高中数学第一章 导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例(含答案解析)

1．4 生活中的优化问题举例
考点 学习目标
核心素养 优化问题
了解利润最大、用料最省、效率最高等优化
问题
数学抽象
导数的实际应用 会利用导数解决简单的实际生活中的优化
问题
数学建模
面积、容积最值问题
请你
设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
【解】 设OO 1为x m ，则1<x <4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2.
于是底面正六边形的面积为 6·
34·(8＋2x －x 2)2＝33
2
(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为
V (x )＝332(8＋2x －x 2)⎣⎡⎦⎤13（x －1）＋1＝3
2(16＋12x －x 3)． 求导数，得V ′(x )＝
3
2
(12－3x 2)． 令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2. 当1<x <2时，V ′(x )>0，V (x )为增函数； 当2<x <4时，V ′(x )<0，V (x )为减函数． 所以当x ＝2时，V (x )最大．
解决优化问题的基本思路
(1)优化问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时就可以利用导数解决优化问题．
(2)导数是解决优化问题的基本方法之一．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路是：
用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个
角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器的高为x ，容器的容积为V ， 则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)， 即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x . 因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，
由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36.
因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.
又因为0＜x ＜24， 所以V (10)也是最大值．
所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.
故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.
用料(费用)最省问题
现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，
A 地至
B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【解】 (1)依题意得y ＝500
x (960＋0.6x 2)
＝
480 000
x
＋300x ， 且由题意知，函数的定义域为(0，35]，
即y ＝480 000x ＋300x (0<x ≤35)．
(2)由第一问知，y ′＝－480 000
x 2
＋300， 令y ′＝0，
解得x ＝40或x ＝－40(舍去)，
因为函数的定义域为(0，35]，所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，
所以y ＝480 000
x ＋300x 在(0，35]上单调递减，
故当x ＝35时，函数y ＝480 000
x
＋300x 取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
利用导数解决优化问题的一般步骤
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y ＝f (x )．
(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点．
(3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．
(4)根据实际问题的意义给出答案．
一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速
度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6
103＝0.006，则p ＝0.006v 3.又设当
船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v 小时，所以行1海里的总费用为q ＝1
v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .
q ′＝0.012v －96v 2＝0.012
v 2(v 3－8 000)，
令q ′＝0，解得v ＝20.
因为当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0， 所以当v ＝20时q 取得最小值，
即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．
利润最大问题
某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加
工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．
(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；
(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值． 【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则k
e 30＝100，所以k ＝100e 30，
所以日销量q ＝100e 30
e x ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x (25≤x ≤40)．
(2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x ，所以y ′＝100e 30（26－x ）
e x .
由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，
所以y 在[25，26)上单调递增，在[26，40]上单调递减， 所以当x ＝26时，y max ＝100e 4.
故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．
(1)经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本；
②利润＝每件产品的利润×销售件数．
某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价
是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．
(1)写出y 关于x 的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，
所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得
x 1＝12，x 2＝－2
3(舍去)，
当0＜x ＜1
2时，y ′＞0；
当1
2
＜x ＜1时，y ′＜0， 所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝1
2处取得极大值，即最大值．
故改进工艺后，产品的销售价为20⎝⎛⎭⎫1＋1
2＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．
1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－1
3
x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A ．13万件
B ．11万件
C ．9万件
D ．7万件
解析：选C.因为x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，
令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当x ∈(0，9)时，y ′>0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，所以y 先增后减．所以当x ＝9时函数取得最大值．选C.
2．用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________．
解析：设长方体的底面边长为x m ，则高为(6－2x )m ，所以x ∈(0，3)，则V ＝x 2(6－2x )＝6x 2－2x 3，V ′＝12x －6x 2，令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)，
所以当x ∈(0，2)时，V ′>0，V 是增函数， 当x ∈[2，3)时，V ′<0，V 是减函数， 所以当x ＝2时，V max ＝22×2＝8(m 3)． 答案：8 m 3
3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x 吨与每吨产品的价格p (元/吨)之间的函数关系式为p ＝24 200－1
5x 2，且生产x 吨产品的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问：该厂
每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
解：依题意，知每月生产x 吨产品时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－1
5x 2x －(50 000＋200x )＝－1
5
x 3＋24 000x －50 000(x >0)， 故f ′(x )＝－3
5
x 2＋24 000.
令f ′(x )＝0，得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．
因为在(0，＋∞)内只有x ＝200使f ′(x )＝0，且x ＝200是极大值点，所以200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－1
5
×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．
所以该厂每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．
[A 基础达标]
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝1
3
x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A ．8 B.203 C ．－1
D ．－8
解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产产品台数为( )
A ．6千台
B ．7千台
C ．8千台
D ．9千台
解析：选A.设利润为y ，则y ＝y 1－y 2 ＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)， 所以y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)． 令y ′＝0，则x ＝0或x ＝6.
经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 所以生产产品6千台时利润最大．故选A.
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，
80 000，x >400，则总利润最大时，每年
生产的产品数量是( )
A ．100
B ．150
C ．200
D ．300
解析：选 D.由题意，总成本为C ＝20 000＋100x ，所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 2
2－20 000，0≤x ≤400，
60 000－100x ，x >400，
P ′＝⎩
⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，
令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，P ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大．
4．某出版
社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm 2，上、下要留1.5 cm 空白，左、右要留1 cm 空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为( )
A ．左右长12 cm ，上下长18 cm
B ．左右长12 cm ，上下长19 cm
C ．左右长11 cm ，上下长18 cm
D ．左右长13 cm ，上下长17 cm
解析：选A.设所印文字区域的左右长为x cm ，则上下长为150
x cm ，所以纸张的左右长
为(x ＋2)cm ，上下长为⎝⎛⎭⎫150x ＋3cm ，所以纸张的面积S ＝(x ＋2)⎝⎛⎭⎫150x ＋3＝3x ＋300
x
＋156. 所以S ′＝3－300
x 2，令S ′＝0，解得x ＝10.
当x >10时，S 单调递增； 当0<x <10时，S 单调递减．
所以当x ＝10时，S min ＝216(cm 2)，此时纸张的左右长为12 cm ，上下长为18 cm. 故当纸张的边长分别为12 cm ，18 cm 时最节约． 5．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43
R D.34
R 解析：选C.设圆锥的高为h ，底面半径为r ，体积为V ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，所以r 2＝2Rh －h 2，
所以V ＝13πr 2h ＝23πRh 2－π
3h 3，
所以V ′＝4
3
πRh －πh 2.
令V ′＝0，解得h ＝4
3R 或h ＝0(舍去)．
当0<h <4
3
R 时，V ′>0；
当43R <h <2R 时，V ′<0，所以h ＝4
3R 时，圆锥体积最大． 6．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫
60－x 2(0<x <60)，则箱子底面边长为
________时，它的体积最大．
解析：V ′(x )＝－32 x 2＋60x ＝－3
2x (x －40)，
当0<x <40时，V ′(x )>0，V (x )单调递增； 当40<x <60时，V ′(x )<0，V (x )单调递减， 所以x ＝40是V (x )的极大值点也是最大值点． 所以当箱子的底面边长为40时，体积最大． 答案：40
7．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入．
解析：设没有租出去的公寓数为x ，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，所以f ′(x )＝1 600－100x ，解得x ＝16，所以当x ＝16时，f (x )取得最大值，把租金定为1 800元时，收入最大．
答案：1 800
8．某厂生产x 件产品的总成本为C 万元，产品单价为P 万元，且满足C ＝1 200＋2
75x 3，
P ＝500
x
，则当x ＝________时，总利润最高．
解析：设总利润为L (x )万元，则由题意得L (x )＝x ·500x －1 200－275x 3＝－2
75x 3＋500x －
1 200(x >0)．由L ′(x )＝－225x 2＋250
x ＝0，得x ＝25.令L ′(x )>0，得0<x <25；令L ′(x )<0，得x >25，
得L (x )在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x ＝25时，总利润最高．
答案：25
9．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(x －2)2成正比，比例系数为4.
(1)写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；
(2)商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．
解：(1)由题意知，今年的销售量为[1＋4(x －2)2](万件)． 因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，
所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2]·(x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17(1≤x ≤2)． (2)由(1)知y ＝f (x )＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2， 从而y ′＝f ′(x )＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)． 令y ′＝0，解得x ＝32或x ＝116.
列表如下：
又f ⎝⎛⎭⎫
32＝1，f (2)＝1，
所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)． 而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，
所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益． 10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m ，高为h m ，体积为V m 3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m 2，底面的建造成本为160元/m 2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 根据题意，得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝1
5r (300－4r 2)，
从而V (r )＝πr 2h ＝π
5(300r －4r 3)．
由h >0且r >0，可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53)． (2)由(1)知V (r )＝π
5(300r －4r 3)，
故V ′(r )＝π
5
(300－12r 2)．
令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)． 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0， 故V (r )在(0，5)上为增函数； 当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0， 故V (r )在(5，53)上为减函数．
由此，可知V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8， 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．
[B 能力提升]
11．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( ) A ．2πR 2 B ．πR 2 C ．4πR 2
D.12
πR 2 解析： 选A.设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则 x ＝
R 2－
h 2
4
， 所以S 侧＝2πxh ＝2πh R 2－
h 24
＝2π R 2h 2－
h 4
4
， 令
t ＝R 2h 2－
h 4
4
，则t ′＝2R 2h －h 3，令t ′＝0，得h ＝2R (舍负)或h ＝0(舍去)，当0<h <2R 时，t ′>0，当2R <h <2R 时，t ′<0，
所以当h ＝2R 时，圆柱的侧面积最大．
所以侧面积的最大值为2π2R 4－R 4＝2πR 2，故应选A.
12．海轮每小时使用的燃料费y (单位：元)与它的航行速度v (单位：n mile/h)的立方成正比．已知某海轮的最大航速为30 n mile/h ，当速度为10 n mile/h 时，它的燃料费是每小时25元．其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile ，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
解析：由题意，燃料费y 与航速v 之间满足y ＝a v 3(0≤v ≤30)． 又因为25＝a ·103，所以a ＝
1
40
. 设从甲地到乙地海轮的航速为v ，总费用为y 1， 则y 1＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000
v . 由y ′1＝40v －320 000
v 2
＝0，得v ＝20<30.
当0<v <20时，y ′1<0；当20<v <30时，y ′1>0，
所以当v ＝20时，y 1最小．
答案：20 n mile/h
13．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格
x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3
＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2
＋10＝11，解得a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3
＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润
f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦
⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，
解30(x －4)(x －6)＝0，得x 1＝4，x 2＝6(舍去)．
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x
(3，4) 4 (4，6) f ′(x )
＋ 0 － f (x )
极大值42 由上表可得
所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
14．(选做题)如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．
(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数；
(2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积．
解：(1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)．
(2)因为S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S ′＝5 000(cos θ＋cos 2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．
令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝π3
. 当0<θ<π3时，12
<cos θ<1，S ′>0； 当π3<θ<π时，－1<cos θ<12
，S ′<0. 故当θ＝π3
时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150. 即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2.。