反比例函数知识点总结与对应练习

反比例函数知识点总结

知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x

k y =

（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理

解：

⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；

⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x

k y =

（0k ≠），②1

kx

y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；

⑸函数x

k y =

（0k ≠）与y

k x =

（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y

的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x

k y =，就不是反比例函数了，由于

反比例函数x

k y =

（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，

从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数x

k y =

（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出

k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

★关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。如x

k y =在第一、第三象限，则

可知0k >。 ★反比例函数x

k y =

（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足， 则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k ☆ 反比例函数x

k y =

（0k ≠）中，k 越大，双曲线x

k y =

越远离坐标原点；k 越小，双曲线x

k y =

越靠近坐标原点。

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直

线y=－x 。

经典例题透析

类型一： 反比例函数的概念 （一）反比例函数的定义

【例题】1、下列函数中是反比例函数的有 （填序号）

()()()()()()()()())

0(10;29;1)8(;87;2

16;

235;2

114;23;1312;3

12

2≠=

=-==

=

-=

-=-

=+=-=k k x

k y x

y x y x

y xy x

y x y x

y x y x y

为常数，

2、在函数2

1+=

x y 中，自变量x 的取值范围是

（二）反比例函数的意义

【例题】1、k 为何值时,2

3)2(k x

k y --=是反比例函数。

2.已知函数

3

422+-+=m m x

m y )(（1）m 是何值时，它是反比例函数？（2）它的图像位于哪些象限？

y 值怎样随x 的变化而变化？

3、反比例函数y ＝2

1039

n n x

--的图象每一象限内，y 随x 的增大而增大，则n ＝_______．

（三） “成反比例”的含义

【例题】1.已知y 与x-1成反比例，并且x ＝-2时y ＝7，求：(1)求y 和x 之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y 的值(3)y ＝-2时，x 的值。

【练习】1.已知y=y 1+y 2，y 1是关于1+x 的正比例函数，y 2是关于1+x 的反比例函数；当0=x 时，5-=y ,当2=x 时，7-=y ；（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当5=x 时，求y 的值。

类型二：确定反比例函数的解析式

【例题】当自变量取值为—1时，函数值为2，求反比例函数的关系式。

【练习】1、已知变量y 与x 成反比例，并且当x=3时，y=7.求y 与x 之间的函数关系式；

2、函数x

k y =

的图像经过点)2,1(-A ，则k 的值为 。

3、如图，P 是反比例函数图象上的一点，且点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，求这个反比例函数的解析式．

类型三：反比例函数的图像及性质

【例题】1.已知反比例函数x

m y 2=的图像过点（-3，-12），且双曲线x

m y =

位于第二、四象限，求m

的值。