第四章常用概率分布学习指导(定)详解

第四章 常用概率分布

[教学要求]

了解：质量控制的意义、原理和方法 熟悉：三个常用概率分布的特征。

掌握：掌握三个常用概率分布的概念；二项分布及Poisson 分布的概率

函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法；医学参考值的计算。

[重点难点]

第一节 二项分布

一、二项分布的概念与特征

基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为

，阴性结果的发生概率

均为（1－π）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果的人数X 的概率分布为二项分布，记作B （n ,π）。 二项分布的概率函数：

X

n X X n C X P --=)1()(ππ

二项分布的特征：

二项分布图的形态取决于与n ，高峰在=n 处。当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n 的增大，分布趋于对称。

二项分布的总体均数为 πμn = 方差为 )1(2ππσ-=n 标准差为 )1(ππσ-=n 如果将出现阳性结果的频率记为 n

X p =

则p 的总体均数为 πμ=p 标准差为

二、二项分布的应用

二项分布出现阳性的次数至多为k 次的概率为

n

p )

1(ππσ-=

∑∑==-==

≤k

X k

X X

X e

X P k X P 0

!

)()(λλ

出现阳性的次数至少为k 次的概率为

第二节 Poisson 分布的概念与特征

一、Poisson 分布的概念与特征

基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率

很小，

而观察例数n 很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外，Poisson 分布还要求 接近于0。有些情况

和n 都难以确定，只能以观察单位（时间、

空间、面积等）内某种稀有事件的发生数X 来近似。 Poisson 分布的概率函数：

式中，πλn =为Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次数，e 为自然对数的底，λ为常数，约等于2.71828。 Poisson 分布的特征

Poisson 分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。

Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为λ，且Poisson 分布的观察结果具有可加性。

特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。 三、Poisson 分布的应用

如果某稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么发生次数至多为k 次的概率为

发生次数至少为k 次的概率为

!

)(X e

X P X

λλ

-=

∑∑==---=

=

≤k

X k

X X n X X n X n X P k X P 0

0)1()!

(!!

)()(ππ∑∑

==---==

≥n k

X n

k

X X

n X X n X n X P k X P )1()!

(!!

)()(ππ

第三节 正态分布

一、正态分布的概念

基本概念：正态分布是自然界最常见的一种分布，正态分布的特点是中间频数最多，两边频数渐少且对称。 正态分布的密度函数：

2

22)(21

)(σμπ

σ--

=

X e

X f

其中,μ为总体均数，σ为总体标准差 正态分布密度曲线的特点:

（1）关于x=μ对称。

（2）在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在σμ±=x 处有拐点，表现为钟形曲线。

（3）曲线下面积为1。

（4）μ决定曲线在横轴上的位置，μ增大，曲线沿横轴向右移；反之，μ减小，曲线沿横轴向左移。

（5）σ决定曲线的形状，当μ恒定时，σ越大，数据越分散，曲线越“矮胖”’；σ越小, 数据越集中，曲线越‘瘦高’。 二、 正态曲线下面积的分布规律

标准正态分布：总体均数为0、总体标准差为1的正态分布称为标准正态分布，用)1.0(N 表示。

对任意一个服从正态分布),(2σμN 的随机变量X ，经过如下的标准化变换 σ

μ

-=

X Z

可以转变为标准正态分布。

正态曲线下面积的分布规律由标准正态分布曲线下面积分布表给出。标准正态分布的分布函数值等于标准正态曲线下Z 值左侧的面积，记作)(z Φ。

)

1(1)(-≤-=≥k X P k X P

按正态分布规律，标准正态曲线下面积分布规律为： 单侧：P （Z -Z α）=α 或P （Z

Z α）=α

双侧：P （Z -Z α/2）＋P （Z Z α/2）=α

三、正态分布的应用 （一）确定医学参考值范围

基本概念：医学参考值范围是指特定的“正常”人群（排除了对所研究指标有影响的疾病和有关因素的特定人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据中大多数个体取值所在的范围。人们习惯用该人群中95%的个体某项医学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。

计算方法：确定医学参考值范围的方法有两种：

（1）百分位数法 双侧95%医学参考值范围是),(97525P P ，单侧范围是P 95

以下（如血铅、发汞），或P 5以上（如肺活量）。该法适用于任何分布类型的资料。

（2）正态分布法 若X 服从正态分布，医学参考值范围还可以依正态分布规律计算。正态分布资料双侧医学参考值范围一般按下式作近似估计：

S X 96.1±

其中，X 和S 分别为样本的均数和标准差

（二）二项分布、泊松分布的正态分布近似

1．二项分布的正态近似 随着n 的增大，二项分布趋于对称。理论上可以证明:当n 相当大时，只要π不太靠近0或1， 特别是当n π和n (1－π)都大于5时，二项分布近似于正态分布。

由于二项分布为离散型变量分布，为了借用连续型变量的分布函数计算概率，要对概率函数作校正。

二项分布累计概率的正态近似计算公式为：