五年级数学余数的性质
五年级 第2讲 余数的性质
巩固6
号码分别为101、126、173、193的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每 两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数．那么比赛盘数最多 的运动员打了多少盘？
第2讲 余数的性质
例题1
(876543 2018 123456) 9 的余数是多少？
巩固1
(654321 2018 345678) 9 的余数是多少？
例题2
求24611356047 11的余数．
巩固2
求 478 296351除以17的余数．
例题3
22018 除以7的余数是多少？
巩固3
3100 除以13的余数是多少？
例题4
201820182018 2018+1 的结果除以10的余数是多少？ 2018个2018
巩固4
222......2 1 的结果除以5的余数是多少？
999个2
ห้องสมุดไป่ตู้
例题5
22018与 20172 的差除以9的余数是多少？
巩固5
22017 与 20172 的差除以9的余数是多少？
例题6
在2015、2016、2017、2018、2019中，若其中一个数或几个数的和被4除余1， 则将这几个数归为一组．这样的数组共有多少个？(不考虑数的顺序)
五年级数学思维拓展余数定理第三讲
【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）——余数定理(3)了解余数定理，会用余数定理解题1.掌握余数定理2.掌握同余定理1. 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。
2. 有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
3. 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。
4.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。
求这个数是多少？（即是该课程的课后测试）1. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数2. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数3. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？4. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)5. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？1. 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。
2. 答案：39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；3. 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。
由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。
这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。
五年级上册数学培优奥数讲义-第15讲 余数定理
第15讲余数定理知识与方法余数在计算时有三个主要性质，也被称为三个定理，余数问题中非常重要的同余问题以及中国剩余定理，其实就是根据这三个性质来解决问题的，所以这三个性质非常重要。
余数主要有以下三个性质：（1）可加性：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和。
（2）可减性：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。
（3）可乘性：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
初级挑战1（1）23÷5＝4……（）（2）108÷4＝2716÷5＝3……（） 214÷4＝53……（）39÷5＝7……（） 322÷4＝80……（）（3）155÷3＝51……（）230÷3＝76……（）385÷3＝128……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理一：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
如果余数之和大于除数，那么可以继续除以这个除数得到余数。
答案：（1）3、1、4；（2）2、2；（3）2、2、1发现：三个数除以一个相同的数，如果一个数是其它两个数的和，那么所得的余数也是其它两个数除得的余数的和。
能力探索11、快速计算：（234＋123＋732）÷3的余数。
2、甲数除以9，商12余3；乙数除以9，商28余6；丙数除以9，商31余5。
（甲数＋乙数＋丙数）÷9的余数是多少？答案：1、0 2、（3＋6＋5）÷9＝1……5，所以余数是5。
初级挑战2（1）129÷7＝18……3 （2）237÷5＝47……（） 71÷7＝10……1 200÷5＝4058÷7＝8……2 37÷5＝7……（）（3）93÷4＝23……（）30÷4＝7……（）63÷4＝15……（）观察以上每组算式中的被除数和余数，你发现了什么？思维点拨：余数定理二：a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之（）。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第16讲-余数
知识点回顾一、替换求余：可加性、可减性以及可乘性二、特性求余：例如2、3、4、5、7、8、9、11、13、99等1111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数．1111661045-=104551119=⨯⨯1045的约数大于余数66 这个两位数是9521421421421421个（1）除以4和125的余数分别为多少？（2）除以9和11的余数分别是多少？ 21808808808808个（1）一个数除以4的余数只需考虑它的末两位除以4的余数． 除以4余121除以4余1 （2）一个数除以9的余数等于它的各位数字之和除以9的余数．(88)21336+⨯=除以9余3一个数除以11的余数等于奇数位数字和减去偶数位数字和的差除以11的余数． (88)11176+⨯=(88)10160+⨯=除以11余5 176-160=16 16÷11=1余5一个数除以125的余数只考虑末三位除以125的余数． 421125346÷=除以125余46一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？ 1234196418÷=36519194÷=1234365⨯18472⨯=72除以19余15 最后一包有15个零件．67222221⨯⨯⨯⨯-个自然数的个位数字是多少？ 22⨯222⨯⨯2222⨯⨯⨯22222⨯⨯⨯⨯2 ……个位 2 4 8 6 267除以4余36722222⨯⨯⨯⨯个的个位数字是8 个位数字就是729一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个。
年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
请问：最后一包有多少个零件？20072007200720071232006+++⋅⋅⋅+算式计算结果的个位数字是多少？1、5、6、10的2007次方的个位数字就是1，5，6，0．1次方2次方3次方4次方5次方6次方…2007次方2 2 4 8 6 2 4 (8)3 3 9 7 1 3 9 74 4 6 4 6 4 6 47 7 9 3 1 7 9 38 8 4 2 6 8 4 29 9 1 9 1 9 1 9 156087432945+++++++++= 2007200720071210+++的个位数字是5 200720072007 200120022006+++的个位数等于的个位数是118745631+++++=的个位数，为152001⨯+108888888+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数是多少？8除以5余310333333+⨯++⨯⨯⨯个3 3，23，33，43，⋅⋅⋅除以5的余数依次为3，4，2，1，3，4，⋅⋅⋅342110+++=347+=余2如果某个自然数除以49余23，除以48也余23．那么这个自然数被14除余数是多少？这个数减去23后是49和48的一个公倍数23，2349481+⨯⨯，2349482+⨯⨯，⋅⋅⋅23÷14=1余9一个自然数除以19余9，除以23余7．那么这个自然数最小是多少？被23除余7的所有数：7，30，53，76，99，122，145，168，191，214，237，…第一个除以19余9的数是237刘叔叔养了400多只兔子，如果3只一个笼，那么最后一笼只有2只；如果5只一笼，那么最后一笼只有4只；如果7只一笼，那么最后一笼只有5只．刘叔叔一共养了多少只兔子？除以3余2 除以5余4 除以7余5 3×5-1=14 14，14+15 , 14+15×2 ，14+15×3，…14+15×5=89 89+105×3=404只100多名小朋友站成一列．从第一人开始一次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按照1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问:一共有多少名小朋友?除以11余9 除以13余11 少2 11132141⨯-=123123123123123个除以99的余数是多少？99的整除特性：两位截断求和 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 …… 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3123÷2=61余1 12+31+23=66 66×61+23+1=405040+50=90把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学．最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？++=6390130283-=283252582582343=⨯⨯258的约数有1，2，3，6，43，86，129和25810＜人数＜63 人数只能是43个分完后苹果剩20个，桔子剩4个，梨剩1个。
五年级下册数学试题奥数—有余数的除法
有余数的除法一、知识点定义 设b a ,为正整数，由除法得r q b a ，其中q 是商，r 是余数， b r 0.我们称为带余除法. 被除数=除数 商+余数，或者被除数-余数==除数 商性质 (1)余数小于除数；（2）如果b a ,除以m 的余数相同，则b a 是m 的倍数，我们称b a ,对模m 同余，记作：)(mod m b a ；（3）a 与b 的和除以m 的余数等于与a 、b 分别除以m 的余数之和（或者这个和除以m 的余数）（4）a 与b 的积除以m 的余数等于与a 、b 分别除以m 的余数之积（或者这个积除以m 的余数）（5）若)(mod ),(mod m d c m b a ，则)(mod m d b c a ，)(mod m d b c a ，)(mod m d b c a .二、例题例1 用一个奇数去除255和197，所得余数都是23，求这个奇数.例2 有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，这个数是多少？例3 求乘积199354128 被13除的余数.例4 从1—100这100个数中最多选出多少个数,使选出来的中每两个的和都不能被3整除？例5 一个正整数被8除余1，所得商被8除也余1，再把第二次所得商除8后余7，最后商是a .又这个数被17除余4，所得商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍，求这个正整数.例6 一个正整数除以3余2，除以5余4，除以7余5，求满足条件的最小正整数.例7 20022001除以4的余数是_________.三、练习1.5197104 的积除以11的余数是__________.2.两数相除所得商为23，余数为6，被除数、除数、商、余数之和为779，那么被除数是_________,除数是__________.3.若34和56除以m的余数相同，且m为奇质数，则m除72的余数为__________.4.实验小学五年级有三百多人，将总人数减去5能被6整除，减去6能被7整除，减去7能被8整除，则五年级共有_________人.3107 的余数是_________.5.76.有一个大于1的正整数除314，257，447所得余数相同，则2002除以这个数余数是_______.。
小学奥数五年级上第21讲《余数的性质与计算》教学课件
巩固提升
mathematics
作业2：151515151515除以8、11、7的余数分别是多少?
答案：3，2，0
巩固提升
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作业3：算式2009×2009+2010×2010+2011×2011除以31的余数是多少?
答案：15
巩固提升
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作业4：自然数42011除以9的余数是多少?
例题讲解
例题2：
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(1)20132013除以4和8的余数分别是多少?
(2)20142014除以3和9的余数分别是多少?
分析：根据4、8、3、9的特性求余法，可以很快计算出结果.
答案：（1）1，5；（2）2，5
例题讲解
mathematics
练习2： (1)20121221除以5和25的余数分别是多少? (2)20130209除以3和9的余数分别是多少? 答案：（1）1，21；（2）2，8
例题讲解
mathematics
例题4：一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按6个一包 的规格打包，最后一包不够6个，请问：最后一包有多少个零件? 分析：最后一包的零件数实际上就是零件总数除以6的余数. 答案：2
例题讲解
mathematics
练习4： (1)123+456+789的结果除以111的余数是多少? (2)224468-6678的结果除以22的余数是多少? 答案：（1）36；（2）12
例题讲解
例题3：
mathematics
(1)123456789除以7和11的余数分别是多少？87654321呢？
五年级数学第14讲 余数问题
第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
第05讲余数的性质与计算-高思数学_5年级下第五讲余数的性质与计算
算 423 − 317 除以 6 的余数时，会发现结果变成了 3 − 5 不够减．此时，只要再加上 6，用
6 + 3 − 5 = 4 来计算即可．
例题 1
一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个． 年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后 一包有多少个零件？
例题 3
21021020 除以 99 的余数是多少？ 21个 210
分析 直接计算求余数不太现实，因而考虑用 99 的余数特性．
练习
3. 1003100310031003 除以 99 的余数是多少？
1003个1003
30
余数的性质与计算
课本
除以 2 的余数只有 0 和 1 两种，除以 3 的余数只有 0、1、2 三种，……，也就是说除 以一个给定的自然数，所得的余数情况是有限的．当把数列中的每一项都对某个数字求余 时，所得的余数列往往具有很好的周期性．我们也经常应用这种周期性来解决一些问题．
例题 4
（1）自然数 3100 −1 的个位数字是多少？ （2）算式12012 + 22012 + 32012 + ⋅ ⋅ ⋅ + 20122012 计算结果的个位数字是多少？
在现实生活中， 40 ÷16 = 2.5 与 40 ÷16 = 28 是表示不同涵义的． 40 ÷16 = 2.5 表 示苹果完全被分光了，苹果是允许切成成半个的；40 ÷16 = 28 表示苹果只能整个整 个地分，每个人分了两个之后，还剩 8 个没法分．在生活中，很多事物的分配都只在整 数范围内才有意义，因而这种带余除法有着很广泛的实际意义．这里我们就来学习一些 有关余数的性质与计算．
利 用 上 述 性 质 进 行 简 算． 例 如 计 算
小学五年级奥数 余数定理
余数问题（二）本讲主线【课前小练习】(★)1. 余数的三大性质2. 三性的实际应用⑴21除以5的余数是____; 32除以5的余数是____;⑵21＋32除以5的余数是_____;⑶32－21除以5的余数是_____;⑷32×21除以5的余数是.知识要点屋版块一：余数的三大性质1. 余数的三大性质：【例1】(★★)⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积⑴123＋456＋789除以11的余数是多少？⑵123×456×789的结果除以23的余数是多少？知识要点屋1. 特征求余法：⑴尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125)⑵和系，3，9⑶11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差.⑷7、11、13：截断法. 【例3】(★★☆)一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零件？【例2】(★★★)188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【拓展】(★★★)自然数3100 1的个位数字是多少？1版块二：三大性质的实际应用【例4】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 【例6】(★★★)六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______.【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有组. 【例7】(★★★★)从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能被3整除？知识大总结【今日讲题】1. 余数的三大性质⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积2. 替换求余法3. 整除判定法则—特征求余法例2，例3，例4，例6【讲题心得】___________________.【家长评价】__________________________________________________________________.2。
五年级数学带余除法(含答案)
带余除法知识框架带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】125【巩固】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727⨯+=÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980【答案】980【例 2】除法算式÷□□=208中，被除数最小等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题【解析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是819+=，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188.【答案】188【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
求余数
求余数文/乐家骏来源：小学数学教师计算一个较小自然数除以非零自然数的商和余数，那是容易的事情，但要计算出一个较大的自然数除以非零自然数的余数，就不是一个简单的问题了，我们必须借助余数的性质来寻求简捷的解法。
下面先介绍四条余数的性质。
为了叙述简洁，我们把一个自然数N除以非零自然数p 所得的余数称为数N的p余数。
（1）设a、b是两个自然数，a＞b，p是非零自然数，a=pq1+r，b=pq2+s（q1，q2，r，s是整数，0≤r＜p，0≤s＜p），则（a×b）的p余数等于（r×s）的p余数；（a+b）的p余数等于（r+s）的p余数；（a-b）的p余数等于r-s（当r≥s时）或p+r-s（当r＜s时）。
（2）A×10n（A，n都是非零自然数）的9余数等于A的9余数。
以上两条性质的证明过程较简单，请读者自行推导。
（3）把n位自然数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，这p个整数的和的9余数等于N的9余数。
性质（3）的证明如下：把n位数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，则N可以表示成p-1个形如Ni×10k（i=1，…，p-1）的数加上Np的和。
根据性质（2），Ni×10k的9余数等于Ni的9余数，所以N的9余数等于p个整数的和（N1+N2+N3+…+Np）的9余数。
特殊情况：一个自然数的9余数等于这个数的各位数字之和的9余数。
如1020304除以9的余数，等于1+0+2+0+3+0+4=10除以9的余数1。
（4）9个连续自然数连写所组成的多位数能被9整除。
证明：设9个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+8，它们的和为9a+36，能被9整除。
根据性质（3），9个连续自然数连写组成的多位数的9余数，等于这9个连续自然数之和的9余数0，即这个多位数能被9整除。
例1设A=2006+2006×2006+2006×2006×2006，那么A除以11的余数是。
学而思五年级春季第八讲 同余
第八讲同余寒假班我们已经学习了余数问题，那一讲我们掌握了一些有关余数的基本性质，并解决了一些简单余数问题，本讲则是在此基础之上的进一步拓展与提高，因此本讲首先是基本性质应用的复习（例1、3、5），其次将是解决一些较复杂的综合余数问题（例2、4、6）。
一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r均为整数)从中我们应该得到：（1）b＞r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3的余数就等于（1+2）÷3的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3的余数就等于（2-2）÷3的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3的余数就等于（1×3）÷7的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数a和b都除以同一个除数m时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a与b同余于模m。
意思就是自然数a和b关于m来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a与b同余于模m，则a与b的差一定被m整除。
（余数的可减性）三、例题讲解例1、分析：此题实际上是带余数除法算式的一个应用。
“1013除以一个两位数余数为12”，说明1013减去12以后就会被这个两位数整除，则这个两位数应该是1013-12=1001的因数，且是大于12的两位因数。
五年级余数知识点总结
五年级余数知识点总结一、余数的概念余数是指一个数除以另一个数所得到的剩下的数。
在数学中，余数通常用符号“r”表示，如果一个数a能被另一个数b整除，那么a ÷ b的商就是能整除的商，而a ÷ b的余数就是余数。
二、余数的求法1. 余数的求法有两种方法，一种是用长除法，一种是直接用模运算。
2. 用长除法求余数：将被除数除以除数，得到的商就是整数部分，余下的数是余数。
3. 用模运算求余数：a ÷ b的余数可以用a mod b或者a % b表示，其中mod是取模运算符，%是求余运算符。
三、余数的性质1. 余数的大小一定小于除数，举例来说，如果5 ÷ 2，得到的商是2，余数是1，这个余数小于2。
2. 余数的性质和奇偶性：如果一个数除以2得到的余数是0，那么这个数是偶数；如果余数是1，这个数是奇数。
3. 余数的加减乘除：如果a ÷ b得到的余数是r1，c ÷ d得到的余数是r2，那么a + c ÷ b +d得到的余数是(r1 + r2) mod b。
四、余数的应用1. 余数在计算机编程中的应用：在计算机编程中，余数常常用于对整数进行分类，判断整数的奇偶性，计算某个范围内能整除的数等。
2. 余数在数论中的应用：在数论中，余数可以用于计算最大公约数、最小公倍数，判断整数的性质，如奇偶性、能否被某个数整除等。
3. 余数在日常生活中的应用：在日常生活中，余数也有很多应用，如计算时间、计算金钱、分配物品等。
五、余数的练习方法1. 通过长除法练习求余数，例如计算98 ÷ 5的余数。
2. 通过模运算练习求余数，例如计算127 mod 8的余数。
3. 通过应用题练习余数的应用，如计算2小时30分钟后是几点，计算8个苹果分给3个人每个人能得到多少苹果等。
六、余数的注意事项1. 在计算余数时，要注意除数是不可以为0的，因为任何数除以0都是无穷大。
2. 在计算余数时，要注意不能将除数与余数直接相加，要进行模运算计算。
小学思维数学讲义：余数性质(一)-带详解
余数性质（一）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
余数问题(二)
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
小学奥数 数论 余数问题 余数性质(二).题库版
1.学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
五年级数学余数知识点总结
五年级数学余数知识点总结一、余数的概念1. 除法与余数在数学中，余数是指对一个整数进行另一个整数的除法运算所得到的未被整除的部分。
比如，当我们用12除以5时，商是2，余数是2，即12 ÷ 5 = 2 ... 2。
2. 余数的性质（1）余数永远小于除数（2）如果一个数能被另一个数整除，那么它的余数一定是03. 余数的计算方法（1）利用长除法进行计算（2）利用数学定理进行计算二、余数的求解1. 长除法求余长除法是一种求解多位数的除法运算的方法，它可以用来求解任意两个整数的商和余数。
2. 余数的计算法则余数的计算法则是指在进行长除法时，如何计算出正确的余数。
比如，我们用38除以9，首先得到商是4，然后38 - 9 × 4 = 38 - 36 = 2，所以余数是2。
3. 余数的特殊情况当被除数是10的整数倍时，余数肯定是个位数；当被除数是100的整数倍时，余数肯定是十位数；当被除数是1000的整数倍时，余数肯定是百位数；依次类推。
三、余数的应用1. 余数与整除数余数与整除数是相对的概念，一个数的余数是另一个数的整除数。
2. 余数与循环余数可能会出现循环的情况，即在进行长除法计算时，出现重复的余数。
3. 余数与问题解决在实际问题中，余数经常用来解决一些计算问题，比如分配物品、计算时间等。
四、余数的性质和规律1. 余数的性质余数的性质主要包括以下几个方面：（1）余数一定小于除数（2）如果一个数可以被另一个数整除，那么它的余数一定是0（3）两个数的余数相同，他们相除得到的商也必定相同；（4）两个数的余数不同，他们相除得到的商可能相同也可能不同。
2. 余数的规律余数有很多规律，比如：（1）如果一个数的个位数是5或0，那么它能被5整除，余数一定是0；（2）如果一个数的个位数是0或者2、4、6、8，那么它能被2整除，余数一定是0；（3）如果一个数的个位数是0、1、2、3、4，那么它能被3整除，余数一定是0；（4）…….五、余数与整除的关系1. 余数与整除是密不可分的关系，一个数的余数是另一个数的整除数。
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余数的性质知识结构一、 三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．例题精讲【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。
计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。
那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。
显然126运动员打5盘是最多的。
【答案】5【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】2005年，小学数学奥林匹克【解析】(70110160)50290++-=，50316 (2)÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1 (52)÷=，÷=，11029 3 (23)÷=，5250>，所以除数不是58．7029 2 (12)++=，所以除数是29÷=，1223155016029 5 (15)【答案】29【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】2002年，小学数学奥林匹克【解析】n能整除639112925258÷=，所以n是258大于8的约数．显然，n不能++-=．因为2538 (1)大于63．符合条件的只有43.【答案】43【例3】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】2002年，小数报【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332++++÷=(元) ．【答案】32【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】2000年，小学数学奥林匹克【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)119339 (2)+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．【答案】20【例4】求478296351⨯⨯除以17的余数．【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179 (1)⨯⨯÷=．【答案】1【巩固】求4373091993⨯⨯被7除的余数．【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先将4373091993⨯⨯=．再求得此数被7除的余⨯⨯算出以后，即4373091993269120769数为1．方法二：因为473除以7的余数为3，309除以7的余数为1，由“同余的可乘性”知：437309（）除⨯以7的余数为31（）除以7的⨯⨯⨯（）．又因为1993除以7的余数为5，所以4373091993余数等于315⨯⨯被7除的余数为1．⨯⨯（）即15除以7的余数，算出4373091993方法三：利用余数判别法⑹，算出4373091993269120769⨯⨯=，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差即2697691201722336（）（）（），36除以7的余数为1，即+++++-++=+-=4373091993⨯⨯被7除的余数为1．【答案】1【例 5】 求12644319÷的余数【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。
由6443÷19余2，求原式的余数只要求12219÷的余数即可。
但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，12662226464=⨯=⨯，64÷19余数为7，那么求12219÷的余数就转化为求646419⨯÷的余数，即49÷19的余数。
49÷19余数为11，所以原式12644319÷的余数为11.【答案】11【巩固】 求89143除以7的余数．【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 法一：由于()1433mod 7≡ (143被7除余3)，所以()89891433mod 7≡ (89143被7除所得余数与893被7除所得余数相等),而63729=，()7291mod 7≡（729除以7的余数为1），所以()8966655143333335mod7≡⨯⨯⨯⨯≡≡个,故89143除以7的余数为5.法二：计算893被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：于是余数以6为周期变化．所以335mod 7≡≡．【答案】5【例 6】 20102009200920092009⨯⨯⨯个的个位数字是________．【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，迎春杯，五年级,初赛，第4题【解析】 易知２００９的个位数字是９，22009的个位数字是１，32009的个位数字是９，42009的个位数字是１，两个为一周期，则20102009的个位数字是１.【答案】1【巩固】 2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是 。
【考点】余数的乘法定理 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第1题【解析】 可以看出2007的乘方其尾数是7、9、3、1四个数字循环的，2008个2007相乘，其尾数为1.【答案】1【例 7】 20032与22003的和除以7的余数是________．【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2003年，南京市，少年数学智力冬令营【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【答案】5【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【答案】3【例 8】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912=，所以这个数是4,6,12．-=，14739108-=，(12,108)12【答案】4,6,12【巩固】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。