2019-2020年福建省福州市高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-精华版

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福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题

2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z i +=，则z =( ) A. 5 B. 3 C. D. 22.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( )A. 0R α∃∈，0tan 1α<B. 0R α∃∈，0tan 1α≤C. R α∀∈，tan 1α<D. R α∀∈，tan 1α≤3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( ) A. 14y x =± B. 12y x =± C. 2y x =± D. 4y x =± 4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数()sin 2x f x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x- B.2cos 2sin 2x x x x + C. 22cos 2sin 2x x x x - D. 22cos 2sin 2x x x x + 6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB./h C. /h D. 60/km h7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A. )1,0B. )1,0C. )1,0D. ()4,08.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(1-⋃ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( )A. 是团员，且体育成绩达标B. 是团员，且体育成绩不达标C. 不是团员，且体育成绩达标D. 不是团员，且体育成绩不达标10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( )A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r D. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等 11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12.已知椭圆C ：22142x y +=左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒ 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.曲线()x f x e x =-在点()()0,0f 处切线方程为______.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r 为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且12PF =，则M 的离心率为______.16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈.(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围.18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过点)A，()0,1B . (1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.19.已知函数()321323mx mx x f x =--+3x =处有极小值.(1)求实数m 的值；的(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值.20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得PB(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：11ln 0x e x x -+>.。

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的是
A．四边形 AF1BF2 为平行四边形
B． F1PF2 ＜90
C．直线 BE 的斜率为 1 k 2
D． PAB ＞90
第Ⅱ卷
注意事项：
用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13. 曲线 f x ex x 在点 0, f 0 处的切线方程为
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知函数 f x sin 2x ，则 f x
x A． x cos 2x sin 2x
x2 C． 2x cos 2x sin 2x
x2
B． x cos 2x sin 2x x2
D．
2x
cos
2x x2
sin
2x
高二数学试题（第1页共4页）
为
．
16. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑
P ABC 中， PA 平面 ABC ， ACB 90 ， AC 4, P PA 2 ，D 为 AB 中点，E 为 △PAC 内的动点（含边界），
且 PC DE ．①当 E 在 AC 上时，AE
；②点 E
垂线与线段 DF 的垂直平分线交于点 M ，记 M 的轨迹为 C ．
（1）求 C 的方程；
（2）若过 F 的直线与曲线 C 交于 P,Q 两点，直线 OP,OQ 与直线 x 1分别交于 A , B
两点，试判断以 AB 为直径的圆是否经过定点?若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 22. （本小题满分 12 分）
C． 5
D．2
B． 0 R , tan0 ≤1 D． R, tan ≤1

2019-2020年福建省福州市高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科) (含解析)

2019-2020学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或52．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β3．已知实数m是2，8的等比中项，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．f（x）=cosx﹣sinx在下列哪个区间上是单调递减的（）A．B．[﹣π，0] C．[0，π] D．5．已知函数f（x）=x+e x，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx﹣1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．167．对任意的实数a、b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x ≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）C．y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数D．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为28．直线y=2x+m和圆x2+y2=1交于点A，B，以x轴的正方向为始边，OA为终边（O是坐标原点）的角为α，OB为终边的角为β，若|AB|=，那么sin（α﹣β）的值是（）A．B．C．D．9．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn﹣1=n，则S2015的值为（）A．2015 B．2013 C．1008 D．100710．若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣6，2] B．（﹣6，2）C．[﹣3，1] D．（﹣3，1）11．设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，1212．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k= ．14．以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是．15．曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是．16．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知函数f （x ）=|x ﹣1|，g （x ）=﹣x 2+6x ﹣5．（1）若g （x ）≥f （x ），求实数x 的取值范围；（2）求g （x ）﹣f （x ）的最大值．18．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量=，=，已知与共线．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，，且△ABC 的面积小于3，求角B 的取值范围．19．已知四棱锥P ﹣ABCD 中PA ⊥平面ABCD ，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（1）求证：MQ ∥平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小；（3）求点A 到平面MCN 的距离．20．已知正项等比数列{a n }（n ∈N *），首项a 1=3，前n 项和为S n ，且S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{nS n }的前n 项和T n ．21．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2，其中x ∈R ，a 为参数（1）记函数g （x ）=f′（x ）+lnx ，讨论函数g （x ）的单调性；（2）若曲线y=f （x ）与x 轴正半轴有交点且交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证：对于任意的正实数x ，都有f （x ）≥g （x ）．22．如图，已知直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于M ，N 两点，点D 的坐标为，OD ⊥MN 交MN 于点D ，OM ⊥ON ，抛物线的焦点为F ．（1）求p 的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 相交于点A ，B ，l 2与曲线C 相交于点D ，E ，求•的最小值．2019-2020学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或5【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．【解答】解：由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3．则m的值是：3或5．故选：D．2．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由线面平行的判定方法，我们可以判断A的真假；根据直线与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断B的真假；根据线面垂直的判定定理，我们可以判断C的真假；根据空间平面与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断D的真假．进而得到答案．【解答】解：A中，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，故A错误；B中，若l上有两个点到α的距离相等，则l与α平行或相交，故B错误；C中，若l⊥α，l∥β，则存在直线a⊂β，使a∥l，则a⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故C正确；D中，若α⊥β，α⊥γ，则γ与β可能平行也可能相交，故D错误；故选C3．已知实数m是2，8的等比中项，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【分析】根据实数m为2和8的等比中项，由等比数列的性质得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把m的值代入双曲线方程后，找出双曲线的a与b的值，根据双曲线的简单性质求出c的值，然后根据离心率的公式即可求出原双曲线的离心率．【解答】解：由实数m是2，8的等比中项，得到m2=2×8=16，解得：m=4或m=﹣4（不合题意，舍去），则双曲线方程中的a=1，b=2，则c==，所以双曲线的离心率e==．故选：A4．f（x）=cosx﹣sinx在下列哪个区间上是单调递减的（）A．B．[﹣π，0] C．[0，π] D．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos（x+），解2kπ≤x+≤2kπ+π可得函数的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cosx﹣sinx=（cosx﹣sinx）=cos（x+），由2kπ≤x+≤2kπ+π可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的单调递减区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，当k=0时，函数的一个单调递减区间为[﹣，]，而选项D[0，]⊊[﹣，]，故选：D．5．已知函数f（x）=x+e x，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx﹣1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b【考点】函数零点的判定定理．【分析】由零点的判定定理对a，b所在的区间判定，由方程h（c）=lnc﹣1=0解出c，从而解得．【解答】解：∵f（﹣1）=﹣1+＜0，f（0）=1＞0，∴a∈（﹣1，0）；∵g（）=﹣1＜0，g（1）=1＞0，∴b∈（，1）；∵h（c）=lnc﹣1=0，c=e；∴c＞b＞a；故选：A．6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．16【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B7．对任意的实数a、b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x ≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）C．y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数D．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2【考点】函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的判断．【分析】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．【解答】解：∵f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}，∴f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}的定义域为R ，f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F （x ）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A 不正确y=F （x ）有极大值F （﹣1）且有极小值F （0）；故B 正确y=F （x ）在（﹣3，0）上不为单调函数；故C 不正确y=F （x ）的没有最小值和最大值，故D 不正确故选B ．8．直线y=2x+m 和圆x 2+y 2=1交于点A ，B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若|AB|=，那么sin （α﹣β）的值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】由题意根据，OA=OB=1，可得∠AOB=，从而求得sin （α﹣β）=sin （±）的值．【解答】解：直线y=2x+m 和圆x 2+y 2=1交于点A ，B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若，∵OA=OB=1，∴∠AOB=，那么sin （α﹣β）=sin （±）=±，故选：D ．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，当n ≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，则S 2015的值为（）A ．2015B ．2013C ．1008D ．1007【考点】数列递推式．【分析】根据a n +2S n ﹣1=n 得到递推关系a n+1+a n =1，n ≥2，从而得到当n 是奇数时，a n =1，n 是偶数时，a n =0，即可得到结论．【解答】解：∵当n ≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，∴a n+1+2S n =n+1，两式相减得：a n+1+2S n ﹣（a n +2S n ﹣1）=n+1﹣n ，即a n+1+a n =1，n ≥2，当n=2时，a 2+2a 1=2，解得a 2=2﹣2a 1=0，满足a n+1+a n =1，则当n 是奇数时，a n =1，当n 是偶数时，a n =0，则S 2015=1008，故选：C10．若x ，y 满足约束条件，目标函数z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（）A ．[﹣6，2]B ．（﹣6，2）C ．[﹣3，1]D ．（﹣3，1）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可．【解答】解：作出可行域如图所示，将z=ax+2y 化成y=﹣+，当﹣1＜﹣＜3时，y=﹣x+仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数z=ax+2y 仅在点A （1，0）处取得最小值，解得﹣6＜a ＜2．故选：B11．设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】圆外一点P到圆上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|﹣r，其中C为圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点P与两圆心M，N，直线PM，PN与两圆各交于两处取得最值，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN|﹣两圆半径之和．【解答】解：∵两圆圆心F1（﹣4，0），F2（4，0）恰好是椭圆+=1的焦点，∴|PF1|+|PF2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，∴（|PM|+|PN|）min =|PF1|+|PF2|﹣2r=10﹣2=8．（|PM|+|PN|）max =|PF1|+|PF2|+2r=10+2=12．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k= 1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a 与b 的值，然后根据a 2=b 2+c 2，表示出c ，并根据焦点坐标求出c 的值，两者相等即可列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x 2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y 轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．14．以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11，乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，由此利用列举法能求出这两名同学的植树总棵数为19的概率．【解答】解：记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11，乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是（A 1，B 1）（A 1，B 2）（A 1，B 3）（A 1，B 4）（A 2，B 1）（A 2，B 2）（A 2，B 3）（A 2，B 4）（A 3，B 1）（A 3，B 2）（A 3，B 3）（A 3，B 4）（A 4，B 1）（A 4，B 2）（A 4，B 3）（A 4，B 4）．设选出的两名同学的植树总棵数为19为事件C ，则C 中的结果有4个，它们是（A 1，B 4）（A 2，B 4）（A 3，B 2）（A 4，B 2），故所求概率为．故答案为：．15．曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线围成的封闭图形的面积是﹣．【考点】正弦函数的图象．【分析】先确定积分区间，再确定被积函数，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=围成的封闭图形的面积．【解答】解：令sinx=（0≤x ≤π），则x ∈[，]，∴曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线y=围成的封闭图形的面积是（sinx﹣）=（﹣cosx﹣）=（﹣cos﹣）﹣（﹣cos﹣）=﹣．故答案：．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴=∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2A B•ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=设△ABC外接圆的半径为R，则，∴R=1∴外接球的半径为=∴球的表面积等于4π×=8π故答案为：8π三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）去掉f（x）的绝对值，由g（x）≥f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，求出即可．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x+5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．18．设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量=，=，已知与共线．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，，且△ABC的面积小于3，求角B的取值范围．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角A的大小；（Ⅱ）通过a=2，，且△ABC的面积小于3，得到B的余弦值的范围，然后求角B的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为∥，则，即、所以，即，即、A是锐角，则，所以、（Ⅱ）因为a=2，，则====、由已知，，即、因为B是锐角，所以，即，C是锐角，所以B＞，故角B的取值范围是（，）19．已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：MQ∥平面PCB；（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；（3）求点A到平面MCN的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；对于（3）求点A到平面MCN的距离，求出平面上任一点与A连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙．几何法：（1）求证MQ∥平面PCB，用线面平行的判定定理证明即可；（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值．（3）求点A到平面MCN的距离，须先作出点A在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可．【解答】解：法一向量法：以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O﹣xyz，由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，可得：，∴，设平面的PBC的法向量为，则有：令z=1，则，∴，又MQ⊄平面PCB，∴MQ∥平面PCB；（2）设平面的MCN的法向量为，又则有：令z=1，则，又为平面ABCD的法向量，∴，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为，（3）∵，∴所求的距离；法二，几何法：（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，依题有Q为EP的中点，所以MQ∥ED，所以MQ ∥CN，又MQ⊄平面PCB，CN⊊平面PCB，∴MQ∥平面PCB（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，则由三垂线定理可知QF⊥MN，由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，，所以：，所以：；（3）因为EP的中点为Q，且平面MCN与PA交于点Q，所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍，由（2）知：MN ⊥平面QEF ，则平面MCNQ ⊥平面QEF 且交线为QF ，作EH ⊥QF ，垂足为H ，则EH ⊥平面MCNQ ，故EH 即为点E 到平面MCN 的距离．．20．已知正项等比数列{a n }（n ∈N *），首项a 1=3，前n 项和为S n ，且S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{nS n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的前n 项和．【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和的意义即可得出；（2）利用等差数列和等比数列的前n 项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n }（n ∈N *），又a 1=3，∴，∵S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列， ∴2（S 5+a 5）=（S 3+a 3）+（S 4+a 4），即2（a 1+a 2+a 3+a 4+2a 5）=（a 1+a 2+2a 3）+（a 1+a 2+a 3+2a 4），化简得4a 5=a 3， ∴，化为4q 2=1，解得，∵{a n }（n ∈N *）是单调数列，∴，．（2）由（1）知，，，设，则，两式相减得，∴．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2，其中x∈R，a为参数（1）记函数g（x）=f′（x）+lnx，讨论函数g（x）的单调性；（2）若曲线y=f（x）与x轴正半轴有交点且交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≥g（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（2）求出f（x）点P处的切线方程y=g（x），令h（x）=f（x）﹣g（x），根据函数的单调性求出h（x）≥0即可．【解答】解：（1）函数g（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）=3x2﹣2ax，g（x）=（3x2﹣2ax）+lnx，g′（x）=x+﹣≥2﹣，当a≤6时，则，所以g'（x）≥0，所以函数g（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．当a＞6时，令，则，可知函数g（x）在上单调递增，在单调递减，在上单调递增．证明：（2）令f （x ）=0，则x=0或x=a 若曲线y=f （x ）与x 轴正半轴有交点，则a ＞0且交点坐标为P （a ，0），又f'（x ）=3x 2﹣2ax ，则f'（a ）=a 2，所以曲线在点P 处的切线方程为y=a 2（x ﹣a ），即g （x ）=a 2x ﹣a 3，令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣ax 2﹣a 2x+a 3，在区间（a ，+∞）上单调递减，所以当x=a 时，h （x ）有最小值，所以h （x ）≥0，则f （x ）≥g （x ）．22．如图，已知直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于M ，N 两点，点D 的坐标为，OD ⊥MN 交MN 于点D ，OM ⊥ON ，抛物线的焦点为F ．（1）求p 的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 相交于点A ，B ，l 2与曲线C 相交于点D ，E ，求•的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由OM ⊥ON ，得x 1x 2+y 1y 2=0，由与y 2=2px 消去x ，得，利用韦达定理，即可求p 的值；（2）设出直线l 1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l 2的方程与抛物线的交点坐标，代入•，利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．【解答】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OM ⊥ON ，得x 1x 2+y 1y 2=0 由已知得直线MN 的方程是即，则有，即①由与y 2=2px 消去x ，得②所以③把③代入①得，解得p=2当p=2时方程②成为，显然此方程有实数根所以p=2；（2）由（1）知抛物线方程为y2=4x由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k（x﹣1）．得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x 1+x2=2+，x1x2=1．∵l1⊥l2，∴l2的斜率为﹣．设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．•=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+）≥8+4×2=16．当且仅当k2=，即k=±1时，取最小值16．2016年8月4日。

福建省福州市2019 2020高二上学期期末联考试题数学理Word版含答案

2017-2018 学年第一学期八县（市）一中期末联考高中二科试卷数学（理）年林志成审核教师：命题教师：叶长春命题学校：永泰一中150 分满分： 1 月 31 日完卷时间：120 分钟考试时间：在每小题给出的四个选项中，只有一分．12 小题，每小题 5 分，共 60 一、选择题（本大题．）项符合题目要求 2x2y 1．抛物线）的准线方程为（1111CxyyxDAB... .2288)n1(2,m1,bnm2)(1,3,aba ）2．已知向量（，且 //，，则实数10CDA2B42 ....）3．下列命题错误的是（．．2211xx1x1xA ”的否命题为“若，则”.“若，则 Bqqp,p 若为假命题，则均为假命题；.22RCxRx0xx0 ，，”.命题“”的否定为“20m0xxmD 有实数根”的逆否命题为：.“若方程命题“若，则方程 20m0mxx ”无实数根，则；33yx1yxyx yz2x），则满足约束条件 4. 设，的最大值为（0y97CADB62....2222yx4m12”是“椭圆．“焦距为）”的（ 5m5BA .必要不充分条件 .充分不必要条件CD . 既不充分也不必要条件.充要条件1MAOMBCOANOABCM6 的中点．若上，且．在空间四边形，点中，点为在线段 2）则等于（MNOAOCOBacb，，，111111111CcabcababcBA...232223222111abcD .222．naaaaa{a}S2 的等差中项，且为等比数列，27．已知数列是它的前与项和，若 5q 72nn413 为的值为，则公比 ( ) 411CDB2A2....22BCABCDACBDE 的8．如图所示，在正方体中，点是棱 GBEDBDG 所成的角为中点，点与是棱的中点，则异面直线）（CBA90°60°120°...D 30°.22yxBA，Cl0,b:1a0C9两点，且交于．已知过双曲线焦点的直线与双曲线则双曲线）的离心率为（的直线 106CBDA22ba a3ABlC3 恰好有使条， 3....222111 *a1aa1naNn，则．数列，对任意的满足都有 10aaa n1n1n01120()99100198200CDBA....10010110010122yxB、A、BA1xyP 已知椭圆．两点，与椭圆交于，直线的点，是椭圆上异于 1124kkPBPA ） =（且直线、的斜率存在，则PBPA11AC2BD2．.．.2222yxCF,F)01C:(a,b0 的右支，设双曲线 12．的左、右焦点分别为若在双曲线2122baaGFFPFPFMP，且满足上存在点，使得，的内切圆半径为，记圆心为的重心为2112CFFMG// ，则双曲线的渐近线方程为( )21Cxyyx3xy2xy2DAB....二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）20a2xRx,ax_________的取值范围为 a”是假命题，则实数．命题“13．22xy)b01(a0,xy314，它的一个焦点与抛的一条渐近线方程是．已知双曲线 22ba2yx8_________________ 物线的焦点重合，则双曲线的方程为 BABCcoscb,aB,Ca,b,c,2A,的最小．在成等比数列，则，且中，角所对的边分别为 15 值为______________BCDABCABCDDBFE1 上的动点，分别为线段．16 在正方体、中，若棱长为点，、1111111 __________则下列结论中正确结论的序号是DBACD ①面；11//CABACD 面；②面 1113ACDF ③点的距离为定值到面； 131DDBBAE. 与面所成角的正弦值为定值④线 113 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）6 三、解答题（本大题小题，共 70 分.（本小题满分 10 分）17．22yx2x10mxp:x9q：方程无实数解，命题轴上的已知命题表示焦点在m4m1 双曲线.qm Ⅰ的取值范围；）若命题为假命题，求实数（ppqqm Ⅱ.（且）若命题“的取值范围或”为真，命题“”为假，求实数)分 18．(本小题满分 12ABCC,A,a,b,cB 的三个内角.已知分别是所对的边 333ABCcb,,CaA,B ，的面积为成等差数列，求的值；（Ⅰ）若，且2accosBbcsinAABC 的形状. ，且（Ⅱ）若，试判断 A 1 19．（本小题满分 12 分） BC11ABCCBABCA 为等腰直角三角形如图所示，在直三棱柱, 中,111DEABAC90D、E、FBCABAACCAB 的中点．分别为,、、且,111BCABCFDE（Ⅰ）求证：；∥平面 FBAE （Ⅱ）求锐二面角的余弦值．1．20．（本小题满分 12 分）2m2,P 已知抛物线．到焦点上一点的距离为 02ppxC:y4FC 的方程；（Ⅰ）求抛物线Ckl1,1 与抛物线有两个公共点时（Ⅱ）设直线经过点的取值范围．，求直线 l分）21．（本小题满分 12 折起，DC 的中点．沿 AMAB＝将△22，ADADM＝2，M 为中，如图所示，在长方形 ABCDBAMD 使得二面角为直二面角. ；⊥（Ⅰ）求证：ADBMAMEBDE所成角的正弦值为，使得直线（Ⅱ）问：在线段 DB 上是否存在一点与平面 302E ，若存在确定点.的位置，若不存在，说明理由15分）22.（本小题满分 12221yxFF,）3，P（CC（b1a0)上，在椭圆右焦点分别为已知椭圆：，点的左、21222ba1PFPF. 满足 214C 的标准方程；（Ⅰ）求椭圆xxC12)x)B(x,y(x),,A(xy(m)n,y)(,y 上，记，（Ⅱ）已知两点，在曲线22121121aamnOOAB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请，若为坐标原点，试探求说明理由.2017-2018 学年第一学期八县（市）一中期末联考高二数学(理科)参考答案分）60 分，共 5 一、选择题（每小题．题号12345678910 11 12A．………………………………………6分1答案 A B BDA CCB DA CD分）二、填空题（每小题 5 分，共 202y721x)(1,0、、①②③16 13、14、1538 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）三、解答题（本大题共 04mq4m1Ⅰ17 ）命题：，得 2 分、解：（ ……………………………0m1q 3 依题意得分为真命题……………………………………………………………………m)4(1,分 …………………………………………………………4 所以，的取值范围为 p66m2Ⅱ 036m ）命题………………………………：（6，得分 qp 必然一真一假…………………………………………………………依题意得 7 与分6m6pq6m46m1 分 8，得若…………………真假，则或 1mm4 或6m6 或 mpq 分，此时无解……………………………………9 若假真，则 41mm)6,1][4,(6 分所以，实数…………………………………………的取值范围为10C2BACA,B, ，…………………………、解：18（Ⅰ）1 成等差数列，分分 ………………………………………………………2 又3313332aaSacsinB ………………………………，解得 4 分BABCABC224722 …………………………………由余弦定理得，6 分=Bbccosa2ac222bac222cabBccosaca ，，（Ⅱ）根据余弦定理，由，得 ac2CABC ………………………………………………是以 10 分的直角三角形， 2aaAcsinbacAsinABC=12 是等腰直角三角形…………分故，， cc1GEC//BBDG//CGDG,AB, 的中点为（Ⅰ）方法一：设:、解 19 ，连接，则 12． DGCE 分为平行四边形…………………………………………………………2∴四边形 GC//DE 分∴………………………………………………………………………………4ABC//ABC面 DE面 ABCGCDE ……………………………6,分面． ∴又 AA、AC、ABAz、y、x 点为原点，分别以为法二：如图，以轴建立空间直角坐标系1)1,0),D(,0,),B1(2,0FEAAAB2(0,2,1),(1,1,0),B,(22,0),0(A0,0 ，则 …,2 分令 11ABC)20,AA(02(1,,0),DE 3……………………………，面分的一个法向量为 1AADE0DEAA ∵………………………………………………………，∴5 分11ABCABC 面 DEDE∥平面又∵，∴)01,EF(1,1,1)AFBF(1,1(,12,) （Ⅱ）,,B1 C 1 10AFBFEF0,BF ∴11D E A AFBFBFEF ∴ ,11G BFAEFAFEFFC ∴ ∵面 1B F)1,1,2BF(AEF 的一个法向量为 8 分…………………………………………∴平面 10z2yAEB0nABAEn0,),zx,yn(. 设平面，则由的法向量为，即110xz2x2)n(2,1,1,yz2 ，则分令…………………………………………9FBn6nBF61,BFcosn 11 分……………………………………………………1 66BnFFnB116FBAE 的余弦值为∴锐二面角 ……………………………………………12 分162 1）抛物线 20、解：（0C:yp2pxpp0,Fx ∴抛物线焦点为分，准线方程为 …………………………………1，22p424pmP2,，∴，解得距离为到焦点， ……………………3 分 ∵点 4F 22Cxy8 …………………………………………………………4 分∴抛物线的方程为1kx1y 5 分方程为： ……………………………………………（2）设直线lk1x1)ky(20k1yy 分由得： …………………………………………782x8y1k1k021k2k0时，直，即时，由，即当 0kk1k41(1)02828分 ……………………………………………11 线与抛物线相交，有两个公共点；2k1，且时，直线与抛物线有两个公共点. ……………………所以，当 12 分 0k 的中点，DC 为 M，2＝AD，22＝AB 中，ABCD 的长方形 1【证明】在图）I（、21．222 1 分 BM∴⊥AM ∴AM＝BM＝2，所以 AM ＋BM…………………………………＝ABAM，BM?平面 ABCM ABCM 在图 2 中，∵平面 ADM⊥平面，平面 ADM∩平面 ABCM＝分BM⊥平面 ADM …………………………………………………………………………3∴ ∴AD⊥BM …………………………………………………………4 分平面∵AD?ADMAMDODO 则 O，连接（II）【解】取 AM 中点 OF//BMOFOF ADM 取 AB 的中点 F，连接，由（，则 I）得⊥平面分－xyz ………………………………………………………6 如图，建立空间直角坐标系 O0) ，，0，，则 A(1，00)，B(－1，2，0)，D(0，01)，M(－1)002,BD,(1,2,1),AM(BDBE 则，设)2,,ABAE2BD(2则 …………………………………………………7 分 n) (x，y 设平面 AME，的一个法向量为 z＝0nAM02x …………………………………8 分则，即 0)y(z2)x(220nAE2222 nz ＝0，………………………9，所以分＝(0，1，) x 取 y＝1，得AMEBD 设直线所成角为与平面2nBD302302 cosBDsin,n 则，即151522nBD2)(6111120201132 ，解得……………………化简得：11 或分（舍） 102302AMEBD E 存在点为 BD 的中点时，使直线分与平面…12 所成角的正弦值为 150),),F(c,0c0F（-c, ，、解：（Ⅰ）设 222111112c3,)（c3,)3（cc3PFPF ……则 1 分，所以2144222aPFPFa2 …………………………………………………=4 因为，所以 2 分212b1 ……………………………………………………………………………………3 分2x2C1y 椭圆的标准方程为……………………………………………………4 分4．mykxxxABAB 直线的方程为：（Ⅱ），的斜率存在，设直线212x2222:1yC048kmx4k(4m1)x与椭圆联立，得： 4222204)1)(64k4mm4(4kCAB 有两个交点，与椭圆直线 22m14k 5 解得：分 ……………………………………………………………………km8xx21214k 6 分由韦达定理得： …………………………………………………244mxx21214kxx2a21)n(ym,(,y) ，，则由（Ⅰ）得2122nm0yxx4y0nm ，由，得，得 221122142mk220)(xx4m(4k1)xx4km …，把韦达定理代入得：8 分得：2211mOdAB ……………………………………………的距离 9 分又原点到直线 2k1m11122x4x)xxxmS(xdAB1k 所以211212OAB2222k1m22m22m4418km22m4k112 为定值…11 分 m()422224k14k124k14k1OAB 的面积为定值1…………………………………………………………12 所以分。

2019-2020学年福建省福州市高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数12iz i +=，则||(z = )AB ．3C ．1D ．2i -2．（5分）命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数sin 2()xf x x=，则()(f x '= ) A ．2cos2sin 2x x xx -B ．2cos2sin 2x x xx +C ．22cos2sin 2x x xx- D ．22cos2sin 2x x xx+ 6．（5分）一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h7．（5分）已知双曲线222:14x y E b-=的左顶点为A ，右焦点为F ．若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF =，则F 的坐标为( )A ．1,0)B ．1,0)C ．1,0)D ．(4,0)8．（5分）已知定义在区间(2,2)-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()f x '是()f x 的导函数，则不等式()01f x x '>+的解集为( )A ．(2,1)-B ．(2-，1)(1--⋃，1)C ．(1,2)D ．(3,1)(0,3)--二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： ①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//AC 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112CE DA DD DC =+- D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等11．（5分）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1aC ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12．（5分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12kD ．90PAB ∠>︒三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）曲线()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程为．14．（5分）已知(1,2,1)n =-为平面α的一个法向量，(2,,1)a λ=-为直线l 的方向向量．若//l α，则λ= ．15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2N y px =的焦点为2F ．若P 为M 与N 的一个公共点，且12||2||PF PF =，则M 的离心率为． 16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥．①当E 在AC 上时，AE = ；②点E 的轨迹的长度为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数(2)(1)()z mi i m R =--∈．（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围．18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点(2,0)A ，(0,1)B ．（1）求E 的方程；（2）过点(1,0)作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积．19．已知函数321()323f x mx mx x =--+在3x =处有极小值．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 在[4-，4]上的最大值和最小值．20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =．（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．21．在直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，D 为直线:1l x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 22．已知函数()(0)f x axlnx a =≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：110x lnxx e-+>．2019-2020学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数12iz i +=，则||(z = )A B ．3C ．1D ．2i -【解答】解：212(12)()2i i i z i i i ++-===--，||z ∴=．故选：A ．2．（5分）命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α”的否定是R α∀∈，tan 1α，故选：D ．3．（5分）双曲线2214y x -=的渐近线方程是( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±【解答】解：由双曲线22221(,0)x y a b a b -=>，可得渐近线方程by x a =±，双曲线2214y x -=的1a =，2b =，可得渐近线方程为2y x =±．故选：D ．4．（5分）实数1a >，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数1a >，12b a b >⇒+>；反之不成立，例如2a =，12b =． 1a ∴>，1b >是2a b +>的充分不必要条件．故选：A ．5．（5分）已知函数sin 2()xf x x=，则()(f x '= ) A ．2cos2sin 2x x xx - B ．2cos2sin 2x x xx + C ．22cos2sin 2x x xx -D ．22cos2sin 2x x xx +【解答】解：根据题意，sin 2()xf x x=，则22(sin 2)sin 2()2cos2sin 2()x x x x x x xf x x x '-'-'==；故选：C ．6．（5分）一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h【解答】解：一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，航行的总费用：3210012700027000()(540)100100F x x x x x x x=++=+++，因为2232700027000270002700010031002800x x x x x x++++=．当且仅当227000x x=即30/x km h =时，总费用最低．故选：A ．7．（5分）已知双曲线222:14x y E b-=的左顶点为A ，右焦点为F ．若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF =，则F 的坐标为( )A ．1,0)B ．1,0)C ．1,0)D ．(4,0)【解答】解：双曲线222:14x y E b-=的左顶点为(,0)A a -，右焦点为(,0)F c ，点(0,)B b ，且0AB BF =，(a ∴，)(b c ，)0b -=，c =即20ac b -=，即22c a ac =+，可得：2240c c --=，51c =+，得F 的坐标为(51+，0)，故选：C ．8．（5分）已知定义在区间(2,2)-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()f x '是()f x 的导函数，则不等式()01f x x '>+的解集为( )A ．(2,1)-B ．(2-，1)(1--⋃，1)C ．(1,2)D ．(3,1)(0,3)--【解答】解：结合导数与单调性关系可知，21x -<<-，12x <<时，函数单调递减，此时()0f x '<，当11x -<<时，函数单调递增，此时()0f x '>，由不等式()01f x x '>+可得，(1)()0x f x +'>，解可得，11x -<<或21x -<<-，故不等式的解集(2-，1)(1--⋃，1)．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： ①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标【解答】解：由题意可得，同时满足以下两个条件，即这两个条件缺一不可，故是团员，且体育成绩达标，或不是团员，且体育成绩达标故选：AC ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//AC 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112CE DA DD DC =+- D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等【解答】解：如图所示，对于A ，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，11//EF AC ∴，EF ⊂平面CEF ，且11AC ⊂/平面CEF ，11//AC ∴平面CEF ，即A 正确；对于B ，若1B D ⊥平面CEF ，1B D ⊥平面11ACC A ，∴平面//CEF 平面11ACC A ，而平面CEF ⋂平面11ACC A C =，1B D ∴不可能与平面CEF 垂直，即B 错误；对于C ，11111122DA DD DC DA CD D E CD CE +-=+=+=，即C 正确；对于D ，设点1B 和点D 到平面CEF 的距离分别为1h ，2h ，正方体的棱长为1，则1111138B CEF AEFC B EF V h S V -∆-===； 211312D CEF CEFE CDF V h S V -∆-===； 12h h ∴≠，即D 错误；故选：AC ．11．（5分）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1aC ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【解答】解：因为3()sin f x x x ax =+-，则33()sin()()()sin ()f x x x a x x x ax f x -=-+---=--+=-，A 正确；若()f x 为增函数，则2()cos 30f x x x a '=+-恒成立，故2cos 3a x x +恒成立，令2()cos 3g x x x =+，则可得()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞单()x 调递减，故当0x =时，()g x 取得最小值(0)1g =，所以()1min a g x =，B 正确；当3a =-时，3()sin 3f x x x x =++为奇函数，且(0)0f =，当0x >时，2()cos 330f x x x '=++>恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数在(,0)-∞单调递增，故()f x 在R 上单调递增，(0)0f =，即只有一个零点，C 错误；3a =时，3()sin 3f x x x x =+-为奇函数，故先考虑0x >时，函数极值存在情况，则2()cos 33f x x x '=+-，因为()6sin f x x x ''=-单调递增，则()(0)0f x f ''''>=，故()f x '单调递增，且(0)20f '=-<，f '（1）cos10=>，故存在0(0,1)x ∈使得0()0f x '=，因此，当00x x <<，()0f x '<，函数单调递减，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增，故0x x =为函数在0x >时的唯一的极小值，根据奇函数的对称性可知，当0x <时，存在极大值，故D 正确．故选：ABD ．12．（5分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12kD ．90PAB ∠>︒【解答】解：直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，由椭圆的对称性可得O 为AB 的中点，又O 为12F F 的中点，可得四边形12AF BF 为平行四边形，故A 正确；由椭圆方程可得2a =，b c ==以12F F 为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P 在圆外，可得1290F PF ∠<︒，故B 正确；由y kx =与椭圆方程2224x y +=联立，可得A ，，(B ，，即有E 0)，12BE k k =，故C 正确；设直线BE 的方程为1(2y k x =，联立椭圆方程2224x y +=，可得222222(1)40212k k x k ++-=+，由2P x ，解得2P x =，即有2P ，3，可得(AB =，2AP =，，即有22222216160(12)(2)(12)(2)k k AB AP k k k k =-+=++++，可得AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）曲线()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程为 1y = ．【解答】解：()1x f x e '=-，则(0)0k f ='=，(0)1f =，故()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程1y =．故答案为：1y =．14．（5分）已知(1,2,1)n =-为平面α的一个法向量，(2,,1)a λ=-为直线l 的方向向量．若//l α，则λ=32．【解答】解：//l α，∴2210n a λ=-+-=，可得32λ=．故答案为：32． 15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2N y px =的焦点为2F ．若P 为M 与N 的一个公共点，且12||2|PF PF =，则M 的离心率为 21 ．【解答】解：如图，由12||||2PF PF a +=，12||2||PF PF =，解得1||22(21)PF a =-，2||2(21)PF a =-，椭圆右焦点为抛物线焦点，P 为M 与N 的一个公共点， 212111||||2cos cos ||||2PF PG PF F F PG PF PF ∴∠=∠===，在△12PF F 中，由余弦定理可得：2222224(21)8(21)4222(21)22a a c a c -=-+-⨯-⨯⨯，整理得：2[(21)]0a c --=，即21ce a==-．故答案为：21-．16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥．①当E 在AC 上时，AE = 2 ；②点E 的轨迹的长度为．【解答】解：如图，取AC 中点E ，连接DE ，则//DE BC ，90ACB ∠=︒，DE AC ∴⊥，由PA ⊥平面ABC ，得平面PAC ⊥平面ABC ，而平面PAC ⋂平面ABC AC =，DE ∴⊥平面PAC ，则DE PC ⊥，此时122AE AC ==；过E 作EG PC ⊥，垂足为G ，则PC ⊥平面DEG ，即E 在线段EG 上运动时，PC DE ⊥， ∴点E 的轨迹为线段EG ．则22225sin 22524PAEG EC PCA PC=∠===+．故答案为：2；255．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数(2)(1)()z mi i m R =--∈．（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围．【解答】解：（1）(2)(1)(2)(2)z mi i m m i =--=--+， z 是纯虚数，∴2020m m -=⎧⎨+≠⎩，得2m =；（2）由（1）知，(2)(2)z m m i =-++，复数z 在复平面上对应的点在第四象限， ∴2020m m ->⎧⎨+<⎩，解得2m <-，m ∴的取值范围为(,2)-∞-．18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点(2,0)A ，(0,1)B ．（1）求E 的方程；（2）过点(1,0)作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积．【解答】解：（1）依题意，A ，B 分别为椭圆E 1>，可得E 的焦点在x 轴上．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则a =1b =，所以E 的方程为2212x y +=．（2）方法一、设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，不妨设12y y >，依题意，直线l 的方程为1y x =-．由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得23210y y +-=，解得113y =，21y =-，记点(1,0)F ，则121142||||12233OPQ OFP OFQ S S S OF y y ∆∆∆=+=-=⨯⨯=．所以OPQ ∆的面积为23．（2）方法二、设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，不妨设12x x <，依题意，直线l 的方程为1y x =-．由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得2340x x -=，解得10x =，243x =，所以124||||0|3PQ x x -=-原点O 到直线l 的距离d ==，所以112||223OPQ S PQ d ∆===．所以OPQ ∆的面积为23．19．已知函数321()323f x mx mx x =--+在3x =处有极小值．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 在[4-，4]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）依题意，2()23f x mx mx '=--，因为()f x 在3x =处有极小值，所以f '（3）330m =-=，解得1m =．经检验，1m =符合题意，故m 的值为1．（2）由（1）得2()23f x x x '=--，令()0f x '=，得3x =或1x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x4-(4,1)-- 1-(1,3)- 3 (3,4) 4 ()f x '+-+()f x703-1137-143-由上表可知，()f x 的最小值为703-；()f x 的最大值为113． 20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =．（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：过点B 作BF CD ⊥，垂足为F ，则1EF AB ==，12CD EFDE CF -===，连接BE ，依题意，AED ∆为等腰直角三角形，故1AE DE ==，又AE DE ⊥，故AE AB ⊥，所以222EB EA AB =+ 在四棱锥P ABCE -中，因为3PB =1PE DE ==，所以222PE EB PB +=，故PE EB ⊥，因为PE EA ⊥，EAEB E =，且EA ，EB ⊂平面ABCE ，所以PE ⊥平面ABCE ．（2）解：由（1）知，PE ⊥平面ABCE ，所以PE EA ⊥，PE EC ⊥，又AE EC ⊥，所以EA ，EC ，EP 两两垂直．以E 为原点，分别以EA ，EC ，EP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为：(0E ，0，0)，(0P ，0，1)，(1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，2，0)， (1,0,1)PA =-，(0,2,1)PC =-，(1,1,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PC n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1y =，故(1,1,2)n =．所以||3cos ,6||||PA n PA n PA n <>==．设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则3sin |cos ,|6PA n θ=〈〉=．21．在直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，D 为直线:1l x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）连接MF ，则||||MD MF =，则根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线．则点M 的轨迹的方程为24y x =．（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=， △216160m =+>， 124y y m +=，124y y =-，直线OP 的方程为1114y y x x x y ==，同理：直线OQ 的方程为24y x y =，令1x =得，14(1,)A y ，24(1,)B y ，设AB 中点T 的坐标为(T x ，)T y ，则1T x =，121212442()22T y y y y y m y y ++===-，所以(1,2)T m -．2112124||44||||||y y AB y y y y -=-===．圆的半径为r =．所以AB 为直径的圆的方程为222(1)(2)44x y m m -++=+．展开可得22(1)44x y my -++=， 22(1)44x y my -++=，令0y =，可得2(1)4x -=，解得3x =或1x =-．所以以AB 为直径的圆经过定点(1,0)-和(3,0)．22．已知函数()(0)f x axlnx a =≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：110x lnx x e -+>．【解答】解：法一：（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，()(1)f x a lnx '=+，当10x e <<时，10lnx +<；当1x e>时，10lnx +>．①当0a >时，若10x e <<，则()0f x '<；若1x e >，则()0f x '>．所以()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增．②当0a <时，若10x e <<，则()0f x '>；若1x e >，则()0f x '<．所以()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．综上，当0a >时，()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．（2）由（1）知，当1a =-时，()f x xlnx =-在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减，所以1111()()max f x f ln e e e e ==-=，故当0x >时，1xlnxe-．又当0x >时，1011x e e e-->=，所以当0x >时，11x e xlnx e->-，故10x e xlnx -+>，所以110x lnxx e-+>．解法二：（2）令1()x g x e xlnx -=+，则1()1x g x e lnx -'=++，令1()1x h x e lnx -=++，则()h x 为增函数，且21121()210c h e e -=-+<，111()110c h e e-=-+>，所以()h x 有唯一的零点0x ，0211(,)x e e∈，所以当00x x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当0x x >时，()g x 为增函数．所以01000()()x g x g x e x lnx -=+．由（1）知，当1a =时，()f x xlnx =在1(0,)e 上为减函数，在1(,)e +∞上为增函数，故01()()f x f e >，即001x lnx e>-，所以0010111()(1)(1)0x x g x e e e e e e ->-=->-=，所以10x e xlnx -+>，故110x lnxx e -+>．。

2019-2020学年福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学高二数学上学期期末考试数学试题含解析

〖详解〗由题意存在实数，使得，即，
∴ ，解得或．
故选：C.
〖点睛〗本题考查空间向量共线，掌握空间向量共线定理是解题基础．
2.设是可导函数，且，则（）
A. 2B. -1C. 1D. -2
〖答案〗A
〖解析〗
〖分析〗
根据导数的定义求解．
〖详解〗．
故选：A.
〖点睛〗本题考查导数的定义，，注意极限中形式的一致性．
〖答案〗D
〖解析〗
分析〗
在恒成立，再转化为求函数最值．
〖详解〗，
由题意在恒成立，即在恒成立，
时，，，
所以，
所以．
故选：D.
〖点睛〗本题考查用导数研究函数的单调性，函数在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，不等式恒成立又可转化为求函数最值．本题对学生的转化与化归能力有一定的要求．
8.在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，， .则点到面的距离是（）
A. B. C. D.
〖答案〗A
〖解析〗
〖分析〗
求出平面的一个法向量，再求出在方向上的投影的绝对值即可．
〖详解〗由题意 ,
设平面的一个法向量为，则
，取，则，
∴ ，即到平面的距离是．
〖详解〗是的极大值点，就是存在正数，使得在上，，在上，．
福建师大附中2019-2020学年上学期期末考试
高二数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共70分）
一、单项选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.
1.已知空间向量，共线，则实数的值是（）
A. -3B. 2C. -3或2D. 3或-2

福州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试卷附答案详析

福州市2019-2020学年上学期期末考高二数学试卷一、单选题1．已知复数12i z i +=，则z =( ) A ．5 B ．3 C ．5 D ．22．命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( )A ．0R α∃∈，0tan 1α<B ．0R α∃∈，0tan 1α≤C ．R α∀∈，tan 1α< D ．R α∀∈，tan 1α≤ 3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( ) A ．14y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．4y x =±4．实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()sin 2x f x x=，则()'f x =( ) A ．2cos 2sin 2x x x x - B ．2cos 2sin 2x x x x+ C ．22cos 2sin 2x x x x - D ．22cos 2sin 2x x x x + 6．一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．3302/km hC ．3304/km hD ．60/km h7．已知双曲线E ：22214x y b -=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A ．()51,0-B ．()31,0+C ．()51,0+D ．()4,08．已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A ．()2,1- B ．()()2,11,1--⋃- C ．()1,2 D ．()()3,10,3--⋃ 二、多选题9．某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( )A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//A C 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等 11．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1a ≤C ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点 D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12．已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ∠>︒三、填空题13．曲线()x f x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r 为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.15．已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且122PF PF =，则M 的离心率为______.16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.四、解答题17．已知复数()()()21z mi i m R =--∈.(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围.18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点()2,0A，()0,1B . (1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.19．已知函数()321323mx mx x f x =--+在3x =处有极小值. (1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值.20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.21．在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22．已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：11ln 0x e x x -+>.解析福州市2019-2020学年上学期期末考高二数学试卷一、单选题1．已知复数12i z i +=，则z =( ) A ．5B ．3C ．5D ．2【答案】C【解析】根据模长的性质求解即可.【详解】因为12i z i+=,故22121251i z i ++===. 故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的运算,属于基础题.2．命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( )A ．0R α∃∈，0tan 1α”的否定是“R α∀∈,tan 1α≤”.故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题. 3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( ) A ．14y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．4y x =±【答案】C【解析】根据渐近线公式直接得到答案.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.4．实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】实数a ＞1，b ＞1，由不等式性质知a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12，即可判断出结论. 【详解】实数a ＞1，b ＞1⇒a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12. ∴a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．已知函数()sin 2x f x x=，则()'f x =( ) A ．2cos 2sin 2x x x x - B ．2cos 2sin 2x x x x+ C ．22cos 2sin 2x x x x - D ．22cos 2sin 2x x x x + 【答案】C【解析】根据分式的求导法则求解即可.【详解】因为()sin 2x f x x =,故()()22sin 2'sin 2'2cos 2sin 2'x x x x x x x f x x x -⋅-==. 故选：C【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.6．一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．3302/km hC ．3304/km hD ．60/km h 【答案】A【解析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可.【详解】由题, 100km 的航程需要100x 小时,故总的费用31100()540100f x x x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭.即254000()100f x x x =++.故()32222700054000'()2x f x x x x -=-=. 令'()0f x =有30x =.故当030x <<时'()0f x <,()f x 单调递减,当30x >时'()0f x >,()f x 单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为30/km h故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际问题中的最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.7．已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A ．()51,0-B ．()31,0+C ．()51,0+D ．()4,0【答案】C【解析】求得,,A B F 的坐标表达式,再根据0AB BF⋅=u u u r u u u r 求解即可. 【详解】由题,()2,0A-,()0,B b , ()24,0F b +.因为0AB BF ⋅=u u u r u u u r ,故()()22,4,0b b b ⋅+-=. 即()()2222422444220b b b b b +=⇒+=⇒-=.故2252b =+. 所以2462551b +=+=+.故F 的坐标为()51,0+. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.8．已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A ．()2,1-B ．()()2,11,1--⋃-C ．()1,2D ．()()3,10,3--⋃ 【答案】B【解析】分()2,1x ∈--与()1,2x ∈-两种情况,根据导数与单调性的关系观察求解即可. 【详解】当()2,1x ∈--时,若()'01f x x >+则()'0f x <,此时函数单调递减,故()2,1x ∈--. 当()1,2x ∈-时,若()'01f x x >+则()'0f x >,此时函数单调递增,故()1,1x ∈-. 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与分段求解不等式的方法,属于基础题.二、多选题9．某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( )A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标【答案】AC【解析】根据题意逐个选项判定即可.【详解】对A, 是团员,且体育成绩达标同时满足①②,满足资格.对B, 是团员,且体育成绩不达标不满足②,不满足资格.对C, 不是团员,且体育成绩达标,故可能为班干部且体育成绩达标.满足资格.对D, 不是团员,且体育成绩不达标一定不满足②,不满足资格.故选：AC【点睛】本题主要考查了实际问题中的逻辑推理的运用,属于基础题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//A C 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等【答案】AC【解析】对A,根据11//A C EF 判定即可.对B,建立空间直角坐标系证明1B D 与平面CEF 中的CF 不垂直即可.对C, 建立空间直角坐标系计算即可.对D,判断点D 与点1B 的中点是否在平面CEF 上即可.【详解】对A,因为E ,F 分别是11A D 和11C D 的中点故11//EF A C ,故11//A C 平面CEF 成立.对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体1111ABCD A B C D -边长为2则()12,2,2B D =---u u u u r ，()0,1,2FC =-u u u r .故101430B D FC ⋅=-+=≠u u u u r u u u r .故1,B D FC u u u u r u u u r 不互相垂直.又CF 属于平面CEF .故1B D ⊥平面CEF 不成立.对C,同B 空间直角坐标系有()1,2,2CE =-u u u r ,112DA DD DC +-u u u r u u u r u u u r ()()()()12,0,00,0,20,2,01,2,22=+-=-.故112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r 成立. 对D, 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等则点D 与点1B 中点O 在平面CEF 上.连接,AC AE 易得平面CEF 即平面CAEF .又点D 与点1B 中点O 在11A ACC 上,故点O 不在平面CEF 上.故D 不成立.故选：AC【点睛】本题主要考查了空间中的线面关系和利用空间直角坐标系判定垂直的方法与空间向量的运算等.属于中档题. 11．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1a ≤C ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点 D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ABD【解析】对A,根据奇函数的定义判定即可.对B,求导后利用恒成立问题分析即可.对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可.【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+ 3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B, ()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-,因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误. 对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题.12．已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ∠>︒ 【答案】ABC【解析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可. 【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,2OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确.对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确. 对D, 设(),Px y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-.又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC 【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.三、填空题13．曲线()x f x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】1y =【解析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为()x f x e x =-,故()'1x f x e =-,故()0'010f e =-=,又()0001f e =-=,故()x f x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.故答案为：1y =【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题,属于基础题.14．已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.【答案】32【解析】根据面的法向量与平行于面的向量垂直求解即可. 【详解】由题, ()()1,2,12,,12210n a λλ⋅=-⋅-=-+-=r r ,解得32λ=.故答案为：32【点睛】本题主要考查了法向量的性质应用,属于基础题.15．已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且122PF PF =，则M 的离心率为______.【答案】21-【解析】根据抛物线与椭圆的定义转化边角关系求解即可. 【详解】由抛物线的定义可知,准线为过左焦点且垂直与x 轴的直线.作1PQ F Q ⊥,则2PF PQ =, 又122PF PF =,故222211122QF PF PQ PF PF PF PQ =-=-==.故1PFQ V 为等腰直角三角形.故14PF Q π∠=,又1122PFQ PF F π∠+∠=,故124PF F π∠=.又122PF PF =,同理可得122F F PF =.故12PF F △也为等腰直角三角形.故椭圆离心率为12122121221F F c e a PF PF ====-++.故答案为：21-【点睛】本题主要考查了根据抛物线与椭圆的定义与三角形中的关系求解椭圆离心率的问题,属于中档题.16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.【答案】2255【解析】(1)根据PC DE ⊥与鳖臑的性质证明DE ⊥平面PAC 再求解即可.(2)根据(1)中的计算可知PC 垂直于D 所在的平面,再得出PC 垂直于E 在平面内的轨迹再计算长度即可.【详解】(1)当E 在AC 上时,因为PA ⊥平面ABC ,故PA DE ⊥,又PCDE ⊥,故DE ⊥平面PAC .故DE AC ⊥.又90ACB ∠=︒,D 为AB 中点,故//DE BC 所以E 为AC 中点.故122AE AC ==.(2)取AC 中点F 则由(1)有DF ⊥平面PAC ,故PC DF ⊥,又PC DE ⊥, 设平面DEF PC G ⋂=则有PC ⊥平面DGF .故点E 的轨迹为FG .又此时2CF =,1tan 2PA PCA AC ∠==,故2211sin 512PCA ∠==+.所以225sin 55FG CF PCA =⋅∠==.故答案为：(1). 2 (2). 255【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与线面垂直的性质求解立体几何中的轨迹问题,需要根据垂直关系求解对应的线段长度.属于中档题.四、解答题 17．已知复数()()()21z mi i m R =--∈.(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)2；(2)(),2-∞-.【解析】(1)利用复数的乘法化简z 再根据纯虚数的定义计算即可. (2)求得()()22z m m i =-++,再根据复数的象限求得实部与虚部的范围即可.【详解】 (1)()()()()2122z mi i m m i =--=--+,由2020m m -=⎧⎨+≠⎩, 得2m =. (2)由(1)知,()()22z m m i =-++,因为复数z 在复平面上对应的点在第四象限,所以2020m m ->⎧⎨+<⎩,解得2m <-, 所以m 的取值范围为(),2-∞-.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与基本概念和几何意义.属于基础题. 18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点()2,0A ，()0,1B .(1)求E 的方程； (2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.【答案】(1)2212x y +=；(2)23.【解析】(1)根据椭圆的基本量求解即可.(2)联立直线与椭圆的方程,求出交点的纵坐标,再根据OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+求解即可. 【详解】(1)依题意,A ,B 分别为椭圆E 的右顶点、上顶点,E 的焦点在x 轴上.设E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,则2a =,1b =,所以E 的方程为2212x y +=.(2)设()11,Px y ,()22,Q x y ,不妨设12y y >,依题意,直线l 的方程为1y x =-.由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩,得23210y y +-=, 解得113y =,21y =-, 记点()1,0为F ,则OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+1212OF y y =- 14123=⨯⨯ 23=. 所以OPQ ∆的面积为23.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与椭圆联立求三角形面积的问题,属于中档题. 19．已知函数()321323mx mx x f x =--+在3x =处有极小值. (1)求实数m 的值； (2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值.【答案】(1)1；(2)()f x 的最小值为703-，最大值为113. 【解析】(1)求导后根据()'30f =求解再检验所得的值是否满足题意即可.(2) 由(1)得()2'23f x x x =--,再求得极值点列表分析函数单调性再求最值即可.【详解】 (1)依题意,()223'f mx x x m =--,因为()f x 在3x =处有极小值,所以()'3330f m =-=,解得1m =.经检验,1m =符合题意,故m 的值为1. (2)由(1)得()2'23f x x x =--,令()'0f x =,得3x =或1x =-. 当x 变化时,()'f x ,()f x 的变化情况如下表：x-4()4,1---1()1,3-3()3,44()'f x+ 0 -0 +()f x703-Z113]-7Z143-由上表可知,()f x 的最小值为703-； ()f x 的最大值为113. 【点睛】本题主要考查了根据函数的极值点求解参数以及求导分析函数的单调性的问题,属于中档题.20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)36. 【解析】(1) 过点B 作BFCD ⊥,垂足为F ,连接BE .再分别证明PE EB ⊥与PE EA ⊥即可.(2) 分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解线面所成的角即可. 【详解】(1)证明：过点B 作BFCD ⊥,垂足为F ,则1EF AB ==,12CD E DE CF F==-=, 连接BE ,依题意,AED ∆为等腰直角三角形, 故1AE DE ==,又AE DE ⊥,故AE AB ⊥,所以222EB EA AB =+=,在四棱锥P ABCE -中,因为3PB =,1PE DE ==, 所以222PE EB PB +=,故PE EB ⊥,因为PE EA ⊥,EA EB E =I,且,EA EB ⊂平面ABCE ,所以PE ⊥平面ABCE .(2)由(1)知,PE ⊥平面ABCE ,所以PE EA ⊥,PE EC ⊥,又AE EC ⊥,所以EA ,EC ,EP 两两垂直.以E 为原点,分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则各点坐标为：()0,0,0E ,()0,0,1P ,()1,0,0A ,()1,1,0B ,()0,2,0C , ()1,0,1PA =-u u u r ,()0,2,1=-u u u r PC ,()1,1,0BC =-uu u r, 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r,则00n PC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u uv v ,故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩, 取1y =,故()1,1,2n =r.所以13626cos ,PA n PA n PA n⋅=-⨯==-u u u r ru u u r r u u u r r . 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ,则3sin cos ,6PA n θ==u u u r r.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与建立空间直角坐标系求解线面角的问题,属于中档题. 21．在直角坐标系xOy 中，点()1,0F，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0.【解析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可. 【详解】 (1)连接MF ,则MD MF =,则根据抛物线的定义, 点M 的轨迹是以()1,0F为焦点,直线1x =-为准线的抛物线.则点M 的轨迹的方程为24y x =. (2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,Px y ,()22,Q x y,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=,216160m ∆=+>, 124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y my y ++===-, 所以()1,2Tm -.122112444A y y y y y yB -==-()2121224416164y y y y m +-==+.圆的半径为216162m r +=.所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+.展开可得()22144x y my -++=, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-.所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,Px y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=, 所以()224224416160kk k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y kx x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即()22212112121210x y x y y yx y y x x x x +-+-+=,即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-.所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题. 22．已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：11ln 0x e x x -+>. 【答案】(1)当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(2)证明见解析. 【解析】(1)求导后分0a >与0a <两种情况分析导数的正负从而求得原函数的单调性即可.(2)根据(1)中的结论,求得()f x 最小值从而得出当0x >时,1ln x x e -≤,再构造函数式证明11ln 0x e x x -+>.或构造()1ln x g x e x x -=+,求导后根据隐零点的方法证明.【详解】 (1)依题意,()f x 的定义域为()0,∞+, ()()'ln 1f x a x =+, 当10x e<<时,ln 10x +<；当1x e >时,ln 10x +>. ①当0a >时,若10x e <<,则()'0f x <；若1x e >,则()'0f x >. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ②当0a <时,若10x e <<,则()'0f x >；若1x e >,则()'0f x <. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上,当0a >时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)法一：由(1)知,当1a =-时,()ln f x x x =-,在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 1111ln f x e e e e f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故当0x >时,1ln x x e -≤. 又当0x >时,1011x ee e -->=, 所以当0x >时,11ln x e e x x ->≥-,故1ln 0x e x x -+>,所以11ln 0x e x x -+>. (2)法二：令()1ln x gx e x x -=+,则()1'ln 1x g x e x -=++, 令()1ln 1x h x e x -=++,则()h x 为增函数,且21121210c h e e -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,111110e h e e -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,所以()h x 有唯一的零点0x ,0211,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以当00x x <<时,()'0g x <,()g x 为减函数；当0x x >时,()g x 为增函数. 所以()()01000ln x e g x g x x x -=+≥.由(1)知,当1a =时,()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,故 ()01e f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即001ln x x e >-, 所以()()()0010111110x x g x e e e e e e->-=->-=,所以1ln 0x e x x -+>,故11ln 0x e x x -+>. 【点睛】本题主要考查了分类讨论求解函数的单调性问题以及利用导数求解函数单调性与最值从而证明不等式的问题.属于难题.。

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题Word版含解析

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如果，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2.“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.抛物线y2= 2x的准线方程是（）A. y=B. y=－C. x=D. x=－4.空间四边形 OABC中，=( )A. B. C. D.5.命题“a ,b 都是偶数，则 a 与 b 的和是偶数”的逆否命题是（）A. a 与 b 的和是偶数，则 a, b 都是偶数B. a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 都不是偶数C. a, b 不都是偶数，则 a 与 b 的和不是偶数D. a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 不都是偶数6.等差数列的前项和为，且，则公差等于（）A. B. C. D.7.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.8.如图，在四面体ABCD中,,点M在AB上，且，点N是CD的中点,则 =（）A. B.C. D.9.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A. B. C. D.10.已知，点Q在直线OP上，那么当取得最小值时,点Q的坐标是（）。

A. B. C. D.11.如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A. B. C. D.12.过抛物线的焦F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M,N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线 PQ,垂足为Q，则的最大值为（ )A. 1B.C.D.二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.命题“”的否定为___________.14.已知，则函数的取值范围是______________．15.已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F,则该双曲线的离心率________.16.方程表示曲线，给出以下命题：①曲线不可能为圆；②若，则曲线为椭圆；③若曲线为双曲线，则或；④若曲线为焦点在轴上的椭圆，则.其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题在区间上是减函数；命题q:不等式无解。

2019-2020学年福建省福州市高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省福州市高二上学期期末数学试题一、单选题 1．已知复数12iz i+=，则z =( )A ．5B ．3C D ．2【答案】C【解析】根据模长的性质求解即可. 【详解】因为12i z i+=,故121i z i +===故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模长的运算,属于基础题. 2．命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α”的否定是“R α∀∈,tan 1α≤”. 故选：D 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】C【解析】根据渐近线公式直接得到答案. 【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.故选：C . 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题. 4．实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】实数a ＞1，b ＞1，由不等式性质知a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12，即可判断出结论. 【详解】实数a ＞1，b ＞1⇒a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12. ∴a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．已知函数()sin 2xf x x=，则()'f x =( ) A ．2cos 2sin 2x x xx- B ．2cos 2sin 2x x xx+ C ．22cos 2sin 2x x x x -D ．22cos 2sin 2x x xx + 【答案】C【解析】根据分式的求导法则求解即可. 【详解】因为()sin 2x f x x =,故()()22sin 2'sin 2'2cos 2sin 2'x x x x x x x f x x x -⋅-==.故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.6．一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h【答案】A【解析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可. 【详解】由题, 100km 的航程需要100x 小时,故总的费用31100()540100f x x x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭. 即254000()100f x x x =++.故()32222700054000'()2x f x x x x-=-=. 令'()0f x =有30x =.故当030x <<时'()0f x <,()f x 单调递减,当30x >时'()0f x >,()f x 单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为30/km h 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际问题中的最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.7．已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r，则F 的坐标为( )A ．)1,0B ．)1,0C ．)1,0D ．()4,0【答案】C【解析】求得,,A B F 的坐标表达式,再根据0AB BF ⋅=u u u r u u u r求解即可.【详解】由题,()2,0A -,()0,B b , )F.因为0AB BF ⋅=u u u r u u u r,故())2,0b b ⋅-=.即()()2224244220b bbb =⇒+=⇒-=.故22b =.1==.故F 的坐标为)1,0.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.8．已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A ．()2,1-B ．()()2,11,1--⋃-C ．()1,2D ．()(3,13--⋃【答案】B【解析】分()2,1x ∈--与()1,2x ∈-两种情况,根据导数与单调性的关系观察求解即可. 【详解】当()2,1x ∈--时,若()'01f x x >+则()'0f x <,此时函数单调递减,故()2,1x ∈--. 当()1,2x ∈-时,若()'01f x x >+则()'0f x >,此时函数单调递增,故()1,1x ∈-. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与分段求解不等式的方法,属于基础题.二、多选题9．某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标 B ．是团员，且体育成绩不达标 C ．不是团员，且体育成绩达标 D ．不是团员，且体育成绩不达标【答案】AC【解析】根据题意逐个选项判定即可. 【详解】对A, 是团员,且体育成绩达标同时满足①②,满足资格. 对B, 是团员,且体育成绩不达标不满足②,不满足资格.对C, 不是团员,且体育成绩达标,故可能为班干部且体育成绩达标.满足资格. 对D, 不是团员,且体育成绩不达标一定不满足②,不满足资格. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了实际问题中的逻辑推理的运用,属于基础题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//A C 平面CEFB ．1B D ⊥平面CEFC ．112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u rD ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等【答案】AC【解析】对A,根据11//A C EF 判定即可.对B,建立空间直角坐标系证明1B D 与平面CEF 中的CF 不垂直即可. 对C, 建立空间直角坐标系计算即可.对D,判断点D 与点1B 的中点是否在平面CEF 上即可. 【详解】对A,因为E ,F 分别是11A D 和11C D 的中点故11//EF A C ,故11//A C 平面CEF 成立. 对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体1111ABCD A B C D -边长为2则()12,2,2B D =---u u u u r ，()0,1,2FC =-u u u r .故101430B D FC ⋅=-+=≠u u u u r u u u r .故1,B D FC u u u u r u u u r 不互相垂直.又CF 属于平面CEF .故1B D ⊥平面CEF 不成立.对C,同B 空间直角坐标系有()1,2,2CE =-u u u r ,112DA DD DC +-u u ur u u u r u u u r()()()()12,0,00,0,20,2,01,2,22=+-=-.故112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r 成立.对D, 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等则点D 与点1B 中点O 在平面CEF 上.连接,AC AE 易得平面CEF 即平面CAEF .又点D 与点1B 中点O 在11A ACC 上,故点O 不在平面CEF 上.故D 不成立.故选：AC 【点睛】本题主要考查了空间中的线面关系和利用空间直角坐标系判定垂直的方法与空间向量的运算等.属于中档题.11．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( )A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1a ≤C ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ABD【解析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 对B,求导后利用恒成立问题分析即可. 对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可. 【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B, ()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-,因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误. 对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选：ABD 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题.12．已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( ) A ．四边形12AF BF 为平行四边形 B ．1290F PF ∠<︒ C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ∠>︒【答案】ABC【解析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可. 【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,2OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确. 对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-.又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC 【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.三、填空题13．曲线()xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】1y =【解析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为()xf x e x =-,故()'1x f x e =-,故()0'010f e =-=,又()0001f e =-=,故()x f x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.故答案为：1y = 【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题,属于基础题.14．已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.【答案】32【解析】根据面的法向量与平行于面的向量垂直求解即可. 【详解】由题, ()()1,2,12,,12210n a λλ⋅=-⋅-=-+-=r r ,解得32λ=.故答案为：32【点睛】本题主要考查了法向量的性质应用,属于基础题.15．已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且12PF =，则M 的离心率为______.1【解析】根据抛物线与椭圆的定义转化边角关系求解即可. 【详解】由抛物线的定义可知,准线为过左焦点且垂直与x 轴的直线.作1PQ F Q ⊥,则2PF PQ =,又12PF =,故12QF PF PQ ====.故1PFQ V 为等腰直角三角形.故14PF Q π∠=,又1122PFQ PF F π∠+∠=,故124PF F π∠=.又12PF =,同理可得122F F PF =.故12PF F △也为等腰直角三角形.故椭圆离心率为1212212F F c e a PF PF ====+.故答案为：21- 【点睛】本题主要考查了根据抛物线与椭圆的定义与三角形中的关系求解椭圆离心率的问题,属于中档题.16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.【答案】225【解析】(1)根据PC DE ⊥与鳖臑的性质证明DE ⊥平面PAC 再求解即可. (2)根据(1)中的计算可知PC 垂直于D 所在的平面,再得出PC 垂直于E 在平面内的轨迹再计算长度即可. 【详解】(1)当E 在AC 上时,因为PA ⊥平面ABC ,故PA DE ⊥,又PC DE ⊥,故DE ⊥平面PAC .故DE AC ⊥.又90ACB ∠=︒,D 为AB 中点,故//DE BC 所以E 为AC 中点. 故122AE AC ==.(2)取AC 中点F 则由(1)有DF ⊥平面PAC ,故PC DF ⊥,又PC DE ⊥, 设平面DEF PC G ⋂=则有PC ⊥平面DGF .故点E 的轨迹为FG . 又此时2CF =,1tan 2PA PCA AC ∠==,故22sin 512PCA ∠==+. 所以25sin 5FG CF PCA =⋅∠==.故答案为：(1). 2 (2). 25 【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与线面垂直的性质求解立体几何中的轨迹问题,需要根据垂直关系求解对应的线段长度.属于中档题.四、解答题17．已知复数()()()21z mi i m R =--∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)2；(2)(),2-∞-.【解析】(1)利用复数的乘法化简z 再根据纯虚数的定义计算即可.(2)求得()()22z m m i =-++,再根据复数的象限求得实部与虚部的范围即可. 【详解】(1)()()()()2122z mi i m m i =--=--+, 由2020m m -=⎧⎨+≠⎩,得2m =.(2)由(1)知,()()22z m m i =-++,因为复数z 在复平面上对应的点在第四象限, 所以2020m m ->⎧⎨+<⎩,解得2m <-,所以m 的取值范围为(),2-∞-. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与基本概念和几何意义.属于基础题.18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点)A ，()0,1B .(1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.【答案】(1)2212x y +=；(2)23.【解析】(1)根据椭圆的基本量求解即可.(2)联立直线与椭圆的方程,求出交点的纵坐标,再根据OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+求解即可. 【详解】(1)依题意,A ,B 分别为椭圆E 的右顶点、上顶点,E 的焦点在x 轴上.设E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,则a =1b =,所以E 的方程为2212x y +=.(2)设()11,P x y ,()22,Q x y ,不妨设12y y >, 依题意,直线l 的方程为1y x =-.由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩,得23210y y +-=, 解得113y =,21y =-, 记点()1,0为F ,则OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+1212OF y y =- 14123=⨯⨯23=. 所以OPQ ∆的面积为23. 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与椭圆联立求三角形面积的问题,属于中档题.19．已知函数()321323mx mx x f x =--+在3x =处有极小值. (1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值. 【答案】(1)1；(2)()f x 的最小值为703-，最大值为113. 【解析】(1)求导后根据()'30f =求解再检验所得的值是否满足题意即可. (2) 由(1)得()2'23f x x x =--,再求得极值点列表分析函数单调性再求最值即可.【详解】(1)依题意,()223'f mx x x m =--,因为()f x 在3x =处有极小值, 所以()'3330f m =-=, 解得1m =.经检验,1m =符合题意,故m 的值为1.(2)由(1)得()2'23f x x x =--,令()'0f x =,得3x =或1x =-.当x 变化时,()'f x ,()f x 的变化情况如下表：由上表可知,()f x 的最小值为703-； ()f x 的最大值为113. 【点睛】本题主要考查了根据函数的极值点求解参数以及求导分析函数的单调性的问题,属于中档题.20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；3【解析】(1) 过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,连接BE .再分别证明PE EB ⊥与PE EA ⊥即可.(2) 分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解线面所成的角即可. 【详解】(1)证明：过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,则1EF AB ==,12CD E DE CF F==-=, 连接BE ,依题意,AED ∆为等腰直角三角形, 故1AE DE ==,又AE DE ⊥,故AE AB ⊥,所以222EB EA AB =+=,在四棱锥P ABCE -中,因为3PB =1PE DE ==, 所以222PE EB PB +=,故PE EB ⊥,因为PE EA ⊥,EA EB E =I ,且,EA EB ⊂平面ABCE , 所以PE ⊥平面ABCE .(2)由(1)知,PE ⊥平面ABCE ,所以PE EA ⊥,PE EC ⊥,又AE EC ⊥,所以EA ,EC ,EP 两两垂直.以E 为原点,分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则各点坐标为：()0,0,0E ,()0,0,1P ,()1,0,0A ,()1,1,0B ,()0,2,0C , ()1,0,1PA =-u u u r ,()0,2,1=-u u u r PC ,()1,1,0BC =-uu u r, 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r,则 00n PC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u uv v ,故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩, 取1y =,故()1,1,2n =r. 所以3626cos ,PA n PA n PA n⋅=⨯==-u u u r ru u u r r u u u r r . 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ,则3sin cos ,6PA n θ==u u u r r .【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与建立空间直角坐标系求解线面角的问题,属于中档题. 21．在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0. 【解析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可. 【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线. 则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=,216160m ∆=+>, 124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y my y ++===-, 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y yB -==-==圆的半径为2r =.所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+. 展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=, 所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y kx x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫⎪⎝⎭,所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即()22212112121210x y x y y yx y y x x x x +-+-+=,即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0. 【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题. 22．已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：11ln 0x exx -+>. 【答案】(1)当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(2)证明见解析. 【解析】(1)求导后分0a >与0a <两种情况分析导数的正负从而求得原函数的单调性即可.(2)根据(1)中的结论,求得()f x 最小值从而得出当0x >时,1ln x x e-≤,再构造函数式证明11ln 0x exx -+>.或构造()1ln x g x e x x -=+,求导后根据隐零点的方法证明. 【详解】(1)依题意,()f x 的定义域为()0,∞+,()()'ln 1f x a x =+,当10x e<<时,ln 10x +<；当1x e >时,ln 10x +>.①当0a >时,若10x e<<,则()'0f x <；若1x e >,则()'0f x >.所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ②当0a <时,若10x e<<,则()'0f x >；若1x e >,则()'0f x <.所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上,当0a >时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)法一：由(1)知,当1a =-时,()ln f x x x =-,在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 1111ln f x e e e ef ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭, 故当0x >时,1ln x x e-≤. 又当0x >时,1011x e e e-->=,所以当0x >时,11ln x e ex x ->≥-,故1ln 0x e x x -+>,所以11ln 0x exx -+>.(2)法二：令()1ln x g x e x x -=+,则()1'ln 1x g x e x -=++,令()1ln 1x h x ex -=++,则()h x 为增函数,且21121210c h e e -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,111110e h e e -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,所以()h x 有唯一的零点0x ,0211,e e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭, 所以当00x x <<时,()'0g x <,()g x 为减函数；当0x x >时,()g x 为增函数. 所以()()01000ln x eg x g x x x -=+≥.由(1)知,当1a =时,()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,故 ()01e f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即001ln x x e >-,所以()()()0010111110x x g x e e e e ee->-=->-=, 所以1ln 0x e x x -+>,故11ln 0x exx -+>.【点睛】本题主要考查了分类讨论求解函数的单调性问题以及利用导数求解函数单调性与最值从而证明不等式的问题.属于难题.。

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考试题数学(理)含答案

2019-2020学年第一学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（理）科试卷命题学校：永泰一中命题教师：叶长春审核教师：林志成考试时间：1月31日完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．抛物线22x y =的准线方程为（）A .81-=yB .81=yC .21-=x D .21=x2．已知向量(1,3,2)a =-r ，)1,1,2(+-=n m b ，且a r //b r，则实数=+n m （）A .2-B .2C .4D .103．下列命题错误．．的是（） A .“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12≠x ，则1≠x ” B .若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；C .命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定为“x R ∃∈，20x <”D .命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实数根，则0≤m ”；4. 设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A .2B .72 C .92D .6 5．“4=m ”是“椭圆1522=+my x 焦距为2”的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6．在空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且12OM MA =，点N 为BC 的中点．若a OA =，b OB =，c OC =，则MN 等于（）A .c b a 212131--B .c b a 212121--C .c b a 212131++-D .c b a 212121++-7．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则公比q 的值为 ( )A .21-B .2-C .21D .28．如图所示，在正方体D C B A ABCD ''''-中，点E 是棱BC 的中点，点G 是棱D D '的中点，则异面直线GB 与E B '所成的角为（）A .120°B .90°C .60°D .30°9．已知过双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 焦点的直线l 与双曲线C 交于B A ，两点，且使aAB 3=的直线l 恰好有3条，则双曲线C 的离心率为（）A .3B .2C .26 D .21010．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则=+++10021111a a a Λ ( ) A .101200 B .101100 C .100198 D .1009911．已知椭圆22142x y +=，直线x y =与椭圆交于B A 、两点，P 是椭圆上异于B A 、的点，且直线PA 、PB 的斜率存在，则PA PB k k ⋅=（）A .2B . 12C ．12- D ． 2-12．设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线C 的右支上存在点P ，使得21F PF ∆的内切圆半径为a ，记圆心为M ，21F PF ∆的重心为G ，且满足21//F F MG ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A .x y ±=B .x y 2±=C .x y 2±=D .x y 3±=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．命题“02,2≤-+∈∃a ax x R x ”是假命题，则实数a 的取值范围为_________14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线yx 82=的焦点重合，则双曲线的方程为_________________15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且c b a ,2,成等比数列，则B cos 的最小值为______________16．在正方体1111ABCD A B C D -中，若棱长为1，点E 、F 分别为线段11B D 、1BC 上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________E B C 1①1DB ⊥面1ACD ； ②面//11B C A 面1ACD ； ③点F 到面1ACD 的距离为定值33； ④线AE 与面D D BB 11所成角的正弦值为定值13. 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）已知命题09:2=+-mx x p 无实数解，命题q ：方程11422=-+-my m x 表示焦点在x 轴上的双曲线. （Ⅰ）若命题q ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围.18．(本小题满分12分)已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边.（Ⅰ）若ABC ∆的面积为233，3=c ，且C B A ,,成等差数列，求b a ,的值；（Ⅱ）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状. 19．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中,ABC ∆为等腰直角三角形,︒=∠90BAC ,且AB AA =1,F E 、、D 分别为1B A 、1C C 、BC （Ⅰ）求证：DE ∥平面ABC ；（Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()2,P m 到焦点F 的距离为4．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点()1,1-，求直线l 与抛物线C 有两个公共点时k 的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得二面角B AM D --为直二面角. （Ⅰ）求证：AD ⊥BM ；（Ⅱ）问：在线段DB 上是否存在一点E ，使得直线BD 与平面AME 所成角的正弦值为15302，若存在确定点E 的位置，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)012222>>=+b a b y a x （的左、右焦点分别为21,F F ，点），（213P 在椭圆C 上，满足4121=⋅PF PF . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠在曲线C 上，记),(11y a x =，),(22y ax =，若m n ⊥u r r ，O为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.2019-2020学年第一学期八县（市）一中期末联考高二数学(理科)参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、)0,1(- 14、1322=-x y 15、8716、①②③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（Ⅰ）命题q ：⎩⎨⎧<->-0104m m ，得41<<m ……………………………2分依题意得q 为真命题……………………………………………………………………3分所以，m 的取值范围为)4,1( …………………………………………………………4分（Ⅱ）命题p ：0362<-=∆m ，得66<<-m ………………………………6分依题意得p 与q 必然一真一假…………………………………………………………7分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBDACCBDACD若p 真q 假，则⎩⎨⎧≤≥<<-1466m m m 或，得16≤<-m 或64<≤m …………………8分若p 假q 真，则⎩⎨⎧<<-≤≥4166m m m 或，此时无解 ……………………………………9分所以，实数m 的取值范围为)6,4[]1,6(⋃- …………………………………………10分 18、解：（Ⅰ）Q C B A ,,成等差数列，∴2B A C =+，…………………………1分又A B C π++=∴3B π= ………………………………………………………2分Q 233433sin 21===∆a B ac S ABC ，解得2=a ………………………………4分由余弦定理得，b ==7 …………………………………6分（Ⅱ）根据余弦定理，由cos a c B =，得acb c a c a 2222-+⋅=， ∴222a b c +=，∴ABC ∆是以2C π=的直角三角形， ………………………………………………10分∴sin a A c =，∴sin b c A ==ac a c⋅=，故ABC ∆是等腰直角三角形…………12分 19、解: （Ⅰ）方法一：设AB 的中点为G ，连接CG DG ,，则EC BB DG //21//1,∴四边形DGCE 为平行四边形…………………………………………………………2分 ∴GC DE //………………………………………………………………………………4分又ABC DE 面⊄,ABC GC 面⊂ ∴DE //面ABC ． ……………………………6分法二：如图，以A 点为原点，分别以1AA AC AB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系令21==AB AA ，则)0,0,0(A ,)1,0,1(),2,0,2(),0,0,2(),0,1,1(),1,2,0(1D B B F E …2分)0,2,1(-=，面ABC 的一个法向量为)2,0,0(1= ……………………………3分∵01=⋅，∴1DE AA ⊥u u u r u u u r又∵ABC DE 面⊄，∴DE ∥平面ABC （Ⅱ）)2,1,1(1--=B Θ,)1,1,1(--=,,1,1(=∴0,011=⋅=⋅B B∴1B F EF ⊥u u u u r u u u r ,1B F AF ⊥u u u u r u u u r∵AF EF F ⋂= ∴⊥F B 1面AEF∴平面AEF 的一个法向量为)2,1,1(1--=B设平面AE B 1的法向量为(,,)n x y z =r ，则由0,01=⋅=⋅AB ，即200y z x z +=⎧⎨+=⎩.令2=x ，则1,2=-=y z (2,1,2)n ∴=-r…………………………………………9分116cos,6n B Fn BF∴<>==r u u u u rr u u u u rr u u u u r6611=FBnFBn……………………………………………………11分∴锐二面角1B AE F--的余弦值为66……………………………………………12分20、解：（1）抛物线()2:20C y px p=>∴抛物线焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2pF，准线方程为2px-=，…………………………………1分∵点()2,P m到焦点F距离为4，∴422=+p，解得4=p，……………………3分∴抛物线C的方程为xy82=…………………………………………………………4分（2）设直线l方程为：()11y k x=++……………………………………………5分由2(1)18y k xy x=++⎧⎨=⎩得：2108ky y k-++=…………………………………………7分当08k≠，即0k≠时，由0∆>，即21114(1)10822kk k k∆=-⨯⨯+=-->21k⇒-<<时，直线与抛物线相交，有两个公共点；……………………………………………11分所以，当21k-<<，且0k≠时，直线与抛物线有两个公共点. ……………………12分21、（I）【证明】在图1的长方形ABCD中，AB＝22，AD＝2，M为DC的中点，∴AM＝BM＝2，所以AM2＋BM2＝AB2∴BM⊥AM…………………………………1分在图2中，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM…………………………………………………………………………3分∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM …………………………………………………………4分（II）【解】取AM中点O，连接DO则AMDO⊥取AB的中点F，连接OF，则BMOF//，由（I）得OF⊥平面ADM如图，建立空间直角坐标系O－xyz ………………………………………………………6分则A(1，0，0)，B(－1，2，0)，D(0，0，1)，M(－1，0，0)则)0,0,2(),1,2,1(-=-=，设λ=则),22,2(λλλλ--=+=…………………………………………………7分设平面AME的一个法向量为n＝(x，y，z)则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，即⎩⎨⎧=+-+-=-)22()2(2zyxxλλλ…………………………………8分取y ＝1，得x ＝0，λλ22-=z ，所以＝(0，1，λλ22-) ………………………9分设直线BD 与平面AME 所成角为θ则15302,cos sin ==><=θ，即15302)22(1622=-+λλλ化简得：01132202=+-λλ，解得21=λ或1011=λ（舍） ……………………11分 ∴存在点E 为BD 的中点时，使直线BD 与平面AME 所成角的正弦值为15302…12分22、解：（Ⅰ）设0),0,(),0,-21>c c F c F （，则21PF ⋅41413)21,3)21,32=+-=--⋅---=c c c （（，所以3=c …… 1分因为212PF PF a +==4，所以2=a …………………………………………………2分12=∴b ……………………………………………………………………………………3分∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ……………………………………………………4分（Ⅱ）21x x ≠Θ，∴直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：m kx y +=与椭圆14:22=+y x C 联立，得：0448)14(222=-+++m kmx x k Θ直线AB 与椭圆C 有两个交点，∴0)44)(14(4642222>-+-=∆m k m k解得：2214m k >+ ……………………………………………………………………5分由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+14441482221221k m x x k km x x …………………………………………………6分由（Ⅰ）得2=a ，则),2(11y x=，),2(22y x =由m n ⊥u r r，得0=⋅，得042121=+y y x x ，得：04)(4)14(221212=++++m x x km x x k ，把韦达定理代入得：14222+=k m …8分又原点O 到直线AB 的距离21km d +=……………………………………………9分所以2122121224)(21112121x x x x m x x k k m AB d S OAB-+⋅=-+⋅+⋅=⋅⋅=∆ 14444)148(212222+-⋅-+-⋅=k m k km m 11421414222222=+=++-⋅+=k m k m k m 为定值…11分所以OAB ∆的面积为定值1 …………………………………………………………12分。

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(文)试题Word版含解析

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末联考数学（文）试题（考试时间：120 分钟总分：150 分）第Ⅰ卷（选择题 60 分）一.选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如果，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2.“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.抛物线y2= 2x的准线方程是（）A. y=B. y=－C. x=D. x=－4.若函数，则等于（）A. -2B. -1C. 1D. 05.命题“a ,b 都是偶数，则 a 与 b 的和是偶数”的逆否命题是（）A. a 与 b 的和是偶数，则 a, b 都是偶数B. a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 都不是偶数C. a, b 不都是偶数，则 a 与 b 的和不是偶数D. a 与 b 的和不是偶数，则 a, b 不都是偶数6.等差数列的前项和为，且，则公差等于（）A. B. C. D.7.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.8.函数的单调递减区间为 ( )A. B. (1，＋∞) C. (0，1) D. （0，＋∞）9.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）A. B. C. D.10.若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象最有可能的是（）A. B. C. D.11.当时，方程表示的曲线是（）A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在y轴上的椭圆C. 焦点在x轴上的双曲线D. 焦点在y轴上的双曲线12.已知是椭圆的左焦点， A为右顶点， P是椭圆上的一点，轴，若，则该椭圆的离心率是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷 (共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)13.命题“”的否定为___________.14.已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，则的最小值为__________．15.曲线在点（e，f（e））处的切线方程为______________16.已知，则函数的取值范围是______________．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题在区间上是减函数；命题q:不等式无解。

2019学年福建省福州市高二上期末理科数学试卷【含答案及解析】

2019学年福建省福州市高二上期末理科数学试卷【含答案及解析】姓名 _____________ 班级 _______________ 分数 ___________、选择题1.命题 p :若 ab=0,则 a=0;命题 q : 3> 3，贝U()A .“p 或q”为假B .“p 且q”为真C . p 真q 假D . p 假q 真2.以下四组向量中，互相平行的是.（）3.双曲线2x 2- y 2 =8的实轴长是（）(1) 苗:二(1,2? 1)(2) 円：二(&4f -6) (3)二(0fl f -1)(4)=(- 5f 2, 0)A. ( 1) (2) B .( 2/(X -2, 3)；，b 二(4, £ ■或，/ (0, -3, 3) ，/ (4, -3, 3)(3) C .(2)( 4) (1)( 3)5. 已知p :“ a, b , c 成等比数列”，q :“..”，那么p 成立是q 成立的（） A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 _____________D .既不充分又非必要条件4. 若焦点在x 轴上的椭圆A .為B .亦C的离心率为 2—，贝V m=(22 2m2 29.以椭圆的焦点为顶点'顶点为焦点的双曲线方程是（） 8. 已知椭圆2 K 丫2 =1 （a >5）的两个焦点为F 1、F 2 过点 F 1，则 △ ABF 2 的周长为（ )A . 10B . 20C . 2価D.4 %师且 |F 1 F 2 1=8 .弦 AB 6.若 A (1 , - 2, 1) , B (4, 2, 3)A •锐角三角形B •直角三角形C C （6,- 9, 4）,贝V △ ABC 的形状是（ •钝角三角形D •等腰三角形 OABC中, /11-■!等于nc= r ，点 M 在 OA 上，且12, 1 肩3- _'_b +— 2 ■f 9.10.已知两点 F 1 (- 1, 0)、F 2 (1, 0),且 |F 1 F 2 | 是|PF 1 |与|PF 2 |的等22B .化1222D .V如图，空间四边形7. ，点N 为BC 中点，则A .差中项，贝V 动点P 的轨迹方程是（填空题11.2 - . T -+ y —13 B . 6 C . : . ■ D焦点在x 轴上的椭圆的焦距为 :，则长轴长是（）12.F 列双曲线中，以22=1 B.占-L =1 C.- y 2 =1 D.x2 - iL41 \U?.213. 直,已知向量.,=（1, 则k 值是 ____________ 1, 0), 1, = (- 1,0,14. (1) (2) (3) n+2 ”下列命题中真命题为 ____________ .命题“ ？ x > 0, x 2 - x < 0"的否定是“ 在三角形 ABC 中，A > B,贝V sinA > sinB .a n+1 , a n+2成等比数列”是“ ? x < 0, x 2 - x >0" 15. 已知数列｛a n ｝，贝U“ a n , 的充要条件已知函数f (x ) =lgx+,贝y 函数f （X ）的最小值为2.方程 x 2 + ( k - 1) y 2 =k+1 三、解答题16.已知双曲线C 1 :2 ar+1=a n ?a 表示焦点在X 轴上的双曲线，则实数 k 的取值范围是2■务二1 （a >0, b >0）的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ,抛物线的交点 C 1的焦点，若双曲线C 1与抛物线C 2 丄F 1F 2，则双曲线C 1的离心率为C 2的顶点在原点，它的准线过双曲线 P 满足PF 2 17. 已知命题p ： A q 为假，求实数c 2 vc ,和命题 q :? x € R ,x 2 +4cx+1 >0 且 p V q 为真，pc 的取值范围.为渐近线的是)=1y= ±.. x18.已知 p : x 2 - 8x - 20< 0；q : 1 - m 2 < x < 1+m 2.(I )若p 是q 的必要条件，求 m 的取值范围；(口)若「p 是「q 的必要不充分条件，求 m 的取值范围.19. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1 (- 2 , 0), F 2 (2 - ■■ , 0),长轴长6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点(0, 2)且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求线段 AB 的长度.(1) 求直线AD 1与B 1 D 所成角； (2) 求直线AD 1与平面B 1 BDD 1所成角的正弦.21.已知双曲线C ：岂(且>0, b 〉0) 的两个焦点为.的曲线C 上.(I )求双曲线C 的方程；(口)记O 为坐标原点，过点 Q(0, 2)的直线I 与双曲线C 相交于不同的两点 E 、F , 若△ OEF 的面积为卜：•，口，求直线I 的方程.22.20. 长方体 ABC - A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=2, BC=1, AA 1 =1 已知双曲线C 的方程为:(1 )求双曲线C的离心率；(2)求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点 A (- 3, 2 ;)的双曲线的方程.23. 已知四棱锥P-ABCD勺底面为直角梯形，AB II DC厶DAB=90 ° , PA丄底面ABCD 且PA=AD=DC* , AB=1, M是PB的中点.（I ）证明：面PAD丄面PCD（口）求AC与PB所成的角；（川）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值.参考答案及解析第1题【答案】j【解析】,环为4可知杲假命趣.命题⑴3=3,可得为耳命题.再利用复合命题：i?!命题"b可能为0』环为①因此是假侖题.命题且；3=3 因此为真命题』所以、或（T为真命题，"且〃为假命題.第2题【答案】故选：D*第3题【答案】【解析】试题分析：判断两向量；w共线，刹用共线向量定理，只需找到一个实齣山使得n,另外零向量与任意冋量平行，于是可得本题答案.解：选项A中，对应坐标不咸比例，故此两个向量不平行；选项B中有：a-2b^a // b・选项c中亍二-与1向量平讦，选顶D,事实上対1S坐标不成比例，故此两个向量不平行9以.下四组向量中「互相平行的是(Z) (3)故选日・第3题【答案】E【解析】试题分析；双曲线方程化为标准万程』即可确定实?由长.w2 护解：双曲线2计歼3』可化为斗-4 o»i s—2^二双曲线2护-产3的实轴长是4故选B-第4题【答案】【解析】先根揚椭圆的标准万程求得5 S 5再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得解：由题竜』则呂1匚引2 _皿-e^a^，J~~2~"^2优简后得m二1亠5・故选A第5题【答案】【解析】：推知卩；“直X c成等比数列",如S匚不为解：g仏bg等比数列',可得b= ±Vac fJ ,其中d b；u不为0, 推础b二氐，•・q 7二石^ ,则有可能BR,邀口，则构不成等比数列, 二*成立罡喊立的既不充分又非必要条件f故选D”第6题【答案】【解析】试融井析；求出答边对应的冋量；求出答边对应向量的数量积，判断数量积的正员，得出音角为锐甬. 解：近=(3」, AC= (5, -7； 3) , BC= <2. -11；1) ?AB-AC =-7<0,得A肯钝角j所決三角形为钝角三角形故选：U第7题【答案】i【解析】解；m=MA+A S+BN =|OA+OB -OA-T^BC=--^C S+OB+-^CC_*亦二_-|OA-^O&+^C<；X OA=a J OB^b ? OC=c.—2 1 1 …M- _ w疔十寿b十豆c ■故选B-第8题【答案】【解析】普普棗當求得榊圆的°’也Cj由榊圆的定只可得△曲应的周长为|AB|+|區I+I BF十4j计鼻即可得te :由题音可得榊圆七的C=4,a 2'5a=7b2+c2=V41 ,由椭圆的定义可得|皿|+1乐|=|帆|+|毗冃巧即有ZkABF'；的周长为| AB | +1肿21 +1 EFj |= |jiFi| + |AF2| + |BFi|-b|BFi|=43=4V41 -故选：D.第9题【答案】【解析】试题井析：先求出椭圆的焦点与顶点即所求戏曲钱的顶点与焦点可知且焦点位蛊确定，即可求解双曲线的炭解：丁椭圆筍占二1的焦点在甘由上且日，2 2何a2- b2 =5二椭圆务各1的焦点為© 5) . (0, -5),顶点为(0, 7) ?(0, -7>二双曲线的顶点(0, 5) , (Q, -5),焦点<0, 7) ；(0, -7)二玄=5户c=7,b^zVc2 2二双曲第方程是缶-訂“故选c第10题【答案】2 2二椭圆的方程是■计十青二1 故选C- 第11题【答案】型譎瞬即叭+映冋得到解：丁" c - b 0) , Fi (b o)、/. lFiFil-2,TI F时是|PF：|与IFF』的等差中项, .\2|FiF2|=|PFi|+|PFaB即|PFd 十|PN=4,【解析】【解析】试题分析：求得椭圆的S・3由題肓可得血＞1」2C=W2,解得冃，即可得到所求值.解：椭圆p + y -1 (n>0)的V3n r AL』c=\/3n- 1 *f3n>l所以长$由长为2円，故选:E.第12题【答案】【解析】g ij试的折：由尸士新得总±¥屯进而可知舟耳g渐运萬的取曲线为〒-〒f W 则可知再页正确•解：由产士和得舟W书因此!遍士評为渐近线的XW勒斗-羊打（加2 2兰心吋，方程为三-工屯16 4故选A.第13题【答案】75【解析】试题分析；由已知中a = <1J b 0) , b= < _b 0* 2) 我们可以求出向量十W与2；-亍的坐标，根据鳥圧与2：-Y 互牛睡直，两个向量的数量积为0,构造关于k的方程，解方程即可求出逍解：「向量：二Cl, 1? 0) . b= ( - 1,0, 2),/.I a +b =lj h* R )2 a _b =2；- 2)- It a十2勻2且厂互片目垂直；0] Ckg+b> (Sa -b> =3 <k-l) +2k-4=5^-7=07解得哄b故答執I 第14题【答案】【解析】试题升折：⑴、写出命题舟S 的否苕可利新＜i）J（2）,在三角形ABC中，利用大甬对大边及正弦定理可利断C2）;（3 ,利用充分必要条件的柢念可分析判断（3）i（4〉・f 3 日卩亡，分宀1与XY1两种・情况讨论，利用对数函数的里调性质可判断⑷.解；对于⑴,命題諾X＞0； X s- 的否定是“宀卩沪=＞屮、故⑴错误iV d对于C 2）在三角形ABC中」JOE a＞b s£nA.＞sinB i,故（2）正确,0 Q对于⑶，數列｛a4中』若科ap＞ij知喊等比数列！贝'J a n+1" =an"a^+£）即充分性成立.反之，若呵则数列怯」不一定是等比数外如应』满足片+1~初仕呵但该数列不是等匸毀列,目叱藝性不成立.故2）错误*对于⑷f函飙＜i）叫汁*-」则当hAU寸』幽数£（I）的最小值为為当0＜盂＜1时lgx,）f （x） =lgy+ -. CO,故（4）舒吴.综上所述，只有＜2）正确，故答案対：⑵■ 第15题【答案】(-171)【解析】再利用方程白gi〉严+i表示焦点在带上撅曲编构解：双曲线方程可化为:uT-_fcT方程占(k-1)上ML表示焦点在渤上的双曲线fk+l>0"空>01 _ kXA -l<k<l故实数k的取值范围是「1,1)故答案为：C-b 1)第16题【答案】V2+1［解析】试飙分析:先设出,把抛物线方程与眾曲线方程联立解；设抛物线方程为严2叫依題意可知・■ p—-2 c j抛物^方稈m戏曲线方程联立得4 -簣屯 a b把E代入整理得Uil=O解得e=Vl +1 ；故答案为；也比第17题【答案】[吉1) u 0]【解析】解：由命题p为翼命题』可得尹＜厂解得XbO.由命题讷真命题'可得22心"解得-£＜虫土-■■ pVg^H, pAq^假，故P和 L个为真命题，另一个为假命题. 若卩罡真命题/且谨假命题』可得£Wc ＜l・奇是假命题」且區真命题，可得-£«虫0.综上可得』所求的冥姝的叹值范围为【影1) U (-L 0].第18题【答案】 [ - V3, Vsl (ll)诊3斬w-3【解析】试题分折：C 1)求出6讪立的等价条件.根鳳是q的必蓼条件’建立条件关系即可.(II)利用5礎6的陀要不充分条件，即礎P的必要不亢分条件，建立条件关系进行求解良呵.解:- Qi-ao^off-2^1^10, PPp：-爲Wl%由^^-l-Zx+l - 得[工十(1 _n) ] [x+ (1+JIL) ]^0,(I )若口是q的必要築件*1 _m2?* -2解得-询忌芒听，即乩的取值范围是[-祈，血]・(II)丁-1!)是~~"q的老曼不充井条件,二虚口的0要不充幷'荼件•[1 - m2< - 2即 , ,即mzg,解得应即皿的取值范围是3或mW - 3 *第19题【答案】第20题【答案】⑴£护1⑵ 9 5【解析】试题分析；C1)由榊匮的焦点和长轴长』可彳駅二2近》a=3,再由注，b ；亡的关系可得b 二1』进而得到楠圆方程；⑵求得直纟訪程尸嵌代A.椭便方毘运用韦达定理和弦长公式.计卵呵得到所求.解；⑴ 由珂(-2近』0)』Fz (2伍』0八长轴长为4得：c —2 n ./2 ? a=2$所以g/a? - /岂二椭圆的万程为#*X y(2)设A. Ji? yi) > B <«£^ yi) >由〔“可知椭圆方程为分阳yM ①'T 直线AB 的方程为尸十2②，把②R 入①得化简并整理得10^+36,. 18 27 则 |AB|=V2 xj G[ +乜)2 _4 幻衍 W><J (-¥)2 _ 4X27—ior【解析】折；⑴ 建立空间直角坐标系』求出直线血「与的方叵]向量』利用向量的夹甬公式，即可求】与B 山所成甬！⑵ 求出平面时DD L的J去向量』別用向量的夹角公式』和可求直线Q：与平面股BDDi 所成角的正弦.解：(1)建立如劃所示的直角坐标系/ WJA (0, 0, 0) , DU1, 0, 1) , Bx(0, H D (b 0, D) •二西二Cl,几1).丽二(b -2,-1),gV页丽＞=忐k赵二＜757，7二直线AD占BiD所成角^90°:＜2)设平面E L EDE的;去向量n- y f i)」贝U/5E]= CO, 0, n 7DB=(-1;厶0) ?_ j 远二0x+2 尸0 '二可取&亿1, 0),二直线Ain与平面F：EDDL所成角的正弦为云击甞.第21题【答案】B】【解析】试题分析：（1）根將题意可得號心二4,得到痢b的关系，把点（3,齿）代入双曲线方程，求得S进而根据孑亠b^4求得》双曲线方程可得.解：（I ）：依题青，由a汁bz=4,得双曲线方程为七-亡迈二L <0<a2<4）,9 7将点⑶仍代入上兀得了一冇二1 .解得3 （舍去）或g 故所求双曲线方程为号-今二1 ■（II）：依题氐可设直线1的方程対尸嵌+2,代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2） x2-4kx-6=O・•.•直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,<4心±1•[△二（-4k）2+4X6 （1 -k ）2>0 ~ V3<^<V3.'.k € （- V3» - 1 ） U （1, V3 ）._ —一 5 4k 6设E （xi, yO , F （x2, yz），贝1」由①式得口十_ 2、xixi=_〔 . 2，丄k 1K于是p IE FI f （玄].乂2）和（匚_罗2）2 二J（1+k?）―（x〔 _ 七）'(II ) y=V2x+2 和尸-近x+2豊grassa第22题【答案】9 n⑴2=1⑵益一工“3 3 9 4【解析】Cl)利用双曲线的方程的标淮形式，求出龟乩口的值,即得禽心率的值.⑵根据题青中所给的取曲缄的渐近冬妇L则可设双曲线的标准方程为土-子" y1 a^o)$将点(乳⑴)代入万程，可得—-“即可得答乖解：⑴由题意^启曲』圧1鸽则赶=3, G=5,所以该双曲线的离心率e-=|.s 32 2⑵ 根据题嵐则可设跃曲线的标准方程为丄一二以，宀打'316良因列双曲线经过点卫(-3, 2^3)fU方程可得』入气」A 2 2故这条戏曲线的方程为卑--丄二「9 4第23题【答案】证明面PAD丄面PCD,只需证明面PCD内応直线CD,垂直平面PAD內的两条相交直线AD. PD即可；〈II〉过,鹽作BE"他且BETA, ZPEE是AC与珂所成的角，解直角三角形PEB求AC与FB所成的角j(JU) <^AWLCM, f足卷驭诽印，说明ZANB为所束二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦走理求面AMC与面BMC所成二面角的天小•< I )证明:*/PA丄面ABCD, CD丄AD,二由三垂线定理得：CD1PD .因而，CD与面PAT•內两条相交直线Alb PD都垂直，「•CD 丄面PAD.又CD面PCD,•••面PAD 丄面PCD.< II〉解:过点B作班"CA,且BE=CA,则ZPBE是AC与PR所成的角•连接AE,可知ACWB二EE二AE二逅，又AB二2,所以四边形ACBE为正方形•由PA丄面ABCD得ZPEEWO。

福州市1920上期末质检(高二数学)参考答案

高二数学参考答案（第1页共8页）2019－2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．C 2．D 3．B4．A 5．C6．A7．C8．B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．AC10．AC11．ABD12．ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1y =14．32151 16．2；5四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．【解答】（1）(2i)(1i)(2)(2)i z m m m =--=--+． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 3分由20,20m m -=⎧⎨+≠⎩ ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分得2m =． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分（2）由（1）知，()()22i z m m =-++， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分因为复数z 在复平面上对应的点在第四象限，所以20,20,m m ->⎧⎨+<⎩ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分解得2m <-，高二数学参考答案（第2页共8页）所以m 的取值范围为(),2-∞-． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10分 18．【解答】解法一：（1）依题意，,A B 分别为椭圆E 的右顶点、上顶点，E 的焦点在x 轴上． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分设E 的方程为22221x y a b +=（0a b ＞＞），则1a b ==， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 4分所以E 的方程为2212x y +=．ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，不妨设12y y ＞，依题意，直线l 的方程为1y x =-． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分由221,22y x x y =-⎧⎨+=⎩得23210y y +-=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分解得121,13y y ==-， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 8分记点()1,0为F ，则OPQ OFP OFQ S S S =+△△△ ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分1212OF y y =- ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分 14123=⨯⨯ 23=．所以OPQ △的面积为23． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分解法二：（1）同解法一． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，不妨设12x x ＜．依题意，直线l 的方程为1y x =-． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得2340x x -=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分解得10,x =243x =， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 8分高二数学参考答案（第3页共8页）所以12403PQ x =--= ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分原点O 到直线l的距离d ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10分所以12OPQ S PQ d =△ ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分122=23=．所以OPQ △的面积为23． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分 19．【解答】（1）依题意，2()23f x mx mx '=--， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分因为()f x 在3x =处有极小值，所以()3330f m '=-=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 3分解得1m =． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 4分经检验，1m =符合题意，故m 的值为1． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分（2）由（1）得2()23f x x x '=--，令()0f x '=，得3x =或1x =-． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：分由上表可知，()f x 的最小值为703-； ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分 ()f x 的最大值为113． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分高二数学参考答案（第4页共8页）20．【解答】（1）证明：过点B 作BF CD ⊥，垂足为F ，则1EF AB ==，DE CF ==12CD EF-=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 1分连接BE ，依题意，AED △为等腰直角三角形，故1,AE DE ==又AE DE ⊥，故AE AB ⊥，所以EB == ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分在四棱锥P ABCE -中，因为PB =1PE DE ==，所以222PE EB PB +=，故PE EB ⊥， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 3分因为PE EA ⊥，EA EB E = ，且,EA EB ⊂平面ABCE ，所以PE ⊥平面ABCE ． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分（2）由（1）知，PE ⊥平面ABCE ，所以PE EA ⊥，PE EC ⊥，又AE EC ⊥，所以,,EA EC EP 两两垂直．以E 为原点，分别以,,EA EC EP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为：(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分(1,0,1)PA =- ，(0,2,1)PC =- ，(1,1,0)BC =-，ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 故20,0,y z x y -=⎧⎨-+=⎩取1y =，故(1,1,2)=n ． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分所以cos ,6PA PA PA ⋅<>===-n n n． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ=cos ,PA <>n ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分21．【解答】解法一：（1）连接MF ，则MD MF =， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 1分则根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以(1,0F ）为焦点，直线1x =-为准线的抛物线． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 3分则点M 的轨迹的方程为24y x =． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PA BCEx zyCD E F高二数学参考答案（第5页共8页）联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=，216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分直线OP 的方程为1114y y x x x y ==，同理：直线OQ 的方程为24y x y =， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分令1x =得，14(1,)A y ，24(1,)B y ，设AB 中点T 的坐标为(,)T T x y ，则1T x =，121212442()22T y y y y y m y y ++===-，所以(1,2)T m -．211212444y y AB y y y y -=-==．圆的半径为r =．所以以AB 为直径的圆的方程为222(1)(2)44x y m m -++=+．展开可得22(1)44x y my -++=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分令0y =,可得2(1)4x -=，解得3x =或1x =-． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分所以以AB 为直径的圆经过定点(1,0)-和(3,0)． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分解法二：（1）同解法一． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分（2）①当直线PQ 不与x 轴垂直时，设其方程为(1)y k x =-（0k ≠），11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由24,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，2222(24)0k x k x k -++=，所以2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，212224k x x k ++=，121x x =． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分高二数学参考答案（第6页共8页）所以()()()22121212121114y y k x x k x x x x =--=-++=-⎡⎤⎣⎦，()()()2112211212124112x y x y kx x kx x k x x x x k +=-+-=-+=-⎡⎤⎣⎦， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分直线OP 的方程为11y y x x =，同理可得，直线OQ 的方程为22yy x x =，令1x =得，12121,,1,y y A B x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分即()22212112121210x y x y y yx y y x x x x +-+-+=，即()224140x y y k-++-=，令0y =,可得()214x -=，解得3x =或1x =-．所以以AB 为直径的圆经过定点(1,0)-和(3,0)． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10分 ②当直线PQ 与x 轴垂直时，()()1,2,1,2A B -，以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=，也经过点(1,0)-和(3,0)． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分综上，以AB 为直径的圆经过定点(1,0)-和(3,0)． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分解法三：（1）同解法一． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分（2）假设以AB 为直径的圆经过定点，由抛物线关于x 轴对称可知该定点必在x 轴上，设定点为(,0)T t ，则0AT BT ⋅=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分设直线PQ 的方程为1x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=，216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分直线OP 的方程为1114y y x x x y ==，同理：直线OQ 的方程为24y x y =，令1x =得：14(1,)A y ，24(1,)B y ，高二数学参考答案（第7页共8页）则14(1,AT t y =-- ，24(1,)BT t y =-- ，则由0AT BT ⋅= 可得：21216(1)0t y y -+=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分因为124y y =-，所以2(1)40t --=，解得3t =或1t =-， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分所以以AB 为直径的圆经过定点(1,0)-和(3,0)． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分 22．【解答】解法一：（1）依题意，()f x 的定义域为()0,+∞， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 1分 ()()ln 1f x a x '=+， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 2分当10e x ＜＜时，ln 10x +＜；当1e x ＞时，ln 10x +＞． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 3分①当0a ＞时，若10ex ＜＜，则()0f x '＜；若1e x ＞，则()0f x '＞．所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 4分②当0a ＜时，若10ex ＜＜，则()0f x '＞；若1e x ＞，则()0f x '＜．所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 5分综上，当0a ＞时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a ＜时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分（2）由（1）知，当1a =-时，()ln f x x x =-，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1111()()ln e e e e f x f ==-=， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分故当0x ＞时，1ln e x x -≤． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 8分又当0x ＞时，1011e e e x --=＞， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分所以当0x ＞时，11e ln ex x x --＞≥，故1e ln 0x x x -+＞， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分高二数学参考答案（第8页共8页）所以11ln 0e x x x -+>． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分解法二：（1）同解法一． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 6分（2）令()1e ln x g x x x -=+，则()1e ln 1x g x x -'=++， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 7分令()1e ln 1x h x x -=++，则()h x 为增函数，且21111e e 211e210,e 110e e h h -⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＞，所以()h x 有唯一的零点0x ，0211,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 8分所以当00x x ＜＜时，()0g x '＜，()g x 为减函数；当0x x ＞时，()g x 为增函数．所以()()01000e ln x g x g x x x -=+≥． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 9分由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故()01e f x f ⎛⎫⎪⎝⎭＞，即001ln e x x -＞， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 10分所以()()()0010111e e 1e 10e e ex x g x --=--=＞＞， ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 11分所以1e ln 0x x x -+＞，故11ln 0e x xx -+＞． ꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏꞏ 12分。