立体几何向量法建系难

立体几何（向量法）—建系难

例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD

-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3

BC CD AC ACB ACD π

===∠=∠=,F 为PC 的中

点,AF PB ⊥.

(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.

【答案】

解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin

π

3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)．

因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎫0，－1，z 2，又AF →

＝⎝⎛⎭⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2

2

＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|P A →

|＝2 3.

(2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →

＝(0，2，3)．设平面F AD 的法

向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)．

由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得

⎩⎨

⎧－3x 1＋3y 1＝0，

2y 1＋3z 1＝0，

因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得

⎩⎨

⎧3x 2＋3y 2＝0，

2y 2＋3z 2＝0，

故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1

8

.

故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7

8

.

例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四

棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆o

，与PAD ∆都是等边三角形.

(I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.

【答案】解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE .

由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ，

所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .

因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .

(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .

又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .

取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连FG . 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .

联结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角． 联结AG ，EG ，则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .

设AB ＝2，则AE ＝2 2，EG ＝1

2PB ＝1，

故AG ＝AE 2＋EG 2＝3，

在△AFG 中，FG ＝1

2CD ＝2，AF ＝3，AG ＝3.

所以cos ∠AFG ＝FG 2＋AF 2－AG 22·FG ·AF ＝－6

3.

因此二面角A －PD －C 的大小为π－arccos

6

3

. 解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．

以O 为坐标原点，OE →

的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .

设|AB →

|＝2，则

A (－2，0，0)，D (0，－2，0)， C (2 2，－2，0)，P (0，0，2)，

PC →＝(2 2，－2，－2)，PD →

＝(0，－2，－2)， AP →＝(2，0，2)，AD →

＝(2，－2，0)． 设平面PCD 的法向量为1＝(x ，y ，z )，则 1·PC →

＝(x ，y ，z )·(2 2，－2，－2)＝0，

1·

PD →＝(x ，y ，z )·(0，－2，－2)＝0，

可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.

取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故1＝(0，－1，1)． 设平面P AD 的法向量为2＝(m ，p ，q )，则 2·

AP →

＝(m ，p ，q )·(2，0，2)＝0， 2·AD →＝(m ，p ，q )·(2，－2，0)＝0，

可得m ＋q ＝0，m －p ＝0.

取m ＝1，得p ＝1，q ＝－1，故2＝(1，1，－1)． 于是cos 〈，2〉＝

n 1·n 2|n 1||n 2|＝－6

3

. 由于〈，2〉

等于二面角A －PD －C 的平面角，所以二面角A －PD －C 的大小为π－arccos 6

3

. 例3（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分 如图，在直三棱柱111C B A ABC 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点