塑性力学应力状态

应力星圆
应力状态与 应力星圆
【例】已知应力状态为：1=150MPa, 2=50MPa, 3=
-50MPa，试画出应力星圆。 【解】
0 = (150+50-50)/3 = 50MPa
故， = 30。
应力星圆
最大剪应力用i 和表示
应力星圆
•
•
1•
• 0
3
•
•3
1
•
剪应力2
•O
•O
的绝对
值最大
•
•O •120 •p1
•3
•p •x
•1
➢ 应力罗 德参数 与应力 罗德角 和应力 状态特 征角的 关系
•
• r
•
r
应力罗德参数与应力罗德角
•应力罗德角 •应力罗德参数
•——洛德角， 平面上的剪应力
与2轴的垂线间的 夹角；
•——洛德参数，
•
应力罗德参数
-30 30 -1 1
应力状态与应力罗德角
➢ 总应力为 ➢ 斜截面上的剪应力为
三维应力圆
➢ 三维应力状态 下任意斜截面 上的正应力和 剪应力，在以 三个主应力组 成的应力圆所 围成的阴影的 范围之内。
➢ 最大剪应力等 于最大和最小 正应力值之差 的一半。
1－4 最大剪应力
➢ 主应力平面上 的剪应力为零 ；最大剪应力 位于坐标轴分 角面上，而三 个最大剪应力 分别等于三个 主应力两两之 差的一半。
【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确 定，即
➢ 试求主应力的值。 【解】求各应力张量不变量，I1 = 3，I2= -6，I3
= -8，代入一元三次方程得
解得
➢斜截面上的正应力和剪应力
➢ 设斜截面上的正应力为v , 则由投影可得
➢ 若三个坐标轴的方向为主方向，且主应力大小顺序 按x, y, z排列，则
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i 或0只引起物体 形状的变化， 与
应力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量
主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
➢ 应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以 2i / 3为半径所画的圆。由圆心O点开始作与 轴O成 角的直线，则此直线与圆的交点在 O 轴上的投影即为1。由OA线顺时针旋转 120作一直线，此直线与圆的交点在 轴上的 投影即为2。而由OA线顺时针旋转240所作 的直线与圆的交点在 轴上的投影即为3。
➢ 0与轴1在等倾面上的投影之间的夹角
➢ 称为应力状态的特征角，cos为应力形式指数
。
偏平面
➢如果等倾面上的正应力0= 0，？？ ➢如果0= 0，等倾面过原点，则此等倾面称为
平面。平面上没有正应力，只有剪应力，只 有应力偏张量，所以平面又叫偏平面。
➢ 应力强度 或广义剪应力
•0 为平均应力或
静水压力，只引起 物体体积的变化，
➢ 则等倾面上的正应力和剪应力
主应力空间：以三个主 应力为轴而组成的笛卡 儿坐标系
➢ 若将1, 2, 3轴在等倾
面上投影，则在等倾面 上可以得到互相成120 角的三个坐标轴。
等倾面及其上应力
• • •
•
•
• •
等倾面上一点的应力状态
•八面体上 的正应力 与剪应力
➢ 向量 在等倾线上的投影 0
➢ 向量 在等倾面上的投影 0
•应
•应
力张
力
量
分
量
•应力 偏量张
量 •应力 球张量
•克罗内克尔（Kronecker）符号
应 力 张 量 的 分 解
➢ 将应力状态分解为球形应力张量和应力偏量 ，球形应力张量表示各向均匀受力状态，有 时也称静水压力状态。将原应力状态减去静 水压力状态即可得到应力偏量状态。球形应 力张量引起物体体积的改变，而应力偏量则 引起物体形状的变化。
【例】已知一点的主应力1 ＝32 ＝33，试求该点的
应力形式指数cos、应力罗德参数、应力状态特 征角、应力罗德角，并在平面（等倾面）上画
出两个角度之间的关系。
➢ 如果1 ＝ 33，2 ＝ 23，则
••＝0
••＝30
•1 ＝32 ＝33
••＝0 • r• ••＝30
1-7 应力张量的分解
➢ 一点的应力状态可以用6个应力分量来表示， 在给定的受力情况下，各应力分量的大小与 坐标轴的方向有关，而它们作为一个整体用 来表示一点应力状态的这一物理量（称为应 力张量）则与坐标的选择无关。所谓张量是 指在坐标变换时，按某种指定形式变化的量 。张量的分量随坐标的变换而变化。应力张 量是二阶张量。应力张量是二阶对称张量。
➢ 在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力 和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向 即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正 应力便称为主应力。
➢ 如＝果y vm方，向pv为z =主应z n力，平则面得的方向，则有pvx = x l，pvy
➢ 几何关系
➢ l,m,n不能同时为零，因此前式为包括三个未知量 l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的 系数行列式应当等于零，即
•x
•说明 ；•(2) F 的加载方式是任意的;
： •(3)
的正负号由坐标方向确定。
•2. 应力
•(1) 一点应力的概念
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•内力 •
(1) 物体内部分子或原子间的相 互作用力; •(不考虑)
•(2) 由于外力作用引起的相互作用力.
•(1) M点的内力面分布集度 •----M点的应力
•(2) 应力矢量
•
。
2
•
2
1-6 应力罗德参数与应力罗德角
➢ 在 平面上建立直
角坐标系Oxy，取
y平轴面方上向投与影22轴 一在致
。
➢ 矢量Op在坐标轴1 上的投影长度为
Op1 = 1，在2
上的投影长度为
Op2= 2，在3
上的投影长度为
Op3 = 3。
➢ 矢量Op与x轴夹角
为应力罗德角 。
•y •2 •p3
•120 •p2
➢ 在主应力坐 标系中（1, 2, 3分别代
表1, 2, 3
）主应力与
最大剪应力
作用面及其 方向余弦
1-5 等倾面上的正应力和剪应力
➢ 等倾面就是和三个主应力轴成相同角度（5444'）的 面，等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的 角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等倾面 法线的方向余弦l, m, n可由下式确定
•的极限方向
•由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
•应力分
•应力的法向分 量
•—— 正应 力
量
•应力的切向分
•—— 剪应
•单位 •与量面力相 •MPa (力兆帕)
:
同
•应力关于坐标连续分布的
•dP •n
•(法线) •M
•dS
斜截面上的应力
➢ 斜截面上的总应力
➢ 斜截面上的正应力和剪应力
平面应力状态
面体。它的
三个面分别
• pv
与x、y、z三
个轴相垂直
。另一面即
为任意倾斜
面，其法线
为v，其方向
余弦为l、m
、n。
➢ 利用力的平衡条件，可得任意斜截面上的应 力pv
➢ 作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用 作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量 分量来表示。
➢ 上式可作为力的边界条件的表达式。
1－3 三维应力状态的主应力
： •(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。
•(2) 面 力 •—— 作用于物体表面单位面积上的外力
•—— 面力分布集度（矢量 ）
•z
•—— 面力矢量在坐标轴上投
•单位 •1影N/m2 =1Pa (
： 帕)
•1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆
•O
•y
帕) •(1) F
是坐标的连续分布函数
➢ 展开行列式得到 ➢ 其中
➢ I1、I2、I3不随坐标方向不同而变，称为应力 张量不变量，分别称为应力张量第一（一次 ）不变量、第二（二次）不变量与第三（三 次）不变量。
➢ 解一元三次方程，得三个主应力1, 2, 3。
➢ I1、I2、I3可用主应力表示如下：
➢ 求解主应力时，先求出各应力张量不变量， 再解一元三次方程。
塑性力学应力状态
1－1 应力状态
•1. 外力 •体力、面力
•(1) 体 力
•—— 弹性体内单位体积上所受的外力
•—— 体力分布集度
•z
•（矢量）
•X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影
•单位 •N/m3 •kN/m3
：
•O
•y
•(1) F 是坐标的连续分布函数
•x
•说明 ；•(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等)
➢ 主应力与应力主向 ➢ 最大剪应力
摩尔应力圆
1－2 三维应力状态
•x面的应力： •y面的应力： •z面的应力：
•用矩阵表示 ：
•z
•其中，只有6个量独立。
•剪应力互等定 理
•应力符号的意义
•O
•y
：
•x
•第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
•第2个下标 y 表示τ的方向.
•应力正负号的规定
：
•正应力—— 拉为正，压为负
。•剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
•坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
•z
•O
•x
•与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
•y •y
•规定使得单元体顺时转的剪应力τ
为正，反之为负。
•x
•在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题
四面体受力图
在某点处取出
一无限小四