辽宁省五校协作体2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题
2019年最新辽宁省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
辽宁省高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣3．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣646．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．98．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．49．若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．11．实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．112．若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2二、填空题13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于______．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x ﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为______．15．定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x ﹣x2）的最大值为______．16．在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0=______．三、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．19．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A班和B班）的网页上，A班（实验班，基础较好）共有学生60人，B班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频．（1）完成下列2×2列联表：级有关？ （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式：K 2=参考数据： 20．设椭圆C 1：+y 2=1的右焦点为F ，动圆过点F 且与直线x+1=0相切，M （3，0），设动圆圆心的轨迹为C 2． （1）求C 2的方程；（2）过F 任作一条斜率为k 1的直线l ，l 与C 2交于A ，B 两点，直线MA 交C 2于另一点C ，直线MB 交C 2于另一点D ，若直线CD 的斜率为k 2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f （x ）=e 3x ﹣1，g （x ）=ln （1+2x ）+ax ，f （x ）的图象在x=处的切线与g （x）的图象也相切． （1）求a 的值；（2）当x ＞﹣时，求证：f （x ）＞g （x ）；（3）设p ，q ，r ∈（﹣，+∞）且p ＜q ＜r ，A （p ，g （p ）），B （q ，g （q ）），C （r ，g （r ）），求证：k AB ＞k BC （其中k AB ，k BC 分别为直线AB 与BC 的斜率）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+co sθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}=（2，4），B={x|x2﹣x﹣6≤0}=[﹣2，3]，∴∁U B=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则A∩（∁U B）=（3，4）．故选：B．2．已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=m+i，z2=1﹣2i，且=﹣，∴=，∴，解得m=﹣．故选：D．3．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件进行数量积的计算求出，从而得出cos=，这样即可得出与的夹角．【解答】解：根据条件，==；∴；∴与的夹角为．故选：B．4．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由得，，故选B．5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出r的值即可得出展开式的常数项．【解答】解：（x3﹣）4的展开式中通项公式为T r+1=•x3（4﹣r）•=（﹣2）r••x12﹣4r，令12﹣4r=0，解得r=3；所以展开式的常数项为T4=（﹣2）3×=﹣32．故选：C．6．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当m=2，两直线方程分别为：3x+4y+5=0与直线2x+2y﹣6=0此时两直线平行，充分性成立．则当m=0时，两直线方程分别为3x+y+7=0或y=0，此时两直线不平行，当m≠0，若两直线平行，则，即m2+m=6且，解得m=2或m=﹣3，且m≠﹣2，即m=2或m=﹣3，即必要性不成立，“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的充分不必要条件，故选：A．7．由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．9【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题意，求出积分的上下限，即可得出结论．【解答】解：由，得：或，所以直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为S==（4x﹣）=9故选：D．8．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC 是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．该几何体的所有棱中最长的棱的长度是PB==2．故选：B．9．若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．故选：A．10．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B11．实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选：B．12．若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．转化成一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根x1，x2，且0＜x1＜x2，根据根与系数的关系，将x1用x2表示，求得的表达式，再求最值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，∵f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根，由x1+x2=1，x1x2=，则a=2x2（1﹣x2），f（x1）=x12﹣2x1+alnx1=（1﹣x2）﹣2（1﹣x2）+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）．0＜x2＜1，所以=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣．0＜x2＜1，令g（x）=x+2（1﹣x）ln（1﹣x）﹣，0＜x＜1，g′（x）=1﹣2ln（1﹣x）﹣2+=﹣1﹣2ln（1﹣x）+．＞0，所以g（x）是增函数，所以x→0时，g（x）→﹣∞；x→1时，g（x）→0；所以t没有最小值和最大值；故选C．二、填空题13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于或3 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的首项为a1，由已知列关于a1和q的方程组求解．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，由S3=39，a2=9，得，解得：或．∴公比q等于或3．故答案为：或3．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程，利用圆的半径，圆心距，半弦长满足勾股定理求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），可得渐近线方程为：y=2x，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心与半径分别为（2，0），4，该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为：=．故答案为：．15．定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x ﹣x2）的最大值为 4 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据新定义，求出f（x）的表达式，然后利用数形结合求出函数f（x）的最大值即可．【解答】解：由x2=2x﹣x2，得x2=x，解得x=0或x=1，由y=2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，由y=2x﹣x2＜0，得x＜0或x＞2，∴由x2（2x﹣x2）≥0时，解得0≤x≤2，由x2（2x﹣x2）＜0解得x＜0或x＞2，即当0≤x≤2时，f（x）=x2，当x＜0或x＞2时，f（x）=2x﹣x2．作出对应的函数图象∴图象可知当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=4．故答案为：4．16．在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0= 14 ．【考点】数列递推式．【分析】设公差为d，4a12=﹣3a23＞0得到a12=﹣d，d＜0，判断出a17＜0，a16＞0，得到b15=＜0，b16=﹣d＞0，即可得到S16＜S15＜S14，问题得以解决．【解答】解：设公差为d，4a12=﹣3a23＞0，∴4a12=﹣3（a12+11d）＞0，∴a12=﹣d，d＜0，∴a17=a12+5d=d＜0，a16=a12+4d=﹣d＞0，∴a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17∴b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18∵b15=＜0，b16=＞0a15=a12+3d=﹣d＞0，a18=a12+6d=d＜0，∴b15=＜0，b16=﹣d＞0，∴b15+b16=d﹣d＜0，∴S16＜S15＜S14，∴S14最大．故答案为：14三、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinAcosB=sinBcosA，由此可得的值．（Ⅱ）可求tanA=，由（Ⅰ）得tanB=．利用余弦定理，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理，可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，sinAcosB=sinBcosA，可得=．（Ⅱ）若A=60°，则tanA=，得tanB=．∵cosC=，∴==﹣tan（A+B）==﹣．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立坐标系，证明=0，=0，即可证明DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），∴=（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，2，﹣2），∴=0，=0，∴DE⊥PB，DE⊥PC，∵PB∩PC=P，∴DE⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量=（0，2，0）．设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则∵=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），∴，∴取=（2，﹣1，1），∴cos＜，＞==﹣．19．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A 班和B 班）的网页上，A 班（实验班，基础较好）共有学生60人，B 班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A 班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B 班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频． （1）完成下列2×2列联表：级有关？ （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式：K 2=参考数据：【分析】（1）根据题目中的数据，完成2×2列联表，计算K 2，对照数表即可得出结论； （2）①利用分层抽样原理求出对应的数值；②计算X 的可能取值以及对应的概率值，列出X 的分布列，求出数学期望值． 【解答】解：（1）根据题目中的数据，完成下列2×2列联表：计算K 2=≈7.5524＞6.635，∴有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关； （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查； ①抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数是6×=4，观看“概率的应用”视频的人数是6×=2；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，则X 的可能取值为1、2、3， 计算P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==；∴X 的分布列为：所以X 的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．20．设椭圆C 1：+y 2=1的右焦点为F ，动圆过点F 且与直线x+1=0相切，M （3，0），设动圆圆心的轨迹为C 2． （1）求C 2的方程；（2）过F 任作一条斜率为k 1的直线l ，l 与C 2交于A ，B 两点，直线MA 交C 2于另一点C ，直线MB 交C 2于另一点D ，若直线CD 的斜率为k 2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆方程求出椭圆右焦点，结合题意可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）分别设出AB、AC所在直线方程x=my+1与x=ny+3，联立直线方程与抛物线方程，可得A、B、C的纵坐标的关系，同理得到B、D纵坐标的关系，最后都用A的纵坐标表示，求出AB、CD的斜率（用A的纵坐标表示），可得为定值3．【解答】解：（1）由椭圆C1：+y2=1，得a2=2，b2=1，∴，则F（1，0），由动圆过点F且与直线x+1=0相切，可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）如图，直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4my﹣4=0．∴y1y2=﹣4，则，①设AC所在直线方程为x=ny+3，C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得y2﹣4ny﹣12=0．∴y1y3=﹣12，则．同理求得y2y4=﹣12，②联立①②得，，∴，==，∴．21．已知函数f（x）=e3x﹣1，g（x）=ln（1+2x）+ax，f（x）的图象在x=处的切线与g （x）的图象也相切．（1）求a的值；（2）当x＞﹣时，求证：f（x）＞g（x）；（3）设p，q，r∈（﹣，+∞）且p＜q＜r，A（p，g（p）），B（q，g（q）），C（r，g（r）），求证：k AB＞k BC（其中k AB，k BC分别为直线AB与BC的斜率）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线方程；设出与g（x）图象相切的切点，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点为（0，0），进而得到a的值；（2）由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，求得导数，可得最小值0；再由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，求得导数，可得最大值0，进而得到证明；（3）由直线的斜率公式可得k AB=，k BC=，构造h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），证明h（q）＞0，可得k AB＞，同理可证：k BC＜，从而可得结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e3x﹣1的导数为f′（x）=3e3x﹣1，可得f（x）的图象在x=处的切线斜率为3，切点为（，1），即有切线的方程为y﹣1=3（x﹣），即为y=3x，设与g（x）的图象相切的切点为（m，n），可得n=3m=ln（1+2m）+am，又g′（x）=+a，可得3=+a，消去a，可得（1+2m）ln（1+2m）=2m，令t=1+2m（t＞0），即有tlnt=t﹣1．可令y=tlnt﹣t+1，导数y′=lnt，可得t＞1，函数y递增；0＜t＜1时，函数y递减．则t=1时，函数y=tlnt﹣t+1取得最小值0．则tlnt=t﹣1的解为t=1，则m=0，可得a=1；（2）证明：当x＞﹣时，由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，可得m′（x）=3e3x﹣1﹣3，当x＞时，m（x）递增；当﹣＜x＜时，m（x）递减．可得x=处，m（x）取得极小值，且为最小值0．则f（x）≥3x；由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，可得n′（x）=﹣2=，当x＞0时，n（x）递减；当﹣＜x＜0时，n（x）递增．即有x=0处n（x）取得极大值，且为最大值0，则g（x）≤3x，由于等号不同时取得，则f（x）＞g（x）；（3）证明：k AB=，k BC=，令h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），则h′（q）=2 （g（q）﹣g（p））+（1+2q）g′（q）﹣2（q﹣p）﹣（3+2q）=2 （g（q）﹣g（p））﹣2（q﹣p）=2（ln（1+2q）﹣ln（1+2p））∵y=ln（1+2x）在（﹣，+∞）上单调递增，且q＞p，∴ln（1+2q）﹣ln（1+2p）＞0，∴h′（q）＞0．∴h（q）在（p，q）上单调递增，∴h（q）＞h（p）=0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））﹣（3+2q）（q﹣p）＞0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））＞（3+2q）（q﹣p），∵q﹣p＞0，1+2q＞0，∴＞，即k AB＞；同理可证k BC＜．∴k AB＞k BC．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由AB是直径，得∠ACB=90°，由此能证明∠BCF=∠CAB．（Ⅱ）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，由此利用切割线定理和勾股定理能求出⊙O半径．【解答】证明：（Ⅰ）因为AB是直径，所以∠ACB=90°又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB因此∠BCF=∠CAB．…解：（Ⅱ）直线CF交直线AB于点G，由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC所以FA=FG，且AB=BG由切割线定理得：（1+FG）2=BG×AG=2BG2…①在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2…②由①、②得：FG2﹣2FG﹣3=0解之得：FG1=3，FG2=﹣1（舍去）所以AB=BG=2，所以⊙O半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程，再将代入能求出直线l的极坐标方程．（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，能求出l与C交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y﹣2=0，再将代入x+y﹣2=0，得ρcosθ+ρsinθ=2．…（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，∵ρ≥0，0≤θ≤2π，∴解得或，∴l与C交点的极坐标分别为（2，0），（2，）．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1））解不等式|x+2a|＜4﹣2a，得到4﹣4a=0，求出a的值即可；（2）问题转化为m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a，∴2a﹣4＜x+2a＜4﹣2a，∴﹣4＜x＜4﹣4a，∴4﹣4a=0，解得：a=1；（2）由（1）得：f（x）=|x+2|，f（﹣2x）=|﹣2x+2|，若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，即m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x=，x≥1时，h（x）=﹣2x+4≤2，﹣2＜x＜1时，h（x）∈（﹣4，2），x≤﹣2时，h（x）=﹣4，∴h（x）的最大值是2，∴m≥2．。
辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题 含解析
2019年大连市高三第二次模拟考试数学（理科）一、选择题:每小题各有四个选项，仅有一个选项正确. 1.复数1i z =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ）A. 0B. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】1z i =-+==本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =…，则()UA B =ð（ ）A. }1,0,1{-B. {1,0,1,2}-C. }2|{<x xD. {|12}x x -<…【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果.【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U A C B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题.3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，0sin ≠α B. α∀∈R ，0sin ≠α C. α∀∈R ，0sin <α D. α∀∈R ，sin 0α>【答案】B 【解析】【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，0sin ≠α 本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ） A. x y sin = B. y x =C. 3y x =- D. )lny x =【答案】D 【解析】 【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确. 【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误；3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)lny x =为奇函数；当0≥x 时，x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S S =，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. -1 B. 1 C. 士1 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果. 【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意 当1q ≠时，由422S S =得：()()421112111a q a q qq--=--，即212q+=，解得：1q =-综上所述：1q =± 本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误.6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ ∆的周长的最小值为（ ） A. 12 B. 14C. 16D. 18【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆对称性可求得PF QF +为定值2a ，再结合min 2PQ b =，从而得到所求周长的最小值. 【详解】由椭圆的对称性可知，,P Q 两点关于原点对称 设F '为椭圆另一焦点，则四边形PFQF '为平行四边形由椭圆定义可知：420PF PF QF QF a ''+++== 又PF QF '=，QF PF '= 10PF QF ∴+= 又PQ 为椭圆内的弦 min 28PQ b ∴==PFQ ∴∆周长的最小值为：10818+=本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的求解问题，重点考查学生对于椭圆几何性质的掌握，关键是能够利用椭圆的对称性和定义求得PF QF +的值.7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 6种 D. 3种【答案】A 【解析】 【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解。
辽宁省2019年高考理科数学模拟试题及答案 (二)
辽宁省2019年高考理科数学模拟试题及答案（二）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U A B =I ð A ．[1,2]- B ．(0,2) C ．[1,)-+∞ D ．[1,1)-2. 若复数232018|34|134i z i i i ii-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3. 已知实数,x y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最大值是A. 1B.2C.3D.44. 如右图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的 三视图，则该几何体的体积为A ．83B ．2C ．8D ．65．在直角坐标系中，若角α的终边经过点()22sin ,cos sin 33P πππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则A ．12B．2C ．12-D．2-6．按如上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是A ．5B ．6C ．7D ．87. 某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.568. 某天，甲、乙同桌两人随机选择早上7:00—7:30的某一时刻到达学校自习，则甲比乙提前到达超过10分钟的概率为 A.23 B. 13 C. 29 D.799．已知定义域为R 的奇函数()f x 在(0，+∞)上的解析式为()()()23log 5,0233,,2x x f x f x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩,则()()32018f f += A. －2B.－1C.1D.210．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP ，则C 的离心率为 AB ．2CD11. 将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为A ．512π B ．712π C.1924π D ．4124π 12．已知函数)0(4)(>+=x xx x f ，P 是)(x f y =图象上任意一点，过点P 作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，又过点P 作曲线)(x f y =的切线，交直线x y =和y 轴于点H G ,.给出下列四个结论：①||||PB PA ⋅是定值；②⋅是定值；③||||OH OG ⋅（O 是坐标原点）是定值；④⋅是定值. 其中正确的是A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设0sin a xdx π=⎰，则二项式6(的展开式中常数项是 。
辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学理科试卷及其答案
初高中数学学习资料的店
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2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题
数学（理科）
第1卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知{}0)1(>-=x x x A ，{}1<=x x B ，则A Y B=（ ）
A ．)1,0(
B ．R
C ．)1(，-∞
D ．),1()1(+∞-∞Y ，
2．已知复数2020i i z +=．则z =（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．2
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
A ．100，40
B ．100，20
C ．200，40
D ．200，20
4设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥
B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥
C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥l
D ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l
5．已知a>b ．则条件“c≤0”是条件“bc ac <”的（ ）条件．。
辽宁省辽南协作校2019-2020学年度下学期高三第二次模拟考试数学理科
姓 名： 考生考号：2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题数学（理科）时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知{}0)1(>-=x x x A ，{}1<=x x B ，则A Y B=（ ）A ．)1,0(B ．RC ．)1(，-∞D ．),1()1(+∞-∞Y ，2．已知复数2020i i z +=．则z =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．23．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，40B ．100，20C ．200，40D ．200，204设l 是直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若α∥l ，β∥l ，则βα∥B ．若α∥l ，β⊥l ，则βα⊥C ．若βα⊥，α⊥l ，则β⊥lD ．若βα⊥，α∥l ，则β⊥l5．已知a>b ．则条件“c≤0”是条件“bc ac <”的（ ）条件．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为12、30，则输出的a=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．187．某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是（ ）A ．43B ．83C ．74D ．21 8．已知半径为r 的圆M 与x 轴交于E ，F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d ．若EF d =，并规定当圆M 与x 轴相切时0=EF ，则圆心M 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ． 椭圆D ．抛物线9．已知周期为π的函数)00)(cos()sin(3)(πϕωϕωϕω<<>+-+=，x x x f 是奇函数，把)(x f 的图像向右平移6π个单位得到g （x ）的图像，则g （x ）的一个单调增区间为（ ） A ．)2,2(ππ- B ．)125,12(ππ- C ．)3,6(ππ- D ．)4,4(ππ- 10．已知数列{}n a 满足N n n a a n n ∈=-+,21．则∑=-n i i a a 211=（ ）A ．n n 111--B ．n n 1-C ．n （n -1）D ．n21 11．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．31B ．21C ．22D ．41 12．已知函数f （x ）满足x x xf x f x ln 1)(2)(2+=+'，ee f 1)(=．当x>0时，下列说法： ①e ef =)1( ②)(x f 只有一个零点 ③)(x f 有两个零点 ④)(x f 有一个极大值其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
辽宁省辽阳市2019届高三二模数学(理科)试题(解析版)
2019年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{}|13A x R x =∈-<≤，{}2101234B =--，，，，，，，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0,1,2,3- B. {}0,1,2,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵ 集合{}|13A x R x =∈-<≤，{}2,10123,4B =--,,,,，∴{}0,1,2,3A B =．故选：B ．【点睛】本题考查集合交集的运算，考查交集定义，属于基础题．2.已知复数1i z i=-，则2z +在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，求得z 在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】∵ ()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+，∴ 12z i +=，∴z 在复平面内对应的点的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. -4B. -2C. 0D. 2【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ），由2z x y =-得122zy x =-， 平移直线122z y x =-，由图象可知当直线122zy x =-，过点B 时， 直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，由48020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()02,B ．代入目标函数2z x y =-，得0224z =-⨯=-， ∴ 目标函数2z x y =-的最小值是4-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．4.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义得62pAF =+，即可解得结果. 【详解】因为262pAF p ==+，所以4p =.故选：B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a =（ ）A. 16B. 64C. 128D. 256【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得q ，再利用通项公式及其等差数列的求和公式即可得出答案． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵()64312a a a a +=+，∴()53221q q q +=+，解得32q =．∴0+1+2++6213771237()2128a a q a a q q ⋅⋅⋅=====⋅．故选C ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查推理能力与计算能力，解题时注意整体思想的运用，属于中档题．6.函数4ln x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性排除B，C；根据函数零点选A.【详解】因为函数4ln xyx=为奇函数，排除B，C；又函数4ln xyx=的零点为1-和1，故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，m，80，93，其中0m>,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（）A. 70B. 75C. 80D. 85【答案】D【解析】【分析】根据中位数为80，可知80m≤，从而得到平均数小于等于81，从而确定结果.【详解】已知四次成绩按照由小到大的顺序排序为：67，80，85，93该学生这5次考试成绩的中位数为80，则80m≤所以平均数：85678093815m++++≤，可知不可能为85【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.8.已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.43B. 2C.52D.83【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，可知为三棱柱和三棱锥的组合体，分别求解体积，加和得到结果. 【详解】由题意可知，该几何体的直观图如图所示：即该几何体为一个三棱柱与一个三棱锥的组合体则三棱柱体积113322V ==；三棱锥体积21113322V =⨯= 所求体积122V V V =+=【点睛】本题考查组合体体积的求解，关键是通过三视图准确还原几何体.9.已知函数()2sin 1(02)3f x x πωωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭部分图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 直线6x π=是函数()y f x =图像的一条对称轴B. 函数()y f x =图像的对称中心是1,03k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k z ∈ C. 1316f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 函数()y f x =的最小正周期为π 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对称轴求得ω，再根据正弦函数性质求对称轴、对称中心、周期以及函数值，最后作判断. 【详解】由图可知，76x =是函数()y f x =的对称轴，所以73=2,632k k z ππωπ++∈解得12=+,7k k z πωπ∈，因为02ωπ<<，所以=ωπ，()2sin 13f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，13132sin 11663f ππ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,函数()y f x =的最小正周期为22ππ=,由 =,32x k k z ππππ++∈得对称轴方程为1,6x k k z =+∈，由 的=,3x k k z πππ+∈得对称中心为1,13k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，k z ∈， 故选：C.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及正弦函数性质，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.10.已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是（ ） A. 5a B. 6aC. 7aD. 8a【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法将题目所给递推公式转化为112325n n a a n n +=+--，即证得25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，由此求得25na n -的表达式，进而求得n a 的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当5n =时n a 有最小值.【详解】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825n a n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==.所以{}n a 的最小的一项是第5项.故选A.【点睛】本小题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线与22(2)(1)1x y -+-=相切，则ba=（ ）A. 43B. 34C. 169D. 916【答案】B 【解析】 【分析】符合条件的渐近线方程为0by ax -=，与圆相切，即d=r ，代入公式，即可求解【详解】双曲线C 的渐近线方程为0by ax ±=，与圆相切的只可能是0by ax -=，所以圆心到直线的距离1r ==，得34a b =，所以34b a =，故选B 。
2019年最新辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)及答案解析
辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．816．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D 在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤ B．0＜a≤C．a≥D．a≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省大连市2019届高三第二次联考数学(理)试题Word版含答案
辽宁省大连市2019届高三第二次联考数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(],6A =-∞，{}28nB n N =∈＜，则集合A B ⋂为（ ）A.(,3)-∞B.[)0,3C. {}1,2D.{}0,1,22.已知命题:p x R ∃∈，使240x ax +-＜，命题:,23x x q x R ∀∈＜，则下列命题是真命题的是（ ） A.p q ∧ B.()p q ∧⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D.()p q ⌝∧3.已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，满足1885,3a a ==，且122n n n a a a ++=+，要使得n S 取到最大值，则n =（ ）A.13B.14C.15或16D.164.若sin 3sin()02παα++=，则sin 2α的值为（ ）A.35-B.35C.45-D.455.设函数()cos(2)3f x x π=-，则下列结论错误的是（ ）A.()f x 的一个周期为π-B.()y f x =的图像关于直线23x π=对称 C.()2f x π+ 的一个零点为3x π=-D.()f x 在区间[,]32ππ上单调递减6.设{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =（ ）A.0B.-5C.-10D.57.设{}{}n n a b 、分别是等差、等比数列，且118a b ==，441a b ==，则以下结论正确的是（ ）A.22a b ＞B. 33a b <C.55a b ＞D.66a b ＞8.已知α为锐角，且3sin()35πα+=，则sin()a π-=（ ）A.310+ B.310 C.310± D.3109.已知单位向量a 与b的夹角为60︒，对于实数0λ＞，则2a b λ- 的最小值为（ ）10.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”是几何体的高，“幂”是截面面积，意思是：若两等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D （如图所示），它是由抛物线2y x =，直线4y =及y 轴所围成的封闭图形绕轴旋转一周所形成的几何体，利用祖暅原理，旋转体D 的参照体的三视图如图所示，则旋转体D 的体积是 （ ）A.163πB. 16πC. 6πD. 8π 11.若函数,0()ln ,0x a x f x x x +≤⎧=⎨⎩＞的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,0)-∞B.[)0,+∞C.(],1-∞D.[)1,+∞12.已知函数[)11,(,2)()3(2),2,x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()cos g x f x x π=-在区间[]0,8内所有零点的和为 （ ）A.16B.30C.32D.40二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a 与b 满足a = ，1b = ，且a b λ=，则实数λ= .14.已知ABC ∆的外心P 满足3AP AB AC =+，则cos A = .15.已知1,3x x ==是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+＞两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数3()02f '＜，则1()3f = .16.已知函数2ln ()()()x x b f x b R x+-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得()()f x x f x '-⋅＞，则实数b 的取值范围是 .三、解答题 （17-21题12’，选作题10’） 17.在ABC ∆中，5,c b ==2a A =. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求证：2B A ∠=∠.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11222,(2,)n n n a a n n N +*-=+≥∈，且13a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：1211111112n a a a ++++++ ＜.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，ABC ∆和1ABB ∆都是边长为2的正三角形.（Ⅰ）过1B 作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB ，并证明； （Ⅱ）求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且1,AB AC AD ===（1）证明：MN ∥平面PCD ；（2）设直线AC 与平面PBC 所成角为α，当α在(0,)6π内变化时，求二面角P BC A --的取值范围.21.已知函数(),()(1)ln xf xg x k x x==-. （Ⅰ）证明：k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）若2[,]x e e ∃∈，使1()()2f xg x ≤+成立，求实数k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线C的参数方程为2cos x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）若过点3(,)2A π（极坐标）且倾斜角为6π的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求AP AM AN⋅的值.23.已知函数()223f x x a x =-++，()232g x x =-+ （1）解不等式()5g x ＜；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．辽宁省大连市2019届高三第二次联考数学（理）试题答案一、选择题1-5: DBCAC 6-10: AAAAD 11、12：DC 二、填空题13. 2± 14. 12 15. 12 16. 9(,)4-∞ 三、解答题17.解：（Ⅰ）因为 a A =，所以 2222b c a a bc +-=.因为 5c =，b =，所以 23404930a a +-⨯=. 解得：3a =，或493a =-（舍）.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 3A ==所以 21cos 22cos 13A A =-=.因为 3a =，5c =，b = 2221cos 23a c b B ac +-==.所以cos 2cos A B =.因为 c b a >>， 所以 (0,)3A π∈.因为 (0,)B ∈π， 所以 2B A ∠=∠.18.解：（Ⅰ）由题意12nn n a a -∴-= 累加得231222n n a a ∴-=++121n n a +∴=-（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列，因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-11122n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12< 19.解： （Ⅰ）设AB 中点为O ，连11,,OC OB B C ，则截面1OBC 为所求，1,OC OB 分别为1,ABC ABB ∆∆的中线，所以1,AB OC AB OB ⊥⊥， 又1,OC OB 为平面1OBC 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面1OBC ， （Ⅱ）以O 为原点，OB 方向为x 轴方向建立如图所示的空间直角坐标系， 易求得(1,0,0),(1,0,0)B A -，11(1C B C -11(1,(1,0,CB B B AC ===，设平面11BCC B 的一个法向量为(,,)n x y z =，由100n CB x n B B x ⎧⎧⊥=⎪⎪⇔⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩解得平面11BCC B的一个法向量为,1)n = ，111|||cos ,|||||AC n AC n AC n ⋅<>===⋅所以1AC 与平面11BCC B20.解：PA ⊥ 底面ABCD,PA AD PA AB ∴⊥⊥,,PA AD AB ∴两两垂直，如图建系：()()()()()0,0,2,1,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,1P B D C E（1）()()0,1,1,2,0,0BE DC ==0BE DC BE DC ∴⋅=⇒⊥BE DC ∴⊥（2）设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()1,0,2,1,2,0PB BD =-=- ()202,1,120x z n x y -=⎧∴⇒=⎨-+=⎩设直线BE 与平面PBD 所成角为θsin cos ,BE n BE n BE nθ⋅∴====⋅（3）设(),,F x y z ()(),,2,2,2,2PF x y z PC ∴=-=-,,P F C 三点共线 ()2,2,2PF PC λλλλ∴==-2222x y z λλλ=⎧⎪∴=⎨⎪-=-⎩()2,2,22F λλλ∴- ()21,2,22BF λλλ∴=-- ()2,2,0AC =BF AC ⊥()221220BF AC λλ∴⋅=-+⋅= 解得：14λ=113,,222F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭设平面FAB 的法向量为(),,m x y z =()1131,0,0,,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()00,3,11130222x m x y z =⎧⎪∴⇒=-⎨++=⎪⎩ 平面ABP 的法向量为()0,1,0n =cos ,m n m n m n⋅∴===⋅∴二面角F AB P --21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ()()2ln 1ln x f x x -'=，直线()y g x =过定点()1,0，若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln x x x ⎛⎫⎪⎝⎭（00x >且01x ≠），则()020ln 1ln x k x -= 000ln 1x x x =-，即00ln 10x x +-=，①设()ln 1h x x x =+-， ()0,x ∈+∞，则()110h x x+'=>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以， R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min12x ϕ⇔≤，()()2ln 1ln x x k x ϕ='--= 211ln ln k x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 2111ln 24k x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，（1）当14k ≥时， ()0x ϕ'≤， ()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()2min e x ϕϕ== ()22e e 12k --， 由()22e 1e 122k --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意；（2）当14k <时，由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭及1ln t x =的单调性知()211ln 2x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭'14k +-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()2e e x ϕϕϕ''≤'≤，即()14k x k ϕ-≤'≤-， ①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min e x ϕϕ== ()e e 1k -- 1e 2≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<则由()e 0k ϕ'=-<， ()21e 04k ϕ'=->及()x ϕ'的单调性知存在唯一()20e,e x ∈，使()00x ϕ'=，且当()0e,x x ∈时， ()0x ϕ'<， ()x ϕ为减函数；当()20,x x e ∈时，()0x ϕ'>， ()x ϕ为增函数；所以()()0min x x ϕϕ==()0001ln x k x x --，由()00011ln 2x k x x --≤得000111ln 2x k x x ⎛⎫≥- ⎪-⎝⎭011x >- 01112224x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，这与104k <<矛盾，不合题意. 综上可知， k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.解：（Ⅰ）222cos ::143x x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧'=⎪'=⎧⎪⎪⇒⎨⎨'=⎪⎩⎪'=⎪⎩，代入C 的普通方程可得221x y ''+=， 即22:1C x y '+=，所以曲线C '的极坐标方程为 :1C ρ'=（Ⅱ）点),23(πA 直角坐标是)0,23(-A ，将l 的参数方程2cos 6sin6x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y +=，可得053642=+-t t ，所以533|||2|||||||2121=+=⋅t t t t AN AM AP ． 23.解：（1）)3,0( （2）由题意得)}(|{)}(|{x g y y x f y y =⊆=又|3||)32()2(||32||2|)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，22|32|)(≥+-=x x g ， 则2|3|≥+a ，解得1-≥a 或5-≤a ，故实数a 的取值范围为),1[]5,(+∞---∞ .高三理科数学答案2017.12.3 DBCAC AAAAD DC2±12 12 9(,)4-∞ 17.解：（Ⅰ）因为a A =，所以2222b c a a bc +-=. 因为 5c =，b = 23404930a a +-⨯=. 解得：3a =，或493a =-（舍）.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 33A ==. 所以 21cos 22cos 13A A =-=.因为 3a =，5c =，b = 2221cos 23a c b B ac +-==. 所以cos 2cos A B =.因为 c b a >>， 所以 (0,)3A π∈.因为 (0,)B ∈π， 所以 2B A ∠=∠.18.解：（Ⅰ）由题意12n n n a a -∴-=累加得231222n n a a ∴-=++121n n a +∴=- （Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列，因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-11122n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12< 19.解： （Ⅰ）设AB 中点为O ，连11,,OC OB B C ，则截面1OBC 为所求，1,OC OB 分别为1,ABC ABB ∆∆的中线，所以1,AB OC AB OB ⊥⊥，又1,OC OB 为平面1OBC 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面1OBC ，（Ⅱ）以O 为原点，OB 方向为x 轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得(1,0,0),(1,0,0)B A -，11(1C B C -11(1,(1,0,CB B B AC ===，设平面11BCC B 的一个法向量为(,,)n x y z =，由100n CB x n B B x ⎧⎧⊥=⎪⎪⇔⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩解得平面11BCC B的一个法向量为,1)n = ，111|||cos ,|||||AC n AC n AC n ⋅<>===⋅所以1AC 与平面11BCC B20.解：PA ⊥ 底面ABCD,PA AD PA AB ∴⊥⊥,,PA AD AB ∴两两垂直，如图建系：C()()()()()0,0,2,1,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,1P B D C E（1）()()0,1,1,2,0,0BE DC ==0BE DC BE DC ∴⋅=⇒⊥BE DC ∴⊥（2）设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()1,0,2,1,2,0PB BD =-=- ()202,1,120x z n x y -=⎧∴⇒=⎨-+=⎩设直线BE 与平面PBD 所成角为θsin cos ,3BE n BE n BE nθ⋅∴====⋅（3）设(),,F x y z ()(),,2,2,2,2PF x y z PC ∴=-=-,,P F C 三点共线 ()2,2,2PF PC λλλλ∴==-2222x y z λλλ=⎧⎪∴=⎨⎪-=-⎩()2,2,22F λλλ∴- ()21,2,22BF λλλ∴=-- ()2,2,0AC =BF AC ⊥ ()221220BF AC λλ∴⋅=-+⋅= 解得：14λ=113,,222F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭设平面FAB 的法向量为(),,m x y z =()1131,0,0,,,222AB AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()00,3,11130222x m x y z =⎧⎪∴⇒=-⎨++=⎪⎩ 平面ABP 的法向量为()0,1,0n =cos ,m n m n m n⋅∴===⋅∴二面角F AB P --21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ()()2ln 1ln x f x x -'=，直线()y g x =过定点()1,0，若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（00x >且01x ≠），则()020l n 1ln x k x -= 000ln 1x x x =-，即00ln 10x x +-=，①设()ln 1h x x x =+-， ()0,x ∈+∞，则()110h x x+'=>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以， R k ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则2e,e x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min12x ϕ⇔≤， ()()2ln 1ln x x k x ϕ='--= 211ln ln k x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 2111ln 24k x ⎛⎫--+-⎪⎝⎭， （1）当14k ≥时， ()0x ϕ'≤， ()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()2mine x ϕϕ== ()22e e 12k --， 由()22e 1e 122k --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意；（2）当14k <时，由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭及1ln t x =的单调性知()211ln 2x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭' 14k +-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()2e e x ϕϕϕ''≤'≤，即()14k x k ϕ-≤'≤-， ①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2e,e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min e x ϕϕ== ()e e 1k -- 1e 2≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<则由()e 0k ϕ'=-<， ()21e 04k ϕ'=->及()x ϕ'的单调性知存在唯一()20e,e x ∈，使()00x ϕ'=，且当()0e,x x ∈时， ()0x ϕ'<， ()x ϕ为减函数；当()20,x x e ∈时，()0x ϕ'>， ()x ϕ为增函数；所以()()0min x x ϕϕ==()0001ln x k x x --，由()00011ln 2x k x x --≤得000111ln 2x k x x ⎛⎫≥-⎪-⎝⎭011x >- 01112224x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，这与104k <<矛盾，不合题意. 综上可知， k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.解：（Ⅰ）222cos ::143x x y C C y θθ=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩，将122x x x x y y y ⎧'=⎪'=⎧⎪⎪⇒⎨⎨'=⎪⎩⎪'=⎪⎩，代入C 的普通方程可得221x y ''+=， 即22:1C x y '+=，所以曲线C '的极坐标方程为 :1C ρ'=（Ⅱ）点),23(πA 直角坐标是)0,23(-A ，将l 的参数方程2cos 6sin 6x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y +=，可得053642=+-t t ，所以533|||2|||||||2121=+=⋅t t t t AN AM AP ．23.解：（1）)3,0( （2）由题意得)}(|{)}(|{x g y y x f y y =⊆=又|3||)32()2(||32||2|)(+=+--≥++-=a x a x x a x x f ，22|32|)(≥+-=x x g ， 则2|3|≥+a ，解得1-≥a 或5-≤a ，故实数a 的取值范围为),1[]5,(+∞---∞ .。
2019年辽宁省沈阳市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2019年辽宁省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A．1 B．3 C．8 D．42．已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．23．已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．44．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．36．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，且a0+a1+…+a n=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．10247．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A．B． C． D．9．函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A． B． C． D．10．设正实数a，b，c分别满足2a2+a=1，blog2b=1，clog5c=1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．14．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为16．已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC外接圆半径为2，若，则边长AB=．三、解答题（共6题，总计70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D 是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A．1 B．3 C．8 D．4【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，分析可得集合A、B，由集合并集的定义可得A ∪B，进而由补集的定义可得∁U（A∪B），分析集合∁U（A∪B）元素数目，由集合子集与元素数目的关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={2，4}，则A∪B={1，2，4}，∁U（A∪B）={3，5，6}，有3个元素，其子集个数为23=8，故选C．2．已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=﹣2+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴，则复数的模，故选：B．3．已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积求出λ的值，再求其模即可．【解答】解：，，故选A．4．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C5．下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用函数的奇偶性判断①的正误；利用三角形中正弦定理判断②的正误，利用充要条件判断③的正误，命题的否定判断④的正误．【解答】解：对于①，若f（x）=+a为奇函数，则f（0）=0，解得a=﹣，所以①不正确；对于②，“在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得a＞b，则A ＞B”，的逆命题是真命题；所以②不正确；对于③，“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=±，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，所以③正确．对于④，命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．满足命题的否定形式，所以④正确．故选：C．6．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，且a0+a1+…+a n=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．1024【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】令x=2，可得a0+a1+…+a n=3n，再根据a0+a1+…+a n=243，求得n=5，可得（n﹣x）n展开式的二次项系数和．【解答】解：∵（x+1）n =[2+（x﹣1）]n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，令x=2，可得a0+a1+…+a n=3n，再根据a0+a1+…+a n =243，可得3n=243，求得n=5，故（n﹣x）n=（5﹣x）5展的开式的二次项系数和为2n=25=32，故选：B．7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的前n项和为S n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若q=1时，S6=6a1=3S2=3•2a1=6a1，q=﹣1时，S6=3S2=0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件，故选：C．8．已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A．B． C． D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】运用点满足抛物线的方程可得p（由m表示），运用抛物线的定义可得|AF|，即圆的半径，运用圆的弦长公式，解方程可得m 的值．【解答】解：由在抛物线y2=2px上，∴2pm=8，∴，∴抛物线的焦点，即，准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可知，即圆A的半径．∵A到y轴的距离d=m，∴，即，解得，故选D．9．函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A． B． C． D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．10．设正实数a，b，c分别满足2a2+a=1，blog2b=1，clog5c=1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【考点】4H：对数的运算性质．【分析】令f（x）=2x2+x﹣1，则f（x）=﹣在x＞0时单调递增，即可得出a∈（0，1），在同一坐标系中作出的图象，由图象得1＜b＜c，即可得出大小关系．【解答】解：令f（x）=2x2+x﹣1，则f（x）=﹣在x＞0时单调递增，且f（0）•f（1）=﹣1×2=﹣2＜0，即a∈（0，1），在同一坐标系中作出的图象，由图象，得1＜b＜c，即c＞b＞a；故选：C．11．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的前n项和把S n，T n与a7和b7建立关系可得答案．【解答】解：由等差数列的前n项和，可知：，可得：．同理：，可得：．那么：则=．故答案为：．14．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6G：定积分在求面积中的应用．【分析】由题意利用导数可求得过点（1，2）处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积．【解答】解：∵（1，2）为曲线f（x）=x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k=f′（1）=（3x2﹣2x+1）|x=1=2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积S=x2dx==，∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB﹣S=4﹣=．故答案为：．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，得到几何体是两个相同的四棱锥对底的几何体，计算其体积以及外接球体积即可．【解答】解：由已知三视图得到几何体是两个底面边长为1的正方形的四棱锥对底放置的几何体，所以其几何体体积为，其外接球的半径为，所以体积为，因此体积之比为；故答案为：．16．已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC外接圆半径为2，若，则边长AB=3．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由，得16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2，即8cos∠AOB=﹣1，由2∠ACB=∠AOB，得cosC=⇒sin∠ACB=由⇒AB=4sin∠ACB=3【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为R，因为，所以，则16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2，即8cos∠AOB=﹣1，解得：cos∠AOB=﹣．由2∠ACB=∠AOB，2cos2∠ACB﹣1=cos∠AOB=﹣，则cosC=⇒sin∠ACB=由⇒AB=4sin∠ACB=3故答案为：3三、解答题（共6题，总计70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将边化角，结合和与差的公式可得∠C 的大小．（Ⅱ）降次后利用辅助角公式转化为三角函数，利用三角函数的有界限即可得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：，∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，∴sinA+2sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴，∵0＜C＜π．∴．（Ⅱ）∵，又∵，∴，∴，即．故得sin2A+sin2B的取值范围是[，）．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BA：茎叶图；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）用频率估计概率，求出“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”的概率；（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，ξ的可能值为0，1，2，3，且P（ξ=k）=，写出分布列；（Ⅲ）依题意知一年中每天空气质量达到一级的概率P，一年中空气质量达到一级的天数η，η～B，计算Eη即可．【解答】解：（Ⅰ）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：P（ξ=k）=，其中k=0，1，2，3；ξ0 1 2 3P…（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B；∴Eη=360×=120（天），∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D 是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D为AA1的中点．（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC1与平面BDC 所成角正弦值．（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，利用向量法推导出在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．【解答】证明：（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），∴=（﹣1，0，2﹣h），=（1，﹣1，h），∴﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，∴D为AA1的中点．（Ⅱ）=（0，﹣1，2），设面BDC的法向量=（x，y，z），则，设x=1，得=（1，0，﹣1），设直线BC1与平面BDC所成角为θ，则sinθ===．∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为．（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，∴，∵B1M⊥面BDC，∴，∴，解得，∵x＞1，∴在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…∴依题意知，即…∴C的离心率…（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得…设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…设M（x0，y0），则①…由得…代入①得…因为，，所以②…而…从而②式不成立．故不存在点M，使成立…21．已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为在（1，+∞）上恒成立即可，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，根据函数的单调性结合函数的图象求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，要使f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f'（x）≥0，即在（1，+∞）上恒成立即可，易知在（1，+∞）上单调递增，所以只需a≤y min即可，易知当x=1时，y取最小值，，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）不等式f（x0）＜0即（x0﹣2）lnx0＜ax0﹣1，令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，则，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，而g'（1）=﹣1＜0，g'（2）=ln2＞0，∴存在实数m∈（1，2），使得g'（m）=0，当x∈（1，m）时，g'（x）＜0，g（x）在（1，m）上单调递减；当x∈（m，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（m，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（m）．g（1）=g（2）=0，画出函数g（x）和h（x）的大致图象如下，h（x）的图象是过定点C（0，﹣1）的直线，由图可知若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，则需k BC＜a≤min{k AC，k DC}，而，∴k AC＞k DC．∵，∴．于是实数a的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．【考点】RA：二维形式的柯西不等式；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式，求出f（x）的最大值为a+b+c，即可求a+b+c的值；（2）利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c≤|b+a|+c，当且仅当x≥b时等号成立，∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值为a+b+c．又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10．（2）由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得[（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2]（22+12+12）≥（a+b+c﹣6）2=16，即（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2≥当且仅当（a﹣1）=b﹣2=c﹣3，即a=，b=，c=时等号成立．。
辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题(理)(解析版)
辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学试题（理）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A. {1}B.C. {}1,1-D.『答案』C『解析』若1m =，则{}1,3B =，符合B A ⊆，排除B,D 两个选项.若1m =-，则{}1,3B =，符合B A ⊆，排除A 选项.故本小题选C.2.设i 是虚数单位，若复数12z i =+，则复数z 的模为（ ）A. 1B.C.D.『答案』D『解析』依题意，z == D.3.设命题:(0,)P x ∀∈+∞，ln 1x x -，则p ⌝为（ ） A. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x >- B. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x - C. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x >- D. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x >-『答案』D『解析』原命题是全称命题，其否定为特称命题，B,D 选项是特称命题，注意到要否定结论，故D 选项符合.所以本小题选D.4.近年来.随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自2018年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个。
某二线城市与2018年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称新政）：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户。
高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户。
新政执行一年，2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即2017年）与新政执行一年（即2018年）新增落户人口学历构成比例，得到如下饼图：则下面结论中错误的是（ ）A. 新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数B. 新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C. 新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D. 新政对专科生在该市落实起到了积极的影响 『答案』B『解析』设2017人数为x ，则2018年人数为2x ，根据两个饼图可知：由表格可知，高中及以下的人增加了，故B 选项判断错误.故本小题选B.5.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。
辽宁省葫芦岛协作校2019届高三上学期第二次考试数学理科(含答案)
2018-2019学年高三上学期协作校第二次考试理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}lg 0A x x =>，{}12B x x =-<，则A B =（ ）A ．{}11x x x <-≥或B ．{}13x x <<C ．{}3x x >D ．{}1x x >-2．已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） A ．35-B ．35C ．15-D ．153．函数e4xy x=的图象可能是（ ）A．B ．C ．D ．4．已知向量(1,=a ，()0,2=-b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π35．直线0ax by -=与圆220x y ax by +-+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定6．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()()3a b c a c b ac +++-=，则角B =（ ） A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π67．执行如图所示程序框图，输出的S =（ ）A ．25B ．9C ．17D ．208．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为（ ） A ．112B ．19C ．16D ．149．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A 14B 83 CD ．1310．设函数()ππsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称B ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称C ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称D ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称11．已知函数()()lg 4, 02, 0 ax x f x x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，且()()033f f +=，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且122π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号离心率分别为1e ，2e ，则221231e e +=（ ） A ．4B． C ．2 D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数()2ln 24f x x x x =+-，则函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为__________．14．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值为__________．15．已知sin 2cos αα=，则cos2α=__________．16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知正项等比数列{}n a 满足126a a +=，324a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：1221ˆni ii nii x yn x y bxn x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆay bx =-，82117232i i x ==∑，8147384i i i x y ==∑；（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（ˆa，ˆb 的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9 1.06~倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06 1.12~倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12 1.20~倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为180mmHg 的70岁的老人，属于哪类人群？19．（12分）已知抛物线2:2C y px =过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合）．设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1k ，2k 为定值．20．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BE B --的余弦值．21．（12分）已知函数()()e xf x ax x -=-∈R ，()()ln 1g x x m ax =+++．（1）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意(),x m ∈-+∞，恒有()()f x g x -≥成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为142x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；（2）若直线()π6θρ=∈R 与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．理科数学答 案一、选择题． 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】A 二、填空题． 13．【答案】30x y --= 14．【答案】11- 15．【答案】35-16．【答案】2三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =；（2）1n nT n =+． 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由已知0q >， 由题意得1121164a a q a q a q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴23520q q --=． 解得2q =，12a =．因此数列{}n a 的通项公式为2n n a =． （2）由（1）知，()2211111log log 11n n n b a a n n n n +===-++，∴11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++L ． 18．【答案】（1）见解析；（2）ˆ0.9188.05y x =+；（3）收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群． 【解析】（1）．（2）2832384248525862458x +++++++==，1141181221271291351401471298y +++++++==．∴818222147384845129118ˆ0.91172328451298i ii ii x ynx ybxx ==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-⋅∑∑． ˆˆ1290.914588.05ay bx =-=-⨯=． ∴回归直线方程为ˆ0.9188.05yx =+． （3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为()0.917088.05151.75mmHg ⨯+=， ∵1801.19151.75≈．∴收缩压为180mmHg 的70岁老人为中度高血压人群．19．【答案】（1）2y x =；（2）见解析．【解析】（1）由题意得21p =，∴抛物线方程为2y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为()13x t y =++，代入抛物线方程得230y ty t ---=． ∴()2280t ∆=++>，12y y t +=，123y y t =--， ∴()()121212221212121212111111111111111312y y y y k k x x y y y y y y y y t t ----⋅=⋅=⋅====-----+++++--++， ∴1k ，2k 是定值．20．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ， ∴BD ⊥平面11AA C C ，∴BD AE ⊥．又∵在正方形11AA C C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，∴1A D AE ⊥． 又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ．（2）取11A C 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()1,1,0E -，()3B ，(13B ，(3DB =，()1,1,0DE =-，()12,0,0BB =，(13EB =，设平面DBE 的一个法向量为(),,x y z =m ，则03000DB z x y DE ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩m m ，令1x =，则()1,1,0=m ，设平面1BB E 的一个法向量为(),,a b c =n ，则11200300a BB a b c EB ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令3c =，则(0,3=-n ，设二面角1D BE B --的平面角为θ，观察可知θ为钝角，6cos ,⋅==m n m n m n ， ∴6cos θ=1D BE B --的余弦值为6． 21．【答案】（1）1；（2）(],1-∞．【解析】（1）当1a =-时，()e xf x x -=+，则()11e xf x '=-+． 令()0f x '=，得0x =．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．∴函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． ∴当0x =时，函数()f x 取得最小值，其值为()01f =． （2）由（1）得：e 1x x ≥+恒成立．()()()()ln 1e ln 1x x f x g x e ax x m ax x m -≥⇒+≥+++⇒≥++①当()1ln 1x x m +≥++恒成立时，即e x m x ≤-恒成立时，条件必然满足．设()e x G x x =-，则()e 1xG x '=-，在区间(),0-∞上，()0G x '<，()G x 是减函数，在区间()0,+∞上，()0G x '>，()G x 是增函数，即()G x 最小值为()01G =． 于是当1m ≤时，条件满足．②当1m >时，()01f =，()0ln 11g m =+>，即()()00f g <，条件不满足． 综上所述，m 的取值范围为(],1-∞．22．【答案】（1）22:20C x y x +-=，3cos sin 43l ρθρθ-=（2）33 【解析】（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l 的参数方程为1423x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）343x y -=∴直线l 3cos sin 3ρθρθ-= （2）将π6θ=代入曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=得3ρ=，∴A 点的极坐标为π3,6⎫⎪⎭．将π6θ=代入直线l 的极坐标方程得314322ρρ-=43ρ=∴B 点的极坐标为π43,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴33AB =23．【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-． 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤．（2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+， ∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。
【辽南协作体二模】辽宁省辽南协作体2019届高三第二次模拟考试 数学理答案
2019—2019学年度下学期高三第二次模拟考试试题数学理科参考答案一、选择题1.B2.D3.B4.C5.B6.D7.B8.A9.A 10.B 11.B 12.D 二、填空题13. 25 14. ⎝⎭或⎛ ⎝⎭ 15.[,126k k ππππ⎫-+⎪⎭ （k Z ∈） 16. 221395x y x +=≠±（）三、解答题17.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由sin 2sin C A =，得2c a =，又3a c +=，从而可得1a =，2c =，又b =2221cos 22a cb B ac +-==. 由于0πB <<，所以π3B =； ……………… 6分 （Ⅱ）由已知得π()2cos(2)2cos 223f x x x =+++3cos 222x x =+1sin 2222x x ⎫=-+⎪⎪⎭π223x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 因为π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππ5π2333x -≤≤，于是，当π2π233x -=，即π2x =时，()f x 取最小值1-；当π3π232x -=，即11π12x =时，()f x取最大值2+. 因此函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-+⎣. ……………… 12分18.（Ⅰ）证明：易知AP ⊥BP ，由AA 1⊥平面PAB ，得AA 1⊥BP ，且AP ∩AA 1=A ，所以BP ⊥平面PAA 1，故BP ⊥A 1P ．……………… 5分（Ⅱ）如图建系（以PB 为x 轴，PA 为y 轴.过P 点的母线所在直线为Z 轴）由32121===AA OA V 知，柱π由632ππ=∠=∠PAB AOP ，知又2π=∠APB从而BP=2，32=AP 因此()()()()0,32,0,3,32,0,0,0,2,0,0,01A A B P()1111,,z y x B AA =的法向量为平面由()0,1,301111=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n AA n AB n 知平面()22221,,z y x n B PA =的法向量为由()2,3,002122=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n PA n n 知…… 10分由题意知二面角A B A P --1为锐二面角1421723cos ===θ 因而所求二面角A B A P --1的余弦值为1421………………12分 19.(Ⅰ)由题意;m++++++=901802103844803844805027解得：256=m ………… 2分 (Ⅱ)“其它渠道”中，男性抽取人数（人）4180901806=⨯+女性抽取人数为6-4=2（人）设“至少有一份是女性”为事件A 则()5413634=-=C C A P ………………6分(Ⅲ)由题可知：x 可能取值为2,3,4,5,6而()()1523,1512361214222622======A C C A X P C C x P ()()()316,1545,51446331224=======X P X P A A C C X P ……………… 10分()3=∴X E ……………… 12分 20.解:（Ⅰ）6,33c e a =∴= )0,(2c F在PF 1的中垂线上,222122||||,(2)),F F RF c c ∴==+即 解得222,3, 1.ca b ===22 1.3x C y ∴+=椭圆的方程为 ……………… 4分(Ⅱ)由(1)可知12((,)M M A A M x y设1PA 的方程为(y k x =（0k ≠），则P坐标（-） 所以23PA k K =， 所以2PA方程为(3ky x = 由方程组22(3 1.3k y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,整理得 2222(3)390k x x k +-+-= …8分223(3)3M k k -=+, 所以M x =(3M M k y x ==因为1MA K=，化简后1MA K =1k -，所以11MA NA ⊥，则三角形1MNA 为直角三角形，Q 为斜边中点， 所以12AQ MN = ……………… 12分 21. 解：（Ⅰ）由()f x 定义域为R ，知210x ax -+>恒成立，于是240a ∆=-<， 所以得22a -<<，所以实数a 的取值范围是()2,2-； ……………… 1分当0a =时，2e ()1xf x x =+，函数定义域为R ，()()222e 1()01xx f x x -'=+≥， 于是()f x 在R 上单调递增； 当(0,2)a ∈时，求导得()()()22e 11()1x x x a f x x ax --+⎡⎤⎣⎦'=-+，因为240a ∆=-<，所以210x ax -+>恒成立，函数定义域为R ，又11a +>，知()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,1a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增. ……………… 4分（Ⅱ）当0a =时，[][]0,10,1a +=，又()f x 在[]0,1单调递增，(0)1f =于是()f x x ≥1≥，即得()f x x ≥在[]0,1x a ∈+上成立. ……………… 6分当(0,2)a ∈时，由（I ）知()f x 在[]0,1上递增，在[]1,1a +上递减.当[]0,1x ∈时，由()f x x ≥1≥，即得()f x x ≥在[]0,1x ∈上成立；……………… 8分当(1,1]x a ∈+时，有()()()112e e 1(1)112a af x f a a a a a +++==+-+++≥.下面证明：1e (1)12a f a a a ++=++≥.令1x a =+，()()e 1xh x x x =-+，则()e21xh x x '=--，且(1,3)x ∈.记()x ϕ=()e 21x h x x '=--，则()e 2e 20x x ϕ'=->->，于是()()x h x ϕ'=在[]1,3上单调递增.又因为(1)0h '<，323e 402h ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一的031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得000()e 210x h x x '=--=，从而00e 21x x =+.于是()h x 在0[1,)x 上单调递减，在0(,3]x 上单调递增，此时()()0h x h x ≥020e x x x =--200021x x x =+--2015024x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭.从而 ()()010h a h x +>≥，即1e 12a a a +++≥. 亦即 ()f x ≥()11f a a x ++≥≥. 因此不等式()f x x ≥在(1,1]a +上成立.所以当(0,2)a ∈时，不等式()f x x ≥对于任意的[]0,1x a ∈+恒成立.综上可得，当[0,2]a ∈时，对于任意的[]0,1x a ∈+不等式()f x x ≥恒成立.…12分22. 解:（Ⅰ）连结OF ．∵DF 切⊙O 于F ，∴∠OFD =90°．∴∠OFC +∠CFD =90°． ∵OC =OF ，∴∠OCF =∠OFC ．∵CO ⊥AB 于O ，∴∠OCF +∠CEO =90°． ∴∠CFD =∠CEO =∠DEF ，∴DF =DE ． ∵DF 是⊙O 的切线,∴DF 2=DB ·DA ． ∴DE 2=DB ·DA ………… 5分（Ⅱ）4OE ==，CO=8CE =．∵CE ·EF = AE ·EB= (+4)(-4)=32， ∴EF =4． ……………… 10分23．解：（Ⅰ）222211(-)-2y t t x tt ==+=，所以C 1的普通方程为2y x =由sin()4πρθ+=sin cos 22ρθρθ+=2x y += … 5分 （Ⅱ）⎧⎪⎨⎪⎩22y x x y =+= 得公共点为（１,１）、（４,-２）所以公共点的极坐标为1arctan 42ππ-，）、（）……………… 10分 24. 解:（Ⅰ）令|1||21|y x x =-++，则13,,212,1,23,1x x y x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩……………… 5分311y x <∴-<<（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值为32，所以只需31122a ≤-，所以51a a ≥≤-或……………… 10分。
2019年最新辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)及答案解析
辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．816．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D 在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤ B．0＜a≤C．a≥D．a≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
精品解析：【市级联考】辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019年大连市高三第二次模拟考试数学（理科）一、选择题:每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.1.复数1i z =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ）A. 0B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的定义求得结果.【详解】1z i =-+==本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =…，则()UA B =ð（ ）A. }1,0,1{-B. {1,0,1,2}-C. }2|{<x xD. {|12}x x -<…【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U A C B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题.3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，0sin ≠α B. α∀∈R ，0sin ≠α C. α∀∈R ，0sin <αD. α∀∈R ，sin 0α>【答案】B 【解析】 【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，0sin ≠α 本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ） A. x y sin = B. y x =C. 3y x =-D. )lny x =【答案】D 【解析】 【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误；3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)lny x =为奇函数；当0≥x 时，x 单调递增，由复合函数单调性可知)ln y x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S S =，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. -1 B. 1C. 士1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果. 【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意 当1q ≠时，由422S S =得：()()421112111a q a q qq--=--，即212q+=，解得：1q =-综上所述：1q =± 本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误.6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ ∆的周长的最小值为（ ） A. 12 B. 14C. 16D. 18【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆对称性可求得PF QF +为定值2a ，再结合min 2PQ b =，从而得到所求周长的最小值. 【详解】由椭圆对称性可知，,P Q 两点关于原点对称 设F '为椭圆另一焦点，则四边形PFQF '为平行四边形 由椭圆定义可知：420PF PF QF QF a ''+++== 又PF QF '=，QF PF '= 10PF QF ∴+= 又PQ 为椭圆内的弦 m i n 28PQ b ∴==PFQ ∴∆周长的最小值为：10818+=本题正确选项：D【点睛】本题考查椭圆中三角形周长最值的求解问题，重点考查学生对于椭圆几何性质的掌握，关键是能够利用椭圆的对称性和定义求得PF QF +的值.7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 6种 D. 3种【答案】A 【解析】 【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解。
辽宁省沈阳市2019届高三数学第二次模拟试题(理)
2019沈阳市第二次模拟试题数 学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，其中第II 卷第22题~第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则A B =( )A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( ) A ．3- B ．3-或1 C ．3 或1- D ．13．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是( ) A ．25 B ．5 C ． 25- D ．5-5．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<．1 2 34028 02337 12448 238则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( ) A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 6．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件7．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A ．4π B ．6πC ．56πD ．34π8．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △的重心G 的轨迹方程为( )A ．221(0)3627x y y +=≠ B ．2241(0)9x y y +=≠ C ．22931(0)4x y y +=≠ D ．2241(0)3y x y +=≠9．已知某程序框图如图所示，则该 程序运行后，输出的结果为( ) A ．0.6 B ．0.8 C ．0.5 D ．0.2xy O16π-65π10．设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是( ) A ．121 B ．2417 C ．32 D ．65 11．过双曲线)0(152222>=--a a y a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为( )A ． )5,2(B ．C ．)2,1(D ．12．在平行四边形ABCD 中，O=∠60BAD ，AD =2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足=++y x (,x y ∈R )，则当点P 在以A 为半径的圆上时，实数y x ,应满足关系式为( )A ．12422=++xy y xB ．12422=-+xy y x C ．12422=-+xy y x D ．12422=++xy y x第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若nxa x )(2-展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是 ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列， 则{}n a 的通项公式n a =______________．15．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为____________cm 2．16．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(1)a >在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)一个口袋内有n (3n >)个大小相同的球，其中有3个红球和(3)n -个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p ． (I)当35p =时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E ξ； (II)若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球)，在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于827，求p 和n ．18．(本小题满分12分) 已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．(Ⅰ)求0B 的大小；(Ⅱ)当034B B =时，求cos cos AC -的值．234俯视图左视图主视图19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A .已知 90=∠BCA ，21===BC AC AA .(Ⅰ)证明：//OE 平面11C AB ； (Ⅱ)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (Ⅲ)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；(Ⅲ)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；ABCO1A 1C 1B E(Ⅲ)当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xyx y ln 1ln 1--与的大小．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一 点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交圆于点E ，1DE =． (Ⅰ)求证：AC 平分BAD ∠； (Ⅱ)求BC 的长．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程；(Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．(Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．2019年沈阳市高三二模测试试题理科数学试题参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．B ； 2．D ；3．C ；4．A ；5．D ；6．C ；7．D ；8．C ；9．A ；10．B ；11．B ；12．D ． 二、填空题13． 1±；14．13,(1)23,(2)n n n -=⎧⎨⋅≥⎩；15．29π ；162a <<． 三、解答题 17．解：(I)333555p n n =⇒=⇒=，所以5个球中有2个白球 白球的个数ξ可取0，1，2． ······················ 1分3211233232333555133(0),(1),(2)10510C C C C C p p p C C C ξξξ=========． ····· 4分1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．····················· 6分 (另解：依题意ξ服从参数为N =5，M =2，n =3的超几何分布，所以E ξ=56352=⨯．(II)由题设知，22248(1)27C p p ->， ··················· 8分因为(1)0p p ->所以不等式可化为2(1)9p p ->，解不等式得，1233p <<，即264p <<． ················10分又因为6p ∈N ，所以63p =，即12p =，所以12p =，所以312n =，所以6n =． ·················12分18．解：(Ⅰ)由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭== ·········· 2分223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=． ················· 4分因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=． ······· 6分(Ⅱ)解：设cos cos A C x -=， ························ ①···································· 8分由(Ⅰ)及题设知sin sin A C +=····················· ②由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． ··················10分 又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -= ·················12分 19．解法一：(Ⅰ)证明：∵点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点， ∴1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ·························· 4分 (Ⅱ)∵⊥AO 平面111C B A ，∴11C B AO ⊥，又∵1111C B C A ⊥，且O AO C A = 11，∴⊥11C B 平面11A C CA ，∴111C B C A ⊥． ················ 6分 又∵AC AA =1， ∴四边形11A C CA 为菱形， ∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C =∴⊥C A 1平面11C AB ，∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ········· 8分 (Ⅲ) 设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=， 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅． ················10分 又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ，∴S △11AA B 7=．∴7212=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值21． ·········12分 解法二：如图建系xyz O -，A ，11(0,1,0),(0,2A E --，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，A 1(0,C ． ····························· 2分(Ⅰ)∵=OE )23,21,0(-，)3,1,0(1-=AC ，∴112OE AC =-，即1//AC OE ， 又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ····· 6分 (Ⅱ)∵)3,1,2(1-=AB ，)3,3,0(1=C A ，∴⋅1AB 01=C A ，即∴C A AB 11⊥， ∴异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ·················· 8分 (Ⅲ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，111(2,2,0),(0,1A B A A ==设平面11B AA 的一个法向量是(,,)n x y z =则111•0,•0,A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220,0.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令1x =，可得(1,1,n =-， ···················10分∴11sin cos ,7AC n θ=<>==， ∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721． ···············12分 20．解：(Ⅰ)∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417， ∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2． ················ 2分 (Ⅱ)法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-，设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---，∴1224H y y y +=-=-. ······················· 5分212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． ················ 7分 法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=HA k ，3-=HB k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=x y x y 22343，得023432=+--y y ，∵2E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ． ·················· 5分 同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ． ········ 7分 (Ⅲ)法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ， ∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ，·················· 9分 ∴直线AB 的方程为0154)4(020=-+--x yy y x ， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵2015'40t y =+>，∴t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴当01y =时，11min -=t ． ·····················12分法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ·· ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ····················· ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． ··· 9分 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥， ∵215'40t m=+>，∴t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴当1m =时，11min -=t ． ·····················12分21．解：(Ⅰ)xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，0)(≤'x f 在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，0)(≤'x f 得a x 10≤<，0)(≥'x f 得ax 1≥， ∴)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 1,0上递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a 上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． ··············· 3分 (Ⅱ)∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b x x x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， ···················· 5分 令xx x x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． ················· 7分 (Ⅲ)解：令1)(ln 1)(-=-=x g xx x x h ， ·················· 8分 由(Ⅱ)可知)(x g 在),0(2e 上单调递减，则)(x h 在),0(2e 上单调递减∴当20e y x <<<时，)(x h >)(y h ，即yy x x ln 1ln 1->-． ········10分当e x <<0时，,0ln 1>-x ∴xy x y ln 1ln 1-->， 当2e x e <<时，,0ln 1<-x ∴xy x y ln 1ln 1--< ···············12分 22．解：(Ⅰ)连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分 因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ····· 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC CE =， ························ 6分 连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， · 8分 所以DE CB CE AB=，所以2BC =． ····················10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩ 且参数[]0,2απ∈， 所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ··············· 3分 (Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． · 6分法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2.d ==P 到直线l距离的最大值2. ···10分 法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2. ·········10分24．解：(Ⅰ)由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ················· 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()211f x x =-+，令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, 2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ···········10分。
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辽宁省五校协作体2019届高三第二次联合模拟考试数学学科试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（理）已知全集U =R ，{|0M x x =<或2}x >，2{|430}N x x x =-+<，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {|01}x x ≤<B. {|02}x x ≤≤C. {|12}x x <≤D. {|2}x x <2.函数1201x y a a -=<<（）的图象一定过点（ ） A. （1,1） B. （1,2） C. （2,0） D. （2,-1）3.（理）点000(,)P x y 是曲线3ln y x x k =++()k R ∈图象上一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 1-D. 4-4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. sin()6y x π=- B. 2x y = C. x y = D. 3x y -=5.有下列说法：（1）“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（2）“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件；（3）“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；（4）“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件。
其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.在ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,设60,A a ==b =B = ( )A. 45或135B. 0135C. 45D. 以上都不对7.=（ ）其中,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ A. sin θ－cos θ B. cos θ－sin θ C. ±（sin θ－cos θ） D. sin θ+cos θ8.设映射2:21f x x x →-+-是集合{}|2A x x =>到集合B R =的映射。
若对于实数p B ∈，在A中不存在对应的元素，则实数p 的取值范围是（ ）A. ()+∞,1B. [)1,-+∞ Ｃ. (),1-∞- D. (],1-∞-9.（理）使函数)26sin(2x y -=π 7([,])66x ππ∈-为增函数的区间是（ ） A. ]3,0[π B. ]127,12[ππ C. ]65,3[ππ D. ],65[ππ 10.已知函数2()(2)(21)f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间(1,0)-和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭D ． 11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭11.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1x xf x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．32πB ．3πC ．6π D ．π65 12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为（ ）A. 1(,2)2B. (2,)+∞C. 1(0,)(2,)2⋃+∞D. 1(,1)(2,)2⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中横线上。
13.函数y =的定义域为 ．14.（理）函数2,0()2,0x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是 15.给出下列命题： ① 存在实数x ，使3sin cos 2x x +=； ② 若α、β是第一象限角，且α>β，则cos α<cos β；③ 函数2sin()32y x π=+是偶函数； ④ A 、B 、C 为锐角ABC ∆的三个内角，则sin cos A B >其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）16.（理）函数2y x =与函数2y x =的图象围成的封闭图形的面积为三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤.17.（本小题满分10分）风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记做A 、B 、P 、Q ，欲测量P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得A 、B 两点间的距离为100AB =米，如图，同时也能测量出75PAB ∠=,45QAB ∠=,60PBA ∠=,90QBA ∠=，则P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离各为多少？18.（本小题满分12分）在ABC ∆中,设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 向量(cos ,sin )m A A =,向量(2sin ,cos )n A A =-,若2m n +=(1)求角A 的大小 ；(2)若b =且c =，求ABC ∆的面积.19. (本小题12分)鑫隆房地产公司用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）20（.本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =-++(1)设方程()10f x -=在(0，π)内有两个零点12x x 、，求12x x +的值；(2)若把函数()y f x =的图像向左移动m (0)m >个单位，再向下平移2个单位，使所得函数的图象关于y 轴对称，求m 的最小值。
21. （本小题满分12分）已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，()x x x f 22+=．现已画出函数()x f 在y 轴左侧的图像，如图所示，并根据图像（1）写出函数()()R x x f ∈的增区间；（2）写出函数()()R x x f ∈的解析式；（3）若函数[]()()22(1,2)g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值。
22.（本小题满分12分）已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-.(1)已知函数h(x)=g(x)+ax 3的一个极值点为1，求a 的取值；（2） 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（3）对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.答案：1.（理）C2.B3.（理）A4.D5. B6.C7. A8.B9.（理）C10.A11.C12.C 13.130144⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，14.（理）[1,1]-15. ③④16.（理）1317.解析：（1)PAB △中，180(7560)45,APB ∠=-+=由正弦定理：100sin 60sin 45AP = AP ⇒=…………4分(2)QAB ∆中，90ABQ ∠=,∴AQ =754530,PAQ ∠=-=…………6分由余弦定理：2222PQ =+-⋅5000,=∴PQ ==…………9分答：P 、Q 两棵树之间的距离为米，A 、P 两棵树之间的距离为10分18.解析：（1）2m n +=2(cos sin )A A 2(sin cos )A A ++4sin )44cos()4A A A π=+-=++ ………………3分 44cos()4A π∴++=，cos()0A π∴+= (0,)A π∈，42A ππ∴+=，4A π∴=………………6分 （2） 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-即222)2cos 4a π=+-⨯，解得8a c =∴=…………10分18162ABC S ∆∴=⨯=……………………12分 19.解析:设楼房每平方米的平均综合费为()f x 元，则 ()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x N +≥∈……3分 方法一： ()21080048f x x '=-, …………5分 令 ()0f x '= 得 15x =…………7分当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<,因此 当15x =时，()f x 取最小值…………10分（方法二：()1080056048f x x x =++5602000≥+，……8分 当且仅当1080048x x=时成立，即15x =时，……10分） ()152000f =。
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
………………12分20.解析：(1) 由题设()sin 21cos 21)24f x x x x π=-+++=++…2分∵()10f x -=)214x π++=，∴cos(2)42x π+=-，………………………………………………………3分 由32244x k πππ+=+或52244x k πππ+=+，k Z ∈ 得4x k ππ=+或2x k ππ=+，……………………………………………………5分∵(0,)x π∈，∴14x π=，22x π= ∴1234x x π+=………………………………………………6分(2) 由题意()2)4g x x m π=++．…………………………………………8分∵()y g x =图象关于y 轴对称，则函数()g x 为偶函数，需使 ∴24m k ππ+=，k Z ∈，…………………………………………10分 ∴28k m ππ=-，k Z ∈， ∵0m >，∴当1k =时，m 取最小值为38π………………………………………12分 21.解析:（1）()x f 在区间()01，-，(1,)+∞ 上单调递增。
…………3分（2）设0>x ，则0<-x函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，()x x x f 22+=()()()()()02222>-=-⨯+-=-=∴x x x x x x f x f()()()⎩⎨⎧≤->+=∴020222x xx x x x x f …………7分 （3）2()222g x x x ax =+-+，对称轴方程为：1x a =-，当11a -≤时，(1)52g a =-为最小；……8分当112a <-≤时，2(1)21g a a a -=-++为最小；……9分当12a ->时，(2)104g a =-为最小……10分综上有：()g x 的最小值为252(2)21(23)104(3)a a a a a a a ⎧-≤⎪⎪-++<≤⎨⎪->⎪⎩……12分22.解析：（1）2()23h x x a ax '=-++，因为1为极值点，则满足(1)230h a a '=-++=，所以12a =.………………4分 （2）'()ln 1f x x =+，当1(0,)x e∈，'()0f x <，()f x 单调递减， 当1(,)x e∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. ………………6分 ① 102t t e<<+<，t 无解； ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e==-； ③ 12t t e ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以min 110()1ln t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，. ………………8分 （3）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++，设3()2ln (0)h x x x x x=++>，………10分 则2(3)(1)'()x x h x x+-=， (0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以()(1)4h x h >=，因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=； …………12分。