机械振动运动学3两自由度系统振动2
第5章 机械振动
令
2＝ mgh
J
单摆或复摆在小角度摆动情况下， 经过近似处理，它们的运动方程与弹簧振 子的运动方程具有完全相同的数学形式。
O h C
P
例题
【例 题】 一质量为 m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平
衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置 A 为原点，向下为 x 轴正向，设某一 瞬时振子的坐标为 x 。
5.1.2 微振动的简谐近似
一端固定且不可伸长的细线与可视为质的物体相连，当它在竖
直平面内作小角度( ≤5°)摆动时，该系统称为单摆，如图所示。
单摆过 C 点的力矩：
M＝－mglsin 很小，近似简化
C l
M＝－mgl
T
摆球的动力学方程：
P sin m
－mgl＝ml
2
d2
dt 2
解 设此简谐振动为
x＝Acos( t+0 )
x cm 4
A＝0.4 m,只需求出0 和 。
2
P
0
从图中分析可知，t＝0 时，x0＝－2cm ， 2
1
ts
且
v0＝
dx dt
＜0
(由曲线的斜率决定)，
4
代入振动方程，有
－2＝4cos0
故 0＝
2π 3
，又由
v0＝－ Asin0＜0
x0＝Acos0
－
v0
＝Asin0
注意：
A＝
x02
(
v0
)2
（1）振幅 A 是离开平衡位置的最大位移的绝对值，只能取正值； （2）振幅 A 确定了系统运动的范围。
五六七总结
机械振动基础当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化时，称之为振动。
振动是社会生活和工程问题中普遍存在的一种现象，力学和机械系统中的振动称为机械振动。
在研究一个具体的力学或机械系统的振动时，常常将系统抽象为较简单的力学模型，利用力学理论建立系统的运动方程，然后利用数学工具求解，分析结果并与实验结果进行比较。
机械振动理论作为动力学的一个专题，现已发展成为一个独立的分支学科。
在理论力学中仅仅限于介绍一些振动理论中常用的方法及对一些振动现象作简单讨论。
一、线性振动系统的弹簧-质量模型在力学系统中，产生振动的基本要素是有质量的物体和产生弹性恢复力的元件。
所以在机械振动研究中，都是将系统抽象成弹簧-质量模型。
二、 弹簧－质量系统的自由振动系统受初始扰动，仅在恢复力作用下产生的振动称为自由振动。
如果将坐标原点取在系统的静平衡位置，单自由度系统的振动微分方程都可以写成如下标准形式：(13-1) 对于弹簧-质量系统，，其中m 是物块的质量，k 是弹簧的刚度系数，称为系统的固有频率，写出系统的标准振动(微分)方程（13－1），就可以求解出系统的固有频率。
由常微分方程理论，上述方程有如下形式的解：(13-2)其中是积分常数，由运动的初始条件(也称初始扰动)确定。
显然，系统的运动是以静平衡位置为中心的简谐运动。
值得一提的是，如果坐标原点不是取在系统的静平衡位置，则系统的运动微分方程会略为复杂一点，但最终得出的解仍然表示系统以静平衡位置为中心作简谐振动。
所以系统的运动规律与坐标系的选取无关。
不过，在机械振动理论中，不论是单自由度，还是多自由度或连续体，一般都是取系统的静平衡位置为坐标原点，这样选取可使得方程和解的表达式较简洁。
02=+x xω mk =2ωω12sin cos sin()o x c t c t A t ωωωϕ=+=+12,,,o c c A ϕ三、振动系统的特征量周期：系统振动一次所需的时间，记为T ，其单位是秒(s)。
机械振动系统与机械振动分类
机械振动系统与机械振动分类1. 机械振动系统简介机械振动系统是指由于外界激励或系统自身特性而引起的物体或结构产生振动运动的系统。
机械振动系统广泛应用于工程领域，如机械制造、工程结构、航空航天等。
了解机械振动系统及其分类对于研究和应用机械振动具有重要意义。
2. 机械振动分类机械振动可以根据不同的分类标准进行分类，包括运动形式、激励方式、振动特性等。
2.1 运动形式机械振动根据物体或结构的运动形式可以分为自由振动和强迫振动。
2.1.1 自由振动自由振动是指系统在无外界激励的情况下，由于系统本身的特性而产生的振动。
自由振动分为自由衰减振动和自由无衰减振动两种形式。
自由衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，由于系统阻尼的存在而衰减的振动。
在自由衰减振动中，振动幅值呈指数衰减。
自由无衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，没有阻尼或阻尼较小而不影响振动的情况下产生的振动。
在自由无衰减振动中，振动幅值保持不变。
2.1.2 强迫振动强迫振动是指系统由外界激励引起的振动。
外界激励可以是周期性的，也可以是非周期性的。
强迫振动分为共振和非共振两种形式。
共振是指外界激励频率与系统的固有频率相等，从而使得系统振动幅值达到最大的状态。
共振时，振动幅值会明显增大，甚至会出现破坏性振动。
非共振是指外界激励频率与系统的固有频率不同，振动幅值会有所减小。
2.2 激励方式机械振动根据激励方式可以分为有源振动和无源振动。
有源振动是指通过外部能量源对振动系统进行能量输入的振动。
典型的有源振动系统包括激励器、驱动器等。
无源振动是指在自由振动状态下，由于外界条件或系统初始激励引起的振动。
无源振动通常分为两种情况，即系统外力激励和几何和材料非均匀性。
2.3 振动特性机械振动根据振动特性可以分为单自由度振动和多自由度振动。
单自由度振动是指一个自由度的振动系统，在一个平面或轴向上只有一个振动方向的振动。
典型的单自由度振动系统包括单摆、弹簧振子等。
机械振动
相差
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
➢ 2 < 1 ， 振动（1）比振动（2）超前或振动
（2）比振动（1）落后；
x1
➢2- 1=0 或 2π的整
数倍，即π的偶数倍,
x2
称这两个振动为同相;
➢ 2- 1=π或π的奇
数倍，称这两个振 动为反相.
x1 x2
五.简谐振动实例 1. 单摆
ft mg sin
例3.质点沿x轴谐振动的方程为x=4cos(2πt+ π/3)cm,求: 从t=0时刻到x=-2cm且向x轴正向运动的最短时间间隔.
解: x=-2cm, 且向x轴的正向运动, v>0, =4π/3 t=0, o=π/3 0 t t=0.5s
课堂练习： (1)x0 A
(3)x0 0,vo 0
机械振动的概念
振动也称振荡.在力学中,振动是指物体围绕某个 平衡位置作周期性的往复运动,又称机械振动.
广义地说,任何一个物理量在某一确定值附近的反 复变化都可称为振动,如电磁振荡,交流电中电流、 电压的反复变化等. 物体作机械振动时,来回往复的运动轨迹，最简单 的是一条直线,称为直线振动.在平面或空间的往复 振动,都可以认为是由多个直线振动叠加而成的.
A1 cos1 A2cos2 Acoso
x Acos(t o )
用旋转矢量法可得到同样结果
x1 A1 cos(t 1 ),
x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2 ➢合矢量 A 将与矢 量 A1 与 A2 一起以 角速度ω转动.
x Acos(t o )
y A2
ω
A
2 o 1
➢振幅A :是质点离开平衡位置的最大位移,它的大 小表征振动的强弱.
机械振动学总结全
若用复数来表示，则有 机械振动学总结机 械 振 动 学 基 础第二节机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从 运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间 t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数 T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数1来表示，则这一个运动时周期运动。
其中 T 的最小值叫做振动的周期，f 二1定义为振动的频率。
T简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动.■, ... ■ ?. I .. ■；-.物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，「和■■称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度 •’称为简谐振动的角频率 简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间 t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前 加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这 是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图 P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率⑷z = Ae j(心z = Acos( t ) jAsin( t '-)用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数e j t 对时间求导一次相当于在其前乘以j ■，而每乘一次j ，相当于有初相角-2二•周期振动满足以下条件: 1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在;2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中b n三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成 1. 俩个同频率的简谐振动x 2 二 A 2sin( t 2) , x 2 二 A 2sin( 2t 2)它们的合成运动也是该频率的简谐振动2. 俩个不同频率振动的合成若「1—2，则合成运动为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线第三节构成机械运动的基本元素构成机械振动的基本元素有惯性、 恢复性和阻尼。
第十二章第1讲机械振动-2025年高考物理一轮复习PPT课件
高考一轮总复习•物理
2．图像 (1)从_平__衡__位__置__处开始计时，函数表达式为 x＝Asin ωt，图像如图甲所示． (2)从_最__大__位__移__处开始计时，函数表达式为 x＝Acos ωt，图像如图乙所示．
第10页
高考一轮总复习•物理
四、受迫振动和共振
固有频率 固有频率
最大
第11页
动条件
(2)无摩擦等阻力． (3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细 线． (2)无空气等阻力． (3)最大偏角小于 5°
高考一轮总复习•物理
第8页
模型 回复力 平衡位置 周期
能量转化
弹簧振子 弹簧的___弹__力____提供
弹簧处于___原__长____处 与振幅无关
弹性势能与动能的相互 转化，机械能守恒
答案
高考一轮总复习•物理
第25页
解析：由题分析可得振子振动图像的一种可能情况如图所示，振子在 t＝0 时位于最大位 移处，速度为零，t＝10 s 时，振子在平衡位置，速度最大，故 A 错误；在 t＝4 s 时，振子位 于最大位移处，加速度最大，t＝14 s 时，振子处于平衡位置处，此时振子的加速度为零，故 B 错误；在 t＝6 s 和 t＝14 s 时，振子均处于平衡位置，此时动能最大，势能最小，故 C 正确； 由振子的振动周期 T＝2π mk 可知，振动周期与振子的振幅无关，故只改变振子的振幅，振 子的周期不变，只增加振子质量，振子的周期增大，故 D 正确．
12A＝Asin φa， 23A＝Asin φb，解得 φa＝－π6或 φa＝－56π(由题图中运动方向舍去)，φb＝π3或 φb ＝23π，当第二次经过 B 点时 φb＝23π，则23π－2π－π6T＝t，解得 T＝152t，此时位移关系为 23A ＋12A＝L，解得 A＝ 32＋L 1，C 正确，D 错误．故选 BC．
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
2024高考物理一轮复习第34讲机械振动(讲义)(学生版+解析)
第34讲机械振动目录复习目标网络构建考点一简谐运动的基本规律【夯基·必备基础知识梳理】知识点1 简谐运动的基础知识知识点2 简谐运动的五个特征【提升·必考题型归纳】考向1 简谐运动中各物理量的分析考向2 简谐运动的特征应用考点二简谐运动的公式和图像【夯基·必备基础知识梳理】知识点1 对简谐运动图像的认识知识点2 由简谐运动图像可获取的信息【提升·必考题型归纳】考向1 从振动图像获取信息考向2 根据条件写出振动方程考点三简谐运动的两类模型【夯基·必备基础知识梳理】知识点弹簧振子模型和单摆模型【提升·必考题型归纳】考向1 弹簧振子模型考向2 单摆模型考点四受迫振动和共振【夯基·必备基础知识梳理】知识点1 简谐运动、受迫振动和共振的比较知识点2 对共振的理解【提升·必考题型归纳】考向1 受迫振动和共振规律考向2 实际生活中的受迫振动和共振真题感悟1、理解和掌握简谐运动的基本规律和图像。
2、能够利用简谐运动的基本规律处理有关弹簧振子和单摆模型的有关问题。
3、理解和掌握受迫振动和共振。
考点一 简谐运动的基本规律机械振动动量守恒的条件及应用1.简谐运动的基础知识2.简谐运动的五个特征简谐运动的公式和图像1.对简谐运动图像的认识2.由简谐运动图像可获得的信息简谐运动的两类模型1.弹簧振子模型2.单摆模型受迫振动和共振1.受迫振动和共振2.对共振的理解知识点1 简谐运动的基础知识(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从 函数的规律，即它的振动图像(xt 图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
(2)条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向 ，质点的运动就是简谐运动。
(3)平衡位置：物体在振动过程中 为零的位置。
(4)回复力①定义：使物体返回到 的力。
②方向：总是指向 。
③来源：属于 ，可以是某一个力，也可以是几个力的 或某个力的 。
机械振动的理论与应用
机械振动的理论与应用机械振动是指机械系统在受到外部激励或系统内部某种力的作用下，发生自由或强迫振动的现象。
它是在机械制造、运动控制、结构分析、信号处理、机械故障诊断和振动控制等领域得到广泛应用的重要基础理论。
本文将探讨机械振动的理论与应用，并举例说明其在实际中的应用。
一、机械振动的基本理论机械振动的基本理论包括振动信号的特征、振动系统的描述与分析方法和振动控制的原理等方面。
其中，振动信号的特征指振动信号中包含的振动频率、振幅和相位等特性；振动系统的描述与分析方法主要涉及到质点运动学、动力学和能量守恒原理等；振动控制的原理则是指控制理论中的反馈控制、前馈控制和模糊控制等。
在实际应用中，机械振动的分析和控制都要基于振动系统的模型。
根据振动系统的特点，通常可以将其分为单自由度振动系统和多自由度振动系统两类。
其中，单自由度振动系统是指系统中只有一个自由度方向运动的情况；而多自由度振动系统则是指系统中包含多个自由度运动的情况。
二、机械振动在实际中的应用1.机械制造在机械制造中，机械振动可用于检测机构的不平衡状况、机轴的转子平衡状况、齿轮齿形误差以及机床等制造设备的精度等方面。
例如，通过检测振动信号的频率和振幅来诊断机器设备的运转状态，进而预测其故障情况和损坏的时间，以便及时进行维修和更换。
2.运动控制在运动控制中，机械振动可用于控制机器设备的姿态、位置、速度和加速度等参数。
例如，在航空航天领域中，机械振动可用于控制飞行器的姿态和方向稳定，从而保证其飞行安全和稳定性。
3.结构分析在结构分析中，机械振动可用于评估结构物的稳定性和安全性。
例如，在建筑结构领域中，机械振动可用于评估建筑物的抗震性能，从而为其设计提供依据。
4.信号处理在信号处理中，机械振动可用于处理振动信号的频谱、功率谱、自相关函数和互相关函数等特征参数。
例如，在音乐合成领域中，机械振动可用于模拟和合成各种音效和乐器的声音。
5.机械故障诊断在机械故障诊断中，机械振动可用于检测机器设备的磨损、松动、故障和损坏。
大学物理学 机械振动
大学物理学中的机械振动是指物体在受到外力作用后，产生周期性的来回振动运动的现象。
以下是关于机械振动的一些基本概念和内容：
1. 振动的基本特征
-周期性：振动是一个周期性的过程，即物体在围绕平衡位置来回振动。
-频率：振动的频率指的是单位时间内振动的周期数，通常用赫兹（Hz）表示。
-振幅：振动的振幅是物体从平衡位置最大偏离的距离。
2. 单自由度振动系统
-弹簧振子：是一种经典的单自由度振动系统，由弹簧和质点组成，受到弹簧的恢复力驱使质点振动。
-简谐振动：在没有阻尼和外力干扰的情况下，弹簧振子的振动是简谐的，即振动周期固定，频率与系统的固有频率相关。
3. 振动的参数和描述
-角频率：振动描述中常用的参数之一，表示振动的快慢程度，与频率之间有一定的关系。
-相位：描述振动状态的参数，表示振动的相对位置或状态。
-能量：振动系统具有动能和势能，能量在振动过程中不断转换，影响着振动的特性。
4. 阻尼振动和受迫振动
-阻尼振动：在振动系统中存在阻尼，会导致振动逐渐减弱，最终趋于稳定。
-受迫振动：当振动系统受到外力周期性作用时，会产生受迫振动，其频率与外力频率相同或有关。
5. 振动的应用
-工程领域：振动理论在工程领域有着广泛的应用，如建筑结构的抗震设计、机械系统的振动分析等。
-科学研究：振动理论也在物理学、工程学、生物学等领域中发挥重要作用，帮助解释和研究各种现象和问题。
以上是关于大学物理学中机械振动的一些基本内容和相关概念，希望能帮助您更好地理解这一领域的知识。
2024大学物理力学第八章机械振动
动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。
动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。
运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。
势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。
能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。
当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。
同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。
同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。
相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。
02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。
机械振动公式总结
机械振动公式总结机械振动是指物体在作有规律的往复运动时所表现出的现象，它广泛应用于工程领域，例如机械工程、建筑工程、航空航天工程等。
机械振动公式是描述机械振动性质和特点的数学公式，可以用于计算、分析和预测机械振动的参数和行为。
下面是一些常见的机械振动公式的总结。
1.简谐振动公式简谐振动是指在没有外力或外力恒定时，物体的振动是以弹性势能和动能的相互转化为基础的。
简谐振动公式可以表示为：x = A sin(ωt + φ)其中，x表示位移，单位为米；A表示振幅，单位为米；ω表示角速度，单位为弧度/秒；t表示时间，单位为秒；φ表示初相位，单位为弧度。
2.弹性力系数公式弹性力系数是描述弹性材料力学性质的一个参数，也是机械振动中重要的参数之一、弹性力系数公式可以表示为：F = kx其中，F表示受力，单位为牛顿；k表示弹性力系数，单位为牛顿/米；x表示位移，单位为米。
3.自然频率公式自然频率是指物体在没有外力作用时，在固有的弹性约束条件下产生的振动频率。
自然频率公式可以表示为：f=1/(2π)*√(k/m)其中，f表示自然频率，单位为赫兹；k表示弹性力系数，单位为牛顿/米；m表示质量，单位为千克。
4.阻尼振动公式阻尼振动是指在振动过程中存在能量损失的振动，由于摩擦、空气阻力等因素的存在。
阻尼振动公式可以表示为：x = e^(-βt) * (Acos(ωdt + φ1) + Bsin(ωdt + φ2))其中，x表示位移，单位为米；β表示阻尼系数，单位为弧度/秒；ωd表示阻尼角频率，单位为弧度/秒；t表示时间，单位为秒；A、B、φ1、φ2表示振动的参数。
5.多自由度振动公式多自由度振动是指多个物体同时进行复杂的振动过程，可以通过多自由度振动公式来描述。
多自由度振动公式可以表示为：M¨+KX=0其中，M表示质量矩阵，K表示刚度矩阵，X表示位移矩阵。
通过这些机械振动公式，我们可以计算出机械系统的振幅、频率、质量、弹性力系数等参数，进而进行分析和预测。
《机械动力学》——期末复习题及答案
机械动力学期末复习题及答案1、判断1.机构平衡问题在本质上是一种以动态静力分析为基础的动力学综合,或动力学设计;答案:正确2.优化平衡就是采用优化的方法获得一个绝对最佳解;答案:错误3.惯性力的计算是建立在主动构件作理想运动的假定的基础上的;答案:正确4.等效质量和等效转动惯量与机械驱动构件的真实速度无关;答案:正确5.作用于等效构件上的等效力或等效力矩所作的功等于作用于系统上的外力所作的功;答案:错误6.两点动代换后的系统与原有系统在静力学上是完全等效的;答案:错误7.对于不存在多余约束和多个自由度的机构,动态静力分析是一个静定问题;答案:错误8.摆动力的完全平衡常常会导致机械结构的简单化;答案:错误9.机构摆动力完全平衡的条件是：机构运动时,其总质心作变速直线运动;答案:错误10.等效质量和等效转动惯量与质量有关;答案:错误11.平衡是在运动设计完成之前的一种动力学设计;答案:错误12.在动力分析中主要涉及的力是驱动力和生产阻力;答案:正确13.当取直线运动的构件作为等效构件时,作用于系统上的全部外力折算到该构件上得到等效力;答案:正确14.摆动力的平衡一定会导致机械结构的复杂化;答案:错误15.机器人操作机是一个多自由度的闭环的空间机构;答案:错误16.质量代换是将构件的质量用若干集中质量来代换,使这些代换质量与原有质量在运动学上等效答案:正确17.弹性动力分析考虑构件的弹性变形;答案:正确18.机构摆动力矩完全平衡的条件为机构的质量矩为常数;答案:错误19.拉格朗日方程是研究约束系统静力动力学问题的一个普遍的方法;答案:正确20.在不含有变速比传动而仅含定速比传动的系统中,传动比为常数;答案:正确21.平衡分析着眼于全部消除或部分消除引起震动的激振力;答案:正确22.通路定理是用来判断能否实现摆动力完全平衡的理论;答案:错误23.无论如何,等效力与机械驱动构件的真实速度无关;答案:正确24.综合平衡不仅考虑机构在机座上的平衡,同时也考虑运动副动压力的平衡和输入转矩的平衡;答案:正确25.速度越快,系统的固有频率越大;答案:错误26.平衡的实质就是采用构件质量再分配等手段完全地或部分地消除惯性载荷;答案:正确27.优化综合平衡是一个多目标的优化问题,是一种部分平衡;答案:正确28.机构摆动力完全平衡的条件为机构的质量矩为常数 ;答案:正确29.当以电动机为原动机时,驱动力矩是速度的函数;答案:错误30.为了使得等效构件的运动与机构中该构件的运动一致,要将全部外力等效地折算到该机构上这一折算是依据功能原理进行的;答案:正确2、单选1.动力学反问题是已知机构的 ,求解输入转矩和各运动副反力及其变化规律;A.运动状态B.运动状态和工作阻力C.工作阻力D.运动状态或工作阻力答案:B2.平衡的实质就是采用构件质量再分配等手段完全地或部分地消除 ;A.加速度B.角加速度C.惯性载荷D.重力答案: C3.摆动力的完全平衡常常会导致机械结构的 ;A.简单化B.轻量化C.复杂化D.大型化答案: C4.输入功大于输出功,其差值是C ;A.盈功B.亏功C.正功D.负功答案: C5.在含有连杆机构或凸轮机构等变速比传动的系统中,传动比仅与机构的有关;A.速度B.角速度C.加速度D.位置答案: D6.在研究摆动力的平衡时,不涉及惯性力矩,可以采用 ;A.静代换B.动代换C.静力代换D.摆动力代换答案: A7.以下几种方法中,不是机械刚体动力学研究的分析方法的是 ;A.静力分析B.动态静力分析C.动力分析D.弹性动力分析答案: D8.机构摆动力完全平衡的条件为：机构运动时机构的动量矩为 ;A.0B.关于速度的函数C.关于质量的函数D.常数答案: D9.摆动力完全平衡的缺点有 ;A.减少振动B.减小摩擦C.使机械结构复杂化D.使机械体积增加答案: C10.描述等效构件运动的方程式形式有 ;A.能量形式B.动量形式C.加速度形式D.平衡力形式答案: A11.动态静力分析应用于 ;A.动力学正问题B.运动学正问题C.动力学反问题D.运动学反问题答案:C12.长期以来人们用加配重使摆动力部分被平衡的方法来减小 ;A.速度B.体积C.摩擦D.振动答案:D13.当取定轴转动的构件作为等效构件时,作用于系统上的全部外力折算到该构件上得到 ;A.等效质量B.等效转动惯量C.等效力D.等效力矩答案:B14.在以下所有方法中,概念最清晰、易于理解的是 ;A.广义质量代换法B.线性独立矢量法C.质量矩替代法D.有限位置法答案:B15.当以电动机为原动机时,驱动力矩是的函数;A.加速度B.角加速度C.速度D.角速度答案:D16.在研究摆动力矩的平衡时,则必须采用 ;A.静代换B.动代换C.静力代换D.摆动力代换答案:B17.不是现代机械设计的特征是 ;A.大型化C.高速化D.轻量化答案:A18.无法实现摆动力完全平衡的方法有 ;A.加配重B.合理布置机构C.设置附加机构D.减小体积答案:D19.以下选项中,不能归为阻尼的是 ;A.物体的内力B.物体表面间的摩擦力C.周围介质的阻力D.材料的内摩擦答案:A20.为了使得等效构件的运动与机构中该构件的运动一致,不能将等效地折算到该机构上;A.全部外力B.所有质量C.所有转动惯量D.全部内力答案:B21.设机构中的活动构件数位6,含低副数目为2,含高副数目为3,则构件的自由度数为 ;A.10B.11C.12D.13答案:B22.机构摆动力矩完全平衡的条件为机构的为常数;A.质量矩B.动量矩C.转动惯量D.惯性矩答案:B23.等效质量和等效转动惯量与有关;A.传动比B.质量D.等效力答案:A24.优化平衡就是采用优化的方法获得一个 ;A.绝对最佳解B.相对最佳解C.实际解D.理论解答案:B25.机器本身是振源,将其与地基隔离开来,以减少其对周围的影响,称为 ;A.隔振B.减振C.被动隔振D.主动隔振答案:D26.机构运转中产生的惯性载荷造成的影响有 ;A.提高机械的精度B.提高机械的可靠性C.加剧磨损D.提高机械效率答案:C27.机构的总质心为零的是 ;A.总质心作匀速直线运动B.总质心作变速直线运动C.总质心作圆周运动D.总质心作减速运动答案:A28.可以引起机构在机座上的振动的是 ;A.速度的变化B.摆动力C.速度的周期变化D.加速度的变化答案:B29.飞轮有的作用;A.平衡器B.储能器C.加大系统加速度D.减小系统惯性答案:B30.当取直线运动的构件作为等效构件时,作用于系统上的全部折算到该构件上得到等效质量;A.全部外力B.质量和转动惯量C.转动惯量D.全部内力答案:B3、多选1.描述等效构件运动的方程式有;A.能量形式B.动量形式C.力矩形式D.平衡力形式答案:AC2.机构的总质心为零,有这些可能;A.总质心作匀速直线运动B.总质心作变速直线运动C.总质心作圆周运动D.总质心静止不动答案:AD3.作用在机械上的力有;A.驱动力B.重力C.摩擦力D.生产阻力答案:ABCD4.工业机器人通常由组成;A.执行机构B.驱动装置C.控制系统D.传感系统答案:ABCD5.以下选项中,与等效力有关的是;A.外力B.传动比C.ωj/vD. v k/v答案:ABCD6.假定构件为刚体,且忽略构件的弹性变形的分析方法有 ;A.静力分析B.动态静力分析C.弹性动力分析D.动力分析答案:ABD7.以下选项中,可以引起机构在机座上的振动的有 ;A.速度的变化B.摆动力C.摆动力矩的周期变化D.加速度的变化答案:BC8.当取直线运动的构件作为等效构件时,作用于系统上的全部折算到该构件上得到等效质量;A.全部外力B.质量C.转动惯量D.全部内力答案:CB9.机械系统运转的全过程可分为这几个阶段;A.急停阶段B.启动阶段C.稳定运转阶段D、停车阶段答案:BCD10.计算轴的横向振动固有频率时,建立有限元模型的步骤是 ;A.划分单元,建立广义坐标B.单元动力学矩阵的计算C.系统动力学矩阵的组集D.支承条件的处理答案:ABCD11.根据惯性载荷造成的危害,机构的平衡可分为以下几种 ;A、机构在机座上的平衡B、机构输入转矩的平衡C、机构滑动副中动压力的平衡D、运动副中动压力的平衡答案:ABD12.以下选项中,以动态静力分析方法为基础计算出来的是 ;A、运动副反力B、平衡力矩C、摆动力矩D、摆动力答案:ABCD13.在动力分析中,主要涉及的力是 ;A、驱动力B、重力C、摩擦力D、生产阻力答案:AD14.以下选项中,可归为阻尼的有 ;A、物体的内力B、物体表面间的摩擦力C、周围介质的阻力D、材料的内摩擦答案:BCD4、填空1.从惯性载荷被平衡的程度看,平衡可分为、和;答案:部分平衡、完全平衡、优化综合平衡2.用质量再分配实现摆动力的完全平衡,其分析方法主要有、、和;答案:广义质量代换、线性独立矢量法、质量矩替代法、有限位置法3.针对机构运转中产生的惯性载荷所造成的三种危害,机构的平衡可分为、和;答案:机构在机座上的平衡、机构输入转矩的平衡、运动副中动压力的平衡4.机械动力学的分析方法按功能分类可分为和;答案:动力学反问题、动力学正问题5.机械系统运转的全过程可分为、和这几个阶段答案: 启动阶段和、稳定运转阶段、停车阶段6.二自由度系统的等效转动惯量是系统的时间、、和的函数;答案: 惯性参数、几何参数、广义坐标7.动力学的分析方法按水平分类,可分为静力分析、、和弹性动力分析;答案:动态静力分析、动力分析8.机器人动力学是机器人、和的基础;答案:、操作机设计、控制器设计、动态性能分析9.实现摆动力完全平衡的方法有、和;答案:加配重、合理布置机构、设置附加机构10. 在建立各种机构和机械系统的动力学模型时应遵循的原则为：将连续系统简化为离散系统、和;答案:非线性系统的线性化、忽略次要因素5. 问答与计算题1、“机械动力学”主要研究哪些内容答案: 机械动力学是研究机械在力的作用下的运动和机械在运动中产生的力,并从力与运动的相互作用的角度进行机械设计和改进的科学;动力学主要研究内容概括起来有：共振分析；振动分析与动载荷计算；计算机与现代测试技术的运用；减震与隔振;2、在弹性运动假设下,有哪些弹性动力学建模方法及特点请解释“瞬时刚化”的概念答案:1弹性动力学模型有集中参数模型和有限元模型;集中参数模型建立起的运动方程为常微分方程,但是由于质量简化过多,模型粗糙,精度比较差；有限元建立的运动方程也为常微分方程,但相较集中参数模型精确,适应性广,可以模拟复杂形状的构件,运算模型统一; 2瞬时刚化：机构在运动到循环中的某一位置时,可将机构的形状和作用在其上的载荷瞬时冻结起来,从而可瞬时的将机构看做一个刚体结构;3、 机构动态静力分析主要研究哪些内容此分析在机器设计中是为了解决什么问题答案: 1根据达朗贝尔原理,将惯性力和惯性力矩计入静力平衡方程,求出为平衡静载荷和 动载荷而需要加在原动构件上施加的力或力矩,以及各运动副中的反作用力;这就是动态静力分析;2机构动态静力分析的基本步骤是：首先将所有的外力、外力矩包括惯性力和惯性力矩以及待求的平衡力和平衡力矩加到机构的相应构件上；然后将各构件逐一从机构中分离并加上约束反力后、写出一系列平衡方程式；最后通过联立求解这些平衡方程式,求出各运动副中的约束反力和需加于机构上的平衡力或平衡力矩;4、 在振动分析时,“叠加原理”是指什么答案: 线性系统受多个激励的作用时,总的响应等于各个激励产生的响应的叠加,这就是叠 加原理;5、 简述在刚性运动前提下,如何进行运动构件的真实运动分析求解,请列出步骤答案: 首先建立等效力学模型,将复杂的机械系统简化为一个构件,即等效构件,根据质点系动能定理,将作用于机械系统上的所有外力和外力矩、所有构件的质量和转动惯量,都向等效构件转化；其次计算等效构件上的等效量包括等效力矩,等效力,等效质量,等效转动惯量；再次建立等效构件的运动方程式,有两种形式,能量形式和力矩形式；最后通过方程式求出等效构件的角速度函数和角加速度函数,这样便可以求出机械系统的真实运动规律;6、 在振动分析时,“解耦”是指什么答案:解耦：将二自由度系统的两个振动方程经过一定的处理,使每个方程只含有一个广义坐标,这个过程就是方程的解耦;7、如图1所示为一对心曲柄滑块机构;曲柄以转速度1ω作等速回转运动,曲柄与水平方向夹角为1θ,曲柄长度为r ,质心与其回转中心A 重合;连杆长度l ,连杆与水平方向夹角为2θ,连杆质心2S 到铰链B 的距离2B L S =,连杆质量2m ,对其质心的转动惯量2J ;滑块质量3m ,其质心与铰链C 重合;1画出曲柄、连杆和滑块的受力分析图；2写出曲柄、连杆和滑块的平衡方程;图1对心曲柄滑块机构解：1各个构件的受力图如下所示： 曲柄连杆滑块各5分,共15分2根据受力图可以得到曲柄平衡方程如下： 各个构件的平衡方程分别为5分,共15分RB RA 1RBd F F 0P F M 0⎧-=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 化为标量式为：RBX RAX RBy RAy B F F 0F F 0x 0RByB RBx d F y F M ⎧-=⎪-=⎨⎪-+=⎩其中：11x cos ,sin B B r y r θθ==根据受力图可以得到连杆平衡方程如下：RC RB 222222F F m RC RB S P F q F J θ⎧-=⎪⎨⨯-⨯=⎪⎩ 化为标量式为：222222RCx RBx 2RCy RBy 222F F F F ()()()()s s c s RCy c s RCx B s RBy B s RBx m x m y x x F y y F x x F y y F J θ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪-----+-=⎪⎩ 其中：221212x cos cos ,sin sin s s r L y r L θθθθ=+=-12c x cos cos y 0c r l θθ=+=，根据受力图可以得到滑块平衡方程如下：RC 33F m S -=化为标量式为：33RCx 33F 0s RDyRCy s m x F F m y -=⎧⎪⎨-==⎪⎩ 其中：3312x cos cos ,0s c s c x r l y y θθ==+==。
机械振动运动学3两自由度系统振动2
图3.7系统的主振型
根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos
k m k m
t 0.8cos1.581
k m k m
t
x 2 0.4cos
3.2.4 振动特性的讨论 （1）运动规律
t 0.4cos1.581
t
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。 （2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任 何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
为第一主振型，即对应于频率
的振幅比；
为第二主振型，即对应于频率
振幅
的振幅比。
与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。
振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
磨床磨头系统就可以简化为图3.1
（d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。 两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动力学模型
机械振动第1章：振动理论基础
期T. 解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量 为l，则
mg kl 0
k
T F2
m
RJ o
m
aT
mg
x
当m有位移x时
mg T ma
T k(l x)R J a
R 联立得
kx
m
J R2
a
d 2 x
k
dt 2 m J
R2
x0
RJ k
T F2
m
aT
o
m
mg
x
物体作简谐振动
m
O
y
光滑斜面上的谐振子 X
k 0
m
简谐振动的速度、加速度
速度 dx dt Asin(t )
Acos( t 2)
(t ) m cos( t )
速度也是简谐振动 比x领先/2
加速度 a d 2 x dt 2 2 Acos( t )
a(t ) am cos( t a ) 也是简谐振动
(3). 描述简谐振动的特征量---周期、振幅、相位
a、周期T----物体完成一次全振动所需时间。
频率 1 T 物体在单位时间内完成振动的次数。
角频率
2 2 对弹簧振子：
T
T 2 m
k
1 2
2 k m
k m
o
T t
b. 振幅 A 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
c. 相位 t+ 决定振动物体的运动状态
d2x m kx
dt 2
l0
两端除以质量m，并设
2 n
k m
移项后得:
d2x dt 2
2 n
x
0
st O
机械振动的概念
第一章绪论1-1 机械振动的概念振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。
如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。
振动在大多数情况下是有害的。
由于振动，影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。
此外，由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。
但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程，如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。
这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用。
研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防止与限制其危害，同时发挥其有益作用。
任何机器或结构物，由于具有弹性与质量，都可能发生振动。
研究振动问题时，通常把振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。
实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。
为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。
振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。
其中质量（包括转动惯量）只具有惯性；弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。
连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。
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上作用有弹性恢复力。力的作用方向如图3.2所示。应用牛
顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式为：
令 则： 上式为一个二阶常系数线性齐次微分方程组。
【例3-2】图3.3所示的两个自由度的振动系统，两物块质量各为 和 ，质量 与一端固定的刚度系数为 的弹簧连接，质
量 用刚度系数为 的弹簧与 连接。物块可以在水平方向运 动，摩擦等阻力都忽略不计。
3.2 两个自由度系统的自由振动
1. 系统的运动微分方程
【例3-1】设弹簧的刚度分别为 k1 和 k2，其质量为m1 、m2 。质量的位 移分别用x1和x2来表述，并以静平衡位 置为坐标原点，以向下为正方向。
【解】在振动的任一瞬间 t， 和 的位移分别为 及 。
在质量 上作用有弹性恢复力 及
，在质量
图3.7系统的主振型 根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
k
k
x1 0.4cos
t 0.8cos1.581
t
m
m
k
k
x 0.4cos
2
t 0.4cos1.581
t
m
m
3.2.4 振动特性的讨论
（1）运动规律
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。
第3章 两自由度系统振动
赠言
赠言
前事之不忘，后事之师。 《战国策 · 赵策》
欲穷千里目，更上一层楼。 王之涣《登鹳雀楼》
3.1概述
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的 基础，本章将讨论两个自由度系统的振动。
两自由度系统是指用两个独立坐标描述系统任意瞬时其几 何位置的振动系统。两自由度系统具有两个固有频率，并进行 振动。
分别取一阶、二阶导数可得：
整理后得：
上式是关于 、 的线性齐次代数方程组。要使 、 有非空解，则上式的系数行列式必须等于零，即：
将上式展开，得： 解方程，进一步可得如下的两个根：
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的 特征方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率，这两 个固有频率只与振动系统的质量和刚度等参数有关， 而与振动的初始条件无关。
例如，石油载重卡车的车身相对重心的振动；图3-1
（a）所示车床刀架系统、 （b）车床两顶尖间的工件系统、 （c）磨床主轴及砂轮架系统。 磨床磨头系统就可以简化为图3.1 （d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。
两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动型
图3.3两自由度振动系统
【解】现建立系统的振动微分方程。选取两物块的平衡位 置 ， 分别为坐标原点，取两物块离平衡位置的位移 和
为系统的坐标。当振动系统发生运动时，两物块的运动 微分方程可列出:
整理后得:
令
方程组可改写为:
上式为两自由度系统振动的微分方程。 图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中包 含 项，第二个方程中则包含 项，统称为“耦合项”。
【例3－4】标准m-k-c系统中，设 ＝m, ＝2m, ＝ ＝k, ＝2k, 求图3.6所示系统的固有频率和固有振型。
设初始条件为
图
3.6
两
自
由
试求系统的响应。
度
振
动
系
统
【解】:该振动系统的运动微分方程式为 令 解出
2k
k
k
3k
a , b , c , d
m
m
2m
2m
可作出如图3.7所示的主振型图。进一步可看出节点。
，这是对应于质心不动而绕质心转动的固有振型。
3.系统对初始条件的响应
根据微分方程的理论，两阶主振动是微分方程组的两 组特解。而它的通解则应由这两组特解相叠加组成。从振 动的实际考虑，两自由度系统受到任意的初干扰时，机械 振动系统的各阶主振动都要激发。故出现的自由振动应是 这些简谐振动的合成。
因此，在一般的初干扰下，振动系统的响应是：
（2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任
何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
（3）节点和节面 主振型的阶数越高，节点数也就越多。概括起来，第i
阶主振型有 i 1个节点。 （4）阻尼
如果机械振动系统存在阻尼，则阻尼影响多自由度系 统和影响单自由度系统是相似的。由于在工程结构中阻尼 较小，故可忽略不计。
以上表明，质量 同不仅受到弹簧 的恢复力的作用， 而且受到弹簧 的恢复力的作用； 只受一个弹簧 恢复 力的作用，还受到第一质点 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
2. 固有频率和主振型 设在机械振动时，两个质量按同样的频率和相
位角作简谐振动的方程组（3.2）式的特解为：
方向相
细杆的质心坐标为
细杆绕质心C的微小转角
列出细杆的平面运动微分方程
两式可整理得 其中
设方程组的解为 将上式消去sinωt
若要A，B有非零解，必须有
其中， ， 是此振动系统的两个固有频率。
当
时，为使式中两个方程组都满足，应有
，
这是对应于直杆上下平动的固有振型；
当
时，为使式中两个方程组都满足，应有
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
3.2.5 主振型的正交性
将所求得的 和
代入（3.7）式中可得：
为第一主振型，即对应于频率 的振幅比； 为第二主振型，即对应于频率 的振幅比。 振幅 与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。 振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
图3.5均质细杆振动系统 【解】以平衡位置为原点，只考虑铅垂方向位移，分别以弹 簧的两个支点的位移 和 为系统的两个坐标，如图3.5所 示。
在任意位置处细杆受到的两个恢复力与位移 反，大小为