8-1-3 交通流参数的泊松分布解析

（一）Poisson的适用条件 (Poisson distribution)是一种离散分布，常用于研究单 位时间或单位时间(空间)内某罕见事件的发生次数：
①在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； ②野外单位空间中的某种昆虫数； ③一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数； ④一定时间内，到车站等候公共汽车的人数； ⑤一定页数的书刊上出现的错别字个数。
b( k; n, pn )

k
k!
e
二项分布的泊松逼近：
波松定理
k k Pk P ( xn k ) Cn pn (1 pn ) n k ,
k 1,2, , n
设npn 0，为常数，则有 ( ) k lim P ( xn k ) e , k 1,2, , n n k! n! k nk Pk ( ) (1 ) k!( n k )! n n n( n 1)(n 2) ( n k 1) k n k ( ) (1 ) (1 ) k! n n n k 1 2 k 1 n k 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) k! n n n n n lim P ( xn k )
n

k
e
k!
e
1
1
(六）Poisson分布的应用
一)总体均数的估计 1. 点估计： • 直接用单位时间(空间或人群)内随机事件 发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的估 计值。
2.
区间估计
（1）正态近似法（X>50） 当Poisson分布的观察单位为n=1时： 当Poisson分布的观察单位为n>l时 ：
μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8
(三)Poisson分布的图形
μ=0.6
μ=2
μ=6
μ=14
(四)Poisson分布的性质 1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。 2. Poisson分布的可加性。 • 对于服从Poisson分布的 m个相互独立的随机变 量Xl，X2，…, Xm它们之和X1+X2+…+Xm也 服从Poisson分布，且均数为m个随机变量的均 数之和。 3、当λ≥20，Poisson分布近似正态分布。
[例]用计数器测得某放射物质半小时内发
出的脉冲数为360个，试估计该放射物质 每30min平均脉冲数的95％可信区间。
即该放射物质每30min平均脉冲数(个) 的95％可信区间为(322.8，397.2)。
P( X k )
e
k!
， k 0,1,2,..., n
•则称wenku.baidu.com服从参数为λ的Poisson分布，记为X~P(λ)。其中X 为单位时间(或面积、容积等)某稀有事件发生数，e= 2.7183，λ是Poisson分布的总体均数。 •也就是，若某现象发生的概率小，而样本例数多时，则 二项分布逼近Poisson分布。
[例2] 某放射性物质每0.1 s放射粒子数服从均数为 2.2的Poisson分布，现随机取3次观测结果为2，3 及4个粒子数，请问每0.3 s放射粒子数为多少? 利用Poisson分布的可加性原理得到， Xl+X2+X3=2+3+4=9个 均值为2.2+2.2+2.2=6.6 每0.3s放射粒子数为9个。
二项分布
n很大, p 很小
泊松分布
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事 业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的，例如地震、火 山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从 泊松分布。
商场接待的顾客数 电话呼唤次数
交通事故次数
[例1] 若某非传染性疾病的患病率为18／万 ，试根据Poisson分布原理求1 000人中发生 k=0，1，2阳性数概率。
泊松资料 Simé on Poisson
Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
(二)Poisson分布的定义 poisson distribution
如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X 所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为 ： k
第八章 交通流理论
第一节 交通流参数的统计分布 一、分析交通流参数分布的作用 二、交通参数及其分布
三、离散型分布的基础
四、交通参数的二项分布
五、交通参数的负二项分布
六、交通参数的泊松分布
本节需要掌握：
一、概念：
1_泊松分布
二、规律：
泊松分布的应用
六、交通参数的泊松分布
在二项分布的计算中，我们讨论到，当n很大时，试验的特定结 果发生的概率p很小时，计算相当复杂，为了简化计算，我们来讨 论二项分布的近似计算定理—泊松分布。此分布是由法国数学家泊 松1837年引入的。
e- .

证明
由
1 pn o(1), n n

1 1 pn 1 o(1) n n
n! b( k; n, pn ) ( pn )k (1 pn )nk k !( n k )! n! 1 o(1) n k k [ o(1)] [1 ) k! ( n k )! n n n n [ o(1)]k o(1) n n( n 1) ( n k 1) [1 ] o(1) k k! n n k n [1 ] n n 1 1 ) (1 kn ) [ o(1)]k o(1) n 1(1 n [1 ] o(1) k k! n n [1 ] n n 当n 时,
二项分布的泊松逼近
在二项分布的计算中，当n很大时，计算相当复杂， 为了简化计算，我们来讨论泊松定理.
泊松定理： 定理2.4.1 (泊松定理) 在独立试验中，以pn代表事件
A在试验中出现的概率，它与试验次数有关，如果 lim npn 0， 则有b( k; n, pn )
n
k
k!