第一章 1.1 集合的概念

第一章集合与常用逻辑用语

[数学文化]——了解数学文化的发展与应用

康托尔与集合论

翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一.

康托尔(Georg Cantor，1845～1918)，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究.

[读图探新]——发现现象背后的知识

一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”而集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.

有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动.数学家激动的喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”.

问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全一样的吗？网中的“大鱼”能构成集合吗？

问题2：渔民网中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？

问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各自渔网中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔网中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在一起的过程又是集合的哪种运算？

链接：数学家所说的集合是指渔网中的鱼，很显然渔网中的对象都是确定的、无序的和互异的；渔网中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的一部分，是湖中鱼构成集合的一个子集；两个渔网中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两个渔网中的鱼的种类合在一起就构成了两个集合的并集.

1.1集合的概念

课标要求素养要求

1.通过实例，了解集合的含义，理解元

素与集合的属于关系.

2.针对具体问题，能在自然语言和图形

语言的基础上，用符号语言刻画集合.

在集合概念的形成中，经历由具体到抽

象、由自然语言和图形语言到符号语言

的表达过程，发展学生的数学抽象素养

和数学运算素养.

教材知识探究

中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的十九大)于2017年10月18日至10月24日在北京召开.

问题党的十九大会议的代表能否构成一个集合？

提示党的十九大会议的代表能构成一个集合.

1.元素与集合的概念集合中元素的三个特性是解决集合问题的关键

(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).

(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.

(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

2.元素与集合的关系在a∈A与a A这两种情况中有且只有一种成立

知识点关系概念记法读法

元素与集合属于如果a是集合A中的元素，a∈A “a属于A”

的关系就说a属于A

不属于如果a不是集合A中的元

素，就说a不属于A

a A “a不属于A”

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N

＋Z Q R (1)列举法

列举法对有限集情有独钟，但自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.

(2)描述法

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.

教材拓展补遗

[微判断]

1.漂亮的花可以组成集合.(×)

提示“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.

2.由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(×)

提示由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素.

3.元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的.(×)

提示集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.

[微训练]

1.用符号“∈”或“”填空.

(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；

(2)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1________C.

解析(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，

∴－1A.

(2)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，

∴8∈C，9.1C.

答案(1)(2)∈

2.试分别用描述法和列举法表示下列集合：

(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；

(2)大于2且小于7的整数.

解(1)用描述法表示为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}.

(2)用描述法表示为{x∈Z|2

[微思考]

1.设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？

提示3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4A.

2.某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？

提示某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

题型一集合概念的理解