线性系统的时域分析法二阶系统
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。
在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。
下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。
二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。
一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。
这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。
2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。
通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。
3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。
与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。
第3讲 二阶系统的时域分析
18
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (0 1)：欠阻尼
s 1, 2 ζω n jωn 1 ζ
2
ζω n jωd
c (t ) 1 Fra biblioteke ζωn t 1 ζ 2
sin(ωd t β ) ,
t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t t r时，c(tr ) 1 。
3
s1, 2 n n 1
2
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平 面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为临界阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S 平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为过阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 以上 1 属于非振荡情况
于是有：
tr d
ωd ωn 1 ζ 2
n
n
j n 1 2 j d
n
称为阻尼角
j n 1 2
cos
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比； 而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
2 其中, 由特征方程 s 2 2 n s n 0
可求得两个特征根（即闭环极点）
s1, 2 n n 2 1
6
[分析]：
s1, 2 n n 1
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
线性系统的时域分析法二阶系统
04
二阶系统的稳定性分析稳定性定义平衡状态
线性系统在平衡状态下的输出称为平衡状态输出。
稳定性
如果一个系统的平衡状态输出对于所有初始条件和输入都是稳定的，则称该系统是稳定 的。
稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据
数值法
数值法是通过数值计算来求解二阶系 统的方法。它通过将时间轴离散化， 将微分方程转化为差分方程，然后使 用迭代或直接计算的方法求解。
数值法具有简单易行和适用性广的优 点，适用于各种类型的二阶系统。但 是，对于某些特殊类型的系统，数值 法可能存在精度和稳定性问题。
实验法
实验法是通过实际实验来测试二阶系统的方法。它通过在系统中输入激励信号，然后测量系统的输出 响应，从而得到系统的性能参数。
线性系统的时域分析 法二阶系统
目录
CONTENTS
• 线性系统的时域分析法概述 • 二阶系统的基本概念 • 二阶系统的时域分析方法 • 二阶系统的稳定性分析 • 二阶系统的性能指标分析 • 二阶系统的应用实例
01
线性系统的时域分
析法概述
定义与特点
定义
时域分析法是一种通过在时间域 内对系统进行直接分析的方法， 用于研究系统的动态性能和响应 特性。
通过计算系统特征方程的根来判断系统 的稳定性。如果所有根都位于复平面的 左半部分，则系统稳定；如果有根位于 右半部分，则系统不稳定。
VS
Nyquist稳定判据
通过绘制系统的开环传递函数的Nyquist 曲线，判断曲线是否不穿越复平面的右半 部分，从而判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
直接法
二阶系统时域分析
n1,0.1~0.9时的响应曲线。
0.1 0.2 0.3 0.4
0.8
n 一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢，超调量 减小。
20
4) 1 (临界阻尼)
C (s) R (s) (s) 1 s(s n 2 n )2 1 s (s n n )2 s 1n
c (t ) 1 nentt e nt 求导可知，c(t)输出为一条单调上升的曲线。n 1,2,3时：
-1<ξ<0
振荡发散
12
❖
1时
(s)s2
n2 2nsn2
,取 n 1
,阶跃响应为：
ξ = -1
c(t)输出为一单调发散形式的曲线。
13
❖ 1
C (s ) R (s ) (s ) 1 ss 2 2n 2 n sn 2 a s s b p 1 s c p 2
p 1 ( 2 1 )n p 2 ( 2 1 )n
ent
sin(dt)
1ent[cos(dt)12sin(dt)]
ent 1 [
12
12cos(dt)sin(dt)]
s i 1n c eo 1s nt 2 c so ins (s dti n ) s i n ( a rcta) n 1 2
11
c(t)1
ent
12
sin(dt)
(1 0)
c(t)输出为一发散正弦振荡形式的曲线。
ξξ越= 大0.4，~0.8p越小，系p=统25的.4平%~稳1性.5%越。好
31
5)调整时间ts
c(t)1
ent
12
sind(t)
包络线 1 e nt
1 2
ents
1
1
二阶系统性能的改善
Time Respond Methods
Time Respond Methods
线性系统的时域分析法
比例—微分控制和测速反馈控制的比较：
（1）从工程的实现角度来看，比例－微分装置可以用 RC 网络或 模拟运算线路来实现，结构简单，成本低；而测速反馈装置通常要 用测速发电机，成本高。 （2）抗干扰能力方面：微分控制对噪声有明显放大作用，当系 统输入端噪声严重时，一般不宜采用微分控制，同时微分器的输 入信号是偏差信号，信号电平低，需要相当大的放大作用，为了 使信噪比不明显恶化，要求采用高质量的放大器。而测速反馈对 噪声有滤波作用。 （3）对动态性能影响：两者均能改善系统性能，增加系统阻尼 比，降低超调量。在相同的阻尼比和自然频率条件下，测速反馈 控制因不增添闭环零点，所以超调量要低些，但反应速度却慢 些。另外测速反馈控制会使系统在斜坡输入下的稳态偏差加大。
Time Respond Methods
线性系统的时域分析法
6、二阶系统性能的改善
(1) 比例—微分控制
1 h(t)
R(s) R (s) E(s) E(s) 1 Tds
C(s) C (s) n2 s( s 2 ) S(S 2 )
2 n
n
n
0 e(t) 1
t
0
e(t)
.
t
0
t1
Time Respond Methods
第三章 线性系统时域分析法 第2讲
[
e
( 2 1 )n t
e
( 2 1 )n t
2 1
]
1时，二阶系统的单位阶跃响应含有两个衰减指 从上式看出，
数项。当阻尼比
远大于1时，闭环极点 s ( 2 1) 1 n
n 3 n 2 1 n
一定时，随n 的增大，系统的响应速度变快。
4、无阻尼情况 0
0 时 ，特征根为一对纯共轭虚数，将欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应中的 用零代替，可得到无阻尼二阶系统的单位阶
跃响应为：
C(t ) 1 sin(nt 900 ) 1 cos(nt )
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
% 评价系统的阻尼程度。
1.等价关系——线性定常系统的重要特性: 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响 应的导数; 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响 应的积分; 注意:积分常数由零初始条件确定。该结论可推广至高阶系统。 2.动态特性: 由时间常数T决定。T响应速度，即响应时间，反之亦 然 3.跟踪能力: 阶跃输入无稳态误差，能跟踪阶跃信号，跟踪速度取决于T; 斜坡输入有位置误差，且稳态误差等于时间常数T; 加速度输入稳态误差无穷大，一阶系统不能跟踪加速度信号。 4. 一阶系统只有一个特征参数T，即时间常数。在一定的输入 信号作用下，其时间响应c(t)由其时间常数惟一确定。
越大，超调量越小，响应速度越慢；决定了系统振荡特性
2) 0 1时，系统输出有超调，且
n 越大，响应速度越快。
3) 1时，系统输出无超调，系统的响应速度随
的
增大而变慢，随 n 的增大而变快。
二阶系统极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
实验二阶系统
因此，如果以σ≥σ0和m≥m 0 阶跃响应的衰减速度和作调为节调时节间系取统决满于足特稳征定根性的裕负度实的 部。为了保证必要的衰指减标速来度要和求调，节那时么间对，系特统征特根征的根 负实部的绝对值σ应不小的即于分这σ布些0也根。就必提须出落了在一 复定平的面限的制某，一
阶跃响应的超调量和衰减特率定取区决域于之衰内减，指如数图m中，折即线取a决bcd
稳态误差e (∞)：当时间t趋于无穷大时，系统单位阶 跃响应的实际值（即稳态值）与期望值［即输入量1 (t)〕之差，定义为稳态误差
上述六项时域性能指标中，上升时间tr和峰值时间tp表 征系统响应初始段的快慢；
调节时间ts表示系统过渡过程持续的时间，从总体上 反映了系统的快速性；
超调量Mp％和衰减率ψ是反映系统响应过程的平稳性； 稳态误差e(∞)则反映了系统复现输入信号或保持被调
应曲线能更快达到稳定值。
二阶系统阶跃响应过渡过程分析
实际调节系统的瞬态响应特性，在系统达到稳态以前， 常常表现为阻尼振荡过程（即欠阻尼情况）。为了分 析调节系统对单位阶跃作用的瞬态响应特性，通常采 用下列一些性能指标，这些性能指标常用系统的单位 阶跃响应的一些特征量来表示，如图4-5所示。
超调量：当稳态值c(∞) =1时，从1开始计算的 响应值曲称线为的超最线调调大的量节过稳。时调态间量值：附在近单，位取阶士跃5响％应（曲有
系统的调节时间ts比具有较大阻 尼的系统调节时间要长。对于过
阻尼系统，由于响应曲线上升极
慢，所以调节时间也较长。
列写调节时间ts的表达式是相当困难的，但可以用下 列公式进行。当0<ξ<0.9，且采用2％的误差带时， ts近似等于系统时间常数的4倍，即
如果采用5％的误差带时，ts近似等于系统时间常数 的3倍，即
线性系统的时域分析法和误差计算
单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
0.368/T
时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。
h(t)C脉冲 (t)T1eTt
0.135/T
0.05/T
0 T 2T 3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于
系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
时域分析法， 根轨迹法， 频率法 非线性系统：描述函数法，相平面法
采样系统： Z 变换法
多输入多输出系统： 状态空间法
§3-1 线性系统时间响应的性能指标
动态性能，静态性能。 动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分 析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准--典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简 单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。
０T
0.95 0.982
响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会
超过其稳态值，把这样
2T 3T 4T
的响应称为非周期响应。 t 无振荡
c(t)
1.0 0.865
t
c( t)1eT
0t
0.95 0.982
一阶系统响应具备两个 重要的特点： ①可以用时间常数T去度量
0.632
系统输出量的数值。
②响应曲线的初始斜率等于
c(t) 1.0
c(t) T
0
t
0
T
t
在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，
最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也
最大；无差跟踪
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理第三章
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
f(t)
1 L[t 1( t )] 2 s
0 t
考查系统对匀速信号的跟踪能力
3. 抛物线函数（等加速度函数）
1 2 At t0 r (t ) 2 t0 0
f(t)
A=1，称单位抛物线函数,记为
1 2 t 1( t ) 2
线性定常系统的重要性质
1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系 统的输出则为原来输出的导数。 C ( s) GB ( s) R( s) dr( t ) C1 ( s ) GB ( s ) L[ ] G B ( s ) sR( s ) sC ( s ) dt dc( t ) c1 (t ) dt 2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号 时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分， 积分常数由零初始条件决定。 R( s ) 1 C 2 ( s ) GB ( s ) L[ r ( t )dt] GB ( s ) C ( s) s s y2 ( t ) y( t )dt
单位脉冲响应 [R(s)=1] h(t) 1 1/T C ( s) Ts 1 它恰是系统的闭环传函，这 0.368/T 时输出称为脉冲（冲激）响应 0.135/T 0.05/T 函数，以h(t)标志。 t 1 T 0 T 2T 3T h( t ) C脉冲 ( t ) e T 3.2.3
二阶系统有两个结构参数ξ (阻尼比)和n(无阻尼振荡频 率) 。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。
例如: RLC电路 R
L
r ( t)
C
c(t)
微分方程式为： d 2 c( t ) dc( t ) LC RC c( t ) r ( t ) 2 dt dt 2 n C ( s) 1 Φ( s ) 2 零初条件 2 2 2 R( s ) T s 2Ts 1 s 2n s n
线性系统的时域分析法二阶系统稳态误差
系统的特征方程式为： 0.05s3 0.4s2 s K 0
建立劳斯表：
s3
0.05
1
s2
0.4
K
s1 0.4 0.05K
s0
K
系统稳定时，要求0<K<8
3）利用稳定判据，也可以判断系统的稳定裕度。 系统稳定时，要求所有闭环极点在s平面的左边，闭环极点离虚 轴越远，系统稳定性越好，闭环极点离开虚轴的距离，可以作 为衡量系统的稳定裕度。
lim s
1
1 lim
1
s0 1 G(s)H (s) s3 s0 s 2G(s)H (s)
定义系统静态加速度误差系数
Ka
lim s 2G(s)H (s) s0
0 K a K
解： 误差传递函数为：
e (s)
1
1 G(s)
Ts Ts 1
系统稳定
r(t) 1(t) R(s) 1 s
ess
lim sE(s) s0
lim s Ts 1 s0 Ts 1 s
0
r(t) t
R(s)
1 s2
ess
lim sE(s) lim s Ts 1
R(s)
E(s)
C(s)
G(s)
误差=希望值-实际值，
-
B(s)
对于图示一般线性控制系统，若按输入端定义： H (s)
e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)
若按输出端定义：输出量的期望值与实际值之差。
对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析 和设计中，一般采用按输入端定义误差。
由综合除法可得另两
二阶系统的时域分析.ppt
d ds
[C
(s
)(
s
n
)
2
]s
n
1
2 [C(s) (s n )2 ]sn n
C(t) 1 ent ntent 1 ent (1 nt) (t 0)
j [s]
s1s2
n o
1
C(t) 1
1 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通
常称为临界阻尼状态。
o
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
况，故称为阻尼系数。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
10
3.二阶系统的性能指标(1)－上升时间
根据定义，当 t tr时，c(tr ) 1。 令 c(t) 1 et sin (dt+ ) =1
sin
c(t) 1 et sin (dt+ ) , t 0 sin
e t sin (d t+ ) 0 sin
T1 T2
n
T2
1
n
h(t)= 1 -(1临+ω界n阻t)尼0je-ωnt
0＜0＜ξ＜ξ＜1 1 S1,2= -ξ ωn ±jj ωn√1-ξξ2 ＝0
jj 0
0
0
e - h(t)=
ξ＝1 0 1
2020/3/2√91-ξ2
-ξωSnt欠1s,2i阻n=(尼ω±d3t-j3+二ωβ阶n)系统的时域分析
为阻尼振荡圆频率。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
1 2 是振荡频率。称 d
5
2.二阶系统的单位阶跃响应(4)-过阻尼
极点：s1,2 n n 2 1
阶跃响应：c(t) 1
n
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统是指由两个一阶系统级联或并联组成的动态系统。
它的数学模型可以表示为如下形式：$$s^2Y(s) + 2ξω_nsY(s) + ω_n^2Y(s) = X(s)$$其中，$s$是复频域变量，$Y(s)$和$X(s)$分别是系统的输出和输入拉普拉斯变换形式；$ξ$是阻尼比，$ω_n$是自然频率。
为了进行时域分析，我们需要将模型转换为时域表示。
我们可以通过拉普拉斯逆变换对模型进行求解。
首先，我们可以将拉普拉斯变换模型转换为分母为二次方程的形式：$$s^2 + 2ξω_ns + ω_n^2 = 0$$这是一个特征方程，也称为二阶系统的特征方程。
根据特征方程的解，我们可以获得系统的阻尼比和自然频率。
特别地，当阻尼比$ξ$小于1时，系统被称为欠阻尼；当阻尼比$ξ$等于1时，系统被称为临界阻尼；当阻尼比$ξ$大于1时，系统被称为过阻尼。
根据不同的阻尼比，我们可以对系统的时域响应进行分类：1.欠阻尼情况下，系统的时域响应会产生振荡。
振荡的频率为阻尼比与自然频率的乘积。
2.临界阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，但不会产生振荡。
3.过阻尼情况下，系统的时域响应会趋于稳定，没有振荡，并且速度较快。
在实际应用中，我们经常需要对二阶系统的时域响应进行分析和设计。
常见的时域响应指标包括步响应、阶跃响应和频率响应。
这些响应可以通过对特征方程进行求解来获得。
对于步响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的过渡时间、最大超调量和静态误差等信息。
通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。
对于阶跃响应，我们可以通过求解特征方程的根来获得系统的上升时间、峰值时间和调节时间等信息。
同样，通过调整控制器和系统参数，我们可以改变这些指标，以满足系统设计的要求。
对于频率响应，我们可以通过将特征方程转换为复频域变量来获得系统的频率响应函数。
频率响应函数可以帮助我们分析系统在不同频率下的增益和相位变化。
二阶系统的时域分析
二阶系统的时域分析二阶系统是指系统的传递函数为二次多项式的系统。
在控制工程中，常常会遇到这样一类系统，例如惯性系统、机械系统等。
对于这些二阶系统，我们不仅可以通过频域分析来研究其特性，还可以通过时域分析来了解其动态特性。
在进行二阶系统的时域分析时，可分为稳态分析和暂态分析两个方面。
稳态分析主要关注系统的稳定性、稳定偏差以及稳态响应等问题。
稳定性是指系统在输入信号恒定时是否能够收敛到一些有限的值。
对于二阶系统来说，稳定性分为两种情况：一是欠阻尼情况下的稳定性，二是过阻尼情况下的稳定性。
在欠阻尼情况下，系统的特征根是共轭复根，且位于单位圆内。
此时，系统的稳定性与初始条件无关，即系统总是能够收敛到稳态。
而且系统的稳态响应的振幅会发生一定的振荡，并随着时间逐渐减小。
该振荡的周期与系统的倍率有关，即与特征根的幅值有关。
在过阻尼情况下，系统的特征根是两个实根，分别对应着减震时间常数的倒数，且位于负实轴上。
此时，系统的稳态响应不会有振荡的情况发生，而是指数衰减的趋势。
稳态响应的衰减速率与特征根的位置有关，即与特征根的实部大小有关。
对于稳态偏差问题，我们可以通过查表法或直接计算法来求解。
稳态偏差是指系统在输入信号恒定时的输出值与预期值之间的差距。
通过分析系统的传递函数，我们可以得到系统的静态增益，从而计算出稳态偏差。
在暂态分析中，我们主要关注系统的动态响应，即系统在输入信号改变时的响应情况。
对于二阶系统来说，主要有两种典型的暂态响应情况：一是阻尼振荡响应，二是临界阻尼响应。
阻尼振荡响应是指系统在欠阻尼情况下的响应。
在这种情况下，系统会产生一定幅值的振荡，振荡的周期与系统的阻尼比有关，即与特征根的实部大小有关。
临界阻尼响应是指系统在特征根位于负实轴上时的响应。
此时，系统的响应既没有振荡也没有超调现象，而是以较快的速度趋近于稳态响应。
在实际工程中，我们可以通过使用MATLAB等软件工具来进行二阶系统的时域分析。
通过绘制系统的单位阶跃响应曲线、脉冲响应曲线以及动态响应曲线，并结合特征根分析法，可以对系统的动态特性进行深入研究。
二阶系统的时域分析
二阶系统的时域分析二阶系统是指具有两个自由度的线性时不变系统，可以用二阶常微分方程来描述。
在时域分析中，我们可以通过研究系统的时间响应来了解系统的动态性能。
$$\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}}+2\zeta\omega_n\frac{{dy(t)}}{{dt}}+\omega_n^2y(t) = f(t)$$其中，$y(t)$是系统的输出，$f(t)$是系统的输入，$\zeta$是系统的阻尼比，$\omega_n$是系统的自然频率。
为了进行时域分析，我们通常关注以下几个方面的内容：零状态响应、零输入响应、阶跃响应和冲激响应。
首先，零状态响应是指当系统在其中一初始状态下，没有外部输入时的响应。
在二阶系统中，零状态响应可以表示为：$$\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}}+2\zeta\omega_n\frac{{dy(t)}}{{dt}}+\omega_n^2y(t) = 0$$通过求解这个方程可以得到系统的零状态响应。
其次，零输入响应是指当系统没有外部输入时的响应，也就是当$f(t)=0$时的响应。
在二阶系统中，可以通过设定初始条件（对应于零状态）来求解零输入响应。
接下来，阶跃响应是指当系统输入为单位阶跃信号时的响应。
单位阶跃信号可以用$\delta(t)$来表示，其傅里叶变换为$U(j\omega)=\frac{1}{{j\omega}}+\pi\delta(\omega)$。
阶跃响应可以通过将单位阶跃信号的傅里叶变换代入系统的传递函数来求解。
最后，冲激响应是指当系统输入为单位冲激信号时的响应。
单位冲激信号可以用$\delta(t)$表示，其傅里叶变换为$U(j\omega)=1$。
冲激响应可以通过将单位冲激信号的傅里叶变换代入系统的传递函数来求解。
在进行二阶系统的时域分析时，我们还可以研究系统的阻尼比对系统响应的影响。
当阻尼比$\zeta=1$时，系统处于临界阻尼状态，此时系统响应最快且无振荡；当阻尼比$\zeta<1$时，系统过阻尼，响应较慢且无振荡；当阻尼比$\zeta>1$时，系统欠阻尼，响应较快且有振荡。
二阶系统时域分析
线性系统的时域分析法>>二阶系统的时域分析
特征方程为：
s2
2 n s
2 n
0
特征根为：s1,2 n n 2 1 ，注意：当 不同时，（极点）
有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振
荡和非振荡两种情况。
1) 当时 0，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼
系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。
Δ=2的精确曲线 Δ=5的精确曲线
10
Δ=5的近似曲线 Δ=2的近似曲线
8
6
4
0.304
0.43
2
0.19
0.23
0.38
0.53
0.69 0.78
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.7 0.8 0.9
1
线性系统的时域分析法>>二阶系统的时域分析
由分析知，在 0.4 ~ 0.8 之间，调节时间和超调量都较小。工程 上常取 1 0.707 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。
由于t p出现在第一次峰值时间，取n=1，有：
25
20
15
10
tp
5
tr
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
线性系统的时域分析法>>二阶系统的时域分析
3)最大超调量 %：
将峰值时间 t p n
1 2
代入 c(t)得c(t p) cmax
cmax c(t p ) 1 e ntp (cosd t p
s1,2 jn
s1,2 n jn 1 2
二阶系统的时域分析 精品
1 当r ( t ) 1( t )时，R( s ) , s
1 1 T2 1 T1 1 1 12 T1T2 1 T1 T C ( s ) ( s ) R ( s ) 1 )( 1s ss ( s ( ) 1( s ) s1 ) T1 T1 T2 T2
1 / T1T2 ( s) 2 2 s 2n s n ( s 1 / T1 )( s 1 / T2 )
二阶系统的时域分析
二阶系统的数学模型
动态结构图
R( s )
-
G( s)
C ( s)
开环传递函数 2 n G( s ) s( s 2n )
2 n
闭环传递函数
( s) 2 2 s 2n s n
ζ为系统的阻尼比；ωn为无阻尼振荡频率，简 称固有频率（也称自然振荡频率）
2
sin( d t )
1
1
1 1 ζ 2
0
n t
二阶系统的时域分析
无阻尼二阶系统的暂态性能
h(t)
如果以ζ=0响应表达式和曲线为：
h(t ) 1 cosn t
响应的角频率为ωn
1
等幅振荡曲线
0
n t
二阶系统的时域分析
h( t ) 1 (1 n t )e 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用 的控制系统一般不采用过阻尼系统。
nt
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统的暂态响应
当0<ζ<1时, 二阶系统的闭环特征根为
s1, 2 n jn 1 jd
2
n 衰减系数 d n 1 2 为阻尼振荡频率
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⑤最大超调量 p ——响应曲线偏离稳态值的最大值：
100 %
t r 或 t p 评价系统的响应速度； t s 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
% 评价系统的阻尼程度。
2、稳态性能： 稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃 函数、斜坡函数和加速度函数作用下进行测定或计算。若时 间趋于无穷大时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确 定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或 抗扰动能力的一种度量。
⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统， 系统的阶跃响应为非振荡过程。
（1） 0 （无阻尼） s1,2 jn
一对纯虚根 （2）0 1（欠阻尼）有一对共轭复根 s 1
s1
s2
s1, 2 n j n 1
2
n 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
动态性能指标的定义
快速性指标
上升时间 tr： 输出响应从零开始第一次上升到稳态值时 所需
的时间。即:c(tr)=c(∞)=1│第一次 。
峰值时间tp：输出响应从零开始上升到第一个极值(最大值)处 时 所需的时间。即:dc(tp)/dt=0│第一次 。 调节时间ts：输出响应达到并保持在一个允许误差带Δ内时所 需的最短时间。 工程 规定： Δ＝±５％或±２％
2
c(t ) 1 ent (1 nt )
h(t )
1
0
t
2 s 1 当 1 时，极点为： 1, 2 n n
R(s)
（ c） 等 效 方 块 图
C(s)
T=RC为一阶惯性时间常数。
2、一阶系统的单位阶跃响应
C ( s ) ( s ) R( S ) 1 1 Ts 1 s
c(t)
1
0.632
c(t)=1-e
98.2%
c(t ) 1 e
t0
0
63.2%
t T
86.5%
99.3%
3-1 系统时间响应的性能指标
一：典型输入信号
1：单位阶跃函数
1 t 0 1(t ) 0 t 0
1 L[1(t )] s
2：单位斜坡函数
t t 0 r (t ) 0 t 0
1 L[ r ( t )] 2 s
3：单位加速度函数
1 2 t r (t ) 2 0
k(t) T t
t-T
0
c(t ) L1[C(s)] t T Te t / T
可以画出一阶系统的单位斜坡响应如图所示。对于一阶系统的单 位斜坡响应，
ess lim e(t ) lim[r (t ) c(t )] T
t t
说明一阶系统跟踪单位斜坡输入信号时，稳态误差为T。
e t 1
2
sin( d t tg 1
1 2
), t 0
1
1 1 2
e nt
1
0
1
1 1
2
e
n t
t
0
h(t )
小
1
0
大
t
当 1 时， 极点为： s1, 2 n
n n 1 1 1 阶跃响应函数为：C (s) 2 2 s s 2 n s n s s n (s n ) 2
说明一阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差。另外有 dh(t )
dt
1 t 0 T
3、单位脉冲响应
当输入信号为单位脉冲信号时， r (t ) (t )
C ( s) ( s ) R( s )
R(s) 1
1 1/ T Ts 1 s 1 / T
k (t ) L1 [C ( s)]
c(t ) 1 cosnt , t 0
n 称为无阻尼振 此时输出将以频率 n 做等幅振荡，所以， 荡圆频率。
2 s j 1 极点为： 当 0 1 时， 1, 2 n n
阶跃响应为：
2 n s 2 n 1 1 C ( s) 2 2 2 s s 2 n s n s s 2 2 n s n
1 t / T e T
可以画出一阶系统的单位脉冲响应如图所示。
k(t) 1/T
0.368/T 0.135/T 0 T 2T 0.05/T 0.018/T 3T 4T
4、单位斜坡响应
当输入信号为单位斜坡信号时， 1 r (t ) t 1(t ) R( s ) 2 s 1 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 s (Ts 1)
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。 ②峰值时间 ——响应曲线到达第一个峰值所需的时间。 tp
③调整时间 t ——响应达到并保持在终值的±5%（或± 2%） s 误差带时所需要的最短时间。
④延滞时间
t d ——响应曲线到达稳态值50%所需的时间。
p
h(t p ) h() h ( )
平稳性（稳定性）指标
超调量σ%：输出响应超出稳态值的最大偏移量占稳态值的
百分比。即：
%
稳态性能指标
c( t p ) c( ) c( )
100%
稳态误差ess：衡量输出响应进入稳态后所表现出来的性能，
即表示系统的控制精度。
定义式：
ess lim e(t )
t
s n n 1 2 2 2 s s 2 n s n s 2 2 n s n
c(t ) 1 e n t [cos( 1 2 nt )
1 2
sin( 1 2 nt )] , t 0
c(t ) 1
3-2 一阶系统的时域分析
1、一阶系统的数学模型 • 用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。
+
r(t)
R
+
i(t) C
c(t)
RC
T
duc uc r (t ) dt
（ a） 电 路 图
R(s)
duc (t ) uc (t ) r (t ) dt
K0
C(s)
s
C ( s) 1 ( s) R( S ) Ts 1
3-3
二阶系统的时域分析
这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。 一、典型二阶系统的数学模型 下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。
R( s )
2 n C (s) s( s 2 n )
-
开环传递函数为: 2 n G( s) 2 s 2 n s
2 G( s ) n 闭环传递函数为: (s) 2 2 1 G(s) s 2 n s n
5、单位加速度响应
当输入信号为单位加速度信号时， r (t )
C ( s ) ( s ) R( s ) 1 s 3 (Ts 1)
1 2 1 t 1(t ) R( s ) 3 2 s
c(t ) L1 [C ( s)]
1 2 t Tt T 2 (1 e t / T ) 2
位于平面的左半部
s2
n
（临界阻尼）， 1 s1,2 n （3）
两相等实根
s1 s2
2 1 s 1 （4） （过阻尼） 1,2 n n
两不等实根
s1 s2
（5） - 1 0 ，s1,2 n jn 1 2 位于右半平面
s1
s2
二、二阶系统的单位阶跃响应 当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) 1 ，有：
1 C ( s) ( s) , s 1 1 c(t ) L [ ( s ) ] s
s
[分析]：
s jn 当 0时， 极点为： 2 n 1 s C ( s) 2 2 2 2 s( n s ) s s n
4：单位脉冲函数
t0 t0
L[ r (t )]
1 s3
t 0 (t ) 0 t 0
5：正弦函数
(t )dt 1
L[ (t )] 1
A sin t t 0 r(t ) t0 0
L[r (t )]
s2 2
二、动态过程与稳态过程
e n t 1 2
2 1 sin( 1 2nt tg 1 ), t 0
极点的负实部 n 决定了指数衰减的快慢，所以 n 衰减系数
虚部 d n 1 2
是振荡频率，称 d为阻尼振荡频率。
c(t ) 1
h(t )
R(s)
100 s
0.1
C(s)
这是一个典型一阶系统，调节时间ts=3T=0.3秒。
若要求调节时间ts=0.1秒，可设反馈系数为α，则系统的闭环传递函数为：
(s)
100 / s 1 100 / s
1/ 1 s 1 100
t s 3T
3 0.1 100
0.3
5T
95%
T
2T
3T
4T
t
图 3-4指 数 响 应 曲 线
根据动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为：
t d 0.69T t r 2.20T t s 3T
(5%)
e(t ) lim[r (t ) c(t )] 0 对于一阶系统的单位阶跃响应， e ss lim t t
e(t ) r(t ) c(t ) Tt T 2 (1 e t / T ) ess