新 基本不等式的证明

课后作业
课题：多角度探究基本不等式 课后请大家按照教学案提供的材料 从代数、几何、三角、向量等方面多
角度探究基本不等式.
ab CO , CH ab 2
2．能否比较出两者的大小关系？
ab 2
ab
B
半弦CH不大于半径CO
ab ab 2
A
O H ab
（二）发现基本不等式
数： a b 0


2
形：半弦不大于半径
ab ab 2
（三）构建基本不等式
a b 如果 a 0, b 0 ，那么 ab 2
2 2 只要证 0 a 2ab b ，
只要证 0 a b .
2
因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立, 当且仅当a=b时取“=”.
基本不等式的证明（分析法）
要证
ab ab , 2
只要证 2 ab a b ,
只要证 0 a 2 ab b ,
只要证 0
⑷结论.
基本不等式的证明（分析法）
刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的，
确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的．
例如,请看
求证:
2 7 3 6
基本不等式的证明（分析法）
ab ab 要证 ， 2 2 ab 只要证 ab ， 2
只要证 4ab a 2 2ab b2 ，
基本不等式的证明
无锡辅仁高中 魏 民
问 题 情 境 1
对任意实数x、y，有 x y 0 恒成立，即 x2 y 2 2xy.
2
探究：
1. 分别用 a , b 代替上面不等式中的x、y，
会得到什么式子 ？
a b 2 ab
2. 对上述实数a、b，须有何限制条件？
a 0, b 0
分析法的优点是利于思考，因为它方向
明确，易于发现思路.
综合法的优点是易于表述，条理清楚，
形式简洁.
证明不等式时常常用分析法寻找解题思
路，再用综合法写出证明过程．
（五）基本不等式的简单应用
a b 如果 a 0, b 0 ，那么 ab 2
（当且仅当a=b时取“=”）.
这个不等式称为基本不等式.

a b

2
.
因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立, 当且仅当a=b时取“=”.
基本不等式的证明（分析法）
条件 难入手
结论
变形
2 7 3 6
ab ab 2
简单点
再变
再简单点
再变
结论
显然成立
14 18
0

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a b

2
基本不等式的证明（分析法）
不过，有的同学觉得还是习惯于传统的
（当且仅当a=b时取“=”）.
这个不等式称为基本不等式.
刚才，我们从数和形两个角度找到也证
明了基本不等式.
那么, 这个基本不等式还有其他哪些证明
方法呢?
．
（四）基本不等式的证明（比较法）
证明不等式本质上就是比较大小，
那么比较大小最常用的方法是什么呢？ 比较法，作差(或作商)
．
（三）基本不等式的证明（比较法）
从已知条件出发推导出要证的结论.
条件 难入手
结论
基本不等式的证明（综合法）
证明：

a b

2
0,
a b 2 ab 0,
a b 2 ab ,
ab ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
综合法： 从已知或事实出发，根据不等式的性质推导出要证的 不等式.
基本不等式的证明（综合法）
基本不等式的变式：
a b 2 ab a 0, b 0
（五）基本不等式的简单应用
例 证明下列不等式
1 （1）a 2 (a>0)； a
思考1： 第（1）题若将a>0 改为a<0 ，要证的不等式有何变化？
如何证明？
（五）基本不等式的简单应用
1 a 2 (a>0) ； 结论： a 1 a 2 (a<0) . a
（五）基本不等式的简单应用
例 证明下列不等式
1 （ 2） a 3 (a>1). a 1
思考2：
1 第（2）题若将 a >1改为a ≠1，求a 的取值范围. a 1
课 堂 小 结
在应用基本不等式时，要注意哪些问题?
ab ab 2
基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0， 及当且仅当a=b时等号成立． 不等式的证明有哪几种常用的方法呢？ 比较法，分析法，综合法．
2 2 ab 1 ab a b 2 ab 2 2 1 ( a b )2 0 2 ab ab (当且仅当a=b时取“=”). 2

说明：比较法证明不等式的步骤： ⑴作差（或作商）， ⑵变形：通分、因式分解、配方等，
⑶判断差式的符号，
3. 上述不等关系中，何时取到“=”？
当且仅当a b时
问 题 情 境 2
如图, AB为半圆的直径, C为圆周上一动点, CH AB H为垂足. 设AH=a, HB=b, ab 把 称为a, b的算术平均数， 把 ab 称为a, b的几何平均数. 2 探究： 1．试指出图中哪些线段的长度分别等于a, b的算术平均数 C 和几何平均数？