第二节最讲义优化原理与动态规划

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动态规划超级详细的讲义

动态规划超级详细的讲义

动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一,动态规划三要素:阶段,状态,决策。

他们的概念到处都是,我就不多说了,我只说说我对他们的理解:如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线,阶段就是生产某个商品的不同的环节,状态就是工件当前的形态,决策就是对工件的操作。

显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结,有一个个的小结构成了最终的整个生产线。

每个状态间又有关联(下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的)。

下面举个例子:要生产一批雪糕,在这个过程中要分好多环节:购买牛奶,对牛奶提纯处理,放入工厂加工,加工后的商品要包装,包装后就去销售……,这样没个环节就可以看做是一个阶段;产品在不同的时候有不同的状态,刚开始时只是白白的牛奶,进入生产后做成了各种造型,从冷冻库拿出来后就变成雪糕(由液态变成固态=_=||)。

每个形态就是一个状态,那从液态变成固态经过了冰冻这一操作,这个操作就是一个决策。

一个状态经过一个决策变成了另外一个状态,这个过程就是状态转移,用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。

经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。

下面在说说我对动态规划的另外一个理解:用图论知识理解动态规划:把动态规划中的状态抽象成一个点,在有直接关联的状态间连一条有向边,状态转移的代价就是边上的权。

这样就形成了一个有向无环图AOE网(为什么无环呢?往下看)。

对这个图进行拓扑排序,删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。

这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。

二,动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题,但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢?一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了,但是否可以用还要满足两个条件:最优子结构(最优化原理)无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答;什么是无后效性呢?就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。

动态规划算法的原理与优化

动态规划算法的原理与优化

动态规划算法的原理与优化动态规划算法是一种优化问题求解的算法,它的基本思想是将问题分解为更小的子问题,通过求解子问题得到原问题的最优解。

1. 原理动态规划算法的基本原理是“最优子结构”。

也就是说,一个问题的最优解可由其子问题的最优解推导出。

因此,动态规划算法可以通过求解子问题来推导出整个问题的最优解。

另一个基本原理是“子问题重叠性”。

也就是说,与分治算法不同,同样的子问题可能会被多次求解。

因此,为了避免重复计算,动态规划算法可以用一个表格来存储已解决的子问题的结果。

动态规划算法的基本流程为:(1) 定义状态:定义比较小的子问题,以便于求解原问题。

(2) 描述状态转移:将原问题分解为若干个子问题,并制定状态转移方程。

(3) 边界条件:指定最小的问题的解。

(4) 递推计算:按照状态转移方程,通过已求解的子问题求解出当前问题的解。

2. 优化虽然动态规划算法可以解决很多优化问题,但在实际应用中,它也面临着一些问题。

其中最主要的问题就是时间复杂度。

由于动态规划算法需要存储已解决的子问题的结果,所以空间复杂度也可能很高。

为了避免这些问题,动态规划算法可以进行一些优化。

以下是一些常见的优化方法:(1) 状态压缩状态压缩是一种常见的空间优化方法。

当一个状态只与前一步的状态相关时,可以将状态的存储空间从二维降为一维。

这样可以大大减少存储空间,提高空间效率。

(2) 记忆化搜索动态规划算法中的状态转移方程可能会重复计算同一个子问题。

为了避免重复计算,我们可以使用记忆化搜索,将子问题的结果保存在一个数组中,每次需要计算子问题时先判断结果是否已经被计算过,如果已经计算过,直接取结果,否则进行计算,并将结果保存在数组中。

(3) 剪枝动态规划算法中可能存在一些无用的计算,通过一些剪枝技巧,可以在计算中跳过这些无用的步骤,从而减少计算量,提高效率。

以上是动态规划算法的原理与优化。

在实际应用中,通过不同的优化方法,可以进一步提高算法的效率。

优化原理与动态规划

优化原理与动态规划

优化原理与动态规划优化原理是通过改进算法或者改变计算模型来提高计算效率和性能的一门学科。

而动态规划是一种常见的优化原理,通过将问题划分为子问题,并将子问题的解保存在一个表格中,以避免重复计算,从而提高算法的效率。

本文将重点介绍动态规划及其相关的优化原理。

动态规划是处理最优化问题的一种常见方法,它适用于那些具有重叠子问题和具有最优子结构的问题。

具有重叠子问题意味着原问题的解可以通过解决更小的子问题来计算得到。

具有最优子结构意味着问题的最优解包含了其子问题的最优解。

动态规划的核心思想就是将原问题划分为子问题,并将子问题的解保存在一个表格中,以避免重复计算,从而提高算法的效率。

在应用动态规划之前,需要明确问题的状态和状态转移方程。

状态是问题的局部解,是解决问题的关键。

状态转移方程描述了问题的最优解与其子问题的最优解之间的关系。

动态规划的思路就是通过计算子问题的最优解来得到原问题的最优解。

动态规划常用于求解最优解问题,比如背包问题、最长递增子序列问题、矩阵链乘法问题等。

以背包问题为例,假设有一组物品,每个物品有重量和价值,并且有一个给定的容量的背包。

要求在不超过背包容量的情况下,装入物品的总价值最大。

解决这个问题的关键是构建状态数组和状态转移方程。

状态数组可以表示背包容量和拿到的物品个数两个维度,状态数组的值表示在当前状态下所能装入的物品的最大总价值。

状态转移方程可以表示为:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中dp[i][j]表示在i个物品,容量为j的背包容量下的最大总价值,w[i]和v[i]分别表示第i个物品的重量和价值。

动态规划的核心就是填充状态数组。

我们可以从dp[0][0]开始填充数组,逐行逐列地计算dp[i][j]的值,直到填充完整个状态数组。

最后,dp[n][m]即为所求的最优解,其中n表示物品个数,m表示背包的容量。

动态规划是一种高效的计算方法,其时间复杂度和空间复杂度都与子问题的个数成正比。

动态规划问题的基本要素和最优化原理ppt课件

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2、正确选择状态变量
选择变量既要能确切描述过程演变又要满足无后效性, 而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地,状态变量 的选择是从过程演变的特点中寻找。
3、确定决策变量及允许决策集合
通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量,同时要 给出决策变量的取值范围,即确定允许决策集合。
精品课程《运筹学》
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4、确定状态转移方程
根据k 阶段状态变量和决策变量,写出k+1阶段状态变 量,状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数,建立动 态规划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益,最优指标函数是指 从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优值, 最后写出动态规划基本方程。
f1(s1)
最优目标函数值
V 1 * ,n V 1 * ,n (s 1 * ,u 1 * 子, 从策略k ,的到s 最终n * 优点,u 目最n * 标优)函策数略值
fs ov ps tu s
, , ,
k k
k ,n k k
uu , ,
k
n
n 1
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§2.2 动态规划的基本思想
最优化原理:作为整个过程的最优策略具有这样 的性质:无论过去的状态和决策如何,相对于前面 的决策所形成的状态而言,余下的决策序列必然构 成最优子策略。”也就是说,一个最优策略的子策 略也是最优的。
精品课程《运筹学》
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§2.3 建立动态规划模型的步骤
1、划分阶段
划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一步, 在确定多阶段特性后,按时间或空间先后顺序,将过程划 分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要人为地赋予 “时间”概念,以便划分阶段。

《动态规划》课件

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xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题,并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题,通过将问题分解为 子问题,可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题,如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况,即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题,可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题,以确定最优的调度方案,满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题,涉及到如何分配任务到机器上,以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划,可以将机器调度问题分解为一系列子问题,如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等,并逐个求解子问题的最优解,最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术,通过存储 已解决的子问题的解,避免重复计算,提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题,可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中,最短路径问题是一个经典的优化 问题,旨在找到从起点到终点之间的一条路 径,使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法,通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解,避免了 重复计算,提高了求解效率。

《动态规划课件》课件

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应用场景:求解最短路径、背 包问题等
注意事项:避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义:将问题划分为 若干个较小的子问题, 并逐个解决子问题, 最终得到原问题的解
特点:将原问题分解为 更小的子问题,通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景:适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例:背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算:使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量:通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式:根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈:通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法:动态规划可以优化算法,提高计算效率 避免重复计算:通过记忆化搜索,避免重复计算,提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较:分治法将 问题分解为子问题,而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较:回溯法会 穷举所有可能解,而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义:矩阵链乘法问题是一种优化问题,通过动态规划算法来求解
应用场景:在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理:通过动态规划算法,将矩阵链乘法问题转化为子问题,从而避免重复计算,提高 计算效率
应用场景:背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用,如资源分配、路径规划、时间表安 排等。

动态规划讲义

动态规划讲义

第6章动态规划最优化原理1951年美国数学家R.Bellman等人,根据一类多阶段问题的特点,把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题,然后逐个加以解决。

一些静态模型,只要人为地引进“时间”因素,分成时段,就可以转化成多阶段的动态模型,用动态规划方法去处理。

与此同时,他提出了解决这类问题的“最优化原理”(Principle of optimality):上述程序实现方法同样适合于背包问题,最优库存问题等,只是针对具体情况,最优决策表的表示和生成会有所不同。

“一个过程的最优决策具有这样的性质:即无论其初始状态和初始决策如何,其今后诸策略对以第一个决策所形成的状态作为初始状态的过程而言,必须构成最优策略”。

简言之,一个最优策略的子策略,对于它的初态和终态而言也必是最优的。

这个“最优化原理”如果用数学化一点的语言来描述的话,就是:假设为了解决某一优化问题,需要依次作出n个决策D1,D2,…,Dn,如若这个决策序列是最优的,对于任何一个整数k,1 < k < n,不论前面k个决策是怎样的,以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态,即以后的决策Dk+1,Dk+2,…,Dn也是最优的。

最优化原理是动态规划的基础。

任何一个问题,如果失去了这个最优化原理的支持,就不可能用动态规划方法计算。

能采用动态规划求解的问题都需要满足一定的条件:(1)问题中的状态必须满足最优化原理;(2)问题中的状态必须满足无后效性。

所谓的无后效性是指:“下一时刻的状态只与当前状态有关,而和当前状态之前的状态无关,当前的状态是对以往决策的总结”。

问题求解模式动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题,一般由初始状态开始,通过对中间阶段决策的选择,达到结束状态。

这些决策形成了一个决策序列,同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。

如图所示。

动态规划的设计都有着一定的模式,一般要经历以下几个步骤:初始状态→│决策1│→│决策2│→…→│决策n│→结束状态(1)划分阶段:按照问题的时间或空间特征,把问题分为若干个阶段。

第二节 最优化原理

第二节 最优化原理

最优化原理最优化原理-步骤
• 用动态规划求解多阶段决策问题的一般步骤: 用动态规划求解多阶段决策问题的一般步骤:
第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 明确问题, 明确问题,找出阶段数 确定变量,找出状态变量和决策变量 确定变量, 找出状态转移方程 一定阶段最短路问题
• 动态规划最优化原理: 动态规划最优化原理: 一个过程的最优策略具有这样的性质, 一个过程的最优策略具有这样的性质,即无论 其初始状态及其初始决策如何, 其初始状态及其初始决策如何,其以后诸决策 对以第一个决策所形成的状态作为初始状态而 必须构成最优策略。 言,必须构成最优策略。 • 动态规划原理还应该包括如下性质: 动态规划原理还应该包括如下性质: • 对于多阶段决策的最优策略如果用它的前i步 对于多阶段决策的最优策略如果用它的前i 产生的情况来形成一个前i步问题,那么所给 产生的情况来形成一个前i步问题, 最优策略的前i阶段的策略构成这前i 最优策略的前i阶段的策略构成这前i步问题的 一个最优策略。 一个最优策略。

动态规划专题讲义解读课件

动态规划专题讲义解读课件

02
动态规划基本问题
最短路径问题
总结词
最短路径问题是动态规划中常见的问题类型,主要解决在给定图 中从起点到终点的最短路径问题。
详细描述
最短路径问题可以分为单源最短路径问题和多源最短路径问题。 单源最短路径问题是指给定一个起点和一组终点,求起点到每个 终点的最短路径。多源最短路径问题则是给定一组起点和终点, 求每对起点和终点之间的最短路径。
问题规模限制
对于大规模问题,动态规划算法可能 会面临性能瓶颈,因为其时间复杂度 是指数级的。
适用性问题
并非所有问题都适合使用动态规划算 法,对于一些问题,其他算法可能更 有效。
06
动态规划的未来发展展望
动态规划与其他算法的结合使用
动态规划与机器学习算法 结合
利用动态规划优化机器学习模型的训练过程 ,提高模型的预测精度和泛化能力。
动态规划理论研究的深入和创新
深入研究动态规划算法的数学基础和 理论基础,探索其更广泛的应用领域 。
创新动态规划算法的设计和应用,解 决现实生活中的复杂问题,推动科学 技术的发展。
THANK YOU
感谢聆听
动态规划与人工智能算法 结合
将动态规划应用于人工智能领域,如强化学 习、自然语言处理等,以解决更复杂的问题

动态规划在大数据和云计算领域的应用前景
大数据处理
利用动态规划处理大规模数据集,提 高数据处理效率,降低计算成本。
云计算优化
通过动态规划算法优化云计算资源的 分配和管理,提高资源利用率和系统 性能。
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CONTENCT

• 动态规划概述 • 动态规划的基本问题 • 动态规划的算法实现 • 动态规划的应用场景 • 动态规划的优缺点分析 • 动态规划的未来发展展望

《动态规划教学》课件

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动态规划的理论研究
要点一
动态规划算法的收敛性研究
深入探讨动态规划算法的收敛速度和收敛条件,为算法优 化提供理论支持。
要点二
动态规划的近似算法研究
研究近似动态规划算法,在保证一定精度下降低计算复杂 度,提高求解效率。
THANK YOU
缺点
01
空间复杂度高
动态规划通常需要存储所有子问题的解决方案,因此其空 间复杂度通常较高。对于大规模问题,可能需要大量的存 储空间,这可能导致算法在实际应用中受到限制。
02 03
可能陷入局部最优解
虽然动态规划有助于找到全局最优解,但在某些情况下, 它可能陷入局部最优解。这是因为动态规划通常从问题的 初始状态开始,逐步解决子问题,如果初始状态不是最优 的,则可能在整个过程中都围绕着一个非最优的解决方案 。
期权定价
动态规划可以用于期权定价模型,以更准确地预测期 权价格。
计算机科学
算法优化
动态规划可以用于优化算法,以提高计算效率和 准确性。
数据压缩
动态规划可以用于数据压缩算法,以更有效地压 缩和解压缩数据。
游戏开发
动态规划可以用于游戏开发和AI算法,以提高游 戏的可玩性和智能性。
生物信息学
基因序列比对
动态规划可以用于基因序列比对 ,以ห้องสมุดไป่ตู้定不同基因序列之间的相 似性和差异性。
蛋白质结构预测
动态规划可以用于预测蛋白质的 三维结构,以更好地理解蛋白质 的功能和作用机制。
进化树构建
动态规划可以用于构建进化树, 以更好地理解物种的进化关系和 演化历程。
05
动态规划的优缺点
优点
高效性
动态规划能够有效地解决最优化问题,特别是那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将问题分解为子问题并 存储它们的解决方案,动态规划避免了重复计算,从而大大提高了算法的效率。

动态规划基本原理

动态规划基本原理

§6.1 动态规划基本原理
The Princic Programming
2020年3月28日星期六 Page 3 of 17
【例4.1】某企业计划生产I、II两种产品,这些产品分别 要在A、 B、C、D四种不同设备上加工。工艺资料如表4-1所示。
表4-1
产品 设备
3. 设 d3+ :超出设备A的加工能力的差值 d3- : 未达到设备A的加工能力的差值,根据要求有
min{d3- 4x1 x2
d3} d3-
d
+ 3
40
§6.1 动态规划基本原理
The Principle of DP
Ch6 Dynamic Programming
2020年3月28日星期六 Page 7 of 17
目标规划的有关概念和模型最早在1961年由美国学者A.查 恩斯和W.库伯在他们合著的《管理模型和线性规划的工业应用》一 书中提出,以后这种模型又先后经尤吉·艾吉里、杰斯基莱恩和桑. 李不断完善改进。1976年伊格尼齐奥发表了《目标规划及其扩 展》一书,系统归纳总结了目标规划的理论和方法。
下面通过例子来具体说明什么是目标规划以及它和线性规划的 区别。
【解】设I、II 产品的产量分别为x1、x2,可以建立这个问题的线 规划模型如下:
max z 15x1 20x2
4x1 x2 40
2
x1 x1
4x2 2x2
60 40
3x2 24
x1, x2 0
并可求出最优解为x1=8,x2=9,Z=280元。
§6.1 动态规划基本原理
The Principle of DP
The Principle of DP
Ch6 Dynamic Programming

动态规划与优化问题

动态规划与优化问题
▪ 动态规划的优缺点
1.动态规划的优点在于可以将复杂问题分解为简单的子问题,避免重复计算,提高 计算效率。 2.动态规划可以求得全局最优解,而非局部最优解。 3.动态规划的缺点在于需要大量的内存空间来存储子问题的解,因此对于大规模问 题可能会受到限制。
动态规划基本概念
▪ 动态规划与分治法的区别
1.分治法将问题分解为独立的子问题,而动态规划将问题分解 为重叠的子问题。 2.分治法的子问题之间没有联系,而动态规划的子问题之间通 过状态转移方程联系起来。 3.分治法的时间复杂度通常高于动态规划。
1.递推关系描述了问题各阶段状态之间的关系,是动态规划数 学模型的核心。 2.通过递推关系,可以将一个复杂的问题转化为一系列简单的 子问题进行求解。 3.建立递推关系需要明确问题的状态和决策,以及它们之间的 转移关系和代价。
▪ 动态规划的边界条件和初始条件
1.边界条件和初始条件是动态规划数学模型中的重要组成部分 ,它们定义了问题的起始状态和结束状态。 2.确定边界条件和初始条件需要考虑问题的实际情况和目标要 求。 3.合适的边界条件和初始条件可以简化计算过程,提高求解效 率。
动态规划与优化问题
目录页
Contents Page
1. 动态规划基本概念 2. 动态规划原理与步骤 3. 优化问题与动态规划 4. 常见优化问题实例 5. 动态规划数学模型 6. 动态规划算法实现 7. 动态规划应用领域 8. 总结与未来研究方向
动态规划与优化问题
动态规划基本概念
动态规划基本概念
常见优化问题实例
▪ 最短路径问题
1.最短路径问题是指在图中寻找从起点到终点的最短路径的问 题。 2.该问题可以采用动态规划的方法求解,通过逐步更新起点到 各个节点的最短路径来求解最优解。 3.最短路径问题在交通规划、网络优化等领域有着广泛的应用 。

《最优化方法》动态规划

《最优化方法》动态规划

《最优化方法》动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学优化方法,它的核心思想是将问题分解为多个子问题,通过计算和存储每个子问题的最优解,再利用这些最优解逐步求解整个问题的最优解。

在解决实际问题时,动态规划通常包含三个关键要素:最优子结构、子问题重叠以及边界条件。

最优子结构是指一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。

这意味着整个问题的最优解是通过解决子问题的最优解来构建的,子问题的最优解是整个问题的最优解的一部分。

子问题重叠意味着在解决问题的过程中,相同的子问题会被重复计算多次,而动态规划通过存储子问题的最优解,避免了重复计算。

边界条件是指问题的最小规模,即最简单的情况下的解决方案。

动态规划的步骤通常包括确定状态、状态转移方程、边界条件和计算顺序。

确定状态是指找到一个合适的变量或者多个变量来描述问题的规模和解,状态转移方程是指找到问题的子问题之间的关系,通过这个关系可以得到子问题的最优解,边界条件是指最小规模的问题的解决方案,计算顺序是指按照从小规模到大规模的顺序计算问题的最优解。

动态规划的典型应用包括背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。

下面以背包问题为例进行详细介绍。

背包问题是动态规划中的经典问题之一,它是一个组合优化问题,通过在有限的物品集合中选择一些物品放入一个背包,使得背包中物品的价值最大。

背包问题通常有两种变种:0/1背包问题和完全背包问题。

0/1背包问题指每个物品只能选择一次,而完全背包问题指每个物品可以选择多次。

给定一个背包的容量和一组物品,物品有固定的重量和价值,要求选择一些物品放入背包中,使得背包中物品的总重量不超过容量,同时价值最大。

解决这个问题的方法是采用动态规划。

首先需要确定问题的状态。

在背包问题中,一个合适的状态是背包的容量和可选择的物品的数量。

状态转移方程是通过比较选择一个物品和不选择一个物品两种情况下,背包中物品的总价值,来计算当前状态下背包的最优解。

动态规划算法的原理及应用

动态规划算法的原理及应用

动态规划算法的原理及应用1. 动态规划算法的原理动态规划是一种将复杂问题分解为更小、更简单子问题的优化技术。

它通常应用于需要求解最优解的问题,并通过将问题分解为子问题,并且利用子问题的最优解来求解整个问题。

动态规划算法的基本思想是自底向上求解子问题,然后将子问题的解合并为原问题的解。

这种方法避免了重复计算子问题,减少了时间复杂度。

动态规划算法一般需要满足以下两个条件: * 子问题的最优解能够组成原问题的最优解; * 子问题之间不存在重叠。

2. 动态规划算法的应用2.1 背包问题背包问题是指给定一个背包的容量,一系列物品的重量和价值,如何选择将哪些物品放入背包中以使得背包内物品的总价值最大化的问题。

动态规划可用于解决背包问题。

具体方法是创建一个二维数组,横轴表示物品的可选数量,纵轴表示背包的容量。

通过填表格的方式,逐步计算出不同容量下放入不同物品的最大价值。

最后得出背包的最大价值。

2.2 最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列,如何找到它们最长的公共子序列的问题。

动态规划可用于解决最长公共子序列问题。

具体方法是创建一个矩阵,矩阵的行表示第一个序列的元素,列表示第二个序列的元素。

通过填表格的方式,逐步计算出不同元素位置下的最长公共子序列的长度。

最后得出最长公共子序列的长度。

2.3 最短路径问题最短路径问题是指在一个带有权值的图中,如何找到两个顶点之间最短的路径的问题。

动态规划可用于解决最短路径问题。

一种常见的动态规划算法是Floyd-Warshall算法,它通过创建一个矩阵,矩阵的元素表示两个顶点之间的最短路径长度。

通过逐步更新矩阵的值,求解出所有顶点之间的最短路径。

2.4 斐波那契数列问题斐波那契数列问题是指给定一个整数n,如何求解斐波那契数列的第n个数的问题。

动态规划可用于解决斐波那契数列问题。

具体方法是创建一个数组,通过填表格的方式,逐步计算出斐波那契数列的每个数。

最后得出斐波那契数列的第n个数。

最优化理论_动态规划讲解

最优化理论_动态规划讲解

§1 动态规划问题实例
例1 给定一个线路网络, 要从A向F铺设一条输油管道, 各点间连线上的数字表示距离,问应选择什么路线,可使总 距离最短?
2
C1
5
8
B1 3
4
D1
3
4
6
C2 5
5E14来自6A5
8 7
3
C3 4
B2
7
8
C4 4
D2 2
1
D3
3
3
E2
F
动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。所谓多阶段 决策问题是指这样的决策问题:其过程可分为若干个相互联 系的阶段,每一阶段都对应着一组可供选择的决策,每一决
(
sk
,
uk
)

f k 1 ( sk 1 )}
k 5,4,3,2,1
f6 (s6 ) 0
动态规划最优化原理:
不管该最优策略上某状态以前的状态和决策如何,对

该状态而言,余下的诸决策必定构成最优子策略。即

最优策略的任意后部子策略也是最优的。


C

B
fk (sk ) opt Fkn (sk , xk , sk1, xk1, , sn , xn )
最优指标函数:表示从第k阶段状态为 sk 时采用最佳策略 pk*n 到过程终止时的最佳效益。记为
fk (sk ) Vkn (sk , pk*n ) opt Vkn (sk , pkn )
pknDkn ( sk )
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。
基本方程:此为逐段递推求和的依据,一般为:
4
A
5
2
B1 3

算法设计与分析讲义动态规划

算法设计与分析讲义动态规划

要点三
《算法之美》
以通俗易懂的语言介绍了算法的基本 概念和方法,包括动态规划算法的应 用案例。
THANKS
谢谢您的观看
详细描述
记忆化搜索优化方法是将问题的搜索过程记忆下来,当再次遇到同样的问题 时,直接从记忆中获取答案,避免重复的搜索过程。这种优化方法适用于具 有重复子问题的搜索问题。
自顶向下的优化方法
总结词
通过从问题的顶层开始,逐步向下解决问题,从而避免冗余的计算。
详细描述
自顶向下的优化方法是从问题的最高层开始,逐步向下解决问题。通过将问题分 解为多个子问题,并且只解决一次子问题,避免冗余的计算,从而提高效率。
算法设计与分析讲义动态规划
xx年xx月xx日
目 录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本原理 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化方法 • 动态规划的拓展学习 • 参考2
定义:动态规划是一种 通过将问题分解为相互 重叠的子问题来解决问 题的方法。在算法设计 中,动态规划通常用于 优化递归问题,避免重 复计算相同的子问题, 从而节省计算时间和空 间。
高级动态规划算法的优化
针对具体问题,采用更高级的动态规划算法,如最长公共子序列(LCS)、最长递增子序列(LIS)等。
自顶向下的动态规划
将问题分解为子问题,从高级到低级逐步解决问题,避免冗余计算。
分布式动态规划
01
02
03
分布式计算环境
通信开销
全局状态
将问题分解成多个子问题,在不 同的计算节点上并行解决。
02
03
数据挖掘
在数据挖掘中,使用动态规划算法发 现频繁子集、关联规则等数据模式, 帮助企业进行数据分析和决策。
06
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3
3 B3 3
C1 3 T
4 C2
2.状态(state)、状态变量和可能状态集 (1)状态与状态变量。表示每个阶段开始所 处的自然状况或客观条件。
2 Q4
3
A1 7 4
6 4 A2 2 4
4 2
A3 5
B1 1 4
6 B2
3
3 B3 3
C1 3 T
4 C2
(2)动态规划维数。 (3)可能状态集:用S(sk)表示。
所取决策必是Q→ A1→ B2→ C2→T,全程长度
是13。
A1 7
B1 1
2
4 6
4
C1 3
Q4 3
4 A2 2
4
4 2
6 B2
3 3
T 4 C2
A3 5
B3 3
◆全枚举法计算工作量将会十分庞大。 ◆局部最优求出的解不一定是最优解。
3.动态规划方法就是从终点逐段向始点方向寻 找最短路线的方法。解题步骤如下: ●把问题划分为几个阶段。 ●按阶段顺序首先考虑最后阶段如第四阶段 的最优决策,也就是走哪条路线最短。 ●按阶段顺序依次考虑第三、第二,第一阶 段的最优决策,为此只需确定每一阶段上 各初始点的最优决策即可。
表示某种运算,可为加、减、乘、除、开方等。
◆常见有:
n
Vk,n vi (si , xi ) ik

n
Vk,n vi (si, xi ) ik
7.最优指标函数:fk(sk)
fk(sk)op V k,nt,k1 ,2,,n
相应的子策略称为sk状态下的最优子策略, 记为pk*(sk) ;而构成该子策略的各段决策称 为该过程上的最优决策,记为
从上阶段的某一状态值到下阶段某一状态值 的转移规律成为状态转移律
s k 1 T ( s k ,x k ( s k ) ) x k s k 或简写为 sk1T(sk,xk)
6.指标函数
(1)阶段指标函数(也称阶段收益)(是对应某一 阶段状态和从该状态出发的一个阶段的决策的 某种效益度量。)vk(sk,xk) 简记为vk 。
第二节最优化原理与动 态规划
精品
一、动态规划方法导引
1.全枚举法或穷举法。共有18条可能路线,进 行比较,求得最优路线Q→ A3→ B1→ C1→T。
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6 4 A2 2 4
4 2
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6 B2
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3 B3 3
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2.“局部最优路径”法:选择当前最短途径, “逢近便走”。
(2)过程指标函数(指标函数)。(它所包含的 各阶段指标函数的函数。) Vk,n(sk,xk, sk+1,xk+1,…, sn,xn)。简记为Vk,n 。
◆动态规划求解的问题的过程指标函数(指标 函数),必须具有关于阶段指标的可分离形 式(和、积或其他形式) :
V k,n V k,n (sk,x k,sk 1 ,x k 1 ,,sn ,x n ) v k(sk,x k) v k 1 (sk 1 ,x k 1 ) v n (sn ,x n )
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C1 3 T
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4.策略和子策略(Policy)
(1)全过程策略指具有n个阶段全部过程,简 称策略。表示为 {x1(s1),x2(s1),…,xn(sn)}。
k后部子过程策略,表示为pk(xk)
2 Q4
3
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6 4 A2 2 4
4 2
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B1 1 4
6 B2
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3 B3 3
8. 概念的关系。
决策xk(sk)
决策xk+1(sk+1)
状态 阶段k 状态 阶段k+1 状态
sk
T(sk,xk) sk+1 T(sk+1,xk+1) sk+2
vk(sk,xk)
vk+1(sk+1,xk+1)
四、最优化原理与动态规划的数学模型 1. 最优化原理 (贝尔曼最优化原理) 若某一全过程最优策略为:
阶段1
阶段2
4,C1 B1 1 4
7,C2 6
B2 3
6,C1 3 B3 3
3,T C1 3
4,T 4
C2
0,T
T
阶段3
阶段4
最短路径:Q→ A3→ B1→ C1→T
三、动态规划的基本概念。
1.阶段(stage)和阶段变量。 把所给问题恰当地划分为若干个相互联系又有 区别的子问题,称之为多段决策问题的阶段。
C1 3 T
4 C2
(2)允许策略集合记作P。
最优策略:从允许策略集中,找出的具有最 优效果的策略。
2 Q4
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6 4 A2 2 4
4 2
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5.状态转移方程(状态转移律) :多阶段决策 过程的发展就是用阶段状态的相继演变来描 述的。
4 2
A3 5
B1 1 4
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C1 3 T
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(2)决策变量:xk=xk(sk) 决xk(策sk)变∈量Dk(xskk()s允k) 的许允决许策决集合策实集际用是Dk决(sk策) 表的示约, 束条件。
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3
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6 4 A2 2 4
4 2
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6 B2
xk (sk)x,k 1(sk 1),,xn (sn) 有 p k ( s k ) { x k ( s k )x k 1 , ( s k 1 ) ,, x n ( s n )k } 1 ,2 , ,n 简记为 p k { x k ,x k 1 , ,x n } k ,1 ,2 , ,n
◆用动态规划方法逐段求解时,每个阶段上 的求优方法基本相同,而且比较简单,每 一阶段的计算都要利用上一阶段的计算结 果,因而减少了很多计算量。阶段数愈多, 这种效果愈明显。
二、动态规划解题 标号法:
11,A3 2 Q4 3
11,B1 ,B2
A1 7 4
8,B1
6 4
A2 2
4
8,B1 4 2
A3 5
2 Q4
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A1 7 4
6 4 A2 2 4
4 2
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B1 1 4
6 B2
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3 B3 3
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4 C2
3.决策(decision)、决策变量和允许决策集合
(1)决策。表示当过程处于某一阶段的某个状 态,可以作出不同的决定(选择),从而确 定下一阶段的状态。
2 Q4
3
A1 7 4
6 4 A2 2 4
2 Q4
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Hale Waihona Puke A1 7 46 4 A2 2 4
4 2
A3 5
B1 1 4
6 B2
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3 B3 3
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4 C2
用以描述阶段的变量叫作阶段变量,一般以 k表示阶段量.
阶段数k的编号法有两种:
(1)顺序编号;(2)逆序编号法。
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