《集合论与图论》课堂理解理解练习2

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集合练习题加答案

集合练习题加答案集合是数学中的基本概念之一，它提供了一种描述对象集合的方式。

在集合论中，集合是由一些明确的或不明确的确定的对象构成的整体。

这些对象被称为集合的元素。

集合论是现代数学的基础之一，它在各个数学领域都有广泛的应用。

以下是一些集合练习题，以及相应的答案，供学习者练习和检验自己的理解。

练习题1：确定以下集合的元素。

- A = {x | x 是一个偶数}- B = {y | y > 5}- C = {z | z 是一个质数}答案1：- A的元素是所有偶数，例如2, 4, 6, 8等。

- B的元素是所有大于5的实数。

- C的元素是所有质数，如2, 3, 5, 7, 11等。

练习题2：判断以下集合是否相等。

- X = {1, 2, 3}- Y = {1, 3, 2}答案2：- X和Y是相等的，因为集合的元素是无序的，只考虑元素的种类和数量。

练习题3：计算以下集合的并集。

- A = {1, 2, 3}- B = {3, 4, 5}- C = {2, 5, 6}答案3：- A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}练习题4：计算以下集合的交集。

- D = {1, 2, 3, 4}- E = {3, 4, 5}答案4：- D ∩ E = {3, 4}练习题5：计算集合D的补集，假设全集U包含所有自然数。

- D = {1, 2, 3, 4}答案5：- D' = U - D = {所有自然数除了1, 2, 3, 4}练习题6：如果A = {x | x 是一个偶数}，B = {x | x 是一个奇数}，计算A和B的差集。

答案6：- A - B = {x | x 是一个偶数但不是奇数}，即A本身，因为奇数和偶数是互补的。

练习题7：给定集合F = {x | x 是一个整数，且 -3 ≤ x ≤ 3}，计算F的幂集。

答案7：- F的幂集包含F的所有子集，共有2^7个子集，因为F有7个元素（-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3）。

集合论与图论答案第一章习题

若存在 Gfi ,Gf j (i j) ，使得 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi ，则结论成立。
反证法：假设不存在 G fi 和 G f j 满足 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi 。于是
i, j(i j),Gfi与Gf j 应满足： Gfi Gf j 或 Gf j Gfi 必有一个成立。
设 A 1, B 2，则 2A ,1, 2B ,2 。 2A 2B ,1,2，而 A B 1, 2, 2A B ,1,2,1, 2，
所以 2A 2B 2A B 。例 5 (多项选择)设集合 A 是以空集为唯一元素的集合，集合 B 22A ，则下列各式那个正确？
(1) B ；(2) B ；(3) B ；(4), B ；(5), B 。
i 1
n
x Mn \ Nn MnNn (NiMi ) 。
i 1
n
综上可得： NnQn (NiMi ) 。
i 1
例 4 (P225 ) 设 A, B 为集合，证明： A B B A 充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1） A ；（2） B ；（3） A B 。
1．若 A B B A ，则 A 或 B 。
即{x} B ，所以 x B ，即 A B 。
（2） P(A) P(B) (P(A) P(B)) (P(B) P(A)) ABB A AB。
例 4 设 A, B 是两个任意集合，证明： (1) 2A 2B 2A B ；(2) 2A 2B 2A B ；(3) 举例说明 2A 2B 2A B 。其中 2A 表示集合 A 的幂集。证：(1) 证 2A 2B 2A B 。 x 2A 2B ，有 x 2A 或 x 2B 。若 x 2A ，则 x A ，而 A A B ，故 x A B ，因此 x 2A B 。同理，若 x 2B ，也有 x 2A B 。因此 2A 2B 2A B 。 (2) 证 2A 2B 2A B 。证 x 2A 2B x 2A 且 x 2B x A且 x B x A B x2A B 。所以 2A 2B 2A B 。 (3) 下面举例说明 2A 2B 2A B 。

哈工大集合与图论习题

集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。

．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。

哈工大2005年秋季学期《集合论与图论》试题答案

2.设 f : X → Y , g : Y → Z 。如果 g o f 是满射，试证 g 是满射。是满射，所以 ∀Σ ∈Ｚ，∃x ∈ X 使得g ( f ( x ) ) = Σ 。令 y = f ( x ) ，
[证] 因 g o f
则 y ∈ Y 且g ( y ) = g ( f ( x ) ) = Σ 。因此， g 是一个满射。四、 1.设 X = {1, 2,3} ， y {1, 2} ， Y X = { f f : X → Y } 在 Y X 上害义二无关系 ≅ ： ∀f , g ∈ Y X ， f ≅ g 当且仅当 f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = g (1) + g ( 2 ) + g ( 3) （1）证明 ≅ 是等价关系。（2）求等价类的个数。
[证] Ⅰ（1）Q f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) ，故 ≅ 是自反的。
（2）若 f ≅ g , 则 f (i ) =
i=1
3 2
3 g (i), 但 3 g (i) = 3 f (i), 故 g ≅ 2 2 2
i=1 i=1 i=1
故当 p ≥ 11 时 qc > 3 p − 6 ， Gc 不是平面图。八、1.用数学归纳法证明每个比赛图中必有有向哈密顿路。 [证]设 D 是 p 个顶点的比赛图。施归纳于 p：当 p=1，2 时结论显然成立。假设当 p ≥ 2 时结论成立，往证对 p+1 个顶点的比赛图 D 也成立。从 D 中去掉一个顶点
6
i=1 3
有四个等价类。 2.设 R 为 X 上的二元关系，试证： R 是传递的当且仅当 R o R ⊆ R 。

北工大-集合与图论习题整理版

习题集（一）一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数）则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为。

二、选择2、下列集合中相等的有（）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。

D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<>A∧s(||||})(,{t|,A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。

A．0；B．1；C．2；D．3。

图论习题二答案

图论习题二答案图论习题二答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

在图论中，有很多经典的习题可以帮助我们更好地理解和应用图的概念。

本文将探讨一些图论习题二的答案，帮助读者更好地理解和掌握图论的知识。

1. 习题：给定一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5,6}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}，求图G的邻接矩阵和关联矩阵。

答案：邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的顶点数。

对于无向图G，邻接矩阵的元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否存在边。

如果存在边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。

对于给定的图G，邻接矩阵为：0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的顶点数，m是图的边数。

对于无向图G，关联矩阵的元素b[i][j]表示顶点i和边j之间的关系。

如果顶点i是边j 的起点，则b[i][j]=-1；如果顶点i是边j的终点，则b[i][j]=1；否则b[i][j]=0。

对于给定的图G，关联矩阵为：-1 -1 0 0 0 01 0 -1 -1 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 -1 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12. 习题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(5,4)}，求图G的邻接表和深度优先搜索遍历结果。

答案：邻接表是一种图的表示方法，用于存储图中每个顶点的邻接顶点。

对于有向图G，邻接表中的每个元素表示该顶点的出边。

对于给定的图G，邻接表为：1: 2, 32: 3, 43: 44: 15: 4深度优先搜索（DFS）是一种图的遍历算法，用于遍历图中的所有顶点。

第二篇图论习题

习题课 2
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则（1）顶点u与v连通；（2）G连通G+uv连通。例1 设G为p阶简单无向图，p＞2且p为奇数，G和G的补图GC 中度数为奇数的顶点的个数是否一定相等？试证明你的结论。例2 设V={v1,v2,…,vp}，计算以V为顶点集的无向图的个数是多少？(KP有多少个生成子图) 例3 设V={v1,v2,…,vp},q≤p(p-1)/2，计算以V为顶点集具有q条边的无向图的个数是多少？例4 设G是（p,q）图，r≤q，则具有r条边的G的生成子图有多少？答案： 2p(p-1)/2 ，Cqp(p-1)/2 ，Crq。
习题课 2
1. 说明图中所示图(1)(2)是否是非平面图？ 2．证明:彼得森图不是平面图。 (1) 收缩法；(2) 欧拉公式法；(3)收缩到K3,3。 3.设G是无向图,p<8,则G与Gc中至少有一个是平面图。 4.设平面图G的顶点数p=7,边数q=15，证明G是连通的。
习题课 3
1．判断下面命题是否正确，并说明理由。任意平面图G的对偶图G*的对偶图G**与G同构。 2. 设G*是平面图G的对偶图，证明：p*=f，q*=q， f*=p-k+1。其中k(k≥1)为G的连通分支数。 3. 证明：若G是自对偶的平面图，则q=2p-2。其中p 和q是G的边与顶点数。 4．把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，问p最大为多少？ 5.证明：不存在具有5个面，每两个面都共享一条公共边的平面图G。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同构的G。例9 9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？解:否，不存在9（奇数）个顶点的3－正则图。

集合论与图论参考答案

℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式，而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若且，则。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如，则及，但。的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由，就得到。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式

《集合论与图论》课堂练习2

《集合论与图论》课堂练习3（2013年12月18日 13:20-15:00 复旦大学计算机学院2012级）学号姓名一、判断下列命题是否正确，并说明理由。

（括号内写“是”或“否”）（40分，每题8分，是非判断4分，证明或反例4分）1 存在7个结点的自补图。

（否）/*西安交通大学1999*/自补图对应的完全图的边数必须是偶数，而7个结点的完全图的边数为21。

n≥的连通图。

则G没有割点当且仅当G的剖分也没有割点。

2 设G是顶点数3（真）如果G的剖分有割点，则G有割点，矛盾；所以G没有割点，则G的剖分也没有割点。

如果G有割点，则该割点为G的剖分的割点，所以G的剖分有割点，矛盾；所以G的剖分也没有割点则G没有割点。

3 若G是简单连通图，边数为e，结点数为n。

若e≥n，则G至少有3棵生成树。

（是）/*复旦大学1998*//*只需证明e=n时，命题成立*/若e=n-1，因为G是连通的，所以为一棵树；再添加一边时，因为G是简单图，所以图中必存在一个长度大于等于3的回路，则在这个回路上任意删除一条边就得到一棵树。

4 一个有向图D中仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则D是有根树。

（否）一个自环和孤立点/*北京大学1991*/5 设C是简单连通图G的回路，若删去C中任一边后所得到的路C’为G中的最长路，则C是图G的哈密顿回路。

（是）/*复旦大学1999*//*反证法证明*/令C的长度为m。

若C不是哈密顿回路，则圈外必存在一点u，它与圈上一点v邻接（因为G是连通图）。

圈上与v关联的一边为e，则C-e的长度为m-1；而C-e+uv的长度为m；得C-e不是最长路。

矛盾。

二、综合题（60分）1．证明：任何平面图是5-可着色的。

证明：p125-1262．如果有一群人，其中有k个人彼此认识或者有l个人彼此不认识。

我们用r(k, l)表示这群人至少是有几个人的人数，称为Ramsey数。

证明：r(3, 3)=6。

证明：6个点v1, v2, v3, v4, v5, v6表示6个人，两人认识时，在对应的两点连一条绿边，否则连一条红边。

哈工大集合论与图论作业题答案

第六章图的根本概念P206习题1.画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个).11个2.画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)o16个3.画出具有4个、6个、8个顶点的三次图.略4.某次宴会上,许多人互相握手.证实：握过奇数次手的人数为偶数(注意,0是偶数)o把实际问题转化为图论问题,然后用握手定理的推论.P209习题1.设u与v是图G的两个不同顶点.假设u与v间有两条不同的通道(迹),那么G 中是否有圈假设u与v间有两条不同的通道,G中无圈假设u与v间有两条不同的迹,G中有圈2.证实：一个连通的(p , q)图中q?p-1.数学归纳法3.设G是一个(p, q)图,且q (p 1)(p 2)/2,那么G是连通的.征2用反征法口假咬囹G是小庄逋叼,那么图G至少狂仕两?逢逋分支.尸⑵⑼)和&二仇必)时,G 的最大可能边数勺二名+公式T)'2 +p式1)/2 ,其中曲三户一］,1 < < p-1 ?所以〞(pZp-W2,与题设矛盾n所以假设.是简单图,那么仃是连通的.6.在一个有n个人的宴会上,每个人至少有m个朋友(2&m< n).试证：有不少于m+1个人,使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁, 每人的左、右均是他的朋友. 证实：把实际问题转化为图论问题,就和下面的题一样了.8.设G是图.证实：假设5 (G) >2,那么G包含长至少是6(G)+1的圈.这两个题和这个题一样的证实方法.例3设行=(匕均是无向图,证实：假设久⑴之出,那么行包含长至少为中+ 1的|口1路, iiF：设上是G中最长的路, £:v t P2L v…a由于WE—d次置之所以必自Z上的m个顶点工门,,…,叫(2 = «o,VQ与耳邻接,干是马巧…%巧便是G中的一个回路,且长至少为2去晨假设上上不存在陋个顶点与耳邻接,那么在最长路L外必有一个顶点与巧邻接,于是有更长路矛盾.P216习题1.证实：假设图G不是连通图,那么GC是连通图.由于G不连通,故G至少有两个分支对于G,中任意两个顶点把和v ：(1)假设"匕匕,¥曰匕,那么仃与野不在G中邻接.由补图的定义可知：N与F必在T中邻接；(2)假设以廿三艮(或匕),取WE匕(或昨),那么廿与w, w与在G都不邻接,故"与1#, w与廿在G'必邻接.于是ww窜就是G'中的一条踏.综上可知,由于对G『中任意两个加点〞和% .和y之间都有路连接,故G, 连通.2.证实：每一个自补图有4n或4n+1个顶点.(3)由于每个自补图G的对应的完全图的边数必为偶数,即q-p(p-1)/2为偶数.而当p二123时,图G无自补图,只有p之4时,图G才有自补图;于是「可写成如下形式,4/4〃+ L4叱2刈】+3,其中〃为正整数；代入〞风p -1)2中,只有加也十1才能使&为偶数r故每个自补图必有4“成4"】个顶点.例4证实：在一个连通图中,两条最长的路有一个公共的顶点口证】设乙与乙是图中的两条最长的路r 4飞打4 J上上：叫的力—但设心与心没有公共顶点*由于<7是连通的,所以心与上上之间必TT一条路尸连接且|尸岸1 0令尸与4上的匕连接,与&上的2连接,那么假设,之J*那么路先岭次〃产产1%比4长,矛盾：假设,,J f那么路修/…%7VM.I…/比4长,矛盾.故假设不成立,即两条最长的路必有公共顶点,P228习题1.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和v,均有：degu+degv> 9.下列图中任意一对不邻接的顶点u和v ,均有：degu+degv> 9 .2.试求Kp中不同的哈密顿圈的个数.〔p-1〕!/2 4.完全偶图Km n为哈密顿图的充分必要条件是什么?〔2〕=＞假设|匕＜|匕,有〔1〕可知区门不是哈密顿图；假设IRWI/I,同理有K〞不是哈密顿图.故&◎是哈密顿图时只有14 1=1/ I,即一-*U假设加二〃,那么匕扇即斗廛gv=|1I/2+|炉］,2二/卜由定理知：?明,是哈密顿图二10.证实具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图.证：〔1〕设G是,个具有奇数顶点的偶图,那么G的顶点集了有•个二划分, 即展的匕｝H有因周匕I,不妨设| - K彩|,那么有印〔0—=1七忸匕I,由哈密顿图的必要条件可知：G不是哈密顿图.。

集合论、图论重要习题100

例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。

则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。

（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。

f2不是单射，满射。

（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。

7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

集合练习题及答案

集合练习题及答案集合练习题及答案在学习过程中，练习题是一种非常重要的学习方式。

通过练习题，我们可以巩固所学的知识，培养解决问题的能力。

而集合练习题更是一种特殊的练习题，它能够帮助我们更好地理解和掌握集合论这一数学分支。

集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是元素的集合及其之间的关系。

在集合论中，我们会遇到各种各样的问题，而通过练习题的形式来学习和掌握这些问题的解决方法，可以帮助我们更好地理解集合论的概念和原理。

下面，我将给大家提供一些集合练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，求A和B的并集。

解答：两个集合的并集是包含两个集合中所有元素的集合。

所以A和B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

2. 给定集合C={a, b, c, d}，D={c, d, e, f}，求C和D的交集。

解答：两个集合的交集是包含两个集合中共有元素的集合。

所以C和D的交集为{c, d}。

3. 给定集合E={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，F={2, 4, 6, 8, 10}，求E和F的差集。

解答：两个集合的差集是包含第一个集合中有，但是第二个集合中没有的元素的集合。

所以E和F的差集为{1, 3, 5, 7, 9}。

4. 给定集合G={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，H={2, 4, 6, 8, 10}，求G和H的对称差。

解答：两个集合的对称差是包含两个集合中仅有的元素的集合。

所以G和H的对称差为{1, 3, 5, 7, 10}。

通过以上的练习题，我们可以看到集合的并集、交集、差集和对称差都是通过对集合中的元素进行操作得到的。

掌握了这些操作，我们就能够更好地理解集合的概念和性质。

除了以上的基本操作，集合论还有许多其他的重要概念和定理，比如幂集、子集、补集等。

通过练习题的形式来学习和掌握这些概念和定理，可以帮助我们更好地理解和应用集合论。

哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题

哈工大2006年秋季学期《集合论与图论》试题哈工大 2006年秋季学期《集合论与图论》试题本试题满分90，平时作业分满分10分。

一、（10分，每小题1分）判断下列各命题真伪（真命题打“√”号，假命题打“×”号）：1．从{1，2，3}到{4，5}共有9个不同的映射。

（）2．从{1，2，3}到{4，5}共有5个不同的满射。

（）3．从{4，5}到{1，2，3}共3个不同的单射。

（）4．集合{1，2，…，10}上共有2100个不同的二元关系。

（）5．如果A为可数集，则2A也是可数集合。

（）6．欧拉图中没有割点。

（）7．有向图的每一条弧必在某个强支中。

（）8．P为正整数，Kp的顶点连通度为P－1。

（）9．（P，P）连通图至少有2个生成树。

（）10．每个有2个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有2个圈。

（）二、（20分，每小题2分）计算题。

对每一小题给出计算结果：1．{1，2，…，n}上有多少个反自反且对称的二元关系？（）2．把置换123456789579413826分解成循环置换的乘积。

（）3．计算下面两个图G1和G2的色数。

（）G1：G2：（答：G1的色数为，G2的色数为）4．设X为集合，R为X上的偏序关系，计算1iiR ∞=等于什么。

（）5．求下面的有向图D的邻接矩阵和可达矩阵。

D=-------------------：（）6．一个有向图D=(V，A)满足什么条件是V到V的一个映射的图？（）7．P个顶点的无向连通图G的邻接矩阵中至少有多少个1？（）8．设X为n 个元素的集合，X上有多少个二元运算？（）9．9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送一张贺年卡。

确定能否使每个学生收到的卡均来自其送过卡的相同人？为什么？（）10．某次会议有100人参加，每人可以是诚实的，也可能是虚伪的。

已经知道下面两项事实：（1）这100人中至少有一人是诚实的；（2）任两人中至少有一人是虚伪的。

《集合论与图论》课堂练习2-FudanUniversity

《集合论与图论》课堂练习2（2006年4月12日 13:30-15:10 复旦大学计算机系05级）学号姓名注意：有关计数的答案可用P(n,k),C(n,r),n k,k!,及数字等表示一、填空题（55分）1．s（s≥1）个元素分成t个组，那么必存在一个组至少含有⎡s/t⎤个元素。

/*鸽笼原理/定理10.2*/2．20000到70000间的偶数中由不同数字组成的5位数的个数共有3⨯4⨯P(8, 3)+2⨯5⨯P(8, 3)=4032+3360=7392。

/*设所求的数为abcde这5位数，其中2≤a≤6，e∈{0，2，4，6，8}；若a∈{2，4，6}，e有4种选择，bcd有P(8, 3)种选择，根据乘法法则，则有3⨯4⨯P(8, 3)种可能；若a∈{3，5}，e有5种选择，bcd有P(8, 3)种选择，根据乘法法则，则有2⨯5⨯P(8, 3)种可能；根据加法法则，共有3⨯4⨯P(8, 3)+2⨯5⨯P(8, 3)=4032+3360=7392种可能。

*/3．5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下。

有10!/10或9! 种不同的方案。

若要求夫妻相邻，有25⨯4!(=768) 种不同的方案。

/*环排列；夫妻相邻，5个元素的环排列：5!/5=4!；一对夫妻可以交换位置：25；根据乘法法则，有25⨯4!(=768)种不同的方案。

*/4．从1到300间任取3个不同的数，使得这3个数的和正好被3除尽，有3⨯C (100, 3)+1003(=1485100)种方案。

5．(x+y+z)10有_C(10+3-1, 10)__项。

6．(2x+y+z)8的展开式中的x3yz4系数是23⨯8!/(3!1!4!) 。

/*根据二项式定理，C(n, k)a n-k b k, 23⨯C(8, 3)⨯C(5, 1)= 23⨯8!/(3!1!4!)*/7．排列字母ILLINOIS可以得到8!/(3!2!) 个不同的字符串；如果要求某个I排在某个L之前，可以得到8!/(3!2!)-8⨯7⨯6 个不同的字符串。

图论试题及答案解析图片

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 在图论中，一个图的顶点数为n，那么这个图最多有多少条边？A. nB. n(n-1)/2C. n^2D. 2n答案：B解析：在一个无向图中，每个顶点最多与其他n-1个顶点相连，因此最多有n(n-1)/2条边。

2. 什么是连通图？A. 至少有一个环的图B. 任意两个顶点都可以通过路径相连的图C. 没有孤立顶点的图D. 所有顶点度数都大于0的图答案：B解析：连通图是指图中任意两个顶点都可以通过路径相连的图。

3. 在图论中，什么是哈密顿路径？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有边的路径C. 经过图中所有顶点的回路D. 经过图中所有边的回路答案：A解析：哈密顿路径是指经过图中所有顶点的路径。

4. 什么是二分图？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻B. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点相邻C. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边不相邻D. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边相邻答案：A解析：二分图是指图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻。

5. 在图论中，什么是最小生成树？A. 包含图中所有顶点的最小边数的生成树B. 包含图中所有顶点的最小权重的生成树C. 包含图中所有边的最小权重的生成树D. 包含图中所有边的最小边数的生成树答案：B解析：最小生成树是指包含图中所有顶点的最小权重的生成树。

二、填空题1. 在无向图中，如果一个顶点的度数为n，则该顶点至少有______条边。

答案：n解析：一个顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。

2. 如果一个图是连通的，那么该图至少有______个连通分量。

答案：1解析：连通图的定义是图中任意两个顶点都可以通过路径相连，因此至少有一个连通分量。

3. 在图论中，一个图的色数是指给图的顶点着色，使得相邻顶点颜色不同，所需的最小颜色数。

《集合与图论》习题

第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。

2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。

3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。

4．某次宴会上，许多人互相握手。

证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。

5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。

6．设u与v是图G的两个不同顶点。

假设u与v间有两条不同的通道(迹)，那么G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。

8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。

9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。

10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。

试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。

11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。

12．设G是图。

证明：假设δ(G)≥ 2，那么G包含长至少是δ(G)+1的回路。

13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，那么G中有回路；(b)假设q≥p+4，那么G包含两个边不重的回路。

14．证明：假设图G不是连通图，那么G c 是连通图。

15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，假设p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，假设p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。

17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。

18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。

20．试证：图四中的图不是哈密顿图。

21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的外表上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。

集合论与图论课堂练习1

《集合论与图论》课堂练习1（2011年10月复旦大学计算机科学技术学院2010级）学号姓名成绩一、填空题（30分，每格3分）1．设A为一个集合，若A为有限集。

若，则称A为可列集。

2．设R是A上的二元关系，R的自反（对称，传递）闭包，记为R’，满足下列3个条件：（1）__ _;（2）__ ;（3）__ _。

3．集合A的递归（归纳）定义由三部分组成：（1）__ _;（2）__ ;（3）__ _。

4．设R1是从A到B的二元关系，R2是从B到C的二元关系，则从A到C的R1和R2的复合关系定义为_ _ _ 。

5. 设f1是从A到B的函数，f2是从B到C的函数，则从A到C的f1和f2的复合函数定义为_ _ _ 。

二、是非判断题（18分，每题6分，其中判断3分，论述3分）1．A⋂ (B⊕C)=(A⋂B) ⊕( A⋂C)（）2．A⋃(B⊕C)=(A⋃B) ⊕( A⋃C)（）3．设A, B是集合，若存在A到B的满射，则|B|≤|A|。

（）三、综合题（52分）1．设R是A上的二元关系。

证明R的自反闭包的对称闭包的传递闭包，是包含R的最小的等价关系。

（15分）2．在1到1000000之间（包括1和1000000在内），有多少个整数既不是完全平方数，也不是完全立方数？（15分）3．格是一个偏序集，其中每对元素都有一个最大下界和最小上界。

（1）证明一个集合上的所有划分的集合与关系≤构成一个格。

（2）如果划分P1是P2的加细，则P1≤P2。

（22分，每题11分）。