矩阵范数标准详解

《周国标师生交流讲席010》

向量和矩阵的范数的若干难点导引(二)

一． 矩阵范数的定义

引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。

最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n

A C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉

直”的变换），所以，直观上可用mn C

上的向量范数来作为m n

A C

⨯∈的矩阵范数。比如

在1l -范数意义下，111

||||||m

n

ij

i j A a

===

∑∑(

)

12

tr()H

A A =； （）

在2l -范数意义下，1

2

211||||||m

n

F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑∑， （） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius

范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。

那么是否矩阵范数就这样解决了因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。

定义1 设m n

A C ⨯∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满足以下条件：

（1）非负性：||||0A ≥；

（1a ）正定性：||||0m n

A O A ⨯=⇔=

（2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈；

（3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n

A B A B B C ⨯+≤+∀∈

则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n

n l m l C C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵

范数||||•，有

（4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l

B C

⨯∈，

则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。

我们现在来验证前面（）和（）定义的矩阵范数是否合法我们这里只考虑（）,把较容易的（）的验证留给同学们，

三角不等式的验证。按列分块，记1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b ==。

2

22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+ 2

222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++=

()()2

2

121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++

++

()()()2

2

2

2

122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =+

+++

+++

+

对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有

222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2

(||||||||)F F A B =+ （）

于是，两边开方，即得三角不等式。 再验证矩阵乘法相容性。

2

2

2

111111||||||||m l n

m l

n F ik kj ik ki i j k i j k AB a b a b ======⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑

221111||||m l n n

ik sj i j k s a b ====⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑∑ （这一步用了Cauchy 不等式） 2222

1111||||||||||||m n n l

ik sj F F i k s j a b A B ====⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑∑ （）

可见，矩阵相容性满足。

这样就完成了对矩阵F-范数的验证。是不是这样直接将向量范数运用到矩阵范数就可以了吗No!

运用l ∞-范数于矩阵范数时便出了问题。如果11||||max ||ij i m j n

A a ∞≤≤≤≤=，那么,这样的矩阵范

数在下面一个例子上就行不通。设2

1122,21122A A A ⎛⎫⎛⎫===

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。因此，按上述矩阵∞

-范数的定义，||||1,||A A ∞=2

||||1,||||2A A ∞∞==，于是

22||||||||||||||||1A A A A A ∞∞∞∞==⋅≤=

但这是矛盾的。所以简单地将l ∞-范数运用于矩阵范数，是不可行的。

虽然这仅是一个反例，但是数学的定义是不可以有例外的。 由此，我们必须认识到，不能随便套用向量范数的形式来构造矩阵范数。 为此,我们仅给出矩阵范数的定义是不够的，还需要研究如何构成具体的矩阵范数的方法。当然，你也可以不去考虑构成方法，一个函数一个函数去试，只要满足条件就行。不过这样做的工作量太大，也很盲目。

第二，在实际计算时，往往矩阵与向量出现在同一个计算问题中，所以在考虑构造矩阵范数时，应该使它与向量范数相容。比如要考虑Ax 的“大小”，Ax 是一个向量，但它由A 与x 相乘而得的，它与A 的“大小”和x 的“大小”的关系如何 这提出了两类范数相容的概念。

定义2 对于m n

C

⨯上的矩阵范数||||M •和,m n

C C 上的同类向量范数||||V •，如果成立

||||||||||||,

,m n n V M V Ax A x A C x C ⨯≤⋅∀∈∀∈ （）

则称矩阵范数||||M •与向量范数||||V •是相容的。

例1．1 可以证明 12

211||||||m n F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑∑()1

2tr()H

A A = 是与向量范数2||||•相容。

事实上，在（1。2）中，取1

n B x C ⨯=∈，那么 22||||||||||||||||||||||||F F F F Ax AB A B A x =≤=

二． 矩阵算子范数

现在给出一种构造矩阵范数的一般方法，它可以使构造出的矩阵范数与向量范数相容，当然，它也满足定义1规定的4个条件。

定义3 设,m

n

C C 上的同类向量范数为||||V •，m n A C ⨯∈，定义在m n

C ⨯空间上的矩阵A

的由向量范数||||V •诱导给出的矩阵范数为

||||||||max

||||V

V x V

Ax A x ≠= （）