集合的定义及其表示知识点总结及练习

1.1 集合的含义及其表示
学习目标：
1．通过实例了解集合的含义，理解元素与集合之间的关系；并记住几种常见数集的表示；2．理解并掌握用列举法和描述法表示集合的方法，理解集合相等的概念；
3．了解集合的分类．
重点难点：元素与集合之间的关系和集合的表示方法．
授课内容：
一、知识要点
1．集合的含义：
一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为集合的元素．
（１）元素与集合的关系
a∈；
若a是集合A的元素，记作A
b∉．
若b不是集合A的元素，记作A
（２）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．（３）常用数集及其记法：
自然数集，记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R．
2．集合的表示方法：
表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内即：{x∣p(x)}．
图示法：用一条封闭曲线的内部（或数轴）表示一集合的方法．包括：维恩图和数轴法3．集合的分类：
根据元素个数的多少可分为：有限集合、无限集；特别地，我们把不含有任何元素的集合叫空集，记作．
相等集合：．
二、典型例题
知识点1：集合的含义
1．判断下列每组对象能否构成一个集合
（1）所有3的倍数（2）很大的数的全体（3）中国的直辖市
（4）young中的字母（5）平面上到点O的距离等于5的点的全体
（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程210
x x
++=的实数解（10）π的近似值（11）世界上最高的山峰（12）高一数学课本中的难题
2．用符合“∈”或“∉”填空
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：
中国A；美国A；印度A；英国A．
（2）1_______N -3_________N 0__________N
1_______Z -3_________Q 0__________Z
0_______N* π________R 22
7
_______Q cos300_______Z
（3）集合A中的元素由∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系．○10 ○2
3
知识点2：集合中元素的性质
3．若方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为 ．
4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是 ．
5．只有三个元素的集合1，a ，
b a ，也可表示为0，a 2，a+b ，求a 2005+ b 2006的值．
6．不包含-1，0，1的实数集A 满足条件a ∈A ，则
11a a
+-∈A ，如果2∈A,求A 中的元素．
7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ．
8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含
一个元素、含两个元素．
知识点3：集合的表示
9．用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics 中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足240
1
21x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合；
（5）由||
||
(,)a b a b R a b +∈所确定的实数集合；
（6）{(x,y)|3x+2y=16，x ∈N ，y ∈N }．
10．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使y =有意义的x 的集合；
（3）方程x 2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x 2+3x-6上所有点的集合；
11．下列语句中，正确的是 （填序号）．
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；
（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2}
（4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示．
12．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）．
（1）M ={3，2}，N ={2，3} （2）M ={(3，2)}，N ={（2，3）}
（3）M ={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M ={1，2}，N ={(1,2)}
13．下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13
y x y x 的解集的是 （填序号）．
（1）{1,2},x y == (2){1,2}(3){(1,2)}
（4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或
（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x
14．设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”．
（1）试写出只有一个元素的集合A ；
（2）试写出只有两个元素的集合A ；
（3）这样的集合A 至多有多少个元素；
（4）满足条件的集合A 共有多少个．
三、课堂练习
1．下面有四个命题：
①集合N 中最小的数是1；
②若－a 不属于N ，则a 属于N ；
③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；
④x 2＋1＝2x 的解集可以表示为{1，1}．
其中正确命题的个数为________．
2．集合A ＝{x 2,3x ＋2,5y 3－x}，B ＝{周长等于20 cm 的三角形}，C ＝{x | x －3＜2，x ∈R}，D ＝{(x ，y)|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．
3．已知集合A 中含有三个元素2,4,6，且当a ∈A 时，有6－a ∈A ，那么a 为________．
4．设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q ＝{ab|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P*Q 中元素的个数是________．
5．已知集合M ＝{x|x ＝7n ＋1，n ∈N}，则2010________M ，2011________M ． (填∈或∉)．
6．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m|m ＝x |x|＋y |y|＋xy |xy|
}为________． 7．已知集合A ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y)|y ＝x ＋3}，若a ∈A ，a ∈B ，则a 的值为________．
8．已知集合A ＝{0,2,3}，定义集合运算A ※A ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则A ※A ＝________．
9．由下列对象组成的集体属于集合的是________．
①不超过π的正整数；
②高一数学课本中所有的难题；
③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；
⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．
10．用符号“∈”或“∉””填空
(1)0________N ，5________N ，16________N ；
(2)－12________Q ，π________Q ；
(3) 2－3＋2＋3________{x|x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q}．
11．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝1
的解集用集合表示为__________． 12．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示是____________．
13．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．
(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；
(3)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合；
(4)由所有周长等于10 cm 的三角形组成的集合．
14．已知集合A ＝{x|12
6－x ∈N ，x ∈N}，试用列举法表示集合A ．
15．已知集合A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，a ∈R ．
(1)若－3∈A ，求实数a 的值；
(2)当a 为何值时，集合A 的表示不正确．。