北师大版七年级下册 第13讲等腰三角形--尖子班

第13讲 等腰三角形

知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值

1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.

2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

【典例】

1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.

【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB =，

∴∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB =，

则∠BAD=30°，

∴∠BAC=150°，

∴∠ABC=∠ACB=15°，

所以此三角形的底角等于75°或15°．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．

2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.

【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，

当底边长为x﹣12时，

根据题意，得2x+x﹣12=27，

解得x=13，

∴腰长为13，

此时底边长为13-12=1，

满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

当底边长为x+12时，

根据题意，得2x+x+12=27，

解得x=5，

此时底边长为5+12=17，

因为5+5＜17，所以构不成三角形，

故这个等腰三角形的腰的长为13.

【方法总结】

已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.

【随堂练习】

1．（2017秋•北京期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为______．

【解答】解：当为锐角时，如图

∵∠ADE=40°，∠AED=90°，

∴∠A=50°，

当为钝角时，如图

∠ADE=40°，∠DAE=50°，

∴顶角∠BAC=180°﹣50°=130°．

故答案为：50°或130°．

2．（2017秋•吴中区期末）已知等腰三角形周长为12，一边长为5，则它另外两边差的绝对值是______．

【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，

∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5；

当5为腰时，其它两边为5和2；

∴另外两边差的绝对值是0或3．

故答案为：0或3．

3．（2017秋•浉河区期末）如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．

【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，

∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，

∴BD=12厘米，

∵∠ABC=∠ACB，

∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，

即12=16﹣4x或4x=16﹣4x，

解得：x=1或x=2，

x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；

x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；

即点Q的运动速度是4或6，

故答案为：4或6

4．（2018春•鼓楼区期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为____．

【解答】解：分情况讨论：

①当三边是2，2，5时，2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；

②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．

故填12．

5．（2017秋•杭州期末）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为______．

【解答】解：解：有两种情况；

（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，

则∠ADB=90°，

已知∠ABD=40°，

∴∠A=90°﹣40°=50°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=×（180°﹣50°）=65°；

（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，

则∠FHE=90°，

已知∠HFE=40°，

∴∠HEF=90°﹣40°=50°，

∴∠FEG=180°﹣50°=130°，

∵EF=EG，

∴∠EFG=∠G=×（180°﹣130°）=25°，

故答案为65°或25°；

知识点2 等腰三角形的性质---边角关系

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），

即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.

【典例】

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.

【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，

∵BC=BE，

+，

∴∠CED=∠ECB=y z

∵AC=AD，

+，

∴∠ADC=∠ACD=x y

+-，

在△CDB中，∠B=x y z

+-，

在△ACE中，∠A=y z x

在△ABC中，∠ACB=90°，

+-++-=90°，

∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x

∴2y=90°，

解得y=45°．

于是∠DCE=45°．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．