机械振动运动学3两自由度系统振动2
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3章 两自由度系统振动
赠言
赠言
前事之不忘，后事之师。 《战国策 · 赵策》
欲穷千里目，更上一层楼。 王之涣《登鹳雀楼》
3.1概述
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的 基础，本章将讨论两个自由度系统的振动。
两自由度系统是指用两个独立坐标描述系统任意瞬时其几 何位置的振动系统。两自由度系统具有两个固有频率，并进行 振动。
3.2.5 主振型的正交性
分别取一阶、二阶导数可得：
整理后得：
上式是关于 、 的线性齐次代数方程组。要使 、 有非空解，则上式的系数行列式必须等于零，即：
将上式展开，得： 解方程，进一步可得如下的两个根：
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的 特征方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率，这两 个固有频率只与振动系统的质量和刚度等参数有关， 而与振动的初始条件无关。
例如，石油载重卡车的车身相对重心的振动；图3-1
Байду номын сангаас
（a）所示车床刀架系统、 （b）车床两顶尖间的工件系统、 （c）磨床主轴及砂轮架系统。 磨床磨头系统就可以简化为图3.1 （d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。
两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动力学模型
续 两自由度振动系统及其动力学模型
上作用有弹性恢复力。力的作用方向如图3.2所示。应用牛
顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式为：
令 则： 上式为一个二阶常系数线性齐次微分方程组。
【例3-2】图3.3所示的两个自由度的振动系统，两物块质量各为 和 ，质量 与一端固定的刚度系数为 的弹簧连接，质
量 用刚度系数为 的弹簧与 连接。物块可以在水平方向运 动，摩擦等阻力都忽略不计。
（2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任
何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
（3）节点和节面 主振型的阶数越高，节点数也就越多。概括起来，第i
阶主振型有 i 1个节点。 （4）阻尼
如果机械振动系统存在阻尼，则阻尼影响多自由度系 统和影响单自由度系统是相似的。由于在工程结构中阻尼 较小，故可忽略不计。
将所求得的 和
代入（3.7）式中可得：
为第一主振型，即对应于频率 的振幅比； 为第二主振型，即对应于频率 的振幅比。 振幅 与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。 振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
3.2 两个自由度系统的自由振动
1. 系统的运动微分方程
【例3-1】设弹簧的刚度分别为 k1 和 k2，其质量为m1 、m2 。质量的位 移分别用x1和x2来表述，并以静平衡位 置为坐标原点，以向下为正方向。
【解】在振动的任一瞬间 t， 和 的位移分别为 及 。
在质量 上作用有弹性恢复力 及
，在质量
方向相
细杆的质心坐标为
细杆绕质心C的微小转角
列出细杆的平面运动微分方程
两式可整理得 其中
设方程组的解为 将上式消去sinωt
若要A，B有非零解，必须有
其中， ， 是此振动系统的两个固有频率。
当
时，为使式中两个方程组都满足，应有
，
这是对应于直杆上下平动的固有振型；
当
时，为使式中两个方程组都满足，应有
以上表明，质量 同不仅受到弹簧 的恢复力的作用， 而且受到弹簧 的恢复力的作用； 只受一个弹簧 恢复 力的作用，还受到第一质点 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
2. 固有频率和主振型 设在机械振动时，两个质量按同样的频率和相
位角作简谐振动的方程组（3.2）式的特解为：
，这是对应于质心不动而绕质心转动的固有振型。
3.系统对初始条件的响应
根据微分方程的理论，两阶主振动是微分方程组的两 组特解。而它的通解则应由这两组特解相叠加组成。从振 动的实际考虑，两自由度系统受到任意的初干扰时，机械 振动系统的各阶主振动都要激发。故出现的自由振动应是 这些简谐振动的合成。
因此，在一般的初干扰下，振动系统的响应是：
图3.3两自由度振动系统
【解】现建立系统的振动微分方程。选取两物块的平衡位 置 ， 分别为坐标原点，取两物块离平衡位置的位移 和
为系统的坐标。当振动系统发生运动时，两物块的运动 微分方程可列出:
整理后得:
令
方程组可改写为:
上式为两自由度系统振动的微分方程。 图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中包 含 项，第二个方程中则包含 项，统称为“耦合项”。
【例3－4】标准m-k-c系统中，设 ＝m, ＝2m, ＝ ＝k, ＝2k, 求图3.6所示系统的固有频率和固有振型。
设初始条件为
图
3.6
两
自
由
试求系统的响应。
度
振
动
系
统
【解】:该振动系统的运动微分方程式为 令 解出
2k
k
k
3k
a , b , c , d
m
m
2m
2m
可作出如图3.7所示的主振型图。进一步可看出节点。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
图3.5均质细杆振动系统 【解】以平衡位置为原点，只考虑铅垂方向位移，分别以弹 簧的两个支点的位移 和 为系统的两个坐标，如图3.5所 示。
在任意位置处细杆受到的两个恢复力与位移 反，大小为
图3.7系统的主振型 根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
k
k
x1 0.4cos
t 0.8cos1.581
t
m
m
k
k
x 0.4cos
2
t 0.4cos1.581
t
m
m
3.2.4 振动特性的讨论
（1）运动规律
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。
赠言
赠言
前事之不忘，后事之师。 《战国策 · 赵策》
欲穷千里目，更上一层楼。 王之涣《登鹳雀楼》
3.1概述
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的 基础，本章将讨论两个自由度系统的振动。
两自由度系统是指用两个独立坐标描述系统任意瞬时其几 何位置的振动系统。两自由度系统具有两个固有频率，并进行 振动。
3.2.5 主振型的正交性
分别取一阶、二阶导数可得：
整理后得：
上式是关于 、 的线性齐次代数方程组。要使 、 有非空解，则上式的系数行列式必须等于零，即：
将上式展开，得： 解方程，进一步可得如下的两个根：
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的 特征方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率，这两 个固有频率只与振动系统的质量和刚度等参数有关， 而与振动的初始条件无关。
例如，石油载重卡车的车身相对重心的振动；图3-1
Байду номын сангаас
（a）所示车床刀架系统、 （b）车床两顶尖间的工件系统、 （c）磨床主轴及砂轮架系统。 磨床磨头系统就可以简化为图3.1 （d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。
两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动力学模型
续 两自由度振动系统及其动力学模型
上作用有弹性恢复力。力的作用方向如图3.2所示。应用牛
顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式为：
令 则： 上式为一个二阶常系数线性齐次微分方程组。
【例3-2】图3.3所示的两个自由度的振动系统，两物块质量各为 和 ，质量 与一端固定的刚度系数为 的弹簧连接，质
量 用刚度系数为 的弹簧与 连接。物块可以在水平方向运 动，摩擦等阻力都忽略不计。
（2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任
何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
（3）节点和节面 主振型的阶数越高，节点数也就越多。概括起来，第i
阶主振型有 i 1个节点。 （4）阻尼
如果机械振动系统存在阻尼，则阻尼影响多自由度系 统和影响单自由度系统是相似的。由于在工程结构中阻尼 较小，故可忽略不计。
将所求得的 和
代入（3.7）式中可得：
为第一主振型，即对应于频率 的振幅比； 为第二主振型，即对应于频率 的振幅比。 振幅 与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。 振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
3.2 两个自由度系统的自由振动
1. 系统的运动微分方程
【例3-1】设弹簧的刚度分别为 k1 和 k2，其质量为m1 、m2 。质量的位 移分别用x1和x2来表述，并以静平衡位 置为坐标原点，以向下为正方向。
【解】在振动的任一瞬间 t， 和 的位移分别为 及 。
在质量 上作用有弹性恢复力 及
，在质量
方向相
细杆的质心坐标为
细杆绕质心C的微小转角
列出细杆的平面运动微分方程
两式可整理得 其中
设方程组的解为 将上式消去sinωt
若要A，B有非零解，必须有
其中， ， 是此振动系统的两个固有频率。
当
时，为使式中两个方程组都满足，应有
，
这是对应于直杆上下平动的固有振型；
当
时，为使式中两个方程组都满足，应有
以上表明，质量 同不仅受到弹簧 的恢复力的作用， 而且受到弹簧 的恢复力的作用； 只受一个弹簧 恢复 力的作用，还受到第一质点 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
2. 固有频率和主振型 设在机械振动时，两个质量按同样的频率和相
位角作简谐振动的方程组（3.2）式的特解为：
，这是对应于质心不动而绕质心转动的固有振型。
3.系统对初始条件的响应
根据微分方程的理论，两阶主振动是微分方程组的两 组特解。而它的通解则应由这两组特解相叠加组成。从振 动的实际考虑，两自由度系统受到任意的初干扰时，机械 振动系统的各阶主振动都要激发。故出现的自由振动应是 这些简谐振动的合成。
因此，在一般的初干扰下，振动系统的响应是：
图3.3两自由度振动系统
【解】现建立系统的振动微分方程。选取两物块的平衡位 置 ， 分别为坐标原点，取两物块离平衡位置的位移 和
为系统的坐标。当振动系统发生运动时，两物块的运动 微分方程可列出:
整理后得:
令
方程组可改写为:
上式为两自由度系统振动的微分方程。 图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中包 含 项，第二个方程中则包含 项，统称为“耦合项”。
【例3－4】标准m-k-c系统中，设 ＝m, ＝2m, ＝ ＝k, ＝2k, 求图3.6所示系统的固有频率和固有振型。
设初始条件为
图
3.6
两
自
由
试求系统的响应。
度
振
动
系
统
【解】:该振动系统的运动微分方程式为 令 解出
2k
k
k
3k
a , b , c , d
m
m
2m
2m
可作出如图3.7所示的主振型图。进一步可看出节点。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
图3.5均质细杆振动系统 【解】以平衡位置为原点，只考虑铅垂方向位移，分别以弹 簧的两个支点的位移 和 为系统的两个坐标，如图3.5所 示。
在任意位置处细杆受到的两个恢复力与位移 反，大小为
图3.7系统的主振型 根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
k
k
x1 0.4cos
t 0.8cos1.581
t
m
m
k
k
x 0.4cos
2
t 0.4cos1.581
t
m
m
3.2.4 振动特性的讨论
（1）运动规律
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。