高中数学第一章 导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例(含答案解析)

1．4 生活中的优化问题举例

考点 学习目标

核心素养 优化问题

了解利润最大、用料最省、效率最高等优化

问题

数学抽象

导数的实际应用 会利用导数解决简单的实际生活中的优化

问题

数学建模

面积、容积最值问题

请你

设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

【解】 设OO 1为x m ，则1

于是底面正六边形的面积为 6·

34·(8＋2x －x 2)2＝33

2

(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为

V (x )＝332(8＋2x －x 2)⎣⎡⎦⎤13（x －1）＋1＝3

2(16＋12x －x 3)． 求导数，得V ′(x )＝

3

2

(12－3x 2)． 令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2. 当10，V (x )为增函数； 当2

解决优化问题的基本思路

(1)优化问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时就可以利用导数解决优化问题．

(2)导数是解决优化问题的基本方法之一．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路是：

用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个

角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

解：设容器的高为x ，容器的容积为V ， 则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)， 即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x . 因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，

由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36.

因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.

又因为0＜x ＜24， 所以V (10)也是最大值．

所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.

故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.

用料(费用)最省问题

现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，

A 地至

B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．

(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【解】 (1)依题意得y ＝500

x (960＋0.6x 2)

＝

480 000

x

＋300x ， 且由题意知，函数的定义域为(0，35]，

即y ＝480 000x ＋300x (0

(2)由第一问知，y ′＝－480 000

x 2

＋300， 令y ′＝0，

解得x ＝40或x ＝－40(舍去)，

因为函数的定义域为(0，35]，所以函数在定义域内没有极值点． 又当0

所以y ＝480 000

x ＋300x 在(0，35]上单调递减，

故当x ＝35时，函数y ＝480 000

x

＋300x 取得最小值．

故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．

利用导数解决优化问题的一般步骤

(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y ＝f (x )．

(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点．

(3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．

(4)根据实际问题的意义给出答案．

一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速

度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？

解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6

103＝0.006，则p ＝0.006v 3.又设当

船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v 小时，所以行1海里的总费用为q ＝1

v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .

q ′＝0.012v －96v 2＝0.012

v 2(v 3－8 000)，

令q ′＝0，解得v ＝20.

因为当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0， 所以当v ＝20时q 取得最小值，

即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．

利润最大问题

某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加

工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．

(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；

(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值． 【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则k

e 30＝100，所以k ＝100e 30，

所以日销量q ＝100e 30

e x ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x (25≤x ≤40)．

(2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x ，所以y ′＝100e 30（26－x ）

e x .

由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，

所以y 在[25，26)上单调递增，在[26，40]上单调递减， 所以当x ＝26时，y max ＝100e 4.

故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．

(1)经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．

(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本；

②利润＝每件产品的利润×销售件数．

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价

是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．

(1)写出y 关于x 的函数关系式；

(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，

所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得