塑性力学应力状态
弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
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第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院
(完整)弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
弹塑性力学名词解释
弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。
2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。
一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。
3.体积力：作用在物体每一点的外力。
比如每一点都有的重力。
4.面力：作用在物体表面的外力。
比如水给大坝表面的压力。
5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。
物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。
6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。
8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。
变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。
9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。
直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。
10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。
12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。
13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。
弹塑性力学 第02章应力状态理论
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
3-1-1 应力状态分析
设ABC为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S2-σ2 即可得S=σ 所以Sx=Sl=σl Sy=σm Sz=σn 因此有： (σx-σ)l+τyxm+τzxn =0
τxyl+(σy-σ)m+τzyn =0 τxzl+τyzm+(σz-σ)n=0 而：l2+m2+n2=1 此为隐含条件 所以有：
第13章 应力分析stress analysis
本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为 本章重点：点的应力状态分析
应力stress：单位面积上的内力。
材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力外力平衡条件求切面上 的应力分布。
：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据 单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。
13．1 应力状态分析
目标：任意一点的应力状态stress state —— 整个变形体的应 力状态
13．1．1 应力分析截面法
外力outside forces—— 产生内力 应力：正应力（stress）σ，切应力（shear stress）τ 要点：截开物体后，内力变外力。 13．1．1．1 单向拉伸uniaxial tensile应力分析
13．1．4．2 主轴坐标系
若以主应力（σ1 σ2 σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴 为1，2，ห้องสมุดไป่ตู้方向轴。
此时， 在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：
S1=σ1l S2=σ2m S3=σ3n 以及：S2=σ12 l2+ σ22 m2 +σ32n2
σ=σ1 l2+ σ2 m2 +σ3n2 τ2= S2-σ2 而且：J1=σ1 + σ2 +σ3 J2=-(σ1σ2 + σ2σ3 +σ3σ1) J3=σ1σ2σ3 又由于：l2+m2+n2=1 所以有： 此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。 其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向上的投影。
弹塑性力学总复习
弹塑性⼒学总复习《弹塑性⼒学》课程第⼀篇基础理论部分第⼀章应⼒状态理论1.1 基本概念1．应⼒的概念应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。
从数学上看，应⼒sPF s ??=→?0lim ν由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒νσ和微分⾯上的剪应⼒ντ。
注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。
2．⼀点的应⼒状态（1）⼀点的应⼒状态概念凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。
物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。
（2）应⼒张量物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。
应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。
在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒由⼀点的应⼒状态概念可知，通过物体内任⼀点都可能存在这样的微分⾯：在该微分⾯上，只有正应⼒，⽽剪应⼒为零。
这样的微分⾯即称为主平⾯，该⾯的法线⽅向即称为主⽅向，相应的正应⼒称为主应⼒。
主应⼒、主⽅向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应⼒张量分量构成的矩阵，n σ为主应⼒，}{i n 为主⽅向⽮量。
塑性力学应力状态
➢ 展开行列式得到
➢ 其中
v3I1 v2I2 vI30
I1xyz I2xyyzzx(x2yy2zz2x)
I3xyz2xyyzzx(xy2zyz2xzx2y)
14
➢ I1、I2、I3不随坐标方向不同而变，称为应力 张量不变量，分别称为应力张量第一（一次）
不变量、第二（二次）不变量与第三（三次）
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
9
z
zx
zy
z
yx xz
y yz x
zy
xy
zx
O
yz
yz yx y
x
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
yx
规定使得单元体顺时转的剪应力τ
为正，反之为负。
lim F
Q —— 面力分布集度（矢量）
S0 S
z
FXiYjZk
Q
Z
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
X S Y
k
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕) i O j
y
(1) F 是坐标的连续分布函数； x
说明： (2) F 的加载方式是任意的;
张量
0 0
ij0ijsij 0 0
不变量。
➢ 解一元三次方程，得三个主应力1, 2, 3。
➢ I1、I2、I3可用主应力表示如下：
I1 1 2 3
I2 12 23 31
I3 123
➢ 求解主应力时，先求出各应力张量不变量， 再解一元三次方程。
15
应力状态分析
物体在受力时，其边界上的应力受到外部约 束条件的影响。通过边界条件可以确定物体 边界上的应力分布。
02
CATALOGUE
应力状态分析方法
解析法
解析法是一种基于数学解析的应力状 态分析方法，通过建立物体的平衡方 程和边界条件，求解出物体内部的应 力分布。
解析法适用于简单形状和规则边界条 件的物体，计算精度高，但适用范围 有限。
复合材料性能评估
复合材料在航空航天工程中广泛应用，其性能与应力状态 密切相关。通过应力状态分析，可以评估复合材料的性能 特点，为材料选择和设计提供依据。
土木工程
桥梁和建筑物的承载能力评估
在土木工程中，桥梁和建筑物需要承受各种载荷，包括静载和动载。通过应力状态分析， 可以评估其承载能力，确保结构安全。
人工智能在应力状态分析中的应用
人工智能算法
利用人工智能算法，如深度学习、神 经网络等，对大量数据进行训练和学 习，自动识别和预测应力状态。
数据驱动模型
基于数据驱动模型，通过采集实验数 据和模拟数据，建立应力状态分析的 预测模型，提高分析精度和效率。
多物理场耦合的应力状态分析
多物理场耦合
考虑多种物理场之间的相互作用，如流场、温度场、电磁场等，建立多物理场 耦合的应力状态分析模型。
应力状态分析
contents
目录
• 应力状态分析概述 • 应力状态分析方法 • 材料应力状态分析 • 结构应力状态分析 • 应力状态分析的工程应用 • 应力状态分析的未来发展
01
CATALOGUE
应力状态分析概述
定义与概念
定义
应力状态分析是指对物体在复杂受力 情况下各点的应力大小、方向及主应 力的确定。
塑性力学-第二章 应力状态和应变状态
（2—36）
T～等效剪应力或剪应力强度。 其意义是，原来的应力状态，在某种意义上可以用等效的，大小为 T 的纯剪切应力状态来代 替。 也就是说，纯剪切状态 1 T , 2 0, 3 T ，的剪应力强度等于 T，而实际应力状态的 剪应力强度也等于 T。 8， 、σi、T 和 J2 一样，在塑性本构关系中起重要作用。 ，它们之间的换算关系如下：
（2—25） 在后面的第三章可以看到，应力偏量的第二不变量在研究塑性本构关系时具有特殊的重要意 义。由于 sij 是对称张量， （2—24）式也可以写为：
1 J 2 sij sij 2
（2—26）
（二）几种特定截面上的应力 求得一点处的主平面的方向和主应力大小以后，可以求得通过该点任意倾斜方向截面上的正 应力和剪应力。选三个主应力方向 1、2、3 为坐标轴，设任意斜截面的法线为 n，它对于 1、2、3 轴的方向余弦为 l1，l2，l3。图 2.3 所示的微元四面体即由三个与主平面一致的坐标面及一个斜截 面组成。设斜截面上的总应力 p 分解为沿三个主轴的分量 p1，p2，p3，由微元体的平衡得到
pj=σijli
σn= pjlj
（2—2）代入（2—3）得：
（2—3） （2—4）
n = ij lilj= xl12 y l22 z l32 2 xyl1l2 2 yzl2l3 2 zx l3l1
斜截面上的剪应力 τn 为：
2 2 2 2 2 2 n p2 n px py pz n
第二章
应力状态和应变状态
§2.1
（一）应力张量及其分解、应力不变量
应力状态
图 2.1 物体内任意点处的应力状态可以用对称的应力张量表示：
x xy xz yx y yz zx zy z
塑性力学-塑性本构关系
第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。
Il’yushin(伊柳辛)理论。
•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。
Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。
3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。
弹塑性力学 应力和应变之间的关系
我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。
在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。
对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。
这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。
2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。
工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。
在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。
屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。
习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。
对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。
在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。
如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
工程塑性力学(第一章)
σ′
σ′
σs
σs
O
εp ε
εe
ε
O
εp ε
εe
ε
图 1-2
卸载和再加载
σ ′′
图 1-3 卸载后反向加载到屈服
1.2.2 没有明显屈服阶段的拉伸曲线（铝合金类）
屈服极限（应力）规定：0.2%塑性应变对应的应力， σ 0.2
σ σb σ0.2
σ′
O
0.2%
ε
σ ′′
图 1-4 没有明显屈服平台的应力应变曲线
1.5.2 卸载
从介于 Ps 和 Pe 之间的某一值 P * 卸载 ΔP ，服从弹性规律。应力应变的改变 量为
Δσ 1 = Δσ 3 =
Δε 1 = Δε 3 =
σ s ⎛ ΔP ⎞
⎛ ΔP ⎞ ⎜ ⎟ ， Δσ 2 = σ s ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ P ⎟ ⎟ 2 ⎝ Pe ⎠ ⎝ e ⎠
（1-20） （1-21）
σ
σs
E’
E
εs
图 1-7
ε
幂强化模型
σ = Aε n ， 0 ≤ n ≤ 1
（1-3）
σ
n =1
A
n = 1/ 2 n = 1/ 3 n=0
1
ε
图 1-8
Ramberg-Osgood 模型
σ /σ0
ε / ε 0 = σ / σ 0 + (σ / σ 0 ) n
3 7
(1-4)
1
n = 0 n =1 n=2 n=5 n=∞
位移：
(1-18)
δ y = ε 2 ⋅ l = 2ε1l =
或
2σ 1 l E
δy P = (1 + 2 ) − 2 δe Pe
塑性力学 第二章 应力状态与应变状态
c 平均应力为 m 3 因此，在与 平面平行的平面上的各点 表示了这样一些点的应力状态，即它们具有 相同的弹性体积变形。
26
§2-6 应变张量及其分解 一、应变与位移的关系 1 1、小变形情况 ij ui , j u j ,i 2 2、大变形（有限变形）情况 设变形前的初始时刻t=0，物体内A点的坐 标为ai a1 , a2 , a3 ，经过变形后，在t时刻它移 到 A 。相对于同一坐标系的坐标为 xi x1, x2 , x3 变形前后的位置一一对应，可由 xi 的单值连续 函数表示 xi xi a j , t 。同样也可以表示为 a i 的 单值连续函数 ai ai x j , t 。
1 MP1 max ( 1 3 ) 2 MP2 MP 1P 2P 1
1 1 ( 1 3 ) 1 2 2 2 1 3 2 2
1925年Lode提出参数
20
MP2 2 2 1 3 2s2 s1 s3 MP 1 3 s1 s3 1
22
（1）应力空间中过原点并与坐标轴成等角的 直线L L直线的方程为 1 2 3 。该直线上 的点代表物体上承受静水应力的点。L直线上 的点所对应的应力状态将不产生塑性变形。 （2）应力空间中过原点而与L直线垂直的平 面—— 平面 平面的方程为 1 2 3 0 。该平面 上的所有点平均应力为零，只有应力偏张量， 因此这个平面也叫偏量平面。位于该平面上 的点对应于不引起体积变形的应力状态。
17
§2-5 三向应力圆 Lode应力参数 Haigh-Westergaard应力空间
一、三向应力圆
应力分析
图中的三个主平面互相正交，设斜微分面ABC 是待求 的主平面，面上的切应力为0，正应力即为全应力， =0， S= 。于 是，主应力在三个坐标轴上的投影为
S x Sl l S y Sm m S z Sn n
S x xl yx m zx n S y xy l y m zy n S z xz l yz m z n
1 2 1
c）l ≠ 0, m= 0，斜微分面垂直2主平面， l = 0, m =n=
1 2
2）主切应力平面上的正应力：
如图 所示的坐标平面上，垂直于 该主平面的主切应力平面有两组， 将各组平面的正面和负面都表示 出来，构成一个四边形，在这个 主切应力平面上的正应力相等。
3）最大切应力
三个主切应力中绝对值最大的一 个，也就是过一点所有切面上切应 力最大者，叫最大切应力。 σ1>σ2>σ3
2.应力张量不变量
上式推导，坐标系是任意选取的，说明求的三个主应力大小与坐标系无关； 对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值，即单值性。即J1, J2, J3 应该 是单值的； 结论：尽管应力张量的各分量随坐标变化，但有他们组成的函数值不变， 称为应力张量不变量。
将J1、J2、J3称为应力张量第一、第二、第三不变量。J1、J2、 J3为单值，不随坐标而变。
全应力S 在三个坐标轴上的投影称为 应力分量
在变形体内各点的应力情况一般是 不同的。 对于任一点而言，过Q 点可以作 无限多的切面，在不同方向的切面 上，Q 点的应力是不同的，取决 于截面的方位。
单向均匀拉伸
dP P S 0 dA A 0 S 0 0 0 析 第二节：张量的基本知识 第三节：主应力和主切应力 第四节：应力平衡微分方程 第五节：应力莫尔圆
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。
但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。
变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。
此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。
而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。
相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。
本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。
即，),,(T t f εσ=。
另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。
我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。
在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。
而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。
在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。
初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。
最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。
塑性力学知识点
1 / 12
1. 在主应力空间内，过任一点（代表某物理点的应力状态）作一个特殊的微截面，该微截面 的法向与三个应力主轴夹角相等；每个象限作一个，则形成一个封闭的正八面体，这 8 个微截面上的应力称八面体应力。 2. 八面体（8 个微截面上的）正应力 oct m ，表征应力状态的球量部分，与弹性体积变形 有关。 3. 八面体（8 个微截面上的）剪应力 oct
第一章 应力状态（与应变状态）
1. 材料连续、均匀。 2. 静水应力只引起弹性的体积变形、不影响塑性剪切变形（岩土、软金属不适用） 。 3. 温度不高时忽略流变（蠕变、松弛…）效应，应变率不高时忽略应变率效应。
1. 指一点附近的受力情况，即过该点的所有微截面上的应力大小和方向（应力矢量） 。 2. 注意到任意截面的应力矢量可以用三个特殊微分面上的 9 个应力分量 （6 个独立） 来表征。
2. Lode 参数：由上式反推，
1
1
2 2 ( 1 3 ) ，或 3 tan( ) . 1 3
2 / 12
3. Lode 角：应力状态矢在 π 平面的投影 ρ 与 x 轴的夹角，
1 3
arctan( ) .
x-y-L
1. 将应力主轴 σ1、σ2、σ3 向 π 平面投影，得线性相关的三个偏应力轴 S1、S2、S3；在 π 平面 上，取 S2 为 y 轴，其垂直方向为 x 轴；在 π 平面外，取静水轴 L 为第三轴，则得正交 坐标系 x-y-L（由 σ1-σ2-σ3 坐标系旋转而得） 。 2. 传统塑性力学只关心应力偏量（π 平面上的应力状态） ，即只需要用到 x-y 坐标系，比如 Lode 角正是应力偏矢与 x 轴的夹角。
忽略静水应力对屈服的影响时，可简化为 2 个应力偏量不变量的函数：
2-弹塑性力学-应力分析
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
应力的坐标变换(例题讲解) 应力的坐标变换(例题讲解)*
实际应用:晶体取向, 实际应用:晶体取向,织构分析等
应力莫尔圆**: 应力莫尔圆 :
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画,如何分析(工程力学已学,看书) 掌握如何画,如何分析(工程力学已学,看书)
不计体力) (不计体力)
物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 对弹性变形和塑性变形均适用. 对弹性变形和塑性变形均适用.
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
推导原理:
– 静力平衡条件: 静力平衡条件: –
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
八面体应力的求解思路: 八面体应力的求解思路:
σij (i, j = x, y, z) →σ1,σ2 ,σ3 →σ8,τ8
↓→I1,I2 →↑
因为
2 2 τ8 = (I1 3I2 ) 3
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
等效应力( 2.6 等效应力(equivalent stress) )
通常规定: 通常规定:
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3
τ max = σ1 σ 3
2
则有最大剪应力:
或者: 或者: 其中: 其中: 且有:
τ max = max{ 12 , τ 23 , τ31 } τ τ12 = ± σ1 σ 2
2 ,τ 23 = ±
σ 2 σ 3
2
,τ31 = ±
σ3 σ1
2
τ12 +τ 23 +τ31 = 0
弹塑性力学-1 应力分析
斜截面上的应力 分量计算公式
如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表 示，而斜面为边界面，此时上式中的Pvx,Pvy,Pvz都 换成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为应力边界条件。
2 2 2 pvy pvz 总应力 pv pvx
正应力 v lPvx mP vy nP vz l 2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx 剪应力 v pv2 v2
对于动力学问题，还要给出初始条件。
弹塑性力学的基本解法： 根据基本方程求解 精确解法 即能满足弹塑性力学中全部方程的解。 近似解法 即根据问题的性质，采用合理的简化假 设，从而获得近似结果。 有限元数值分析方法 它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复 杂的物理关系都能算出正确的结果。
1-2 三维应力状态分析
z
pvz
斜截面的法线v与坐标轴 正向夹角余弦：
xy y yx xz yz zy zx pvx x z
x
pvy
cos(v, x) l , cos(v, y ) m, cos(v, z ) n
y
四面体平行于坐标轴的棱 边长度为dx，dy，dz 斜截面的面积为dS 静力平衡方程
3 基本方程与基本解法
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学 和物理学三方面来进行研究。 几何学方面 建立位移和应变之间的关系。 几何方程，位移边界条件 运动学方面 建立物体的平衡条件。 运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件
以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。
物理学方面 建立应力与应变之间的关系。 本构方程
正应力 p cos cos2 剪应力 p sin sin cos
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：
•正应力—— 拉为正，压为负
。•剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
•坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
•z
•O
•x
•与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
•y •y
•规定使得单元体顺时转的剪应力τ
为正，反之为负。
•x
•在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题
四面体受力图
在某点处取出
一无限小四
应力星圆
应力状态与 应力星圆
【例】已知应力状态为：1=150MPa, 2=50MPa, 3=
-50MPa，试画出应力星圆。 【解】
0 = (150+50-50)/3 = 50MPa
故， = 30。
应力星圆
最大剪应力用i 和表示
应力星圆
•
•
1•
• 0
3
•
•3
1
•
剪应力2
•O
•O
的绝对
值最大
： •(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。
•(2) 面 力 •—— 作用于物体表面单位面积上的外力
•—— 面力分布集度（矢量 ）
•z
•—— 面力矢量在坐标轴上投
•单位 •1影N/m2 =1Pa (
： 帕)
•1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆
•O
•y
帕) •(1) F
是坐标的Байду номын сангаас续分布函数
•的极限方向
•由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
•应力分
•应力的法向分 量
•—— 正应 力
量
•应力的切向分
•—— 剪应
•单位 •与量面力相 •MPa (力兆帕)
:
同
•应力关于坐标连续分布的
•dP •n
•(法线) •M
•dS
斜截面上的应力
➢ 斜截面上的总应力
➢ 斜截面上的正应力和剪应力
平面应力状态
➢ 主应力与应力主向 ➢ 最大剪应力
摩尔应力圆
1－2 三维应力状态
•x面的应力： •y面的应力： •z面的应力：
•用矩阵表示 ：
•z
•其中，只有6个量独立。
•剪应力互等定 理
•应力符号的意义
•O
•y
：
•x
•第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向；
•第2个下标 y 表示τ的方向.
•应力正负号的规定
•
•O •120 •p1
•3
•p •x
•1
➢ 应力罗 德参数 与应力 罗德角 和应力 状态特 征角的 关系
•
• r
•
r
应力罗德参数与应力罗德角
•应力罗德角 •应力罗德参数
•——洛德角， 平面上的剪应力
与2轴的垂线间的 夹角；
•——洛德参数，
•
应力罗德参数
-30 30 -1 1
应力状态与应力罗德角
➢ 在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力 和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向 即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正 应力便称为主应力。
➢ 如＝果y vm方，向pv为z =主应z n力，平则面得的方向，则有pvx = x l，pvy
➢ 几何关系
➢ l,m,n不能同时为零，因此前式为包括三个未知量 l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的 系数行列式应当等于零，即
➢ 则等倾面上的正应力和剪应力
主应力空间：以三个主 应力为轴而组成的笛卡 儿坐标系
➢ 若将1, 2, 3轴在等倾
面上投影，则在等倾面 上可以得到互相成120 角的三个坐标轴。
等倾面及其上应力
• • •
•
•
• •
等倾面上一点的应力状态
•八面体上 的正应力 与剪应力
➢ 向量 在等倾线上的投影 0
➢ 向量 在等倾面上的投影 0
i 或0只引起物体 形状的变化， 与
应力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量
主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
➢ 应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以 2i / 3为半径所画的圆。由圆心O点开始作与 轴O成 角的直线，则此直线与圆的交点在 O 轴上的投影即为1。由OA线顺时针旋转 120作一直线，此直线与圆的交点在 轴上的 投影即为2。而由OA线顺时针旋转240所作 的直线与圆的交点在 轴上的投影即为3。
【例】已知一点的主应力1 ＝32 ＝33，试求该点的
应力形式指数cos、应力罗德参数、应力状态特 征角、应力罗德角，并在平面（等倾面）上画
出两个角度之间的关系。
➢ 如果1 ＝ 33，2 ＝ 23，则
••＝0
••＝30
•1 ＝32 ＝33
••＝0 • r• ••＝30
1-7 应力张量的分解
➢ 一点的应力状态可以用6个应力分量来表示， 在给定的受力情况下，各应力分量的大小与 坐标轴的方向有关，而它们作为一个整体用 来表示一点应力状态的这一物理量（称为应 力张量）则与坐标的选择无关。所谓张量是 指在坐标变换时，按某种指定形式变化的量 。张量的分量随坐标的变换而变化。应力张 量是二阶张量。应力张量是二阶对称张量。
面体。它的
三个面分别
• pv
与x、y、z三
个轴相垂直
。另一面即
为任意倾斜
面，其法线
为v，其方向
余弦为l、m
、n。
➢ 利用力的平衡条件，可得任意斜截面上的应 力pv
➢ 作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用 作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量 分量来表示。
➢ 上式可作为力的边界条件的表达式。
1－3 三维应力状态的主应力
塑性力学应力状态
1－1 应力状态
•1. 外力 •体力、面力
•(1) 体 力
•—— 弹性体内单位体积上所受的外力
•—— 体力分布集度
•z
•（矢量）
•X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影
•单位 •N/m3 •kN/m3
：
•O
•y
•(1) F 是坐标的连续分布函数
•x
•说明 ；•(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等)
➢ 总应力为 ➢ 斜截面上的剪应力为
三维应力圆
➢ 三维应力状态 下任意斜截面 上的正应力和 剪应力，在以 三个主应力组 成的应力圆所 围成的阴影的 范围之内。
➢ 最大剪应力等 于最大和最小 正应力值之差 的一半。
1－4 最大剪应力
➢ 主应力平面上 的剪应力为零 ；最大剪应力 位于坐标轴分 角面上，而三 个最大剪应力 分别等于三个 主应力两两之 差的一半。
【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确 定，即
➢ 试求主应力的值。 【解】求各应力张量不变量，I1 = 3，I2= -6，I3
= -8，代入一元三次方程得
解得
➢斜截面上的正应力和剪应力
➢ 设斜截面上的正应力为v , 则由投影可得
➢ 若三个坐标轴的方向为主方向，且主应力大小顺序 按x, y, z排列，则
➢ 展开行列式得到 ➢ 其中
➢ I1、I2、I3不随坐标方向不同而变，称为应力 张量不变量，分别称为应力张量第一（一次 ）不变量、第二（二次）不变量与第三（三 次）不变量。
➢ 解一元三次方程，得三个主应力1, 2, 3。
➢ I1、I2、I3可用主应力表示如下：
➢ 求解主应力时，先求出各应力张量不变量， 再解一元三次方程。
➢ 0与轴1在等倾面上的投影之间的夹角
➢ 称为应力状态的特征角，cos为应力形式指数
。
偏平面
➢如果等倾面上的正应力0= 0，？？ ➢如果0= 0，等倾面过原点，则此等倾面称为
平面。平面上没有正应力，只有剪应力，只 有应力偏张量，所以平面又叫偏平面。
➢ 应力强度 或广义剪应力
•0 为平均应力或
静水压力，只引起 物体体积的变化，
➢ 在主应力坐 标系中（1, 2, 3分别代
表1, 2, 3
）主应力与
最大剪应力
作用面及其 方向余弦
1-5 等倾面上的正应力和剪应力
➢ 等倾面就是和三个主应力轴成相同角度（5444'）的 面，等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的 角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等倾面 法线的方向余弦l, m, n可由下式确定
•应
•应
力张
力
量
分
量
•应力 偏量张
量 •应力 球张量
•克罗内克尔（Kronecker）符号
应 力 张 量 的 分 解
➢ 将应力状态分解为球形应力张量和应力偏量 ，球形应力张量表示各向均匀受力状态，有 时也称静水压力状态。将原应力状态减去静 水压力状态即可得到应力偏量状态。球形应 力张量引起物体体积的改变，而应力偏量则 引起物体形状的变化。
•
。
2
•
2
1-6 应力罗德参数与应力罗德角
➢ 在 平面上建立直
角坐标系Oxy，取
y平轴面方上向投与影22轴 一在致
。
➢ 矢量Op在坐标轴1 上的投影长度为
Op1 = 1，在2
上的投影长度为
Op2= 2，在3
上的投影长度为
Op3 = 3。
➢ 矢量Op与x轴夹角
为应力罗德角 。
•y •2 •p3
•120 •p2
•x
•说明 ；•(2) F 的加载方式是任意的;
： •(3)
的正负号由坐标方向确定。
•2. 应力
•(1) 一点应力的概念