高中数学线性规划汇总

直线与线性规划

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线

在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，

还有以下七类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩

，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5]

变式训练1：已知x ，y 满足约束条件 30

5≤≥+≥+-x y x y x ，则y x z -=4的最小值为______________．

变式训练2：若⎩⎨

⎧≥+≤≤2,22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ） A ．[2 ，6] B ． [2，5]

C ． [3，6]

D ． [3，5] 二、求可行域的面积

例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩

表示的平面区域的面积为 （ ）

A 、4

B 、1

C 、5

D 、无穷大

变式训练1：由12+≤≤≤x y x y 及围成的几何图形的面积是多少?

变式训练2：已知),2,0(∈a 当a 为何值时，直线422:422:2221+=+-=-a y a x l a y ax l 与及坐标轴围

成的平面区域的面积最小？

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）

A 、9个

B 、10个

C 、13个

D 、14个

变式训练1：不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为 （ ）

A ． 13个

B ． 10个

C ． 14个

D ． 17个

变式训练2：.在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,0

x y x y x y y ->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

四、求线性目标函数中参数的取值范围

例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩

，使z=x+ay(a>0)取得最小

值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）

A 、－3

B 、3

C 、－1

D 、1

变式训练1：不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值

范围是

（ ） A ．32<<-m B ．60<

变式训练2：已知平面区域如右图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为（ ）

A ．207

B ．207-

C ．21

D ．不存在 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩ 最小值分别是（ ）

A 、13，1

B 、13，2

C 、13，45

D 、 变式训练1：: 已知实数y x ,满足条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，

则实数m 的最大值是 .

变式训练2：设O 为坐标原点，点()1,1,,4A M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭若满足不等式组21,2x y x OM OA y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩

则uuu r uu r g 的最小值是___________.

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则

m 的取值范围是 （ ）

A 、（-3,6）

B 、（0,6）

C 、（0,3）

D 、（-3,3） 变式训练1：已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则

（ ）

A ．m ＜－7或m ＞24

B ．－7＜m ＜24

C ．m ＝－7或m ＝24

D ．－7≤m ≤ 24

变式训练2：在ABC ∆所包围的阴影区域内（包括边界），若有且仅有)2,4(B 是使得

y ax z -=取得最大值的最优解，则实数a 的取值范围为（ ）

A. 11<<-a

B. 11≤≤-a

C.11<≤-a

D. 11≤<-a

七·比值问题

例7、 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，

则 y x 的取值范围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95

]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]

变式训练1：已知x ，y 满足⎪⎩⎪

⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则3251x y x +++的最大值为___________，最小值

为____________． 变式训练2：变量x , y 满足条件430,35250,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩

设z=23121x y x --+, 则z min = ，z max = .

巩固练习题：

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.