明练习1.如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.A(E)图13-1 图13-2图13-32.将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3.(1)将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置,使E点落在AB上,则CC′=______;(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数=______;(3)将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置,ED′与AB相交于点F,求证AF=FD′A A A AE E’ E’D’ F’l B(2)(3)D’(4)3.填空或解答:点B、C、E在同一直线上,点A、D在直线CE的同侧,AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,直线AE、BD交于点F。
(1)如图①,若∠BAC=60°,则∠AFB=_________;如图②,若∠BAC=90°,则∠AFB=_________;(2)如图③,若∠BAC=α,则∠AFB=_________(用含α的式子表示);(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合),得图④或图⑤。
在图④中,∠AFB与∠α的数量关系是________________;在图⑤中,∠AFB与∠α的数量关系是________________。
2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题(含答案解析)类型一三角形全等1.(2022·西藏)如图,已知AD平分∠BAC,AB=AC.求证:△ABD≌△ACD.【答案】证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△ABD和△ACD中,AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD,∴△ABD≌△ACD(SAS).2.(2022·湖南省益阳市)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,CD//AB,DE⊥AC于点E,且CE=AB.求证:△CED≌△ABC.【答案】证明:∵DE⊥AC,∠B=90°,∴∠DEC =∠B =90°,∵CD//AB ,∴∠A =∠DCE ,在△CED 和△ABC 中,∠DCE =∠A CE =AB ∠DEC =∠B ,∴△CED≌△ABC(ASA).3.(2022·江苏省南通市)如图,AC 和BD 相交于点O ,OA =OC ,OB =OD .(1)求证:∠A =∠C ;(2)求证:AB//CD .【答案】证明:(1)在△AOB 和△COD 中,OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS),∴∠A =∠C ;(2)由(1)得∠A =∠C ,∴AB//CD .4.(2022·上海市)如图所示,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,点E ,F 在线段BC 上,点Q 在线段AB 上,且CF =BE ,AE 2=AQ ⋅AB .求证:(1)∠CAE =∠BAF ;(2)CF ⋅FQ =AF ⋅BQ .【答案】证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵CF=BE,∴CF−EF=BE−EF,即CE=BF,在△ACE和△ABF中,AC=AB∠C=∠BCE=BF,∴△ACE≌△ABF(SAS),∴∠CAE=∠BAF;(2)∵△ACE≌△ABF,∴AE=AF,∠CAE=∠BAF,∵AE2=AQ⋅AB,AC=AB,∴AE AQ=AC AF,∴△ACE∽AFQ,∴∠AEC=∠AQF,∴∠AEF=∠BQF,∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,∴∠BQF=∠AFE,∵∠B=∠C,∴△CAF∽△BFQ,∴CF BQ=AF FQ,即CF⋅FQ=AF⋅BQ.5.(2022·贵州省铜仁市)如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.【答案】证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,∴∠B=∠D=∠ACE=90°,∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,∴∠BCA=∠DEC,在△ABC和△CDE中,∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD,∴△ABC≌△CDE(AAS).6.(2022·广东省云浮市)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.【答案】证明:∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE,在Rt△OPD和Rt△OPE中,OP=OPPD=PE,∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).7.(2022·四川省宜宾市)已知:如图,点A、D、C、F在同一直线上,AB//DE,∠B=∠E,BC=EF.求证:AD=CF.【答案】证明:∵AB//DE,∴∠A=∠EDF.在△ABC和△DEF中,∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS).∴AC=DF,∴AC−DC=DF−DC,即:AD=CF.8.(2022·陕西省)如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE//AB,∠DCE=∠A.求证:DE=BC.【答案】.证明:∵DE//AB,∴∠EDC=∠B,在△CDE和△ABC中,∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A,∴△CDE≌△ABC(ASA),∴DE=BC.9.(2022·湖南省衡阳市)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,且BD=CE.求证:AD=AE.【答案】证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△ABD和△ACE中,AB=AC∠B=∠CBD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE.10.(2022·四川省乐山市)如图,B是线段AC的中点,AD//BE,BD//CE.求证:△ABD≌△BCE.【答案】证明:∵点B为线段AC的中点,∴AB=BC,∵AD//BE,∴∠A =∠EBC ,∵BD//CE ,∴∠C =∠DBA ,在△ABD 与△BCE 中,∠A =∠EBC AB =BC ∠DBA =∠C ,∴△ABD≌△BCE.(ASA).11.(2021·湖南衡阳市·中考真题)如图,点A 、B 、D 、E 在同一条直线上,,//,//AB DE AC DFBC EF =.求证:ABC DEF △≌△.【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ,可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠,然后根据题目中的条件,利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可.【详解】证明:点A ,B ,C ,D ,E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ,直角三角形可用HL 定理,但AAA 、SSA ,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的题目.12.(2021·四川乐山市·中考真题)如图,已知AB DC =,A D ∠=∠,AC 与DB 相交于点O ,求证:OBC OCB ∠=∠.【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质,通过证明ABO DCO △≌△,得OB OC =,结合等腰三角形的性质,即可得到答案.【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩,∴ABO DCO △≌△(AAS ),∴OB OC =,∴OBC OCB ∠=∠.【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识;解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质,从而完成求解.13.(2021·四川泸州市·中考真题)如图,点D 在AB 上,点E 在AC 上,AB=AC ,∠B=∠C ,求证:BD=CE【答案】证明见详解.【分析】根据“ASA”证明△ABE ≌△ACD ,然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明:在△ABE 和△ACD 中,∵A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△ABE ≌△ACD (ASA),∴AE=AD ,∴BD=AB–AD=AC-AE=CE .【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定方法(即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL )和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键.14.(2021·云南中考真题)如图,在四边形ABCD 中,,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E .求证:DAC CBD ∠=∠.【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ,即可证明.【详解】解:在△ACD 和△BDC 中,AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△BDC (SSS ),∴∠DAC=∠CBD .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法.15.(2020•菏泽)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点E 在AC 的延长线上,ED ⊥AB 于点D ,若BC =ED ,求证:CE =DB.【分析】由“AAS ”可证△ABC ≌△AED ,可得AE =AB ,AC =AD ,由线段的和差关系可得结论.【解答】证明:∵ED ⊥AB ,∴∠ADE =∠ACB =90°,∠A =∠A ,BC =DE ,∴△ABC ≌△AED (AAS ),∴AE =AB ,AC =AD ,∴CE =BD .16.(2020•南充)如图,点C 在线段BD 上,且AB ⊥BD ,DE ⊥BD ,AC ⊥CE ,BC =DE .求证:AB =CD .【分析】证明△ABC≌△CDE(ASA),可得出结论.【解答】证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,∴∠ACB=∠CED.在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE,∴△ABC≌△CDE(ASA),∴AB=CD.17.(2020•硚口区模拟)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:BD=CE.【分析】要证BD=CE只要证明AD=AE即可,而证明△ABE≌△ACD,则可得AD=AE.【解答】证明:在△ABE与△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C,∴△ABE≌△ACD.∴AD =AE .∴BD =CE .18.(2020•铜仁市)如图,∠B =∠E ,BF =EC ,AC ∥DF .求证:△ABC ≌△DEF .【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB =∠DFE ,进而利用全等三角形的判定定理ASA ,进而得出答案.【解答】证明:∵AC ∥DF ,∴∠ACB =∠DFE ,∵BF =CE ,∴BC =EF ,在△ABC 和△DEF 中,∠B =∠E BC =EF ∠ACB =∠DFE ,∴△ABC ≌△DEF (ASA ).19.(2020•无锡)如图,已知AB ∥CD ,AB =CD ,BE =CF .求证:(1)△ABF ≌△DCE ;(2)AF ∥DE .【分析】(1)先由平行线的性质得∠B =∠C ,从而利用SAS 判定△ABF ≌△DCE ;(2)根据全等三角形的性质得∠AFB =∠DEC ,由等角的补角相等可得∠AFE =∠DEF ,再由平行线的判定可得结论.【解答】证明:(1)∵AB ∥CD ,∴∠B =∠C ,∵BE =CF ,∴BE ﹣EF =CF ﹣EF ,即BF =CE ,在△ABF 和△DCE 中,∵AB =CD ∠B =∠C BF =CE ,∴△ABF ≌△DCE (SAS );(2)∵△ABF ≌△DCE ,∴∠AFB =∠DEC ,∴∠AFE =∠DEF ,∴AF ∥DE .20.(2020•台州)如图,已知AB =AC ,AD =AE ,BD 和CE 相交于点O .(1)求证:△ABD ≌△ACE ;(2)判断△BOC 的形状,并说明理由.【分析】(1)由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ;(2)由全等三角形的性质可得∠ABD =∠ACE ,由等腰三角形的性质可得∠ABC =∠ACB ,可求∠OBC=∠OCB,可得BO=CO,即可得结论.【解答】证明:(1)∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)△BOC是等腰三角形,理由如下:∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE,∴∠OBC=∠OCB,∴BO=CO,∴△BOC是等腰三角形.21.如图,点C、E、F、B在同一直线上,点A、D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.(1)求证:AB=CD;(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.【分析】(1)根据平行线的性质求出∠B=∠C,根据AAS推出△ABE≌△DCF,根据全等三角形的性质得出即可;(2)根据全等得出AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,求出CF=CD,推出∠D=∠CFD,即可求出答案.【解答】(1)证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠C,在△ABE和△DCF中,∠A=∠D∠B=∠CAE=DF,∴△ABE≌△DCF(AAS),∴AB=CD;(2)解:∵△ABE≌△DCF,∴AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,∵∠B=40°,∴∠C=40°∵AB=CF,∴CF=CD,∴∠D=∠CFD=12×(180°﹣40°)=70°.类型二特殊四边形判定及性质22.(2022·广西壮族自治区河池市)如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,AF=CD,BC=EF.(1)求证:∠ACB=∠DFE;(2)连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.【答案】(1)证明:∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,即AC=DF,在△ABC和△DEF中,AB=DEBC=EFAC=DF,∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠ACB=∠DFE;(2)解:如图,四边形BFEC是平行四边形,理由如下:由(1)可知,∠ACB=∠DFE,∴BC//EF,又∵BC=EF,∴四边形BFEC是平行四边形.23.(2022·青海省西宁市)如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD ,∠B =∠D ,∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,∴∠AEB =∠AFD ,在△ABE 和△ADF 中,∠AEB =∠AFD ∠B =∠D AB =AD ,∴△ABE≌△ADF(AAS);(2)解:设菱形的边长为x ,∵AB =CD =x ,CF =2,∴DF =x −2,∵△ABE≌△ADF ,∴BE =DF =x −2,在Rt △ABE 中,根据勾股定理得,AE 2+BE 2=AB 2,即42+(x −2)2=x 2,解得x =5,∴菱形的边长是5.24.(2022·江苏省无锡市)如图,已知四边形ABCD为矩形,AB=22,BC=4,点E在BC 上,CE=AE,将△ABC沿AC翻折到△AFC,连接EF.(1)求EF的长;(2)求sin∠CEF的值.【答案】解:(1)∵CE=AE,∴∠ECA=∠EAC,根据翻折可得:∠ECA=∠FCA,∠BAC=∠CAF,∵四边形ABCD是矩形,∴DA//CB,∴∠ECA=∠CAD,∴∠EAC=∠CAD,∴∠DAF=∠BAE,∵∠BAD=90°,∴∠EAF=90°,设CE=AE=x,则BE=4−x,在△BAE中,根据勾股定理可得:BA2+BE2=AE2,即:(22)2+(4−x)2= x2,解得:x=3,在Rt△EAF中,EF=AF2+AE2=17.(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G,设CG=x,则GB=3−x,∵FC=4,FE=17,∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2,即:16−x2=17−(3−x)2,解得:x=43,∴FG=FC2−CG2∴sin∠CEF=FG EF=25.(2022·湖北省荆门市)如图,已知矩形ABCD中,AB=8,BC=x(0<x<8),将△ACB 沿AC对折到△ACE的位置,AE和CD交于点F.(1)求证:△CEF≌△ADF;(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示).【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得:BC=CE,∠E=∠B=90°,∴∠E=∠D=90°,AD=CE,在△CEF与△ADF中,∠ CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE,∴△CEF≌△ADF(AAS);(2)解:设DF=a,则CF=8−a,∵四边形ABCD是矩形,∴AB//CD,AD=BC=x,∴∠DCA=∠BAC,根据折叠的性质得:∠EAC=∠BAC,∴∠DCA=∠EAC,∴AF=CF=8−a,在Rt△ADF中,∵AD2+DF2=AF2,∴x2+a2=(8−a)2,∴a=64−x216,∴tan∠DAF=DF AD=64−x216x.26.(2022·四川省遂宁市)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是AD的中点,连接OE,过点D作DF//AC交OE的延长线于点F,连接AF.(1)求证:△AOE≌△DFE;(2)判定四边形AODF的形状并说明理由.【答案】(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE,∵DF//AC,∴∠OAD=∠ADF,∵∠AEO=∠DEF,∴△AOE≌△DFE(ASA).(2)解:四边形AODF为矩形.理由:∵△AOE≌△DFE,∴AO=DF,∵DF//AC,∴四边形AODF为平行四边形,∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°,∴平行四边形AODF为矩形.27.(2022·湖北省)如图,已知E、F分别是▱ABCD的边BC,AD上的点,且BE=DF(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若四边形AECF是菱形,且BC=10,∠BAC=90°,求BE的长.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,且AD=BC,∴AF//EC,∵BE=DF,∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形;(2)如图所示:∵四边形AECF是菱形,∴AE=EC,∴∠1=∠2,∵∠3=90°−∠2,∠4=90°−∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE=12BC=5.28.(2022·云南省)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,延长BE 与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.(1)求证:四边形ABDF是矩形;(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.【答案】.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BA//CD,∴∠BAE=∠FDE,∵点E是AD的中点,∴AE=DE,在△BEA和△FED中,∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED,∴△BEA≌△FED(ASA),∴EF=EB,又∵AE=DE,∴四边形ABDF是平行四边形,∵∠BDF=90°.∴四边形ABDF是矩形;(2)解:由(1)得四边形ABDF是矩形,∴∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,∴AF=AD2−DF2=52−32=4,∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12,BD=AF=4,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=3,∴S△BCD=12BD⋅CD=12×4×3=6,∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18,答:四边形ABCF的面积S为18.29.(2022·广西壮族自治区河池市)如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,AF=CD,BC=EF.(1)求证:∠ACB=∠DFE;(2)连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.【答案】(1)证明:∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,即AC=DF,在△ABC和△DEF中,AB=DEBC=EFAC=DF,∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠ACB=∠DFE;(2)解:如图,四边形BFEC是平行四边形,理由如下:由(1)可知,∠ACB=∠DFE,∴BC//EF,又∵BC=EF,∴四边形BFEC是平行四边形.30.(2022·湖南省郴州市)如图,四边形ABCD是菱形,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接BF,FD,DE,EB.求证:四边形DEBF是菱形.【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠DAB=∠DCB,AC平分∠DAB,AC平分∠DCB,∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB,∠DCA=∠ACB=12∠DCB,∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB,∵AE=CF,∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS),∴DE=BE=BF=DF,∴四边形DEBF是菱形.31.(2022·山东省聊城市)如图,△ABC中,点D是AB上一点,点E是AC的中点,过点C 作CF//AB,交DE的延长线于点F.(1)求证:AD=CF;(2)连接AF,CD.如果点D是AB的中点,那么当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCF 是菱形,证明你的结论.【答案】(1)证明:∵CF//AB,∴∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA,∵点E是AC的中点,∴AE=CE,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF;(2)解:当AC⊥BC时,四边形ADCF是菱形,证明如下:由(1)知,AD=CF,∵AD//CF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AC⊥BC,∴△ABC是直角三角形,∵点D是AB的中点,∴CD=12AB=AD,∴四边形ADCF是菱形.32.(2022·北京市)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE=CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.【答案】证明:(1)在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,∵AE=CF.∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形;(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//DC,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∵OA=OC,∴DB⊥EF,∴平行四边形EBFD是菱形.33.(2022·湖南省张家界市)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,连接OE,过点C作CF//BD交OE的延长线于点F,连接DF.(1)求证:△ODE≌△FCE;(2)试判断四边形ODFC的形状,并写出证明过程.【答案】.(1)证明:∵点E是CD的中点,∴CE=DE,又∵CF//BD∴∠ODE=∠FCE,在△ODE和△FCE中,∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF,∴△ODE≌△FCE(ASA);(2)解:四边形ODFC为矩形,证明如下:∵△ODE≌△FCE,∴OE=FE,又∵CE=DE,∴四边形ODFC为平行四边形,又∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,即∠DOC=90°,∴四边形ODFC为矩形.34.(2022·四川省内江市)如图,在▱ABCD中,点E、F在对角线BD上,且BE=DF.求证:(1)△ABE≌△CDF;(2)四边形AECF是平行四边形.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB//CD,∴∠ABD=∠CDB,在△ABE和△CDF中,AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS);(2)由(1)可知,△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴180°−∠AEB=180°−∠CFD,即∠AEF=∠CFE,∴AE//CF,∵AE=CF,AE//CF,∴四边形AECF是平行四边形.35.(2022·湖南省长沙市)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.(1)求证:AC⊥BD;(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=32,AO=2,求BD的长及四边形ABCD 的周长.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴▱ABCD是菱形,∴AC⊥BD;(2)解:∵点E,F分别为AD,AO的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴OD=2EF=3,由(1)可知,四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,BD=2OD=6,在Rt△AOD中,由勾股定理得:AD=AO2+OD2=22+32=13,∴菱形ABCD的周长=4AD=41336.(2021·四川广安市·中考真题)如图,四边形ABCD是菱形,点E、F分别在边AB、AD=.连接CE、CF.的延长线上,且BE DF求证:CE CF=.【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD,∠ADC=∠ABC,根据SAS证明△BEC≌△DFC,可得CE=CF.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∴BC=CD ,∠ADC=∠ABC ,∴∠CDF=∠CBE ,在△BEC 和△DFC 中,BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BEC ≌△DFC (SAS ),∴CE=CF .【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件.37.(2021·江苏扬州市·中考真题)如图,在ABC 中,BAC ∠的角平分线交BC 于点D ,//,//DE AB DF AC.(1)试判断四边形AFDE 的形状,并说明理由;(2)若90BAC ∠=︒,且AD =,求四边形AFDE 的面积.【答案】(1)菱形,理由见解析;(2)4【分析】(1)根据DE ∥AB ,DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形,再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD ,可得AE=DE ,即可证明;(2)根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形,根据对角线AD求出边长,再根据面积公式计算即可.【详解】解:(1)四边形AFDE是菱形,理由是:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE是平行四边形,∵AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD,∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,∴平行四边形AFDE是菱形;(2)∵∠BAC=90°,∴四边形AFDE是正方形,∵AD=,=2,∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4.【点睛】本题考查了菱形的判定,正方形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的定义,解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法.38.(2021·江苏连云港市·中考真题)如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:四边形ACED是平行四边形;,求证:四边形ACED是矩形.(2)如果AB AE【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)由平行四边形的性质以及点C是BE的中点,得到AD∥CE,AD=CE,从而证明四边形ACED是平行四边形;(2)由平行四边形的性质证得DC=AE,从而证明平行四边形ACED是矩形.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC.∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE,∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形;(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,∵AB=AE,∴DC=AE,∵四边形ACED是平行四边形,∴四边形ACED是矩形.【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.39.(2021·四川遂宁市·中考真题)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F .(1)求证:AE =CF ;(2)请再添加一个条件,使四边形BFDE是菱形,并说明理由.【答案】(1)见解析;(2)EF ⊥BD 或EB =ED ,见解析【分析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌,则可得到AE =CF ;(2)连接BF ,DE ,由AOE COF V V ≌,得到OE=OF ,又AO=CO ,所以四边形AECF 是平行四边形,则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA =OC ,BE ∥DF∴∠E =∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE =CF(2)当EF ⊥BD 时,四边形BFDE 是菱形,理由如下:如图:连结BF ,DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB =OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ,∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质,菱形的判定等知识点,熟悉相关性质,能全等三角形的性质解决问题是解题的关键.40(2020•黄冈)已知:如图,在▱ABCD 中,点O 是CD 的中点,连接AO 并延长,交BC 的延长线于点E ,求证:AD =CE .【分析】只要证明△AOD≌△EOC(ASA)即可解决问题;【解答】证明:∵O是CD的中点,∴OD=CO,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠OCE,在△ADO和△ECO中,∠D=∠OCEOD=OC∠AOD=∠EOC,∴△AOD≌△EOC(ASA),∴AD=CE.41.(2020•扬州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB、DC于点E、F,连接AF、CE.(1)若OE=32,求EF的长;(2)判断四边形AECF的形状,并说明理由.【分析】(1)判定△AOE≌△COF(ASA),即可得OE=OF=32,进而得出EF的长;(2)先判定四边形AECF是平行四边形,再根据EF⊥AC,即可得到四边形AECF是菱形.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AO=CO,∴∠FCO=∠EAO,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF=32,∴EF=2OE=3;(2)四边形AECF是菱形,理由:∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.42.(2020•青岛)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形,可以得到AD=CB,∠ADC=∠CBA,从而可以得到∠ADE=∠CBF,然后根据SAS即可证明结论成立;(2)根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质,可以证明▱ABCD是菱形,从而可以得到AC ⊥BD,然后即可得到AC⊥EF,再根据题目中的条件,可以证明四边形AFCE是平行四边形,然后根据AC⊥EF,即可得到四边形AFCE是菱形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠ADC=∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,在△ADE和△CBF中,AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS);(2)当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是菱形,理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥EF,∵DE=BF,∴OE=OF,又∵OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形,∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.43.(2020•新疆)如图,四边形ABCD是平行四边形,DE∥BF,且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF.(1)求证:AE=CF;(2)若BE=DE,求证:四边形EBFD为菱形.【分析】(1)根据平行四边形的性质,可以得到AD=CB,AD∥CB,从而可以得到∠DAE=∠BCF,再根据DE∥BF和等角的补角相等,从而可以得到∠AED=∠CFB,然后即可证明△ADE和△CBF全等,从而可以得到AE=CF;(2)根据(1)中的△ADE和△CBF全等,可以得到DE=BF,再根据DE∥BF,即可得到四边形EBFD是平行四边形,再根据BE=DE,即可得到四边形EBFD为菱形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD =CB ,AD ∥CB ,∴∠DAE =∠BCF ,∵DE ∥BF ,∴∠DEF =∠BFE ,∴∠AED =∠CFB ,在△ADE 和△CBF 中,∠DAE =∠BCF ∠AED =∠CFB AD =CB ,∴△ADE ≌△CBF (AAS ),∴AE =CF ;(2)证明:由(1)知△ADE ≌△CBF ,则DE =BF ,又∵DE ∥BF ,∴四边形EBFD 是平行四边形,∵BE =DE ,∴四边形EBFD 为菱形.类型三与相似有关的证明44.(2021·广东中考真题)如图,边长为1的正方形ABCD 中,点E 为AD 的中点.连接BE ,将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ,求CG 的长.【答案】CG =【分析】根据题意,延长BF 交CD 于H 连EH ,通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =,再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-,进而即可求得CG 的长.【详解】解:延长BF 交CD 于H 连EH ,∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到,∴EA EF =,90EFB EAB ∠=∠=︒,∵E 为AD 中点,正方形ABCD 边长为1,∴12EA ED ==,∴12ED EF ==,∵四边形ABCD 是正方形,∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒,在Rt EDH △和Rt EFH 中,ED EF EH EH=⎧⎨=⎩,∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌,又∵AEB FEB ∠=∠,∴90DEH AEB ∠+∠=︒,∵90ABE AEB ∠+∠=︒,∴ABE DEH ∠=∠,∴DHE AEB ∽,∴12DH AE DE AB ==,∴14DH =,∴13144CH CD DH =-=-=,∵CH AB ∥,∴HGC BGA ∽,∴34CG CH AG AB ==,∴()3344CG AG AC CG ==-,∵1AB =,1CB =,90CBA ∠=︒,∴AC =,∴)34CG CG =,∴CG =.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质,熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键.45.(2021·湖北鄂州市·中考真题)如图,在ABCD 中,点E 、F 分别在边AD 、BC 上,(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由;(2)连接AC,分别交BE、DF于点G、H,连接BD交AC于点O.若23AGOG=,4AE=,求BC的长.【答案】(1)平行四边形,见解析;(2)16【分析】(1)利用平行四边形的判定定理,两组对边分别平行是平行四边形即可证明;(2)根据23AGOG=,找到边与边的等量关系,再利用三角形相似,建立等式进行求解即可.【详解】(1)四边形BEDF为平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD为平行四边形∴ABC ADC∠=∠∵ABE CDF∠=∠∴EBF EDF∠=∠∵四边形ABCD为平行四边形∴//AD BC∴EDF DFC EBF∠=∠=∠∴//BE DF∵//AD BC∴四边形BEDF 为平行四边形(2)设2AG a =,∵23AG OG =∴3OG a =,5AO a=∵四边形ABCD 为平行四边形∴5AO CO a ==,10AC a =,8CG a=∵//AD BC,,AGE CGB AEG CBG EAG BCG ∠=∠∠=∠∠=∠,∴AGE CGB∆∆∽∴14AE AG BC GC ==∵4AE =∴16BC =.【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理,解题的关键是:熟练掌握相关定理,能进行相关的证明.46.(2021·北京中考真题)如图,在ABC 中,,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点,点D 在MC 上,以点A 为中心,将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ,连接,BE DE .(1)比较BAE ∠与CAD ∠的大小;用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系,并证明;(2)过点M 作AB 的垂线,交DE 于点N ,用等式表示线段NE 与ND 的数量关系,并证明.【答案】(1)BAE CAD ∠=∠,BM BE MD =+,理由见详解;(2)DN EN =,理由见详解.【分析】(1)由题意及旋转的性质易得BAC EAD α∠=∠=,AE AD =,然后可证ABE ACD △≌△,进而问题可求解;(2)过点E 作EH ⊥AB ,垂足为点Q ,交AB 于点H ,由(1)可得ABE ACD ∠=∠,BE CD =,易证BH BE CD ==,进而可得HM DM =,然后可得DMN DHE ∽,最后根据相似三角形的性质可求证.【详解】(1)证明:∵BAC EAD α∠=∠=,∴BAE BAD BAD CAD α∠+∠=∠+∠=,∴BAE CAD ∠=∠,由旋转的性质可得AE AD =,∵AB AC =,∴()ABE ACD SAS ≌,∴BE CD =,∵点M 为BC 的中点,∴BM CM =,∵CM MD CD MD BE =+=+,∴BM BE MD =+;(2)证明:DN EN =,理由如下:过点E 作EH ⊥AB ,垂足为点Q ,交AB 于点H ,如图所示:∴90EQB HQB ∠=∠=︒,由(1)可得ABE ACD △≌△,∴ABE ACD ∠=∠,BE CD =,∵AB AC =,∴ABC C ABE ∠=∠=∠,∵BQ BQ =,∴()BQE BQH ASA ≌,∴BH BE CD ==,∵MB MC =,∴HM DM =,∵MN AB ⊥,∴//MN EH ,∴DMN DHE ∽,∴12DM DN DH DE ==,∴DN EN =.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质,熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键.47.(2020•长沙)在矩形ABCD 中,E 为DC 边上一点,把△ADE 沿AE 翻折,使点D 恰好落在BC边上的点F.(1)求证:△ABF∽△FCE;(2)若AB=23,AD=4,求EC的长;(3)若AE﹣DE=2EC,记∠BAF=α,∠FAE=β,求tanα+tanβ的值.【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.(2)设EC=x,证明△ABF∽△FCE,可得AB CF=BF EC,由此即可解决问题.(3)首先证明tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB,设AB=CD=a,BC=AD=b,DE=x,解直角三角形求出a,b之间的关系即可解决问题.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°,由翻折可知,∠D=∠AFE=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°,∠EFC+∠CEF=90°,∴∠AFB=∠FEC,∴△ABF∽△FCE.(2)设EC=x,由翻折可知,AD=AF=4,∴BF=AF2−AB2=16−12=2,∴CF=BC﹣BF=2,∵△ABF∽△FCE,∴AB CF=BF EC,∴2322,∴x=∴EC=(3)∵△ABF∽△FCE,∴AF EF=AB CF,∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB,设AB=CD=a,BC=AD=b,DE=x,∴AE=DE+2CE=x+2(a﹣x)=2a﹣x,∵AD=AF=b,DE=EF=x,∠B=∠C=∠D=90°,∴BF=b2−a2,CF=x2−(a−x)2=2ax−a2,∵AD2+DE2=AE2,∴b2+x2=(2a﹣x)2,∴a2﹣ax=14b2,∵△ABF∽△FCE,∴AB CF=BF EC,−(a−x)=b2−a2a−x,∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2,∴14b2=b2−a2•整理得,16a4﹣24a2b2+9b4=0,∴(4a2﹣3b2)2=0,∴b a=233,∴tanα+tanβ=BC AB=48.(2020•怀化)如图,在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD =CA,且∠D=30°.(1)求证:CD是⊙O的切线.(2)分别过A、B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E、F两点,过C点作AB的垂线,垂足为点G.求证:CG2=AE•BF.【分析】(1)连接OC,∠CAD=∠D=30°,由OC=OA,进而得到∠OCA=∠CAD=30°,由三角形外角定理得到∠COD=∠A+∠OCA=60°,在△OCD中由内角和定理可知∠OCD=90°即可证明;(2)证明AC是∠EAG的角平分线,CB是∠FCG的角平分线,得到CE=CG,CF=CG,再证明△AEC∽△CFB,对应线段成比例即可求解.【解答】(1)证明:连接OC,如右图所示,∵CA=CD,且∠D=30°,∴∠CAD=∠D=30°,∵OA=OC,∴∠CAD=∠ACO=30°,∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°,∴∠OCD=180°﹣∠D﹣∠COD=180°﹣30°﹣60°=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线;(2)∵∠COB=60°,且OC=OB,∴△OCB为等边三角形,∴∠CBG=60°,又∵CG⊥AD,∴∠CGB=90°,∴∠GCB=∠CGB﹣∠CBG=30°,又∵∠GCD=60°,∴CB是∠GCD的角平分线,∵BF⊥CD,BG⊥CG,∴BF=BG,又∵BC=BC,∴Rt△BCG≌Rt△BCF(HL),∴CF=CG.∵∠D=30°,AE⊥ED,∠E=90°,∴∠EAD=60°,又∵∠CAD=30°,∴AC是∠EAG的角平分线,∵CE⊥AE,CG⊥AB,∴CE=CG,∵∠E=∠BFC=90°,∠EAC=30°=∠BCF,∴△AEC∽△CFB,。
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中考数学经典几何证明题60例一、解答题(共60小题)1.(遵义)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)证明四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.2.(珠海)已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图1,连接BD,AF,则BD AF(填“>”、“<”或“=”);(2)如图2,M为AB边上一点,过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,H,N,连接BH,GF,求证:BH=GF.3.(镇江)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.(1)求证:△BAE≌△BCF;(2)若∠ABC=50°,则当∠EBA=°时,四边形BFDE是正方形.4.(漳州)如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作分、FG∥CD,交AE于点G连接DG.(1)求证:四边形DEFG为菱形;(2)若CD=8,CF=4,求的值.5.(玉林)如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点且∠BOD=60°,过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C,E为的中点,连接DE,EB.(1)求证:四边形BCDE是平行四边形;(2)已知图中阴影部分面积为6π,求⊙O的半径r.6.(永州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB.(1)求证:∠ABC=∠EDC;(2)求证:△ABC≌△EDC.7.(营口)如图,点P是⊙O外一点,PA切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,连接OP,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC交OP于点D.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若PD=,AC=8,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,若点E是的中点,连接CE,求CE的长.8.(徐州)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.(1)求证:四边形BFCE是平行四边形;(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,则BE=时,四边形BFCE是菱形.9.(宿迁)如图,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.(1)求证:四边形BDFC是平行四边形;(2)若△BCD是等腰三角形,求四边形BDFC的面积.10.(湘西州)如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)求证:四边形BFDE为矩形.11.(咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.12.(咸宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B=30°,求证:以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形.(2)若AC=6,AB=10,连结AD,求⊙O的半径和AD的长.13.(梧州)如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D重合,BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点,垂足为Q,过E作EH⊥AB于H.(1)求证:HF=AP;(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.14.(威海)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.15.(铜仁市)已知,如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,EF=FD.求证:AD=CE.16.(通辽)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:△ABC与△DEC全等.17.(铁岭)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上.(1)若DE=BF,求证:四边形AFCE是平行四边形;(2)若四边形AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.18.(天水)如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P.求证:(1)AC•PD=AP•BC;(2)PE=PD.19.(泰安)如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E 为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:(1)DF=AE;(2)DF⊥AC.20.(随州)如图,射线PA切⊙O于点A,连接PO.(1)在PO的上方作射线PC,使∠OPC=∠OPA(用尺规在原图中作,保留痕迹,不写作法),并证明:PC是⊙O的切线;(2)在(1)的条件下,若PC切⊙O于点B,AB=AP=4,求的长.21.(绥化)如图1,在正方形ABCD中,延长BC至M,使BM=DN,连接MN交BD延长线于点E.(1)求证:BD+2DE=BM.(2)如图2,连接BN交AD于点F,连接MF交BD于点G.若AF:FD=1:2,且CM=2,则线段DG=.22.(苏州)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧.设两弧交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若BC=6,∠BAC=50°,求DE、DF的长度之和(结果保留π).23.(上海)已知,如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE.(1)求证:DE⊥BE;(2)如果OE⊥CD,求证:BD•CE=CD•DE.24.(厦门)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.求证:四边形ABCD是矩形.25.(庆阳)如图,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,直线EF交正方形外角的平分线于点F,交DC于点G,且AE⊥EF.(1)当AB=2时,求△GEC的面积;(2)求证:AE=EF.26.(青海)如图,梯形ABCD中,AB∥DC,AC平分∠BAD,CE∥DA交AB于点E.求证:四边形ADCE是菱形.27.(钦州)如图,AB为⊙O的直径,AD为弦,∠DBC=∠A.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)连接OC,如果OC恰好经过弦BD的中点E,且tanC=,AD=3,求直径AB的长.28.(黔东南州)如图,已知PC平分∠MPN,点O是PC上任意一点,PM与⊙O相切于点E,交PC于A、B两点.(1)求证:PN与⊙O相切;(2)如果∠MPC=30°,PE=2,求劣弧的长.29.(潜江)如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)当OB=3,PA=6时,求MB,MC的长.30.(盘锦)如图1,AB为⊙O的直径,点P是直径AB上任意一点,过点P作弦CD⊥AB,垂足为P,过点B的直线与线段AD的延长线交于点F,且∠F=∠ABC.(1)若CD=2,BP=4,求⊙O的半径;(2)求证:直线BF是⊙O的切线;(3)当点P与点O重合时,过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E,在其它条件不变的情况下,判断四边形AEBF是什么特殊的四边形?请在图2中补全图象并证明你的结论.31.(内江)如图,将▱ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,DE交BC 于点O.(1)求证:△ABD≌△BEC;(2)连接BD,若∠BOD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.32.(南通)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在AB,DC上,且ED⊥DB,FB⊥BD.(1)求证:△AED≌△CFB;(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:DA=DF.33.(南平)如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上的一点,CD与半圆O相切于点D,连接AD,BD.(1)求证:∠BAD=∠BDC;(2)若∠BDC=28°,BD=2,求⊙O的半径.(精确到0.01)34.(南京)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.(1)求证:∠A=∠AEB;(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证:△ABE是等边三角形.35.(南充)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.36.(南昌)(1)如图1,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15,过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE′的位置,拼成四边形AEE′D,则四边形AEE′D 的形状为A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图2,在(1)中的四边形纸片AEE′D中,在EE′上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE′F′的位置,拼成四边形AFF′D.①求证:四边形AFF′D是菱形.②求四边形AFF′D的两条对角线的长.37.(梅州)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①以A为圆心,AB长为半径画弧;②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.38.(龙岩)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EF⊥EC.(1)求证:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的长.39.(柳州)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A,边CD与⊙O相交于点E,连接AE,BE.(1)求证:AB=AC;(2)若过点A作AH⊥BE于H,求证:BH=CE+EH.40.(辽阳)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,DG⊥AC于点G,交AB的延长线于点F.(1)求证:直线FG是⊙O的切线;(2)若AC=10,cosA=,求CG的长.41.(连云港)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点C落在点F 处,DF交AB于点E.(1)求证;∠EDB=∠EBD;(2)判断AF与DB是否平行,并说明理由.42.(莱芜)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,G为BD的中点,连接CG,BE,CD,BE与CD 交于点F.(1)判断四边形ACGD的形状,并说明理由.(2)求证:BE=CD,BE⊥CD.43.(酒泉)如图,平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由)44.(荆门)已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O 于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)求证:CE2=EH•EA;(3)若⊙O的半径为5,sinA=,求BH的长.45.(吉林)如图①,半径为R,圆心角为n°的扇形面积是S扇形=,由弧长l=,得S扇形==••R=lR.通过观察,我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高.类比扇形,我们探索扇环(如图②,两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环)的面积公式及其应用.(1)设扇环的面积为S扇环,的长为l1,的长为l2,线段AD的长为h(即两个同心圆半径R与r的差).类比S梯形=×(上底+下底)×高,用含l1,l2,h的代数式表示S扇环,并证明;(2)用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园,线段AD的长h为多少时,花园的面积最大,最大面积是多少?46.(黄石)在△AOB中,C,D分别是OA,OB边上的点,将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′.(1)如图1,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点,证明:①AC′=BD′;②AC′⊥BD′;(2)如图2,若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与BD′交于点E,猜想∠AEB=θ是否成立?请说明理由.47.(黄冈)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点M,交BC于点N,连接AN,过点C的切线交AB的延长线于点P.(1)求证:∠BCP=∠BAN(2)求证:=.48.(湖北)如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.(1)求证:BE=CF;(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.49.(葫芦岛)如图,△ABC是等边三角形,AO⊥BC,垂足为点O,⊙O与AC相切于点D,BE⊥AB交AC的延长线于点E,与⊙O相交于G、F两点.(1)求证:AB与⊙O相切;(2)若等边三角形ABC的边长是4,求线段BF的长?50.(呼伦贝尔)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若∠ADB是直角,则四边形BEDF是什么四边形?证明你的结论.51.(呼伦贝尔)如图,已知直线l与⊙O相离.OA⊥l于点A,交⊙O于点P,OA=5,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.(1)求证:AB=AC;(2)若PC=2,求⊙O的半径.52.(贺州)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AC平分∠BAD,AD⊥DC,垂足为D,OE⊥AC,垂足为E.(1)求证:DC是⊙O的切线;(2)若OE=cm,AC=2cm,求DC的长(结果保留根号).53.(贺州)如图,将矩形ABCD沿对角线BD对折,点C落在E处,BE与AD相交于点F.若DE=4,BD=8.(1)求证:AF=EF;(2)求证:BF平分∠ABD.54.(河南)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.(1)求证:△CDP≌△POB;(2)填空:①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为;②连接OD,当∠PBA的度数为时,四边形BPDO是菱形.55.(桂林)如图,在▱ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点.(1)求证:四边形EBFD为平行四边形;(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N,求证:△ABN≌△CDM.56.(贵港)如图,已知AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,且点E 是OD的中点,⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M,连接AC,CM.(1)若AB=4,求的长;(结果保留π)(2)求证:四边形ABMC是菱形.57.(甘南州)如图1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC,分别交于M,H.(1)求证:CF=CH;(2)如图2,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM 是什么四边形?并证明你的结论.58.(东莞)如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG.(1)求证:△ABG≌△AFG;(2)求BG的长.59.(大庆)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,P为BD上一点,∠APB=∠BAD.(1)证明:AB=CD;(2)证明:DP•BD=AD•BC;(2)证明:BD2=AB2+AD•BC.60.(赤峰)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO 交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.(1)求证:PB是的切线.(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.中考数学经典几何证明题60例参考答案与试题解析一、解答题(共60小题)1.(遵义)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)证明四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.考点:菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理.专题:证明题.分析:(1)根据AAS证△AFE≌△DBE;(2)利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD.结合已知条件,利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形,由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC,从而得出结论;(3)由直角三角形ABC与菱形有相同的高,根据等积变形求出这个高,代入菱形面积公式可求出结论.解答:(1)证明:①∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,∴AE=DE,BD=CD,在△AFE和△DBE中,,∴△AFE≌△DBE(AAS);(2)证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.∵DB=DC,∴AF=CD.∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,∴AD=DC=BC,∴四边形ADCF是菱形;(3)解:设菱形DC边上的高为h,∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h,∵BC==,∴DC=BC=,∴h==,菱形ADCF的面积为:DC•h=×=10.点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,菱形的面积计算,主要考查学生的推理能力.2.(珠海)已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图1,连接BD,AF,则BD=AF(填“>”、“<”或“=”);(2)如图2,M为AB边上一点,过M作BC的平行线MN分别交边AC,DE,DF于点G,H,N,连接BH,GF,求证:BH=GF.考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;平移的性质.专题:证明题.分析:(1)根据等腰三角形的性质,可得∠ABC与∠ACB的关系,根据平移的性质,可得AC与DF的关系,根据全等三角形的判定与性质,可得答案;(2)根据相似三角形的判定与性质,可得GM与HN的关系,BM与FN的关系,根据全等三角形的判定与性质,可得答案.解答:(1)解:由AB=AC,得∠ABC=ACB.由△ABC沿BC方向平移得到△DEF,得DF=AC,∠DFE=∠ACB.在△ABF和△DFB中,,△ABF≌△DFB(SAS),BD=AF,故答案为:BD=AF;(2)证明:如图:MN∥BF,△AMG∽△ABC,△DHN∽△DEF,=,=,∴MG=HN,MB=NF.在△BMH和△FNG中,,△BMH≌△FNG(SAS),∴BH=FG.点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了平移的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质.3.(镇江)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.(1)求证:△BAE≌△BCF;(2)若∠ABC=50°,则当∠EBA=20°时,四边形BFDE是正方形.考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的判定.专题:证明题.分析:(1)由题意易证∠BAE=∠BCF,又因为BA=BC,AE=CF,于是可证△BAE≌△BCF;(2)由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分,只要∠EBF=90°即得四边形BFDE 是正方形,由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC,又由∠ABC=50°,可得∠EBA+∠FBC=40°,于是∠EBA=×40°=20°.解答:(1)证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴AB=BC,∠BAC=∠BCA,∴∠BAE=∠BCF,在△BAE与△BCF中,∴△BAE≌△BCF(SAS);(2)∵四边形BFDE对角线互相垂直平分,∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形,∵△BAE≌△BCF,∴∠EBA=∠FBC,又∵∠ABC=50°,∴∠EBA+∠FBC=40°,∴∠EBA=×40°=20°.故答案为:20.点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质以及正方形的判定.本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF.4.(漳州)如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作分、FG∥CD,交AE于点G连接DG.(1)求证:四边形DEFG为菱形;(2)若CD=8,CF=4,求的值.考点:翻折变换(折叠问题);勾股定理;菱形的判定与性质;矩形的性质.专题:证明题.分析:(1)根据折叠的性质,易知DG=FG,ED=EF,∠1=∠2,由FG∥CD,可得∠1=∠3,易证FG=FE,故由四边相等证明四边形DEFG为菱形;(2)在Rt△EFC中,用勾股定理列方程即可CD、CE,从而求出的值.解答:(1)证明:由折叠的性质可知:DG=FG,ED=EF,∠1=∠2,∵FG∥CD,∴∠2=∠3,∴FG=FE,∴DG=GF=EF=DE,∴四边形DEFG为菱形;(2)解:设DE=x,根据折叠的性质,EF=DE=x,EC=8﹣x,在Rt△EFC中,FC2+EC2=EF2,即42+(8﹣x)2=x2,解得:x=5,CE=8﹣x=3,∴=.点评:本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理,熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键.5.(玉林)如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点且∠BOD=60°,过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C,E为的中点,连接DE,EB.(1)求证:四边形BCDE是平行四边形;(2)已知图中阴影部分面积为6π,求⊙O的半径r.考点:切线的性质;平行四边形的判定;扇形面积的计算.专题:证明题.分析:(1)由∠BOD=60°E为的中点,得到,于是得到DE∥BC,根据CD 是⊙O的切线,得到OD⊥CD,于是得到BE∥CD,即可证得四边形BCDE是平行四边形;(2)连接OE,由(1)知,,得到∠BOE=120°,根据扇形的面积公式列方程即可得到结论.解答:解:(1)∵∠BOD=60°,∴∠AOD=120°,∴=,∵E为的中点,∴,∴DE∥AB,OD⊥BE,即DE∥BC,∵CD是⊙O的切线,∴OD⊥CD,∴BE∥CD,∴四边形BCDE是平行四边形;(2)连接OE,由(1)知,,∴∠BOE=120°,∵阴影部分面积为6π,∴=6π,∴r=6.点评:本题考查了切线的性质,平行四边形的判定,扇形的面积公式,垂径定理,证明是解题的关键.6.(永州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB.(1)求证:∠ABC=∠EDC;(2)求证:△ABC≌△EDC.考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:(1)根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°,再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°,从而求出∠B=∠CDE;(2)根据“边角边”证明即可.解答:(1)证明:在四边形ABCD中,∵∠BAD=∠BCD=90°,∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°,∴∠B+∠ADC=180°,又∵∠CDE+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠CDE,(2)连接AC,由(1)证得∠ABC=∠CDE,在△ABC和△EDC中,,∴△ABC≌△EDC(SAS).点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义,利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键,也是本题的难点.7.(营口)如图,点P是⊙O外一点,PA切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,连接OP,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC交OP于点D.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若PD=,AC=8,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,若点E是的中点,连接CE,求CE的长.考点:切线的判定;扇形面积的计算.专题:证明题.分析:(1)连接OC,证明△PAO≌△PCO,得到∠PCO=∠PAO=90°,证明结论;(2)证明△ADP∽△PDA,得到成比例线段求出BC的长,根据S阴=S⊙O﹣S△ABC 求出答案;(3)连接AE、BE,作BM⊥CE于M,分别求出CM和EM的长,求和得到答案.解答:(1)证明:如图1,连接OC,∵PA切⊙O于点A,∴∠PAO=90°,∵BC∥OP,∴∠AOP=∠OBC,∠COP=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠AOP=∠COP,在△PAO和△PCO中,,∴△PAO≌△PCO,∴∠PCO=∠PAO=90°,∴PC是⊙O的切线;(2)解:由(1)得PA,PC都为圆的切线,∴PA=PC,OP平分∠APC,∠ADO=∠PAO=90°,∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD,∴∠PAD=∠AOD,∴△ADP∽△ODA,∴,∴AD2=PD•DO,∵AC=8,PD=,∴AD=AC=4,OD=3,AO=5,由题意知OD为△的中位线,∴BC=6,OD=6,AB=10.∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24;(3)解:如图2,连接AE、BE,作BM⊥CE于M,∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°,∵点E是的中点,∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°,CM=MB=3,BE=AB•cos45°=5,∴EM==4,则CE=CM+EM=7.点评:本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质,灵活运用切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键.8.(徐州)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.(1)求证:四边形BFCE是平行四边形;(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,则BE=4时,四边形BFCE是菱形.考点:平行四边形的判定;菱形的判定.专题:证明题.分析:(1)由AE=DF,∠A=∠D,AB=DC,易证得△AEC≌△DFB,即可得BF=EC,∠ACE=∠DBF,且EC∥BF,即可判定四边形BFCE是平行四边形;(2)当四边形BFCE是菱形时,BE=CE,根据菱形的性质即可得到结果.解答:(1)证明:∵AB=DC,∴AC=DF,在△AEC和△DFB中,∴△AEC≌△DFB(SAS),∴BF=EC,∠ACE=∠DBF∴EC∥BF,∴四边形BFCE是平行四边形;(2)当四边形BFCE是菱形时,BE=CE,∵AD=10,DC=3,AB=CD=3,∴BC=10﹣3﹣3=4,∵∠EBD=60°,∴BE=BC=4,∴当BE=4 时,四边形BFCE是菱形,故答案为:4.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,注意数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.9.(宿迁)如图,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.(1)求证:四边形BDFC是平行四边形;(2)若△BCD是等腰三角形,求四边形BDFC的面积.考点:平行四边形的判定与性质;等腰三角形的性质.专题:证明题.分析:(1)根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CBE=∠DFE,然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可;(2)分①BC=BD时,利用勾股定理列式求出AB,然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解;②BC=CD时,过点C作CG⊥AF于G,判断出四边形AGCB 是矩形,再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3,然后求出DG=2,利用勾股定理列式求出CG,然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解;③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾.解答:(1)证明:∵∠A=∠ABC=90°,∴BC∥AD,∴∠CBE=∠DFE,在△BEC与△FED中,,∴△BEC≌△FED,∴BE=FE,又∵E是边CD的中点,∴CE=DE,∴四边形BDFC是平行四边形;(2)①BC=BD=3时,由勾股定理得,AB===2,所以,四边形BDFC的面积=3×2=6;②BC=CD=3时,过点C作CG⊥AF于G,则四边形AGCB是矩形,所以,AG=BC=3,所以,DG=AG﹣AD=3﹣1=2,由勾股定理得,CG===,所以,四边形BDFC的面积=3×=3;③BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾,此时不成立;综上所述,四边形BDFC的面积是6或3.点评:本题考查了平行四边形的判定与性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,(1)确定出全等三角形是解题的关键,(2)难点在于分情况讨论.10.(湘西州)如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)求证:四边形BFDE为矩形.考点:矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.专题:证明题.分析:(1)由DE与AB垂直,BF与CD垂直,得到一对直角相等,再由ABCD为平行四边形得到AD=BC,对角相等,利用AAS即可的值;(2)由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行,得到∠CDE为直角,利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值.解答:证明:(1)∵DE⊥AB,BF⊥CD,∴∠AED=∠CFB=90°,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,在△ADE和△CBF中,,∴△ADE≌△CBF(AAS);(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD∥AB,∴∠CDE+∠DEB=180°,∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,则四边形BFDE为矩形.点评:此题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质,以及平行四边形的性质,熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键.11.(咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.考点:根的判别式;解一元二次方程-公式法.专题:证明题.分析:(1)求出方程根的判别式,利用配方法进行变形,根据平方的非负性证明即可;(2)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根,根据题意求出m的值.解答:(1)证明:△=(m+2)2﹣8m=m2﹣4m+4=(m﹣2)2,∵不论m为何值时,(m﹣2)2≥0,∴△≥0,∴方程总有实数根;(2)解:解方程得,x=,x1=,x2=1,∵方程有两个不相等的正整数根,∴m=1或2,m=2不合题意,∴m=1.点评:本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:△>0⇔方程有两个不相等的实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数根;△<0⇔方程没有实数根是解题的关键.12.(咸宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B=30°,求证:以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形.(2)若AC=6,AB=10,连结AD,求⊙O的半径和AD的长.考点:切线的性质;菱形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:(1)连接OD、OE、ED.先证明△AOE是等边三角形,得到AE=AO=0D,则四边形AODE是平行四边形,然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形;(2)连接OD、DF.先由△OBD∽△ABC,求出⊙O的半径,然后证明△ADC∽△AFD,得出AD2=AC•AF,进而求出AD.解答:(1)证明:如图1,连接OD、OE、ED.∵BC与⊙O相切于一点D,∴OD⊥BC,∴∠ODB=90°=∠C,∴OD∥AC,∵∠B=30°,∴∠A=60°,∵OA=OE,∴△AOE是等边三角形,∴AE=AO=0D,∴四边形AODE是平行四边形,∵OA=OD,∴四边形AODE是菱形.(2)解:设⊙O的半径为r.∵OD∥AC,∴△OBD∽△ABC.∴,即10r=6(10﹣r).解得r=,∴⊙O的半径为.如图2,连接OD、DF.∵OD∥AC,∴∠DAC=∠ADO,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠DAC=∠DAO,∵AF是⊙O的直径,∴∠ADF=90°=∠C,∴△ADC∽△AFD,∴,∴AD2=AC•AF,∵AC=6,AF=,∴AD2=×6=45,∴AD==3.点评:本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质,是一个综合题,难度中等.熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键.13.(梧州)如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D重合,BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点,垂足为Q,过E作EH⊥AB于H.(1)求证:HF=AP;(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.专题:证明题.分析:(1)先根据EQ⊥BO,EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°.根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH,故∠QEM=∠HBM.由ASA定理得出△APB≌△HFE,故可得出结论;(2)由勾股定理求出BP的长,根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP,再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长,由(1)知,△APB≌△HFE,故EF=BP=4,再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论.解答:(1)证明:∵EQ⊥BO,EH⊥AB,∴∠EQN=∠BHM=90°.∵∠EMQ=∠BMH,∴△EMQ∽△BMH,∴∠QEM=∠HBM.在Rt△APB与Rt△HFE中,,∴△APB≌△HFE,∴HF=AP;(2)解:由勾股定理得,BP===4.∵EF是BP的垂直平分线,∴BQ=BP=2,∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=.由(1)知,△APB≌△HFE,∴EF=BP=4,∴EQ=EF﹣QF=4﹣=.点评:本题考查的是正方形的性质,熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键.14.(威海)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;圆周角定理.专题:证明题.分析:(1)连结AE,如图,根据圆周角定理,由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°,然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE;(2)连结DE,如图,证明△BED∽△BAC,然后利用相似比可计算出AB的长,从而得到AC的长.解答:(1)证明:连结AE,如图,∵AC为⊙O的直径,∴∠AEC=90°,∴AE⊥BC,而AB=AC,∴BE=CE;(2)连结DE,如图,∵BE=CE=3,∴BC=6,∵∠BED=∠BAC,而∠DBE=∠CBA,∴△BED∽△BAC,∴=,即=,∴BA=9,∴AC=BA=9.点评:本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了角平分线的性质和圆周角定理.15.(铜仁市)已知,如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,EF=FD.求证:AD=CE.考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:作DG∥BC交AC于G,先证明△DFG≌△EFC,得出GD=CE,再证明△ADG是等边三角形,得出AD=GD,即可得出结论.解答:证明:作DG∥BC交AC于G,如图所示:则∠DGF=∠ECF,在△DFG和△EFC中,,∴△DFG≌△EFC(AAS),∴GD=CE,。
初中数学几何图形证明复习 题集附答案
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初中数学几何图形证明复习题集附答案初中数学几何图形证明复习题集附答案一、直线和角1. 直线的定义与性质证明直线是由无数个点组成的,而且它上面的任意两个点可通过直线上其他的点用直线段相连而得。
直线上的点无论如何移动,它们的位置不变。
2. 角的定义与性质证明角是由两条有公共起点的射线组成的。
角的大小可以通过两条射线的夹角来衡量,夹角的单位是度。
任意两条射线可以确定唯一一个角。
对任意一个角,总存在一个与之对应的角,其顶点和两条边的位置互换。
3. 垂直角性质证明当两条直线互相垂直时,它们所对应的四个角是互相垂直的,也就是相等的。
二、三角形1. 三角形的定义与性质证明三角形是由三条线段组成的几何图形。
它的性质包括:三角形的三条边互不相交,三角形的三个内角相加等于180度,等腰三角形的两个边相等,等边三角形的三个边都相等。
2. 等腰三角形性质证明对于一个等腰三角形,它的两个底边相等,两个底角也相等。
3. 直角三角形性质证明对于一个直角三角形,它的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
三、四边形1. 矩形性质证明矩形是一个四边形,它的所有内角都是直角,并且它的对边相等。
2. 平行四边形性质证明平行四边形是一个四边形,它的对边是平行的,并且相等。
3. 菱形性质证明菱形是一个四边形,它的所有边都相等,并且对角线互相垂直。
四、圆1. 圆的定义与性质证明圆是一个平面上的点组成的集合,它到一个固定点的距离相等。
圆的性质包括:圆上的任意两点可以通过圆弧用圆心相连,并且圆心角的度数是圆弧所对的角的度数的两倍。
2. 弧的性质证明在一个圆内,不同的弧所对应的圆心角是不同的。
一个圆上的两个弧所对应的圆心角互补。
3. 弦的性质证明在一个圆内,不同的弦所对应的圆心角是不同的。
一个圆上的两个弦所对应的圆心角互补。
总结:数学几何图形的证明是通过逻辑推理与数学定理的运用,以确保结论的正确性。
在初中数学中,我们需要了解各种图形的定义与性质,并能够用适当的证明方法来解答相关问题。
初中数学-几何证明经典试题及答案(Word最新版)
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初中数学-几何证明经典试题及答案通过整理的初中数学-几何证明经典试题及答案相关文档,渴望对大家有所扶植,感谢观看!初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求证:CD =GF.(初二) A F G C E B O D 2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150. A P C D B 求证:△PBC是正三角形.(初二)D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二) A N F E C D M B 4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:∠DEN=∠F.经典题(二)1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.· A D H E M C B O (1)求证:AH=2OM;(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)· G A O D B E C Q P N M 2、设MN是圆O外始终线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证:AP=AQ.(初二)3、假如上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:· O Q P B D E C N M · A 设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.求证:AP =AQ.(初二)4、如图,分别以△ABC的AC和BC 为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF 的中点.P C G F B Q A D E 求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)经典题(三)1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F. A F D E C B 求证:CE=CF.(初二)2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC 交DA延长线于F. E D A C B F 求证:AE=AF.(初二)3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE. D F E P C B A 求证:PA=PF.(初二)O D B F A E C P 4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB =DC,BC=AD.(初三)经典题(四) A P C B 1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求:∠APB的度数.(初二)2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.求证:∠PAB=∠PCB.(初二)P A D C B 3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)C B D A 4、平行四边形ABCD中,设E、F 分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二) F P D E C B A A P C B 经典难题(五)1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:≤L<2. A C B P D 2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值. A C B P D 3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长. E D C B A 4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA =300,∠EBA=200,求∠BED的度数.经典题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
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eeiA(D)最新中考数学几何证明题专题复习汇总1、 如图1, E 是边长为1的正方形初仞的对角线劭上一点,且BE= BC, P 为CE 上任意一点,PQLBC 于点0,PRIBE 亍点、R,则PQ+PR 的值是【 】A.二些 B. C. D.2、 如图2,在梯形初切中,AD//BQ 对角线AC1BD,且J^12,锯9,则此梯形的中位线长是A. 10B. —C. —D. 122 23、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图3所示的风筝,点上; G, 〃分别是四边形加^.0各边的中点.其中阴影部分用甲布料,其余部分用乙布料(裁剪两种布料时,均不 计余料).若生产这批风筝需要甲布料30匹,那么需要乙布料 A. 15 匹 B. 20 匹 C. 30 匹 D. 60 匹4、 如图4,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形月测的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这 个平行四边形的一个最小内角的值等于 ___________ .5、 一个正方形和两个等边三角形的位置如图5所示,若Z3二50。
,则Z1+Z2二( ) A. 90° B. 100° C. 130° D. 180°6、 把三张大小相同的正方形卡片A, B, C 叠放在一个底面为正方形的盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影 表示.若按图6-1摆放时,阴影部分的面枳为若按图6-2摆放时,阴影部分的面积为乂,则J —S2(填 “>”、“V” 或“二”).7、 如图7-1,两个等边△ABD, ACBD 的边长均为1,将AABD 沿AC 方向向右平移到AA' B' D'的位置,得到图 7-2,则阴影部分的周长为 __________ • 8、 用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形, 如图8-1,用“个全等的正六边形按这种方式拼接,如图8-2,若阖成一圈后中间也形成一个正多边形,则的 值为 . 9、 如图10,两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,则这个图 形(阴影部分)外轮廓线的周长是( ) A. 7 B. 8 C. 9 D.10、 平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图10,则Z3+ Zl-Z2= ____________ .图7-1图7-2图8-2A DA nC图3图6-1 图6-2A BBB B图8-1图10图11图12 图13 图1412、 如图12,边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图),则遊S 空白13、 如图13, M 是铁丝AD 的屮点,将该铁丝首尾相接折成AABC,且ZB=30° , ZC=100° ,如图13•则下列说 法正确的是(A.点M 在AB 上 C. 点、M 在BC 上,D. 点M 在BC 上,14、 _____________________________________________________________________ 如图14,将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形.则S 扇形二 ______________________________________15、 小宇同学在一次手工制作活动中,先把一张矩形纸片按图9一1的方式进行折叠,使折痕的左侧部分比右侧 部分短lcm ;展开后按图9-2的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长lcm,再展开后,在纸 上形成的两条折痕Z 间的距离是 19、 如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形,它可以围成图2的正方体,则图1中小正方形顶点八,B 围 成的正方体上的距离是()A. 0 B ・1 C. 72 D. 7320、 如图14,已知AABC (AC<BC),用尺规在BC 上确定一点P,使PA+PC 二BC,则符合要求的作图痕迹是()20、嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图1的四 边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.A. 3B. 4 C- 5 D. 6B.点M 在BC 的中点处 且距点B 较近,距点C 较远 且距点C 较近,距点B 较远16、处, 17、18、 A. 2第--次折叠 图9-1A. 0.5cmB. lcm如图15,等边Z\ABC 的边长为lcm, D 、E 分别是AB 、C. 1. 5cmD. 2cm AC 上的点,将AADE 沿直线DE 折叠, cm.且点A'在AABC 外部,则阴影部分图形的周长为— 如图16, AABC 中,D, E 分别是边AB, AC 的中点.若DE 二2,则BO ( ) A. 2 B ・3 如图17,将长为2、C. 4D. 5)0 第二次折叠 图9-20 1点八落在点”己知:如图1,在四边形ABCD 中,BC=AD, AB= _____ 求证:四边形ABCD 是 ____ 四边形.(1) 在方框中填空,以补全已知和求证; (2) 按嘉淇的想法写出证明; (3) 用文字叙述所证命题的逆命题为.嘉淇我的想法是:利用三角形 全等,依据;'两组对辺分 别平行的四边形杲平行四 边形"来证明交于点F.(1)求证:AABD^AACE;(2)求ZACE的度数;(3)求证:四边形ABFE是菱形.22、如图,在四边形ABCD中,AB二AD, CB二CD, E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)证明:ZBAC=ZDAC, ZAFD^ZCFE.(2)若AB〃CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,又知ZEFD二ZBCD,请问你能推出什么结论?(直接写出一个结论,要求结论中含有字母E)23、如图,在Q ABCD中,点E, F分别在AB, DC ±,且ED丄DB, FB丄BD.(1)求证:AAED^ACFB;(2)若ZA=30° , ZDEB二45°,求证:DA二DF.22.在oABCD中,过点D作DE丄AB于点E,点F在边CD ±, DF二BE,连接AF, BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3, BF=4, DF二5,求证:AF 平分ZDAB.23、在一平直河岸/同侧有儿B两个村庄,A, B到/的距离分别是3km和2 km,AB= a km (a>l).现计划在河岸/上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图13-1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为厶且d^PB^BA (km)(其中丄/于点P):图13-2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为也,且d^PA^PB (km)(其中点A'与点/关于/对称,£ 〃与/交于点Q.图13 -1观察计算(1)在方案一中,水= _____________ k m (用含自的式子表示);(2)在方案二中,组长小宇为了计算丛的长,作了如图13-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,d2=■km (用含臼的式子表示).探索归纳(1)®当日二4时,比较大小:小__________ 丛(填“>”、“二”或“<”);②当臼=6时,比较大小:d、 __________ 丛(填“>”、“二”或);(2)请你参考右边方框屮的方法指导,就日(当Q>1时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案一?■ • •方法指导当不易直接比较两个正数/〃与刀的大小时,可以对它们的平方进行比较:IT T— n2 =(m 4- — n), 卅77> 0,( m2 - n2 )与(m—n )的符号相同. 当m2-tv >0 时,m—n >0,即m > n ; 当m2-n2- 0 时,m — n- 0,即m-r 当m2 -n2 <0时,加—nVO,即加V刃.24、在正方形ABCD中,点E是M)上一动点,MN丄AB分别交AB, CD于M, N,连接BE交枫于点0,过0作0P 丄BE分别交AB, CD于P, Q.探究:(1)如图①,当点E在边AD上时,请你动手测量三条线段AE, MP, NQ的长度,猜测AE与MP+NQ Z间的数量关系,并证明你所猜测的结论;探究:(2)如图②,若点E在DA的延长线上时,AE, MP, NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论;再探究:(3)如图③,连接并延长交AD的延长线DG于II,若点E分别在线段DH和射线HG上时,请在图③ 中完成符合题意的图形,并判断AE, MP, NQ之间的数量关系又分别怎样?请直接写出结论.图③P图①图②25、在图14-1至图14-3屮,点〃是线段力Q的中点,点〃是线段必的屮点.四边形%炉和都是正方形.AE 的中点是胚(1)如图14-1,点F在的延长线上,点“与点0重合时,点必与点C重合,求证:FM = MH, FMAJfH;(2)将图14-1中的%绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图14-2,求证:△用〃/是等腰直角三角形;(3)将图14-2屮的化'缩短到图14-3的情况,△戶矽/还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由)26、操作示例对于边长均为日的两再沿虚线劭,上&剪开后,①四边形閃劭是正方形;②S疋方形力财+S正方形師7尸S疋方形实践与探究(1)对于边长分别为创bd>b)的两个正方形〃磁和必刃/,按图11一2所示的方式摆放,连结殆过点〃作DMIDE,交初于点饥过点财作2DM, 过点£作射丄处,协'与QV相交于点皿①证明四边形必V肋是正方形,并用含自,方的代数式表示正方形MNED的面积;②在图11—2中,将正方形/!%、〃和正方形以'67/沿虚线剪开后,能够拼接为正方形航W/.请简略说明你的拼接方法(类比图11-1, 用数字表示对应的图形).(2)对于/? (/;是大于2的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接为一个正方形?请简要说明你的理由.27、如图14-1, 14-2, P4边形力妙是正方形,财是畀〃延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点〃,且直角顶点F在外〃边上滑动(点F不与点儿〃重合),另一条直角边与ZCBM 的平分线处相交于点F.(1)如图14—1,当点F在/!〃边的中点位置时:①通过测量处矿的长度,猜想处与彷满足的数量关系是 __________________ ;②连接点E与力〃边的中点A;猜想/曲与胪满足的数量关系是 ___________ ;③请证明你的上述两个猜想.(2)如图14—2,当点E在/〃边上的任意位置时,请你在/〃边上找到一点川,使得N&BF,进而猜想此吋%与矿有怎样的数量关系.28、如图13-1, 一等腰直角三角尺俯的两条直角边与正方形的两条边分别重图11—2图14—1图14—2N图11—1合在一起.现正方形肋〃保持不动,将三角尺处尸绕斜边防的屮点。